MATLAB para H-Álgebra Linear II

(1)

MATLAB para H-´

Algebra Linear II

Melissa Weber Mendon¸ca1

1_{Universidade Federal de Santa Catarina}

2011.2

(2)

Lembrando...

A =     1 3 3 9 2 6 5 15     , b = A1 1 =     4 12 8 20     >> x = inv(A’*A)*A’*b >> x = pinv(A)*b

(3)

Equa¸c˜

oes normais - exemplo

>> c1 = [1 2 4 8]’; >> c2 = [3 6 9 12]’; >> c3 = c1-4*c2 + .0000001*(rand(4,1) - .5*[1 1 1 1]’); >> A = [c1 c2 c3]; >> b = 2*c1-7*c2+.0001*(rand(4,1) - .5*[1 1 1 1]’); >> x = pinv(A)*b; >> erro = norm(A*x-b)

(4)

Equa¸c˜

oes normais - exemplo

>> c1 = [1 2 4 8]’; >> c2 = [3 6 9 12]’; >> c3 = c1-4*c2 + .0000001*(rand(4,1) - .5*[1 1 1 1]’); >> A = [c1 c2 c3]; >> b = 2*c1-7*c2+.0001*(rand(4,1) - .5*[1 1 1 1]’); >> x = pinv(A)*b; >> erro = norm(A*x-b) >> x = inv(A’*A)*A’*b; >> erro2 = norm(A*x-b)

(5)

Fatora¸c˜

ao QR

Sabemos que, se pudermos fatorar A em A = QR a resolu¸c˜ao do sistema se resume a

Rx = QTb No MATLAB, podemos fatorar A com o comando

>> [Q,R] = qr(A)

(6)

Exemplo

A =     1 4 2 8 1 4 3 2    

(7)

Exemplo

A =     1 4 2 8 1 4 3 12    

(8)

Gram-Schmidt

Para efetuarmos o processo de Gram-Schmidt em um conjunto de vetores, basta aplicarmos a decomposi¸c˜ao QR no MATLAB `a matriz formada pelos vetores (nas colunas):

Exemplo: A =   1 1 2 0 0 1 1 0 0  

(9)

Gr´

afico simples

Para fazer um gr´afico simples (no plano) no MATLAB, usamos os seguintes comandos:

>> x = a:delta:b

>> plot(x,f(x))

(10)

Gr´

afico simples

>> x = -1:delta:1

>> plot(x,f(x))

(11)

Gr´

afico simples

>> x = -1:0.1:1

>> plot(x,f(x))

(12)

Gr´

afico simples

>> x = -1:0.1:1

>> plot(x,x.^2)

(13)

Exemplo

Fazer o gr´afico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = (−1, −1)

(14)

Exemplo

>> x = [1,-1]

(15)

Exemplo

>> x = [1,-1]

>> y = [2,-1]

(16)

Exemplo

>> x = [1,-1]

>> y = [2,-1]

>> plot(x,y)

(17)

Exemplo

>> x = [1,-1]

>> y = [2,-1]

>> plot(x,y)

>> hold on

(18)

Exemplo

Fazer o gr´afico de uma reta passando por 2 pontos: p = (1, 2), q = (−1, −1) >> x = [1,-1] >> y = [2,-1] >> plot(x,y) >> hold on >> plot(x,y,’r*’)

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Melhor reta

Encontrar a reta que interpola as seguintes medi¸c˜oes:

0.0 1.1 0.5 1.6 1.1 2.4 1.7 3.8 2.1 4.3 2.5 4.7 2.9 4.8 3.3 5.5 3.7 6.1 4.2 6.3 4.9 7.1 5.3 7.1 6.0 8.2 6.7 6.9 7.0 5.3

(20)

Melhor reta: resolu¸c˜

ao

>> A = [ones(length(x),1) x]

>> D = inv(A’*A)*A’*y

>> plot(t,D(2)*t+D(1))

(21)

Melhor par´

abola? E c´

ubica???

>> A = ???

>> D = inv(A’*A)*A’*y

>> plot(t,D(2)*t+D(1))

(22)

Melhor par´

abola? E c´

ubica???

>> A = [ones(length(x),1) x x.^2]

>> D = inv(A’*A)*A’*y

>> plot(t,??)

(23)

Melhor par´

abola? E c´

ubica???

>> A = [ones(length(x),1) x x.^2]

>> D = inv(A’*A)*A’*y

>> plot(t,D(3)*t.^2+D(2)*t+D(1))

(24)

Proje¸c˜

ao

Se quisermos ver a proje¸c˜ao de um vetor em outro no MATLAB, podemos efetuar os seguintes comandos:

>> u = [1;1];

>> v = [1/2;2];

>> plot([0 u(1)],[0 u(2)],’b’)

>> axis([0 2 0 2])

>> hold on;

>> plot([0 v(1)],[0 v(2)],’b’)

(25)

Proje¸c˜

ao

>> u = [1;1];

>> v = [1/2;2];

>> plot([0 u(1)],[0 u(2)],’b’)

>> axis([0 2 0 2])

>> hold on;

>> plot([0 v(1)],[0 v(2)],’b’)

>> p = ((v*v’)/(v’*v))*u;

(26)

Proje¸c˜

ao

>> u = [1;1];

>> v = [1/2;2];

>> plot([0 u(1)],[0 u(2)],’b’)

>> axis([0 2 0 2])

>> hold on;

>> plot([0 v(1)],[0 v(2)],’b’)

>> p = ((v*v’)/(v’*v))*u;

>> plot([0 p(1)],[0 p(2)],’m’,’linewidth’,2)

(27)

Proje¸c˜

ao

>> u = [1;1];

>> v = [1/2;2];

>> plot([0 u(1)],[0 u(2)],’b’)

>> axis([0 2 0 2]) >> hold on; >> plot([0 v(1)],[0 v(2)],’b’) >> p = ((v*v’)/(v’*v))*u; >> plot([0 p(1)],[0 p(2)],’m’,’linewidth’,2) >> plot([u(1) p(1)],[u(2) p(2)],’g’)

(28)

Autovalores

Para calcular o conjunto de autovalores de uma matriz quadrada no MATLAB, usamos o comando

>> eig(A)

>> [V,D] = eig(A) % A*V=V*D

(29)

Exemplo

A = eye(10, 10)

(30)

Exemplo

A = rand (10, 10)

(31)

Exemplo

B = A0∗ A

(32)

Exemplo

A = [1/2 1/2; 1/2 1/2]

(33)

Exemplo

A = [0 1; 0 0]

(34)

Exemplo

A = [4 3; 1 2]