Grupos I
Definici´
on. Primeras propiedades.
Definici´on. Ungrupoes un parG= (G,∗) formado por un conjuntoG y una operaci´on (binaria interna) en G:
G×G → G
(a, b) → a∗b de forma que se cumplan las condiciones siguientes:
1. La operaci´on es asociativa
a∗(b∗c) = (a∗b)∗c, para todo a, b, c∈G . 2. Hay un elementoe ∈G tal que
a∗e=a=e∗a, para todo a ∈G . 3. Para cadaa ∈G hay un elemento a′
∈G tal que a∗a′
=e =a′
∗a .
Definici´on. Dos elementosa y b de un grupo conmutan si a∗b=b∗a. Un grupo G es conmutativo o abeliano si todo par de elementos de ´el conmutan. Si el conjunto G es finito, entonces se dice que el grupoGesfinitoy se denota por|G|el n´umero de elementos de G; en otro caso se dice que el grupo G es infinito y se pone|G|=∞.
Comentario acerca de la notaci´on.
Frecuentemente la notaci´on utilizada para representar la operaci´on de un grupo determi-nado es o bien aditiva o bien multiplicativa, como se ver´a en los ejemplos considerados m´as adelante; seg´un el caso se utilizan convenios de notaci´on que se exponen a continuaci´on:
– Notaci´on multiplicativa. La operaci´on en un grupo G se expresa en la forma
G×G → G o bien G×G → G
En este caso se suele omitir el punto “.” o el aspa “×”y se escribe simplemente
a.b = ab ´o a ×b = ab, si no hay posible ambig¨uedad; se dice que a y b son los factores y que ab es el producto, mientras que la operaci´on se denomina
multiplicaci´on. En este caso los axiomas de la definici´on de grupo se expresan:
1. La operaci´on es asociativa
a(bc) = (ab)c, para todo a, b, c∈G .
2. Hay un elemento 1 ∈G tal que
a1 =a= 1a, para todo a∈G .
3. Para cada a∈G hay un elemento a−1 ∈G tal que
aa−1 = 1 =a−1a .
– Notaci´on aditiva. La operaci´on en un grupo G se expresa en la forma
G×G → G
(a, b) → a+b
Se dice que a y b son los sumandos y que a +b es la suma, mientras que la operaci´on se denomina adici´on. En este caso los axiomas de la definici´on de grupo toman la forma:
1. La operaci´on es asociativa
a+ (b+c) = (a+b) +c, para todo a, b, c∈G .
2. Hay un elemento 0 ∈G tal que
a+ 0 =a= 0 +a, para todo a ∈G .
3. Para cada a∈G hay un elemento −a ∈G tal que
a+ (−a) = 0 = (−a) +a .
Si la notaci´on utilizada es aditiva, entonces se supone que el grupo es abeliano, es decir, se supone que
a+b=b+a, para todo a, b∈G.
Propiedades inmediatas.
En todo grupo se cumplen las siguientes propiedades elementales, derivadas directamente de la definici´on de grupo:
Proposici´on. Sea G= (G, .) un grupo. 4. Si e, e′ son elementos de G tales que
a.e=a=e.a, para todo a ∈G, y
a.e′ =a=e′.a, para todo a ∈G, entonces e′
=e. En consecuencia, el elemento e del axioma 2 de la definici´on de grupo es ´unico; se dice que e es el elemento unidad del grupo G, y se pone, habitualmente, e = 1 si se utiliza notaci´on multiplicativa; [ se pone e = 0 si la notaci´on es aditiva, en cuyo caso 0 se denomina el elemento neutro o cero del grupo ].
5. Sea a un elemento de G, si a′, a′′ son elementos de G tales que
a.a′ =e =a′.a,
y
a.a′′ =e =a′′.a, entonces a′
=a′′
. En consecuencia, dado a ∈ G, el elemento a′
del axioma 3 de la definici´on de grupo es ´unico; se dice que a′ es el elemento inverso de a y se
pone, habitualmente, a′
= a−1
si la notaci´on es multiplicativa; [ si la notaci´on usada es aditiva entonces se escribe a′
= −a y se dice que −a es el opuesto de a ].
6. 1−1 = 1; [ −0 = 0, en caso de notaci´on aditiva].
7. Para todo a∈G se tiene (a−1)−1 =a; [ −(−a) =a para notaci´on aditiva ].
8. Para todo a, b∈ G se tiene (a.b)−1 =b−1.a−1; [ −(a+b) =−a+ (−b) = −a−b
en caso de notaci´on aditiva (n´otese que en este caso se supone que el grupoG es conmutativo) ].
