Um estudo sobre lei dos senos, lei dos cossenos e suas aplicações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERID ´O-CERES

COORDENAÇ ÃO DO CURSO DE MATEM ÁTICA

UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEI

DOS COSSENOS E SUAS APLICAC

¸ ˜

OES

Rayanne Dantas Maia

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERID ´O-CERES

COORDENAÇ ÃO DE MATEM ÁTICA

UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEI DOS

COSSENOS E SUAS APLICAC

¸ ˜

OES

por

Rayanne Dantas Maia

Monografia apresentada à Coordenação do Curso de Matemática do CERES, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência parcial para obtenção do t´ıtulo de graduação em Licenciatura em Matemática.

CAIC ´O-RN Dezembro/2015

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Maia, Rayanne Dantas.

Um estudo sobre lei dos senos, lei dos cossenos e suas aplicações / Rayanne Dantas Maia. - Caicó: UFRN, 2015. 40f: il.

Orientador : Luis Gonzaga Vieira Filho.

Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó -Campus Caicó.

1. Lei dos senos. 2. Lei dos cossenos. 3. Aplicabilidade das leis. I. Filho, Luis Gonzaga Vieira. II. Título.

RN/UF/BSE07 CDU 51

Catalogação da Publicação na Fonte

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

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UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEI DOS

COSSENOS E SUAS APLICAC

¸ ˜

OES

por

Rayanne Dantas Maia

Monografia apresentada à Coordenação do Curso de Matemática do CERES, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência parcial para obtenção do t´ıtulo de graduação em Licenciatura em Matemática.

Aprovado por:

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Serid ó Coordenação do Curso de Matemática

Caic ´o - RN

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Dedicat ´oria

A Deus, aos meus pais Katia Cilene e Raimundo, a minha av´o Maria.

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Agradecimentos

Em primeiro lugar quero agradecer a Deus pelo dom da vida e por ter me dado forc¸as nos momentos dif´ıceis dessa caminhada.

Aos meus pais Katia Cilene e Raimundo Maia, que sempre estiveram presente em todos os momentos da minha vida, aconselhando e direcionando o melhor caminho a seguir. Aos meus tios Bernardino Carreiro e Luzia Maia, pois sem a motivação e à força de vocês talvez hoje eu não estivesse concluindo o curso de licenciatura em Matemática, muito obrigada por tudo, nunca serei capaz de retribuir o que fizeram por mim. Aos meus pais adotivos Marlene e Djalma, que abriram as portas de sua casa e me re-ceberam como uma filha, palavras não são capazes de descrever o meu agradecimento a vocês.

Aos meus irmãos Rayzza, Rute e Miguel, pelo carinho e atenção que tem para comigo. A todos os familiares, por toda a preocupação e carinho que tiveram comigo durante essa trajet ória acadêmica.

Ao meu noivo Thales Freitas, pelo companheirismo, paciˆencia e forc¸a nos momentos dif´ıceis na caminhada.

Aos meus amigos que estiveram presente durante essa caminhada, em todos os mo-mentos. Há vocês meu muito obrigada pelo carinho durante toda essa trajet ória de altos e baixos, mas também de muitas vit órias.

Ao meu padastro Jos´e Francisco, pelo carinho e cuidado.

Ao meu padrinho Nailson e toda a sua fam´ılia pelo carinho que tiveram comigo du-rante esses anos ajudando no que foi poss´ıvel.

A todos os professores que contribu´ıram para a minha formação acadêmica de modo especial ao meu professor orientador Luis Gonzaga Vieira Filho, pelos conhecimentos transferidos.

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Resumo

Este trabalho apresenta um estudo sobre a lei dos senos e lei dos cossenos, sendo esta uma parte da trigonometria que trabalha com a resolução de problemas em quais-quer triângulos. No primeiro momento, trataremos de pontos que foram relevantes e que contribu´ıram para o desenvolvimento da trigonometria, no segundo momento será apresentado a demonstração da lei dos senos e lei dos cossenos, e finalmente as aplicaç ões das leis mostrando assim sua vasta aplicação. Para desenvolver este tra-balho foi realizada uma pesquisa em fontes impressas e eletr ônicas, sendo esse um levantamento bibliográfico.

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Abstract

This paper presents a study on the law of sines and law of cosines, which is a part of trigonometry working with problem solving in any triangles. At first, we will deal points that were relevant and contributed to the development of trigonometry, the second time will be presented to demonstrate the law of sines and law of cosines, and finally the application of the laws thus showing its wide application. To develop this work a survey was conducted in printed and electronic sources, making a biblio-graphical survey.

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Lista de Figuras

1.1 C´ırculo de raio unit´ario . . . 7

1.2 Triˆangulo retˆangulo . . . 8

2.1 Triˆangulo acutˆangulo . . . 10

2.2 Triˆangulo obtusˆangulo . . . 12

2.3 Circunferˆencia de raio r . . . 15

2.4 Triângulo com ângulo Â agudo . . . 16

2.5 Triângulo com ângulo Â obtuso . . . 17

3.1 Representac¸˜ao do problema I . . . 20

3.2 Representac¸˜ao do problema II . . . 21

3.3 Representac¸˜ao do problema III . . . 22

3.4 Representac¸˜ao do problema IV . . . 23

3.5 Representac¸˜ao da problema IV . . . 24

3.6 Representac¸˜ao do problema V . . . 25

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“A Matemática, quando a compre-endemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza.”

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Sum´ario

1 RETROSPECTIVA HIST ´ORICA 3

1.1 Primeiros ind´ıcios da hist ´oria da trigonometria . . . 3

1.2 As contribuiç ões de Hiparco de Nicéia e Ptolomeu à trigonometria . . . 5

1.3 As contribuiç ões dos hindus e árabes à trigonometria . . . 7

1.4 Contribuic¸ ˜oes de alguns estudiosos para a trigonometria . . . 8

2 LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS 10 2.1 Lei dos senos . . . 10

2.2 Lei dos cossenos . . . 15

3 APLICAC¸ ˜OES 19 3.1 Problema I . . . 20 3.2 Problema II . . . 21 3.3 Problema III . . . 22 3.4 Problema IV . . . 23 3.5 Problema V . . . 25 3.6 Problema VI . . . 26

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INTRODUC

¸ ˜

AO

A trigonometria é um ramo da matemática que apresenta os métodos de resolução de problemas entre triângulos e investiga funç ões trigonométricas, nesse trabalho será apresentado de modo mais especifico a lei dos senos e lei dos cossenos que é uma ramificação da trigonometria utilizada para resolução de problemas nos quais se pre-tende determinar os lados ou ângulos dos triângulos.

