Multicritério. Tomar Melhores Decisões usando métodos quantitativos e folhas de cálculo. Slide 1. c 2003 Maria Antónia Carravilla FEUP

Slide 1

Vers˜

ao 1

c

2003

Maria Ant´

onia Carravilla – FEUP

Slide 2

A empresa

O aumento crescente das preocupa¸c˜oes ecol´ogicas por parte dos consumidores, levou recentemente `a cria¸c˜ao de uma empresa vocacionada apenas para o desenvolvimento e produ¸c˜ao de brinquedos ecol´ogicos. Esses brinquedos s˜ao constru´ıdos com materiais n˜ao t´oxicos e biodegrad´aveis. O material utilizado ´e um aglomerado de fibras de madeira conhecido comercialmente por MDF (medium density fibres) e as liga¸c˜oes entre as pe¸cas s˜ao feitas com fios de latex natural. Todas as pe¸cas s˜ao pintadas com tintas `a base de produtos naturais n˜ao t´oxicos. As embalagens s˜ao constru´ıdas em cart˜ao canelado, feito com papel reciclado.

Inicialmente a empresa tentar´a implantar-se no mercado nacional, mas espera-se que num futuro pr´oximo possa alargar as suas vendas para o mercado internacional. Tendo em vista esse futuro desenvolvimento, a linha de produtos desenvolvidos tem o nome de

a a N N tt uu rr ee y y o o ss T T _.

O lan¸camento da nova linha de produtos vai basear-se no boneco articulado representado na figura seguinte. As pe¸cas constituintes do boneco podem ser pintadas em qualquer uma das cores da paleta da empresa, o salm˜ao, o verde, o amarelo e a cor natural . O boneco articulado representado `a esquerda tem todas as pe¸cas pintadas a salm˜ao e o boneco da direita ´e colorido tem o acess´orio adicional coco.

Slide 3

A empresa

(cont.)

A linha de produtos ´e completada por dois acess´orios opcionais, que se representam a seguir com acabamento a verde, e que podem ser produzidos em qualquer das cores da paleta da empresa. Os acess´orios opcionais representados s˜ao montados ap´os a montagem do boneco, tal como se pode ver na figura seguinte.

côco óculos côco óculos

Para al´em dos acess´orios j´a apresentados ser´a introduzido um novo acess´orio “saia”, cuja incorpora¸c˜ao no produto deve ser feita durante a montagem do boneco.

Slide 4

Problemas (de decis˜

ao) triviais (1)

A a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{j´a tem uma grande implanta¸c˜ao a n´ıvel nacional e uma extensa rede de clientes, o que lhe}

permite ter toda a produ¸c˜ao vendida. No entanto a capacidade m´axima de produ¸c˜ao mensal da

a a N N tt uu rr ee y y o o ss T T ´

e de 1000 bonecos, qualquer que seja a cor em que sejam produzidos e qualquer que seja o conjunto de acess´orios incorporados.

Para cada um dos tipos de bonecos ´e conhecido o lucro por unidade vendida e tamb´em a quantidade m´ınima a produzir. Esses dados est˜ao representados na tabela seguinte:

Lucro Quantidade m´ınima (euros) a produzir por mˆes

Boneco simples cor natural 5 200

Boneco simples colorido 4 100

Boneco com coco e ´oculos cor natural 5 100 Boneco com coco e ´oculos colorido 15 100

Boneco com saia cor natural 7 100

Boneco com saia colorido 20 100

O ´unico objectivo da a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{´e maximizar o seu lucro. Para atingir esse objectivo, quantos bonecos de}

cada tipo deve produzir por mˆes? Qual o lucro mensal?

Slide 5

Problemas (de decis˜

ao) triviais (1) – Solu¸c˜

ao

Como o ´unico objectivo da

a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{´e a maximiza¸c˜ao do lucro, a solu¸c˜ao (trivial) para o problema}

apresentado ´e produzir o m´aximo poss´ıvel do produto que d´a mais lucro (boneco com saia colorido). ´E no entanto necess´ario respeitar as restri¸c˜oes de produ¸c˜ao m´ınima de cada produto e de produ¸c˜ao total m´axima. A solu¸c˜ao para este problema est´a representada na tabela seguinte.