9. Sean a, b, celementos de G, si a.b=a.c, entonces b=c; si b.a=c.a, entonces b=c. 10. Dadosa, b ∈G,
hay un ´unico elemento x ∈G que cumpla a.x=b, y hay un ´unico elemento y ∈G que cumpla y.a=b.
4. Se tiene
e =e.e′ =e′.
5. Se tiene
a′ =a′.e =a′.(a.a′′) = (a′.a).a′′ =e.a′′ =a′′.
6. Como 1.1 = 1, el inverso de 1 es 1.
7. Dea.a−1 = 1 =a−1.a se sigue que el inverso dea−1 es a.
8. Dado que
(a.b).(b−1.a−1) =a.(b.b−1).a−1 =a.1.a−1 =a.a−1 = 1
y
(b−1.a−1).(a.b) =b−1.(a−1.a).b=b−1.1.b=b−1.b= 1,
se sigue que el inverso dea.b es b−1.a−1.
9. Si a.b = a.c, entonces a−1.(a.b) = a−1.(a.c), de donde (a−1.a).b = (a−1.a).c; esto es 1.b= 1.c y, finalmente, b= c. Se prueba analogamente la otra propiedad multiplicando (a derecha) los dos miembros de la igualdadb.a =c.a por el inverso de a.
10. Existencia: Tomar x = a−1
.b (respectivamente, y = b.a−1
). Unicidad: es conse-cuencia de la propiedad 9.
Ejercicio. Cada elemento a en un grupo G define aplicaciones
fa : G → G ca : G → G
x → fa(x) =ax x → ca(x) =xa
Probar:
a. Si a, b son elementos de G, entonces fa◦fb =fab y ca◦cb =cba. b. f1 = 1G (la aplicaci´on identidad de G en G) y c1 = 1G.
c. Como una consecuencia de los apartados a. y b., para cada a ∈ G la aplicaci´on
fa es una biyecci´on de G en G, y la aplicaci´on ca es una biyecci´on de G en G.
d. Interpretar el apartado c. en t´erminos de las filas y las columnas de la tabla de la operaci´on del grupo G.
Ejemplos
1 2
3 4
X X'
Y
Y'
conceptos m´as abstractos. Algunos de estos ejemplos se utilizar´an posteriormente a fin de ilustrar los nuevos conceptos que se vayan introduciendo. Se hace un ´enfasis especial en la “tabla del grupo” como una forma de escribir expl´ıcitamente o representar la operaci´on del grupo; obviamente, tal representaci´on de la operaci´on s´olo es factible (humanamente) en los casos de grupos finitos de orden peque˜no.
En todos los ejemplos tratados el estudiante debe poner especial atenci´on en compren-der cabalmente los dos ingredientes que intervienen en la construcci´on o definici´on de un grupo G= (G,∗):
• el conjuntoG soporte del grupo, y
• la operaci´on (binaria interna) ∗ definida en el conjunto G.
Para, a continuaci´on, comprobar si se cumplen (o no) los “axiomas de grupo”.
1. El grupo de las isometr´ıas de un rect´angulo.
Consideremos en un plano un rect´angulo que no sea un cuadrado (esto es, que tenga dos lados de longitudes distintas). Las isometr´ıas del plano que fijan el rect´angulo (globalmente, no necesariamente punto a punto) son:
–La identidad: 1
–La simetr´ıa axial con respecto al eje X–X’: h
–La simetr´ıa axial con respecto al eje Y–Y’: v
–La simetr´ıa central con respecto al centro del rect´angulo: s
La composici´on de dos isometr´ıas del plano que fijan el rect´angulo es a su vez una isometr´ıa que fija el rect´angulo; se tiene as´ı un conjunto G = {1, h, v, s} y una operaci´on (binaria interna) en ´el:
G×G → G
(f, g) → f◦g
El conjunto G con esta operaci´on es un grupo (el
grupo de las isometr´ıas del rect´angulo); se muestra a la derecha la tabla que representa la ope-raci´on. Este grupo se conoce usualmente con el nombre de grupo de Klein y se denota por K4. El grupo K4 es conmutativo y se tiene |K4| = 4. (La conmutatividad se manifiesta en la simetr´ıa de la tabla con respecto a la diagonal “principal”).
1 h v s
1 1 h v s
h h 1 s v
v v s 1 h
s s v h 1
2. Los grupos de ra´ıces n-´esimas de la unidad.
R1 ={1}.
R2 ={1,−1}.
R3 =
1,−1 +i √
3
2 ,
−1−i√3 2
.
R4 ={1, i,−1,−i}. En general
Rn ={cos(2kπ/n) +isen(2kπ/n)|k ∈Z, 0≤k < n}, (n= 1,2,3, . . .).
