h( Ò ) = (16 + 3) mod 13 = 6 h(ô ÙÐ µ

Transformação de have

•

Cara terísti as dos métodos arbores entes:  ordem sobre as haves e

 o lugar de um item depende da posição da have em relação às haves dos outros itens.

•

Cara terísti as dos métodos de transformação de have:

 o lugar de um item é al ulado uni amente a partir de sua have.

 Esse ál ulo é feito por uma função hamada de transformação de have, que transforma diretamente a have em um endereço em uma zona de memória ontígua ou no índi e de um vetor.

•

Esses métodos têm a parti ularidade de que as operações de pesquisa, inserção e supressão são, em número de omparações, em média onstantes, ou seja, não dependem do n

o

Prin ípios

•

Exemplo: Seja

C

o onjunto de palavras a seguir:

C = {sérgio, os ar, lú io, ana, anna, joão, júlia, bos o, paula, mar elo, elisa, soa}

•

Consideramos aqui, omo antes, que o item é sua própria have.

•

Um método de transformação de have onsiste em asso iar a ada elemento

e

de

C

um número

h(e)

, entre 0 e 12, omo se segue:

1. Atribuir às letras a, b, ,

. . .

, z os valores 1, 2, 3,

. . .

, 26.

2. Adi ionar os valores das letras de

e

.

3. Adi ionar ao número obtido o número de letras de

e

.

4. Cal ular o módulo 13 desse número, para obter o valor pro urado

h(e)

.

•

Utilizando esse pro edimento de ál ulo, obtemos:

h(

sérgio

) = (73 + 6) mod 13 = 1 h(

júlia) = 6

h(

os ar

) = (56 + 5) mod 13 = 9 h(

elisa) = 12

h(

lú io

) = (60 + 5) mod 13 = 0 h(

soa) = 10

h(

anna

) = 30 + 4) mod 13 = 8

h(

bos o) = 7

h(

ana

) = (16 + 3) mod 13 = 6

h(

paula) = 5

h(

mar elo) = 9

h(

joão) = 6

•

Utilizam-se esses valores para indexar um vetor que ontenha os nomes:

0 lú io 1 sérgio 2 3 4 5 paula 6 ana 7 bos o 8 anna 9 os ar 10 soa 11 12 elisa

•

Para determinar se um item qualquer

x

perten e a

C

, basta al ular

v = h(x)

.

•

Se

h(x) = 2

ou

h(x) = 11

, então

x

não perten e a

C

.

•

É pre iso re onhe er se um lugar está vazio:  ou ini iando o vetor om um valor espe ial,

que não pode ser um item,

 ou asso iando a ada posição do vetor um ampo indi ando se o lugar está vazio ou não.

•

Senão, ompara-se

x

om o item

e

de

C

, tal que

h(e) = v

:

 Se

x = e

, então

x ∈ C

.  Se

x 6= e

, então

x 6∈ C

.

Colisão Primária

•

Colisão primária a onte e quando uma posição do vetor já está o upada por um item

e 6= x

e que se quer inserir

x

em

C

.

•

Não é possível evitar olisões.

•

Neste aso, a função de transformação de have não dá a esso a um úni o item, mas a um

pequeno sub onjunto de itens, no qual é pre iso fazer uma pesquisa.

•

Dizemos que fez-se um pi adinho (hash, ha hâge) do onjunto

C

em sub onjuntos.

Prin ípio geral

•

Utilizamos os métodos de pi adinhos nos seguintes asos:

 É pre iso geren iar uma oleção

C

, ujas haves perten em a um universo

U

muito grande.

 O tamanho provável de

C

é onhe ido e relativamente pequeno em relação ao n

o de itens de

U

.

•

Exemplo:

C

é um onjunto de 1000 palavras de 10 letras e

U

é o onjunto de todas as palavras possíveis de 10 letras.

•

O n o de elementos de

U

é, então,

26

10

_{≃ 10}

13

.

•

Como o tamanho de

U

proíbe, na práti a, representar as oleções de elementos de

U

reservando um lugar em memória para ada have possível, utiliza-se uma função de

transformação de have

h

que asso ia a ada have um inteiro entre 1 e

m

onde

m

é um inteiro es olhido em função do tamanho previsto da oleção

C

.

