A descoberta do princípio p do barômetro ("tubo de Torricelli", "vácuo de Torricelli") aconteceu

C

ít l 2

C

ít l 2

E táti

E táti

d

d

Fl id

Fl id

Capítulo 2

Capítulo 2 –

– Estática dos Fluidos

Estática dos Fluidos

2 1 A experiência de Torricelli

2 1 A experiência de Torricelli

2.1 A experiência de Torricelli

2.1 A experiência de Torricelli

►

A descoberta do princípio do

►

o o p p o o

barômetro ("tubo de Torricelli", "vácuo de Torricelli") aconteceu

1643 em 1643.

► Evangelista Torricelli (1608

-1647) físico e matemático ita-liano (foi aluno de Galileu).

► Foi homenageado com a unidade

A experiência

A experiência

P e ão t o fé i

o

l

Pressão atmosférica normal

► Consideramos a pressão atmosférica normal, quando elap , q

é capaz de equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm de altura. Representamos, simbolicamente,

1 atm = 76 cm Hg = 1,013 x 105 _{Pa, ou aproximadamente: 1}

atm  105 _{Pa  0,1 MPa.}

► Propriedades da Atmosfera padrão Americana ao nível do

mar,

Temperatura, T 288,15 K (15 o_C) Pressão, p 101,33 kPa (abs)* Massa específica, ρ 1,225 kg/m3 Peso específico, γ = ρ g 12,014 N/m3

2 2 V i

ão de P e ão

Lí

ido e e o

o

2.2 Variação de Pressão num Líquido em repouso

(versão simplificada)

h

p

p

₁



₀





(

)

►

► Nos casos nos quais a

hipótese do peso específico

constante é considerada

onde

h

é

a

pressão

relativa

à

h

p

p







0 1

)

(

)

(

constante é considerada (líquidos) temos:

é

Isto

Líquido

do

h

coluna

da

atmosfera

líquido

interface



,

.

,

,

m

e

A

g

m

h

fluido



(

)



,

Logo

Ah

V

m

V

m

_

_











,

h

e

gh

h





(

)



,

4

gh

p

p

₁



₀





Exercício Exercício

1) Os batiscafos são utilizados para mergulhos profundos no oceano Qual a pressão no batiscafo se a profundidade de oceano. Qual a pressão no batiscafo se a profundidade de mergulho é 6 km? Admita que o peso específico da água do mar é constante e igual a 10,1 kN/m3_.

Solução

é

batiscafo

o

sobre

água

de

km

aos

devido

pressão

A

6

,

N

m

N

h

p





_á



10

1



10

3



6



10

3



60

6



10

3

m

m

m

h

p



_águamar

10

,

1



10

₃



6



10

60

,

6



10

₂

vale

vez

sua

por

absoluta

pressão

A

,

,

,

m

N

kPa

p

p

abs

p

(

)



_atm





101

,

3



60

,

6



10

3 ₂

kPa

abs

p

(

)



60701

,

3

Ponderações

Variações de pressão de um fluido em repouso ou em

Variações de pressão de um fluido em repouso ou em

movimento (versão moderada).

► Com o tratamento matemático adequado mostra se que: ► Com o tratamento matemático adequado, mostra-se que:

1. Para um fluido em repouso, ou em movimento, no qual a tensão de cisalhamento é nula, tem-se que a pressão independe da direção, já que ela é o resultado do bombardeamento das moléculas do fluido, como vimos no

í l ( i d l)

2. A pressão ao longo de um plano paralelo à interface líquido-atmosfera é constante.

C

B

A

p

p

p





► Os pontos A, B e C são ditos isóbaros.

8

►

Vasos comunicantes.

3. O Gradiente de pressão é: 3. O Gradiente de pressão é:





























p

p

i

p

j

p

k

k

ou

p

Isto significa que em um fluido em repouso ou em



















z

ou

k

z

j

y

i

x

p

k

Isto significa que em um fluido em repouso ou em movimento, no qual a tensão de cisalhamento seja inexistente, a pressão aumenta no sentido oposto ao determinado pelo eixo-z (Isto é, no mesmo sentido da determinado pelo eixo z (Isto é, no mesmo sentido da gravidade e devido ao peso da massa de fluido sobre o ponto considerado).

Como vimos no slide 4, isto independe da área da superfície ao redor do ponto considerado.