Lucro Quantidade (euros) a produzir por mˆes

Boneco simples cor natural 5 200

Boneco simples colorido 4 100

Boneco com coco e ´oculos cor natural 5 100 Boneco com coco e ´oculos colorido 15 100

Boneco com saia cor natural 7 100

Boneco com saia colorido 20 400

Slide 6

Problemas (de decis˜

ao) triviais (2)

A a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{j´a tem uma grande implanta¸c˜ao a n´ıvel nacional e uma extensa rede de clientes, o que lhe}

permite ter toda a produ¸c˜ao vendida.

A produ¸c˜ao da a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{tem no entanto um ponto de estrangulamento que ´e a montagem final. A}

montagem final imp˜oe a capacidade m´axima de produ¸c˜ao mensal de 1000 bonecos, qualquer que seja a cor em que sejam produzidos e qualquer que seja o conjunto de acess´orios incorporados. A produ¸c˜ao de bonecos com acess´orios exige no entanto um oper´ario especializado que, se produzir apenas bonecos com saia, consegue produzir independentemente da cor at´e 400 bonecos por mˆes. Por outro lado, se produzir apenas bonecos com coco e ´oculos consegue produzir, independentemente da cor, at´e 500 bonecos por mˆes

Para cada um dos tipos de bonecos ´e conhecido o lucro por unidade vendida e tamb´em a quantidade m´ınima a produzir. Esses dados est˜ao representados na tabela seguinte:

Lucro Quantidade m´ınima (euros) a produzir por mˆes Boneco simples cor natural 5 200

Boneco simples colorido 4 100

Boneco coco e ´oculos cor natural 5 100 Boneco coco e ´oculos colorido 15 100

Boneco saia cor natural 7 100

Boneco saia colorido 20 100

O ´unico objectivo da a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{´e maximizar o seu lucro. Quantos bonecos de cada tipo devem ser}

produzidos por mˆes? Qual o lucro mensal?

Slide 7

Problemas (de decis˜

ao) triviais (2) – Solu¸c˜

ao

Vari´aveis de decis˜ao

xscn, xsc, xcocn, xcoc, xsacn, xsac − quantidade de bonecos de cada tipo a produzir por mˆes Restri¸c˜oes

Montagem xscn + xsc xcocn + xcoc + xsacn + xsac ≤ 1000 Acess´orios xcocn₅₀₀ + xcoc₅₀₀ + xsacn₄₀₀ + xsac₄₀₀ ≤ 1

Produ¸c˜ao m´ınima xscn ≥ 200

Produ¸c˜ao m´ınima xsc ≥ 100

Produ¸c˜ao m´ınima xcocn ≥ 100

Produ¸c˜ao m´ınima xcoc ≥ 100

Produ¸c˜ao m´ınima xsacn ≥ 100

Produ¸c˜ao m´ınima xsac ≥ 100

Fun¸c˜ao objectivo

max LUCRO = 5xscn + 4xsc + 5xcocn + 15xcoc + 7xsacn + 20xsac

A solu¸c˜ao para este problema est´a representada na tabela seguinte.

Lucro Quantidade (euros) a produzir por mˆes

Boneco simples cor natural 5 460

Boneco simples colorido 4 100

Boneco com coco e ´oculos cor natural 5 100 Boneco com coco e ´oculos colorido 15 100

Boneco com saia cor natural 7 100

Boneco com saia colorido 20 140

Slide 8

Multicrit´

erio – conceitos fundamentais (0)

No ˆ

ambito dos problemas de decis˜

ao Multicrit´

erio, a denomina¸c˜

ao gen´

erica de

Multicrit´

erio abrange dois tipos de problemas, os problemas Multiobjectivo e os

problemas Multiatributo.