Esse trabalho tem por objetivo mostrar ao leitor que o conhecimento da tr´ıade, “surgimento, demonstração e aplicação”, da lei dos senos e lei dos cossenos consti-tui um olhar mais cr´ıtico do objeto de estudo apresentado, percebendo assim suas contribuiç ões e utilidades para o conhecimento.

O interesse em investigar e escrever sobre a lei dos senos e lei dos cossenos, se deu por recordaç ões da época de estudante quando ao ver o professor expondo o conte údo, apesar de achá-lo interessante, não compreendia a razão pela qual poderia tornar o determinado conte údo útil em diversas situaç ões cotidianas nas quais poderia ser aplicado, hoje pelo pouco de experiência que tenho com a sala de aula como professora de matemática percebo a mesma dificuldade em meus alunos, por isso resolvi escrever um trabalho que apresentasse diversas situaç ões nas quais se podem aplicar a lei dos senos e lei dos cossenos, para isso é importante conhecer o determinado conte údo de uma forma geral, fazendo uma breve explanação do seu surgimento, apresentar as demonstraç ões da lei dos senos e lei dos cossenos com o intuito de reconhecer como chegou às suas determinadas f órmulas que são um meio facilitador na resolução de problemas, em diversas situaç ões nas quais são aplicadas.

O presente trabalho apresenta-se da seguinte forma: 1. Introdução, 2. Retros-pectiva hist órica da trigonometria, os primeiros ind´ıcios, o processo de evolução até torná-se um ramo da matemática e as contribuiç ões de vários estudos para essa área, 3. Demonstraç ões da lei dos senos e lei dos cossenos, onde se apresenta o conceito e suas demonstraç ões, 4. Aplicaç ões, relata a importância e situaç ões diversas nas quais as leis dos senos e lei dos cossenos são aplicadas, seguida de exemplos, 5. Consideraç ões finais, 6. Referências bibliográficas. A pesquisa caracterizou-se por um levantamento bibliográfico, em fontes impressas como livros, artigos, e fontes eletr ônicas.

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Cap´ıtulo 1

RETROSPECTIVA HIST ´

ORICA

1.1 Primeiros ind´ıcios da hist ´oria da trigonometria

A palavra trigonometria é de origem grega, onde “trigono” significa que tem três ângulos e “metria” é medida. Acredita-se que o termo foi criado, em 1595, pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613) (MORAIS FILHO, 2014), ou seja, a trigonometria é um ramo da matemática que estuda os lados e ângulos de um triângulo e as funç ões trigonométricas. Sua origem é incerta, seu surgimento não foi algo apresentado pronto, para chegar ao seu estágio atual, ocorreram grandes avanços e contribuição de grandes estudiosos e tudo isso se deve a necessidade dos povos antigos em resolver problemas relacionados à astronomia, agrimensura e navegaç ões. São poucos os registros hist óricos sobre os antigos estudos realizados nesse ramo da matemática, pois utilizavam apenas o registro escrito que era bastante precário e perdeu-se no decorrer dos anos.

A trigonometria como toda descoberta matemática não se desenvolveu de ma-neira repentina, e muito menos teve um único protagonista, contou com contribuição de diversas civilizaç ões que foram: babil ônicas, eg´ıpcias, gregas, hindus e árabes. Mo-tivados pela compreensão do universo, a trigonometria passou a ser uma ferramenta auxiliadora para descobertas fascinantes e que contribu´ıram para o desenvolvimento da arquitetura, da navegação, da astronomia, da geografia, mas foi o interesse pela astronomia que impulsionou o estudo da trigonometria.

Os primeiros ind´ıcios da trigonometria surgiram no Egito e na babil ônia. No Egito aproximadamente 1650 a.C. foi encontrado o papiro de Ahmes, mais conhecido como papiro de Rhind, problemas envolvendo a cotangente de um ângulo diedro da base de uma pirâmide. Esse conceito era utilizado na construção das pirâmides onde se calculava a inclinação de suas faces, o que levou os eg´ıpcios a introduzirem o conceito de

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noç ões culminaram nas funç ões tangente e cotangente. Também foram encontrados na Babil ônia a tabela de Plimpton 322,que contem essencialmente a tábua das secantes na tábua cuneiforme (esse nome devido os n úmeros serem escritos na forma de cunha).

Como mencionado anteriormente, os primeiros registros sobre a trigonometria não surgiu somente no Egito, mas também na Babil ônia. O interesse dos babil ônicos pela astronomia, era desenvolver ferramentas de cálculos para serem utilizadas como meio de ligação do calendário com as épocas de plantio o que acarretou no desenvolvimento da agricultura.

Assim, pode-se observar que mesmo a trigonometria não tendo esse nome es-pec´ıfico já era bastante explorada pelos povos antigos, pois é imposs´ıvel estudar as fases da lua, os pontos cardeais e as estaç ões do ano sem usar triângulos.

Na Grécia os grandes sábios contribu´ıram para a construção do conhecimento geométrico, entre eles pode se destacar Thales de Mileto (625-546 a.C.), com estudo da semelhança que contribuiu para a trigonometria e Pitágoras (570-495 a.C.) que provou o teorema que recebe, em sua homenagem, seu nome: “Em todo triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. Deste teorema surge o teorema fundamental da trigonometria. (COSTA, 2015). Desse modo, pode-se afirmar que a trigonometria esta intimamente ligada à geometria. Na obra Os Elementos de Euclides também é poss´ıvel encontrar proposiç ões que relacionam a lei dos cossenos para ângulos agudos e obtusos s ó que de forma geométrica, e teoremas relacionados ao que hoje conhecemos como lei dos senos e lei dos cossenos.

Assim, Boyer (1996, p.108) afirma que

Nas obras de Euclides não há uma trigonometria no sentido da palavra, mas há teoremas equivalentes a leis ou f órmulas trigonométricas espec´ıficas. As proposiç ões II.2 e II.3 de Os elementos, por exemplo, são as leis de cosseno para ângulos obtuso e agudo respectivamente[...] Os teoremas sobre comprimentos de corda são essencialmente a lei dos senos.

