Abstract— The conventional detector (matched filter) becomes inefficient in MIMO systems demanding high data throughput and/or subject to interference and/or under correlated channels. The bit error rate performance or system capacity under conventional detection will be substantially degraded when the spatial diversity provided by multiple antennas cannot be fully exploited and the detection process is unable to efficiently separate the signal from each antenna. The solution discussed in this paper seeks to establish more efficient detectors for MIMO systems with the aid of the Lattice Reduction technic. These detectors use information from the interfering signals in a way to improve the signal detection in the antenna of interest, thus providing advantages over the conventional system, at the expense of increasing complexity. The focus of this paper consists in comparing the characteristics of three sub-optimal detectors, previously analyzed in [1], based on the maximum-likelihood function and the guided search principle. Especially, the complexity vs performance trade-off for the sphere detector (SD), the QR decomposition-based detector (QRD) the greedy search detector (GSD) and its variants aided by the Lattice Reduction are compared. We have considered the performance-complexity tradeoff as a main figure-of-merit of sub-optimal MIMO detectors under Rayleigh correlated fading channels.
Keywords— Multiuser coherent detection, MIMO systems,
ML estimation, sub-optimum detection, search algorithms, Lattice Reduction.
I.INTRODUÇÃO
ISTEMAS de comunicação com múltiplas antenas no transmissor e receptor (MIMO - multiple input multiple
output) estão presentes nos padrões modernos de
telecomunicações, como por exemplo o LTE [2]. Nesses sistemas, o processo de detecção de sinais convencional (filtro casado ao sinal recebido em cada antena) torna-se ineficiente em situações que demandem alta vazão (throughput) de dados e/ou em condições de operação sob canais móveis típicos. A consequente degradação de desempenho neste processo de detecção convencional se deve à combinação dos efeitos da interferência do sinal entre antenas, da possível correlação entre os sinais recebidos com desvanecimento, entre outros. Assim, o desempenho do detector convencional ou a capacidade do sistema serão degradados substancialmente quando a diversidade espacial proporcionada pelas múltiplas antenas não puder ser aproveitada eficientemente, devido à correlação dos desvanecimentos do canal MIMO.
Para aumentar o throughput e/ou o desempenho em termos de taxa de erro de bit (BER - bit error rate) em sistema MIMO, deve-se combinar a diversidade espacial a outros tipos
Y. M. Mostagi, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, yuri.mostagi@gmail.com
J. C. Marinello, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, zecarlos.ee@gmail.com
T. Abrão, Universidade Estadual de Londrina (UEL), Londrina, Paraná, Brasil, taufik@uel.br
de diversidade, tais como a temporal, a de frequência, a multiusuário, entre outras, além do aproveitamento das condições instantâneas de canal para alterar dinamicamente a ordem de modulação (modulação adaptativa).
Neste trabalho, explora-se a diversidade espacial combinada à diversidade de recepção multiusuário. Assim, utiliza-se versões sub-ótimas eficientes para o detector de máxima verossimilhança (MLD - maximum likelihood
detector), os quais utilizam informações de todas as antenas de
forma a melhorar a detecção do sinal individual em cada antena e assim combinar de forma eficiente os sinais de cada antena (diversidade espacial), proporcionando vantagens sobre o sistema convencional e MLD.
O detector ótimo, que consiste de um receptor convencional seguido de um detector de sequência de máxima verossimilhança, é impraticável devido ao fato de sua complexidade aumentar exponencialmente em relação ao número de antenas (ou usuários). Por isso, novos métodos vêm sendo propostos a fim de contornar estas desvantagens, entre os quais os detectores sub-ótimos multiusuários baseados em estrutura lineares para canais MIMO [3], [4]. Ademais, um detector para sistemas MIMO baseados na técnica de relaxação semi-definida foi proposto em [5].
Redução Treliça (LR - Lattice Reduction) é um conceito matemático utilizado para resolver diversos problemas envolvendo treliças de pontos. No caso do processamento de sinais, a constelação formada pelos símbolos de um sinal modulado pode ser visto como uma treliça; desta forma, com o LR busca-se melhores formas de se representar uma dada treliça [6]. No universo da detecção de sinais em canal MIMO, a LR pode ser utilizada para melhorar o condicionamento da matriz do canal, permitindo-se assim que se use detectores mais simples, e consequentemente menos complexos computacionalmente, mantendo-se um desempenho aceitável, ou, também, diminuindo a complexidade de detectores quase ótimos.
O foco deste trabalho são os detectores sub-ótimos de busca guiada para sistemas MIMO baseados na função de máxima verossimilhança. Entre estes, destacam-se o detector esférico (SD - sphere detector), o detector baseado na decomposição matricial linear QR (Em álgebra matricial linear, a decomposição ou fatorização QR de uma matriz resulta na decomposição da matriz A em um produto de matrizes, A=QR, sendo Q uma matriz ortogonal e R uma matriz triangular. A decomposição QR é amplamente utilizada pra resolver o problema linear de mínimos quadrados, sendo a base de construção do algoritmo QR de determinação dos autovalores.) (QRD - QR
Decomposition) e o algoritmo de busca greedy (GSD - greedy search detector), bem como sua associação à redução treliça,
de forma a melhorar o desempenho do sistema de comunicação e/ou diminuir a complexidade destes detectores
Guided Search MIMO Detectors aided by
Lattice Reduction under Correlated Channels
Y. M. Mostagi, J. C. Marinello Filho and T. Abrão,
Senior Member, IEEEMIMO, especialmente quando houver a combinação de elevada ordem de modulação e número de antenas.