► Daí, integrando a última equação:

dp

p



dz

p

z

p











dp

dz

dz

dp

que

Lembrando

dz

dz

dz

dp













_







)

(

2 2

constante

Supondo

d

dp

p z







(



)

1 1

constante

Supondo

dz

dp

p z













)

(

)

(

:

1 2 2 1 1 2 1 2

p

z

z

ou

p

p

h

h

z

z

p

Logo

















₁



_{2 1 1 2}



_{2 1} 2

► Se p₂ estiver na interface líquido-atmosfera, então, p₂ = p₀, e 0 1

ou

h

p

p







)

(

0 1

p

gh

g

p













► A quantidade

h



p

1



_

p

2

é chamada de carga e é interpretada como a altura do coluna de fluido de peso específico  necessária para provocar uma diferença de pressão p₁ – p₂

provocar uma diferença de pressão p₁ p₂.

► Existe uma prova matemática mais abrangente no livro

t t (Y )

12 texto (Young).

Exercício

2. A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água em um tanque subterrâneo de gasolina. Se a densidade da gasolina é 0,68; determine a pressão na interface

gasolina-g , ; p g

Soluçãoç

é

P

ponto

o

está

onde

água

gasolina

interface

na

pressão

A



ou

h

p

p



₀





_gasolina

gh

p

p



₀





_gasolina

m

kg

SG

lado

outro

Por

_gasolina C água gasolina o

680

1000

68

,

0

,

₃ 4

















N

k

Daí ,

m

N

kPa

s

m

m

m

kg

kPa

p



101

,

3



680

₃



5



9

,

81

₂



101

,

3



33

,

354



10

3 ₂ 14

kPa

kPa

kPa

p



101

,

3



33

,

354



134

,

654

Pressão no fundo do tanque

P

t

ã

á

li

i t f

ã

É

(

)

água

de

m

de

coluna

a

devida

pressão

à

somada

P

ponto

no

pressão

a

água

gasolina

interface

na

pressão

a

É

.

1

)

(



ou

h

p

p

_fundo







_água

gh

p

p

_fundo







_água

m

s

m

m

kg

kPa

p

_fundo



134

,

654



1000

₃

9

,

81

₂

1

kPa

p

_fundo



144

,

464

Algumas aplicações do Princípio de Pascal

“Todo

“Todo acréscimoTodo acréscimoTodo acréscimo deacréscimo dede pressãode pressãopressão exercidopressão exercidoexercido numexercido numnum pontonum pontoponto daponto dada massada massamassamassa líquida

líquida sese transmitetransmite integralmenteintegralmente parapara todostodos osos pontospontos dodo líquido líquido..”” p

p

p

_A





p

p

_B





16

►

Aplicações

►

Aplicações

► Consideremos dois cilindros

contendo um líquido e fechados contendo um líquido e fechados por êmbolos de áreas A1 e A2.

► Aplicando-se sobre o êmbolo ► Aplicando se sobre o êmbolo

de área A1 uma força F1,

► Produz-se um acréscimo de ► Produz se um acréscimo de

pressão

∆p = F₁ / A₁ ∆p F₁ / A₁

que se transmite integralmente para o outro êmbolo, o que acarreta

acarreta

Exercício

Considere o esquema mostrado na figura em que a massa do automóvel é de 1500 kg, A₁ = 0,5 m2 _{e A}

2 =

2 _{i f d li d à á}

7 m2_{. Determine a força que deve ser aplicada à área A}

1 para

manter o sistema em equilíbrio.

Pressão no fundo do tanque

F

dá

nos

Pascal

de

princípio

do

direta

aplicação

A

,



A

F

A

F

F

p

A

F

p

2 2 1 1 2 1 1



















A

p

1 2 2 2











N

F

A

A

F

Logo

(

1500

9

,

81

)

107

,

14

7

5

,

0

,

₂ 2 1 1









kg

de

massa

uma

de

peso

ao

e

correspond

N

que

Notemos

1051

,

7

107

,

14

2 4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou

2.4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou

movimento

► Admitindo que as tensões de cisalhamento sejam nulas

também nesse caso.

► Para os gases ideais: p = ρRT. Então,

pg

p











que

vem

dp

em

do

substituin

Logo

RT

pg

g

RT

p

















,

.

