ee372 semana 1 Amostragem e Reconstrucao

(1)

EE372 - Comunica¸c˜

oes Digitais

Ad˜

ao Souza Jr

April 12, 2018

Abstract

Revis˜ao: sinal amostrado e quantizado. Espectro do sinal amostrado. Espectro do sinal com retentor de primeira ordem. Reconstru¸c˜ao do sinal amostrado.

Referências: Referência 1. Se¸cão 6.1. a 6.4. Exerc´ıcios Matlab se¸cão 6.9

1 Amostragem e o processo de convers˜

ao anal´

ogico

digital

1.1 O teorema da amostragem

Demonstra que o teorema da amostragem ´e valido para sinais limitados em banda.

Para a reconstru¸cão ser poss´ıvel é necessário que a frequencia de amostragem seja maior que duas vezes a banda.

1.2 Reconstru¸

c˜

ao de sinal ideal

O sinal amostrado contém o sinal original como uma parte de seu espectro em banda base. Assoim é poss´ıvel recuperar o sinal original através de filtragem.

Assumindo um filtro ideal com largura Be ganho Ts deve gerar o sinal orig-inal. H(f ) = TsΠ( w 4πB) = TsΠ( f 2B) h(t) = 2BTssinc(2πBt)

, o que assumindo amosragem com Nyquist (2BTs= 1) isso fica

h(t) = sinc(2πBt)

Logo o sinal ´e reconstru´ıdo por uma sequencia de sincs atrasadas no tempo.

g(t) =X k g(kTs)h(t−kTs) = X k g(kTs)sinc[2πB(t−kTs)] = X k g(kTs)sinc(2πBt−kπ)

Essa ´e a formula de interpola¸c˜ao que gera o sinal reconstru´ıdo.

Assim a resposta ao impulso desse filtro será uma fun¸cão sinc que é não causal e é irrealizável.

(2)

1.3 Reconstru¸

c˜

ao pr´

atica de sinal

Na implementa¸cão prática de reconstru¸cão deve-se imaginar que o sinal será mantido em um dado n´ıvel usando-se a reconstru¸cão com algum tipo de trem de pulsos (no caso chamado p(t)). Nessa situa¸cãoserá importante determinar qual o espectro resultante.

se

~

g(t) =X

n

g(nTs)p(t − nTs)

No dom´ınio frequencia a rela¸c˜ao entre o sinal reconstru´ıdo e o pulso de reconstru¸c˜ao fica sendo.

˜ G = P (f )1 Ts X n G(f − nfs)

Ou seja, multiplas r´eplicas do espectro do sinal original submetidas a um ”filtro” dado pela transformada ddo reconstrutor p(t).

Para se chegar a resposta correta ´e necess´ario um filtro equalizador (E(f)). Assim: G(f ) = E(f ) ˜G(f ) = E(f )P (f ) 1 Ts X n nG(f − nfs)

1.4 Quantiza¸

c˜

ao

No processo de quantiza¸c˜ao o valor cont´ınuo ´e encaixado em um poss´ıvel valor de um conjunto de intervalos. Se tivermos r bits de sa´ıda teremos um total de

K = 2r

valores de sa´ıda discretos (quantizados). Chamamos esse conjunto de valores de sa´ıda de CODEBOOK e o indicamos como {σ0, σ1, ..., σK−1}. Para K

val-ores de CODEBOOK definimos um conjunto de K-1 limiares de compara¸c˜ao: {I0, I1, ...Ik−2}

A distância entre dois limiares de quantiza¸cão é chamada passo de quan-tiza¸cão e simbolizada por q.

1.5 Passo de Quantiza¸

c˜

ao e Arredondamento

1. Quantizador Mid Tread:

xq = sgn(x) · q · b

|x| q +

1 2c

Isso ´e o mesmo que dizer que os ´ındices dos s´ımbolos s˜ao dados por:

i = sgn(x) · b|x| q +

1 2c 2. Quantizador Mid Riser:

xq = q · b

x qc +

q 2

Isso ´e o mesmo que dizer que os ´ındices dos s´ımbolos s˜ao dados por: i = bx

(3)

Ex: DR = 24V, r = 8 bits, q = 94,11mV, saida ±12V . Se m=2,5V qual será o ´ındice em que estará o código que representa esse valor (R: i=27).