Referências à trigonometria também foram encontradas no oriente, aproximada-mente 1110 a.C. . Acredita-se que os triângulos retângulos eram utilizados para calcular distâncias e medir comprimentos e profundidade, para isso, evidências mostram que eles utilizavam as relaç ões trigonométricas, o conceito de ângulo e como medi-lo, mas não foram encontrados registros que expliquem o método que eles utilizavam para calcular essas mediç ões e as unidades de medidas utilizadas.

Pode-se observar que os estudos na área da trigonometria foram impulsionados pelo interesse na astronomia. Por volta do ano 200 a.C. os astr ônomos Erat óstenes

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de Cirene (276-196 a.C.) contemporâneo de Arquimedes e Aristarco (310-230 a.C.) interessados em descobrir a distância entre dois pontos da superf´ıcie terrestre e calcular o raio da terra, usaram semelhança de triângulos e relaç ões trigonométricas, e com isso produziram a mais notável medida da antiguidade para a circunferência o que foi um marco importante, pois da´ı percebe-se a necessidade de uma trigonometria mais sistematizada entre ângulos e cordas. Vale ressaltar que o trabalho de Erat óstenes s ó foi poss´ıvel depois de determinado o conceito de ângulo e como medi-lo.

Contudo, observa-se que, apesar da trigonometria não ter sido apresentada de forma sistematizada, ela já vinha sendo estudada e aplicada por muitos estudiosos em situaç ões diversas, nota-se também que a lei dos senos e lei dos cossenos estavam presente nas obras antigas, embora não fosse vista como uma área da trigonometria e formuladas como se conhece hoje.

1.2 As contribuiç ões de Hiparco de Nicéia e Ptolomeu à

trigonometria

Por volta de 180 a.C. a primeira amostra documentada sobre a trigonometria sur-giu, quando Hips´ıcles, influenciado pela cultura da babil ônia dividiu o zod´ıaco em 360 partes. Acredita-se que Hiparco de Nicéia generalizou essa ideia para o c´ırculo, dividindo em 360 partes iguais, e nomeou arco de 1 grau a cada parte da circunferência e, mais ainda, dividiu cada grau em 60 partes obtendo o arco de minuto. Bastante in-fluenciado pela cultura babil ônica, Hiparco acreditava que a melhor base de contagem era a base 60.

Foi por volta da metade do século II a.C. que o astr ônomo Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.), estudou e sistematizou relaç ões entre os elementos de um triângulo, ele foi o primeiro a construir a primeira tabela trigonométrica, incluindo a tábua de cordas, com os valores das cordas de vários ângulos de 0o _{a 180}o_{. Hiparco observou que em} um dado c´ırculo de (raio arbitrário) a razão do arco para a corda diminui na medida que o arco diminui de 180o_{para 0}o_{, suas observaç ões contribu´ıram para um avanço na} astronomia e posteriormente em novo campo da matemática, a trigonometria, devido a isso recebeu o t´ıtulo de “pai da trigonometria”.

São notáveis as contribuiç ões de Hiparco de Nicéia para o desenvolvimento da trigonometria, mas foi com a ajuda do astr ônomo Cláudio Ptolomeu que ela atingiu seu ápice, sua obra, chamada de Syntaxis mathematica (Coleção matemática), popu-larmente conhecida como Almagesto - palavra árabe que significa “O maior” ou “O grande tratado”, esse nome foi devido aos tradutores árabes considerarem a maior e

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mais importante obra existente da época relacionada à trigonometria da antiguidade. A obra é composta por 13 volumes, que tem como base o trabalho do astr ônomo grego Hiparco, cujos livros se perderam. Isso aparece num comentário do trabalho mais antigo de Teon de Alexandria, que viveu dois séculos depois e pesquisou sobre as descobertas dos gregos anteriores.

O Almagesto tem por objetivo descrever matematicamente o funcionamento do sistema solar, aplicando a teoria geocêntrica, ou seja, que a terra é o centro, sua idéia perdurou até Copérnico (1473-1543) e Johanm Kleper (1571-1630), que introduziram a teoria heliocêntrica, ou seja, que o sol é o centro do sistema solar. Segundo Edward Kennedy “para os matemáticos o Almagesto tem interesse devido às identidades tri-gonométricas que Ptolomeu divisou para ajudá-lo a reunir dados da tábua de cordas” (1992, p. 28), esse material tornou-se uma grande ferramenta de estudo para os ma-temáticos, visto que foi a primeira obra que apresentou as cordas trigonométricas, e os métodos para a sua construção, pois os outros materiais se perderam com o tempo.

Dos livros que comp õem o Almagesto, o primeiro contém as informaç ões as-tron ômicas preliminares, em meio a esta se encontram os estudos sobre a trigonome-tria descrita nos cap´ıtulos dez e onze. No capitulo dez Ptolomeu explica todos os procedimentos para a construção da tabela de corda, os demais livros eram dedicados a astronomia. A tabela de Ptolomeu é mais completa que a de Hiparco, contendo ângulos de meio em meio grau de 0o_{a 180}o_.

No primeiro livro também se encontra a proposição geométrica conhecida como Teorema de Ptolomeu: “Se ABCD é um quadrilátero (convexo) inscrito em uma

circunferˆencia, ent˜ao

AB· CD + BC· DA = AC· BD;

isto é, a soma dos produtos de lados opostos de um quadrilátero inscrit´ıvel é igual ao produto das diagonais”(BOYER E MERZBACH, 2012, p. 126). Esse foi o teorema utilizado por Cláudio Ptolomeu para expansão da trigonometria. Com esse resultado Ptolomeu chegou ao que hoje são equivalentes as F órmulas do seno da diferença

sen(α − β) = senαcosβ-senβcosα, racioc´ınio semelhante levou a determinar o seno da

soma, sen(α+β)=senαcosβ+senβcosα , e de modo análogo cos(α±β) = cosαcosβ∓senαsenβ, devido a essas descobertas as quatro f órmulas são hoje conhecidas como F órmulas de Ptolomeu (BOYER E MERZBACH 2012).