O SD-MIMO apresenta, em situações de interesse prático, desempenho equivalente ao do detector MLD, mas com menor complexidade. No entanto, em situações de baixa relação sinal-ruído (SNR - signal-to-noise ratio), a complexidade do SD resulta elevada. O princípio de funcionamento do SD foi mostrado em [7]; em [8] foi proposto a utilização do algoritmo SD na detecção em sistemas MIMO. Em [3] e [9] foi analisada a complexidade do SD e formas de reduzi-la sem comprometer substancialmente seu desempenho.
O detector para canais MIMO baseado na decomposição (QRD-M) foi analisado em [10], e modificações foram introduzidas em [11] a fim de se diminuir sua complexidade. Em [12], o detector greedy (GSD) foi empregado na detecção multiusuário em sistemas de múltiplo acesso. Em canais MIMO, o GSD foi empregado no problema de detecção sub-ótima em [13] e com saídas soft em [14]. Em seguida o GSD foi utilizado na detecção sob diversas configurações de canal [15], [16].
O LR teve sua utilização em sistemas MIMO proposta em [17]. Em [18], foi realizada uma análise comparada de desempenho e complexidade computacional entre dois detectores auxiliados por LR e outros detectores clássicos da literatura. Já em [19] um método de redução de treliça complexo adequado para sistemas MIMO foi proposto. Em [20] é explorado e proposto um método LR de reduzida complexidade. Por fim, em [21] uma análise mais aprofundada é realizada.
Importante aspecto considerado neste trabalho é o canal MIMO com desvanecimento correlacionado. Uma vez que as dimensões físicas requeridas pelos dispositivos móveis são restritivas, a distância entre antenas em uma mesmo terminal móvel também torna-se restritiva. Por exemplo, sistemas de comunicação sem fio MIMO operando na faixa de frequência UHF requerem distâncias entre antenas da ordem de dezenas de centímetros para se obter a condição de canais espacialmente descorrelacionados. Assim, a obtenção de sistemas de comunicação MIMO sem fio capazes de acomodar um grande número de antenas com exploração do máximo ganho de diversidade (ou alternativamente máximo ganho de multiplexação) torna-se um desafio.
Um cenário de canal MIMO correlacionado causa efeitos danosos sobre taxa de dados atingível, bem como sobre o desempenho [22], requerendo potência de transmissão adicional para atingir mesmos índices de qualidade de serviço (QoS). Este cenário torna-se um problema, uma vez que o uso de receptores operando sob elevado SNR e baixo ruído de fase resulta em elevados custos de implementação e operacionais [23]. Portanto, detectores MIMO eficientes, os quais apresentam ótimo compromisso desempenho-complexidade, capazes de operar simultaneamente sob adequadas taxas de erro de bit (BER), restrições de potencia de transmissão e canais correlacionados são de interesse prático.
II. MODELO DO SISTEMA
O canal MIMO linear é definido por um transmissor genérico que transmite simultaneamente (em um período de símbolo, Ts) m símbolos, s1, ...,sm, de um alfabeto finito ou
constelação
D
⊂
. No receptor, tem-se n sinais, y1, ... ,yn,um em cada antena receptora, recebidos como uma combinação linear dos m símbolos de entrada mais o ruído aditivo. Costuma-se assumir que a quantidade de sinais recebidos nas n antenas excede a quantidade dos símbolos transmitidos nas m antenas, ou seja, n m. Com isto, garante-se que as equações utilizadas no processo de detecção não serão subdeterminadas [24].
Convenientemente, o canal MIMO linear é descrito na forma matricial como
=
+
y Hs v
(1) sendoH
∈
n m× a matriz do canal ev
∈
no ruído aditivo. Os vetoress
∈D
mey
∈
nrepresentam os símbolos transmitidos e os sinais recebidos, respectivamente [4]. A eq. (1) pode ser expandida para melhor compreensão do sistema:Se H, s, y e v são matrizes e vetores de valores complexos, então podem ser convenientemente re-escritos como:
sendo
ℜ
{.}
eℑ
{.}
os operadores partes real e imaginária, respectivamente [25].Uma vez que o foco deste trabalho é a detecção em canais MIMO, inicialmente, a matriz H será considerada perfeitamente conhecida no receptor cujos valores complexos são descritos por uma distribuição Rayleigh para o módulo e uniforme para a fase; em seguida, serão considerados canais com desvanecimento correlacionados. Os símbolos transmitidos foram modelados como variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) sobre o alfabeto da constelação
D
. O ruído foi modelado por uma distribuição Gaussiana complexa circularmente simétrica, de média zero e variância σ2. O objetivo do receptor é estimar s apartir de y e H.
A. Modelo de Canal MIMO Correlacionado
O canal MIMO com desvanecimento é modelado por uma distribuição Rayleigh plano para o módulo. Adicionalmente, a correlação espacial entre as antenas de transmissão e de recepção pode ser descrita a partir do modelo de correlação de Kronecker [26]:
sendo a matrix
G
(m
× n
) é composta por elementos i.i.d de valores complexos Gaussianos,g
ijCN(0,1)
, asmatrizes
R
Tx(m
× m
) eR
Rx(n
× n
) representam a correlação espacial do canal MIMO observada no lado do transmissor e receptor, respectivamente. Os elementosr
ij destas matrizes são dadas, em termos do índice de correlação normalizadaρ
, entre a i-ésima e j-ésima antena, respectivamente por::r
Rx, ij=
ρ
( )i− j2r
Tx, ij=
ρ
i− j ( )2
(3) Assim, sem
= n
, ambas as matrizes de correlação simplificam-se, podendo ser re-escritas como:(4)
III. DETECTOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA O detector de máxima verossimilhança ou detector ótimo operacionaliza, a partir da eq. (1), o teste de todas as possibilidades de símbolos transmitidos em cada antena, ou seja, aplica todos os possíveis valores de s a uma função de minimização, estimando assim o símbolo transmitido, sendo o escolhido aquele que apresentar a menor distância Euclidiana em relação ao sinal recebido. Esta função de minimização é expressa a seguir 2
ˆ min
m D ∈=
−
ss
y Hs
(5) sendoˆs
o vetor de informação transmitido estimado, s o vetor de informação candidato, D a dimensão do espaço de sinais (tamanho da constelação) e ||.||2 é a distância Euclidiana.A eq. (5) pode ser melhor entendida a partir do exemplo numérico mostrado a seguir. Neste exemplo utiliza-se um canal MIMO com m = n = 2 e modulação BPSK (Binary
Phase-Shift Keying), i.e., D = 2. Considerando que o vetor de
informação s, a matriz do canal H e o vetor de ruído aditivo v sejam dados, respectivamente, por:
Assim, a partir da eq. (1) é possível obter o vetor recebido y
Considerando, neste exemplo, que a matriz de canal seja perfeitamente conhecida no receptor, através da eq. (5), o
detector ML realiza o teste de todas as possibilidades de vetores-candidatos a fim de encontrar aquele que resulta na menor distância Euclidiana e então o escolhe como a solução do problema; numericamente, a distância Euclidiana para cada vetor-candidato neste simples exemplo numérico resulta:
Assim, o vetor de menor distância Euclidiana será selecionado como o vetor recebido estimado ˆs s , sendo este = 1 idêntico ao vetor transmitido s.