1.6 Quantiza¸

c˜

ao como ru´ıdo aditivo

Se conhecemos a distribui¸c˜ao esperada de valores de nosso sinal cont´ınuo fx.

Após a quantiza¸cão a distribui¸cão do sinal quantizado é discreta com deltas centrados em cada valor do CODEBOOK de sa´ıda. A pergunta que se faz é qual é a rela¸cão entre essa distribui¸cão de sa´ıda fxq e a fx da entrada?

´

E poss´ıvel derivar dois teoremas que vão indicar quando podemos considerar o efeito da quantiza¸cão de sa´ıda como adi¸cão de ru´ıdo.

1. QTI: Se a fun¸cão caracter´ıstica da variável (Φx(u)) é limitada tal que:

Φx(u) = 0, |u| > π_q, pode-se recuperar a fxa partir da fxq

2. QTI: Se a fun¸cão caracter´ıstica da cariável Φx(u)) é limitada tal que:

Φx(u) = 0, |u| > 2 ˙_qπ, pode-se recuperar a os momentos de x a partir da

fxq

Uma vez obedecidas as condi¸cões pode-se considerar que o efeito da quan-tiza¸cão corresponde a adi¸cão de r´ıdo uniforme com probabilidade 1/q e no in-tervalo {−q₂,q₂}. A densidade de potência desse ru´ıdo deve se somar ao especto com o valor de σ2

0= q2 12

1.7 Observa¸

c˜

oes sobre .M de amostragem e reconstru¸

c˜

ao

ideal

1. Amplitude de sa´ıda da FFT: Notem a necessidade de escalonar a fft de acordo com a frequencia de amostragem. Trabalhar sempre na escala cor-reta é fundamental ao processarmos o sinal. Fazemos isso com x (usando a frequencia implicita do sinal (uma vez que o sinal gerado é discreto) que, nesse caso, é N/T. Quando fazemos a transformada de xa, no entanto,

usamos Fa como frequencia de Nyquist quando normalizamos o eixo.

2. Subamostragem em MATLAB: Notem como fizemos a subamostragem simplemente selecionando dentro do vetor original um conjunto de indices que corresponderiam a percorrer esse mesmo vetor original de periodo Ta

em periodo Ta (ao inv´es de faze-lo de periodo T/N em T/N) isso ´e feito

nas linhas 58 a 65 do c´odigo. Intencionalmente n˜ao tomamos qualquer medida a fim de evitar aliasing

3. Escala de frequencias da FFT: observem como foi construida a escala de frequencia escf. A m´ınima frequencia positiva sendo 0 e a m´axima sendo um pouco abaixo de metade da frequencia de amostragem ( FN yquist ), no

lado negativo vai da menor frequencia negativa detectavel (−2 ·FN yquist

N )

at´e −FN yquist). Cada um dos semiplanos tem a metade do intervalo em

numero de pontos (linha 33)

4. Zero-pading na FFT: No espectro de saida reconstruido se limita xrde 1

a N na exibi¸cão. Isso ocorre pois usamos uma potência de dois no número total de pontos da FFT. Quando fazemos isso completa-se os pontos que

(4)

faltam com zeros. O numero de pontos da FFT sendo maior que o total de pontos a sua transformada inversa terá um tamanho maior que o sinal original na sa´ıda também e os pontos adicionais da sa´ıda serão zerados e podem ser descartados (linha 128)

5. Circular convolution: Para se fazer a ”versão do filtro ideal” da recon-stru¸cão do sinal amostrado se optou por fazer a transformada do sinal e apagar as componentes indesejadas multiplicando no dom´ınio frequencia. Esse método de processamento de sinal é muitas vezes chamado ”con-volu¸cão circular” (Circular Convolution) e, de modo mais geral, tem como efeito colateral a gera¸cão de alguns artefatos. Para fins desse exemplo o método é suficiente, e um aprofundamento do conteúdo foge do escopo dessa aula. Caso o leitor esteja interessado em ”filtragem em frequência” de forma geral recomenda-se que busquem referência mais aprofundadas (3).