Fijado n, si z1 y z2 pertenecen a Rn, entonces (z1z2)n =z1nz2n = 1, con lo que z1z2 ∈Rn; esto permite restringir la multiplicaci´on en el cuerpo C de los complejos al subconjunto
Rn:
Rn×Rn → Rn
(z1, z2) → z1z2
El conjunto Rn equipado con esta operaci´on es un grupo conmutativo (compru´ebese), llamado el grupo de las ra´ıces n-´esimas de la unidad en el cuerpo C de los n´umeros complejos.
En la tabla adjunta se representa la operaci´on en el grupo
R3 =
1,−1 +i √
3
2 =α,
−1−i√3
2 =β
de las ra´ıces c´ubicas de la unidad.
1 α β
1 1 α β
α α β 1
β β 1 α
En la tabla adjunta se representa la operaci´on en el grupoR4 ={1, i,−1,−i}de las ra´ıces cuartas de la unidad
1 i −1 −i
1 1 i −1 −i i i −1 −i 1
1 2
3 4
X X'
Y
Y'
3. El grupo de las isometr´ıas de un cuadrado.
Consideremos un cuadrado en un plano. Las isometr´ıas del plano que fijan el cuadrado son:
–La identidad: 1
–El giro de π/2 radianes con centro de giro en el centro del cuadrado y sentido “positivo”: g1 –El giro deπradianes con centro de giro en el centro
del cuadrado: g2
–El giro de 3π/2 radianes con centro de giro en el centro del cuadrado y sentido “positivo”: g3 –La simetr´ıa axial con respecto al eje X–X’: h
–La simetr´ıa axial con respecto al eje Y–Y’: v
–La simetr´ıa axial con respecto al eje 1–3: d1 –La simetr´ıa axial con respecto al eje 2–4: d2
Pongamos D4 = {1, g1, g2, g3, h, v, d1, d2}; el conjunto D4 junto con la operaci´on de com-posici´on de transformaciones es un grupo: el grupo di´edrico de grado 4. Se expone seguidamente la tabla de este grupo:
1 g1 g2 g3 h v d1 d2 1 1 g1 g2 g3 h v d1 d2
g1 g1 g2 g3 1 d1 d2 v h
g2 g2 g3 1 g1 v h d2 d1
g3 g3 1 g1 g2 d2 d1 h v
h h d2 v d1 1 g2 g3 g1
v v d1 h d2 g2 1 g1 g3
d1 d1 h d2 v g1 g3 1 g2
d2 d2 v d1 h g3 g1 g2 1
4. Los grupos de permutaciones.
Para cada entero positivo n pongamos In = {i ∈Z| 1 ≤i ≤ n}, y sea Sn el conjunto de las aplicaciones biyectivas de In en s´ı mismo:
Sn ={α |α:In→In, α biyectiva}.
(binaria interna) en el conjunto Sn:
Sn×Sn → Sn
(α, β) → α◦β
donde
(α◦β)(i) =α(β(i)), (i∈In).
El parSn = (Sn,◦) es un grupo (compru´ebese), llamado elgrupo de las permutaciones
del conjunto In o el grupo sim´etrico de grado n. Se tiene |Sn|=n!. Examinemos con alg´un detalle el grupo S3: hay exactamente 3! = 6 permutaciones de I3 que son:
1 =
1 2 3 1 2 3
, α1 =
1 2 3 2 3 1
, α2 =
1 2 3
3 1 2
,
γ1 =
1 2 3 2 1 3
, γ2 =
1 2 3 1 3 2
, γ3 =
1 2 3
3 2 1
.
La tabla del grupo sim´etrico S3 es como sigue:
1 α1 α2 γ1 γ2 γ3 1 1 α1 α2 γ1 γ2 γ3
α1 α1 α2 1 γ3 γ1 γ2
α2 α2 1 α1 γ2 γ3 γ1
γ1 γ1 γ2 γ3 1 α1 α2
γ2 γ2 γ3 γ1 α2 1 α1
γ3 γ3 γ1 γ2 α1 α2 1
Es f´acil comprobar que los grupos S1 y S2 son conmutativos, mientras que Sn no es conmutativo si n≥3.
5. Los grupos lineales.
Sea k un cuerpo conmutativo (por ejemplo, el cuerpo Q de los n´umeros racionales ´o cualquiera de los cuerpos Zp con p primo) y sea n un entero positivo. Se denota Mn(k)
el conjunto de las matrices cuadrdas n×n con coeficientes en k. Se denota GLn(k) el
conjunto de las matrices cuadradas n×n con coeficientes en k y de determinante distinto de cero (matrices regulares):
GLn(k) ={A ∈Mn(k)|det(A)= 0}.