•

Para toda have

x, h(x)

é hamado de valor de transformação primária e dá o índi e da

posição de

x

em um vetor

V

de

m

itens.

•

Esse índi e serve para veri ar se

x

perten e a

V

, a inserí-lo, ou suprimí-lo.

•

A es olha da função de transformação é

fundamental, pois é pre iso apli ar

U

da maneira mais uniforme possível a

[1, m]

para tender à

repartição ideal:

| h

−1

(i)

_|=

| U |

m

•

Isso, em termos de probabilidade, é

∀ x ∈ U

e

∀ i ∈ [1, m],

Prob

(h(x) = i) =

1

m

•

Dizemos, então, que

h

é uniforme.

•

O ál ulo da função de transformação de have deve ser rápida para não prejudi ar o desempenho do método.

•

Por isso, a onstrução da função de transformação de have (f.t. .) é deli ada.

•

Mas mesmo om um boa f.t. . é impossível, em geral, evitar olisões primárias, omo mostra o seguinte argumento.

•

Dado um onjunto

C

de

n

elementos distintos e uma função

h

om valores em

[1, m]

, na hipótese de que

h

é uniforme, a probabilidade para que

h

seja injetora é

P =

1

m

n

.m.(m − 1) . . . (m − n + 1)

.

•

O valor de

P

é pequeno quando

m

não é muito grande em relação a

n

.

•

Exemplo: Se

m = 365

e

n = 23

, então

P

é inferior a 1/2.

•

Uma interpretação usual para o exemplo a ima é: se reúnem-se mais de 23 pessoas, há mais de uma han e em 2 que 2 dentre elas façam aniversário no mesmo dia!

•

No nosso aso, isto quer dizer que, para manter, om probabilidade superior a 1/2, um onjunto de 23 elementos sem olisão, é pre iso um vetor de dimensão superior a 365.

•

Como é pre iso geren iar olisões, apresentaremos dois métodos de transformação de have que

diferem pela maneira omo são resolvidas as olisões:

1. Os métodos de resolução de olisões por en adeamento: os itens uja have tem o mesmo valor pela função

h

são en adeados entre eles, no interior ou exterior ao vetor. São os métodos de transformação

indireta.

2. Os métodos de resolução de olisões por ál ulo: quando há uma olisão, al ula-se uma nova posição no vetor a partir da have do item onsiderado (para pesquisar, inserir ou suprimir). São os métodos de

transformação direta.

•

Prin ípio de pesquisa om transformação de have:

 Determinar o 1 o

lugar possível para o item pro urado, pela f.t. .

 Se o lugar estiver vazio, parar a pesquisa.  Senão, omparar o onteúdo do lugar om o

item pro urado.

 Se o item foi en ontrado, parar a pesquisa.  Senão, passar a um outro lugar possível, por

en adeamento ou por ál ulo.  No 2

o

aso, re omeçar o tratamento para o novo lugar.

•

Prin ípio da inserção om transformação de have:

 Determinar o 1 o

lugar possível para o elemento pro urado.

 Se o lugar estiver vazio, olo a-se aí o item e pára.

 Se o item foi en ontrado, pára.

 Senão, passa-se a um outro lugar possível por en adeamento ou por ál ulo.

 No 2 o

aso, re omeça-se o pro edimento.

•

Com todos esses métodos, a pesquisa ne essita, em média, entre 1 a 5 a essos, independentemente do tamanho do vetor.

•

O resultado é devido ao fato de que há muito

pou as olisões primárias e que a resolução dessas olisão não leva a muitas outras.

Funções de pi adinho

•

Uma função de transformação de have (f.t. .), omo nome indi a, transforma a have de um item a ser guardado em um vetor em um índi e desse vetor.

•

A função distribue as haves de maneira aleatória, mas ela deve ser determinísti a, evidentemente.

•

Além disso, espera-se qua a função seja uniforme, para evitar olisões.

•

Finalmente, a função deve ser fa ilmente

al ulada, para que, que o método onserve o desempenho em tempo.

•

Supomos que as haves são palavras,

representadas em memória por uma seqüên ia de bits, que podem ser interpretadas omo um

inteiro.

•

Isto é importante, pois permite de passar aos inteiros sem ál ulos.

•

O problema seguinte é o de al ular, a partir desses inteiros, um inteiro no intervalo

[1, m]

.

