Análise de estabilidade linear de escoamentos em meios porosos

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DE

ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

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Autor(es):

PEDRO VAYSSIÈRE BRANDÃO

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Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DE ESCOAMENTOS

EM MEIOS POROSOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Niterói

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

B817 Brandão, Pedro Vayssière

Análise de estabilidade linear de escoamentos em meios porosos / Pedro Vayssière Brandão. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.

76 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) – Universidade Federal Fluminense, 2017.

Orientador: Leonardo Santos de Brito Alves.

1. Escoamento de fluidos. 2. Teoria da estabilidade linear. 3. Porosidade. 4. Modelagem matemática. 5. Transmissão de calor. I. Título.

CDD 620.106

Dedico este trabalho à todos aqueles que contribuem para a existência da universidade pública e não podem usufruir diretamente do que ela pode oferecer.

Agradeço ao meu orientador Professor Dr. Leonardo Santos de Brito Alves pela orienta-ção, por todos os conhecimentos à mim passados, por todo o suporte e pela disponibilidade. Agradeço ao Professor Dr. Antonio Barletta por ter me recebido na Universidade de Bologna por um ano, pela orientação e pelos conhecimentos passados durante esse ano.

Agradeço ao Pesquisador Dr. Michele Celli por todo o apoio, pela colaboração e pelos conhecimentos passados.

Agradeço ao Pesquisador e amigo M.Sc. Nelson Rodrigues Braga Junior pela colabora-ção e pelos conhecimentos compartilhados.

Agradeço aos parceiros de laboratório, Ricardo Dias e Helio Ricardo pelo companhei-rismo.

Agradeço aos grandes amigos que fiz durante o curso que serviram de apoio em diversos momentos, em especial ao Adolfo, Eduardo, Felipe, Mateus, Rafael e Vinicius.

Agradeço à minha namorada, Isadora, por ter sempre me apoiado nas minhas escolhas e servido de base durante muitos momentos dessa caminhada.

Agradeço à minha Mãe e ao meu Pai por terem tornado possível a minha dedicação exclusiva aos estudos.

Problemas de convecção em meios porosos vêm sendo cada vez mais estudados, e são de particular interesse na engenharia. O presente trabalho tem por objetivo analisar o início do escoamento secundário, a convecção mista, de escoamentos em meios porosos considerando dois casos, o primeiro onde o sistema é aquecido por baixo e isolado termicamente na parede superior e o segundo que também é aquecido por baixo porém com uma condição de calor do terceiro tipo na parede superior, e em seguida confrontar qualitativamente ambos os casos e comparar o caso assintótico onde a troca de calor por convecção tende a um isolamento térmico. Para tal, é feita uma análise de estabilidade linear do problema. Considera-se a Lei de Darcy a fim de modelar a penetração de um líquido em um meio poroso. Para obter o iní-cio da convecção mista através da análise de estabilidade linear, perturba-se a solução base do escoamento, tanto na temperatura quanto na velocidade, e observa-se o comportamento dessa perturbação. Considera-se apenas termos lineares dessas perturbações. O problema re-sultante então se resume a um problema de auto-valores a ser resolvido numericamente, onde seus auto-valores são basicamente os parâmetros que se deseja obter. Resolve-se esse pro-blema numericamente através do método do tiro. Os resultados obtidos podem ser analisados através das curvas de estabilidade marginal, que representam os parâmetros que configuram o limiar entre a estabilidade e a instabilidade, ou seja, a ocorrência ou não do fenômeno de convecção mista. Além disso foi possível obter uma aproximação analítica para a solução do segundo caso.

Convection in porous media has been increasingly studied, and is of particular interest in engineering. The main purpose of the present work is to analyse the onset of the secon-dary flow, the mixed convection, in a porous layer with an horizontal flow considering two cases, the first one where the system is heated from below and thermally insulated at the top and the second one that is heated from bellow as well but with a third kind boundary condition at the top, and then confront both cases qualitatively and compare the asymptotic case where the heat transfer by convection tends to a thermal insulation. In order to do this a linear stability analysis of the described problem is carried on. The Darcy law is considered in order to model a liquid penetration into a porous medium. To determine the onset of the mixed convection through a linear stability analysis the base solution of the flow is disturbed, both in temperature and velocity, and the behavior of these perturbations is observed. It is considered only linear terms of these perturbations. The resulting problem then becomes an eigenvalue problem to be solved numerically, where the eigenvalues are basically the para-meters that one wishes to obtain. This problem is solved numerically through the shooting method. The results can be analysed graphically through the marginal stability curves, which represent the parameters that configure the threshold between stability and instability, that is, the occurrence or not of the mixed convection phenomenon. Moreover it was possible to obtain an analytical aproximation to the second case’s solution.

1.1 Exemplos de meios porosos naturais: (a) areia de praia, (b) arenito, (c), cal-cário, (d) pão de centeio, (e) madeira, (f) pulmão humano. Exemplos de materiais porosos usados na indústria da construção: esferas de 5 cm de diâmetro e pedações de 1 cm de calcário, inferior esquerda e direita,

respec-tivamente. . . 19

1.2 Exemplo de um Meio Poroso Irregular . . . 20

1.3 Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente . . . . 25

1.4 Linearmente Estável, Convectivamente Instável e Absolutamente Instável. . . 27

2.1 Esquema Caso 1: escoamento em meio poroso com geração de energia in-terna, aquecido por baixo isolado em cima. . . 32

2.2 Esquema Caso 2: escoamento em meio poroso com geração de energia in-terna, aquecido uniformemente por baixo e trocando calor por convecção na parede superior. . . 37

4.1 Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 7eφ = π₂ . . . 52

4.2 Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 12eφ =π₂ . . . 53

4.3 CCurvas Marginais Caso 1 paraPe = 7eφ = 0 . . . 53

4.4 Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 12eφ = 0 . . . 54

4.5 Curvas Marginais Caso 2 paraB = 10−1 . . . 54

4.6 Curvas Marginais Caso 2 paraB = 1010 . . . 55

4.7 Curvas de Valores Críticos Caso 1 paraPe = 7 . . . 57

4.8 Curvas de Valores Críticos Caso 1 paraPe = 12 . . . 57

4.12 Comportamento dec˜4em Funçao deB . . . 60

4.13 Curvas Marginais Numéricas e Analíticas Aproximadas paraB = 1 . . . 61

4.14 Curvas dos Valores Críticos em Função deQ Numérica e Analítica Aproxi-mada . . . 62

4.15 Curvas dos Valores Críticos em Função de B Numérica e Analítica Aproxi-mada . . . 62

4.16 Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para Pontos Críticos em Função deB . . . 63

4.17 Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para Pontos Críticos em Função deQ . . . 63