A partir deste exemplo, torna-se evidente a complexidade apresentada pelo detector de máxima verossimilhança. Neste caso, combinando-se modulação BPSK, e m = n = 2 antenas, há quatro vetores-candidatos de dimensão 2. Em um sistema com m = n = 3 antenas, a quantidade de vetores-candidatos de dimensão 3 saltaria para oito; para m = n = 4 este número seria dezesseis, ou seja, este método resulta em complexidade exponencial em relação ao número de antenas e ao tamanho da constelação. Se o tamanho da constelação em cada componente de s é D (por exemplo, na modulação QPSK, D = 4) e existem m antenas transmissoras, o detector deve fazer uma busca sobre um conjunto de tamanho Dm. Em
modulações de elevada ordem (16-QAM ou maior), essa complexidade se torna proibitiva mesmo para um número mediano de antenas transmissoras [27].
IV. REDUÇÃO TRELIÇA
A Redução Treliça é um conceito matemático utilizado para resolver diversos problemas envolvendo treliças de pontos. No caso do processamento de sinais, a constelação formada pelos símbolos de um sinal modulado pode ser visto como uma treliça; desta forma, com o LR busca-se melhores formas de se representar uma dada treliça. No universo da detecção de sinais em canal MIMO, a LR pode ser utilizada para melhorar o condicionamento da matriz do canal, permitindo-se assim que se use detectores mais simples, e consequentemente menos complexos computacionalmente, mantendo-se um desempenho aceitável.
Na fase de pré-detecção, ou seja, antes do detector ser utilizado é realizada esta redução, que gera uma matriz unimodular que multiplicada por H fornecerá como resultado uma matriz de coeficientes de canal modificada que apresenta colunas mais próximas da condição de ortogonalidade, isto devido ao fato desta representar uma base de sinais de menor correlação entre elementos em relação a matriz H original [6].
Existem inúmeras definições de redução treliça dependendo do critério de redução adotado. Algumas dessas definições resultam em distintas técnicas de implementação LR, entre estas, destacam-se a redução de Minkowski [28]-[30], a redução de Hermite-Korkine-Zolotareff [31], [32], a redução de Gauss [33], a redução de Lenstra-Lenstra-Lovász [34], [35], a redução de Seysen [36] e a redução de Brun [37], [38].
segundo [6], apresenta um bom compromisso entre a qualidade dos resultados e a complexidade; por isso, o algoritmo LLL foi escolhido para ser aplicado neste trabalho. O LLL utiliza-se da decomposição QR e de reflexões, translações e trocas de colunas da matriz que se deseja reduzir de forma iterativa até que se obtenha uma base reduzida.
O algoritmo depende do parâmetro δ, com 1/ 4< ≤δ 1, a escolha do parâmetro δ afeta a qualidade da base reduzida e a complexidade computacional. Maiores valores de δ resultam em bases melhores ao preço de uma maior complexidade computacional, uma escolha comum é δ = 3/4, conforme sugere [6].
Assim, através deste algoritmo obtém-se a matriz unimodular T, com esta matriz, então, é feita a transformação do vetor de símbolos transmitidos, s, e a matriz de coeficientes de canal, H para formas de base reduzida:
1 −
=
z T s
(6) (7) Através da eqs. (6)-(7), tem-se a forma matricial do canal MIMO com a matriz de canal de base reduzida :(8) Assim, com esta forma matricial equivalente para descrever o canal tem-se, a partir do problema de otimização descrito na eq. (5), uma nova função de minimização para o detector MLD e os outros que se seguem, os quais utilizam esta mesma função para operarem:
(9) A partir de (9), a técnica de redução treliça (LR) poderá ser agregada às estruturas de detecção aqui analisados.
V. DETECTORES SUB-ÓTIMOS DE BUSCA GUIADA
A. Detector MIMO por Decomposição QR
Partindo da eq. (5), aplica-se a decomposição QR [39] [40] à matriz do canal H
H
= Q R
0
(10) sendo Q ∈ n n× uma matriz ortogonal, R ∈ m m× umamatriz triangular superior, e 0 uma matriz de zeros de dimensão
(n− m) × m.
A decomposição QR de H é uma redução ortogonal para uma forma triangular superior. Da relação H = QR e da não singularidade de R, conclui-se que as colunas de Q formam uma base ortonormal para( )H , sendo (.) o operador espaço vetorial de uma matriz. Assim, a matriz P QQ é a = T projeção ortogonal em ( )H .
