PEDAGÓGICA E CONFLITOS COGNITIVOS
Wellington Hermann UNESPAR – Campus de Campo Mourão
eitohermann@gmail.com
Ediane Simplício da Silva UNESPAR – Campus de Campo Mourão
edianesimplicio@hotmail.com
Lucimara dos Santos UNESPAR – Campus de Campo Mourão
lusymara_92@hotmail.com
Valdete dos Santos Coqueiro UNESPAR – Campus de Campo Mourão
vcoqueiro@yahoo.com.br
Amauri Jersi Ceolim UNESPAR – Campus de Campo Mourão
ajceolim@gmail.com
Resumo: Este texto é um ensaio teórico, constituindo um recorte preliminar da fundamentação de uma pesquisa qualitativa que está em desenvolvimento, e trata do processo de aprendizagem a partir da identificação de conflitos cognitivos durante a realização de atividades de Modelagem Matemática com características mais fechadas e mais abertas. Realizamos estudos sobre características de modelos a partir de uma abordagem semântica, sobre Modelagem Matemática como alternativa pedagógica, a respeito de propostas de encaminhamentos para utilização de Modelagem Matemática no ensino e sobre uma proposta cognitivista de aprendizagem baseada em elementos da Didática da Matemática, a saber: imagens mentais, imagens do conceito, modelos e definição do conceito. Esse estudo resultou na construção de um óculos a partir do qual pode-se perceber aspectos relacionados à aprendizagem de matemática em ambientes configurados pela Modelagem Matemática.
Palavras-chave: Modelos Mentais. Imagens Mentais. Modelagem Matemática. Conflitos Cognitivos.
Introdução
Na idade antiga, Eratóstenes (276-196 a.C.), diretor da biblioteca de Alexandria, no antigo Egito, calculou a medida da circunferência máxima da Terra, encontrando como
resultado 40000 quilômetros (aproximadamente, convertendo para uma unidade de medida atual). Esse foi um feito notável considerando a época que aconteceu, devido a diversos fatores. O primeiro que podemos constatar é que ele, já naquela época, imaginava que a Terra seria esférica. Outro fator foi sua hipótese que os raios solares incidiam paralelamente sobre a Terra. Além disso, podemos inferir que o aparato tecnológico que ele dispunha para calcular a distância entre as cidades de Siene e Alexandria e para calcular o ângulo referente ao vértice localizado no centro da circunferência que representava um corte da Terra era rudimentar1. Também é notável o conhecimento daquilo o que chamamos hoje de Geometria Euclidiana envolvido nesse cálculo.
Embora saibamos que existem muitos outros fatores envolvidos na resolução do problema como essa realizada por Eratóstenes, como por exemplo: a influência da religião (ou falta de influência), os interesses políticos e pessoais, as influências políticas e econômicas, enfim, todas as coisas que influenciaram a visão de mundo de Eratóstenes; não cabe detalhá-los aqui. Para os propósitos desse trabalho, basta salientar a articulação desses diversos fatores na resolução de uma situação problemática. Mas essa articulação não é algo que acontece apenas pela existência dos fatores. Para que ela aconteça, é necessário um meio e este é a mente humana. Disso decorre que a resolução de um problema é fortemente afetada pelas representações que os indivíduos fazem das situações e dos fenômenos envolvidos, mas essa é uma via de mão dupla: na medida em que modela-se uma situação problemática por meio das representações, estas também são influenciadas pelo processo e tendem a se modificar. É a partir dessa mudança que pensamos as potencialidades do uso da Modelagem Matemática como alternativa pedagógica em aulas de matemática.
Em atividades de Modelagem Matemática, semelhantemente ao que apresentamos a respeito do cálculo feito por Eratóstenes, os alunos devem buscar informações, coletar dados, elaborar conjecturas e testar hipóteses na resolução de problemas que surgem da situação, e nesse processo articulam-se suas imagens mentais relacionadas aos conceitos envolvidos. Por vezes, algumas dessas imagens mentais não são suficientes para que o aluno interprete e, consequentemente, avance em direção à solução do problema (D‟AMORE, 2007). Outas vezes, as imagens são conflitantes, porém o conflito só se torna evidente durante o processo de modelagem.