4.18 Isolinhas Função Corrente Caso 1Pe = 12,Q = 0 . . . 64

4.19 Isolinhas Temperatura Caso 1Pe = 12,Q = 0 . . . 65

4.20 Isolinhas Função Corrente Caso 1Pe = 12,Q = 100 . . . 65

4.21 Isolinhas Temperatura Caso 1Pe = 12,Q = 100 . . . 66

4.22 Isolinhas Função Corrente Caso 1Pe = 12,Q = 200 . . . 66

4.23 Isolinhas Temperatura Caso 1Pe = 12,Q = 200 . . . 67

4.24 Isolinhas Função Corrente Caso 2Q = 0 . . . 68

4.25 Isolinhas Temperatura Caso 2Q = 0 . . . 69

4.26 Isolinhas Função Corrente Caso 2Q = 100 . . . 69

4.27 Isolinhas Temperatura Caso 2Q = 100 . . . 70

4.28 Isolinhas Função Corrente Caso 2Q = 200 . . . 70

4.1 Comparação entre os resultados obtidos numericamente e analiticamente para o caso dekr → 0, considerandoQ = 1eφ = π/2. Como a curva marginal

deRxkr apresenta, para algumas combinações de parâmetros, dois valores

deRparakr= 0, os subscritosi esse referem aos valores inferiores e

supe-riores, respectivamente. . . 51 4.2 Comparação entre os resultados obtidos numericamente através do método

do tiro e os resultados encontrados na literatura Alves and Barletta (2013) para o início da instabilidade convectiva. . . 51

a número de onda

B número de Biot

c calor específico do sólido

cp calor específico à pressão constante do fluido

c1−4 coeficientes de correlação

C constante

ez eex vetor unitário emzex

g vetor aceleração da gravidade

g módulo de~g

h coeficiente de transferência de calor

H altura do canal

i unidade imaginária

k condutividade térmica ou número de onda

K permeabilidade

p pressão

Pe número de Pèclet

P número de Pèclet modificado

Q parâmetro de geração de energia interna q variável genérica

˙

q00 fluxo de calor uniforme prescrito

T temperatura

Ts temperatura de referência

T0 temperatura média de referência

u vetor velocidade

U vetor perturbação na velocidade

u, v, w componentes da velocidade emx, y andz

U ,V,W componentes da perturbação na velocidade emx, y andz U0 velocidade horizontal constante

x, y, z coordenadas Cartesianas

Símbolos Gregos

α difusividade térmica média ou número de onda

β coeficiente de expansão térmica ou número de onda

² parâmetro de perturbação

ν viscosidade cinemática

σ razão entre capacidade térmica volumétrica do sólido e do fluido

φ porosidade ou ângulo entre direçãoxe direção perpendicular aos rolos de convecção

ρ massa específica

θ perturbação na temperatura

ω frequência angular

Subscritos

∗ variáveis dimensionais ou complexo conjugado 0 diferenciação em relação àz

b solução base

m médio

n transformação de Fourier p perturbações

r parte real

1. INTRODUÇAO . . . 18

1.1 MOTIVAÇÃO . . . 18

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOSPOROSOS . . . 19

1.2.1 Porosidade . . . 20

1.2.2 Lei de Darcy . . . 21

1.2.3 Equação da Energia . . . 22

1.2.4 Convecção Mista . . . 23

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADELINEAR . . . 24

1.3.1 Modos Normais . . . 25 1.3.2 Local e Paralela . . . 27 1.3.3 Instabilidade Convectiva . . . 28 1.3.4 Instabilidade Absoluta . . . 28 1.4 OBJETIVOS . . . 29 2. MODELAGEM MATEMÁTICA . . . 31 2.1 CASO 1 . . . 31 2.1.1 Equações de Governo . . . 32 2.1.2 Solução Base . . . 33 2.1.3 Perturbações . . . 34 2.2 CASO 2 . . . 37 2.2.1 Equações de Governo . . . 37 2.2.2 Solução Base . . . 39 2.2.3 Perturbações . . . 39

3.1.1 Análise Assintótica . . . 43

3.1.2 Instabilidades Convectivas . . . 44

3.2 CASO 2 . . . 45

3.2.1 Transformação de Squire . . . 45

3.2.2 Princípio da Troca de Estabilidades . . . 46

3.2.3 Instabilidades Convectivas . . . 48

4. RESULTADOS . . . 50

4.1 VERIFICAÇÃO . . . 50

4.2 CURVASMARGINAIS . . . 52

4.3 CURVASPONTOS CRÍTICOS . . . 56

4.4 CORRELAÇÕES APROXIMADAS . . . 59

4.5 ISOLINHAS DEFUNÇÃOCORRENTE ETEMPERATURA . . . 64

5. CONCLUSÃO . . . 72

1 INTRODUÇAO

1.1 MOTIVAÇÃO

A mecânica dos fluidos de escoamentos em meios porosos é um tópico relativamente antigo de estudo, tendo se iniciado principalmente pelos estudos em engenharia de sistemas de irrigação. A transferência de calor por convecção em escoamentos em meios porosos, por sua vez, é um campo de estudo relativamente novo. Exemplos de aplicação do estudo de fenômenos de transporte em meios porosos estão presentes nas indústrias química, am-biental, geológica, mecânica e de petróleo, incluem: Filtragem, conversores catalíticos para redução da poluição do ar, dispersão de contaminantes no subsolo, irrigação, migração de água e minérios, ciclo térmico de rochas, lubrificação, reatores nucleares, produção de óleo e gás, etc. (Bejan (2013), Nield and Bejan (2006) and Kaviany (2012)).

Dados exemplos de aplicações do estudo da transmissão de calor e massa em meios porosos, observa-se necessário o aprofundamento do estudo de fenômenos de transporte em meios porosos a fim de compreender melhor seu fenômeno físico bem como a matemática envolvida.

De modo geral a instabilidade térmica está associada ao gradiente de temperatura vertical no escoamento. Sendo este gradiente podendo existir e ser influenciado devido a diversos fatores, como diferentes condições de contorno de temperatura prescrita nas paredes superior e inferior, ou ainda um fluxo de calor imposto na parede inferior, por exemplo. O objetivo da análise de estabilidade então é o de obter os parâmetros que, quando combinados, propiciam o aparecimentos das células de convecção natural, ou seja os parâmetros críticos relativos ao início da instabilidade térmica desse escoamento.

Em um experimento, ou em uma aplicação real em uma indústria por exemplo, em que se está presente a possibilidade da ocorrência da transição para a instabilidade térmica é

interessante conhecer sob que condições essa transição irá ocorrer, por isso faz-se uso da análise de estabilidade. Seja em casos em que se deseja obter a transição, ou evitá-la, a análise de estabilidade pode apresentar informações de extrema relevância, evitando assim experimentações desnecessárias e/ou frustrações reais.

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOSPOROSOS

O processo de escoamentos em meios porosos é de particular interesse de uma gama de cientistas e engenheiros, mas também de políticos e economistas que reconhecem a impor-tância do escoamento de água nos lençóis freáticos bem como de uma variedade de aplica-ções na indústria do petróleo. Além disso algumas aplicaaplica-ções mais desconhecidas, fazem também do estudo de escoamentos em meios porosos importante, como estudo do fluxo de ar nos pulmões (Whitaker (1966) e Whitaker (1986)).

Figura 1.1: Exemplos de meios porosos naturais: (a) areia de praia, (b) arenito, (c), calcário, (d) pão de centeio, (e) madeira, (f) pulmão humano. Exemplos de materiais po-rosos usados na indústria da construção: esferas de 5 cm de diâmetro e pedações de 1 cm de calcário, inferior esquerda e direita, respectivamente.

Por meio poroso entende-se um material consistente de uma matriz sólida com vazios interconectados. A interconexão entre os vazios, os poros, permitem o escoamento de um ou mais fluidos através do material. Sendo que na situação mais simples os poros estão saturados por um único fluido (Nield and Bejan, 2006).

Em um meio poroso natural a distribuição dos poros quanto à sua forma e dimensão é irregular. Exemplos de meios porosos naturais são areia, rochas, madeiras e o pulmão humano. Já entre os meios porosos "artificiais"ou fabricados pelo homem encontram-se as cerâmicas, materiais compósitos, esponjas metálicas e materiais isolantes (Nield and Bejan (2006) e Kaviany (2012)).

Figura 1.2: Exemplo de um Meio Poroso Irregular Fonte: Barletta (2010)

Diversas soluções para os problemas envolvendo meios porosos estão disponíveis na lite-ratura, sendo a grande maioria destes baseados na lei de Darcy para descrever o movimento de fluidos em meios porosos (Whitaker, 1966).

1.2.1 Porosidade

A porosidade φ de um meio poroso é definida de acordo com Nield and Bejan (2006) como a fração do volume total do meio que é ocupada por espaços vazios. Sendo assim,1 − φ é a fração que é ocupada por sólido. Para um meio isotrópico, a "porosidade superficial"será normalmente igual àφ.