Outra f órmula utilizada por Ptolomeu para a construção de sua tabela trigo-nométrica foi a seno do arco metade, sen2α

2 = 1−cosα2 . Segundo Boyer “Ptolomeu estava preparado para construir uma tabela de cordas tão precisa quanto se poderia desejar, pois tinha o equivalente de nossas f órmulas fundamentais.”(2012, p. 127). Vale ressaltar que nessa época ainda não conhecia a relação seno, mas sim a relação corda.

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1.3 As contribuiç ões dos hindus e árabes à trigonometria

A trigonometria recebeu contribuiç ões dos hindus, que aproximadamente 400 d.C., escreveram uma obra chamada de Surya Siddhanta, que quer dizer sistema do sol, a Surya foi uma obra de muita importância, pois apresentou uma trigonometria diferente de Ptolomeu. Nesta, a relação apresentada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva (Definição: jiva é a relação entre o cateto oposto e sua hipotenusa, ou seja, Jivaθ₂ = catetooposto_hipotenusa) que diferenciou-se de Ptolomeu que relacionava as cordas de um c´ırculo com os ângulos centrais correspondentes. A figura 1.1 representa a definição do jiva hindu.

Figura 1.1: C´ırculo de raio unit´ario

A metade da corda dividida pelo raio da circunferˆencia ´e o jiva da metade do arco

Jivaθ₂ = _2rc , que conhecemos hoje como, senθ₂ = _2rc.

Depois desta descoberta na trigonometria, ocorreram muitos avanços e melhoria das funç ões trigonométricas incluindo a nova nomenclatura da função, ou seja, passou de função corda para função seno. A partir da´ı os hindus demonstraram as identidades trigonométricas, encontrado em Varahamihira, no ano 505 d.C., o que hoje equivale a

sen2_{θ + cos}2_{θ = 1.}

Os árabes também tiveram sua contribuição para o desenvolvimento da trigono-metria. O pr´ıncipe Al Battani (aproximadamente 850 a 929 d. C.), ou Albategnius, chamado o Ptolomeu da Bagdad, destacou-se por introduzir o raio da circunferência unitária e com isso conseguiu provar que a razão jiva é válida para qualquer triângulo retângulo independentemente da medida da sua hipotenusa, com essa idéia conseguiu que a trigonometria hindu fosse também adotada pelos árabes. A figura 1.2 representa o cálculo realizado por Al Battani.

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Figura 1.2: Triˆangulo retˆangulo

A palavra jiva tem origem indiana e para melhor compreender como ela passou a ser chamada de seno, nos explica Kennedy (1992, p. 19).

Ardhajya o que significa “semicordas” em sânscrito. Esta designação foi abreviada para jya e transliterada em três caracteres árabes, jyb – o que pode ser lido como jayb, que em árabe “bolso” ou “golfo”. Assim foi interpretada pelos europeus, que a traduziram para o latim sinus da´ı o nosso o seno.

O interesse de Al Battani ao realizar essa descoberta não estava totalmente ligado à trigonometria, mas seu real interesse estava em calcular a altitude do sol. Notamos que no decorrer da hist ória a trigonometria não aparece como uma área isolada, mas como um objeto importante nos estudos da astronomia, é importante destacar que apesar dessa ligação, ocorreu um grande progresso da trigonometria mesmo ainda não sendo vista como uma área independente da astronomia.

Ap ós Al Battani o matemático árabe Ab û’l Wêfa assume um importante papel para a trigonometria, pois foi ele o responsável por iniciar a organização, sistematização de provas e teoremas trigonométricos, pode-se destacar a demonstração de um dos principais teoremas, tais como f órmulas para ângulo duplo ou metade. Devido à formulação clara da lei para triângulos esféricos, era atribu´ıda a Ab û’l Wêfa a lei dos senos, apesar de sua essência já ser apresentada nas obras de Ptolomeu.

1.4 Contribuic¸ ˜oes de alguns estudiosos para a

trigonome-tria

A trigonometria é uma área que recebeu contribuiç ões de grandes estudiosos para chegar a ser um ramo da matemática, e não mais uma área vinculada à astronomia. Somente por volta do século XIII, ela passa a ser independente, e se desenvolver fundamentada na geometria, ganha uma nova direção.

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O astr ônomo Persa Nasir Edden contribuiu para o desenvolvimento da trigono-metria e à astronomia, que segundo Boyer ”foi o responsável pelo primeiro tratado sistemático sobre trigonometria plana e esférica, tratando o material como um assunto independente e não apenas como um servidor da astronomia.”(1996, p.166), sua obra não foi bastante difundida por não ser conhecida pelos europeus.

O matemático europeu Leonardo de Pisa (1170-1250), mais conhecido como Fibo-nacci ou “filho de BoFibo-naccio”, que sofreu grande influência dos árabes e hindus, foi considerado o mais habilidoso do século XIII, onde desempenhou um papel impor-tante que está presente em sua obra Practica Geometriae, que trata da aplicação da trigonometria na agrimensura.

Outro matemático bastante influente no estudo da trigonometria foi Johann Mul-ler (1436-1476), mas conhecido como Regiomontanus, ele foi o responsável pela obra chamada De triangulis, que apresenta uma exposição sistemática de métodos para resolução de problemas envolvendo triângulos. No segundo livro de sua obra Regio-montanus apresenta a demonstração da lei dos senos.

Além de astr ônomo, Copérnico realizou contribuiç ões para o estudo da trigono-metria, responsável pela obra De revolutionibus orbium coelestium, publicada em 1543 no ano da sua morte, contem conceitos importantes sobre a trigonometria. Os teoremas presentes na obra de Copérnico influenciaram os trabalhos de Regiomontanus, mas seu seguidor Rheticus associou as idéias de Copérnico e Regiomontanus juntamente com suas ideias e elaborou um tratado onde a trigonometria atingiu sua independência, cha-mada Opus palatinum de triangulis, a obra apresentou uma trigonometria concentrada nos lados de um triângulo retângulo, as seis funç ões trigonométricas.

Partindo das obras de seus predecessores Regiomontanus e Rheticus, François Viéte, foi o primeiro a considerar a trigonometria como um ramo independente da matemática.

No decorrer do processo de evolução da trigonometria, nota-se que esta é uma área que sempre esteve relacionada com outras áreas de conhecimento. Ocorreu todo um processo de construção dessa área para chegar a sua independência e ao seu estágio atual.