•

Para simpli ar os ál ulos, onsideraremos uma representação ordinal dos ara teres odi ada em 5 bits, no que se segue.

•

Uma palavra é representada pela on atenação das representações de seus ara teres.

•

Temos as seguintes orrespondên ias:

A = 00001, B = 00010, C = 00011,

. . .

. ASA = 000011001100001.

•

Construiremos uma função

h

de seqüên ia de bits em um intervalo de

m

inteiros

h : {0, 1}

∗

→ [0, m − 1]

Extração

•

Extraem-se ertos bits, ou zonas de bits, da representação binária.

•

Se extraem-se

p

bits, tem-se o intervalo

[0, 2

p

_{− 1]}

on atenando-os e onsiderando-se o inteiro representado.

•

Exemplo: extração da subpalavra formada pelos bits numerados 1, 2, 7 e 8, ontando da direita e

ompletando à esquerda om zeros: OU = 0111110101 = 1101 =

(13)

10

AS = 0000101011 = 0011 =

(3)

10

PA = 0100000001 = 0001 =

(1)

10

•

No aso em que

m = 2

p

, uma subpalavra formada de

p

bits dá diretamente um índi e no vetor.

•

A função só é bem adaptada para ertos asos parti ulares, em que se onhe e os dados de antemão, ou quando se sabe que ertos bits não são signi ativos.

•

Em geral, ela não dá bons resultados, pois o valor da transformação não depdende da have toda.

•

Uma boa função de transformação deve levar em onta todos os bits da representação.

Compressão

•

Utilizam-se, aqui, todos os bits da have para obter um índi e do vetor, ortando as seqüên ias de bits em pedaços de tamanhos iguais e

binária, para não ter que lidar om o vai-um da adição.

•

A vantagem do ou ex lusivo é que a operação não retorna sitemati amente um número menor ( aso do e) ou maior ( aso do ou), evitando, assim, a úmulos no iní io ou no m do vetor.

•

Exemplo: h(LE) = 01100

⊕

00101 = 01001 =

(9)

10

h(OU) = 01111

⊕

10101 = 11010 =

(26)

10

h(AS) = 00001

⊕

10011 = 10010 =

(18)

10

h(SEM) = 10011

⊕

00101

⊕

01101 = 11011 = =

(27)

10

•

O problema desse método é de trasformar do mesmo modo todas as permutações de uma mesma palavra.

•

Com a função a ima, h(SEM) = h(MES)!

•

Isto vem do fato de que, no ál ulo de

h

, ortaram-se os strings no limite das

•

Uma boa f.t. . deve quebrar as subseqüên ias de bits.

•

O problema pode ser resolvido om deslo amentos.

•

Exemplo: Pode-se deslo ar ir ularmente para a direita a 1 a subseqüên ia de 1 bit, a 2 a subseqüên ia de 2 bits, a 3 a subseqüên ia de 3 bits, et : h(SEM) = 11001

⊕

01001

⊕

10101 = 00101 =

(5)

₁₀

h(MES) = 10110

⊕

01001

⊕

01110 = 10001 =

(17)

₁₀

•

Este tipo de té ni a serve para reduzir o tamanho das haves ao tamanho de uma palavra de

memória.

•

Pode-se, em seguida, apli ar outros métodos de ál ulo omo os seguintes.

Divisão

•

Cal ula-se simplesmente o resto da divisão por

m

(

m

é o tamanho do vetor de transformação de haves) do valor da have:

•

Essa função é fá il e rápida de al ular, mas ela depende do valor de

m

.

•

Se

m

é par, todas as haves pares vão para os índi es pares da tabela e todas as haves ímpares para os índi es ímpares, o que não dá uma

distribuição uniforme e deve ser evitado.

•

O mesmo a onte e se

m

tiver outros divisores pequenos.

•

Logo,

m

deve ser um n o

primo, mas, mesmo assim, pode haver efeito de a umulações.