• Um problema diz-se Multiatributo

quando o n´

umero de alternativas ´

e limitado e os atributos s˜

ao conhecidos

explicitamente.

• Um problema diz-se Multiobjectivo

quando existe um conjunto de solu¸c˜

oes admiss´ıveis definidas atrav´

es de um conjunto

de restri¸c˜

oes e onde os objectivos s˜

ao explicitados atrav´

es de fun¸c˜

oes objectivo.

Slide 9

Moral Algebra: Carta de Benjamin Franklin para

Priestly

a

London, Sept 19, l772 Dear Sir,

In the affair of so much importance to you, wherein you ask my advice, I cannot, for want of sufficient premises, advise you what to determine, but if you please I will tell you how. When those difficult cases occur, they are difficult, chiefly because while we have them under consideration, all the reasons pro and con are not present to the mind at the same time; but sometimes one set present themselves, and at other times another, the first being out of sight. Hence the various purposes or inclinations that alternatively prevail, and the uncertainty that perplexes us. To get over this, my way is to divide half a sheet of paper by a line into two columns; writing over the one Pro, and over the other Con. Then, during three or four days consideration, I put down under the different heads short hints of the different motives, that at different times occur to me, for or against the measure. When I have thus got them all together in one view, I endeavor to estimate their respective weights; and where I find two, one on each side, that seem equal, I strike them both out. If I find a reason pro equal to some two reasons con, I strike out the three. If I judge some two reasons con, equal to three reasons pro, I strike out the five; and thus proceeding I find at length where the balance lies; and if, after a day or two of further consideration, nothing new that is of importance occurs on either side, I come to a determination accordingly. And, though the weight of the reasons cannot be taken with the precision of algebraic quantities, yet when each is thus considered, separately and comparatively, and the whole lies before me, I think I can judge better, and am less liable to make a rash step, and in fact I have found great advantage from this kind of equation, and what might be called moral or prudential algebra.

Wishing sincerely that you may determine for the best, I am ever, my dear friend, yours most affectionately. B. Franklin

a

Slide 10

Problemas multicrit´

erio

A a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{j´a tem uma grande implanta¸c˜ao a n´ıvel nacional e uma extensa rede de clientes, o que lhe}

permite ter toda a produ¸c˜ao vendida. No entanto a capacidade m´axima de produ¸c˜ao mensal da

a a N N tt uu rr ee y y o o ss T T ´

e de 1000 bonecos, qualquer que seja a cor em que sejam produzidos e qualquer que seja o conjunto de acess´orios incorporados.

A produ¸c˜ao de todos os bonecos deve passar pelo Sr. Jo˜ao que, com a sua longa experiˆencia, os sabe pintar como ningu´em. O Sr. Jo˜ao ´e um funcion´ario antigo e com problemas de sa´ude e por essa raz˜ao o director da

a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{, quer evitar sobrecarreg´a-lo com trabalho.}

Para cada um dos tipos de bonecos ´e conhecido o lucro por unidade vendida o tempo dispendido na sec¸c˜ao do Sr. Jo˜ao e tamb´em a quantidade m´ınima a produzir. Esses dados est˜ao representados na tabela seguinte:

Lucro Tempo sec¸c˜ao Quantidade m´ınima (euros) Sr. Jo˜ao (min) a produzir por mˆes

Boneco simples cor natural 5 1 200

Boneco simples colorido 4 3 100

Boneco com coco e ´oculos cor natural 5 3 100 Boneco com coco e ´oculos colorido 15 10 100

Boneco com saia cor natural 7 10 100

Boneco com saia colorido 20 10 100

Os objectivos da a a N N tt uu rr ee y y o o ss T

T _{s˜ao por um lado maximizar o lucro e por outro lado minimizar o tempo}

dispendido na sec¸c˜ao do Sr. Jo˜ao. Para atingir esse objectivo, quantos bonecos de cada tipo deve produzir por mˆes? Qual o lucro mensal?

