CAPÍTULO 3: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLANOS
Neste capítulo abordaremos mais dois conceitos de grande importância na Geometria Espacial: o de reta perpendicular a um plano e o de planos perpendiculares.
. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO
Definição 3.1: Diz-se que uma reta r é perpendicular a um plano quando ela é perpendicular a toda reta de que passa pelo ponto de interseção dos mesmos.
r
P é o ponto de interseção de r com .
r s1
r s2
t1 t2 r s3
s1 r é ortogonal a t1.
r é ortogonal a t2, etc.
s2 P
s3
Observe que r é ortogonal as demais retas do plano, já que toda reta de possui uma paralela passando pelo ponto de interseção, P.
Exercício 1:Se duas retas concorrentes r e s são respectivamente perpendiculares a um plano e a uma reta t desse plano, a reta m que une os pés (interseções de r e s com ) de r e s, será paralela ou perpendicular à reta t do plano? Justifique sua resposta.
Solução: Observe que a reta m tem dois de seus pontos em e como tal m . Sendo r segue-se que r m. (Veja a definição de reta perpendicular a um plano)
Exercício 2: Qual o lugar geométrico (conjunto de pontos que gozam de uma ou mais propriedades) dos pontos do espaço que são eqüidistantes de dois pontos distintos A e B?
Exercício 4: O plano contém o ABC. A reta r em D. D eqüidista de A, B e C. X
é um ponto de r. Prove que X eqüidista de A, B e C.
r
X
C B
D
A
O teorema a seguir, minimiza o trabalho de se verificar quando uma reta é perpendicular a um plano uma vez que o mesmo assegura que para que uma reta seja perpendicular a um plano basta, em verdade, que ela seja perpendicular a apenas duas retas concorrentes do plano.
Teorema 3.1: Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano , então r é perpendicular a .
r
s
A
D
E t
C
B u
Prova: Sejam s e t duas retas de que se interceptam no ponto P e são perpendiculares a reta t em P.
Seja u uma reta qualquer do plano que passa por P. Desejamos provar que r u. Sejam A e B pontos de r tais que PA = PB. Assim s e t são mediatrizes do segmento
AB
.Sejam C s e D t dois pontos de modo que o segmento
CD
intercepte a reta u. Seja Eeste ponto de interseção. Temos então:
CA = CB e DA = DB.
Portanto,
Como conseqüência disto, temos que:
ACE = BCE (LAL).
Logo AE = EB e PE é mediana do triângulo isósceles AEB e portanto altura do mesmo. Isto prova que r u.
Teorema 3.2: Quando duas retas são paralelas, todo plano perpendicular a primeira é também perpendicular a segunda.
r s
u u’
P P’
v v’
Prova: Sejam r e s retas paralelas e um plano perpendicular a reta r no ponto P. Do capítulo anterior, segue-se que também intercepta s.
Consideremos agora duas retas u e v do plano que passam pelo ponto P. Temos que u r e v r.
Pelo ponto P’, de interseção de s com , tracemos as retas u’//u e v’//v. A reta s é assim perpendicular tanto a reta u’ como a reta v’, pois o ângulo cujos lados são u e r tem os lados paralelos aos lados do ângulo formado por u’ e s. O mesmo acontece com os ângulos de lados v e r e v’ e s respectivamente.
Portanto, a reta s é perpendicular ao plano , uma vez que s é perpendicular a duas retas concorrentes de .
Teorema 3.3: Por um ponto dado, passa um único plano perpendicular a uma reta dada.
= r;
u e u ; r v e v .
u P
Prova:1o caso: O ponto P, dado, pertence à reta r.
Existência: Sejam e dois planos distintos que contenham a reta r. Tracemos em , a reta u perpendicular a r em P e em , a reta v também perpendicular a r em P.
O plano definido pelas retas u e v é perpendicular a reta r em P.(Teo. 3.1)
Unicidade: Afirmamos que é único. De fato, se existisse outro plano ’ perpendicular a reta r em P, a reta r seria perpendicular a todas as retas de ’ que passam por P. Em particular, r seria perpendicular à reta interseção, u’ do plano ’ com o plano , por exemplo. Desta forma, ficariam traçadas do ponto P e em duas retas perpendiculares a reta r (u e u’), que é um absurdo.