•

Exemplo:

m = 37

OU = 0111110101 =

(501)

10

⇒

⇒ h(OU) = 501 mod 37 = 20

Multipli ação

•

Da do um real

θ

tal que

0 < θ < 1

onstrói-se uma f.t. . da seguinte maneira

h(e) = ⌊((e × θ) mod 1) × m⌋

•

Exemplo:

θ = 0, 6125423371

e

m = 30

h(OU ) = ⌊((501 × θ) mod 1) × m⌋ =

=

_{⌊(306, 8837108 mod 1) × 30⌋ =}

=

_{⌊0, 8837108 × 30⌋ = 26}

•

Com este método, o tamanho do vetor não tem importân ia.

•

Por outro lado, o valor de

θ

deve ser es olhido om uidado:

θ

não deve estar muito próximo nem de 0 nem de 1, para evitar a úmulos nas extremidades do vetor.

•

Estudos teóri os mostram que os valores de

θ

que repartem as haves mais uniformemente são:

θ =

√

5

_{− 1}

2

≃ 0, 6180339887

e

θ = 1 −

√

5

_{− 1}

2

≃ 0, 3819660113

Resolução de olisões por en adeamento: métodos indiretos

•

Veremos dois métodos:

1. O en adeamento é feito em uma zona de transbordamento externa à tabela de pi adinho: método de pi adinho om en ademaento separado

2. ou internamente à tabela: método de pi adinho oales ente.

Pi adinho om en adeamento separado

•

Neste método, a tabela só ontém as abeças das

m

listas en adeadas exteriormente a ela.

•

As listas representam onjuntos de elementos om o mesmo valor da função de pi adinho.

•

A inserção é pre edida por um teste para

determinar se o item perten e ou não à lista, para mantê-las o mais urtas possíveis.

•

Convenção: a inserção é sempre feita no m da lista, pois é aí que se termina o teste para

•

Notação:

L

i

é a lista uja abeça é

T [i]

.

•

Para pro urar, suprimir e inserir o item

x

, trabalha-se om a lista

L

h(x)

.

•

Exemplo: Sejam os itens abaixo, om seus respe tivos valores de pi adinho, inseridos su essivamente na tabela a seguir:

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

e

₆

e

₇

e

₈

e

₉

e

₁₀

e

₁₁

e

₁₂

e

₁₃

3 1 4 1 4 1 5 9 2

6

5

3

5

e2

e4

e6

e9

3

e1

4

e5

5

e7

6

8

e8

7

2

e3

9

1

e12

e11

e13

e10

T

•

Os itens em olisão poderiam ser representados de outras formas (listas en adeadas ordenadas,

árvores binárias de pesquisa, árvores equilibradas).

•

No entanto, essas representações têm pou o interesse, porque se a função de pi adinho for bem es olhida, há muito pou a probabilidade de ter mais de 5 itens em olisão.

Análise de omplexidade do pi adinho om en adeamento separado

•

O usto de uma pesquisa negativa é o mesmo da inserção d eum novo item.

•

Como a função

h

é uniforme, há a mesma probabilidade de

1/m

de fazer a pesquisa em ada uma das

m

listas.

•

Seja

λ

i

o tamanho da lista

L

i

.

•

O usto médio de uma pesquisa negativa em uma tabela

T

é Pesq

−

_{(T ) =}

1

m

X

1≤i≤m

λ

i

•

Como há

n

itens no total, temos

X

1≤i≤m

λ

i

= n

e Pesq

−

_{(T ) =}

n

m

= α

•

Consideremos, agora, o usto médio de uma

pesquisa negativa quando se tem

n

itens em uma tabela

T

qualquer de

m

listas.

•

As

m

n

tabelas possíveis são eqüiprováveis, pois a função de pi adinho

h

é uniforme.

•

O usto médio é Med

pesq

−

(m, n) =

1

m

n

X

T

Pesq

−

_{(T )}

onde a soma é feita sobre todas tabelas

T

possíveis.

•

Deduz-se que Med

pesq

−

(m, n)

≈ 1 +

a

2

2

,

segundo Knuth 1 .

Complexidade média de uma pesquisa positiva

•

Como a tabela

T

é obtida por inserções no m da lista, a posição de um item em relação à abeça da lista não muda nun a.

1

TheArt ofComputer Programming, SortingandSear hing,vol. 3,pp. 525,2 a

•

Por isso, o usto de uma pesquisa positiva é igual, em n

o

de omparações entre itens, ao usto de inserção deste item quando ela a onte eu, mais 1.