Slide 11

Multicrit´

erio – conceitos fundamentais (1)

O Agente de Decis˜

ao disp˜

oe de:

• Alternativas ou solu¸c˜

oes admiss´ıveis

–

Alternativas z

i

= [z

i1

, z

i2

, ...z

im

] ∈ Z = {z

1

, ...z

n

}

termo que come¸cou por ser utilizado em problemas multiatributo.

–

Solu¸c˜

oes admiss´ıveis x = [x

1

, x

2

, ...x

o

] ∈ X = {x|g(x) = b ∧ x ≥ 0}

que correspondem por exemplo a produzir:

160 bonecos

e 140 bonecos

.

• Crit´

erios de avalia¸c˜

ao sob a forma de:

–

descri¸c˜

oes lingu´ısticas; poupar o Sr. Jo˜

ao

–

atributos; tempo dispendido na sec¸c˜

ao do Sr. Jo˜

ao

Slide 12

Multicrit´

erio – conceitos fundamentais (2)

• Alternativa Dominada (ou inferior)

Uma solu¸c˜

ao ´

e dominada se e s´

o se existe outra melhor em pelo menos um crit´

erio,

sem ser pior em nenhum outro.

• Alternativa Eficiente (ou N˜

ao-dominada ou ´

Optima de Pareto)

Uma solu¸c˜

ao ´

e eficiente se e s´

o se n˜

ao ´

e dominada por nenhuma solu¸c˜

ao admiss´ıvel.

• Ideal

Solu¸c˜

ao em geral n˜

ao admiss´ıvel definida no espa¸co dos atributos. ´

E constitu´ıda

pelos ´

optimos individuais das fun¸c˜

oes objectivo.

Slide 13

Problemas multicrit´

erio – Solu¸c˜

oes

Este problema de decis˜ao deixou de ser trivial porque agora ´e necess´ario ter em conta dois objectivos, parcialmente conflituosos.

As quantidades m´ınimas exigidas de cada tipo de boneco ter˜ao que ser produzidas e totalizam 700. E os restantes 300 bonecos, de que tipo ser˜ao?

Analisando a tabela do enunciado, conclui-se que o “Boneco simples colorido” e o “Boneco com coco e ´oculos cor natural” gastam o mesmo tempo na sec¸c˜ao do Sr. Jo˜ao, mas o “Boneco com coco e ´oculos cor natural” d´a um lucro de 5 euros por unidade enquanto que o “Boneco simples colorido” d´a um lucro de 4 euros. A produ¸c˜ao de “Boneco simples colorido” ´e ent˜ao dominada pela produ¸c˜ao de “Boneco com coco e ´oculos cor natural”. Pode-se seguir o mesmo racioc´ınio para concluir que a produ¸c˜ao de “Boneco com coco e ´oculos cor natural” ´e dominada pela produ¸c˜ao de “Boneco simples cor natural” e que a produ¸c˜ao de “Boneco com coco e ´oculos colorido” e de “Boneco com saia cor natural” ´e dominada por “Boneco com saia colorido”

A tabela reduz-se ent˜ao a:

Lucro Tempo sec¸c˜ao (euros) Sr. Jo˜ao (min) Boneco simples cor natural 5 1 Boneco com saia colorido 20 10

Se se optar pela produ¸c˜ao de 300 “Boneco simples cor natural” o lucro ser´a de 1.500 euros e o tempo total dispendido na sec¸c˜ao do Sr. Jo˜ao ser´a 300 minutos. Por outro lado, se se optar por produzir apenas “Boneco com saia colorido” o lucro ser´a de 6.000 euros, mas o tempo total dispendido na sec¸c˜ao do Sr. Jo˜ao ser´a 3.000 minutos. Todas as solu¸c˜oes interm´edias s˜ao tamb´em admiss´ıveis.

Slide 14

Problemas multicrit´

erio – Solu¸c˜

oes (cont.)