Note-se que Q Q I , sendo {.}H = H o operador conjugado
transposto e I a matriz identidade. Assim, pré-multiplicando
2
− y Hs
‖ ‖ em (5) por Q resulta em uma estrutura em forma H
de árvore de profundidade m devido à propriedade triangular da matriz R.
|| y− Hs||2=|| y − QRs||2=|| QHy− Rs||2 (11)
Para simplificar, seja x Q y . Assim, a nova função de = H
minimização torna-se: 2 ML ˆ minm ∈ = − s s x Rs ‖ ‖ (12)
Após a aplicação da decomposição QR e da pré-multiplicação porQ , o Algoritmo H M, descrito a seguir, é aplicado para
detectar os símbolos de maneira sequencial [10].
1) Algoritmo M: A partir do último elemento de s, i.e., sm, são
calculadas as métricas para todos os possíveis valores de
m m s ∈ a partir de 2 ,
ˆ
|
x
m−
r s
m m m|
, (13) sendo rm,m o (m,m)-ésimo elemento de R. Em seguida, asmétricas destes nós são ordenadas e somente os M nós com as menores métricas são mantidos, o restante é descartado. Os nós sobreviventes são estendidos em mais C nós cada um, resultando em MC ramos, destes, somente os M ramos com menor métrica são mantidos e expandidos novamente em mais
C ramos cada, e assim sucessivamente, até que a última camada (m) seja atingida. A Fig. 1 exemplifica o processo para um sistema com m = n = 3, M = 2 ramos e modulação quaternária, ou seja, C = 4. Note que na figura são ilustradas 3 camadas (dado m = 3), que se abrem cada uma em 4 possíveis símbolos (dado C = 4), dentre os quais são escolhidos 2 (dado
M = 2) referentes as menores métricas em cada camada. As métricas dos ramos são calculadas utilizando a função de minimização modificada, eq. (12). Para um comprimento da árvore i, 1 i m≤ ≤ , a métrica para cada ramo é:
2
1 1
|
x
m i− +− R
m i− +s
i|
, (14) sendo xi o i-ésimo elemento de x, Ri a i-ésima linha de R e sio vetor com os nós apropriados do ramo em particular.
Figura 1. Exemplo algoritmo M, com m = n = 3, M = 2 e C = 4. Números fora dos círculos indicam símbolos da constelação (nós), aqueles dentro dos círculos referem-se às métricas acumuladas até o respectivo nó. Os círculos sólidos indicam os M nós escolhidos pelo algoritmo em cada nível, enquanto os tracejados representam os nós excluídos da busca. As linhas tracejadas indicam os ramos não expandidos. O círculo duplo indica a solução obtida. Partindo-se da raiz, são expandidos os 4 possíveis símbolos da constelação naquela camada, dentre os quais apenas os 2 nós referentes as menores métricas são mantidos. A partir destes nós, são expandidos novamente mais 4 ramos para cada símbolo da constelação a partir de cada um, sendo novamente mantidos apenas os 2 referentes as menores métricas. O processo se repete até chegar a última camada, quando apenas o ramo refente a menor métrica é dado como solução do algoritmo.
B. Detector Esférico
O detector esférico (SD), realiza uma busca sobre os pontos
m
s∈ da malha que se encontram dentro de uma hiperesfera de raio d, centrada no vetor recebido y [9]. Reduz-se assim o espaço de busca e consequentemente a complexidade computacional final. O SD determina quais pontos da constelação estão dentro da esfera de busca; no entanto, se para isso o detector tiver que testar a distância de todos os pontos s para determinar quais estão dentro da esfera de raio d, então haverá uma busca exaustiva, cuja complexidade pode-se tornar proibitiva dependendo da dimensão do problema. Embora seja difícil determinar os pontos da treliça dentro de uma esfera m-dimensional, é trivial fazê-lo no caso unidimensional m = 1. Assim, pode-se ir da dimensão k para a dimensão k+1. Isso significa que todos os pontos na esfera de dimensão m e raio d podem ser determinados iterativamente ao se determinar todos os pontos contidos em esferas de dimensões menores (1,2, ..., m) e com o mesmo raio d. Consequentemente, o método de busca do SD pode ser representado por uma árvore, como no caso do QRD-M, sendo que os ramos do k-ésimo nível da árvore corresponde aos pontos da treliça que se encontram dentro da esfera de raio d e dimensão k [41]. Um esboço de funcionamento da busca no SD para um sistema com m = n = 3, raio de busca d = 6 e modulação binária pode ser visto na Fig. 2.
Formalizando o problema SD, ter-se-á que o ponto Hs pertencerá à esfera de raio d se e somente se
2
ˆ
2d
≥ −
‖
y Hs
‖
(15)Figura 2. Árvore de busca do detetor esférico com d = 6; número ao lado de cada ramo indica seu comprimento; números inscritos nos nós indicam métricas acumuladas; círculo duplo indica a solução ótima; ramos não visitados estão pontilhados. Partindo-se da raiz, os nós são expandidos em cada camada, obtendo-se ramos referentes a cada possível símbolo da constelação, e então calculadas suas métricas parciais (comprimento do ramo). Caso essa métrica parcial exceda d, aquele ramo deve ser cortado extrapola a esfera). Dessa forma, pode-se reduzir consideravelmente o espaço de busca, e consequentemente a complexidade da detecção, sem perda de desempenho.