Na pesquisa que estamos desenvolvendo, temos como objetivo investigar o processo de aprendizagem a partir da identificação de conflitos cognitivos durante a realização de
atividades de Modelagem Matemática. A investigação ainda está em andamento e apresentamos nesse texto apenas um recorte inicial, na forma de um ensaio teórico a respeito de nossas concepções e estudos sobre a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica, juntamente com questões que envolvem as imagens mentais, imagens do conceito, modelo do
conceito e definição do conceito. Além disso, apresentamos uma proposta de
encaminhamento para a utilização de Modelagem Matemática no ensino de matemática. Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica que pode servir para preencher a lacuna que há entre a matemática da sala de aula e a realidade dos sujeitos, tornando a aprendizagem mais significativa. Em linhas gerais, Almeida, Araújo e Bisognin (2011) afirmam que
[...] uma atividade de Modelagem Matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática), de uma situação final desejada (que representa a solução para a situação inicial) e de um conjunto de procedimentos e conceitos necessários para passar da situação inicial para a situação final (p. 21).
Uma atividade de Modelagem Matemática compreende, geralmente, algumas ações, tais como a escolha de um tema a estudar, a inteiração dos alunos acerca do tema, a formulação de uma ou mais questões referentes a uma problemática advinda do tema, a seleção de variáveis, a elaboração de hipóteses, a construção e a validação de um modelo matemático, a resolução da questão e a comunicação dos resultados (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012).
Embora importante, a obtenção de um modelo não é mais que uma das etapas do processo de modelagem, porém é pertinente definirmos o que entendemos por modelo. O Dicionário Oxford de Filosofia (BLACKBURN, 1997) define modelo como “representação de um sistema por outro, usualmente mais familiar, cujo funcionamento se supõe ser análogo ao do primeiro”. A principal característica de um modelo é sua representatividade. Batista, Salvi e Lucas (2011), a partir de uma abordagem semântica da relação entre modelos e teorias, discutem o papel dos modelos como recursos epistêmicos, tendo como base as pesquisas de Morgan e Morrison (1999)2, e afirmam que:
2 MORGAN, M. S.; MORRISON, M. Model as Mediators: perspectives on natural and social science. Cambridge University Press, New York, 1999.
- Os modelos ajudam a entender e estudar o comportamento do objeto/entidade a ser modelado, sendo preciso, primeiro, entender o que se demonstra no modelo para depois discutir questões do seu papel na representação do real.
- Aprende-se a partir do estudo de uma modelação da realidade que, quando se cria um modelo, cria-se um tipo de estrutura representativa, mas quando se manipulam ou calculam ideias em um modelo, o que está sob estudo são alguns aspectos da realidade.
- Ao estudar a estrutura pertencente ao modelo, tem-se um ponto de partida para a compreensão de um mundo possível. Ex. levantamentos de probabilidades (dados experimentais) em sistemas astrofísicos, em organizações moleculares, etc.
- Também se aprende a respeito do mundo a partir da construção de um modelo (p. 6-7).
Um modelo não surge em um papel (ou qualquer outro tipo de mídia) espontaneamente, apenas pela existência de um aparato conceitual conciso, ou pela disponibilidade de dados empíricos a respeito do fenômeno em questão, disponibilidade tecnológica ou de recursos materiais, mas é antes um produto da mente humana, responsável por articular esses elementos diversos e sintetizá-los na forma de uma representação, um registro. Considerando isso, as frases anteriores de Batista, Salvi e Lucas (2011) podem ser pensadas não apenas relacionadas a teorias científicas, mas também para questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem a partir de perspectivas interdisciplinares.
Na confecção de um modelo articulam-se percepção da realidade, teorias, cultura e conhecimentos, o que o torna, portanto, social e historicamente situado. O poder da utilização da Modelagem Matemática no ensino de matemática está no fato que modelo e representação são construídos simultaneamente a partir da exploração e investigação, levantamento e testagem de hipóteses e, nesse processo, aspectos pessoais relativos a determinado conceito podem entrar em conflito, exigindo novas interpretações para dar conta da situação emergente.
Blum3 (1995, apud BARBOSA, 2001) elenca cinco motivos para a utilização da Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino de matemática: a motivação como um estímulo à aprendizagem do aluno, a facilitação de aprendizagem de conteúdos matemáticos, a preparação para aplicar a matemática em diferentes áreas, a formação de um sujeito com habilidades investigativas e a compreensão do papel social da matemática. Barbosa (2004), afirma que todos os motivos são importantes, mas que o último,
3
BLUM, W. Applications and Modelling in mathematics teaching and mathematics education – some important aspects of practice and of research. In: SLOYER, C. et al. Advances and perspectives in the teaching of
compreensão do papel sociocultural da matemática, deve ser salientado, já que está diretamente relacionado aos objetivos de formação de sujeitos “para atuar ativamente na sociedade e, em particular, capazes de analisar a forma como a matemática é usada nos debates sociais” (p. 2).
