4.1 Modulações binárias (FSK e MSK)

Modulações digitais

4

Modulações digitais não-lineares

com detecção coerente

4.1

O espaço de sinal em FSK multifrequência (M-FSK)

• Em M-FSK a informação está contida na frequência do sinal:

(

)

0 2 ( ) cos 2 (seja 0) 1,2, , i i t T E s t f t i M T

π

φ

φ

≤ ≤ = + = = …

• A diferença de frequências adjacentes é normalmente um múltiplo de 1/2T (Hz). Habitualmente é:

fi+1− fi = _T1 (BFSK: fi = fc ± _2T1 , i=1,2)

• Num espaço ortonormal a forma mais conveniente das funções-base é

ψ

j(t)

{ }

0 2 ( ) cos 2 1,2, , t T t f t j N T j j

ψ

=

π

≤ ≤ = …

• Exprimindo os sinais FSK em função de

ψ

_j(t) teremos s (i t)= aij

ψ

j(t)

j=1

N

∑

= E

ψ

_i(t) 0 ≤t ≤T i =1,2,…,M

Isto significa que no espaço de sinal cada vector de sinal de ordem i está colocado no eixo de ordem i à distância E da origem e é ortogonal aos outros vectores.

• Distância euclidiana entre dois vectores de sinal: 2 E • Exemplo com

M

=3: s₁(t)= E

ψ

₁(t) s₂(t)= E

ψ

₂(t) 3(t)= E s

ψ

₃(t ) 0≤t ≤T ψ_3(t) ψ_1(t) ψ2(t) E E E s1 s2 s3

Diagramas de blocos de

emissor e receptor coerente de FSK binário (BFSK)

Emissor Conversor binário-unipolar sequência binária {0,1} 1( )t 2T cos2 f t1 ψ = π 2( )t 2T cos 2 f t2 ψ = π Sinal BFSK {0, E }_b Inversor m(t) ( ) m t B C A A B C 0 0 E_b b E E_b 0 Receptor Sinal BFSK recebido 1( )t ψ 2( )t ψ 0 b T

∫

0 b T

∫

Estimativa da sequência binária transmitida + -γ = 0

FSK binário: continuidade de fase

FSK de fase descontínua nas transições de bit

0 T 2T 3T 4T 5T -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Tempo

FSK de fase contínua (Continuous Phase FSK, ou CPFSK)

0 T 2T 3T 4T 5T -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

• O espectro de FSK de fase descontínua apresenta maiores lobos secundários que CPFSK, o que é desvantajoso.

• Para se obter um sinal CPFSK é preciso escolher bem as frequências associadas a cada bit.

FSK de Sunde e CPFSK

• À modulação FSK binária em que a diferença de frequências é igual a 1/

T

1 2 f f f = − ∆

b Hz é costume chamar-se

FSK de Sunde

.

Este espaçamento de frequências garante que os sinais si(t)

são ortogonais.

FSK de Sunde

₁ 1 2 c b f f T = − ₂ 1 2 c b f f T = + (0≤ ≤t T_b) ⇒ ( ) 2 cos 2 2 cos 2 0 1,2 b b b i i c b b b t T E E s t f t f t t i T T T

π

π



π

 ≤ ≤ = = _ ± _ =  

• Se desejarmos que a fase do sinal varie de modo contínuo de bit para bit, no intervalo T deve caber um número inteiro (diferente) de períodos de cada um dos símbolos FSK: b

CPFSK

_i b n i f T + =

,

n

- inteiro

Este tipo especial de FSK designa-se por FSK de fase contínua (“Continuous Phase FSK”, ou CPFSK).

• A fase do sinal FSK de Sunde é ( )

b

t t

T

π

θ

= ± , 0≤ ≤t T_b.

Vamos generalizar introduzindo um

índice de modulação

h

e uma fase inicial

θ

(0) (fase de s(t) no instante t =0):

CPFSK

( ) (0) b h t t T

π

θ

=

θ

±

,

0≤ ≤t T_b

• A fase θ(t) varia linearmente no tempo.

FSK de Sunde: forma de onda e espectro

• Componentes em fase,

s

I(

t

), e em quadratura,

s

Q(

t

):

( ) - independente ( ) - depende da mensagem da mensagem 2 1 2 ( ) cos 2 cos 2 2 2 2

cos cos 2 sen sen2

I Q b b c c b b b b b c c b b b b s t s t E E b s t f t f t T T T E E t f t t f t T T T T

π

π

π

π

_π

π

_π

   = _ ± _ = _    = ∓ t T  ± _= 

• Densidade espectral de potência (d.e.p) em banda-base de

s

I(

t

):

1 1 2 2 2 b b b f f T

δ

T

δ

     − + +          Tb     E

Estes impulsos ajudam a sincronizar os símbolos no receptor.