Deve-se então quebrar o problema principal em sub-problemas, ou seja, ao invés de tentar determinar os pontos da constelação que se encontram dentro da hiperesfera de busca, e então determinar os pontos dentro de múltiplas esferas unidimensionais; para isso, aplica-se a decomposição QR à H em (15) e faz-se a pré-multiplicação por QH como em (12),
obtendo-se: 2 2
ˆ
d
−
≤
x Rs
‖
‖
(16)assim, o núcleo do SD consiste de um método de enumeração, proposto em [7], que enumera os possíveis símbolos dentro do raio da esfera. Este método de enumeração é baseado na observação condicional: (17) sendo k k l ∈
p o vetor composto pelos últimos k
componentes de p. Assim, a cada nova iteração o algoritmo executa uma busca de profundidade k na árvore de busca de m
níveis: para k = 1,
k
l
p será composto pela componente m de p; para k = 2,
k
l
p será composto pelas componentes m e m-1 de
p, e assim por diante. Ainda, graças à estrutura triangular superior de R, o valor k l p ‖ ‖ dependerá apenas de
ˆ
k ls
, onde ˆ k k l ∈s é o vetor composto pelos últimos k componentes de
ˆs
. Portanto, estabelecendo-se que para algum vetorˆ
s
∈
mde índice k, 2 2k
l >d
p
‖ ‖ , qualquer outro vetor para o qual
poderá ser excluído da busca. O SD utiliza esta observação para enumerar de maneira eficiente todos os pontos na hiperesfera dada pela eq. (16). Após esta enumeração o vetor de possíveis símbolos é salvo, e aqueles que apresentarem o menor valor de acordo com o critério da equação do MLD modificada (12) será o escolhido como símbolo de saída do algoritmo.
1) Escolha do Raio da Esfera: Para alcançar a maior eficiência possível com o SD, o raio da esfera de busca (d) torna-se um parâmetro crítico a ser cuidadosamente ajustado, ou ainda o raio inicial de busca, no caso de uma versão iterativa do algoritmo com raio de busca atualizável a cada iteração.
Definir d de maneira cuidadosa é essencial, pois, caso este seja muito grande a busca ainda terá complexidade exponencial com o número de usuários, não apresentando vantagem sobre o detector ML. Por outro lado, caso o raio seja muito pequeno o algoritmo terá grande chance de não encontrar nenhum ponto dentro da esfera.
Diferentes métodos para definição do raio de busca têm sido discutido na literatura [25], [3]. Uma definição simples para d consiste em atribuir a metade da distância entre dois símbolos da constelação, ou seja, a distância entre um símbolo da constelação e o limite da região de decisão [25]. Obviamente este método é mais adequado para constelações quadradas. Já em [3] foi proposto que d seja definido pela distância entre a estimativa de Babai e o vetor recebido x, ou seja, d= −‖x HsˆB‖, sendo †
B
ˆ =
s H x, com {.}† a pseudo-inversa de uma matriz.
O SD pode ser dotado de um sistema de poda (pruning): toda vez que o algoritmo chega até o nó final de um ramo da árvore de busca com uma métrica acumulada M, supõe-se que a solução de (12) deva estar dentro da esfera ‖x Rs− ˆ‖2≤M.
Então, caso M<d pode-se fazer d M= , e continuar o algoritmo com um raio de busca menor. Com isso, a árvore de
busca sofrerá sucessivas podas que diminuirão a quantidade de nós visitados em relação ao algoritmo original [4].
Neste sistema, o raio inicial é definido como
d
= ∞
, e ele é atualizado toda a vez que o algoritmo encontrar um nó cuja distância Euclidiana em relação ao vetor recebido seja menor do que o raio de busca atual. Com isso, as tarefas críticas de decidir qual será o raio inicial, e definir uma função de atualização para o raio, são eliminadas.C. Detector MIMO Guloso
Como ocorre aos outros dois algoritmos aqui apresentados, o detector de busca gulosa (greedy search detector - GSD) inicia o processo de detecção realizando uma decomposição QR da matriz de canal H, operando igualmente sobre a mesma função de otimização, eq. (12). O GSD utiliza-se da característica triangular superior da matriz R para calcular a distância Euclidiana passo-a-passo, da antena m até a antena um, conforme o gráfico de fluxo esquematizado na Fig. 3.
O método GSD é organizado em m estágios, cada estágio representa uma antena; em cada estágio existem C nós; cada nó está conectado a C nós do estágio anterior e a C nós do estágio posterior, com exceção do estágio 1, pois não possui um estágio anterior e assim é conectado ao nó raiz, bem como o estágio m, o qual não possui um estágio posterior e por isso é conectado ao nó final. Entre os nós tem-se a distância Euclidiana parcial, ou seja, a métrica dos nós anteriores somados à métrica do nó atual, até que ao final do estágio m
tem-se a métrica total dos vetores candidatos.
Figura 3. Gráfico de fluxo do GSD para um sistema genérico de m antenas transmissoras e modulação com C símbolos; nós representam símbolos da modulação utilizada.
Tendo como referência o problema descrito em (12), a distância Euclidiana do vetor recebido ao vetor candidato, por exemplo, em um sistema com m = n = 3, é dada por:
Δ =
δ
1δ
2δ
3 = x1 x2 x3 − R11 R12 R13 0 R22 R23 0 0 R33 s1 s2 s3 2 (18)Para este caso ainda, as métricas parciais serão dadas por: 2
3
x
3R s
33 3δ
=
‖
−
‖
,
δ
2=
‖
x
2−
(
R s
22 2+
R s
23 3)
‖
2, (19)
δ
1=
‖
x
1−
(
R s
11 1+
R s
12 2+
R s
13 3)
‖
2.Duas etapas distintas são executadas no processo de detecção GSD: a) etapa de redução de nós e, em seguida, b) etapa de extensão de ramos [14]. Na primeira é feita uma redução da quantidade de nós através de uma busca em árvore análoga à realizada pelos algoritmos QRD e SD anteriormente apresentados. Esta busca reduz a quantidade de vetores candidatos conforme ilustrado na Fig.4, ilustrado para o caso
m = n = 3.
