CAPÍTULO 2 -
PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS
Sabemos que duas retas distintas de um plano ou são concorrentes (quando possuem um só ponto em comum) ou são paralelas (quando não possuem ponto em comum). No espaço, há uma terceira posição onde as retas não são paralelas e nem se interceptam. São as chamadas retas reversas. Definiremos abaixo o que são retas paralelas no espaço.
Dividiremos este capítulo em três partes: na primeira, estudaremos o paralelismo entre retas, na segunda o paralelismo entre retas e planos e finalizamos com o estudo do paralelismo entre planos.
.
PARALELISMO ENTRE RETAS
Definição 2.1: Duas retas do espaço que são coplanares e não se interceptam são ditas paralelas.
r Notação: r // s.
s
Evidentemente retas não coplanares não têm ponto em comum. Elas são ditas retas reversas.
A unicidade do plano que contém duas retas paralelas é destacada no Exercício 1 abaixo e é uma conseqüência da definição acima.
Exercício 1: Prove que é único o plano que contém duas retas paralelas.
Outra conseqüência da definição acima é a extensão para o espaço, do Postulado das paralelas no plano (No plano, por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma única reta paralela à reta dada), conforme teorema a seguir.
Teorema 2.1: Por um ponto exterior a uma reta do espaço, passa uma única reta paralela a ela.
P r r''
r'
Prova: Existência: Sejam r uma reta e P um ponto exterior a mesma. Seja o plano definido por r e P (Teo. 1.3). Tracemos por P, e no plano a reta r' paralela a r, a qual existe pelo postulado das paralelas.
Unicidade: Afirmamos que r' é a única reta do espaço paralela a r. De fato, suponhamos que exista outra reta r'' que passa por P e é paralela a r. Seja o plano definido por r'' e r. Este plano passa por r e por P, portanto coincide com e novamente pelo Postulado das paralelas, r' coincide com r''.
Teorema 2.2: Quando duas retas são paralelas, todo plano que intercepta a primeira, intercepta também a segunda.
r r'
s P
Prova: Sejam r e r' duas retas paralelas do espaço e um plano que intercepta r em P. O plano definido pelas retas paralelas r e r', e o plano têm em comum, o ponto P. Portanto, eles se interceptam segundo uma reta s que contém P. As retas r' e s estão contidas em e não são paralelas (pois já existe em a reta r que passa por P e é paralela a r’), logo elas são concorrentes. Isto nos informa que intercepta r'.
▅
Teorema 2.3: No espaço, duas retas distintas paralelas a uma terceira, são paralelas entre si.
Prova: Se as retas são coplanares, pelo postulado das paralelas, é claro que elas são paralelas entre si. Suponhamos, pois que as retas r, r' e r'' não são coplanares e que r' // r e r'' // r.
Evidentemente, pelo Teorema 2.1, r' e r'' não se interceptam. Então ou r' é paralela a r'' ou r' e r'' são reversas. Suponhamos que elas sejam reversas e seja o plano definido por r'' e um ponto P da reta r'. Assim, intercepta r'(em P) e conseqüentemente a reta r (Por quê?). Como r // r'', interceptará também r'', o que é um absurdo, pois r'' está contida em .
▅
r' P
r''
ÂNGULO DE DUAS RETAS REVERSAS
Definição 2.2: O ângulo de duas retas reversas é definido como o ângulo formado por duas semi-retas paralelas às semi-retas dadas, traçadas por um ponto qualquer do espaço.
s
r
s’ r’
P
é o ângulo das retas reversas r e s.
O teorema seguinte assegura que o ângulo entre duas retas reversas não depende do ponto escolhido.
Teorema 2.4: Sejam r, s e r’, s’ dois pares de retas concorrentes tais que r // r’ e s // s’. O ângulo formado por r e s é congruente ao ângulo formado por r’ e s’.
Prova:Seja P o ponto de interseção de r e s e Q o ponto de interseção de r’ e s’.
r A
P s B
r’ A’
Q B’ s’
Sobre r e s tomemos os pontos A e B e tracemos as paralelas AA’ e BB’ à reta PQ. Os quadriláteros PAA’Q, PBB’Q e ABB’A’ são paralelogramos. Portanto PA = QA’, PB = QB’ e AB = A’B’. Desta forma os triângulos PAB e QA’B’ são congruentes e assim
P
ˆ
=Q
ˆ
, isto é, o ângulo das retas r e s é congruente ao ângulo das retas r’ e s’.
