Xadrez, Matem´
atica e Computa¸c˜
ao
Adalberto Ayjara Dornelles Filho [email protected]
24 de dezembro de 2005
Resumo
Este texto ´e uma coletˆanea de breves considera¸c˜oes matem´aticas e computacionais sobre alguns aspectos do jogo de Xadrez. Os fragmentos aqui expostos n˜ao tˆem a pretens˜ao de serem in´editos, absolutamente rigorosos ou enciclopedicamente abrangentes mas pretendem ser (na medida do poss´ıvel) corretos, instrutivos e divertidos. Sugest˜oes e coment´arios s˜ao bem-vindos.
Sum´
ario
1 Trigo 2
2 Primeiros lances 2
3 Dois reis 2
4 Caminhos para o rei 3
5 Mates elementares 4
5.1 Rei e dama versus rei . . . 4 5.2 Rei e torreversus rei. . . 5
6 O passeio do cavalo 5
7 O problema das 8 Damas 6
8 Gloss´ario 8
Lista de Algoritmos
1
Trigo
Uma das muitas lendas acerca das origens do xa-drez diz que:
“Sissa, brˆamane ou fil´osofo indiano te-ria inventado o jogo de xadrez para curar o t´edio do enfastiado rei Ka´ıde. Como este lhe houvesse prometido a recompensa que desejasse, Sissa pediu 1 gr˜ao de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim su-cessivamente, at´e chegar a 64a
casa. O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu t˜ao humilde e acedeu imedia-tamente `a aparente insignificˆancia da peti-¸c˜ao, mas ... Feitos os c´alculos, verificou-se que todos os tesouros da ´India n˜ao eram suficientes para pagar a recompensa pe-dida” [1, p. 259].
Qual ´e a quantidade Q de gr˜aos pedida?
Q= 1 + 2 + 4 + 8 +...+ 263
=
63
X
k=0
2k
= 264
−1
= 18 446 744 073 709 551 615.
Este ´e um n´umero inacreditavelmente grande. Para se ter uma id´eia de seu tamanho, verifique-se que a produ¸c˜ao de trigo no Brasil em 2003 foi de 6 029 396 toneladas de gr˜aos [4]. Supondo que, em m´edia, mil gr˜aos de trigo pesem 35 g [6] ent˜ao seria necess´ario juntar a produ¸c˜ao brasileira de mais de 107 mil anos para pagar a recompensa!
2
Primeiros lances
Na posi¸c˜ao inicial, o primeiro lance (das brancas) pode ser efetuado de 20 modos distintos. Dois modos para cada um dos oito pe˜oes e dois modos para cada um dos dois cavalos (8×2 + 2×2 = 20). Para o segundo lance (resposta das pretas) tam-b´em se disp˜oe de 20 modos distintos, assim, ap´os os dois primeiros lances, podem ser produzidas 20×20 = 400 posi¸c˜oes distintas no tabuleiro. Ap´os os oito primeiros lances (quatro das brancas e qua-tro das pretas), a quantidade de posi¸c˜oes distintas eleva-se para
318 979 564 000.
Ap´os os 20 primeiros lances (dez das brancas e dez das pretas), tem-se
169 518 829 100 544 000 000 000 000 000
posi¸c˜oes distintas [1, p. 264].
3
Dois reis
Quantas posi¸c˜oes distintas podem ser formadas com dois reis sozinhos no tabuleiro?
Se o rei branco for colocado em uma casa do canto do tabuleiro como mostrado na Figura 1, o rei preto pode ocupar outras 64−4 = 60 casas (as 4 casas em vermelho s˜ao proibidas). Como o rei branco pode ocupar 4 cantos, s˜ao poss´ıveis 4×60 = 240 posi¸c˜oes.
Figura 1: Rei branco em um canto: 240 posi¸c˜oes.
Se, no entanto, o rei branco for colocado em uma das 6×4 = 24 casas das bordas do tabuleiro como na Figura 2, o rei preto pode ocupar 64−6 = 58 casas, totalizando 24×58 = 1392 posi¸c˜oes.
Figura 2: Rei branco em uma borda: 1392 posi-¸c˜oes.
Finalmente, se o rei branco for colocado em uma das 6×6 = 36 casas n˜ao-perif´ericas do tabu-leiro como na Figura 3, o rei preto pode ocupar 64−9 = 55 casas, totalizando 36×55 = 1980 posi¸c˜oes.