2o caso: O ponto P é exterior a reta r.
Pelo ponto P, tracemos uma reta r’ paralela a r. O plano perpendicular a r’ em P será também perpendicular a reta r (Teo. 3.2).
Este plano é único, pois se existisse outro plano perpendicular a r, também seria a r’, que é um absurdo pelo 1o caso.
r r’
P
Corolário: Se uma reta r e um plano são perpendiculares, então contém toda reta perpendicular a r traçada pelo ponto de interseção de r com .
r
s
P t
Prova: Seja r uma reta perpendicular a um plano no ponto P e seja s uma reta perpendicular a r em P. Queremos provar que s .
Suponhamos que isto seja falso, isto é, s e seja o plano definido por r e s. Seja t a interseção de com . Temos então:
s r em P (por hipótese) e t r em P (pois t e r ).
Como r, s e t são coplanares, isto é um absurdo, pois do ponto P só podemos traçar uma única reta perpendicular a r, no plano . Portanto s .
Teorema 3.4: Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas, e dois planos perpendiculares a uma mesma reta são também paralelos.
r s
r’
u
P
Q
Prova:1a Parte: Hip.: r e s Tese: r//s
Suponhamos que r e s não sejam paralelas. Tracemos então pelo ponto Q, de interseção de s com , a reta r’ // r. Segundo o Teo. 3.2, r’ .
Seja o plano definido pelas retas s e r’ e seja u a reta interseção de com . Temos então s u e r’ u.
Como s, r’ e u são coplanares, isto é um absurdo. Logo s // r.
2a Parte: Hip.: r e r Tese: //
r r’
B u A
v
Sejam e dois planos perpendiculares a reta r. Suponhamos que e não são paralelos e seja A um ponto da interseção dos mesmos. Tracemos por A, a reta r’ paralela a reta r. Segundo o Teo. 3.2, a reta r’ é perpendicular aos planos e .
Consideremos em um ponto B e seja o plano definido por B e r’. Este plano intercepta e segundo duas retas distintas u e v perpendiculares a r’ no ponto A. Como u, v e r’ são coplanares, isto é um absurdo. Portanto // .
Teorema 3.5: Por um ponto dado, pode-se traçar uma única reta perpendicular a um plano dado.
t’ t’’
t
P
r s
u v
Prova:Existência: Seja um plano e P um ponto exterior a .
Tracemos em duas retas secantes u e v. Pelo ponto de interseção das mesmas, tracemos os planos e perpendiculares a estas retas. (Teo.3.3). Os planos e interceptam segundo as retas r e s respectivamente, e se cortam segundo a reta t com t .
Tracemos por P a reta t’ // t. Segundo o Teo.3.2, a reta t’ é perpendicular a .
Unicidade: t’ é única. Caso contrário, se t” , com P t” t’’ // e t’ // t”, e assim teríamos traçado por P duas retas paralelas a t que é um absurdo.
Distância de um ponto a uma reta:
Definição: Seja P um ponto e r uma reta do espaço. O ponto A em que a reta r corta o plano perpendicular a r traçado por P, é chamado de projeção ortogonal de P sobre r.
P
r A B
Observe que o segmento PA é perpendicular a reta r, uma vez que r e PA . O comprimento do segmento PA é a distância do ponto P a reta r.
Teorema 3.6:(Teorema das três perpendiculares)
Se por um ponto P do espaço traçarmos o segmento
PP
'
perpendicular a um plano com P’, e por um ponto Q de traçarmos a reta r, contida em , e perpendicular a P'Q, então a retaPQ
é perpendicular a r.P
r
P' B
Q
A
Prova: Sobre a reta r , consideremos os pontos A e B tais que QA = QB. Temos que:
1) P’QA = P’QB (LAL). Portanto P’A = P’B.
2) PP’A = PP’B (LAL). Portanto PA = PB.
Portanto o PAB é isósceles e PQ sendo sua mediana é também sua altura. Isto mostra que PQ AB.
Distância de um ponto a um plano:
Definição: Dados um plano e um ponto P do espaço, o ponto A em que a reta r perpendicular a e traçada por P intercepta , é denominado projeção ortogonal de P sobre .