.
PARALELISMO ENTRE RETA E PLANO
Definição 2.3: Uma reta e um plano são ditos paralelos se os mesmos não têm ponto em comum.
r
Notação: r // .
Dados uma reta e um plano, como é possível reconhecermos se os mesmos são paralelos? Apelando-se apenas para a definição acima, não é possível decidirmos isto. Os teoremas seguintes nos ajudarão a reconhecer o paralelismo entre uma reta e um plano.
Teorema 2.5: Se uma reta é paralela a um plano, então todo plano que a contiver e interceptar o primeiro, a interseção será uma reta paralela à reta dada.
r
s
Prova: Sejam r uma reta paralela a um plano e um plano que contém r e intercepta segundo a reta s. Como r e s são coplanares, elas são paralelas, pois caso contrário, r interceptaria o que contraria a hipótese.
Teorema 2.6: Se uma reta e um plano são paralelos, então no plano existe uma reta paralela à reta dada.
Prova: Suponhamos que a reta r seja paralela ao plano . Devemos provar que existe em uma reta s tal que r // s. Consideremos então um plano que contenha r e intercepte . Pelo teorema anterior a interseção de com é uma reta s e paralela a r.
▆
r
Teorema 2.7 (Teorema recíproco): Seja um plano e r uma reta não contida em . Se em existe uma reta r’ paralela a r então r é paralela a .
Prova: Seja o plano definido pelas retas paralelas r e r', cuja interseção com é a reta r'. Como os únicos pontos comuns aos dois planos são os pontos de r' e como r não intercepta r', segue-se que r não intercepta .
▆
r
r’
Exercício 2: Prove que por um ponto exterior a um plano, pode-se traçar infinitas retas paralelas a este plano.
Exercício 3: Prove que por um ponto não pertencente a uma reta, pode-se traçar infinitos planos paralelos a esta reta.
Teorema 2.8: Se uma reta é paralela a um plano, então a paralela a esta, traçada por um ponto do plano, fica contida no plano.
r
s
s' P
Prova: Suponha que a reta s, paralela a r, traçada por P , não ficasse contida em . Seja o plano definido por r e s o qual intercepta segundo uma reta s' paralela a r (Teo. 2.5). Teríamos assim traçado por P duas retas (r e s') paralelas a r que é um absurdo.
▅
Teorema 2.9: Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à reta interseção dos mesmos.
Prova: Seja r' a reta interseção dos planos e . Por um ponto P r' tracemos uma reta paralela a reta r. Pelo teorema anterior, esta ficará contida tanto em como em , portanto, ela coincidirá com r'.
▅
r
r'
Se a reta e o plano têm um só ponto em comum, diz-se que eles são secantes.
Exercício 4: Prove que se e são dois planos paralelos, então é paralelo a toda reta de
e vice-versa.
.
PARALELISMO DE PLANOS
Definição 2.3: Dois planos são ditos paralelos se os mesmos não têm ponto em comum.
Dois planos ou se interceptam ou são paralelos. Não há planos reversos.
Recorrendo-se apenas a definição dada, pode não ser fácil reconhecer que dois planos são paralelos. Portanto, que outras informações nos levariam a conclusão que dois planos seriam paralelos? Os teoremas seguintes responderão a esta indagação.
Teorema 2.10: Se dois planos são paralelos então um deles contém duas retas concorrentes, paralelas ao outro.
Prova: Sejam e dois planos paralelos entre si e sejam r e s duas retas concorrentes contidas no plano . É claro que r // , pois caso contrário teria um ponto em comum com que seria o ponto de interseção de r com . Analogamente, s // .
▆
Teorema 2.11 (Teorema recíproco): Dados dois planos e , se um deles contém duas retas concorrentes e paralelas ao outro então os planos são paralelos.
Prova: Consideremos em duas retas r e s concorrentes e paralelas ao plano . Se interceptasse , a interseção seria uma reta paralela tanto a r com a s (Teo. 2.5) o que contraria o Teorema 2.1.
▅
s r
A hipótese de que r e s sejam concorrentes é fundamental conforme mostra o Exercício 05 abaixo.