•

De fato, fazem-se omparações om os itens da lista situados antes dos item pro urado, mais uma omparação om o item em si, o que pára a

pesquisa.

•

Se o item pro urado foi o

(i + 1)

-ésimo, sua inserção teve o mesmo usto que uma pesquisa negativa dentre os

i

itens, ou seja, em média:

Med

pesq

−

(m, i) =

i

m

•

Como onsidera-se que os

n

itens têm a mesma probabilidade de serem pro urados, deduz-se

Med

pesq

+

(m, n) =

i

n

X

0≤i≤n−1

Pesq

−

_{(m, i) + 1.}

•

Logo, Med

pesq

+

(m, n) =

i

n

n−1

X

i=0

(

i

m

+ 1)

=

n(n − 1)

2nm

+ 1

=

α

2

−

1

2m

+ 1

Pi adinho oales ente

•

O método de pi adinho om en adeamento separado é fá il de se programar, quando é possível alo ar memória durante a exe ução.

•

Mas quando isso não é possível, é pre iso reservar, a priori, uma zona ontígua de memória para

geren iar as olisões nesta zona de tamanho xo.

•

Consideraremos que a tabela de tamanho

m

será dividida em 2 zonas:

1. uma zona de endereços primários de apa idade

p

e

2. uma reserva para geren iamento das olisões, de apa idade

r

, tal que

p + r = m

.

•

os inteiros

p

e

r

são xos a priori e a função de pi adinho varia no intervalo

[1, p]

.

•

O n o

de itens presentes,

n

, é inferior ou igual a

m

.

•

Exemplo: A tabela abaixo tem dimensão

m = 9

, ujas 3 últimas posições forma a reserva:

p = 6

e

•

Foram inseridos os seguintes itens, om seus respe tivos valores de pi adinho:

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

e

₆

e

₇

1 4 1 4 2 1 3

e1

e5

e7

e2

e6

e4

e3

1

3

2

4

6

5

7

8

9

T

•

Se utiliza-se toda a tabela, sem distinção de zonas de endereços primários e a reserva, pode-se

esperar um melhor preen himento desta.

•

Esta té ni a tem um in oveniente, no entanto, pois ria olisões se undárias, i. é, olisões que não são devidas à onin idên ia de valores da

função de pi adinho.

•

Exemplo: A tabela abaixo mostra a situação quando

m = 11

e em que se inseriu os itens

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

e

₆

e

₇

e

₈

e

₉

e

₁₀

1 5 2 5 1 8 11 9 5 10

e1

e3

e2

e9

e8

e6

e7

e5

e4

1

3

2

4

6

5

7

8

9

T

10

11

e10 0

0

0

6

0

7

9

4

11

10

Coalescencia

das listas de valores

primarios 5 e 11

^

’

•

Na gura a ima, vemos que as listas dos itens de valores de pi adinho primário 5 e 11 foram

fundidas.

•

Este fenmeno é que dá o nome ao método: pi adinho om oales ên ia de listas, ou pi adinho oales ente.

•

As olisões se undárias, devidas à oales ên ia das listas, fazem om que o tempo de pesquisa seja mais longo que no aso de en adeamento externo à tabela.

•

Mas o desempenho do método, ainda assim, é bom.

•

O algoritmo de inserção, no aso de pi adinho oales ente, é dado abaixo.

•

A tabela é onstituída de

m

registros, om 2 ampos: val ontendo o item e prox, para o en adeamento.

•

Supõe-se dada a função

h

om valores em

1..m

.

•

Utiliza-se o seguinte tipo Pas al:

type tab = array [1..m℄ of re ord: val: Item; prox: 0..m; end;

•

Utiliza-se, também uma função vazia que testa se uma posição está o upada ou não:

fun tion vazia(T: tab; i: 1..m): boolean;

•

vazio(T) é um pro edimento que implementa a operação do TAD pi adinho oales ente que

pro edure inserir_PCo(x: Item; var T: tabela; var heio: boolean);

{ Pro ura o item

x

na tabela

T

e, no aso da pesquisa ser negativa, insere

x

em

T

; heio é uma variável lógi a de alarme: toma o valor true se a inserção não pde ser feita se a tabela estiver heia }

var R:

0..m

; i:

1..m

;