Figura 4. Gráfico de fluxo para o estágio de redução de nós do GSD de um sistema com m = n = 3 e modulação quaternária. Esta etapa reduz os nós possíveis do sistema, reduzindo assim a complexidade. Os nós poderão ser eliminados nesta etapa com base em suas respectivas métricas parciais, eq. (19). Tendo em mãos o conjunto de nós resultante do processo de redução, a etapa de extensão de ramos produz os candidatos que serão de fato avaliados pelo algoritmo, resultando aquele de menor distância Euclidiana total.
A etapa seguinte consiste na extensão dos ramos, i.e., do último estágio até o primeiro, o algoritmo realiza trocas do símbolo do estágio em questão pelos outros possíveis símbolos, sendo assim capaz de formar uma lista de vetores da qual selecionará aquele que melhor satisfaça o problema em (12).
VI. ANÁLISE DE DESEMPENHO E COMPLEXIDADE Considerando um sistema MIMO com m = n = 4 antenas, modulação de alta ordem 16-QAM e sistema de comunicação sujeito ao desvanecimento Rayleigh plano, simulações Monte-Carlo foram realizadas tendo em vista comparar o desempenho e a complexidade dos três detectores MIMO sub-ótimos, i.e., detector decomposição QR (QRD), detector esférico (SD) detector de busca gulosa (GSD) , com e sem o auxílio da redução treliça (LR). Tais resultados numéricos foram obtidos com o auxílio do simulador matemáticoMatlab. Foram caracterizadas as seguintes figuras de mérito:
a) desempenho em termos de taxa de erro de símbolo SER
×
SNRb) efeito da correlação do canal MIMO sobre o desempenho SER
×
SNRc) complexidade dos detectores
×
SNR.A relação sinal-ruído adotada incluem as regiões de baixa, média e alta SNR, i.e., SNR
∈
[0, 26] dBA. Desempenho dos Detectores MIMO
Na Fig. 5 são apresentadas as curvas de taxa de erro de símbolo (SER - symbol error rate) em relação ao incremento da SNR. Diferentemente do resultado apresentado em [1], na
qual a modulação de baixa ordem QPSK foi adotada, neste trabalho, o detector GSD apresentou desempenho muito abaixo do aceitável, mesmo na versão auxiliada pelo LR a melhora no desempenho foi praticamente nula, já o detector QRD-M apresentou desempenho ML para M = 128, como pode ser visualizado nesta mesma figura. No entanto, adotando-se M = 127, o desempenho QRD-M apresentou-se insuficiente, mesmo com o auxílio da redução LR, houve apenas uma marginal melhoria de desempenho. O SD manteve o desempenho ML, como esperado. Assim, na versão auxiliada por LR, o maior ganho esperado na estrutura LR-SD é relativo à sua complexidade de implementação.
B. Efeito da Correlação Espacial do Canal MIMO
A Figura 6.a apresenta os desempenhos dos detectores investigados neste trabalho, em termos de SER
×
SNR, para canais medianamente correlacionados (ρ
= 0,5), enquanto a Figura 6.b apresenta a mesma figura de mérito quando considerado canal fortemente correlacionado (ρ
= 0,9). Pode-se notar que o desempenho da estratégia greedy, com e sem LR, permanece consideravelmente pobre nos cenários investigados. Nota-se também que a estratégia QRD-M, com M=127, com e sem LR, passa a apresentar um desempenho substancialmente degradado para essas configurações. Por outro lado, as técnicas SD e QRD-M para M=128, com e sem LR, continuam a apresentar desempenhos satisfatórios. De uma forma geral, percebe-se que o aumento do índice de correlação entre antenas implica inevitavelmente em uma deterioração de desempenho desses detectores. Para os detectores baseados nas estratégias SD e QRD-M com M=128, e uma SER alvo de 10-3, a perda de SNR quando sepassa da condição de canal descorrelacionado para a condição de canal MIMO medianamente correlacionada é de aproximadamente 3 dB. Por outro lado, quando se passa do cenário medianamente correlacionado para fortemente correlacionado, essa perda de SNR é ainda muito maior, para
≈11
dB, evidenciando a condição de canal muito mais desfavorável ao processo de comunicação.Figura 5. SER para os detectores QRD-M, GSD e SD em sistema com m = n = 4 e modulação 16-QAM.
Figura 6. SER para os detectores QRD-M, GSD e SD em sistema com m = n = 4 e modulação 16-QAM e canais MIMO a) medianamente correlacionados,
ρ= 0,5; b) fortemente correlacionado, ρ= 0, 9, conforme modelo da seção II.A.
C. Complexidade Computacional
A complexidade dos algoritmos de detecção MIMO com ou sem auxílio LR foi analisada em termos de operações reais necessárias. Os três algoritmos aqui discutidos fazem uso da decomposição QR como parte de seus respectivos processos de busca pelo melhor vetor candidato. A complexidade da técnica LR encontra-se na primeira linha da Tabela I; uma vez que o algoritmo utilizado para realizar a redução treliça utiliza da decomposição QR, pode-se notar que sua complexidade é muito próxima da complexidade da decomposição em si (segunda linha). Assim, a complexidade final dos detectores MIMO sub-ótimos auxiliados por LR será a soma da complexidade do detector em questão à complexidade da decomposição QR e à complexidade da redução treliça.
Evidencia-se através dos resultados apresentados na Tab. I que a complexidade da decomposição QR, da ordem de
3 (m )
, é dominante na determinação da complexidade das funções de busca centrais dos algoritmos QRD-M e GSD, as quais apresentam complexidade da ordem de (m2) e
2 2
(
m C
)
, respectivamente. Além disto, o SD, em seu melhor caso (menor complexidade), i.e., operando na região de elevada SNR, apresenta complexidade da ordem de(m2).TABELA I. COMPLEXIDADE DO DETECTORES MIMO, EM TERMOS DE OPERAÇÕES REAIS: REDUÇÃO TRELIÇA, ETAPA DE DECOMPOSIÇÃO QR (COMUM) E COMPLEXIDADE DAS DEMAIS ETAPAS DOS TRÊS DETECTORES MIMO.