,

,

Integrando

pg

dp

que

vem

dz

em

do

substituin

Logo









2







2 2





2



)

(

)

(

,

.

p z p z

z

T

T

se

T

dz

R

g

dp

ou

dz

RT

g

dp

Integrando

RT

dz

20







p

_p

_RT



z₁ p

_p

_R

z₁

_T

₍

_z

₎

► Admitindo que a temperatura não varie em função de z.

Isto equivale a considerar que a pressão varia em função de z em uma camada isotérmica do gás perfeito. Temos,









dz

RT

g

p

dp

p p z z 2 2























z

z

RT

g

p

RT

p

p z

)

(

ln

2 _{2 1} 1 1









Logo

RT

p

,

)

(

_{2 1} 1















RT

z

z

g

p

p

_{2 1}

exp

(

2 1

)

► Para distribuições de pressões em camadas não

2 5 Medições de pressão

2.5 Medições de pressão

► Manometria: Corresponde às técnicas de construção de

instrumentos para medir a pressão bem como as técnicas instrumentos para medir a pressão, bem como as técnicas aplicadas às medidas.

ã é i ÉÉ difdif ãã

► Pressão Manométrica: ÉÉ aa diferençadiferença entreentre aa pressãopressão emem

um

um locallocal ee aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..

Exemplo

• AbrindoAbrindo oo registro,registro, oo COCO₂₂ escapaescapa dodo inte inte--rior

rior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressão rior

rior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressão for

for maiormaior queque aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..

• Quando as pressões se igualam, o fluxo CO2

5 atm

cessa.

• AA pressãopressão utilizadautilizada dodo COCO₂₂ éé aa suasua pressão

pressão manométrica,manométrica, pp_mm == pp –– pp_atmatm

5 atm

p

►

Manômetros:

São dispositivos utilizados para medir

a pressão manométrica.

►

Barômetro de Mercúrio

p

h

p

_atm





_Hg

h



p

_vapor

p







24

►

Tubo Piezométrico

1

p

p

_A



relativa

Pressão

1 1

h

p

_A





h

p

p

absoluta

Pressão







p

₁

h

₁

p

_A



_atm





Exercício Exercício

O tubo em U mostrado na figura abaixo contém três líquidos distintos Óleo água e um fluido desconhecido Determine a distintos. Óleo, água e um fluido desconhecido. Determine a densidade do fluido desconhecido considerando as condições operacionais indicadas na figura.

Solução

1 1 1

710

305

305

710

:

mm

h

que

mostra

lado

ao

figura

A

h

p

Temos



_óleo











1 1

71

,

0

m

h

ou

q

f g



2 3 2 2 1

405

305

710

,

mm

h

que

mostra

lado

ao

figura

A

h

h

p

p

lado

outro

Por



_água















3 2

0

,

405

305

0

,

305

D í

m

mm

h

e

m

h

ou







3 2 1

,

então

g

Como

h

h

h

que

vem

Daí

água óleo

















3 2 1 3 2 1

,

,

h

h

h

gh

gh

gh

então

g

Como

água óleo água óleo





























Solução

,

vamos

dividir

a

equação

h

₁



h

₂



h

₃

por

Agora



_óleo



_água





_água

3 2 1



h



h

h

água água óleo











Daí

SG

definição

por

Mas

água água



,

.

,

,

por

definição

SG



Daí

Mas

água



405

0

71

0

90

0

3 2 1





h

h

SG

SGh

h

h

SG

_óleo

77

,

0

305

,

0

405

,

0

71

,

0

90

,

0

,

3 2 1













SG

h

h

h

SG

SG

fim

Por

óleo 28

77

,

0

SG

►

Manômetro com Tubo em U

►

Manômetro com Tubo em U

A p p Temos:  ₁ A h p p em relativa Pressão   _{1 1} 2 ) 2 (  A h é em relativa pressão a e p p Mas p p  ₃ 2 1 1 2 ) 3 ( ,  Daí h p₃  _{2 2} ,  A A é A b l ã A h h p ou h h p  _{1 1}  _{2 2}  _{2 2}  _{1 1} ,     atm A h h p p é A em absoluta pressão A    _{2 2 1 1} ,  

Exercício Exercício

O tanque fechado mostrado na Figura abaixo contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0 9 O fluido comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluido manométrico utilizado no manômetro em U, conectado ao tanque, é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h₁ = 914 mm,

h = 152 mm e h = 229 mm determine a leitura no

h₂ = 152 mm e h₃ = 229, mm determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque.