Definindo a porosidadeφ dessa forma, assume-se que todos os espaços vazios são co-nectados entre si. Caso se esteja trabalhando com um meio no qual alguns poros não estão conectados aos outros, faz-se necessário introduzir uma "porosidade efetiva".

Para meios naturais,φnormalmente está abaixo de 0.6. Não uniformidades nos tamanhos dos grãos tendem a apresentar porosidade menores em relação à grãos uniformes, porque os grãos menores preenchem os vazios formados pelos grãos maiores.

1.2.2 Lei de Darcy

Em seus estudos acerca do sistema de abastecimento de água da cidade de Dijon, na França, o engenheiro Henry Darcy (1856) chegou a uma correlação empírica entre a veloci-dade de filtração e o diferencial de pressão aplicado em determinado sistema de meio poroso (Nield and Bejan, 2006). Em termos atuais a lei de Darcy para um caso unidimensional pode ser representada por:

u = −K_µ∂P_∂z (1.1)

Onde∂P/∂x representa o gradiente de pressão na direção do escoamento,µ é a visco-sidade dinâmica e o coeficiente K depende da geometria do meio e pode ser chamado de permeabilidade específica do meio.

Apesar de as relações propostas por Darcy serem empíricas, diversos experimentos com-provaram a sua relação para modelos simples de escoamentos em meios porosos reais, e diversos autores comprovaram teoricamente e propuseram modificações e extensões ao mo-delo de Darcy.

Uma derivação mais completa para a formulação de escoamentos em meios porosos pode ser encontrada em Whitaker (1969) e em Gray and O’Neill (1976), onde são derivadas equa-ções gerais para escoamentos em meios porosos e a partir de algumas simplificaequa-ções como ausência dos termos inerciais e convectivos, a equação de Darcy pode ser retomada.

As extensões mais conhecidas e utilizadas do modelo de Darcy são aquelas conhecidas como Equação de Forchheimer e Equação de Brinkman, sendo a primeira conhecida por

incorporar efeitos de arrasto no modelo de Darcy, e a segunda que conta agora com um outro termo viscoso na equação, muitas vezes também chamada de "Extensão de Brinkman da Lei de Darcy"(Nield and Bejan, 2006).

1.2.3 Equação da Energia

A equação que expressa a primeira lei da termodinâmica aplicada à meios porosos é obtida tomando médias volumétricas da equação da energia aplicada à fase sólida e à fase fluida e unindo ambas equações.

Para o caso mais simples, onde o meio poroso é considerado isotrópico, os efeitos de radiação e dissipação viscosa são desprezados, e assumindo equilíbrio térmico local entre as fases, a equações da energia para a fase sólida pode ser escrita da seguinte forma:

(1 − φ)(ρc)s

∂Ts

∂t = (1 − φ) ∇ · (ks∇Ts) + (1 − φ) qs000 (1.2)

e a equação aplicada à fase fluida:

φ(ρcp)f

∂Tf

∂t + (ρcp)fu · ∇Tf = φ ∇ · (kf ∇Tf) + φ q000f (1.3)

Onde o subscrito s se refere à fase sólida e o subscrito f à fase fluida, c é o calor específico do sólido,cp é o calor específico à pressão constante do fluido, k é a condutividade térmica

eq000é geração de calor por unidade de volume.

Aplicando a condição de equilíbrio térmico, ou sejaTs=Tf =T se obtém:

(ρc)m∂T

∂t + (ρcp)fu · ∇T = ∇ · (km∇T ) + q000m (1.4)

(ρc)m = (1 − φ)(ρc)s+ φ(ρcp)f (1.5)

km = (1 − φ)ks + φkf (1.6)

q000_m = (1 − φ)q000s + φq000f (1.7)

1.2.4 Convecção Mista

Nos estudos iniciais de convecção em meios porosos, foi dada muita atenção à escoa-mentos induzidos pela força de empuxo, i.e. convecção natural, e à convecção forçada. A interação entre esses dois mecanismos não foi fortemente explorada inicialmente. Pesqui-sas inicias em convecção mista foram motivadas principalmente pelo desejo de entender o fluxo de água para cima, de reservatórios subterrâneos, devido ao empuxo causado por altas temperaturas (Lai et al., 1991).

O movimento de lençóis freáticos em reservatórios geotérmicos costeiros é controlado tanto pela concentração de sal quanto pelos gradientes de temperatura. Correntes de convec-ção induzida por esses gradientes de temperatura, na presença de resíduos líquidos, podem causar a migração destes resíduos a locais não desejados. Motivações para se estudar a convecção mista também vêm da necessidade de caracterizar o processo de transporte por convecção em reservatórios geológicos que servem para descartar lixo nuclear (Lai et al., 1991).

Analisando o caso mais simples de convecção natural em meios porosos, ou seja, o caso em que o fluido encontra-se em repouso, pode-se concluir, a partir da equação da quantidade de movimento, que se a massa específica do fluido depende somente da temperatura, a con-dição necessária para que haja equilíbrio é que o gradiente de temperatura seja vertical ou nulo. (Nield and Bejan, 2006).

Para que ocorra convecção natural em uma camada de fluido com gradiente de tempera-tura na direção vertical, é necessário que a força de empuxo, causada pela variação na massa específica devido ao gradiente vertical de temperatura, seja superior à força gravitacional.

aquecida por baixo, que representa o caso análogo àquele conhecido como o problema de Rayleigh-Bénard para meios porosos, foi inicialmente estudado por Horton and Rogers Jr (1945) e Lapwood (1948).

Posteriormente o problema conhecido agora como Problema de Darcy-Rayleigh-Bénard, que seria o análogo de Rayleigh-Bénard em meios porosos, foi expandido para casos con-siderando o fluido não mais em repouso. Prats (1966) Iniciou os estudos concon-siderando um movimento do fluido na horizontal.

A fim de se conhecer o início da Convecção natural pode-se aplicar uma análise que é conhecida como análise de estabilidade, para tal deve-se primeiramente conhecer a solução de repouso do problema, ou a solução base, onde o problema é ainda puramente condutivo. Possuindo a solução base de determinado sistema pode-se então partir para a investigação do início da convecção natural. O mesmo ocorre para um problema de convecção mista, primeiramente deve-se conhecer a solução estável do problema, onde está presente apenas a convecção forçada, e partir da mesma investigar o início do movimento secundário no escoamento, i.e. a convecção natural.

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR

A palavra estabilidade está presente na mecânica de maneira geral para caracterizar o equilíbrio de um corpo rígido. Onde o equilíbrio é chamado estável se o corpo retorna à sua posição original após ter sido ligeiramente tirado de sua posição de repouso. Se após ter sido tirado de sua posição de repouso o corpo se move a uma outra posição que não a de repouso inicial esse equilíbrio é chamado de instável (Hahn and Baartz, 1967).

De acordo com Lyapunov um dado sistema dinâmico não linear é estável em torno de uma solução base desse sistema se o modelo linearizado desse sistema é assintoticamente estável e esse sistema é instável em torno dessa solução base se o modelo linearizado desse sistema é instável.

Segundo Chandrasekhar (2013) instabilidade seria a incapacidade de um dado sistema físico manter seu padrão ao ser submetido à pequenas perturbações.

determinado sistema dinâmico transiciona de estável para instável, considerando que tal sis-tema é perturbado a partir de perturbações lineares.

O que em termos matemáticos significa escrever a solução do sistema na forma:

q(x, t ) = qb(x) + ²q0(x, t ) (1.8)

Ondeq é uma variável qualquer desse sistema,q_b é a solução estacionária, ou solução

base, desse sistema pra essa variável, q0 é a perturbação dessa variável e ² é a magnitude

dessa perturbação, sendo ² << 1. Ao se escrever as equações de governo dessa forma e tendo em conta queq_b é solução do problema e os termos de ordemO(²2)são desprezíveis, obtêm-se então as equações linearizadas para a perturbação.