Figura 3: Rei branco em casa n˜ao-perif´erica: 1980 posi¸c˜oes.
4
Caminhos para o rei
Partindo dee1(sua casa inicial) o rei pode atingir
e8 (a casa inicial do rei advers´ario) em 7 lances. Quantos caminhos distintos existem?
A cada lance, o rei deve avan¸car uma fileira mas pode mover uma coluna `a esquerda, `a direita ou manter a mesma coluna. Um caminho poss´ı-vel ´e, por exemplo, 1.Rd2 2.Rd3 3.Rc4 4.Rd5 5.Re6 6.Re7 7.Re8como mostra a Figura 4.
Figura 4: Um poss´ıvel caminho para o rei, desde
e1 at´ee8.
Se representamos o movimento de avan¸co do rei movendo-se uma coluna `a esquerda por E, `a direita porDe mantendo a mesma colunaCent˜ao o caminho descrito acima pode ser representado pela seq¨uˆencia (E, C, E, D, D, C, C). Como a casa de partida e a de chegada est˜ao na mesma coluna, deve-se ter a mesma quantidade de movimentos do tipo D e E. Assim os poss´ıveis caminhos s˜ao
permuta¸c˜oes dos conjuntos
{C, C, C, C, C, C, C}, {D, E, C, C, C, C, C}, {D, D, E, E, C, C, C}, {D, D, D, E, E, E, C}.
O primeiro conjunto possui apenas uma muta¸c˜ao poss´ıvel, nos demais a quantidade de per-muta¸c˜oes ´e dada por
(nD+nE +nC)!
nD!nE!nC!
,
ondenD,nE enC s˜ao, respectivamente, o n´umero de movimentos do tipo D, E e C poss´ıveis em cada conjunto. Deste modo, a quantidade n de poss´ıveis caminhos ´e
n= 1 + 7! 1!1!5! +
7! 2!2!3!+
7! 3!3!1! = 1 + 42 + 210 + 140
= 393. (1)
Existem, portanto, 393 caminhos distintos para o rei mover-se de e1at´e e8[1, p. 264].
Agora poder´ıamos perguntar: De quantos mo-dos pode o rei atravessar o tabuleiro? Isto ´e, par-tindo dee1quantos caminhos existem at´e a ´ultima fileira? E poss´ıvel calcular isso de modo seme-´ lhante ao que foi feito acima. Tamb´em ´e poss´ıvel calcular da maneira descrita a seguir.
Na figura 5, a casa e1 foi marcada com o n´ u-mero 1 pois s´o existe uma maneira do rei estar em sua posi¸c˜ao inicial.
Figura 5: Caminhos para o rei, desde e1 at´e a ´
ultima fileira.
Em seguida, na segunda fileira, as casasd2,e2
ef2foram marcadas com o n´umero 1 pois somente existe uma maneira do rei chegar em cada uma dessas casas, vindo dee1.
do rei chegar nessa casa vindo de d2 ou e2. A casa e3 foi marcada com o valor 3 pois existem trˆes maneiras do rei chegar nessa casa vindo de
d2, e2 ou f2. As demais casas da fileira foram marcadas seguindo o mesmo racioc´ınio.
Note que o valor marcado em uma dada casa ´e obtido pela soma dos valores das trˆes casas da fileira inferior das quais o rei pode vir. Por exem-plo, o valor marcado na casad4´e 6 pois ´e a soma dos valores marcados nas casasc3,d3ee3. Exis-tem 6 maneiras de o rei chegar ad4: um caminho passando por c3, dois caminhos passando pord3
e trˆes caminhos passando pore3.
Esse procedimento ´e efetuado fileira por fileira at´e chegar a ´ultima fileira. Os valores marcados em cada casa da ´ultima fileira corresponde ao n´ u-mero de caminhos poss´ıveis desde e1 at´e aquela casa. Note que o valor marcado na casae8´e 393, o mesmo resultado obtido em (1). A soma dos valo-res marcados na ´ultima fileira corresponde as pos-s´ıveis modos do rei atravessar o tabuleiro: 1994.
5
Mates elementares
Denominam-se mates elementares `as posi¸c˜oes de mate em que o bando perdedor possui apenas o rei e o bando vencedor possui um conjunto m´ınimo de pe¸cas, sem pe˜oes. Existem quatro tipos de mates elementares:
• Rei e damaversus rei;
• Rei e torreversus rei;
• Rei e dois bispos (de cores diferentes)versus
rei;
• Rei, bispo e cavalo versus rei.