Solução

2 1 1 2 1

)

(

:

h

h

p

p

p

p

Temos

óleo AR











SG kg m e Hg Hg 13,6 13,6 1000 13600 / : 3       3 2 2 1 1

(

)

h

p

p

p

Hg óleo AR







m kg g Hg Hg 133416 / 3    

,

Logo

p Logo AR 133416 0,229 8829 (0,914 0,152) ,      2 1 3 3 2 1

)

(

)

(

h

h

h

p

h

h

h

p

óleo Hg AR Hg óleo AR





















kPa p p AR AR 6 , 21140 ) , , ( , 

1000

90

0

90

0

:

SG

Como



3

/

900

1000

90

,

0

90

,

0

m

kg

SG

óleo óleo óleo















►

Manômetro diferencial em U

1 1 1 1 1 2 1

h

p

h

p

p

p

p

A A















3 3 2 2 3 3 2

p

h

h

p

p

p

B













5

,

,

,

Logo

p

p

ainda

e



_B 3 3 2 2 1 1

,

Portanto

p

h

h

h

p

_A















_B 1 1 3 3 2 2

h

h

h

p

p

_A



_B













32

Exercício

Exercício

A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap. medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap. 3. O bocal convergente cria uma queda de pressão p_A – p_B no escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da equação Q = K(p_A – p_B)1/2 _{(onde K é uma constante que é função das}

di õ d b l d t b ) A d d ã l t é

dimensões do bocal e do tubo). A queda de pressão, normalmente, é medida com um manômetro diferencial em U, do tipo ilustrado na figura.

(a) Determine a equação p – p (a) Determine a equação p_A p_B

em função do peso específico do fluido que escoa, ₁, do peso es-pecífico do fluido manométrico pecífico do fluido manométrico,

₂, e das várias alturas indicadas na figura.

(b) Determine a queda de pres (b) Determine a queda de pres-são se ₁ = 9,80 kN/m3_{, }

2 = 15,6

kN/m3_{, h}

Solução

, d d fl d d d porção a tubo do larga mais parte na escoamento haver de Apesar ) . , . a ca hidrostári da conceitos os usar podemos Portanto repouso em estão manômetro do dentro fluidos dois dos 3 2 1 1 1 1 , : ) p p p vez sua Por h p p A em Pressão a A



    5 4 2 2 4 3 p p e h p p já



   2 1 1 5 ( ) , p p h h lado outro Por _B  



 2 1 1 4 ( ), : , h h p p temos acima igualdades as conta em Levando B  



 34 2 2 3 4 p h p  



, teremos

Seguindo

),

(

_{1 2} 1 2 2 3













p

h

h

h

p

_B

,

,

1 1 1 1 2 3



p



p

e

p



p





h

vem

que

p

como

_A

)

(

_{1 2} 1 2 2 1 1





















h

h

h

h

h

h

h

h

p

p

_{B A}

)

(

_{2 1} 2 2 1 1 1 2 2 1 1





























h

p

p

h

h

h

h

p

p

B A A B

)

(

_{2 1} 2





 h

p

p

_{A B}

p

p

b

)

_A



_B



0

,

5

(

15

,

6



10

3



9

,

8



10

3

)

►

Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas

►

Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas variações de pressão) 1 1 1

:

)

1

(

p

p

h

em

Pressão



_A





3 2 2 1

sen

de

h

coluna

à

devida

pressão

à

e

específico

peso

de

fluido

do

l

altura

de

coluna

à

devida

pressão

à

e

correspond

também

p





3 3 2 2 1 3

sen

,

.