As solu¸c˜oes admiss´ıveis para o problema, considerando que a produ¸c˜ao ´e feita em lotes de 10 pe¸cas, est˜ao representadas na tabela seguinte, juntamente com os valores para os dois objectivos em causa. Neste ponto ´e necess´ario incorporar as preferˆencias do Agente de Decis˜ao para obter uma solu¸c˜ao preferida.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Lucro T e m p o s e c ç ã o S r. J o ã o Quantidade boneco simples cor natural Quantidade boneco com saia

colorido

LucroTempo secção Sr. João 300 0 1500 300 290 10 1650 390 280 20 1800 480 270 30 1950 570 260 40 2100 660 250 50 2250 750 240 60 2400 840 230 70 2550 930 220 80 2700 1020 210 90 2850 1110 200 100 3000 1200 190 110 3150 1290 180 120 3300 1380 170 130 3450 1470 160 140 3600 1560 150 150 3750 1650 140 160 3900 1740 130 170 4050 1830 120 180 4200 1920 110 190 4350 2010 100 200 4500 2100 90 210 4650 2190 80 220 4800 2280 70 230 4950 2370 60 240 5100 2460 50 250 5250 2550 40 260 5400 2640 30 270 5550 2730 20 280 5700 2820 10 290 5850 2910 0 300 6000 3000

Slide 15

Multicrit´

erio – conceitos fundamentais (3)

• Curva de indiferen¸

ca

Lugar geom´

etrico (espa¸co dos atributos) das solu¸c˜

oes a que o Agente de Decis˜

ao d´

a o

mesmo valor.

• Trade-off (valor de compensa¸c˜

ao entre dois atributos X e Y).

Rela¸c˜

ao entre o que ´

e preciso perder em X para ganhar uma unidade em Y, sem sair

da curva de indiferen¸ca. Depende geralmente dos valores de X e de Y e tamb´

em dos

valores dos outros atributos (ver “Moral Algebra” carta de Benjamin Franklin)

• Pesos de importˆ

ancia relativa dos atributos

Se houver independˆ

encia aditiva nas preferˆ

encias entre atributos, os Trade-offs

permitem deduzir pesos de importˆ

ancia relativa. Se, al´

em disso, os trade-offs forem

constantes, os pesos tamb´

em ser˜

ao constantes.

Slide 16

Problemas de Decis˜

ao Multicrit´

erio – grandes linhas

para a sua abordagem

• Op¸c˜

ao Normativa – Utilizar conceitos tais como Fun¸c˜

ao de Valor, Teoria da

Utilidade ou distˆ

ancia ao Ideal, para dizer ao Agente de Decis˜

ao o que ele deve fazer.

• Escola Francesa – Dar conselhos baseados em princ´ıpios razo´

aveis (mas n˜

ao

indiscut´ıveis).

• M´

etodos Interactivos – Evoluir para a solu¸c˜

ao preferida a partir de decis˜

oes parciais

sobre hip´

oteses que v˜

ao sendo apresentadas.

• M´

etodos de gera¸c˜

ao com filtragem de solu¸c˜

oes eficientes – Preparar conjuntos de

decis˜

ao

Slide 17

Analytic Hierarchy Process (AHP)um m´

etodo que

utiliza a op¸c˜

ao normativa

O m´

etodo AHP baseia-se na estrutura¸c˜

ao hier´

arquica dos atributos, de uma forma similar

`

a utilizada pelo c´

erebro humano na estrutura¸c˜

ao do conhecimento.

Para aplicar o AHP, cada um dos atributos complexos deve ser subdividido num conjunto

de sub-atributos. ´

E no entanto necess´

ario determinar as pondera¸c˜

oes a aplicar a cada

atributo na decis˜

ao final.