TÉCNICA COMPLEXIDADE LR 2 3 2 5 29 3 3m + m +3m− QR 2 3 2 1 2 3m +m +3m− QRD-M
(
m2+7m M)
+6C GSD(
m2 7m C)
2(
m2 5m 6)
C + + + + SD(
m2 5m C)
m γ +Elaborando mais, observe-se que uma vez que a decomposição QR é uma etapa comum aos três detectores, a complexidade desta etapa comum é destacada na 2ª linha da Tab. I. Para as demais etapas, o QRD-M apresenta complexidade fixa em relação à SNR, dependendo apenas do tamanho M, quantidade de antenas transmissoras, m, e ordem da modulação, C. Obviamente, quanto maior o M, mais ramos serão expandidos, maior a complexidade e melhor é a qualidade da solução encontrada pelo algoritmo QRD-M. Por sua vez, o detector de busca gulosa GSD também apresenta complexidade fixa em relação à SNR, sendo dependente apenas da quantidade de antenas transmissoras e da ordem da modulação.
A complexidade do detector esférico SD é variável, estocástica e dependente das condições do canal e do nível de ruído [9], além da quantidade de antenas e da ordem de modulação. Dependendo da combinação destes fatores, a complexidade do SD pode ser incrementada de polinomial quadrática (melhor caso) a exponencial [42]. Por isso, constitui uma tarefa árdua e bastante complexa a obtenção de uma expressão fechada para descrever a complexidade do SD. A expressão obtida aqui é uma aproximação simplificadora, porém suficiente para a análise proposta neste trabalho. Assim, na Tab. I, além dos parâmetros m e C, na análise de complexidade do SD considerou-se o parâmetro
γ
, o qual representa a dependência da complexidade SD com as condições do canal (ou nível de ruído), sendo portanto1
SNR
γ ∝ − . Assim, para uma análise mais completa acerca da
complexidade do detector esférico, o leitor deve consultar [42]. Em [43] os autores fazem uma análise extensiva para a complexidade de vários detectores MIMO sub-ótimos.
Mesmo que somando a complexidade do LR à do SD, o que aparentemente elevaria a complexidade final, na prática não é o que acontece, devido às características anteriormente citadas do SD, pois devido à redução treliça a matriz de canal reduzida é mais próxima da ortogonalidade, fazendo com que sejam necessárias menos expansões de ramos para que o algoritmo encontre a solução ML ou muito próxima à ML. Isso pode ser observado na Fig. 7, a qual mostra, de forma complementar à Tab. I, as operações equivalentes obtidas através dos tempos computacionais para as implementações em Matlab dos três detectores. Tais tempos computacionais foram convertidos em números de operações reais equivalentes, dividindo-se tais tempos pelo tempo médio necessário à realização de uma operação soma real.
Figura 7. Complexidade a partir do tempo computacional equivalente, em relação da SNR. Sistema com m = n = 4 e modulação 16-QAM.
Neste gráfico, pode-se observar a vantagem do LR-SD sobre o SD; por exemplo, para SNR = 26dB, o LR-SD realizou aproximadamente 20% menos operações. Em níveis de SNR um pouco mais baixos, essa proporção é mantida, enquanto que para a região de baixa SNR, a diferença é um pouco menor, mas o LR-SD sempre apresenta vantagem em termos de redução computacional.
Para os demais detectores, há uma complexidade constante em relação à SNR, conforme explicitado anteriormente; portanto, com a aplicação do LR, suas complexidades apresentaram-se ligeiramente maiores; isso é devido ao acréscimo de operações causado pelo LR, o qual não é compensado pela quantidade de ramos expandidos, pois nestes detectores a quantidade de ramos expandidos é fixa. No caso do QRD-M esperava-se, entretanto, que com o auxilio do LR fosse possível utilizar um valor de M menor para diminuir a complexidade ao mesmo tempo que este mantivesse desempenho ML. Assim, pode-se conjecturar que sob um sistema com uma maior ordem de modulação e/ou quantidade de antenas o resultado em termos de redução de complexidade ou melhoria de desempenho, quando auxiliado por LR, seria mais satisfatório. Mesmo assim, em situações de baixa SNR, sua complexidade ainda é menor do que a do SD e do LR-SD, podendo ser uma opção para um sistema que opera nesta faixa de SNR.
Os dados obtidos, tanto em relação ao desempenho quanto em relação à complexidade, nos permitem concluir que dentre os detectores MIMO analisados, o SD mantém-se como a melhor opção. Com o auxilio do LR, a sua complexidade é reduzida substancialmente, tornando ainda mais vantajosa sua utilização em sistemas de comunicação práticos.
D. Implementabilidade: Detector MIMO de Busca Guiada Híbrido SD—QRD-M
Sabe-se que o desempenho alcançado pelo detector esférico é compatível com o alcançado pelo detector de máxima verossimilhança [3]. Como mostrado na subseção VI.A, os detectores baseados na estratégia SD e na estratégia QRD-M com M=128 apresentaram desempenhos satisfatórios e equivalentes. Porém, foi mostrado na subseção VI.B a existência de uma grande diferença entre os detectores MIMO sub-ótimos sob o ponto de vista da complexidade computacional. Enquanto o detector baseado na estratégia QRD-M com M=128 se mostrou menos complexo para regiões de baixa SNR (abaixo de 6 dB conforme indicado na
Figura 7), o detector LR-SD apresentou menor complexidade para os demais regiões de SNR.