Dado que det(AB) = det(A) det(B), y que en todo cuerpo el producto de dos elementos no nulos es no nulo, la multiplicaci´on en Mn(k) define (por restricci´on) una operaci´on (binaria
interna) en el conjunto GLn(k):
GLn(k)×GLn(k) → GLn(k)
El conjunto GLn(k) equipado con esta operaci´on es un grupo denominado elgrupo lineal de grado n sobre k.
6. Los grupos aditivos de los anillos.
En todo anillo A = (A, +, .) el par (A,+) es (por definici´on de anillo) un grupo, denom-inado el grupo aditivo del anillo A. Ejemplos de tales grupos son
(Z,+), el grupo aditivo de los enteros; (Q,+), el grupo aditivo de los racionales; (R,+), el grupo aditivo de los reales; (C,+), el grupo aditivo de los complejos;
(Zm,+) para un entero m≥0, el grupo aditivo de los enteros m´odulo m. En la tabla adjunta se representa la operaci´on del grupo aditivo del anillo Z4:
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
7. Los grupos de las unidades de los anillos.
En todo anillo A = (A, +, .) el par (U(A), .), formado por el conjunto de las unidades del anillo A y la operaci´on de multiplicaci´on, es un grupo, denominado el grupo de las unidades del anillo A. Ejemplos de tales grupos son
(U(Z), .) = ({1,−1}, .),
(U(Q), .), el grupo multiplicativo de los racionales no nulos; (U(R), .), el grupo multiplicativo de los reales no nulos; (U(C), .), el grupo multiplicativo de los complejos no nulos;
(U(Zm), .) para un entero m ≥ 2, el grupo multiplicativo de las unidades del
anillo de los enteros m´odulo m.
Para m= 12, se tiene U(Z12) ={1,5,7,11}; en la tabla siguiente se repre-senta la operaci´on en el grupo multiplicativoU(Z12):
1 5 7 11
1 1 5 7 11
5 5 1 11 7
7 7 11 1 5
11 11 7 5 1
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 1 3
3 3 1 4 2
4 4 3 2 1
Potencias y m´
ultiplos
Definici´on. Sea G= (G, .) un grupo. Para cada elemento a ∈G y cada entero n∈Z la potencia de base a y exponente n, denotada an, es
an
= 1, si n= 0,
=aan−1, si n >0, = (a−1)−n, si n <0.
Ejemplos
1 Si a es un elemento de un grupo multiplicativo G, entonces:
a0 = 1, a1 =a, a2 =aa, a3 =aaa, a4 =aaaa, . . .
a−1 = (a−1)1, a−2 = (a−1)2 =a−1a−1, a−3 = (a−1)3 =a−1a−1a−1, . . .
2 Las potencias de i en el grupo R4 de las ra´ıces cuartas de la unidad son:
i0 = 1, i1 =i, i2 =−1, i3 =−i, i4 = 1, i5 =i, i6 =−1, i7 =−i, . . .
i−1
=−i, i−2
=−1, i−3
=i, i−4
= 1, i−5
=−i, . . .
3 Sea
A =
1 1 0 1
∈GL2(Q),
para todo enteron se tiene
An =
1 n
0 1
.
Proposici´on. Para cualquier elemento a en un grupo G y enteros n, m arbitrarios se tienen:
1. anam =an+m, 2. (an)m
=anm,
3. Si bes un elemento de G que conmute con a, entonces (ab)n =anbn.
Ejemplo. Sea k un cuerpo conmutativo (k =Q, k =Z2, . . .). Las matrices
a =
1 0 1 1
y b=
0 1 1 1
tienen determinante 1 y −1, respectivamente; por consiguiente a y b pertenecen al grupo GL2(k), y se cumplen las siguientes relaciones:
ab=
0 1 1 2
, ba=
1 1 2 1
.
Dado que 1= 0 en cualquier cuerpo, se tiene ab=ba. Adem´as:
(ab)2 =
1 2 2 5
y a2b2 =
1 1 3 4
.
Dado que 1= 2 en cualquier cuerpo (¿por qu´e?), se concluye que
(ab)2 =a2b2.
Notaci´on aditiva: m´ultiplos enteros.
Sea G = (G,+) un grupo aditivo (y, por tanto, abeliano de acuerdo con el convenio establecido), se definen los m´ultiplos enteros na, (n∈Z), de un elemento a de G en la forma: na
= 0, si n= 0,
=a+ (n−1)a, si n >0,
= (−n)(−a), si n <0.