{R serve para pesquisar a posição livre que possa resolver uma olisão}

begin

{

h

é uma função de pi adinho de larada alhures} i := h(x); R := m; heio := false;

if vazio(T)

then begin {insere o item}

T[i℄.val := x; T[i℄.prox := 0;

{eventualmente mar ar a posição i omo o upada} end

else begin

while (T[i℄.val

<>

x) and (T[i℄.prox

<>

0) do i:= T[i℄.prox;

if T[i℄.val

<>

x then begin {pro ura onde inserir item}

while (R

>

0) and (not vazia(T,R)) do R := R - 1; if R

>

0 then begin T[i℄.prox := R; T[R℄.val := x; T[R℄.prox := 0 end

else heio := true {a tabela está heia} end

•

R é uma variável lo al ini iada om

m

no iní io do pro edimento, mas seria melhor manter a 1

a

posição livre a partir do m do vetor no próprio vetor.

•

Isso evitaria de ter de per orrer o vetor a partir do m para en ontrar a 1

a

posição livre que possa resolver uma olisão.

Análise da omplexidade do pi adinho oales ente

•

A avaliação de desempenho do pi adinho oales ente é bem ompli ada.

•

Mostra-se que o n o

médio de exames de posição, quando a função de pi adinho é uniforme, para um onjunto de

n

elementos distintos, em uma tabela de

m

lugares, vale, assintoti amente, para

m

e

n

grandes, om a razão

n

m

= α

xa e inferior a 1, por onstrução da tabela:

 no aso da pesquisa positiva: Med

pesq

+

(m, n)

∼

1

8α

(e

2α

− 1) +

α

4

+

3

4

 no aso da pesquisa negativa: Med

pesq

−

(m, n)

∼

1

4

e

2α

−

α

₂

+

3

4

•

Deduz-se das fórmulas a ima que uma pesquisa negativa (resp. positiva) em uma tabela heia (

α = 1

) só usta, em média, er a de 2,1 (resp. 1,7) exames de posições.

Resolução de olisões por ál ulo:

Métodos diretos Prin ípio geral

•

Nos métodos anteriores, há um gasto de memória omos apontadores que poderia ser usado para guardar itens e, assim, evitar olisões.

•

Para isto, são ne essários métodos de resolução de olisões por ál ulo no interior da tabela.

•

Por exemplo, no aso do pi adinho oales ente, se

m

ó tamanho da tabela e

n

o n o

de itens, tem-se ne essariamente

n ≤ m

.

•

Os métodos diretos são baseados na onstrução de uma função de pi adinho hamada de função de tentativas su essivas:

tentativa

: U

→ {1, 2, . . . , m}

m

que asso ia a ada elemento do universo

U

uma permutação de

{1, 2, . . . , m}

:

tentativa(

x

) = (tentativa

1

(x)

, tentativa

2

(x), . . . ,

tentativa

m

(x)

) om tentativa

i

(x)

∈ {1, . . . , m}

para todo

i

e, se

i 6= j

, então tentativa

i

(x)

6=

tentativa

j

(x)

.

•

Quando se pro ura

x

na tabela

T [1..m]

,

explora-se su essivamente os lugares tentativa

1

(x)

(valor do pi adinho primário), depois

tentativa

2

(x)

, tentativa

3

(x)

, et .

•

Ou se a ha o

x

, ou se en ontra um lugar vazio, ou hega-se até o m das

m

tentativas, quando se pode on luir que

x

não está na tabela.

•

Para fazer uma inserção, o pro edimento é o mesmo: se

x

é en ontrado, pára; senão,

x

é

inserido no lugar vazio; se as

m

tentativas foram feitas, é porque a tabela está heia e a inserção é impossível.

•

Os pro edimentos de pesquisa e de inserção são dados para o aso que não se fazem supressões.