Exercício 5: Dê um exemplo para mostrar que um plano pode ser paralelo a uma infinidade de
retas de outro plano sem que os mesmos sejam paralelos.
Exercício 6: Prove que dois planos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.
Exercício 7: Prove que: se dois planos são paralelos, todo plano que interceptar o primeiro, interceptará também o segundo.
Exercício 8: Prove que as interseções de dois planos paralelos com um terceiro são retas paralelas.
Exercício 9: Prove que dois segmentos de retas paralelos compreendidos entre planos
paralelos são congruentes.
Teorema 2.13: Duas retas reversas quaisquer estão sempre situadas em planos paralelos.
Prova: Sejam r e s duas retas reversas. Por um ponto qualquer da reta r tracemos a reta s’ paralela a s e por um ponto qualquer da reta s tracemos uma reta r’ paralela a r. O plano definido pelas retas r e s’ é paralelo ao plano das retas s e r’ (Teo. 2.11), o que prova o teorema.
▆
r s’
A
r’ s
B
Exercício 10: Prove que se dois planos são paralelos, então toda reta que interceptar o primeiro, interceptará também o segundo.
Exercício 11: Qual é a condição para que uma reta seja paralela a um plano?
Exercício 12: Qual é a condição para que a interseção de dois planos seja paralela a uma reta
dada?
Exercício 13: Se uma reta r é paralela a um plano , qual é a condição para que qualquer reta
s, paralela a ela esteja contida no plano?
Exercício 14: Qual é a condição para que a interseção de dois planos seja paralela a duas retas dadas r e s?
Exercício 15: Qual é a condição para que as interseções de dois planos e com um terceiro
Exercício 16: Quantos planos são definidos por duas retas paralelas r e s e uma reta t, concorrente com as duas anteriores?
Exercício 17: Um plano passa pelos pontos médios de dois lados de um triângulo. Dizer a posição desse plano em relação ao terceiro lado. Justifique sua resposta.
Exercício 18: Dos enunciados a seguir, dizer quais são os verdadeiros e os falsos.
a) Por um ponto não pertencente a um plano, só se pode traçar uma reta paralela ao plano considerado.
b) Se r é uma reta oblíqua a um plano , em tal plano há uma só reta paralela a r.
c) Se uma reta está contida em um plano, toda reta paralela a ela é paralela ao plano.
d) Se uma reta e um plano são paralelos, toda reta do plano é paralela a reta dada.
e) Duas retas paralelas ao mesmo plano podem ser perpendiculares entre si.
f) Se duas retas são paralelas, todo plano que contenha uma só delas é paralelo a outra.
g) Se um plano intercepta dois outros planos, as retas de interseção são paralelas.
h) Se um plano intercepta dois planos que se cortam, as retas de interseção podem ser paralelas.
RESPOSTAS
01. Suponha que existisse outro plano contendo as retas paralelas r e s. Considere um ponto A em r e dois pontos B e C em s e deduza disto um absurdo.
02. Considere em uma reta r e seja P um ponto não pertencente a . Agora use o Teo. 2.1 e o Teo. 2.7.
03. Seja r uma reta e P um ponto não pertencente a r. Por P passam infinitos planos que não contêm r. Em cada um deles trace uma reta paralela a r’. Para concluir o desejado use o Teor. 2.7.
06. Sejam e dois planos paralelos ao plano . Suponha que e não são paralelos e use o Teo. 2.12.
07. Use o Teo. 2.12.
08. Sejam e dois planos paralelos e um terceiro plano concorrente com ambos. Como as retas de interseção de com e de com são retas coplanares (Por quê?), se elas fossem concorrentes isso indicaria que e também seriam, o que contraria a hipótese.
09. Considere o plano definido pelas retas paralelas que contêm os segmentos dados e as interseções desse plano com os planos dados.
10. Suponha que uma reta r intercepte um plano mas que ela não intercepte o plano que é paralelo a . Use o Teo. 2.6 e o Teo. 2.2 par concluir que intercepta .
11. Que exista no plano uma reta paralela à reta dada.
12. Que a reta dada seja paralela aos dois planos.
14. Que r seja paralela a s e que as duas sejam paralelas aos planos dados.
15. Que // .
16. Apenas um plano.
17. O plano é paralelo ao 3o lado, pois ele contém uma reta paralela a este lado.