• Densidade espectral de potência em banda-base de

s

Q(

t

):

(

)

2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sinc sinc 4 2 2 _{8 cos} 4 1 b b b b b b b _{b b} b b E T f T f T T T T _{E T f} T _{T f}

π

π

        − + −                 ₌ −

A d.e.p. em banda-base do sinal BFSK de Sunde é igual à soma destas duas d. e. p. porque

s

I(

t

) e

s

Q(

t

) são independentes:

FSK de Sunde:

(

)

2 2 2 2 2 8 cos 1 1 ( ) 2 2 2 _{4 1} b b B b b b b b E E T S f f f T T T _{T f}

π

δ

δ

π

     = _{ } − _+ _ + _+       ₋ f

Comparação entre os espectros em banda-base

de PSK e FSK binários

BPSK: _{( ) 2 sinc (}2 ₎ B b S f = E T f_b BFSK:

(

)

2 2 2 2 2 8 cos 1 1 ( ) 2 2 2 _{4 1} b b B b b b b b E E T S f f f T T T _{T f}

π

δ

δ

π

     = _{ } − _+ _ + _+       ₋ f

Nota: não esquecer que ( ) 1

[

( ) ( )

]

4 B c B c S f = S f − f +S f + f na banda do canal. 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

S

B

(f

)/2

E

b

fT

b

BFSK

BPSK

Esta cauda decai mais depressa

BFSK de fase contínua (CPFSK) tem menores lobos laterais no espectro do que BPSK.

⇓

Não produz tanta interferência em canais adjacentes como BPSK ou como BFSK de fase descontínua

Espectro de FSK binário (FSK de Sunde)

Espectro em banda-base:

(

)

2 2 2 2 2 8 cos 1 1 ( ) 2 2 2 _{4 1} b b B b b b b b E E T S f f f T T T _{T f}

π

δ

δ

π

     = _{ } − _+ _ + _+       ₋ f

Espectro na banda de canal

Minimum-Shift Keying (MSK)

A forma de onda genérica de FSK de fase contínua (CPFSK) pode exprimir-se assim:

[

]

2 ( ) cos 2 ( ) 2 2 cos 2 (0) cos 2 (0) 2 b c b b b c c b b b b E s t f t t T E h E h f t t f t T T T T

π

θ

π

π

θ

π

θ

= + =       =  + ± =   ±  +       

Portanto, no caso geral as frequências e f₁ f₂ valem:

b c _Th f 2 1 = − f b c _Th f 2 2 = + f

Deste par de equações concluímos que:

2 2 1 f f c = + f h=(f₂ − f₁)T_b =∆f T_b

• O desvio de frequência mínimo que garante ortogonalidade entre símbolos FSK é , a que corresponde um valor do índice de modulação de

h

= 1/2.

1 2 _b

f T

∆ =

• Quando

h

= 1/2, dizemos que se trata de

Minimum-Shift Keying

, ou MSK. • FSK de Sunde corresponde a

h

= 1.

FSK e MSK: treliça de fases

Em CPFSK a variação de fase do sinal é contínua: ( ) (0)

b h t t T

π

θ

=

θ

± , . 0≤ ≤t T_b

Supondo que o bit 1 corresponde à frequência superior,

f

2, então esse

bit faz aumentar a fase do sinal de

θ

(0) para . De igual modo, o bit 0 faz diminuir a fase de

θ

(0) para :

( )T_b (0)

θ

=

θ

+ (0) T h

θ

=

θ

−

π

h

π

( )_b Tb t πh -πh θ(t) -θ(0)

Nos instantes seguintes (2

T

b, 3

T

b, etc.) a fase evolui como se mostra nas

seguintes treliças de fases:

Treliça de fases em CPFSK Tb t πh -πh θ(t) - θ(0) 2πh 3πh -3πh -2πh 0 Tb Tb 3Tb 5Tb