Figura 1.3: Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente . A partir das equações linearizadas para a perturbação é possível analisar o comporta-mento dessas perturbações, seja no tempo ou no espaço. Para isso, de uma maneira geral, historicamente faz-se uso de uma análise modal.

1.3.1 Modos Normais

Tradicionalmente a instabilidade de escoamentos a partir de perturbações de baixa am-plitude tem sido analisada fazendo uso da abordagem modal.

A abordagem modal considera que uma perturbação qualquer pode ser escrita como uma superposição de ondas. Considerando um caso genérico bidimensional no qual a solução base depende apenas de uma direção espacial, sendo portanto homogênea na outra direção espacial e no tempo, a perturbação pode ser escrita como:

q(x, t ) = ˆq(x2) ei (αx1−ωt ) (1.9) Onde α é o número de onda da perturbação na direção paralela ao escoamento e ω a frequência da perturbação, ambos os valores são, a princípio, complexos.

Lembrando que toda exponencial complexa pode ser escrita de acordo com a Fórmula de Euler como uma combinação de funções senos e cossenos

ei (ax) =cos(a x) + isen(a x) (1.10) Tomando a como uma variável complexa genérica em alusão a αou a ω, a = ar+ i ai,

sendoi o número imaginário.

ei (ar+i ai) x _{= e}i (arx)_e−aix (1.11)

Percebe-se portanto que a parte real de a estaria relacionada com a parte oscilatória de ei (ax) na direção x, como demonstrado a partir da fórmula de Euler, enquanto que a parte

imaginaria dearepresenta a amplificação ou amortecimento deei (ax) em x.

Portanto, para o caso da perturbação escrita em termos de modos normais, a parte real de

αrepresenta o número de onda da perturbação em x e a parte imaginaria deαrepresenta a

taxa de amplificação da perturbação emx. O mesmo vale paraω, a parte imaginaria porém é

chamada de frequência oscilatória da perturbação no tempo e a parte real é chamada de taxa de amplificação temporal.

Quandoωr = 0diz-se que a perturbação é estacionária no tempo e quandoωi = 0diz-se

que a perturbação é neutramente estável no tempo, ou seja, não amplifica e nem amortece com o passar do tempo.

1.3.2 Local e Paralela

O termo local no que se refere à instabilidades, em oposição à global, em uma de suas definições presentes na literatura, está relacionado ao fato da instabilidade em questão ser re-lativa ao perfil de velocidade local ou ao campo de velocidade do escoamento inteiro (Huerre and Monkewitz, 1990).

A análise de estabilidade local trata tanto de escoamento paralelos quanto de escoamento que variam muito suavemente em uma direção. Diversos conceitos dentro da análise de estabilidade local, tais como instabilidades convectivas e absolutas, são usados a fim de intuir acerca de comportamentos encontrados em análise de estabilidade global.

Se perturbações localizadas se espalham a montante e a jusante e contaminam todo o escoamento pararelo, o perfil de velocidade é chamado de localmente absolutamente instá-vel. Se as perturbações, ao invés disso, crescem ao serem convectadas com o escoamento a partir de sua fonte, o perfil de velocidade é chamado de localmente convectivamente instável (Huerre and Monkewitz, 1990).

Figura 1.4: Linearmente Estável, Convectivamente Instável e Absolutamente Instável. Fonte: Barletta and Alves (2014)

A figura 1.4 esquematiza os diferentes tipos de instabilidade citados anteriormente. Essa figura pode ser descrita matematicamente.

SejaF (x, t )um pacote de ondas arbitrário que descreve a perturbação localizada de um

Linearmente Estável

lim_{t →∞}|F (x, t )|2= 0, ao longo de todo raio x_t = const ant e. Convectivamente Instável

x

t = const ant e, tal quelimt →∞|F (x, t )|2= ∞.

Absolutamente Instável

lim_{t →∞}|F (x, t )|2= ∞, ao longo de todo raio x_t = 0. 1.3.3 Instabilidade Convectiva

Como dito anteriormente, se uma dada perturbação cresce ao se propagar na direção do escoamento ao ser convectada pelo mesmo, essa perturbação recebe o nome de convectiva e o escoamento é chamado de convectivamente instável.

Como mostrado na equação 1.9, na análise de estabilidade a perturbação pode ser escrita em termos de modos normais, onde, a princípio, o número de ondaαe a frequênciaω são complexos.

A fim de se obter o início da instabilidade convectiva, ou seja a condição marginal de estabilidade de uma dada variável, lança-se mão da análise de estabilidade temporal.

A análise de estabilidade temporal é a base clássica da análise de estabilidade linear. Como o nome já diz, ela considera que que os modos apenas são complexos no tempo e que, portanto, os números de onda são reais (αi= 0, i.e.α ∈ R).

Como se está interessado em obter o início da instabilidade, ou o caso marginal, considera-se então que a parte imaginária da frequência é igualmente nula (ωi= 0).

1.3.4 Instabilidade Absoluta

Caso no escoamento esteja presente uma perturbação que cresce no tempo e no espaço, contaminando todo o escoamento paralelo, essa perturbação é dita absoluta e o escoamento recebe o nome de absolutamente instável.

A fim de se obter a transição de uma instabilidade convectiva para uma absoluta bem como os parâmetros críticos relativos à essa transição, a análise de estabilidade espacial deve ser levada adiante.

A análise de estabilidade espacial considera que apenas os números de onda da perturba-ção são complexos, logo considera que a frequênciaωé real (ωi = 0, i.e.ω ∈ R).

No presente trabalho apenas serão levadas em consideração as instabilidades convectivas 1.4 OBJETIVOS

Diversos estudos relacionados ao início da convecção natural em escoamentos estão pre-sentes na literatura. Os primeiros estudos relacionados ao inicio da instabilidade térmica são aqueles que foram desenvolvidos a partir do problema analisado por Rayleigh-Bénard, tam-bém conhecido como Convecção de Rayleigh-Bénard onde o início da convecção em uma camada de fluido em repouso aquecida por baixo é analisado (Bénard, 1901). Drazin and Reid (2004) em seu livro analisa o problema similar porém com diferentes configurações de fronteiras da camada de fluido. Chandrasekhar (2013) em seu livro, além de apresentar a teoria da instabilidade térmica de Rayleigh-Bénard, apresenta o resultados de outros efei-tos associados a este problema, como por exemplo a presença de rotação ou de um campo magnético.

Uma variante do problema clássico de Rayleigh-Bénard do estudo de convecção em ca-madas de fluidos livre, é o problema de Darcy-Bénard, nome este que faz referência aos pioneiros do estudo de escoamentos em meios porosos e de convecção em camadas de flui-dos, respectivamente (Barletta, 2010). Os pioneiros neste tipo de análise foram Horton and Rogers Jr (1945) e Lapwood (1948). Novas variações do estudo do problema de Darcy-Bernard vêm sendo estudadas, onde por exemplo ao invés de se considerar uma camada de fluido em repouso, analisa-se o fluido em movimento, o pioneiro deste tipo de análise foi Prats (1966).

Mais recentemente pesquisadores vêm desenvolvendo estudos ainda neste campo de co-nhecimento, considerando, porém, diferentes configurações de escoamento, bem como suas causas de aquecimento. Nield (1991) analisou um escoamento em meio poroso com um gra-diente inclinado de temperatura. Barletta (2012) analisou um escoamento em meio poroso submetido a fluxos de calor simétricos em suas paredes inferior e superior. Sphaier and Bar-letta (2014) analisaram a convecção mista de um escoamento em meio poroso aquecido por

baixo e isolado termicamente na parede superior.