Apesar dos mais de trinta anos de propostas e pesquisas que corroboram os motivos para a utilização de Modelagem Matemática para o ensino de matemática, a sua presença em sala de aula é ainda muito tímida. Como esse tema foge ao escopo desse trabalho, limitamo-nos apenas a remeter os interessados ao artigo de Ceolim e Caldeira (2013), que apresentam e discutem obstáculos e resistências elencados por pesquisadores com relação a utilização da Modelagem Matemática para o ensino de matemática. Para esse trabalho, porém, interessa-nos as propostas de encaminhamentos para a utilização da Modelagem Matemática.
Propostas de encaminhamentos para a utilização da Modelagem Matemática no ensino
Dentre as diversas propostas existentes e possíveis para a utilização de Modelagem Matemática no ensino, comentamos duas semelhantes que, conforme os próprios proponentes ressaltam, não esgotam, nem pretendem esgotar, todas as possibilidades.
Embora Almeida, Araújo e Bisognin (2011) afirmem que
[...] as situações configuradas na literatura como „três momentos‟ de Almeida e Dias (2004) e „três casos‟ de Barbosa (2001) não têm o mesmo significado uma vez que, enquanto a primeira se refere à familiarização gradativa dos alunos com a Modelagem Matemática, a segunda trata de possibilidades no que diz respeito a atribuições de alunos e professor, respectivamente, durante o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática na sala de aula (p. 30-31),
os três momentos de Almeida e Dias (2004) também são determinados em termos de atribuições de alunos e professores. Em ambas as situações, sugere-se uma trajetória gradativa entre controle do professor sobre as atividades sugeridas e a autonomia exploratória e investigativa dos alunos. A diferença entre as duas fica por conta da intenção dos autores. Enquanto para Barbosa (2001) os três casos constituem um sistema classificatório para atividades de Modelagem Matemática, de acordo com a extensão e às tarefas que cabem ao professor e alunos, os três momentos de Almeida e Dias (2004) é uma proposta gradativa para a utilização de Modelagem Matemática no ensino, partindo de situações em que o professor tem maior controle sobre as atividades rumo a maior autonomia dos alunos.
Ao longo dos últimos cinco anos, temos desenvolvido atividades de Modelagem Matemática em cursos de extensão, orientado e participado de trabalhos de iniciação científica, de conclusão de cursos e PDE - Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná - e temos percebido que as propostas de atividades de Modelagem Matemática não são essencial e ontologicamente aquilo o que convencionamos chamar por abertas ou fechadas. As propostas têm seu nível de abertura determinado pela interação entre os sujeitos envolvidos, seus conhecimentos, seus objetivos e suas concepções a respeito do ensinar e aprender. É conveniente que façamos um parêntese para explicar o que entendemos por atividades fechadas e abertas:
Convencionamos denominar por atividades fechadas aquelas em que o professor, guiado por um conteúdo, propõe um problema, fornece os dados e determina um tempo para a resolução. Nesse caso, o aprendizado dos alunos deve se limitar ao conteúdo que o professor pretende ensinar e deve acontecer no período de tempo estipulado, e isso enclausura as possibilidades. Em tese, o professor tem, assim, total controle das atividades, do tempo e dos resultados das atividades.
Denominamos por atividades abertas aquelas em que um tema é proposto pelo professor, pelos alunos ou em conjunto, não há um problema claro e definido a ser resolvido, um tempo determinado ou um conteúdo a ser ensinado/aprendido. Os problemas são definidos ao longo das atividades pelos alunos organizados em grupos e os conteúdos surgem a partir da necessidade de resolução de tais problemas. O tempo também é determinado pela resolução dos problemas propostos e tais problemas não necessitam ser os mesmos para todos os grupos de alunos. Cada grupo pode determinar seus próprios problemas e resolvê-los. Ao professor cabe a tarefa de orientar o processo, auxiliando e fornecendo informações necessárias, ou indicando onde encontra-las. A partir dessa perspectiva, existe abertura para tratar de diversos conteúdos que podem surgir.