1.8 Observa¸

c˜

oes sobre .M de reconstru¸

c˜

ao com ZOH (zero

order hold) e fun¸

c˜

ao de transferˆ

encia passa baixas

1. Amostragem como processo linear: Note que a reconstru¸cão foi um pro-cesso totalmente linear onde primeiro as amostras foram convoluidas com um pulso quadrado p (reten¸cão de ordem zero, linha 67) e depois no-vamente convoluidas com a fun¸cão de transferencia do circuito RC h(t) (linha 75). Pergunta: Quais dever ser as fun¸cões de transferência P(f) e H(f) desses dois processos? Note que Xr2(f ) tem alguns res´ıduos do

aliasing original do sinal.

2. Latência do retentor: Note que a convolu¸cão numérica pelo pulso para aproximar o retentor é um processo que gera uma latencia de sa´ıda (atraso inicial). Note que o atraso total é de Da onde esse é o valor da largura

total do pulso de reten¸cão. Você consegue explicar isso matemáticamente? 3. Aproxima¸cão de H(f): Note que para implementar a fun¸cão RC ape-nas convoluimos o sinal com uma versão discreta de sua resposta no tempo h(t). Quais seriam as limita¸cões que essa aproxima¸cão implica? (Dica: pensando tanto em amostragem quanto em resposta finita isso se assemelha a uma implementa¸cão TDL (Time-Delay Line)

1.9 Exemplo simulado

Os exemplos dessa aula usam o codigo MATLAB disponivel (”Amostragem e Reconstrucao.m”). Nesse exemplo um trecho de um sinal de dois tons e subamostrado por um trem de impulsos discretos a fim de ilustrar o efeito da amostragem.

Nota-se o efeito de aliasing no espectro gerando multiplas representa¸cões dos dois tons componentes do sinal em frequencia. A fim de se retornar ao sinal no dom´ıno tempo é necessário selecionar a banda relevante através de filtragem. Esse processo é ilustrado na figura abaixo.

Finalmente o resultado da reconstru¸c˜ao ´e demonstrado na figura 3 pode-se notar ha pouca diferen¸ca entre o sinal original e o reconstruido.

(5)

Figure 1: Sinal de dois tons amostrado.

(6)

Figure 3: Sinal de dois tons reconstruido comparado com o original.

Como contraste foi utilizado um reconstrutor não ideal (retentor de ordem zero) seguido por filtragem simples a partir de uma resposta ao impulso de circuito RC limitada e discretizada (linha 78 no codigo 2). O resultado, que pode ser visto na figura 4 apresenta um atraso de propaga¸cão e alguma distor¸cão residual.

1.10 Atividades de simula¸

c˜

ao 1

Leia atentamente os cap´ıtulos recomendados e fa¸ca as atividades de fixa¸c˜ao para a semana 1. A partir disso analise as simula¸c˜oes:

• Simula¸cão 1: Amostragem e reconstru¸cão e • Simula¸cão 2: Reconstru¸cão não ideal.

A partir desse referencial responda as seguintes quest˜oes:

1. A partir do entendimento da simula¸cão 1 construa um código que aplique um único tom com amplitude igual Ao e verifique a amplitude do tom depois da reconstru¸cão ideal Ar. Fa¸ca com que o código tenha um la¸co em que a frequência do tom varia de um valor muito baixo até a frequencia de Nyquist. Fa¸ca o gráfico que mostra o módulo da resposta em frequência (|Ao/Ar|) desse processo para todo esse intervalo de frequências (ou seja

exiba os valores de |Ao/Ar| em fun¸c˜ao de f /fN yquist). [Obs: Como o que

importa é a rela¸cão de ganho, utilize Ao unitário ou qualquer valor que achar mais conveniente]

(7)

Figure 4: Sinal reconstruido a patrir de reten¸c˜ao e filtragem de primeira ordem

Figure 5: Circuito para a atividade de simula¸c˜ao.