Outras variantes que vêm sendo estudadas são relativas ao tipo de fluido, onde diferentes modelos de fluidos não-newtonianos são levados em consideração, como por exemplo o es-tudo feito por Alves and Barletta (2013) onde o modelo de fluido não-newtoniano conhecido como power-law é analisado. E ainda relativos à causa da instabilidade, como por exem-plo no estudo desenvolvido por Barletta et al. (2009) em que se analisa a dissipação viscosa como sendo o mecanismo gerador de instabilidade.

A análise de estabilidade térmica pode apresentar resultados de suma importância rela-tivos ao comportamento de determinado escoamento devido à influência do aporte de calor e/ou da troca de calor do mesmo com o ambiente externo, é portanto igualmente importante que as análises sejam capazes de reproduzir o mais fielmente possível acontecimentos reais. Sabe-se que o isolamento térmico perfeito não é possível de ser obtido, visto que uma troca de calor por convecção, ainda que pequena, sempre ocorrerá. Por isso o presente trabalho se propõe a analisar dois casos, um primeiro onde é considerado um escoamento em meio poroso aquecido por baixo e isolado termicamente na parede superior com geração de energia interna, e um segundo caso similar onde se leva em conta a troca de calor por convecção ao invés do isolamento na parede superior, e então confrontar ambos os casos, sabendo que o segundo caso tende assintoticamente ao primeiro à medida que a troca de calor por convecção tende a zero.

O primeiro caso aqui estudado é uma extensão do trabalho desenvolvido por Sphaier and Barletta (2014) onde inclui-se a geração de energia interna ao mesmo. Resultados prelimina-res deste primeiro caso foram publicados no periódico Transport in Porous Media e podem ser encontrados em Celli et al. (2016). Os resultados do estudo do segundo caso estão presen-tes no artigo intitulado "Convective instability induced by internal and external heating in a fluid saturated porous medium" submetido ao periódico internacional International Journal of Heat and Mass Transfer.

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

Um escoamento em meio poroso é analisado, considerando aqui o modelo de Darcy. A aproximação de Oberbeck-Boussinesq é empregada a fim de modelar a força de empuxo na equação de conservação de quantidade de movimento, a equação de Darcy.

As equações de governo para esse problema são as equações de conservação da massa ou equação da continuidade, equação de conservação de quantidade de movimento e equação de conservação da energia. E podem ser escritas na forma dimensional da seguinte forma:

∇ · u = 0 (2.1a) µ Ku = −∇p + ρ g (2.1b) (ρc)m∂T ∂t + (ρc)f u · ∇T = km∇ 2 T + q000 (2.1c) 2.1 CASO 1

O primeiro caso a ser considerado é o de um escoamento em um canal poroso aquecido por baixo por um fluxo de calor constante e isolado termicamente na parte superior. As paredes superior e inferior são impermeáveis. Sólido e fluido são homogêneos e é assumida a hipótese de equilíbrio térmico local. O gradiente de pressão imposto na direção horizontal, bem como a força de empuxo, originam o escoamento base.

g

0

z

x

Q

w

=

0 -k

∂

T

∂

z

=

0

w

=

0 -k

∂

T

∂

z

=

q

''

Figura 2.1: Esquema Caso 1: escoamento em meio poroso com geração de energia interna, aquecido por baixo isolado em cima.

2.1.1 Equações de Governo

As equações de governo na forma dimensional são aquelas dadas por 2.1 sendo as con-dições de contorno dadas por:

z = 0 : w = 0, −k∂T

∂z = ˙q000 (2.2a)

z = 1 : w = 0, ∂T

∂z = 0 (2.2b)

As equações de governo 2.1 podem ser escritas da forma adimensional da seguinte forma:

∇ · u = 0 (2.3a) ∇ × u = ∇ × (T ˆez) (2.3b) ∂T ∂t + u · ∇T = ∇ 2 T +Q (2.3c)

Onde o operador Rotacional foi aplicado na lei de Darcy na equação adimensionalizada a fim de simplificar a análise.

As condições de contorno adimensionais são escritas então como:

z = 0 : w = 0, ∂T

∂z = −R (2.4a)

z = 1 : w = 0, ∂T

∂z = 0 (2.4b)

Onde a velocidade é representada poru = (u, v, w), o tempo port, e a temperatura porT. As

variáveis e os parâmetros adimensionais, tais como a geração interna de calorQ e o número

de Darcy-RayleighR, são definidos como:

x =x ∗ H, t = t ∗ α σ H2, u = u∗H α , T = (T∗− T0) gβK H να , (2.5) Q = q000 gβK H 3 (ρc)fα2ν , R =gβ ˙q 00 0K H2 ναk (2.6)

Onde os símbolos com asterisco se referem às coordenadas dimensionais, o subscrito f se

refere à variáveis relativas ao fluido,Hé a altura do canal,αé a difusividade térmica média, T0é a temperatura média do fluido dentro do canal,g é representa a magnitude da aceleração gravitacional g, β é o coeficiente de expansão térmica do fluido,K é a permeabilidade do

meio poroso,νé a viscosidade cinemática do fluido,q000é a amplitude da geração interna de

calor,ρ é a densidade,c é o calor específico ek é a condutividade térmica média. σ

repre-senta a razão entre a capacidade térmica média volumétrica do meio poroso e a capacidade térmica volumétrica do fluido.

2.1.2 Solução Base

A definição do estado base de um sistema em análise é o ponto de partida para qual-quer problema de análise de estabilidade. Neste caso o escoamento horizontal pode ser decomposto em dois componentes, um componente devido ao gradiente de pressão e um outro componente devido à força de empuxo. O componente da força de empuxo é devido à geração de calor interna e ao fluxo de calor imposto na parede inferior. O termo relativo ao componente de empuxo depende da direção z, i.e. a única direção não homogênea do

escoamento. A solução base é obtida a partir das equações 2.3 e 2.4. ub= 2 Pe2+ (Q + R)(1 − 2z) 2Pe ˆex (2.7) ∇Tb=Q + R Pe ˆex+ · R −(Q + R) 2_z 2Pe2 ¸ (z − 1)ˆez (2.8)

Onde o número de RayleighRé assumido positivo, o que significa que o escoamento está

sendo aquecido por baixo. E o adimensionalQ também é assumido positivo, o que significa

uma geração de calor interna.

A solução base demonstra que uma solução estacionária somente é possível na presença de um escoamento horizontal, ou seja para valores dePe diferentes de zero. O número de

Péclet é definido como Pe = U0H /α ondeU0 é a velocidade base devida ao gradiente de pressão imposto. CasoPe seja nulo, existirá uma acumulação de energia interna crescente

no tempo de tal forma que uma solução estacionária não é possível. O escoamento horizontal convecta energia suficiente à jusante de modo a balancear a geração de energia, o que faz com que seja possível a existência de estado estacionário.