P
r
A
B
Observe que se B é qualquer outro ponto de , o triângulo PAB é retângulo em A e tem PA como cateto e PB como hipotenusa. Assim, PA < PB, isto é, o comprimento da perpendicular PA é a menor distância de P ao plano .
Exercício 5: Na figura abaixo, tem-se: i) a semi-reta
RS
está contida no plano ;ii) o ângulo PRS é reto;
iii) Q é a projeção ortogonal de P sobre .
Demonstrar que o ângulo QRS é reto.
Sugestão: Trace pelo ponto R, uma reta r perpendicular a e considere o plano das retas paralelas r e PQ. Prove que a reta s é perpendicular ao plano .
P
Q
R
s
Exercício 6: Prove que se uma reta é paralela a um plano, todos os seus pontos estão a igual distância d do plano.
(O valor de d é a distância entre a reta e o plano).
Exercício 7: Prove que se é um plano paralelo ao plano , todos os seus pontos estão à mesma distância d de .
Distância entre retas reversas:
No capítulo anterior, observamos que duas retas reversas r e s estão sempre situadas em planos paralelos (Teo. 2.13). Sejam, pois e estes planos.
r A B
t' t
r' A' B’
s
Por um ponto A de r tracemos uma reta t perpendicular ao plano que o intercepta em A’. Por A’, tracemos a paralela r’ a r.
A reta r’ (Teo) e corta s no ponto B’. Finalmente por B’ tracemos a reta t’ paralela a t. Note que as retas t, t’ r e r’ são coplanares. Portanto t’ intercepta r em um ponto B. A reta t’ é perpendicular as retas r e s (pois t’ é perpendicular aos planos e ).
BB
'
é por conseguinte, um segmento perpendicular comum as retas reversas r e s.Afirmamos que este segmento é único, pois se existisse outro segmento perpendicular comum
CD
, ele seria necessariamente paralelo aBB
'
, por serem ambos perpendiculares aos planos e . Desta forma os pontos C, D, B e B’ estariam todos num mesmo plano e assim as retas r e s seriam coplanares, o que é um absurdo.
. PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS
Ângulo entre dois planos:
Definição: Se e são dois planos paralelos ou coincidentes, o ângulo entre eles é igual a zero.
Se e são secantes, por um ponto P da reta r de interseção dos mesmos tracemos em a reta s perpendicular a r e a reta t contida em e perpendicular a r.
A medida do ângulo , entre as retas s e t é definida como a medida do ângulo entre os planos e .
s
r P t
O ângulo , entre as retas s e t, é o mesmo, qualquer que seja o plano perpendicular a r.
Observe que a reta r é perpendicular ao plano definido pelas retas concorrentes s e t.
Definição: Quando o ângulo , entre as retas s e t é reto, dizemos que os planos e são perpendiculares.
s
2
t
Teorema 3.7: Dois planos são perpendiculares se, e somente se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
t
90o
r s
Prova: 1a Parte: Inicialmente suponhamos que e são dois planos perpendiculares e
seja r a reta de interseção dos mesmos. Se é um plano perpendicular a r e as retas t e s são as interseções de com e respectivamente, então t e s , o que prova a primeira parte do teorema.
2a Parte: Suponhamos agora que uma reta u de seja perpendicular a . O plano
intercepta segundo a reta r que é perpendicular a u. Pelo ponto de interseção de u com r tracemos a reta v com v r. Assim u v já que u . O plano definido por u e v é, portanto perpendicular a r, já que o mesmo contém duas retas concorrentes perpendiculares a r. Logo .
u
r P v
Exercício 8: Prove que por uma reta perpendicular a um plano, passa uma infinidade de planos perpendiculares ao primeiro.
Teorema 3.8: Por uma reta não perpendicular a um plano, passa um único plano perpendicular ao primeiro.
P
r
s
s’
’
A
Prova: Existência: Seja r uma reta não perpendicular a um plano . Por um ponto P r tracemos a reta s . As retas concorrentes r e s definem um plano , pois contém uma reta s .