2. Na simula¸cão dois a reconstru¸cão é feita através de dois processos lineares, o retentor de ordem zero p(t) e o filtro simples h(t). Determine algebrica-mente qual deve ser a resposta em frequência do processo total de recon-stru¸cão HT(f ) que inclui essas duas etapas. Compare essa resposta teórica

com a resposta obtida aplicando um tom e variando a frequência, como fizemos na atividade 1. [Obs: Entregue o desenvolvimento completo da equa¸cão e fa¸ca um gráfico dos valores simulados superposto ao gráfico da resposta em frequência algebricamente calculada. Mostre a coincidência e/ou explique discrepâncias]

3. Imaginem que um sinal de senoidal de amplitude A irá passar por um canal com distor¸cão seguida de adi¸cão de ru´ıdo gaussiano com σ2= .2A2. Sabe-se que o modelo da distor¸cão é dado por Hd(f ) e pode ser modelado

pelo circuito da figura 1. Sabendo que R = 18, L = 49µH, C = 4nF e Rload = 100Ω, fa¸ca uma simula¸c˜ao MATLAB mostrando a resposta em

frequˆencia desse canal. Confronte os dados de simula¸c˜ao com a resposta esperada.

(8)

4. Repita a simula¸cão 3, dessa vez imaginando que u ru´ıdo gaussiano é primeiro somado ao sinal e depois se passa pela distor¸cão Hd(f ). [Dica

para questões 3 e 4: Para a simula¸cão, assuma que o circuito tem resposta finita no tempo e escola parâmetros adequados para simula¸cão discreta e aproximada do mesmo]

1.11 Referencias para a tarefa

(1) Lathi, B.P.; Ding, Zhi. Modern Digital and Analog Communication Sys-tems, 4ed. Oxford University Press. 2009. (2) Notas de aula semana 1. (3) Openhein, A.V.; Schaeffer, R. W. Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3ed. Pearson, 2013. (em especial se¸c˜ao 8.7 sobre convolu¸c˜ao circular)

1.12 Codigos MATLAB

% CODIGO 1: Reconstrucao ideal---% Mostrando os limites da reconstrucao de sinal amostrado

% EE372

clear all; close all; clc

%1) Primeiro vamos criar uma linha de tempo com intervalo de 1 segundo e %muitos pontos. Como comentei n~ao ´e poss´ıvel mostrar tempo cont´ınuo mas %podemos simular isso criando uma onda discreta com muitos pontos e a %subamostrando. A subamostragem vai ser usada para aproximar o efeito da %amostragem em onda continua.

T = 1; N = 500;

t =linspace(0,T,N); % cria uma linha de tempo com T seg e N pontos % Note que linspace(0,T,N) ´e equivalente a t = 0:T/(N-1):N;

%2) Ent~ao vamos definir nossa onda "continua" no caso seria uma onda de %dois tons com frequencias fo=1 Hz e f1 =3%fo.

fo = 1; f1 = 3*fo;

x = sin(2*pi*fo*t) - sin (2*pi*f1*t);

%4) Podemo exibir essa onda no tempo e em frequencia. Para isso precisamos %fazer sua tranformada X(f). ´E importante tamb´em criarmos a escala de

%frequencias esc_f. A saida de uma fft de N pontos ´e sempre dada entre 0 e amais %alta frequencia que pode ser vista (metade da amostragem). Nossa onda

%"cont´ınua" na verdade tem pontos separados por T/N segundos. Logo sua %frequencia de amostragem implicita ´e N/T Hz e a m´axima frequencia vis´ıvel %em uma transformada dessa onda sera a metade disso. No caso usamos um %numero de pontos diferente para a FFT usa-se esse numero ao inves de N no %mesmo raciocinio

Lfft = 2^ceil(log2(N)+1); % Usamos um numero de pontos da FFT que seja potencia de dois FNy = N/(2*T);

(9)

% Faco a transformada

X = fft(x, Lfft)/(N/T); % a transformada X deve ser escalonada pela frequencia de amostragem abs_X = abs(X); % Modulo da transformada

% Imprimo o grafico figure;

subplot(2,1,1); plot(t, x);

ylabel(’x(t)’); xlabel(’t (segundos)’); title(’Dois tons no dominio tempo’); grid on;

subplot(2,1,2);

plot(fftshift(esc_f), fftshift(abs_X)); ylabel(’X(f)’); xlabel(’f (Hertz)’); title(’Dois tons no dom´ınio frequencia’); % Como fica pouco vis´ıvel dou um zoom’)

axis([-20*fo 20*fo 0 0.7]); % Limites de exibi¸c~ao da fft grid on;

% 5) Agora vou mostrar o efeito da amostragem. Para isso vou criar um x % amostrado com uma frequencia menor que a maxima implicita no x que ja % temos.