Caso particular de

h

= 1/2 (MSK) — sequência 1101000

-π/2 Tb t π/2 θ(t) - θ(0) π -π 0 Tb Tb 3Tb 5Tb 7Tb 1 1 0 1 0 0 0 0 →π/2↓ 1 →π/2↑ 0, 0, 2, 4, ( ) (0) 2 1,3,5, b k kT k π θ −θ =_±π± =₌  … …

MSK: as componentes em quadratura

s

I

(

t

) e

s

Q

(

t

)

• A fase

θ

(

t

) vale ( ) (0) 2 _b t t T

π

θ

=

θ

± (é “+” ou “-“ consoante o bit) Desenvolvendo ( ) 2 b cos 2

[

_c ( ) b E

_]

s t f T

π

θ

= t+ t obtemos as componentes em fase e em quadratura,

s

I(

t

) e

s

Q(

t

): ( ) ( ) 2 2

( ) cos ( )cos 2 sen ( )sen 2

I Q b b c c b b s t s t E E s t t f t t T

θ

π

T

θ

π

= − f t

•

s

I(

t

) e

s

Q(

t

) são as envolventes de cos 2

π

f t_c e sen 2

π

f t_c , respectivamente.

• Na treliça de MSK vimos que

θ

(0) = 0 ou π e

θ

(

T

b) = ±π/2.

• Nas figuras seguintes vê-se que no intervalo cos

_θ

(

t

) é sempre positivo (se

θ

(0) = 0) ou negativo (se

θ

(0) = π).

b T t T − ≤ ≤ _b Tb t π/2 θ(t) -_π/2 -Tb 0 |θ(t)|≤π/2 cosθ(t) ≥0 ⇓ em –Tb≤ t ≤ Tb θ(0) = 0 Tb t 3π/2 θ(t) π/2 -Tb π |θ(t)|≥π/2 cosθ(t) ≤ 0 ⇓ em –Tb≤ t ≤ Tb θ(0) = π

• De igual modo se concluiria que no intervalo 0 sen

θ

(

t

) ou é sempre positivo ou é sempre negativo (consoante o valor de

θ

(

T

2 _b t T

≤ ≤

b)).

⇒

s

I(

t

) tem sempre o mesmo sinal (+ ou -) no intervalo − ≤T_b t T≤ _b

MSK: as componentes em quadratura s

I

(t) e s

Q

(t)

(cont.)

Tendo em conta que

_θ

(0) = 0 ou π e

_θ

(

T

b) = ±π/2 podemos escrever

que as componentes em fase, _I( ) 2 _{b b} cos ( ), e em quadratura, ( ) 2 sen ( ) Q b b , valem: s t = E T

θ

t s t = E T

θ

t 2 cos (0) 0 2 ( ) 2 cos (0) 2 b b b I b b b E t T T s t E t T T

π

_θ

π

_θ

_π

 =   = _{− =}   − ≤ ≤T_b t T_b

Meio ciclo de um cosseno pois o período é 4T

b

e o intervalo é 2T

b

.

2 sen ( ) 2 2 ( ) 2 sen ( ) 2 2 b b b b Q b b b b E t T T T s t E t T T T

π

_θ

_π

π

_θ

_π

 =   =_ _{− =}   − 0≤ ≤t 2T_b

Meio ciclo de um seno.

Tb -Tb t sI(t) 0 Tb -Tb t sI(t) 0 θ(0) = 0 θ(0) = π 2Tb t sQ(t) 0 2Tb t sQ(t) 0 θ(Tb) = π/2 θ(Tb) = -π/2

MSK: um exemplo com

s

I

(

t

) e

s

Q

(

t

)

Sequência binária: 1 0 0 0 1 0 1 1 1

-1 0 1 2 4 5 6 7 8 9 t/Tb -1 -0.5 0 0.5 1 3 -1 -0.5 0 0.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t/Tb -1 0 1 2 4 5 6 7 8 9 _t/Tb -1 -0.5 0 0.5 1 3 sI(t) sQ(t) sI(t)cos2πfct sQ(t)sen2πfct 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 t/Tb -1 0 1 Sinal MSK θ(t) π/2 -π/2 -π t/Tb 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Treliça de fases

MSK

Componentes em fase e em

quadratura, s

I

e s

Q

Treliça de fases

Com impulsos rectangulares

Frequências instantâneas (em banda-base)

Consegue determinar as duas frequências do sinal MSK a partir das componentes

s

I e

s

Q?