Unicidade: O plano é único. De fato, se ’ é outro plano contendo r e perpendicular a , então em tal plano existe uma reta s’ passando por P e perpendicular a . Temos assim, duas retas (s e s’) passando por P e perpendicular a , que é um absurdo (Teo. 3.5).
.
Teorema 3.9: Se dois planos são perpendiculares, a reta traçada em um deles e perpendicular a interseção de ambos, é perpendicular ao outro.
Prova: Exercício.
;
= r;
t e t r t .
t
Teorema 3.10:
Dados dois planos perpendiculares, se traçarmos de um ponto qualquer do primeiro uma reta perpendicular ao outro, esta reta ficará contida no primeiro plano.
P
s s’
t r A
P’
Prova: Sejam e dois planos perpendiculares e seja P um ponto de . Suponhamos que a reta s traçada por P e perpendicular a não fique contida em . Tracemos então em e passando por P a reta s’ r em A, onde r = . Tracemos também pelo ponto A a reta t r com t .
O ângulo de s’ com t mede 90opor hipótese. Logo s’ pois s’ r e s’ t que são retas
contidas em e concorrentes. Teríamos assim traçado por P duas retas perpendiculares a , s e s’, que é um absurdo (Teo. 3.5).
▆
Exercício 10: Demonstre que se dois planos que se interceptam são perpendiculares a um terceiro plano, a reta de interseção é perpendicular ao terceiro plano.
A
t
r
B s
Definição: Um diedro (ou ângulo diedro) é a figura formada por dois semi-planos limitados por uma mesma reta.
Os semi-planos são chamados faces do diedro e a reta comum chama-se aresta.
Faces
Aresta
Medida de um diedro:
Para medir um diedro, traçamos um plano perpendicular à aresta do mesmo e medimos o ângulo entre as semi-retas de interseções determinadas por em cada face do diedro.
A medida de um diedro varia entre 0o e 180o. O ângulo entre dois planos secantes é
igual à medida do menor diedro formado por eles.
Projeção de uma reta sobre um plano:
Definição: A projeção de uma reta r sobre um plano é a união das projeções ortogonais dos pontos de r sobre .
r
P
P’ r'
Se r , a projeção de r sobre reduz-se a um ponto.
Convém notar que a projeção de uma reta não perpendicular a um plano sobre o mesmo é uma reta.
De fato, seja r uma reta e um plano não perpendicular a r. Tracemos de um ponto P r a perpendicular
PP
'
ao plano , com P’ . As retas r e PP’ determinam um plano perpendicular a . A reta r’ de interseção de com , é a projeção de r sobre , pois setraçarmos de um ponto qualquer de r uma perpendicular a , ela ficará contida em (Teo. 3.10) e terá seu pé sobre r’.
r
P
P’
r
Ângulo entre reta e plano:
Definição: Se a reta é perpendicular ao plano, o ângulo entre os mesmos é igual a 90o e
será 0o quando a reta está contida no plano ou é paralela a ele.
Se uma reta r é oblíqua a um plano , definimos o ângulo entre r e como o ângulo 0o < < 90o que r forma com sua projeção ortogonal sobre .
r
r'
O ângulo entre uma reta r e um plano é o menor de todos os ângulos formados por r e uma reta qualquer do plano .
De fato, consideremos uma reta qualquer s e vamos comparar o ângulo
ˆ' formado por r e s como ângulo ˆ formado por r e .Por um ponto P r e P , tracemos a perpendicular
PP
'
ao plano e a perpendicularPR a reta s. Os triângulos retângulos OPP’ e OPR têm a hipotenusa comum
OP
, enquantoque os catetos opostos aos ângulos
ˆ
e
ˆ
'
são tais que PP’ < PR. Em conseqüência, sen
ˆ
< sen
ˆ
'
e assim, ˆ
<
ˆ
'
.
OP
PP
'
OP
PR
P
r
P’
’ O
R s
Exercício 11:Dos enunciados seguintes, dizer quais são os verdadeiros e os falsos.
a) Por um ponto dado só se pode traçar uma reta perpendicular a um plano dado.
b) Por um ponto dado só se pode traçar uma reta oblíqua a um plano dado.
c) Se r é uma reta paralela a um plano , em tal plano há uma infinidade de retas ortogonais a r.
d) Sendo r uma reta oblíqua a um plano , em tal plano há uma infinidade de retas perpendiculares a r.