Proposici´on. Para elementos cualesquiera a, b en un grupo aditivo G y enteros n, m arbitrarios se tienen:
1. (na) + (ma) = (n+m)a, 2. m(na) = (mn)a,
El Concepto de Subgrupo. Intersecciones de Subgrupos.
Sub-grupo Engendrado por un Subconjunto de un Grupo.
Definici´on. Un subconjuntoH de un grupo G es un subgrupode G si 1. la unidad deG pertenece a H; esto es, 1∈H;
2. el producto (en G) de todo par de elementos de H pertenece a H; esto es, para todo u, v, si u, v∈H, entonces uv∈H; y
3. el inverso (en G) de todo elemento de H pertenece a H; esto es, para todou, si u∈H, entonces u−1 ∈H.
Ejemplos.
1. Los conjuntos {1}, {1, h}, {1, v}, {1, s} y K4 son (todos los) subgrupos del grupo de
K4 de las isometr´ıas del rect´angulo.
2. Los conjuntos {1}, {1,−1} y R4 son (todos los) subgrupos del grupo R4 de las ra´ıces cuartas de la unidad.
3. Los conjuntos{1}, {1, γ1}, {1, γ2},{1, γ3},{1, α1, α2} y S3 son (todos los) subgrupos del grupo sim´etrico de grado 3: S3.
4. Para cualquier entero positivon y cualquier cuerpo (conmutativo) k, el conjunto
SLn(k) ={A∈Mn(k)|det(A) = 1}
es un subgrupo del grupo GLn(k), llamado el grupo lineal especial (de grado n
sobre el cuerpo k).
Es ´util la siguiente caracterizaci´on de los subgrupos:
Proposici´on. Un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si, y s´olo si, se cumplen las dos propiedades siguientes
1. H =∅ y
2. para todo u, v ∈H se tiene que uv−1 ∈H.
Demostraci´on. SeaH un subgrupo de un grupoG; dado que 1∈H, se tieneH =∅; siu, v
son elementos deH, entoncesv−1 pertenece aH y, por tanto,uv−1 ∈H. Reciprocamente, sea H un subconjunto no vac´ıo de un grupo G tal que para todo u, v ∈ H, uv−1 ∈ H; por ser H = ∅ hay, al menos, un elemento x ∈ H, por tanto 1 = xx−1 ∈ H; si u ∈ H, entonces u−1 = 1.u−1 ∈ H; finalmente, si u, v ∈ H, entonces se tendr´a u, v−1 ∈ H, de donde uv=u(v−1)−1 ∈H.
N´otese que para cualquier grupo G, los conjuntos {1} y G son subgrupos de G.
Si H es un subgrupo de un grupo G, la operaci´on en G
G×G → G
(a, b) → a.b
se restringe al subconjunto H
H×H → H
(u, v) → u.v ; y H (con esta operaci´on) es un grupo.
Es posible describir todos los subgrupos del grupo aditivo Z= (Z,+) de los enteros: Si m es un entero, entonces el conjunto mZ = {mz | z ∈ Z} es un subgrupo de Z (La demostraci´on de esta afirmaci´on es sencilla y se deja como ejercico). Rec´ıprocamente:
Proposici´on. SiH es un subgrupo del grupo aditivoZde los enteros, entonces existe un ´
unico entero m≥0 tal que H =mZ. Si H = {0}, entonces m= 0; si H ={0}, entonces m es el menor entero positivo en H.
Demostraci´on. Suponer H = {0}, de modo que hay elementos no nulos en H, sea
h ∈ H, h = 0; dado que H es un subgrupo de Z, se tendr´a que el opuesto −h de h
pertenece aH; en consecuencia hay enteros positivos enH; seamel menor entero positivo enH y veamos queH =mZ. Obviamente,mZ⊆H (¿por qu´e?). Veamos la otra inclusi´on: Si h es cualquier elemento de H, por la propiedad de la divisi´on, existen enteros q, r tales que
h =mq+r, y 0 ≤r < m.
Dado que h, mq ∈ H, se tiene que r ∈ H; como m es (por elecci´on) el menor entero positivo en H, debe ser r = 0, de donde h = mq ∈ mZ. Esto prueba que H ⊆ mZ. en consecuencia, H =mZ. Finalmente, si m, n son enteros no negativos tales que mZ=nZ, entonces debe ser m=n (¿demostraci´on?).
Nota. Como consecuencia se tiene Un subconjuntoH deZes un subgrupo del grupo adi-tivoZsi, y s´olo si,H es un ideal del anilloZ; es decir, los subgrupos deZson exactamente los ideales del anillo Z.
Intersecci´
on de subgrupos.
Proposici´on. Sea(Hi)i∈I una familia de subgrupos de un grupoG, entonces el conjunto
i∈I
Hi es un subgrupo de G.
