Aula 15 Elementos em Componentes Simétricas

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

Aula 15

Elementos em

Componentes Simétricas

Engenharia Elétrica

Universidade Federal de Juiz de Fora tinyurl.com/profvariz

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Recapitulando

-1

T

=





















a

a

a

a

2

2

1

1

1

1

1

3

1

T

=





















2 2

1

1

1

1

1

a

a

a

a

012

V

T

V

_

abc

₌

_

_

012

I

T

I

_

abc

₌

_

_

012 1 abc

V

_

₌

T



_

V

_

012 1 abc

I

_

₌

T



_

I

_

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Impedância em C.S.





















=





















2 1 0

V

V

V

V

V

V

C B A













T





















=





















C B A

V

V

V

V

V

V













-1

T

2 1 0 0 1 2 A B C

I

I

I

I

I

I

 

 

 

₌

 

 

 

 

 

 

 

T













0 1 2 A B C

I

I

I

I

I

I

 

 

 

₌

 

 

 

 

 

 

 

-1

T













abc abc

abc

_Z

_I

V



=





Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Impedância em C.S.

abc abc

abc

_Z

_I

V



=





012

V

T

V

_

abc

₌

_

_

_I

_

abc

₌

_T

_

_I

_

012

012

012

_Z

_T

_I

V

T

_

_

₌

abc

_

_

_

Reescrevendo a equação, tem-se:

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Impedância em C.S.

012

abc 012

T V





=

Z

 

T I



012

Z

012 012

012

_Z

_.

_I

V



=



012 1

012

_T

_Z

_T

_I

V

_

₌



_

abc

_

_

_

012 1

012

1

_T

_V

_T

_Z

_T

_I

T



_

_

_

₌



_

abc

_

_

_

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Impedância em C.S.

00 01 02

2 2

10 11 12

2 2

20 21 22

1 1 1 1 1 1

1 1 . . 1

3

1 1

aa ab ac ba bb bc ca cb cc

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

Z Z Z Z Z Z

a a

a

a

a

a

a a

  _{ }   _{ }

  _{ }   _{ }

=

  _{ }   _{ }

  _{ }   _{ }

   

   

012 1 abc

Z

₌

T



_

Z

_

T

012 1

abc

Z

_{= }

T Z

_

T



Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Elementos de Rede em C.S.

• Cargas • Linhas

• Geradores

• Transformadores

• Objetivo:

• Cada componente será representado por 3 circuitos (0, 1 e 2).

T

Z

T

Z

012

=

₁



abc



Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF





           =           C B A CN BN AN I I I V V V       . linha Z                                 =           N N N N N N N C N B N A CC BB AA CN BN AN V V V V V V V V V V V V ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '            

 

           C B A I I I    . load Z           N N N N I I I Z    .

Formulação Matricial de um Sistema

Trifásico

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Formulação Matricial de um Sistema

Trifásico

=           =           N N N N N N N N N N I I I Z V V V       . ' ' '





 

                                =           N N N N C B A C B A CN BN AN I I I Z I I I I I I V V V             . . . _load linha Z

Z I_N = I_A  I_B  I_C

=                 C B A C B A C B A N I I I I I I I I I Z          .                     C B A N N N N N N N N N I I I Z Z Z Z Z Z Z Z Z    .

 

=           =           C B A N C N B N A I I I V V V       . ' ' ' ' ' ' load Z                     C B A C B A I I I Z Z Z    . 0 0 0 0 0 0

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Cargas em estrela com centro aterrado

• Carga conectada em Estrela (Z) com aterramento (Zn):















































=





















C B A

N N

N

N N

N

N N

N

C B A

I

I

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

V

V

V













.

´ ´ ´

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga equilibrada em estrela aterrada

• Carga equilibrada conectada em Estrela (Za, Zb, Zc)

com aterramento (Zn):

• Em componentes simétricas (012):

0

1

2

3 0 0

0 0

0 0

N

Z Z Z

Z Z

Z Z

 _   

   

= _{  }= _

   

   

   

012

Z

N Z Z

Z 0 =  3

Z Z

Z1 = 2 =

1_{. .}

N N N

N N N

N N N

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z



 _ 

 



 

 _ 

 

 

012 _-1 abc

Z = T ×Z ×T = T T

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga equilibrada em estrela aterrada

• Carga equilibrada conectada em Estrela (Z)

com aterramento (Zn) em 012:

0 012

1

2

3 0 0

0 0

0 0

N

Z Z Z

Z Z Z

Z Z

 _   

   

= _{  }= _

   

   

   

N Z Z

Z 0 =  3

Z Z

Z1 = 2 =

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga equilibrada em estrela com neutro

aterrado com impedância nula

• Carga conectada em Estrela e solidamente aterrada

(Zn=0):

0 012

1

2

0 0

0 0

0 0

Z Z

Z Z Z

Z Z

   

   

= _{  }= _

   

   

   

Z Z

Z

Z 0 = 1 = 2 =

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga em estrela com neutro isolado

• Carga conectada em Estrela (Za, Zb, Zc) com

centro isolado (sem aterramento, Zn=infinito):

.