,

D í

p

h

l

p

seja

Ou

B

em

pressão

a

mais

específico

peso

de

fluido

B















3 3 2 2 1 1

sen

,

e

p

h

l

h

p

Daí

B A

















36 1 1 3 3 2 2

sen

,

h

h

l

p

p

e

B A

















►

Se os fluidos de pesos específicos 

₁

e 

₃

forem gases,

então as pressões devidas às colunas h

₁

e h

₃

podem ser

desprezadas. Nesse caso,



₁

h

₁



0

desprezadas. Nesse caso,





0

3 3 1 1

Logo

h







sen

,

2 2 B A

p

l

p

Logo





,

B A

p

p

l

e







₂

sen

2 A B

p

p

l



Exercício

O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressão O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressão no tubo em A é 0,8 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é água e o fluido manométrico apresenta densidade 2,6. Qual é a pressão no tubo B que corresponde à condição mostrada.p q p ç

Solução

1

1015

0

5

101

)

30

(

203

076

,

0

76

h

m

mm

h

o





3 2

076

,

0

76

1015

,

0

5

,

101

)

30

(

203

m

mm

h

m

mm

h

o













sen

2 2 2

₀

_,

₈

₆₈₉₅

_/

₅₅₁₆

_/

/

8

,

0

8

,

0

psi

lb

pol

N

m

N

m

p

_A











1 1

,

h

p

p

esquema

o

Analisando

água A







3 2 2 3 2 2 1

h

h

p

l

h

p

p

e

B água B água g























sen

,

Logo

h h l p p o continuand água água B A , 1 3 2 2    



sen







l p p h h Como B A água água B A ) 1 ( , 2 2 3 1 1 3 2 2   





sen calcular Precisamos



₂ m kg SG C água o / 2600 6 , 2 ₂ 3 4 2 _{ }  







m N g Assim C água / 25506 , _{2 2} 3 4  





kPa kPa kPa kPa p p kPa p p em valores os todos do substituin Finalmente A B B A 2,59 2,59 5,516 2,59 2,93 ), 1 ( ,        

2.5 Força Hidrostática em superfícies planas

► 1o _{caso, superfície paralela à interface líquido-ar (fundo de, p p q (}

um tanque aberto, por exemplo)

definição

Por

,

dA

h

dF





dA

h

dF

A F o R









k

F

h

A

ou

A

h

F

_R





_R







► 2o _{caso, superfície plana de forma arbitrária e inclinada em}

relação à interface líquido-ar (Diques, represas, ...)



h

dA

dF







sen

e

y

h





sen

C C

y

h

e



42

Logo





dA y F dA y dF dA y dF A













   







sen sen sen y sen = h primeira de momento o é A y dA y integral A dA y F C A A R





 





sen yC sen = hC Portanto área da ordem A



, .

► A intuição sugere que a direção de ação da força resultante

deveria passar pelo centróide da superfície. Mas isso não acontece.

► A ordenada do ponto de ação da força resultante, y_R, pode

ser determinada pela soma dos momentos em torno do eixo-x.p Isto é, o momento da força resultante precisa ser igual aos momentos das forças devidas a pressão. Isto é,

dA y dA y y dF y y F A A A R R total









    2 2 ) (











sen sen dA y y F A R R 



2





sen dA y dA A então y A F como A C R





  2 2 , ,









sen 44 A y y dA y y y A C A R A R C





  

_

_

2





sen sen

► A integral do numerador da última equação é o momento de

inércia em relação ao eixo-x, I_X (eixo formado pela intersecção do plano que contém a superfície arbitrária e a superfície livre). Assim,

I

y



x

► I pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos

A

y

y

C R



► I_x pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos,

t

A

l

C xc x

Logo

Ay

I

I





,

2

que

se

mostra

te

Analogamen



,

C xc R

y

A

y

I

y





_R xyc

x

_C

A

y

I

x





y

y

► Mostra-se que a força resultante não passa através do

centróide, mas semprep atua abaixo dele, porquep q (I_xc / y_c A > 0).

► Momentos de inércia de algumas superfícies ► Momentos de inércia de algumas superfícies

Exercício Exercício

A figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circular inclinada que está localizada num grande reservatório de águaq g g (=9,80 kN/m3_{). A comporta está montada num eixo que corre}

ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo está localizado a 10 m da

su-localizado a 10 m da su perfície livre, determine: a) o módulo e o ponto de a) o módulo e o ponto de aplicação da força resul-tante na comporta.

b) o momento que deve ser aplicado no eixo para abrir a comporta.

Solução

)

Módulo

e

ponto

de

aplicação

da

força

a

3





_C R

h

A

F



10

23

,

1

4

)

2

(

10

/

810

.