MSK: espaço de sinal e constelação

• Num espaço de sinal bidimensional temos, como de costume,

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

s t =s

ψ

t +s

ψ

t (em que s=

[

s₁ s₂

]

T )

• As funções-base usadas em MSK são:

1 2 ( ) 2 cos cos 2 0 2 ( ) 2 sen sen 2 0 2 b c b b c b t t T f t t T t t T f t t T

π

ψ

π

π

ψ

π

 _{= ≤}    _{= ≤}  b b T T ≤ ≤

• Se desenvolvermos ( ) 2 b cos ( )cos 2 _c 2 b sen ( )sen 2 _c

b b

E E

s t t f t t

T

θ

π

T

θ

π

= − f t e

calcularmos as componentes

s

1 e

s

2 do vector s obtemos:

1 1 2 2 ₀ 2 ( ) ( ) cos (0) ( ) ( ) sen ( ) 0 2 b b b T b b T T b b b b s s t t dt E T t T s s t t dt E T t T

ψ

θ

ψ

θ

−  _{= = −}    _{= = − ≤} 

∫

∫

≤ ≤ ≤

Já sabemos que θ(0) = 0 ou π e que θ(

T

b) = ±π/2. Portanto:

1 2 0 2 b b b b b s E T t T s E t  _{= ± − ≤ ≤}   = ± ≤ ≤  T ⇓

MSK: espaço de sinal e constelação

1 2 cos (0) sen ( ) 0 2 b b b b b b s E T t T s E T t T

θ

θ

 _{= −}   = − ≤ ≤  ≤ ≤ Símbolo binário transmitido

Fases

Coordenadas

dos

pontos da constelação

0 ≤

t

≤

T

b θ(0) θ(

T

b)

s

1

s

2 0 0 -π/2 + E_b + E_b 1 π -π/2 − E_b + E_b 0 π π/2 − E_b − E_b 1 0 π/2 + E_b − E_b

Constelação MSK

b E b E − b E b E − 1( )t ψ 2( )t ψ (θ(0) = 0, θ(Tb) = -π/2) 0 0 1 1 (θ(0) = 0, θ(Tb) = π/2) (θ(0) = π, θ(Tb) = π/2) (θ(0) = π, θ(Tb) = -π/2)

Precisamos do intervalo de 2

T

b segundos para escolhermos o ponto da

MSK: probabilidade de erro

b E b E − b E b E − 1( )t ψ 2( )t ψ 0 0 1 1 d

• O decisor erra na decisão se, tendo sido transmitido um dado símbolo, a estimativa se situar num quadrante adjacente (OU num OU noutro).

• Distância entre pontos mais próximos: d =2 E_b

⇒ 0 0 2 2 b B d E P Q Q N N     = _ _= _ _    

É igual à probabilidade de bit errado em BPSK e QPSK.

Esta melhoria relativamente a FSK binário (de Sunde) – onde era

0

N

  – é o resultado de se observar o sinal MSK durante 2

T

b segundos.

b B

E P =Q_ _

MSK: um exemplo com as coordenadas

s

1

e

s

2 • 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

( ) cos ( )cos 2 sen ( )sen 2

cos (0). 2 cos cos 2 2

sen ( ). 2 sen sen 2 2 I Q b b c c b b s t s t b b c b s t b b b c b s t E E s t t f t t T T t E T f t T t E T T f t T ψ ψ

θ

π

θ

π

π

θ

π

π

θ

π

= − = + − f t= • 1 2 cos (0) sen ( ) 0 2 b b b b b b s E T t T s E T t T

θ

θ

 _{= −}   = − ≤ ≤  ≤ ≤ MSK: soma de s_{1 1}

ψ

( )t e s_{2 2}

ψ

( )t

MSK: diagrama de blocos do emissor e do receptor

Emissor: 2T cos 2π f t_c Filtro passa-banda (f1) Filtro passa-banda (f2) fc±1/4Tb Sinal MSK 1 1( ) sψ t 2 2( ) sψ t 1( ) 2 cos cos 2 2 _b c t t T f t T π ψ = π 2( ) 2 sen sen 2 2 _b c t t T f t T π ψ = π

(

)

2 cos 2 1 4 2 c b T f T t π +

(

)

2 cos 2 1 4 2 c b T f T t π − cos 2 _b t T π 1( )t ψ 2( )t ψ + -+ + s1 s2 s(t)

s1 e s2 – sequências de impulsos rectangulares ± E_b deslocados entre si de Tb.