Demostraci´on. Trivial y se deja como ejercicio.
La intersecci´on H = i∈I
Hi de una familia (Hi)i∈I de subgrupos de un grupo G posee
entonces las siguientes propiedades: – H es un subgrupo de G, – H ⊆Hi, para todo i∈I, y
–si K es un subgrupo de G y K ⊆Hi, para todo i ∈I, entonces K ⊆H.
Es decir, la intersecci´on H de la familia (Hi)i∈I es el mayor subgrupo de G contenido en
cada uno de los miembros Hi de la familia dada.
Por otra parte, seaX un subconjunto de un grupoG; consideremos la colecci´onF(X) de los subgrupos H de G tales que X ⊆H:
F(X) =
H |H subgrupode G, X ⊆H .
La intersecci´on X= H∈F(X)
H de la familia F(X) cumple las siguientes propiedades:
– Xes un subgrupo de G, – X ⊆X, y
–si K es un subgrupo de G y X ⊆K, entonces X⊆K.
Es decir,Xes el menor subgrupo deGque contiene aX. Se dice queXes elsubgrupo de G engendrado por el subconjunto X deG. ¿C´omo son los elementos del subgrupo
X? Dado que X ⊆ X, todo elemento x ∈ X pertenece a X; adem´as, puesto que
X es un (sub)grupo, deber´an pertenecer a ´el todos los inversos x−1 (en el grupo G) de los elementos x∈X, y todos los productos (finitos) cuyos factores sean elementos de X o inversos de elementos de X; por tanto deber´a tenerse
xε1
α1xεα22. . . xεrαr ∈X, para todo xαi ∈X; para todo εi ∈ {1,−1}; i= 1, . . . , r; r∈N.
Ahora bien, el conjunto de todos los productos anteriores es un subgrupo deGque contiene a X (¿demostraci´on?); en consecuencia
X={xε1
α1x ε2 α2. . . x
εr
αr |xαi ∈X; εi ∈ {1,−1}; i= 1, . . . , r; r ∈N}.
Si X es un subconjunto finito de un grupo G, digamos X ={x1, x2, . . . , xn}, entonces se usar´a la notaci´on x1, x2, . . . , xnen lugar de {x1, x2, . . . , xn}.
Ejemplos.
1 En el grupo K4 de las isometr´ıas de un rect´angulo se tienen:
v, h=K4;
v, s=K4.
Probar que si X es un subconjunto de K4 y X=K4, entonces X posee, al menos, dos elementos.
2 Para el grupo R4 de las ra´ıces cuartas de la unidad se tiene
−1={1,−1};
R4 =i=−i.
3 En el grupo sim´etrico de grado 3: S3, se cumplen:
γ1={1, γ1};
α2={1, α1, α2};
α1, α2={1, α1, α2};
γ1, γ2, γ3=S3.
Grupos C´ıclicos.
Una clase particularmente simple e importante de grupos est´a constituida por los grupos que poseen un sistema generador formado por un ´unico elemento; estudiemos con alg´un detalle estos grupos.
Definici´on. Un grupoG es c´ıclico si existe un elemento a∈G tal que G=a. En este caso se dice que a es un generador de G.
Si G es un grupo c´ıclico con generador a, entonces G = {an | n ∈ Z}; esto es, todo
elemento de G es una potencia de a y, por tanto, el grupo G es abeliano. Si el grupoG es aditivo, entonces G={na|n∈Z}.
Ejemplos.
1. El grupo R4 de las ra´ıces cuartas de la unidad es c´ıclico con i como generador. Tambi´en −i es un generador de R4. En general, para todo entero positivo n, el grupo Rn de las ra´ıcesn-´esimas de la unidad es c´ıclico y cualquier ra´ız primitiva
n-´esima de la unidad es un generador de Rn.
2. El grupo (aditivo)Zes c´ıclico con 1 como generador,−1 es tambi´en un generador de Z. Cualquier subgrupo mZde Z es c´ıclico conm como generador.
3. El grupo de Klein K4 no es c´ıclico.
Sea G un grupo c´ıclico con generador a: G = a; la aplicaci´on pa : Z→G, tal que
pa(n) = an, (n
∈ Z), es suprayectiva. Al considerar las potencias de a se presenta una alternativa:
1: existen enteros i, j, i=j, tales que ai =aj (esto es, pa no es inyectiva); ´o bien, 2: ai =aj, para todoi, j ∈Z, i =j (esto es, pa es inyectiva y, por tanto, biyectiva).
Estudiemos separadamente estas dos posibilidades.