•

Supõe-se dada uma função tentativa que al ula os valores de tentativa

i

(x)

:

fun tion tentativa(i:1..m; x:Item):1..m; {tentativa(i,x) = tentativa

i

(x)

}

•

De laração da tabela de pi adinho: type tabela = array[1..m℄ of Item;

•

Como no aso do pi adinho oales ente,

onsidera-se dada uma função que permite testar se um lugar da tabela está vazio:

fun tion pesquisar_PD1(x:Item; T:tabela): integer;

{esta função retorna o índi e de x em T, se x está presente em T e 0 senão; não é feita supressão em T}

var i,v: integer; sai: boolean; begin

i:=1; sai:=false;

while(i

≤

m) and (not sai) do begin

v := tentativa(i,x);

if (vazia(T,v)) or (T[v℄=x) then sai := true

else i := i+1; end;

if T[v℄ = x

then {x presente} pesquisar_PD1:=v else {x ausente} pesquisar_PD1 := 0; end; {pesquisar_PD1}

pro edure inserir_PD1(x:Item; var T:tabela; var heio:boolean);

{se x não está presente em T, este pro edimento insere-o em T, no 1

o

lugar livre en ontrado nas tentativas; se x está em T, o pro edimento faz nada; se a tabela está heia, x não pode ser

inserido e heio é true, senão falso; não é feita supressão em T}

var i,v:integer; sai:boolean; begin

i:=1; heio:=false; sai:=false; while (i

≤

m) and (not sai) do begin

v:= tentativa(i,x);

if (vazio(T,v)) or (T[v℄=x) then sai:=true else i:=i+1

end;

if T[v℄

6=

x then {x não está presente} if vazio(T,V)

then {insere x na tabela} T[v℄ := x else heio:=true

•

Pode ser usado um ontador asso iado à tabela para veri ar se a tabela está heia antes de hamar o pro edimento, o que o simpli a bem.

•

A pesquisa também pode ser feita om a ajuda de uma função que indi a, no aso de falha, o índi e do último lugar examinado.

•

Neste aso, a inserção pode ser feita, no aso da pesquisa ser negativa, inserindo o item no lugar obtido omo resultado.

•

Os diferentes métodos de pi adinho direto ara terizam-se pela es olha da função de tentativas su essivas.

•

No aso do pi adinho linear abaixo, a seqüên ia de lugares possíveis para um item depende

uni amente do valor de pi adinho primário deste.

•

Isto dá apenas

m

seqüên ias diferentes na tabela, em vez de

m!

.

Pi adinho linear

•

Neste método, quando há uma olisão em um

lugar de índi e

v

, tenta-se o índi e

v + 1

da tabela.

•

Se o m da tabela foi atingido, re omeça-se pelo iní io.

•

Notação: seja

a ⊕ b

a operação que dá esta progessão ir ular:

a ⊕ b

é denida em

[1, m]

× [1, m]

:















se

a + b ≤ m, a ⊕ b = a + b

senão,

a ⊕ b = a + b − m

•

Dada uma função de pi adinho uniforme

h : U → [1, m]

onstrói-se a seguinte seqüên ia de tentativas : tentativa

1

(x) = h(x);

tentativa

2

(x) = h(x)

⊕ 1;

. . . tentativa

i

(x) = h(x)

⊕ i − 1;

. . . tentativa

m

(x) = h(x)

⊕ m − 1;

•

Exemplo: A inserção su essiva dos itens abaixo, om seus respe tivos valores de pi adinho

primário

e

₁

e

₂

e

₃

e

₄

e

₅

e

₆

e

₇

e

₈

e

₉

6 4 7 4 8 2 5 9 8

em uma tabela de 10 itens dá a seguinte repartição:

1 e

₉

2 e

₆

3

4 e

₂

5 e

₄

6 e

₁

7 e

₃

8 e

₅

9 e

₇

10 e

₈

•

Este exemplo olo a em evidên ia 2 fenmenos ara terísti os do pi adinho linear:

1. Todos os itens om o mesmo endereço de pi adinho primário também têm a mesma seqüên ia de tentativas su essivas: não há dispersão alguma após o 1

o

2. Além disso, há agrupamento na tabela:

quanto maior forem os agrupamentos de itens onse utivos, maior a tendên ia a

aumentarem ( aso dos itens inseridos aós

e

5

).

•

Este método tem a vantagem de só pre isar de uma função de pi adinho e as tentativas são muito simples de al ular.