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Cap´ıtulo 2

LEI DOS SENOS E LEI DOS

COSSENOS

Pelo o exposto no cap´ıtulo anterior, percebe-se que no princ´ıpio, apesar de não ter um nome espec´ıfico, a trigonometria estava muito presente na vida da humanidade. A lei dos senos e a lei dos cossenos como parte da trigonometria já vinha sendo explorada. Os Elementos de Euclides foi o primeiro trabalho no qual as leis foram abordadas, a primeira demonstração sistemática da lei dos senos foi realizada por Ab û’l Wêfa, nesse cap´ıtulo serão apresentadas as demonstraç ões.

2.1 Lei dos senos

Teorema 2.1 Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, ou seja:

a sen ˆA = b sen ˆB = c sen ˆC (2.1)

onde a, b e c s˜ao as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Demonstrac¸˜ao:

Para demonstrar o Teorema 2.1, analisaremos os seguintes casos: 1o_{Caso: O triˆangulo ABC acutˆangulo:}

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Seja h= AH1a altura baixada do vértice A sobre o segmento BC e p= BH2a altura baixada do vértice B sobre o segmento AC, como ilustrado na figura 2.1. Como os triângulos BH2C e AH2B são ambos retângulos em H2, obtemos as seguintes relaç ões: • No triângulo BH2C, temos: sen ˆC= BH2 BC , ou seja, sen ˆC= p a. Da´ı, p= a · sen ˆC. (2.2) • No triângulo AH2B, temos:

sen Â= BH2 AB , ou seja, sen Â= p c. Da´ı, p= c · sen Â. (2.3) Comparando as equaç ões (2.2) e (2.3) , teremos:

a· sen ˆC = c · sen Â. (2.4) Multiplicando ambos os lados da equação (2.4) por (sen Â· sen ˆC)−1, com sen Â· sen ˆC , 0,

temos:

a sen ˆA =

c

sen ˆC. (2.5)

Por outro lado, dos triângulos AH1B e AH1C, ambos retângulos em H1. Podemos obter as seguintes relaç ões:

• No triˆangulo AH1B,temos:

sen ˆB= AH1 AB ,

ou seja,

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Da´ı,

h= c · sen ˆB. (2.6) • No triˆangulo AH1C, temos:

sen ˆC= AH1 AC , ou seja, sen ˆC= h b. Da´ı, h= b · sen ˆC. (2.7) Comparando as equac¸ ˜oes (2.6) e (2.7) , teremos:

b· sen ˆC = c · sen ˆB. (2.8) Multiplicando ambos os lados da equac¸˜ao (2.8) por (sen ˆB· sen ˆC)−1, com sen ˆB· sen ˆC , 0, temos:

b sen ˆB =

c

sen ˆC. (2.9)

Das equac¸ ˜oes (2.5) e (2.9) obtemos , por transitividade, que a

sen ˆA

=

b sen ˆB. Portanto, a sen ˆA = b sen ˆB = c sen ˆC.

2oCaso: Triˆangulo obtusˆangulo

Seja h= AH2a altura baixada do vértice A sobre o segmento BC, e p= BH1a altura baixada do vértice B à semirreta CA. Fazendo AH1 = x e CH1 = b + x como ilustrado na figura 2.2.

(23)

Dos triângulos retângulos AH2B e AH2C, ambos retângulos em H2, podemos obter as seguintes relaç ões:

• No triˆangulo AH2B, temos:

sen ˆB= AH2 AB , ou seja, sen ˆB= h c. Da´ı, h= c · sen ˆB. (2.10) • No triˆangulo AH2C, temos:

sen ˆC= AH2 AC , ou seja, sen ˆC= h b. Da´ı, h= b · sen ˆC. (2.11) Comparando as equac¸ ˜oes (2.10) e (2.11), teremos:

b· sen ˆC = c · sen ˆB. (2.12) Multiplicando ambos os lados da equac¸˜ao (2.12) por (sen ˆB· sen ˆC)−1, com sen ˆB· sen ˆC , 0, temos:

b sen ˆB =

c

sen ˆC. (2.13)

Por outro lado, dos triângulos retângulos AH1B e CH1B, ambos retângulos em H1, podemos obter as seguintes relaç ões:

• No triˆangulo AH1B, temos:

sen(180o− α) = BH1 AB, ou seja, sen(180o− α) = p c. Da´ı, p= c · sen(180o− α). (2.14) Fazendo uso do Teorema de Ptolomeu, temos:

(24)

como cos180o_{= −1 e sen180}o_{= 0, substituindo em (2.15), teremos:}

sen(180o− α) = senα.

Como ˆA= α, temos:

sen(180o− ˆA)= sen ˆA.

Da´ı, podemos reescrever a equac¸˜ao (2.14) da seguinte forma:

p= c · sen Â. (2.16) • No triângulo CH1B, temos: sen ˆC= BH1 BC , ou seja, sen ˆC= p a. Da´ı, p= a · sen ˆC. (2.17) Comparando as equaç ões (2.16) e (2.17), teremos:

a· sen ˆC = c · sen Â, (2.18) multiplicando ambos os lados da equação (2.18) por (sen Â·sen ˆC)−1, com sen Â·sen ˆC , 0,

temos:

a sen ˆA =

c

sen ˆC. (2.19)

Das equac¸ ˜oes (2.13) e (2.19) obtemos , por transitividade, que a

sen ˆA

=

b sen ˆB. Portanto, a sen ˆA = b sen ˆB = c sen ˆC.

Outra demonstração para lei dos senos pode ser obtida a partir de um triângulo inscrito em uma circunferência, vejamos: como todo triângulo é inscrit´ıvel numa cir-cunferência, considere o triângulo ABC, inscrito numa circunferência de raio r e centro O. Como mostra a figura 2.3.

Traçando o diâmetro AD e considerando o triângulo ACD, como o ângulo ˆC está

inscrito na circunferência e AD é o diâmetro dessa circunferência, então ˆC= 90o_{. Logo} ACD é um triângulo retângulo em ˆC, e deste podemos obter a seguinte relação:

sen ˆD= AC AD,

(25)

Figura 2.3: Circunferˆencia de raio r

ˆB e ˆD estão inscritos em um mesmo arco, logo ˆB ≡ ˆD, então podemos reescrever a equação (2.20) da seguinte forma:

sen ˆB= b 2r, b sen ˆB = 2r. (2.21) De modo análogo, a sen Â = 2r e c sen ˆC = 2r. Portanto, a sen Â = b sen ˆB = c sen ˆC.