AN NT NT

AT _A

BT BN NT B NT C

CT CN NT NT

Z

V V V

V _I

V V V Z I V

I

V V V Z V

 

     

  _{ }

 

     

  _{ }

= _{  } _ = _{ }  _{ }

  _{ }

 

     

  _{ }

 

 

      _{ }  

  

 _

    



   

0

= 

 _{B C}

A I I I  

.

AN AT NT _A AT NT

BN BT NT B BT NT

C

CT CT

CN NT NT

Z

V V V _I V V

V V V Z I V V

I

V V

V V Z V

 

      _{ }    

 

      _{ }    

=   _{ } = 

      _{ }    

 

      _{ }    

 

 

   

    _{ }  

   _  

     



 

  

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga balanceada em estrela com neutro

isolado

• Carga conectada em Estrela com

centro isolado (sem aterramento, Zn=infinito):

• Decompondo em 012 :

0

= 

 _{B C}

A I I I  

0 ₀

1 1

2 2

1

. 1 .

1

NT

Z

V _I

V V Z I

I

V Z

 

  _{    }



  _{   }

 _{=  }

  _{    }



  _{    }  

 

  _{ }

T T

 _

  

 

.

NT

AT _A

BT NT B

C CT NT

Z V

V _I

V V Z I

I

V V Z

 

 

  _{ }

 

 

  _{ }

 _{  =  }

  _{ }

 

 

  _{ }

 

 

   _{  }



 _

  

  

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga balanceada em estrela com neutro

isolado

• Multiplicando pela inversa de T:

• Como o neutro é isolado:

• Então: (tensão fase-terra da

carga)

• Obs: A tensão de neutro (NT) é a tensão de fase (FT) de seq. zero.

0 3

/ ) (

0 = IA  IB  IC = I   

0 ₀ 1 1 2 2 1 0 . 0 NT V _I

V V Z I

I V   _{   }   _{   }  =   _{   }   _{    }      _      0 ₀ 1 1 2 2 1

. 1 .

1

NT

Z

V _I

V V Z I

I V Z     _{    }    _{   }  _{=  }   _{    }    _{    }       _{ } T T  _      0

1 1 1

2

2 2

0 1

. 0 .

0 _.

NT NT

V V

V Z I V Z I

I

V Z I

    _{   }     _{   } =  _{=  }   _{   }     _{     }             

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Carga balanceada em estrela com neutro

isolado

• Carga equilibrada conectada em Estrela (Z)

sem aterramento em 012:

0 012

1

2

0 0

0 0

0 0

Z

Z Z Z

Z Z

 



 

 

 

= _{  =  }

 

 

  _ _{ Z1 = Z 2 = Z}

 =

0

Z

Para que a corrente I0 seja nula:

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Cargas em Triângulo (Delta)

• Carga conectada em Delta (Zab, Zbc, Zca).

• Transformação em Estrela com centro isolado

• Carga Equilibrada (Zd=Zab=Zbc=Zca):

• Em componentes simétricos:

CA BC

AB

CA AB

A

Z Z

Z

Z Z

Z

 

= .

CA BC

AB

BC AB

B

Z Z

Z

Z Z

Z

 

= .

CA BC

AB

CA BC

C

Z Z

Z

Z Z

Z

 

= .

3

D C

B

A Z Z Z

Z = = =

 =

0

Z Z1 = Z 2 = Z₃D

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Cargas desequilibradas

• No caso de cargas desequilibradas, a matriz de

impedância Z₀₁₂ apresentará elementos fora da diagonal principal, ou seja, impedância de acoplamento entre seqüências:

  

 

  

 

  

 

  

  =   

 

  

 

2 1 0

22 21

20

12 11

10

02 01

00

2 1 0

.

I I I

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

V V V

  

  

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Linha de Transmissão

• Seja uma LT equilibrada:

cc bb

aa _{Z Z} Z

Zp = = = _{Zm = Z} ab _{= Z} bc _{= Z} ac

  

 

  

  =

Zp Zm

Zm

Zm Zp

Zm

Zm Zm

Zp Z abc

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)

•

Para matriz de impedância, Z

abc

, equilibrada:

012 1 abc

Z

₌

T



_

Z

_

T

00 01 02

1 10 11 12

20 21 22

0

1

2

.