2.1.3 Perturbações

As soluções bases são então perturbadas a fim de se desenvolver uma análise de estabili-dade linear. Considera-se perturbações infinitesimais e pode-se escrever da seguinte forma:

u = ub+ ²U , T = Tb+ ²θ (2.9)

ondeU = (U ,V ,W ) e² responsável por representar a amplitude da perturbação, sendo ² << 1. Então 2.3 se torna:

∇ · ub+ ∇ · ²U = 0 (2.10a)

∇ × ub+ ∇ × ²U = ∇ × (Tbˆez) + ∇ × (²θ ˆez) (2.10b)

∂Tb ∂t + ∂²θ ∂t + ub · ∇Tb+ ub · ∇²θ + ²U · ∇Tb+ ²U · ∇²θ = ∇ 2 T + ∇2²θ +Q (2.10c) Linearização

Como² << 1, os termos não lineares, ou sejaO(²2), nas equações de governo perturbadas são desprezados. Além disso os termos que juntos recuperam a solução base do problema, lembrando que a solução base é independente do tempo, são também nulos pois satisfazerem as equações. Logo as equações 2.3 perturbadas e linearizadas se tornam:

∇ ·U = 0 (2.11a) ∇ ×U = ∇ × (θ ˆez) (2.11b) ∂θ ∂t + ub· ∇θ +U · ∇Tb= ∇ 2_{θ (2.11c)} Abrindo as equações: ∂U ∂x + ∂V ∂y + ∂W ∂z = 0 (2.12a) −∂V ∂z + ∂W ∂y = ∂θ ∂y (2.12b) ∂U ∂z − ∂W ∂x = − ∂θ ∂x (2.12c) −∂U ∂y + ∂V ∂x = 0 (2.12d) U∂Tb ∂x + W ∂Tb ∂z + ∂θ ∂t + ub ∂θ ∂x = ∂2_θ ∂x2+ ∂2_θ ∂y2+ ∂2_θ ∂z2 (2.12e)

Modos Normais

Considera-se então que as perturbações possuem um comportamento modal, e assume-se que esassume-ses modos normais têm um comportamento periódico, a princípio, nas direções homogêneasxe ye no tempot.

U = Un(z)ei (αx+βy−ωt) (2.13)

V = Vn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.14)

W = Wn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.15)

θ = θn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.16)

Ondeα, βe ωsão variáveis complexas, sendo portanto decompostas entre parte real e imaginária, ou sejaα = αr+ i αi, β = βr+ i βi eω = ωr+ i ωi. Aquiαr eβr representam os

números de onda eαi eβi a taxa de crescimento espacial nas direçõesxey,ωr representa a

frequência angular eωi a taxa de crescimento temporal. Substituindo então as perturbações

nas equações 2.12 e reorganizando tudo em termos de apenas 2 variáveis, tem-se:

W_n00− (α2+ β2)(Wn− θn) = 0 (2.17a) θ00 n+ (i ω − i αub− α2− β2)θn− Wn∂Tb ∂z − iα α2_{+ β}2W 0 n ∂Tb ∂x = 0 (2.17b) z = 0,1 : Wn= 0, θ0n= 0 (2.17c)

O resultado é o que é conhecido como relação de dispersão, que é o sistema de equações diferenciais complexas que representam a dispersão das ondas de perturbação, cujas variá-veis sãoWn e θn, onde os apóstrofos representam as derivadas em relação à direção não

representadas porWneθn e os autovaloresω,αouβdependendo do tipo de análise levada adiante. 2.2 CASO 2

g

0

z

x

Q

w

=

0 -k

∂

T

∂

z

=

h(T

-

T

)

w

=

0 -k

∂

T

∂

z

=

q

''

Figura 2.2: Esquema Caso 2: escoamento em meio poroso com geração de energia interna, aquecido uniformemente por baixo e trocando calor por convecção na parede superior.

O segundo caso a ser considerado trata de um escoamento em um canal poroso aquecido por baixo por um fluxo de calor constante e trocando calor por convecção na parede supe-rior. As paredes superior e inferior são impermeáveis. Sólido e fluido são homogêneos e é assumida a hipótese de equilíbrio térmico local assim como no caso anterior. O gradiente de pressão imposto na direção horizontal origina o escoamento base.

2.2.1 Equações de Governo

As equações de governo deste caso na forma dimensional são as mesmas do Caso 1 e podem ser vistas em 2.1, sendo as condições de contorno dadas por:

z = 0 : w = 0, −k∂T

∂z = ˙q000 (2.18a)

z = 1 : w = 0, −k∂T

As equações de governo 2.1 podem ser escritas da forma adimensional para o Caso 2 da seguinte forma: ∇ · u = 0 (2.19a) ∇ × u = R ∇ × (T ˆez) (2.19b) ∂T ∂t + u · ∇T = ∇ 2 T +Q (2.19c)

Onde o operador Rotacional foi aplicado na lei de Darcy na equação adimensionalizada a fim de simplificar a análise.

As condições de contorno adimensionais são escritas então como:

z = 0 : w = 0, ∂T

∂z = −1 (2.20a)

z = 1 : w = 0, ∂T

∂z + BT = 0 (2.20b)

Onde a velocidade é representada poru = (u, v, w), o tempo port, e a temperatura porT. As

variáveis e os parâmetros adimensionais, tais como a geração interna de calorQ e o número

de Darcy-RayleighR, são definidos como:

x =x ∗ H, t = t ∗ α σ H2, u = u∗H α , T = (T∗− Ts) k ˙ q00 0H , (2.21) B =hH k , Q = q000H ˙ q₀00 , R = gβ ˙q₀00K H2 ναk (2.22)

Onde os símbolos com asterisco se referem às coordenadas dimensionais, o subscrito f se

refere à variáveis relativas ao fluido,Hé a altura do canal,αé a difusividade térmica média, g é representa a magnitude da aceleração gravitacional g, β é o coeficiente de expansão

térmica do fluido, K é a permeabilidade do meio poroso, ν é a viscosidade cinemática do

ek é a condutividade térmica média. σrepresenta a razão entre a capacidade térmica média

volumétrica do meio poroso e a capacidade térmica volumétrica do fluido. 2.2.2 Solução Base

A definição do estado base de um sistema em análise é o ponto de partida para qualquer problema de análise de estabilidade. Neste caso o escoamento horizontal é devido unica-mente ao gradiente de pressão imposto, a solução é obtida através da resolução das equações 2.19 e 2.20. ub= Pe (2.23) Tb= Q 2 + 1 + Q + 1 B − z − Q 2z 2 _(2.24)

Onde o número de RayleighRé assumido positivo, o que significa que o escoamento está

sendo aquecido por baixo, o adimensionalQ também é assumido positivo, o que significa

uma geração de calor interna e o número de BiotB também é positivo, o que significa perda

de energia através da troca de calor por convecção na parede superior.

A solução base demonstra que uma solução estacionária somente é possível no caso de

B > 0pelo fato de que no limite de B → 0 a solução da temperatura vai ao infinito. Nesse

limite a parede superior se torna adiabática e retorna-se ao Caso 1. O número de Péclet é o mesmo definido para o Caso 1.

2.2.3 Perturbações

As soluções bases são então perturbadas, do mesmo modo que foi feito com as equações para o Caso 1, a fim de se desenvolver uma análise de estabilidade linear. Consideram-se perturbações infinitesimais.

ondeU = (U ,V ,W ) e² responsável por representar a amplitude da perturbação, sendo ² << 1. Então 2.19 se torna:

∇ · ub+ ∇ · ²U = 0 (2.26a)

∇ × ub+ ∇ × ²U = R ∇ × (Tbˆez) + R ∇ × (²θ ˆez) (2.26b)

∂Tb ∂t + ∂²θ ∂t + ub · ∇Tb+ ub · ∇²θ + ²U · ∇Tb+ ²U · ∇²θ = ∇ 2 T + ∇2²θ +Q (2.26c) Linearização

Como² << 1, os termosO(²2)nas equações de governo perturbadas são desconsiderados. Além disso os termos que juntos recuperam a solução base do problema, lembrando que a solução base é independente do tempo, são também nulos pois satisfazerem as equações. Logo as equações 2.19 perturbadas e linearizadas se tornam:

∇ ·U = 0 (2.27a) ∇ ×U = R, ∇ × (θ ˆez) (2.27b) ∂θ ∂t + ub· ∇θ +U · ∇Tb= ∇ 2_{θ (2.27c)} Abrindo as equações:

∂U ∂x + ∂V ∂y + ∂W ∂z = 0 (2.28a) −∂V ∂z + ∂W ∂y = R ∂θ ∂y (2.28b) ∂U ∂z − ∂W ∂x = −R ∂θ ∂x (2.28c) −∂U ∂y + ∂V ∂x = 0 (2.28d) U∂Tb ∂x + W ∂Tb ∂z + ∂θ ∂t + ub ∂θ ∂x = ∂2_θ ∂x2+ ∂2_θ ∂y2+ ∂2_θ ∂z2 (2.28e) Modos Normais

Considera-se então que as perturbações possuem um comportamento modal, e assume-se que esassume-ses modos normais têm um comportamento periódico, a princípio, nas direções homogêneasxe ye no tempot.