2.2 Lei dos cossenos

Teorema 2.2 Para todo triângulo ABC, o quadrado da medida de um lado qualquer é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, subtra´ıda do dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles, ou seja, em um triângulo onde a, b e c, são as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Temos,

a2 = b2+ c2− 2bccos Â (2.22) Demonstração:

Dado um triˆangulo qualquer ABC, com medidas a, b e c, dos lados BC, AC e AB respectivamente. Vamos demonstrar que a2 = b2 + c2 − 2bccos ˆA. Consideremos os

seguintes casos:

(26)

Figura 2.4: Triângulo com ângulo Â agudo

Seja h= BH a altura baixada de B sobre o lado AC, onde H pertence ao segmento AC. Fazendo AH = x e HC = b − x como ilustrado na figura 2.4. Podemos obter a seguinte relação do triângulo AHB, retângulo em H:

cos Â= AH AB, ou seja, cos Â= x c. Da´ı, x= c · cos Â. (2.23) Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos AHB e BHC, ambos retângulos em H, obtemos:

• No triˆangulo AHB, temos que:

c2 = h2+ x2.

Escrevendo h2_{em func¸˜ao de c}2_{e x}2_{, teremos:}

h2= c2− x2. (2.24) • No triˆangulo BHC, temos que:

a2 = h2+ (b − x)2,

ou seja,

a2 = h2+ b2− 2bx + x2. (2.25) Substituindo e equac¸˜ao (2.23) e (2.24) em (2.25), teremos:

a2 = c2− x2+ b2− 2bc · cos ˆA+ x2,

ou seja,

a2= b2+ c2− 2bc · cos Â. (2.26) Portanto a equação (2.22) é válida quando o ângulo Â é agudo.

(27)

Figura 2.5: Triângulo com ângulo Â obtuso

Seja h = BH a altura baixada do vértice B a semirreta CA, onde H pertence a semirreta CA. Fazendo AH= x e HC = b + x como ilustrado na figura 2.5. Podemos obter as seguintes relaç ões do triângulo AHB, retângulo em H.

cos(180o− α) = AH AB, ou seja, cos(180o− α) = x c. Da´ı, x= c · cos(180o− α). (2.27) Fazendo uso do Teorema de Ptolomeu, teremos:

cos(180o− α) = cos180o· cosα + sen180o· senα. (2.28) Como cos180o _{= −1 e sen180}o_{= 0, substituindo em (2.28), teremos:}

cos(180o− α) = −cosα. (2.29) Note ainda que ˆA= α, assim

cos(180o− ˆA)= −cos ˆA.

Podemos reescrever a equac¸˜ao (2.27) da seguinte forma:

x= −c · cos Â. (2.30) Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos BHA e BHC, ambos retângulos e H, obtemos:

• No triˆangulo BHA,

c2 = h2+ x2.

Escrevendo h2_{em func¸˜ao de c}2_{e x}2_{, teremos:}

(28)

• No triˆangulo BHC,

a2 = h2+ (b + x)2,

ou seja,

a2 = h2+ b2+ 2bx + x2. (2.32) Substituindo as equac¸ ˜oes (2.30) e (2.31) em (2.32), teremos:

a2 = c2− x2+ b2− 2bccos ˆA+ x2,

ou seja,

a2= b2+ c2− 2bccos Â. (2.33) Logo a equação (2.22) é válida, quando o ângulo Â é obtuso.

Um caso particular da lei dos cossenos é o Teorema de Pitágoras. De fato, basta tomarmos Â= 90o_{, como cos90}o_{= 0, então}

a2 = b2+ c2− 2bccos90o

a2 = b2+ c2 (2.34) Como a equação (2.22) é válida para um ângulo agudo, obtuso e reto, temos que a equação é válida para qualquer triângulo.

(29)

Cap´ıtulo 3

APLICAC

¸ ˜

OES

Nesse cap´ıtulo serão apresentadas diversas situaç ões, onde se pode aplicar a lei dos senos, lei dos cossenos, e mostrar a funcionalidade dessas leis como um meio facilitador na resolução de diversas situaç ões problemas.

Como visto no primeiro cap´ıtulo desse trabalho, o leitor tem a oportunidade de se aprofundar um pouco na hist ´oria da trigonometria e perceber o quanto a mesma foi um instrumento ´util na vida das pessoas.

No princ´ıpio o real interesse dos povos antigos em estudar a trigonometria es-tava na necessidade em resolver problemas relacionados à agrimensura, navegação e astronomia, na verdade à aplicabilidade da trigonometria para descobertas na astro-nomia é o que impulsionou o estudo aprofundado nessa área do conhecimento. O que começou a ser visto como uma ferramenta auxiliadora para a astronomia tornou-se um fator contribuinte para outras áreas, tais como arquitetura, engenharia civil, f´ısica, cálculo de distâncias inacess´ıveis, e até mesmo na m úsica. Segundo (Boyer, C.D, 1971) “A aplicabilidade da trigonometria nos vários campos da atividade humana é atual-mente, incontestável. Mas provavelmente os que fizeram os primeiros estudos sobre triângulos não vislumbraram esses horizontes”, apesar de não enxergar a dimensão em aplicação que a trigonometria possui com o passar dos tempos ela tornou-se uma ferramenta indispensável para solução de diversos problemas.

Para alguns é fácil perceber a dimensão em que a lei dos senos, e lei dos cossenos pode ser aplicada, enquanto que para outros não passa de um mero conte údo que deve ser visto na escola, e que não possui nenhuma utilidade para a vida.

A lei dos senos e dos cossenos é uma ferramenta muito utilizada pelos engenheiros, para a construção de um mapa top ógrafo, no cálculo de distâncias inacess´ıveis, áreas de terreno, per´ımetro, mas para que sejam realizados esses cálculos é necessário que se conheça algumas medidas de lados e ângulos, algumas dessas medidas são encon-tradas usando equipamentos chamados de teodolito, fita métrica e trena. O teodolito

(30)

é um instrumento utilizado para medir ângulos, tanto nos planos horizontal como vertical sendo composto basicamente por um telesc ópio que pode ser girado em eixos perpendiculares. Em alguns exemplos veremos a necessidades desses equipamentos na resolução de problemas.