Fa = 20; Ta = 1/Fa; ta = 0:Ta:(T);

% Esse é o periodo de amostragem meu problema é determinar a quantos pontos % de t esse periodo corresponde para pegar as amostras da linha original.O % exemplo tem T segundos em N pontos logo T/N é o menor tempo possivel. % Dividindo Ta por esse periodo tenho o numero de pontos, que deve ser % arredondado.

idx_ta = round(ta./(T/N)); % indica as amostras

% Cria o sinal amostrado xa = zeros(1,N);

xa(idx_ta(2:end)) = x(idx_ta(2:end)); %elimina indice zero

% Faco a trasnformada Xa = fft(xa, Lfft)/Fa; abs_Xa = abs(Xa);

disp(’Aperte qualuqer tecla para amostrar’) pause

% Atualizo o grafico

subplot(2,1,1); hold on; stem(t, xa, ’r’); ylabel(’x(t), x_a(t)’); xlabel(’t (segundos)’); title(’Dois tons no dominio tempo’);

grid on;

(10)

plot(fftshift(esc_f), fftshift(abs_Xa), ’r:’); ylabel(’X(f), X_a(f)’); xlabel(’f (Hertz)’); title(’Dois tons no dom´ınio frequencia’);

axis([-3*Fa 3*Fa 0 0.7]); % Novos limites de exibicao da fft % Como fica pouco vis´ıvel dou um zoom’)

grid on;

% 6) Agora vou reconstruir o x origigal usando o efeito de um filtro ideal % em cima do xa. Para isso fa¸co o que se chama filtragem em frequencia. Ou % seja, crio uma fun¸c~ao H que ´e unitaria nas frequencias de interesse e % zero nas frequencias a suprimir e fa¸co o produto. Depois uso a

% transformada inversa.

Fmax = Fa/2; % Fa¸co um passa baixas que corta na frequencia de Nyquist H = abs(esc_f)< Fmax; % Passa baixas em frequencia

Xr = Xa.* H; % Saida do passa baixas em frequencia abs_Xr = abs(Xr);

xr = real(ifft(Xr, Lfft))*N; % Reconstroi o sinal no dominio tempo a partir das amostras

disp(’Aperte qualquer tecla para ver a reconstrucao’) pause;

figure;

subplot(2,1,1);

plot(fftshift(esc_f), fftshift(H), ’g’); hold on; plot(fftshift(esc_f), fftshift(abs_Xa));

title(’Filtro ideal de reconstrucao’);

ylabel(’H(f) (vd), X_a(f) (az)’); xlabel(’f (Hertz)’); grid on;

axis([-3*Fa 3*Fa 0 1.2])

subplot(2,1,2);

plot(fftshift(esc_f), fftshift(abs_Xr), ’r’); title(’Sinal recuperado em frequencia’); ylabel(’X_r(f)’); xlabel(’f (Hertz)’); grid on;

axis([-3*Fa 3*Fa 0 1.2])

disp(’Aperte qualquer tecla para o resultado final’) pause;

figure;

plot(t,x,’b:’, ’LineWidth’, 2); hold on; plot(t, xr(1:N), ’r’, ’Linewidth’, 2); title(’Sinal reconstruido’);

ylabel(’x_r(t), x(t)’); xlabel(’t (segund)’); legend(’Sinal original’, ’Sinal reconstruido’); grid on;

(11)

RC---% Mostrando os efeitos de reconstrucao com filtragem % EE372

clear all; close all; clc

% Mostramos o efeito de um reconstrutor ideal e como, mesmo nesse caso % haver´a uma distor¸c~ao no sinal reconstuido a medida em que nos

% aproximarmos da frequencia de mostragem. Agora a ideia ´e fazer o mesmo % com um filtro n~ao ideal.