9

)

(

6 2 2 3



















R C

F

N

A

m

h

m

N

água

da

específico

peso



)

(

4

)

2

(

2 2











y

x

aplicação

de

Ponto

r

A







)

,

(











_C C xyc R R R

x

A

y

I

x

y

x

aplicação

de

Ponto

;

0

0

)

(

0

















_R C C

x

I

figura

x

A

y



y A y I y_R xc _C      m y fi y h A y R C C C 64 , 11 55 , 11 4 55 11 4 ) ( 55 11 10 sen           





r I I figura m y R o C 11,55 4 4 ) ( 55 , 11 ) 60 sen( 4            

_





m y e x N F Então I I_{xyc yc} 64 11 0 10 23 1 4 4 6 _{ }    



m y e x N F Então, _R 1,2310 , _R  0 _R 11,64

é

d

l

ã

d

comporta

da

eixo

o

entre

distância

a

slide

do

figura

a

com

acordo

De

Momento

b

)

(

),

48

(

)

y

y

d

é

comporta

da

longo

ao

pressão

de

centro

o

e

09

0

,

)

(







comporta

a

quando

lado

ao

livre

corpo

de

diagrama

o

do

Consideran

y

y

d

_{R C}

),

(

09

,

0







temos

repouso

em

está

p

q

p

g

,

),

(

M

M

M

_C



_{ForçaResultante}



_batente



0

,



Nm

m

N

d

F

M

_{ForçaResultante}



_R



(

1

,

23



10

6

)



(

0

,

09

)



1

,

07



10

5

Exercício

Exercício

A barragem mostrada na figura abaixo é construída em

t ( 23 6 kN/ 3_{) tá i l t i d}

concreto ( = 23,6 kN/m3_{) e está simplesmente apoiada numa}

fundação rígida. Determine o coeficiente de atrito estático entre a barragem e a fundação, para que a barragem não escorregue Admita que a água não provoca qualquer efeito na escorregue. Admita que a água não provoca qualquer efeito na superfície inferior da barragem (infiltrações, por exemplo).

Solução

/

9810

)

(

água

N

m

3

A

h

F

_{R C}









34

,

51

4

5

tan

/

9810

)

(

1

m

N

água

o

























2

4

2

4

total

de

profundida





4

4

56

,

2

)

66

,

38

cos(

2

)

90

cos(

2

barragem

da

largura

A

m

h

o C



















)

(

4

,

100454

4

56

,

2

810

.

9

,

.

4

4

temos

horizontal

direção

Na

N

F

Logo

barragem

da

largura

A

R





















)

(

5

,

78441

)

66

,

38

cos(

,

N

F

F

temos

horizontal

direção

Na

o R H R







,

.

.

,

ela

caso

Neste

la

calculá

Precisamos

normal

força

a

é

N

N

F

F

movimente

se

não

barragem

a

que

Para

_{R H Atrito}















.

barragem

da

peso

força

da

módulo

ao

e

correspond





.

m

é

a

massa

da

barragem

g

m

N



_barragem



_barragem

10

6

,

23

,

3

g

g

onde

V

m

_barragem





_barragem



_barragem



_barragem





barragem





,

dado

por

barragem

da

volume

o

é

V

_barragem

)

(

20

5

)

2

6

(

₃

m

V

_barragem







 



54

)

(

0

2

m

V

_barragem





10

69

,

534

10

69

,

62

20

10

6

,

23

,

3 3 3























m

g

F

_

_{ g}

_

_

N

Assim

V R barragem

,

,

t

F

F

i

ld d

à

V lt

d

g

g

g

_{R V} barragem

10

69

534

5

78441

:

,

3









temos

F

F

igualdade

à

Voltando

_{R H Atrito}

5

78411

10

69

,

534

5

,

78441

_









3

_

147

,

0

10

69

,

534

5

,

78411

3









2.6 Prismas de pressão

2.6 Prismas de pressão

► Considere a distribuição de pressão ao longo da parede

vertical de um tanque de largura b e que contém um líquido de vertical de um tanque de largura b e que contém um líquido de peso específico .

► A pressão varia linearmente com a profundidade

p = γh

. É

nula na superfície do líquido e igual a γh no fundo do reservatório.

56

►

Cálculo do centro de pressão (x

_R

, y

_R

).