É inegável as semelhanças, tanto entre o que chamamos de atividades fechadas com o primeiro caso de Barbosa (2001) e com o primeiro momento de Almeida e Dias (2004), quanto das atividades abertas com o terceiro caso e com o terceiro momento dos respectivos autores. Porém, entre os extremos da nossa proposta, ou seja, entre atividades fechadas e abertas existem uma infinidade de possibilidades, cabendo ao professor, como portador da
intenção didática, dosar a abertura que pretende dar às atividades. Por exemplo, o professor pode querer tratar de um conteúdo específico, ou ter um tempo determinado para desenvolver as atividades, ou mesmo ter uma turma que não está acostumada a trabalhar com atividades abertas. Nessa última opção, o professor pode iniciar com atividades fechadas e ir abrindo aos poucos as propostas, buscando a familiarização com situações mais abertas e maior autonomia dos alunos.
A importância da definição do que denominamos por atividades fechadas e abertas para nossa pesquisa é fundamental, pois o ambiente de aprendizagem em que ela acontece é criado a partir da proposta de atividades conduzidas entre esses dois extremos. Temos como objetivo investigar o processo de aprendizagem a partir da identificação de conflitos
cognitivos durante a realização de atividades de Modelagem Matemática com características
mais fechadas e mais abertas.
Imagens mentais, imagens do conceito, modelos e definição do conceito
Retomando a questão da representatividade, mas a partir de uma perspectiva mais ampla, que aborda não só questões científicas, mas também as interpretações pessoais de mundo, pode-se afirmar que todo indivíduo utiliza/produz imagens mentais, na forma de figuras ou proposições, para dar conta de compreender o mundo. Segundo D‟Amore (2005), a imagem mental
[...] está condicionada por influências culturais, estilos pessoais, em poucas palavras, é o produto tópico do indivíduo, mas que apresenta características comuns a indivíduos diferentes [...]. Entretanto, a imagem mental é interna e, pelo menos em primeira instância, é involuntária (p. 87).
As imagens mentais não são estáticas, mas dinâmicas e podemos considerá-las como parte de um processo. Para compreender determinado conceito, o indivíduo deve criar imagens elaboradas, mais ou menos conscientes, a seu respeito. Segundo D‟Amore (2005),
[...] o estudante constrói uma imagem I1 de um conceito C. Ele acredita que
essa imagem seja definitiva. Mas, em um certo instante de sua história cognitiva, recebe informações sobre C que não são contempladas pela imagem I1 que ele possuía. Ele precisa então (e isso pode ser provocado por
um conflito cognitivo, desejado pelo professor) adequar a „velha‟ imagem I1,
transformando-a em uma nova, mais ampla, que não apenas conserve as informações precedentes, mas também contemple as novas (p. 88).
Esse processo pode se repetir muitas vezes durante a história cognitiva do indivíduo, em relação ao desenvolvimento pessoal acerca de um determinado conceito C. Assim, para obter uma aproximação do conceito C, o indivíduo (estudante) pode passar por uma sequência de imagens, cada vez mais abrangentes.
Tall e Vinner (1981) utilizam a expressão imagem do conceito para descrever “a estrutura cognitiva total de que está associada com o conceito, o que inclui todas as imagens mentais, propriedades e processos associados” (p. 152). A imagem do conceito é, então, formada pelas várias imagens mentais que um indivíduo desenvolve acerca de um determinado conceito, podendo, inclusive, referirem-se a diferentes aspectos desse conceito. Os autores afirmam que a imagem do conceito não precisa ser sempre coerente, pois diferentes estímulos podem ativar partes diferentes de sua constituição na mente do indivíduo, porém “todos os atributos mentais associados ao conceito, sejam eles conscientes ou inconscientes, devem ser incluídos na imagem do conceito; eles podem conter as sementes de conflitos futuros” (TALL; VINNER, 1981, p. 152).
Por exemplo, o primeiro contato na escola de uma criança com a multiplicação envolve números naturais. Isso pode induzir nela o desenvolvimento da imagem associada ao conceito de multiplicação que o produto deve ser sempre maior que as parcelas. Ao serem apresentados os números racionais, a criança pode ter problemas para compreender multiplicações entre números com valores entre zero e um.
Em D‟Amore (2005) encontramos a ideia de modelo mental do conceito que, segundo o autor, é “o conjunto das imagens mentais elaboradas [...], relativas a um determinado conceito” (p. 87). Os modelos mentais são formados na medida em que as imagens mentais se tornam estáveis e são suficientemente fortes para resistir a diferentes situações e incluem as argumentações e informações novas a respeito do conceito (D‟AMORE, 2005).