O mate somente pode ser dado quando o rei do bando perdedor est´a em um canto ou na borda do tabuleiro. Com exce¸c˜ao das posi¸c˜oes em que ocorre empate por afogamento ou em que uma pe¸ca possa ser imediatamente capturada, o mate pode ser for¸cado em, no m´aximo, 10, 16, 19 e 33 lances, respectivamente [3].
Nas se¸c˜oes seguintes determina-se quantas po-si¸c˜oes distintas podem ser obtidas para cada tipo de mate elementar. Como de costume na litera-tura, as brancas s˜ao o bando vencedor.
5.1 Rei e dama versus rei
A Figura 6 mostra o rei negro em um canto do tabuleiro. Nessa situa¸c˜ao o rei branco pode ocupar
2 casas (marcadas em azul) e a dama branca 8 casas (marcadas em verde). Estas posi¸c˜oes podem ser refletidas 8 vezes, portanto podem ocorrer 2×
8×8 = 128 posi¸c˜oes de mate.
Figura 6: Rei e damaversus rei, situa¸c˜ao 1.
A Figura 7 mostra o rei negro em uma borda do tabuleiro e o rei branco em oposi¸c˜ao (´unica posi¸c˜ao poss´ıvel). O par de reis pode estar em qualquer uma das 6 colunas de b a g. A dama branca pode ocupar uma das 5 casas (marcadas em verde) ´ultima da fileira. Essas posi¸c˜oes podem ser rotacionadas nas 4 bordas do tabuleiro e assim 6×5×4 = 120 posi¸c˜oes de mate podem ocorrer.
Figura 7: Rei e damaversus rei, situa¸c˜ao 2.
As Figuras 8, 9 e 10 mostram as demais poss´ı-veis situa¸c˜oes.
Figura 8: Rei e damaversus rei, situa¸c˜ao 3.
Figura 9: Rei e damaversus rei, situa¸c˜ao 4.
Figura 10: Rei e damaversus rei, situa¸c˜ao 5.
Fig. R D desl. refl. total
6 2 8 1 8 128
7 1 5 6 4 120
8 3 1 6 4 72
9 1 1 5 8 40
10 1 1 1 4 4
Total 364
Tabela 1: Resumo das 364 poss´ıveis situa¸c˜oes de mate para rei e damaversus rei.
5.2 Rei e torre versus rei.
Assim como no caso anterior, o mate somente pode ser dado quando o rei negro est´a em um canto ou na borda do tabuleiro. As Figuras 11 e 12 mostram as poss´ıveis situa¸c˜oes.
Figura 11: Rei e torre versus rei, situa¸c˜ao 1.
Figura 12: Rei e torre versus rei, situa¸c˜ao 2.
Um resumo das contagens ´e mostrado na Ta-bela 2. No total, tem-se 216 posi¸c˜oes de mate [1, p.264], [5].
Fig. R T desl. refl. total
11 2 6 1 8 96
12 1 5 6 4 120
Total 364
Tabela 2: Resumo das 216 poss´ıveis situa¸c˜oes de mate para rei e torreversus rei.
6
O passeio do cavalo
O problema denominado Passeio do Cavalo ou
Knight Tour consiste em fazer um cavalo percorrer todas as 64 casas do tabuleiro passando uma ´unica vez em cada uma. O matem´atico Leonhard Euler
Figura 13: Passeio do cavalo em caminho aberto.
A Figura 14 mostra um caminho fechado na qual o passeio inicia em a1 termina em b3 (po-dendo pular paraa1em seguida).
Figura 14: Passeio do cavalo em caminho fechado.
7
O problema das 8 Damas
´
E poss´ıvel colocar 8 damas em um tabuleiro de modo que nenhuma fique em casa guardada por outra?
Este problema foi proposto pela primeira vez na revista Schachzeitung em 1848. Por volta de 1850 o matem´atico Johann Karl Friedrich Gauss
(1775 - 1855) e o astrˆonomoHeinrich Schumacher
(1780 - 1850) descobriram 12 solu¸c˜oes fundamen-tais que por rota¸c˜ao e reflex˜ao d˜ao origem a um total de 92 solu¸c˜oes distintas, duas delas represen-tadas nas Figuras 15 e 16.
Note-se que, devido `a simetria da solu¸c˜ao
re-Figura 15: Uma solu¸c˜ao n˜ao-sim´etrica para o pro-blema das 8 damas.
produzida na Figura 16, o total de solu¸c˜oes ´e in-ferior a 8×12 = 96.