3.1 Problema I

Medir a distância de um ponto do Rio de Janeiro a um ponto vis´ıvel de Niter ói. Enunciado: De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de Janeiro, avista-se um ponto P na praia de Icara´ı em Niter ói (estes dois pontos estão em lados opostos do canal de entrada da Ba´ıa de Guanabara). De um ponto B na Praia do Flamengo, distante 1 km de A também se avista o ponto P Figura 3.1. Um observador no Rio de Janeiro mediu os ângulos BAP=119o_{e ABP=52}o_{. Qual é a distância entre A e P?}

Figura 3.1: Representac¸˜ao do problema I

FONTE:Temas e Problemas(2011)

Solução: Como pretende-se calcular a distância entre o ponto A na praia do Fla-mengo no Rio de Janeiro ao ponto P na praia de Icara´ı em Nitero´ı, podemos aplicar a lei dos senos para determinar essa distância

1

sen ˆP = x

sen52o. (3.1)

Para determinar a medida do ˆangulo ˆP, sabe-se que a soma dos ˆangulos internos de

um triˆangulo ´e 180o, temos:

119o+ 52o+ ˆP = 180o, ou seja,

ˆ

P= 9o.

Substituindo ˆP= 9o_{na equac¸˜ao (3.1), temos:} 1

sen9o =

x sen52o

(31)

como sen9o _{= 0, 1564 e sen52}o _{= 0, 7880, temos:}

x= 0, 7880

0, 1564, ou seja,

x= 5, 04.

Logo a distˆancia entre A e P ´e aproximadamente 5,04 km

3.2 Problema II

Medir a distˆancia entre dois pontos, ambos inacess´ıveis.

Enunciado: De uma praia é poss´ıvel ver duas ilhas X e Y. Um observador assinala nesta praia dois pontos A e B distantes 1 km entre si, e com seu instrumento mede os seguintes ângulos: XAY=62o_{, YAB=54}o_{, ABX=46}o_{e XBY=74}o_{. Qual é a distância entre} X e Y?

Solução: Para determinar a distância do ponto X ao ponto Y, aplicaremos a lei dos senos e lei dos cossenos. A figura 3.2 ilustra a situação descrita no problema.

Figura 3.2: Representac¸˜ao do problema II

Como AXB = 18o, sen18o = 0, 309 e sen46o = 0, 719, aplicando a lei dos senos no triˆangulo AXB, temos:

1 sen18o = AX sen46o, ou seja, AX= 0, 719 0, 309. Da´ı, AX= 2, 32km.

Do mesmo modo, aplicando a lei dos senos no triˆangulo AYB, como AYB= 6o_{, sen6}o₌ 0, 105 e sen120o _{= 0, 866, temos:}

1

sen6o =

AY sen120o,

(32)

ou seja,

AY= 0, 866

0, 105. Da´ı,

AY= 8, 28km.

Como AX= 2, 32, AY = 8, 28, XAY = 62o_{e cos62}o_{= 0, 469, aplicando a lei dos cossenos} no triˆangulo AXY, podemos determinar a distˆancia do ponto X ao ponto Y, temos:

XY2= AX2+ AY2− 2 · AX · AY · cos(X ˆAY),

ou seja,

XY2= 2, 322+ 8, 282− 2 · 2, 32 · 8, 28 · 0, 469.

Da´ı,

XY= 7, 4km.

Portanto a distˆancia procurada ´e de aproximadamente 7,4 Km.

3.3 Problema III

Uma estrada que está sendo constru´ıda em um plano horizontal e será formada pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a Figura 3.3. No trecho PQ será constru´ıdo um t únel para atravessar a montanha. Os engenheiros devem saber tanto em P quanto em Q, que direção devem tomar para construir o t únel AB de forma que o trecho PABQ seja reto. Eles então fixaram um ponto C do plano horizontal, vis´ıvel tanto de P quanto de Q e determinaram as seguintes medidas: CP= 1, 2km, CQ = 1,8km e PCQ = 27o_. Calcule os ângulos CPQ e CQP.

Figura 3.3: Representac¸˜ao do problema III

(33)

Solução: Seja CPQ = α e CQP = β, para determinar as medidas desses ângulos, primeiro vamos calcular a medida do lado PQ. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo PCQ, temos:

PQ2= PC2+ QC2− 2 · PC · QC · cos(P ˆCQ)

como cos(C ˆPQ)= cos27o_{e cos27}o_{= 0, 891, temos:}

PQ2 = 1, 22+ 1, 82− 2 · 1, 2 · 1, 8 · 0, 891.

Da´ı,

PQ= 0, 911km.

Agora, para determinar a medida deα, vamos aplicar a lei dos senos no triˆangulo PCQ, temos:

QC senα =

PQ

sen27o, (3.2)

como QC= 1, 8km, PQ = 0, 911km e sen27o _{= 0, 454, substituindo na (3.2), obtemos:} 1, 8 senα = 0, 911 0, 454, ou seja, senα = 0, 897.

Como senα = 0, 897, então α = 63, 8o_{. Consequentemente,} _{β = 89, 2}o_{. Portanto os} ângulos procurados são aproximadamenteα = 63, 8o_e_{β = 89, 2}o_.

3.4 Problema IV

Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo – se que a força resultante é igual a 30 kN, encontre suas componentes nas direç ões AC e BC.

Figura 3.4: Representac¸˜ao do problema IV

(34)

Soluc¸˜ao: Considere os vetores FAC e FBC correspondentes as componentes

procu-radas no problema. Trac¸ando os vetores FBP e FAP, paralelas aos vetores FAC e FBC

respectivamente, teremos:

Figura 3.5: Representac¸˜ao da problema IV

Como FBC//FAPent˜ao os ˆangulos P ˆCB≡ C ˆPA. Logo C ˆPA = 40o, consequentemente

P ˆAC= 110o_{. Assim, aplicando a lei dos senos no triˆangulo PAC, temos:}

FR sen110o = FAC sen40o, ou seja, 30 0, 94 = FAC 0, 643. Da´ı, FAC = 20, 52KN.

Logo, a componente AC=20,52KN.