U = Un(z)ei (αx+βy−ωt) (2.29)

V = Vn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.30)

W = Wn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.31)

θ = θn(z)ei (αx+βy−ωt) (2.32)

Analogamente ao Caso 1,α,βeωsão variáveis complexas, sendo portanto decompostas entre parte real e imaginária, ou sejaα = αr+ i αi,β = βr+ i βi eω = ωr+ i ωi. Aquiαr eβr

representam os números de onda eαi eβi a taxa de crescimento espacial nas direçõesxey,

ωr representa a frequência angular eωi a taxa de crescimento temporal. Substituindo então

W_n00− (α2+ β2)(Wn− θn) = 0 (2.33a)

θ00

n+ (i ω − i α ub− α2− β2)θn− Wn∂Tb

∂z = 0 (2.33b)

As condições de contorno para o Caso 2, são também diferente daquelas consideradas no Caso 1, e podem ser escritas como:

Wn(0) = 0, Wn(1) = 0 (2.34)

θ0

n(0) = 0, θn0(1) + B θn(1) = 0 (2.35)

O resultado, analogamente ao Caso 1, é conhecido como relação de dispersão, que é o sistema de equações diferenciais complexas que representam a dispersão das ondas de per-turbação. Que ao mesmo tempo é também um problema de autovalores, onde as autofunções são representadas porWn eθn e os autovaloresω,αouβdependendo do tipo de análise

le-vada adiante. O problema de autovalores pode ser resolvido de diferentes formas, a maneira aqui explorada, que será explicada no próximo capítulo, é conhecida como método do tiro.

3 METODOLOGIA

O método numérico empregado a fim de se resolver as relações da dispersão é o método conhecido como método do tiro. Este método consiste em transformar um problema de valor de contorno, que é o caso das presentes equações, em um problema de valor inicial, impondo novas constantes como condições iniciais adicionais deste novo problema, utilizando um método de marcha para marchar de um contorno a outro e então através de um método de busca de raízes se encontra o valor ideal dessas novas condições iniciais definidas.

3.1 CASO 1

Pode-se reescrever as equações 2.17 com base em um novo número de onda k onde α = kcos(φ)eβ = ksen(φ), ou sejak2= α2+ β2.

3.1.1 Análise Assintótica

Observou-se que as equações da relação da dispersão para o Caso 1 possuíam uma so-lução analítica se analisadas no regime assintótico em quek → 0. Para isso se reescalou a

autofunçãoWn da seguinte forma: Wn → ˆWn/k. O número de Rayleigh R, a velocidade

de fasec = ω/k e as autofunçõesWˆn eθn são escritas como séries expandidas em torno do

número de ondak. R = R0+ k2R2+ k4R4+ · · · + k2nR2n (3.1) c = c0+ k2c2+ k4c4+ · · · + k2nc2n (3.2) ˆ Wn= ˆWn,0+ k ˆWn,1+ k2Wˆn,2+ · · · + knWˆn,n (3.3) θn= θn,0+ kθn,1+ k2θn,2+ · · · + knθn,n (3.4)

Substituindo as 3.4 em 2.17 a resultante será um sistema de equações diferenciais de diferentes ordens emk. As equações de ordem0e1emk resultam emWˆn,0= 0,Wˆn,1= 0e

θn,0= 1. Da equações de segunda ordem emk se pode concluir que

5Pe2(24 − R0) + 2(Q + R0)2cos2(φ) + (Q + R0)2= 0 (3.5)

Onde as raízes deR0são dadas por

R0= 5Pe2− 2Q¡cos(2φ) + 2¢ ± q 5Pe2_£5Pe2_{− 4 (Q + 24)}¡ cos(2φ) + 2¢¤ 2¡ cos(2φ) + 2¢ (3.6)

A condição para que exista valor real paraR0é que o argumento da raiz da equação deR0 seja positivo. Caso não seja, significará que a não existe um valor de Rayleigh para número de ondaαigual a zero, o que significa que a curva de estabilidade marginal (Rxα) não toca

o eixo das ordenadas.

Resolvendo-se a equação 3.6 serão obtidos dois resultados para R0, um representará o valor inferior e o outro o valor superior de Rayleigh relativo ao encontro da curva marginal com o eixo das ordenadas.

3.1.2 Instabilidades Convectivas

Quando se deseja obter o início da instabilidade convectiva lança-se mão de uma análise temporal, que quer dizer que o número de ondaαé tratado como sendo real. A frequência

ωé tratada ainda como sendo uma variável complexa, porém como se está interessado no início da instabilidade, o que se busca é o limiar entre estabilidade e instabilidade, ou seja, a condição na qual a taxa de crescimento é nula(ωi = 0).

Desta forma o problema de autovalor resultante é aquele representado por 2.17, sendo

Wneθnas autofunções do problema eωo seu autovalor, que será obtidos atavés da solução

do problema para cada número de ondaαprescrito.

ro-tina no programa de computador Wolfram Mathematica. Como o problema foi transformado em um problema de valor inicial, as condições de contorno emz = 1foram desconsideradas

e foram então impostas novas condições iniciais (z = 0).

W_n0_{(0) =}Cr+ iCi, θn(0) = 1 (3.7)

Onde Cr e Ci são parâmetros reais a serem determinados e a condição inicial para a

autofunçãoθn foi imposta a fim de se fixar a escala das autofunções Wn e θn. O sistema

de equações diferenciais é então resolvido através da função NDSolve, que trata de resolver numericamente equações diferenciais ordinárias, presente no software Mathematica com as novas condições impostas emz = 0.

As duas condições impostas, até então desconhecidas, podem ser encontradas agora jun-tamente de ω e do número de Rayleigh (R) através da função FindRoot do Mathematica,

que possui programado internamente diferentes algoritmos de encontrar zeros de funções. A partir disso é possível obter o número de Rayleigh (R) associado a cada número de onda (α)

da perturbação e então através da curva de estabilidade neutra (R xα) obter o valor crítico

de Rayleigh para uma dada combinação de parâmetros (Pe eQ).

3.2 CASO 2

3.2.1 Transformação de Squire

Sem nenhuma perda de generalidade é possível aplicar a transformação de Squire à esse problema a fim de simplificar a resolução do mesmo. A transformação de Squire transforma o atual problema 3D em um 2D equivalente. Aplicando a transformação k2 = α2+ β2 e

kP = α Pe nas equações 2.33, onde P é o número de Peclèt modificado e k é o número

de onda modificado. Dessa forma somente modos transversais serão calculados, o que não é um problema visto que os modos longitudinais podem ser recuperados revertendo-se a transformação.

3.2.2 Princípio da Troca de Estabilidades

O princípio conhecido como "princípio da troca de estabilidades"(em tradução livre do inglês principle of exchange of stabilities) afirma que as primeiras perturbações instáveis são estacionárias, ou seja possuem a parte real da frequênciaωnula (ω = 0).