Caso 1: Si existen enteros i, j distintos (digamos i > j) tales que ai = aj, entonces ai−j = 1; por tanto hay alg´un entero m > 0 tal que am = 1. Sea n el menor entero
positivo que cumpla an = 1, entonces las potencias a0 = 1, a1 = a, a2, . . . , an−1 son distintas dos a dos: pues si r, s son enteros, 0 ≤ r ≤ s ≤ n− 1, tales que as = ar,
entonces as−r = 1 y s
− r < n, luego debe ser s −r = 0, esto es, s = r. Adem´as, si
ai es un elemento de G = a, poniendo i = nq+r con q, r ∈ Z y 0 ≤ r < n, resulta ai = anq+r = (an)q
ar = ar. En consecuencia G =
a = {1, a, a2, . . . , an−1}, y estos elementos son distintos dos a dos. En este caso se dice que el orden de a es n y se pone
o(a) =n.
Caso 2: Si ai
=aj siempre que i
=j, entonces la aplicaci´on suprayectiva pa es, adem´as, inyectiva; por tanto pa es biyectiva, y el grupo c´ıclico G es infinito. En este caso se dice que el orden de a es infinito y se poneo(a) =∞.
Ejemplos.
1. Considerar la matriz
C =
1 −2 1 −1
∈GL2(Q).
Se tienen
C2 =
−1 0 0 −1
, C3 =
−1 2
−1 1
y C4 =
1 0 0 1
.
Por tanto C es de orden finito: o(C) = 4 y se tiene
C={I2, C, C2, C3}.
2. La matriz
A=
1 1 0 1
∈GL2(Q)
es de orden infinito ya que, para todo enteron,
An=
1 n
0 1
.
Ejercicio. Considerar en el grupo GL(2,Q) las matrices
A=
0 −1
1 0
, y B=
0 1
−1 −1
Clases M´
odulo un Subgrupo. El Teorema de Lagrange.
Un subgrupoH de un grupoG = (G, .) determina en el conjuntoG las relaciones Ri
y Rd definidas en la forma siguiente: cualesquiera que sean a, b∈G, pondremos aRib si, y s´olo si, a−1
b∈H, y
aRdb si, y s´olo si, ab−1 ∈H.
Veamos que Ri es una relaci´on de equivalencia en G:
–Para todo a∈G se tiene: a−1a= 1∈H, por tanto aRia.
–Si a, b ∈ G cumplen aRib, entonces a−1b ∈ H y, como el inverso de cualquier elemento de H pertenece a H, se obtiene b−1a ∈ H = (a−1b)−1 ∈ H; esto es,
bRia.
–Sia, b, c∈Gcumplen aRib y bRic, entoncesa−1b∈H y b−1c∈H; dado que el producto de dos elementos deH pertenece aH, se obtienea−1c= (a−1b)(b−1c)∈
H; esto es, aRic.
Ejercicio. Probar queRd es una relaci´on de equivalencia en G.
Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a un elemento de G ¿C´omo es la clase de equivalencia de a respecto de la relaci´on de equivalencia Ri determinada por H en G?
Para que un elemento x de Gpertenezca a la clase [a]Ri de a es necesario y suficiente que aRix que, a su vez, equivale a a−1x ∈H. En consecuencia,
x ∈[a]Ri si, y s´olo si, x =ah para alg´un h∈H;
por tanto
[a]Ri ={ah|h∈H}.
Se tiene as´ı una descripci´on expl´ıcita de los elementos de las clases de equivalencia en G
m´odulo Ri.
Ejercicio. Probar que
[a]Rd ={ha|h∈H}.
Notaci´on. Para cualquier subconjuntoS de un grupoGy para cualquier elementoa∈G, se pone
aS ={as|s∈S} y Sa={sa|s ∈S}.
Definici´on. Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a un elemento de G. La clase de equivalencia [a]Ri = aH de a con respecto a la relaci´on de equivalencia Ri se denomina la clase a izquierda de a m´odulo H. La clase de equivalencia [a]Rd = Ha de a con respecto a la relaci´on de equivalencia Rd se denomina la clase a derecha de a m´odulo H.
Se denota G/H al conjunto cociente G/Ri, de modo que G/H = {aH | a ∈ G}, el
conjunto de las distintas clases a izquierda (en G) m´odulo (el subgrupo) H. Se denota
distintas clases a derecha (en G) m´odulo (el subgrupo) H. N´otese que para cualesquiera
a, b∈G se tiene:
aH =bH ⇐⇒ a−1b∈H ⇐⇒ b−1a∈H,
y
Ha=Hb ⇐⇒ ba−1 ∈H ⇐⇒ ab−1 ∈H.