Encontrar solu¸c˜oes para esse problema n˜ao ´e t˜ao f´acil quanto parece `a primeira vista pois exis-tem
C864=
64!
8!(64−8)! = 4 426 165 368
maneiras distintas de dispor as 8 damas no tabu-leiro. Se for utilizado o crit´erio de que cada co-luna deve conter uma, e apenas uma, dama ent˜ao a quantidade de possibilidades diminui para
88
= 16 777 216.
Se for utilizado o crit´erio de que cada coluna e cada fileira deve conter uma, e apenas uma, dama ent˜ao a quantidade de possibilidades diminui para
8! = 40 320.
Com esse ´ultimo crit´erio, pode-se representar cada uma das disposi¸c˜oes como uma permuta¸c˜ao do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}. Usando essa nota-¸c˜ao, as solu¸c˜oes das Figuras 15 e 16 s˜ao represen-tadas por
(1,5,8,6,3,7,2,4) e (3,5,2,8,1,7,4,6),
respectivamente. As outras 10 solu¸c˜oes fundamen-tais do problema s˜ao dadas por
(1,6,8,3,7,4,2,5), (2,4,6,8,3,1,7,5),
(2,5,7,1,3,8,6,4), (2,5,7,4,1,8,6,3),
(2,6,1,7,4,8,3,5), (2,6,8,3,1,4,7,5),
(2,7,3,6,8,5,1,4), (2,7,5,8,1,4,6,3),
(3,5,8,4,1,7,2,6), (3,6,2,5,8,1,7,4).
´
E poss´ıvel estender esse problema para o posi-cionamento dendamas em um tabuleiro den×n
casas. Do ponto de vista computacional, esse pro-blema ´e de complexidade elevada pois, `a princ´ıpio, a quantidade de disposi¸c˜oes a ser verificada ´e n!. Apenas para valores relativamente pequenos den
´e poss´ıvel gerar e verificar todas as permuta¸c˜oes do conjunto {1, . . . , n}. A Tabela 3 mostra, para alguns valores den, a quantidade de permuta¸c˜oes poss´ıveis (n!), a quantidade total de solu¸c˜oes (nT) e a quantidade de solu¸c˜oes fundamentais (nF).
Do ponto de vista computacional, existem di-versas maneiras de resolver o problema. Um dos algoritmos mais simples utiliza a t´ecnica de back-tracking. O algoritmo OitoDamasdetermina as m solu¸c˜oes para o problema de n damas em um tabuleiron×n. O algoritmo armazena as poss´ıveis
Algoritmo 1: OitoDamas Entrada: n
Sa´ıda: S, m { Inicializa¸c˜ao} 1:
m←0
2:
T ←zeros(n)
3:
T1 ←1
4: v←1
5: i←1
6:
{ La¸co principal} 7:
enquanto Ti≤n fa¸ca
8:
{ Avan¸ca ou grava solu¸c˜ao} 9:
sev= 1 ent˜ao 10:
se i < n ent˜ao 11:
i←i+ 1
12:
sen˜ao 13:
m←m+ 1
14:
Sm ←T
15:
fim 16:
fim 17:
{ Calcula valor da coluna} 18:
enquanto Ti =ne i >1 fa¸ca
19:
Ti ←0
20:
i←i−1
21:
fim 22:
Ti ←Ti+ 1
23:
{ Teste da validade} 24:
v←1
25:
j←1
26:
enquanto j < ifa¸ca 27:
t←Ti−Tj
28:
se t=i−j ou t=j−iou t= 0
29:
ent˜ao v←0
30:
quebra de la¸co 31:
fim 32:
j ←j+ 1
33:
fim 34:
n n! nT nF
1 1 1 1
2 2 0 0
3 6 0 0
4 24 2 1
5 120 10 2
6 720 4 1
7 5 040 40 6
8 40 320 92 12
9 362 880 352 46
10 ∼3×106
724 92
11 ∼3×107
2 680 341
12 ∼4×108
14 200 1 787
Tabela 3: Quantidade de solu¸c˜oes para o problema das 8 damas.
solu¸c˜oes em um vetor T como na nota¸c˜ao acima. Cada solu¸c˜ao encontrada ´e armazenada na matriz
S.