.

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

p m m

m p m

m m p

p m

p m

p m

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

T

Z

Z

Z

T

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z



















=

=



































 

_





 



=





 





 

_





 





 



Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

LT equilibrada em Componentes

Simétricos

T Z

T

Z 012 = 1  abc 

  

 

  

 

 

 =

Zm Zp

Zm Zp

Zm Zp

Z

0 0

0 0

0 0

2

012

Zm Zp  2

Zm Zp 

Zm Zp 

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Geradores

• Representação de Geradores Trifásicos:

• Fonte ideal atrás de uma impedância Z em cada fase;

• Ligado em Y com centro aterrado por uma impedância Zn;

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Geradores

                                =           NT NT NT N C N B N A CC BB AA CT BT AT V V V V V V V V V V V V             ' ' ' ' ' '            =            =           2 1 0 ' ' ' . . . I I I Z I I I Z V V V C B A CC BB AA          T           =           =           2 1 0 ' ' ' . E E E E E E V V V C B A N C N B N A          T

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Geradores

• Substituindo e pré multiplicando por T-1:

• Obs:

• Na geração simétrica E0 e E2 = 0

• O desenvolvimento é válido também para motores.

                                =           0 0 1 3 . ₀ 2 1 0 2 1 0 2 1 0 I n Z I I I Z E E E V V V          

 

 

0 0 0

1 1 1

2 2 2

( 3 ).

.

.

V E Z Zn I

V E Z I

V E Z I

  =  _  _ =  =          

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Geradores Simétricos Equilibrados em

componentes simétricos

0

3_.Z_N  Z_{g Zg2}

1

g Z

0

I

1

I

2

I

1

E

1

V

2

V

0

V

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Aplicação de C.S. em SEP (Z equilibrada)

• Portanto, para matriz de impedância, Zabc, equilibrada:

• É análogo a ter 3 sistemas monofásico desacoplados

0

0 0

1

1 1

2

2 2

0

0

0

0 .

0

0

Z

V

I

V

Z

I

V

_Z

I





 

 





 

 

= 



 

 





 

 

 

_

_

_

_

 













Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Exercício 1

• Seja um sistema trifásico do tipo

Gerador-Linha-Carga, onde:

• Tensão do gerador é assimétrica e dada por:

• Linha Equilibrada cujos valores são:

• Impedâncias próprias da LT iguais a (3,0+j5,6)Ω • Impedâncias mútuas da LT iguais a j2,60Ω

• Carga equilibrada conectada em Y cuja impedância é de

j50Ω/fase.

• Calcule as correntes na linha em componentes de fase

(ABC) e componentes simétricas (012) usando-se: V012_=Z012_.I012

13,8 0 13,8 90 13,8 90

A

o B

o C

V

V kV

V

 

 

 

  = _  _

 

 

 

   

  

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Exercício 2

• Seja um gerador trifásico que alimenta através de uma

linha, uma carga equilibrada, onde:

• Gerador Simétrico ligado em Y e Solidamente Aterrado;

• Tensão de Linha de 380V

• Linha a 3-fios (3F)

• Impedância Série de (0,5+j1,0)Ω/fase • Mútuas desprezíveis

• Carga ligada em Y

• Impedância de Fase de (4,5+j3,0)Ω/fase

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Exercício 2

continuação

1. Para a carga solidamente aterrada, calcule em CS:

a. Circuitos equivalentes de seqüência 0, positiva e negativa; b. Corrente Complexa 012 e ABC na LT;

c. Corrente de Aterramento da Carga.

2. Para a carga aterrada com resistência de 0,1Ω, calcule

em CS:

a. Circuitos equivalentes de seqüência 0, positiva e negativa; b. Corrente Complexa 012 e ABC na LT;

c. Corrente de Aterramento da Carga.

3. Para a carga com centro isolado, calcule em CS:

a. Circuitos equivalentes de seqüência 0, positiva e negativa; b. Corrente Complexa 012 e ABC na LT.

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Exercício 3

• Refaça o exercício anterior considerando a carga

desequilibrada e formada por: • Impedância da Fase A = (4,5 +j3,0)Ω • Impedância da Fase B = (4,5 -j3,0)Ω • Impedância da Fase C = (5,0 +j0,0)Ω

Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

UF

Obrigado

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Pro

f. A

bili

o M

. V

ari

z (

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