•

Basta modi ar, no algoritmo anterior, a

instrução v:=tentativa(i,x) por v:=v

⊕

1, a ini ialização e a terminação do laço ligeiramente. Análise de omplexidade do pi adinho linear

•

Para uma função de pi adinho uniforme, o n o médio de exames de lugares, quando

n

e

m

tendem para innito, om a razão

n

m

= α

xa,

vale assintoti amente:

 Para uma pesquisa positiva: Med

pesq

+

(m, n)

∼

1

2

(1 +

1

1

_{− α}

)

 no aso da pesquisa negativa: Med

pesq

−

(m, n)

∼

1

2

(1 +

1

(1

_{− α)}

2

)

•

Por exemplo,

α = 0, 5

dá 1,5 exames de lugares, em média, para uma pesquisa positiva e 2,5 para uma pesquisa negativa.

•

Para

α = 0, 8

, tem-se 3 exames de lugar para uma pesquisa positiva e 13 para uma pesquisa

negativa, por ausa dos agrupamentos. Pi adinho duplo

•

Para evitar a formação de agrupamentos de itens ontíguos, é pre iso dispersá-los mais, quando há olisões.

•

Tome-se omo seqüên ia de tentativas: tentativa

i

(x) = h(x)

⊕ k.(i − 1)

onde

k

é um n

o

xo.

•

Se

k

e

m

são primos entre si, então a seqüên ia de

m

tentativas al ança todos os lugares da tabela.

•

No entanto, o mesmo fenmeno de agrupamento a onte e, mesmo se é de

k

em

k

.

•

Para evitar isso, é pre iso que o in remento

k

dependa do item.

•

É pre iso utilizar uma 2 a

função de pi adinho, o que justi a o nome dado ao método.

•

A seqüên ia de tentativas é, então, a seguinte: tentativa

i

(x) = h(x)

⊕ d(x).(i − 1)

•

A função

d

deve ser tal que, para todo elemento

x

de

U

, a seqüên ia das

m

tentativas leve em onta todos os lugares da tabela.

•

Isto é verdade se

d(x)

é primo om

m

para todo

x

.

•

Esta propriedade é satisfeita se es olhemos:

 seja

m

primo e, neste aso, basta que

d

tome valores em

[1, m

− 1]

;

 seja

m = 2

p

e basta que

d(x)

seja ímpar para todo

x

, o que pode ser onseguido tomando

d(x) = 2d

′

(x) + 1

, onde

d

′

é uma função om valores em

[0, 2

p−1

_{− 1]}

.

Análise da omplexidade do pi adinho duplo

•

O n o

médio de exames de lugares para uma

ontendo

n

itens, para

m

e

n

grandes e

α = n/m

vale, assintoti amente,

1

1

_{− α}

e para a pesquisa positiva, vale

1

α

ln







1

1

_{− α}







.

Comparação entre os métodos de pi adinho

1

2

3

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Med pesq−(m,n)

Taxa de ocupação da tabela (n/m)

Média da pesquisa negativa em tabelas de picadinho

Linear

Duplo

Coalescente

Separado

1

2

3

4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Med pesq+(m,n)

Taxa de ocupação da tabela (n/m)

Média da pesquisa positiva em tabelas de picadinho

Linear

Duplo

Coalescente

•

Das guras anteriores, tiramos as seguintes on lusões:

1. Para uma taxa de preen himento baixa, todos os métodos são aproximadamente

equivalentes.

2. O método mais e az é o de pi adinho om en adeamento separado. Esse método, tem também duas outras vantagens sobre os outros métodos: a supressão de um item é uma operação simples e a taxa de

preen himento pode ultrapassar 1. Mas

ne essita de alo ação dinâmi a de memória. 3. Quando a memória reservada ao pi adinho

deve ser reservada a priori, o método

oales ente é o mais e az. No entanto, esse método ne essita de endereçamento indireto, que utiliza memória. Se o tamanho dos itens são grandes em relação ao tamanho de um apontador, isto não tem importân ia, mas, no aso ontrário, é melhor utilizar os métodos diretos.

4. O pi adinho linear é o mais lento, mas tem a vantagem de ser simples de ser implementado e seus desempenhos são bem a eitáveis

quando a taxa de preen himento é baixa.

•

Todos os métodos de pi adinho são muito bons para gestão de dados estáti os.

•

Se se onhe e o n o

de itens, es olhe-se o tamanho

m

da tabela de pi adinho de forma que a taxa de preen himento seja da ordem de 70% a 80%.

•

Ex eto pelo método de en adeamento separado, todos os métodos lidam mal om inserções e, sobretudo, om supressões.