%1) Criamos a linha como no exemplo ideal T = 1;

N = 500;

t =linspace(0,T,N);

%2) Definimos os tons fo = 1; f1 = 3*fo;

x = sin(2*pi*fo*t) - sin (2*pi*f1*t);

%3) Fazemos e exibimos a transformada com Lfft pontos

Lfft = 2^ceil(log2(N)+1); % numero de pontos da transformada FNy = N/(2*T);

esc_f = [linspace(0, FNy, Lfft/2) linspace(-FNy, -2*FNy/N, Lfft/2)]; %ordem de saida da FFT

X = fft(x, Lfft)/(N/T); abs_X = abs(X); % 4) Amostro Fa = 20; Ta = 1/Fa; ta = 0:Ta:(T); idx_ta = round(ta./(T/N)); xa = zeros(1,N); xa(idx_ta(2:end)) = x(idx_ta(2:end));

% Faco a transformada do sinal amostrado Xa = fft(xa, Lfft)/Fa;

abs_Xa = abs(Xa);

% 5) Faco os graficos figure;

subplot(2,1,1); hold on; stem(t, xa, ’r’); xlabel(’x(t), x_a(t)’); ylabel(’t (segundos)’); title(’Dois tons no dominio tempo’);

grid on;

subplot(2,1,2); hold on;

(12)

xlabel(’X(f), X_a(f)’); ylabel(’f (Hertz)’); title(’Dois tons no dom´ınio frequencia’); axis([-3*Fa 3*Fa 0 0.7]);

grid on;

% 6) Uma reconstru¸c~ao n~ao ideal do sinal pode ser feita usando um

% reconstrutorde ordem zero (ZOH) e um filtro simples. O filtro ser´a feito % com um circuito RC, para isso iremos convoluir a sa´ıda do reconstrutor % com a resposta no tempo de um circuito RC.

Fmax = Fa/2; % Fa¸co um passa baixas que corta na frequencia de Nyquist

% O reconstrutor de ordem zero segura o valor de cada amostra durante todo % o per´ıodo. Para fazer isso criamos um pulso com quadrado com a largura de % um intervalo de amostragem e o convoluimos com as amostras.

Da = round(Ta/(T/N)); p = ones(1,Da);

xzoh = conv(xa, p); % Cria a saida do reconstrutor de ordem zero

% Agora para aproximar uso um filtro bem ruim. Por exemplo um simples RC. % Sabemos que a resposta ao impulsode um circuito RC passa baixas ´e dada % por h(t) = exp(-t/Tau). Usamos ent~ao a abordagem do Time Delay Filter % (ver) e simplesmente a convolu¸c~ao num´erica com o respectivo filtro. Tau = 1/(2*Fmax); %uso a constante de tempo pelo dobro da frequencia maxima h = exp(-t./Tau)*Tau; %h(t) normalizado

xr2 = conv(xzoh, h);

figure; subplot(2,1,1); plot(t, xzoh(1:N)); hold on;

ylabel(’x_{ZOH}(t) [´az], x_a(t) [vm]’); xlabel(’t (segundos)’); title(’Sinal amostrado e reconstrutor de ordem zero’);

plot(t,xa, ’rd’); grid on;

subplot(2,1,2);

plot(t,x,’b:’, ’LineWidth’, 2); hold on; plot(t,xr2(1:N), ’r’, ’LineWidth’, 2);

ylabel(’x_{r_2}(t) [´az], x_a(t) [vm]’); xlabel(’t (segundos)’); title(’Sinal amostrado e reconstrutor final com ZOH + RC’);

grid on;

% Observa¸c~oes finais de fixa¸c~ao

% a) Note que a reconstru¸c~ao foi um processo totalmente linear onde

% primeiro as amostras foram convoluidas com um pulso quadrado p (reten¸c~ao de % ordem zero, linha 67) e depois novamente convoluidas com a fun¸c~ao de

% transferencia do circuito RC h (linha 75). Quais dever ser as fun¸c~oes de % transfer^encia P(f) e H(f) desses dois processos? Note que Xr2(f) tem

(13)

% alguns res´ıduos do aliasing original do sinal. %

% b) Note que a convolu¸c~ao num´erica pelo pulso para aproximar o retentor ´e um processo % que gera uma latencia de sa´ıda (atraso inicial). Note que o atraso total