Exercício 12. Determinar se cada um dos seguintes enunciados é certo ou errado.
a) Três retas podem interceptar-se em um ponto comum de maneira que cada reta seja perpendicular às outras duas.
b) Se uma reta é perpendicular a duas outras, é perpendicular ao plano que contém estas duas retas.
c) Em cada ponto de um plano, há exatamente uma reta perpendicular ao plano.
d) Se uma reta intercepta um plano, há pelo menos duas retas no plano que são perpendiculares a reta dada.
e) Por um ponto dado, podemos traçar somente uma reta perpendicular a uma reta dada.
Exercício 13. Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
a) Todas as retas perpendiculares a uma reta dada, traçadas por um de seus pontos, estão contidas a em um único plano.
b) Se r é uma reta perpendicular a uma reta s de um plano e ortogonal a outra reta t desse plano, sendo s e t paralelas, então r é perpendicular a .
c) Uma reta perpendicular a uma reta de um plano não pode ser perpendicular a esse plano.
d) No espaço, duas retas perpendiculares a uma 3a, são paralelas entre si.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma 3a são paralelas ou ortogonais.
f) Uma reta ortogonal a uma reta de um plano, pode ser paralela ao plano.
g) Uma reta r é ortogonal a dois lados de um quadrado, então r é perpendicular ao plano do quadrado.
i) Se dois planos são perpendiculares, toda reta paralela a um deles é perpendicular ao outro.
Exercício 14. UFAL(FCC). Sejam um plano e r uma reta paralela a . Então
(A) toda reta perpendicular a intercepta r. (B) toda reta de é paralela ou reversa a r. (C) toda perpendicular a r é perpendicular a . (D) todo plano que contém r é paralelo a .
Exercício 15. UFAL(FCC). Considere as seguintes afirmativas:
I - Se uma reta intercepta duas retas paralelas e distintas, então as três são coplanares. II - Três retas distintas, que têm um único ponto comum, determinam um único plano ou três planos.
III - Duas retas distintas, paralelas a um mesmo plano, são paralelas.
Pode-se afirmar que
(A) I, II e III são verdadeiras.
(B) I e II são verdadeiras e III é falsa. (C) I e III são verdadeiras e II é falsa. (D) II e III são verdadeiras e I é falsa.
Exercício 16. UFAL(FCC). Seja um plano e P um ponto não pertencente a . Quantas retas paralelas a podem ser traçadas pelo ponto P?
(A) Nenhuma (B) Uma (C) Duas (D) Três (E) Infinitas
Exercício 17. UFAL(FCC). Sejam r e s duas retas reversas. Assinale a sentença verdadeira.
(A) Existem infinitas perpendiculares comuns a r e a s.
(B) Existe uma única reta paralela a r e que é concorrente com s. (C) A reta s pode interceptar um plano que contenha r.
(D) Todo plano que intercepta r intercepta s também. (E) Todo plano paralelo a r é também paralelo a s.
Exercício 18. UFAL(FCC). São dadas as afirmações:
I – Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um forma ângulo reto com qualquer reta do outro.
III – Se dois planos são paralelos, então todo plano perpendicular a um é perpendicular ao outro.
Pode-se afirmar que:
(A) I e II são verdadeiras. (B) I e III são verdadeiras. (C) II e III são verdadeiras. (D) I, II e III são verdadeiras. (E) I, II e III são falsas.
Exercício 19. UFAL(FCC). Sejam e dois planos paralelos e um plano oblíquo a eles. A interseção de com e é constituída por
(A) retas paralelas. (B) retas ortogonais.
(C) um plano, paralelo a e . (D) retas reversas, não ortogonais.
(E) retas concorrentes, não perpendiculares.
Exercício 20. UFAL(FCC). Sejam r e s duas retas paralelas e distintas contidas em um plano e seja t uma reta que intercepta em A. Nestas condições,
(A) todo plano que contém r contém também s.
(B) toda reta perpendicular a r é também perpendicular a s. (C) todo plano que contém t intercepta r e s.
(D) todo plano perpendicular a t é paralelo a . (E) todo plano paralelo a intercepta t.