Como se pode perceber, existe certa similaridade entre imagem do conceito proposta por Tall e Vinner (1981) e o modelo do conceito apresentado por D‟Amore (2005), mas também existem algumas diferenças. D‟Amore (2007) diz que no processo de aprendizagem de algum conceito, o indivíduo elabora uma sequência de imagens, uma substituindo a outra. Pode acontecer que em determinada situação essa imagem se mostre inadequada quando relacionada a outra imagem desse mesmo conceito e assim, cria-se um conflito entre as imagens (D‟AMORE, 2005). “[...] isso acontece principalmente quando a nova imagem amplia os limites de aplicação ou fornece uma versão mais ampla do conceito” (D‟AMORE, 2005, p. 81). Na medida em que a imagem mental atual do conceito não dá conta de assimilar
a nova solicitação, então o indivíduo deve elaborar nova imagem mental e acomodá-la à nova situação. Quando a imagem do conceito adquire estabilidade e resiste a todas as solicitações relacionadas ao conceito, ela pode ser chamada de modelo do conceito.
Tall e Vinner (1981) apresentam um outro elemento nessa discussão acerca das imagens mentais que denominam por definição do conceito. Eles consideram a definição do
conceito como a forma das palavras utilizadas para especificar tal conceito, que “pode ser
aprendida de forma mecânica por um indivíduo ou de maneira mais significativa e relacionada em maior ou menor grau ao conceito como um todo” (p. 152). Os autores salientam que uma definição do conceito pode ser pessoal e pode diferir de uma definição formal do conceito que é aceita pela comunidade matemática. “Para cada indivíduo uma definição do conceito gera sua própria imagem. Obviamente, ela é parte da imagem do conceito” (TALL; VINNER 1981, p. 152-153, grifos nossos). Ao serem confrontadas as definição pessoal e formal do conceito, se forem diferentes, pode surgir um conflito cognitivo. São nessas situações de conflito que pode acontecer a aprendizagem.
Em nossa investigação, utilizaremos os elementos discutidos até aqui para analisar os conflitos cognitivos que podem surgir em um ambiente de aprendizagem proporcionado pela Modelagem Matemática. Nosso objetivo é estudar o desenvolvimento dos modelos pessoais
do conceito, referenciados a um ambiente de aprendizagem instanciado na Modelagem
Matemática, levando em consideração a proposta de encaminhamento que elaboramos para a utilização dessa tendência em Educação Matemática.
Considerações Finais
Nos termos da discussão apresentada, os modelos são sistemas representativos histórica e culturalmente situados. São produtos da mente humana, que é a articuladora dos recursos materiais e conceituais disponíveis para a resolução de situações problemáticas.
A situação final desejada em uma atividade de Modelagem Matemática, geralmente, é um modelo, que guarda similaridade com a situação problemática sobre a qual foi desenvolvido. Assim, ao se realizar operações/modificações nos elementos que compõe o modelo (hipóteses, variáveis, operações, etc.), o que está sob estudo são aspectos da realidade. Dessa forma, podemos aprender a respeito da realidade por meio de atividades de Modelagem Matemática.
Considerando a representação da realidade como uma via de mão dupla, em que os modelos são instrumentos tanto para compreender quanto para modifica-la, podem ser evidenciados alguns conflitos cognitivos durante o processo de Modelagem Matemática. Esses podem ser vistos com importantes aspectos da aprendizagem, pois são parte do processo de criação de modelos mentais para a interpretação da realidade.
Referências
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ALMEIDA, L. M. W.; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem matemática na educação básica. São Paulo: Contexto, 2012.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001, Caxambu. Anais... Rio Janeiro: ANPED, 2001. 1 CD-ROM.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n. 4, p. 73-80, 2004.
BATISTA, I. de L.; SALVI, R. F.; LUCAS, L. B. Modelos Científicos e suas relações com a Epistemologia da Ciência e a Educação Científica. In: Atas do ENPEC, Campinas, 2011. BLACKBURN, S. Dicionário Oxford de Filosofia. Tradução de Deisdério Murcho, et al. Rio deJaneiro: Jorge Zahar, 1997.
CEOLIM, A. J.; CALDEIRA, A. D. Modelagem Matemática em sala de aula: obstáculos e resistências apontados por pesquisadores brasileiros. In: Anais do VII CIBEM. Montevideo – Uruguai, 2013.
D‟AMORE, B. Epistemologia e Didática da Matemática. Trad. Ana Cristina Bonomi Barufi. São Paulo: Escrituras Editora, 2005.
D‟AMORE, B. Elementos de didática da matemática ; [tradução Maria Cristina Bonomi] São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.
TALL, D.; VINNER, S. Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, n. 12, 1981, p. 151-169.