O m´

etodo AHP calcula essas pondera¸c˜

oes com base nas compara¸c˜

oes entre pares de

sub-atributos i e j (p

ij

), seguindo a seguinte escala verbal:

p

= 1

p

= 1

se i e j tˆ

em igual importˆ

ancia

p

= 2

p

=

situa¸

c˜

ao interm´

edia

p

= 3

p

=

se i ´

e moderadamente mais importante do que j

p

= 4

p

=

situa¸

c˜

ao interm´

edia

p

= 5

p

=

se i ´

e bastante mais importante do que j

p

= 6

p

=

situa¸

c˜

ao interm´

edia

p

= 7

p

=

se i ´

e muito mais importante do que j

p

= 8

p

=

situa¸

c˜

ao interm´

edia

p

= 9

p

=

se i ´

e muit´ıssimo mais importante do que j

j

· · ·

i

p

ij

· · ·

..

Slide 18

AHP um m´

etodo que utiliza a op¸c˜

ao normativa –

Exemplo

T _{pretende tornar-se, num prazo muito curto, uma empresa excelente.}

Em reuni˜oes de Direc¸c˜ao, depois de muitas discuss˜oes, concluiu-se que a empresa se tornar´a excelente se conseguir melhorar as condi¸c˜oes de trabalho dos seus recursos humanos, minimizar o impacto ambiental e maximizar o lucro.

Na reuni˜oes foram tamb´em definidas trˆes alternativas futuras de produ¸c˜ao. Uma primeira alternativa passa por subcontratar a pintura dos bonecos a uma empresa altamente especializada nesse processo. Dado que a pintura depois da montagem do acess´orio saia ´e bastante dif´ıcil, a segunda alternativa passaria por produzir todos os bonecos simples em cor natural e pintar apenas os bonecos com saia. Finalmente, a terceira alternativa seria manter o que se faz at´e ao momento, o que torna a empresa menos dependente de outras empresas.

A situa¸c˜ao descrita ´e apresentada esquematicamente na figura seguinte.

Empresa Excelente

A1 Produzir apenas bonecos

de cor natural e subcontratar a pintura C3 Minimizar impacto ambiental C2 Melhorar condições de trabalho C1 Maximizar Lucro A2 Produzir todos os bonecos e pintar apenas

os bonecos com saia

A3 Produzir e pintar todos

bonecos

Objectivo

Critérios

Alternativas

Slide 19

AHP um m´

etodo que utiliza a op¸c˜

ao normativa –

Solu¸c˜

ao

Empresa Excelente C1 C2 C3 Pi Pi Pi/P C1

Maximizar Lucro 1.00 0.20 0.11 0.02 0.28 0.06 C2

Melhorar condições trabalho 5.00 1.00 0.25 1.25 1.08 0.23 C3

Minimizar impacto ambiental 9.00 4.00 1.00 36.00 3.30 0.71 P 4.66

C1

Maximizar Lucro A1 A2 A3 Pi Pi Pi/P

A1 1.00 0.20 0.11 0.02 0.28 0.06

A2 5.00 1.00 0.25 1.25 1.08 0.23

A3 9.00 4.00 1.00 36.00 3.30 0.71

P 4.66

C2

Melhorar condições trabalho A1 A2 A3 Pi Pi Pi/P

A1 1.00 5.00 9.00 45.00 3.56 0.76

A2 0.20 1.00 3.00 0.60 0.84 0.18

A3 0.11 0.33 1.00 0.04 0.33 0.07

P 4.73

C3

Minimizar impacto ambiental A1 A2 A3 Pi Pi Pi/P

A1 1.00 0.25 5.00 1.25 1.08 0.23 A2 4.00 1.00 8.00 32.00 3.17 0.68 A3 0.20 0.13 1.00 0.03 0.29 0.06 P 4.54 Critérios C1 C2 C3 pi Prioridades Nível 2 0.06 0.23 0.71 Prioridades Nível 3 A1 0.06 0.76 0.23 0.34 A2 0.23 0.18 0.68 0.54 A3 0.71 0.07 0.06 0.10 Nível 2 Nível 3

Slide 20

Bibliografia

• Matos, Manuel Ant´

onio () Metodologias de Ajuda `

a Decis˜

ao

• Gass, Saul L. (1985) Decision Making, Models and Algorithms.