Visto que as técnicas QRD-M com M=128 e LR-SD alcançaram desempenho ML, uma estratégia promissora do ponto de vista de engenharia consiste em combinar ambas estratégias, caracterizando um detector MIMO de busca guiada híbrido. Primeiramente o detector faz uma estimativa da SNR na qual o sistema está operando. Dependendo dos parâmetros de comunicação adotados, como ordem de modulação, e número de antenas transmissoras e receptoras, o detector então decide qual estratégia de detecção irá executar. Essa decisão é obtida comparando-se a SNR de operação com a SNR na qual as curvas referentes às complexidades dos detectores se interceptam, a qual corresponde a SNR=6 dB, para um sistema MIMO 4
×
4 16-QAM, por exemplo. Obviamente, seria necessário uma etapa de ajuste inicial para configurar esses valores de SNR, para cada possível configuração de sistema MIMO (basicamente determinado pelo número de antenas no transmissor e receptor). Este ajuste inicial, porém, não implicaria em um aumento de complexidade do detector híbrido em condições normais de operação, dado que seria feito apenas quando a topologia do sistema MIMO fosse alterada.VII. CONCLUSÃO
Com o intuito de encontrar alternativas para a complexidade exponencial inerente ao detector MLD, três detectores sub-ótimos adequados para sistemas MIMO foram analisados, em versões com e sem o auxilio da técnica de redução treliça. Os algoritmos QRD-M, GSD e SD para detecção em canais MIMO foram comparados em termos de desempenho SER
×
SNR, bem como complexidade computacional, caracterizado pelo número de operações reais necessárias. O melhor compromisso desempenho-complexidade foi obtido pelo LR-SD, versão do detector esférico auxiliado pela técnica de redução treliça, o qual manteve desempenho ML, porém sua complexidade final apresentou-se menor que a do SD, do QRD-M e do LR-QRD-M. Note-se que o detector de busca gulosa GSD resultou em substancial degradação de desempenho, mostrando-se inadequado para as condições de operação e configurações de sistema utilizados. Por outro lado, o QRD-M apresentou-se adequado do ponto de vista do compromisso desempenho×
complexidade apenas para situações de baixa SNR, onde sua complexidade ainda é menor que a do SD e do LR-SD.Adicionalmente, tendo em vista que a estratégia mais eficiente dentre os detectores MIMO analisados depende da SNR de operação do sistema, este trabalho discutiu a implementação de um detector híbrido para sistemas MIMO, o qual seja capaz de escolher entre as estratégias LR-SD e QRD-M, com M=128, de acordo com as condições do canal comunicação disponíveis.
Complementarmente, neste trabalho analisou-se o impacto da correlação espacial do canal MIMO sobre a degradação de desempenho dos três detectores MIMO sub-ótimos. três casos de correlação espacial foram considerados: nula, (ρ= 0) média (ρ= 0,5) e elevadíssima correlação (ρ= 0,9). A menor degradação no desempenho foi alcançado com o uso dos detectores MIMO QRD-M com M=128 e SD. De uma
forma geral, o aumento do índice de correlação entre antenas implica em uma deterioração de desempenho em todos os detectores MIMO analisados. Assim, detectores SD e QRD-M com M=128, e uma SER alvo de 10-3, resultaram em uma
perda de SNR de de aproximadamente 3 dB quando o canal MIMO 4
×
4 passa da condição de descorrelacionado para medianamente correlacionado . Por outro lado, quando se passa do cenário medianamente correlacionado para fortemente correlacionado, essa perda de SNR é ainda muito maior (11 dB), evidenciando a condição de canal muito mais desfavorável ao processo de comunicação.REFERÊNCIAS
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Yuri Mendes Mostagi received his B.S. in Electrical Engineering from North of Paraná University, PR, Brazil, in December 2008, and his M.Sc. from Londrina State University in July 2012. Since 2013 actuating as Professor of the Pitágoras Faculty, Londrina, ministering the disciplines of Signals and Systems Analysis and Control Theory. He is currently working towards his Ph.D. at Londrina State University. His research interests includes physical layer aspect such multiuser coherent detection, MIMO systems and search algorithms.
José Carlos Marinello Filho received his B.S. in Electrical Engineering (Summa Cum Laude) from Londrina State University, PR, Brazil, in December 2012, and his M.Sc. from the same institution in November 2014. He is currently working towards his Ph.D. at Londrina State University, Paraná, Brazil. His research interests include physical layer aspects, specially heuristic and convex optimization of 4G and 5G MIMO systems.
Taufik Abrão (SM’12) received the B.S., M.Sc., and Ph.D. degrees in electrical engineering from the Polytechnic School of the University of São Paulo, São Paulo, Brazil, in 1992, 1996, and 2001, respectively. Since March 1997, he has been with the Communications Group, Department of Electrical Engineering, Londrina State University, Londrina, Brazil, where he is currently an Associate Professor of Communications engineering. In 2012, he was an Academic Visitor with the Communications, Signal Processing and Control Research Group, University of Southampton, Southampton, U.K. From 2007 to 2008, he was a Post-doctoral Researcher with the Department of Signal Theory and Communications, Polytechnic University of Catalonia (TSC/UPC), Barcelona, Spain. He has participated in several projects funded by government agencies and industrial companies. He is involved in editorial board activities of six journals in the communication area and he has served as TPC member in several symposium and conferences. He has been served as an editorial board of the IEEE COMMUNICATIONS SURVEYS & TUTORIALS since 2013 and IET Journal of Engineering since 2014. He is a member of SBrT and a senior member of IEEE since 2012. His current research interests include communications and signal processing, specially the multi-user detection and estimation, MC-CDMA and MIMO systems, cooperative communication and relaying, resource allocation, as well as heuristic and convex optimization aspects of 3G and 4G wireless systems. He has co-authored of more than 170 research papers published in specialized/international journals and conferences.