Uma varia¸c˜ao do problema das oito damas con-siste em colocar oito damas em um tabuleiro de modo que o n´umero de casas guardadas pelas da-mas seja m´ınimo. At´e o momento conjectura-se que o n´umero minimo de casas guardadas seja 53 e que pode ser obtido com 6 disposi¸c˜oes distintas segundo [3, p. ???]. A Figura 17 mostra uma des-sas solu¸c˜oes. As 11 cades-sas marcadas em verde n˜ao s˜ao guardadas por nenhuma dama.
Figura 17: Oito damas guardando um m´ınimo de casas.
8
Gloss´
ario
Segue um vocabul´ario b´asico de termos de xadrez, matem´atica e computa¸c˜ao usados.
casa: cada uma das 64 divis˜oes do tabuleiro. Existem 32 casas brancas e 32 casas pretas. Na nota¸c˜ao padr˜ao cada casa ´e identificada por uma letra (dea ah) seguido de um n´ u-mero (de 1 a 8). Por exemplo,a1,b3,h7.
coluna: conjunto de 8 casas justapostas verti-calmente. Nos diagramas as colunas s˜ao as-sociadas as letras deaahda esquerda para a direita.
combina¸c˜ao:
fileira: conjunto de 8 casas justapostas horizon-talmente. Nos diagramas as fileiras s˜ao nu-meradas de 1 a 8 de baixo para cima. As pe¸cas brancas ocupam as fileiras 1 e 2 e as pe¸cas pretas as fileiras 7 e 8.
lance: movimento realizado por um jogador ou bando. Pode ser o movimento de uma pe¸ca para uma casa vaga, ou captura de uma pe¸ca advers´aria, ou captura en passant de pe˜ao, ou roque ou promo¸c˜ao. Na nota¸c˜ao padr˜ao, a contagem dos lances ´e feita em conjunto para cada jogador, isto ´e, ap´os o primeiro
lance das brancas segue oprimeirolance das pretas, em seguida osegundolance das bran-cas e osegundo lance das pretas e assim su-cessivamente. J´a no jarg˜ao dos programado-res de computador, cada lance ´e contado in-dividualmente e denominadoply. Por exem-plo, se os primeiros lances de uma partida s˜ao 1.e4 e5 2.Nf3 Nc6 3.Bb5, tem-se 3 lances brancos e 2 lances pretos ou 5plies.
mate elementar:
oposi¸c˜ao:
permuta¸c˜ao: Cada uma das poss´ıveis ordena-¸c˜oes de objetos de um conjunto. Em um conjunto de n objetos distintos, o n´umero de ordena¸c˜oes poss´ıveis ´e
n! =n×(n−1)× · · · ×2×1.
Por exemplo, ´e poss´ıvel ordenar as letras da palavra xadrez em 6! = 720 modos
dis-tintos. Em um conjunto de objetos com
n1, . . . , np repeti¸c˜oes, o n´umero de
ordena-¸c˜oes poss´ıveis ´e
(n1+. . .+np)!
n1!×. . .×np!
Por exemplo, ´e poss´ıvel ordenar as letras da palavramatem´atica de
(3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1)!
3!2!2!1!1!1! = 151 200
modos distintos. [2, p. 23, 40].
posi¸c˜ao inicial:
posi¸c˜ao legal/ilegal:
tabuleiro,ou tabuleiro de xadrez, um tabuleiro quadrado composto de 64 quadrados meno-res coloridos alternadamente de comeno-res clara (brancas) e escuras (pretas) dispostos em 8 colunas e 8 fileiras. Nos diagramas a casa inferior direita (h1) deve ser clara.
Referˆ
encias
[1] Idel Becker,Manual de xadrez, 16a
ed., Ed. Nobel, S˜ao Paulo, 1982.
[2] Augusto C´esar de Oliveira Morgado Carvalho, Jo˜ao Bosco Pitombeira de Carvalho, Paulo Ce-zar Pinto Carvalho, and Pedro Fernandez, An´alise combinat´oria e probabilidade, Cole¸c˜ao do pro-fessor de Matem´atica, Sociedade Brasileira de Matem´atica - SBM, Rio de Janeiro, 1991.
[3] David Hooper and Kenneth Whyld, The oxford companion to chess, Oxford University Press, Oxford, 1996.
[4] Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica – IBGE, Levantamento sistem´atico da produ¸c˜ao agr´ıcola,www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/agropecuaria/lspa, junho 2004.
[5] Ari Luiro and Aerre Tiilikainen, The number of simple endgame mates, http://www.geosites. com/TimesSquare/Metro/9154/lopmates.htm, outubro 2004.