Exercício 21. UFAL(FCC). Sejam e dois planos perpendiculares entre si. A reta r é perpendicular ao plano e a reta s é perpendicular ao plano . Nestas condições,
(A) a reta r não pode ter pontos comuns com o plano . (B) as retas r e s são concorrentes.
(C) as retas r e s podem ser reversas.
(D) a reta s está contida apenas em um plano perpendicular a . (E) as retas r e s são paralelas entre si.
Exercício 22. UFAL(FCC). As retas paralelas r e s estão contidas num plano . Se a reta t, não contida em , é perpendicular à reta r, então
Exercício 23. UFAL(FCC). Sejam a reta r e o ponto P, não pertencente a ela, contidos num plano .
Nestas condições, é verdade que
(A) toda reta que passa por P intercepta r. (B) toda reta que passa por P está contida em .
(C) existe uma única reta que passa por P e é concorrente com r. (D) existe um único plano perpendicular a e que contém r.
(E) existe um único plano perpendicular a e que contém P.
Exercício 24. UFAL(FCC). Considerando o cubo abaixo representado, é verdade que as retas
BC
eAH
sãoB C (A) reversas. (B) paralelas. A D (C) ortogonais. (D) coincidentes.
(E) concorrentes. F G
E H
Exercício 25. UFAL(FCC). Se uma reta r é perpendicular a dois planos e , , então é verdade que
(A) é paralelo a qualquer plano que contenha r. (B) contém todas as retas perpendiculares a r. (C) a distância entre e é igual a 10 cm. (D) e são paralelos entre si.
(E) e são perpendiculares entre si.
Exercício 26. UFAL(FCC). Considere as sentenças abaixo.
I. Três pontos distintos e não colineares determinam um único plano. II. Duas retas distintas determinam um único plano.
III. Dois pontos distintos determinam uma única reta.
É correto afirmar que
Exercício 27. UFAL(FCC). As afirmações seguintes referem-se aos planos e e à reta r, que é perpendicular a e a . Coloque V ou F conforme o caso.
(A) A reta r não intercepta o plano .
(B) A interseção dos planos e é uma reta.
(C) Se a reta s, s r, intercepta e , então s é paralela a r. (D) Qualquer reta contida no plano é paralela ao plano . (E) Qualquer reta de que intercepta r é perpendicular a r.
RESPOSTAS
02. O plano perpendicular ao segmento de reta
AB
em seu ponto médio.03. A reta perpendicular ao plano do triângulo definido pelos pontos dados e que passa pelo circuncentro do mesmo.
04. Note que os triângulos XDA, XDB e XDC são congruentes (LAL), pois ;
90
ˆ ˆ
ˆ o
C D X B D X A D
X
XD
é lado comum e DA = DB = DC por hipótese. Portanto,XA = XB = XC.
05. A reta RS é perpendicular ao plano das retas paralelas r e PQ (Por quê?). Assim, RS RQ.
06. Considere dois pontos quaisquer A e B da reta dada e A’ e B’ suas projeções respectivas sobre o plano dado. O quadrilátero ABB’A’ é um retângulo e assim AA’ = BB”.
07. Sejam A e B dois pontos quaisquer do plano e A’ e B’ suas projeções respectivas sobre o plano . O quadrilátero ABB’A’ é um retângulo e assim AA’ = BB”.
08. Use o Teo. 3.7 juntamente com o fato de que por uma reta e cada ponto exterior a ela passa um plano.
09. Do ponto dado trace uma reta perpendicular ao plano dado e use o Exercício anterior.
10. Sejam e dois planos que se interceptam e que são ambos perpendiculares ao plano . Seja r a reta interseção de com e s a reta interseção de com . Observe que r e s são coplanares e concorrentes. Agora do ponto B de interseção de r com s trace em uma reta t perpendicular a . Esta reta fica também contida em (Teo. 3.10). Portanto t é a reta interseção de com e a mesma é perpendicular a .
11. a) V; b) F; c) V; d) F
12. a) V; b) F; c) V; d) F; e) F
13. a) V; b) F; c) F; d) F; e) F; f) V; g) F; h) V; i) F
14. B 15. B 16. E 17. C 18. C 19. A 20. E 21. C