Do mesmo modo, como FBC//FAPos ˆangulos P ˆCA≡ C ˆPB. Logo C ˆPB = 30o,

consequen-temente P ˆBC= 110o. Assim, aplicando a lei dos senos nos triˆangulos PBC, temos:

FR sen110o = FBC sen30o, ou seja, 30 0, 94 = FBC 0, 5. Da´ı, FBC = 15, 96KN. Logo a componente BC=15,96KN

(35)

3.5 Problema V

Um top ógrafo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medição dos ângulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o aux´ılio de um teodolito. Calcule a distância entre as balizas (CEFET, 1984).

Figura 3.6: Representac¸˜ao do problema V

Solução: Como D ÂB = 100o _{e A ˆBD} _{= 30}o_{, consequentemente B ˆ}_DA _{= 50}o_. Apli-cando a lei dos senos no triângulo ADB, temos:

AB sen50o =

AD

sen30o. (3.3)

Como sen50o_{= 0, 766 e sen30}o_{= 0, 5, substituindo em (3.3), temos:} 20 0, 766 = AD 0, 5, ou seja, AD= 13, 05m. (3.4)

Do mesmo modo, como C ˆAB = 40o _{e A ˆBC} _{= 115}o_{, consequentemente B ˆ}_CA _{= 25}o_. Aplicando a lei dos senos no triˆangulo ACB, temos:

AB sen25o =

AC

sen115o. (3.5)

Como sen25o_{= 0, 422 e sen115}o_{= 0, 906, substituindo em (3.5), temos:} 20 0, 422 = AC 0, 906, ou seja, AC= 42, 93. (3.6)

(36)

Para determinar a distˆancia entre as balizas CD, vamos aplicar a lei dos cossenos no triˆangulo DAC, ou seja,

DC2= AD2+ AC2− 2 · AD · AC · cos60o. (3.7) Substituindo as equac¸ ˜oes (3.4) e (3.6) em (3.7), temos:

DC2 = 13, 052+ 42, 932− 2 · 13, 05 · 42, 93 · 0, 5,

ou seja,

DC= 38, 11.

Logo a distˆancia entre as duas balizas ´e de aproximadamente 38,11m.

3.6 Problema VI

Para a execução de um determinado projeto mediu-se o comprimento do segmento AC tendo-se obtido 1210,46 m. Foram depois estacionados dois teodolitos nos pontos B e D do terreno, situados em lados opostos de AC, tendo-se observado os seguintes ângulos:

D ˆBA= 49, 6478o C ˆBD= 75, 2577o A ˆDB= 70, 3605o B ˆDC= 32, 9414o

Calcular o comprimento BD, sabendo que os quatro pontos definem o quadril´atero [ABCD].(grifo)

Solução: Para determinar a distância do ponto B ao ponto D, aplicaremos as lei dos senos e lei dos cossenos. A figura 3.7 ilustra a situação descrita no problema.

(37)

Sejam AD = y, DC = z e BD = x, como ˆA = 59, 9917o_{e ˆ}_C _{= 71, 8009}o_{, aplicando a} lei dos senos no triˆangulo ADB, temos:

x

sen59, 9917o =

y sen49, 6478o. Como sen59, 9917o _{= 0, 866 e sen49, 6478}o_{= 0, 762, temos:}

y= 0, 762x

0, 866 . (3.8)

Do mesmo modo, aplicando a lei dos senos no triˆangulo CDB, temos:

x

sen71, 8009o =

z sen75, 2577o. Como sen71, 8009o _{= 0, 949 e sen75, 2577}o_{= 0, 967, temos:}

z= 0, 967x

0, 949 . (3.9)

Aplicando a lei dos cossenos no triˆangulo ADC, obtemos:

1210, 462 _{= y}2_{+ z}2_{− 2yz · cos ˆD.} _(3.10) Como ˆD= 103, 3019, substituindo as equac¸˜oes (3.8) e (3.9) em (3.10), temos:

(0, 762x 0, 866 )2+ ( 0, 967x 0, 949 )2− 2 · 0, 762x 0, 866 · 0, 967x 0, 949 · cos103, 3019o= 1210, 462 Dai, x 811, 5m.

(38)

Cap´ıtulo 4

CONSIDERAC

¸ ˜

OES FINAIS

Esta pesquisa teve por objetivo ampliar o conhecimento sobre o objeto de estudo apresentado, que foi a lei dos senos e lei dos cossenos, nos quais foram explorados pontos essenciais para um melhor entendimento sobre o conte údo, que são eles: surgi-mento, demonstração e aplicaç ões.

É notável a dificuldade encontrada tanto por partes dos professores quanto dos alunos quando se trata de qualquer assunto que esteja relacionado à trigonometria, por não perceber a vasta aplicação que a mesma possui, pensa-se que o determinado assunto não possui nenhuma utilidade e não faz sentido em aprender.

No decorrer do trabalho vê-se que a trigonometria começou a ser explorada, pois tinha grande utilidade na vida humana seja em quest ões relacionadas à agricultura ou a astronomia, da´ı pode-se concluir a influência que a mesma possui na vida da humanidade, e que muitas vezes passa despercebida por não terem uma experiência aprofundada com o conte údo, com base nisso o trabalho foi escrito mostrando algumas aplicaç ões práticas onde a lei dos senos e lei dos cossenos é aplicada.

Para que o leitor tenha a intimidade, e esclareça as suas d úvidas relacionadas à lei dos senos e lei dos cossenos, é que se apresentam caracter´ısticas que são necessárias para uma melhor compreensão das leis, tais como os primeiros ind´ıcios do surgimento, a primeira obra na qual as leis foram apresentadas, a comprovação da sua existência através da demonstração e aplicaç ões tanto na área da matemática como na f´ısica e topografia.

É importante ressaltar as contribuições de trabalhar a lei dos senos e lei dos cossenos no ensino médio de modo a tornar o conhecimento do aluno significativo, e uma maneira alternativa de expor isso para os alunos é trabalhando desde o surgimento até a aplicação das leis em diversas situaç ões, para que se perceba que elas estão muito além da matemática.

(39)

estudo apresentado, tornando a aprendizagem significativa e constituindo no leitor um olhar cr´ıtico sobre o conte ´udo, e perceba o quanto se faz necess´ario o estudo da lei dos senos e lei dos cossenos.

(40)

Referˆencias Bibliogr´aficas

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