Ejemplo. En el grupo sim´etrico de grado 3,S3, consideremos el subgrupoH ={1, α1, α2}. Las clases a izquierda m´odulo H: Las clases a derecha m´odulo H: 1H ={1, α1, α2}=α1H =α2H H1 = {1, α1, α2}=Hα1 =Hα2
γ1H ={γ1, γ2, γ3}=γ2H =γ3H Hγ1 ={γ1, γ2, γ3}=Hγ2 =Hγ3
Como se puede observar, en ´este grupo y para el subgrupo dadoH, cada clase a izquierda coincide con su correspondiente clase a derecha: aH =Hapara todoa∈S3. Por consigu-iente, en este caso, Ri =Rd.
Ejemplo. En el grupo sim´etrico de grado 3, S3, consideremos ahora el subgrupo K =
{1, γ1}.
Las clases a izquierda m´odulo K: Las clases a derecha m´odulo K: 1K ={1, γ1} =γ1K K1 = {1, γ1} =Kγ1
α2K ={γ2, α2}=γ2K Kα2 ={γ2, α1}=Kγ1
α3K ={γ3, α1}=γ1K Kα3 ={γ3, α2}=Kγ2
En este caso se tiene γ2K =Kγ2, y γ3K =Kγ3.
Sea H un subgrupo de un grupo G y sea a un elemento de G. La aplicaci´on
τi
a : H → aH h → ah
es biyectiva (demostraci´on trivial); por tanto H es finito si, y s´olo si, la clase a izquierda
aH, a∈G,es finita y, en este caso, el n´umero de elementos|H|deH coincide con el n´umero de elementos |aH| de cualquier clase a izquierda en G m´odulo H: |H| = |aH|, (a ∈ G).
En consecuencia, todas las clases a izquierda m´odulo H poseen el mismo cardinal, que coincide con el cardinal del subgrupo H:
|aH|=|bH|=. . .=|H|, (a, b, . . .∈G).
Ejercicio. Considerando la aplicaci´on
τd
concluir que todas las clases a derecha m´odulo el subgrupo H poseen el mismo cardinal, que coincide con el cardinal de H.
Como se ha visto la relaci´on Ri determinada en un grupo G por un subgrupo H es
de equivalencia, por tanto Ges la uni´on disjunta de las distintas clases a izquierda m´odulo
H:
G=
a∈G
aH (uni´on disjunta) .
Analogamente, la relaci´on Rd determinada en G por H, origina una partici´on de G en
clases a derecha m´odulo H:
G=
a∈G
Ha (uni´on disjunta) .
Ejercicio. Sea H un subgrupo de un grupo G. Consideremos el conjunto G/H de las clases a izquierda m´odulo H, y el conjunto H\G de las clases a derecha m´odulo H.
1. Probar que la aplicaci´on
G/H → H\G aH → Ha−1
(est´a bien definida y) es biyectiva. Concluir que el cardinal del conjunto cociente
G/H coincide con el cardinal del conjunto cociente H\G:
|G/H|=|H\G|.
2. Quiz´a pueda extra˜nar la forma de definir la aplicaci´on en el apartado anterior de ´este ejercicio ¿Qu´e ocurre si se pretende definirla aplicaci´on en la forma
G/H → H\G aH → Ha ?
Definici´on. Sea H un subgrupo de un grupo G. El´ındice de H en G es el cardinal de G/H (que, seg´un el ejercicio precedente, coincide con el cardinal deH\G). Se pone
|G:H|=|G/H|=|H\G|.
Suponer queH es un subgrupo de un grupo finito G, entonces H es finito y el ´ındice en G deH es tambi´en finito. SeaT un sistema completo de representantes de las clases a izquierda de H enG, de modo que siT ={t1, t2, . . . , ts}, entonces
G=t1H∪t2H∪. . .∪tsH y
tiH∩tjH =∅, si i=j,
i, j∈ {1,2, . . . , s} .
Por tanto,
Teorema (Lagrange). Si H es un subgrupo de un grupo finito G, entonces |G|=|G:H| |H|.
En particular:
Corolario. Si H es un subgrupo de un grupo finitoG, entonces el orden de H y el ´ındice en G de H son divisores del orden de G.
SiG es un grupo finito de orden primo p: o(G) =p, entonces los ´unicos subgrupos de
Gson{1}y G; sia es un elemento deG,a = 1, entonces el subgrupo deGengendrado por
a debe ser el propio G; esto es, a=G. Por tanto Ges c´ıclico (y, en particular, abeliano) y cualquier elemento de G distinto de la unidad es un generador de G.
Corolario. Todo grupo finito G de orden primo es c´ıclico y cualquier elemento de G distinto de la unidad es un generador de G.