Receptor coerente: Sinal MSK recebido 1( )t ψ 2( )t ψ b b T T −

∫

2 0 b T

∫

γ = 0 γ = 0 Estimativa da fase (0)θ Estimativa da fase ( )θ T_b Sequência binária de saída Decisor Canal em fase Canal em quadratura

MSK: esquema alternativo de emissor

Forma alternativa

MSK: espectro

• Consoante o valor de θ(0) a componente em fase

s

I(

t

) vale ±

g

(

t

), com

2 cos ( ) 2 0 outros valores b b b b b E t T t T T T

π

 − ≤ ≤  =   g t

• Densidade espectral de energia de

g

(

t

) (quadrado da transformada de Fourier):

(

)

2 2 2 2 cos 2 32 ( ) 16 1 b b b g b T f E T f T f

π

π

  Ψ =   −    

• Densidade espectral de potência da componente em fase: ( ) 2 g b f T Ψ .

• Consoante o valor de θ(

T

b) a componente em quadratura

s

Q(

t

) vale ±

g

(

t

),

com 2 sen 0 2 ( ) 2 0 outros v b b b b E t t T T T

π

 ≤ ≤  =_   alores g t

• Densidade espectral de energia e densidade espectral de potência: iguais às densidades da componente em fase.

• Densidade espectral de potência do sinal MSK:

(

)

2 2 2 2 ( ) 32 cos 2 ( ) 2 2 16 1 g b b B b _b f E T f T T f

π

π

S f = Ψ = _ _ −    

A cauda decai mais depressa que a de QPSK ⇒ menor interferência com canais adjacentes.

MSK: espectro

• Densidade espectral de potência de MSK, em banda-base:

2 2 2 2 _{16 1} ) 2 cos( 32 ) (         − = f T f T E f S b b b B

π

π

(MSK)

Se compararmos este espectro com o de QPSK (modulação com a mesma probabilidade de bit errado),

(QPSK),

2

( ) 4 sinc (2 )

B b

S f = E T f_b

verificamos que em MSK os lobos secundários são mais atenuados.

0 0.5 1

_fT

_b 0 1 2 3 4 MSK QPSK

S

B(

f

) 0.75 ⇓

MSK produz menos interferência nos canais adjacentes (fora da banda) do

que QPSK.

Comparação entre QPSK e MSK

QPSK filtrado

MSK

MSK gaussiano (Gaussian MSK ou GMSK)

• GMSK é uma forma modificada de MSK na qual a sequência binária é pré-filtrada por um filtro gaussiano. O objectivo é reduzir ainda mais a interferência com canais adjacentes.

• Filtro gaussiano:

Resposta impulsional: _{( )} 2 _exp( 2 2 2 2₎

log 2W log 2W t

π

π

= − h t Função de transferência: 2 log 2 ( ) exp 2 f H f W  _{ }  = − _{ }       

W

– largura de banda a -3 dB

• Resposta do filtro gaussiano a um impulso rectangular de amplitude unitária e duração

T

b (centrado na origem):

2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 log 2 log 2 b b T b b b b T t t g t h t d Q WT Q WT T T

π

π

τ τ

−      = − = _{ } − _− _{ } +        

∫

1   

WT

b – parâmetro de projecto GSM: WTb = 0,3 DECT: WTb = 0,2

Quanto menor for WT

b

menor é a interferência com canais

adjacentes mas…

O impulso de GMSK

O impulso usado em GMSK é dado por

2 1 2 ( ) 2 2 log 2 b b log 2 b b t t g t Q WT Q WT T T

π

π

1      = _{ } − _− _{ } + __          

GMSK: probabilidade de erro

• GMSK provoca uma degradação da relação E N_{b 0} relativamente a MSK, para a mesma probabilidade de erro.

• Probabilidade de erro: 0 b e E P Q N

α

  = _   (α = 2 para MSK) • O parâmetro α depende do produto

WT

b.

Degradação teórica de

E

b/

N

0 em GMSK em função do produto

WT

b

10 10log 2

α

Mur at a & Hi rad e, 198 1 • Se

WT

b = 0,3 (GSM) perdem-se 0,46dB (⇒ α/2 = 0,9).

MSK e GMSK

Espectros de potência de sinais MSK e GMSK

para vários produtos

tempo x largura de banda

D r. G or don St üb er , G eor gi a Te ch GMSK MSK

Espectro de potência do sinal GMSK usado no sistema GSM

H ayki n, C om m un ic at io n Sys te m s 200 0, 4ª Ediç ão