I

I









y

A

y

I

y

e

x

A

y

I

x

_C C xc R C C xyc R







2

,

,

,

0

e

por

simetria

x

x

b

I

_{xyc R C}

1

,

2

3

h

b

E















 

























3

2

,

2

,

3

2

2

2

12

b

h

y

x

h

h

h

b

h

h

b

y

_{R R R}

► Isto significa que o centro de pressão está a uma altura de



 2

► A figura a seguir mostra o chamado de prisma de pressão.

► A força resultante que atua na superfície vertical é,

mumericamente, igual ao volume desse prisma,

área retangular área a sobre média pressão F_R  ( ) h A h F N R          1 2



58 A h h b h Volume F N R          2 ) )( ( 2 1

_

_

Exercício

Exercício

A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizado

té ól (SG 0 9) A l d i ã i t l d

que contém óleo (SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual o módulo, e a localização da linha de ação, da força resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topo do que atua na placa quando a pressão relativa no topo do tanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposta à atmosfera.

Solução

à

e

óleo

do

superfície

na

comprimido

ar

do

pressão

da

soma

pela

dada

é

placa

da

superfície

na

pressão

a

que

mostra

lado

ao

figura

A

será

então

placa

a

sobre

resultante

força

A

óleo

próprio

ao

devida

pressão

à

e

óleo

do

superfície

na

comprimido

ar

do

pressão

da

soma

pela

:

,

,

.

A

h

h

A

h

p

F

F

F

_{1 2}

(

_{superfície 1 1}

)

2 1





























nte

Separadame

p

_{superfície 1 1} 2 1

2

)

(













placa

a

sobre

óleo

de

porção

a

e

do

arcomprimi

do

pressão

à

devido

Força

nte

Separadame

)

1

,

N

A

h

p

F

p

superfície 3 3 3 1 1 1



(





)



50



10



0

,

9



10



9

,

81



0

,

36



24

,

4



10

60 p f

)

2 Força devido à pressão do óleo em contato com a placa

10 95 , 0 ) 6 , 0 ( ) 3 , 0 ( ) 81 , 9 10 9 , 0 ( 2 3 2 3 1 2 2 A N h h F                    3 , 0 2 0 , 2 6 , 2 2 1 2 h _m h                 10 4 , 25 10 95 , 0 10 4 , 24 , _{1 2} 3 3 3 A i l i l ã E N N N F F F Assim _R         ) 2 , 0 ( ) 3 , 0 ( , , 2 1 F F y F temos A ponto ao e vertical eixo ao relação Em O R   ) ( 296 , 0 ) 2 , 0 ( 10 95 , 0 ) 3 , 0 ( 10 4 , 24 , 3 3 inferior borda da acima m y Logo     

2.7 Forças hidrostáticas em superfícies curvas

► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto. ► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.

► F₁ = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária

();

► F₂ = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária

(β);

► W = Peso da massa do fluido

considerado (age no CG);

► F_H é a componente horizontal

da força feita pelo tanque sobre o líquido É colinear a F ;

o líquido. É colinear a F₂;

► F_V é a componente vertical da

f f it l t b

força feita pelo tanque sobre o líquido. É paralela a W e F₁;

► As linhas de ação F_V, F_H e F₂ passam pelo ponto O. ► Condição de equilíbrio: 2

2

C H

W

F

F

A

h

A

h

F

F















2 2 1 V

F

F

F

e

W

F

F







64 2 2 H V R

F

F

F





Exercício

Exercício

A Figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na á

drenagem de um tanque que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o

tid d f t b BC d id à

sentido da força que atua sobre a curva BC, devida à presença da água. Admita que a seção tenha comprimento de 1m.

Solução

)

a

considerad

água

de

porção

da

livre

corpo

do

diagrama

o

mostra

lado

ao

figura

A

a





:

.

1

e

F

W

F

F

equilíbrio

de

Condição

a

considerad

V H

:

1

F

de

Cálculo















(

1

0

,

9

)

3973

2

9

,

0

9810

2

1

A

N

h

A

h

F



_C













_











9810

1

[

(

0

9

)

1

]

6241

:

2 2 2

N

V

Vg

mg

F

F

de

Cálculo



















_

_

_

_























]

[

4

1

4

1

6241

]

1

)

9

,

0

(

[

4

9810

2 2



r

cilindro

do

volume

V

N

V

Vg

mg

F









66





4

4