A relação da dispersão representada pelo sistema de equações 2.33a e 2.33b pode ser sintetizado em uma única equação. Escreve-se θn em função de Wn a partir da equação

2.33a e substitui-se na equação 2.33b, o resultado será uma única equação comWn como

autofunção. (i kP+ k2− i ω) µ Wn(z) R − W_n00(z) k2_R ¶ − Wn(z) − Q z Wn(z) − Ã W_n00(z) R − Wn(4)(z) k2_R ! = 0 (3.8)

Essa equação é então multiplicada porW_n∗(z), que é o complexo conjugado da

autofun-çãoWn(z), e integrada no domínio da direção não homogêneaz.

(i kP+ k2− i ω) µZ 1 0 Wn(z)Wn∗(z) dz + 1 k2 Z 1 0 W_n0(z)W_n∗0(z) dz ¶ − R Z 1 0 Wn(z)Wn∗(z) dz − R Q Z 1 0 z Wn(z)Wn∗(z) dz + Z 1 0 W_n0(z)W_n∗0(z)dz + 1 k2 µZ 1 0 W_n00(z)W_n∗00(z) dz − Wn∗0(z)Wn00(z) ¯ ¯ ¯ 1 0 ¶ = 0 (3.9)

As condições de contorno paraW_n∗(z)são análogas àquelas para Wn. Como o produto

entre uma função e o seu complexo conjugado é sempre um número positivo, todas as inte-grais contendo tais produtos são número positivos por definição. A princípio, o termo repre-sentado porW_n∗0(z)W_n00(z)

¯ ¯ ¯ 1

0 é complexo, ou seja, pode assumir tantos valores reais quanto valores imaginários, porém foi verificado numericamente que esse termo assume somente valores reais. Consequentemente, a parte imaginária da equação 3.9 é escrita como:

(krP− ωr) µZ 1 0 Wn(z)Wn∗(z) dz + 1 k2_r Z 1 0 W_n0(z)W_n∗0(z) dz ¶ = 0 (3.10)

Onde os subscritosr ei significam real e imaginário, respectivamente. Assumindo que Wn é não nulo, a equação 3.10 só pode ser satisfeita se

ωr = krP= αrPe (3.11)

O que significa que todos modos transversais e oblíquos possuem velocidade de fasec

(c = ω/α) constante, para um número de PecletPe constante, e que todos os modos

longitu-dinais são estacionários. Por outro lado, a parte real da equação 3.9 considerandoωi = 0 é

escrita como: (R − kr2) Z 1 0 wn(z) wn∗(z) dz + R Q Z 1 0 z wn(z) wn∗(z) dz − 2 Z 1 0 w_n0(z) w_n∗0(z)dz − 1 kr2 µZ 1 0 W_n00(z)W_n∗00(z) dz − Wn∗0(z)Wn00(z) ¯ ¯ ¯ 1 0 ¶ = 0 (3.12)

O que implica que R é independente de P. Considerando c1, c2, c3 e c4 como os co-eficientes representando as três integrais consecutivas na equação 3.12 e a união da última integral com o termoW∗0

n (z)Wn00(z) ¯ ¯ ¯ 1 0, é possível escrever: R = c4+ 2 c3k 2 r+ c1k4r (c1+ c2Q) kr2 (3.13) Onde os mínimos(k_rc, Rc), conhecidos como os pontos críticos que representam o início

da instabilidade convectiva, são dados por:

k_rc = 4 r c4 c1 (3.14a) Rc = 2 c3+pc1c4 c1+ c2Q (3.14b)

O que significa queRc tende a zero quandoQ se torna suficientemente grande, uma vez que

os coeficientesc1,c2, c3ec4devem depender fortemente deB e fracamente deQ. Portanto Q é muito provavelmente um parâmetro desestabilizador. A mesma tendência que se observa

paraRc pode ser observada também paraR, exceto em casos ondekr é muito pequeno onde

a equação 3.13 pode ser aproximada como

R ' c4

(c1+ c2Q) kr2

+ 2 c3

c1+ c2Q

+ O(k2r) , (3.15)

ou em casos ondekr é muito grande onde a equação 3.13 pode ser aproximada por

R ' c1k 2 r c1+ c2Q + 2 c3 c1+ c2Q + O(k−2r ) (3.16)

Tais resultados são validos paraB > 0, onde um valor muito pequeno, mas não nulo, de B representa um isolamento imperfeito na parede superior.

3.2.3 Instabilidades Convectivas

Da mesma forma que foi feita para o Caso 1, considera-se um problema temporal onde

α assume um valor real e ω um valor complexo, onde o que se busca é o limiar entre a ocorrência ou não da instabilidade, ou seja, a condição na qual a taxa de crescimento é nula(ωi = 0).

Desta forma o problema de autovalor resultante será aquele representado por 2.33, sendo

Wn eθn as autofunções do problema eωo autovalor.

A fim de se resolver o sistema de equações diferenciais de 2.33 foi desenvolvida uma rotina no programa de computador Wolfram Mathematica seguindo o mesmo raciocínio da-quela desenvolvida para resolver o Caso 1, porém ligeiramente diferente visto que as condi-ções de contorno são outras e a solução base também. Como o problema foi transformado em um problema de valor inicial, as condições de contorno emz = 1foram desconsideradas

W_n0(0) =Cr+ iCi, θn(0) = 1 (3.17)

Onde Cr e Ci são parâmetros reais a serem determinados de modo que as condições

de contorno originais emz = 1 sejam satisfeitas, e a condição inicial para a autofunçãoθn

foi imposta a fim de se fixar a escala das autofunções Wn e θn. O sistema de equações

diferenciais é então resolvido através da função NDSolve presente no software Mathematica com as novas condições impostas emz = 0.

As duas condições impostas, até então desconhecidas, podem ser encontradas agora jun-tamente de ω e do número de Rayleigh (R) através da função FindRoot do Mathematica.

A partir disso é possível obter o número de Rayleigh (R) associado a cada número de onda

(α) da perturbação e então através da curva marginal (Rxα) obter o valor crítico de Rayleigh

4 RESULTADOS

Primeiramente serão apresentados os resultados de algumas validações que foram feitas a fim de se verificar a metodologia numérica. Em seguida serão apresentados os resulta-dos da análise de estabilidade propriamente através das curvas de estabilidade marginal, e posteriormente através das curvas relativas ao pontos críticos para dada combinação de pa-râmetros. Os resultados da correlação aproximada proposta e levada adiante também serão apresentados nesse capítulo. E por fim serão confrontados as isolinhas de função corrente e temperatura referentes aos casos 1 e 2 para semelhantes configurações de parâmetros no caso em que o número de Biot tende a zero, onde em teoria o problema se tornaria termicamente isolado.

4.1 VERIFICAÇÃO

A metodologia numérica foi validada de maneira diferente para ambos os casos. consi-derando o Caso 1, é possível observar na tabela 4.1 a comparação do resultado numérico e aquele obtido através da aproximação assintótica pro caso em que o número de onda tende a zero. Para a combinação de parâmetros analisadas, a curva marginal apresenta o aspecto de um C invertido, assim sendo, existem dois pontos em que a curva toca o eixo para número de onda nulo. Por isso pode-se observar que ambos valores são verificados e apresentam uma considerável semelhança.

Tabela 4.1: Comparação entre os resultados obtidos numericamente e analiticamente para o caso de kr → 0, considerandoQ = 1 e φ = π/2. Como a curva marginal de

Rxkr apresenta, para algumas combinações de parâmetros, dois valores de R

para kr = 0, os subscritos i e s se referem aos valores inferiores e superiores,

respectivamente.

Ri Rs

Pe Numérico Analítico Numérico Analítico

5 33.549150 33.549150 89.450850 89.450850 6 29.000000 29.000000 149.00000 149.00000 7 27.259616 27.259616 215.74038 215.74038 8 26.335008 26.335008 291.66499 291.66499 9 25.769382 25.769382 377.23062 377.23062 10 25.393202 25.393202 472.60680 472.60680

Considerando o segundo caso, os resultados numéricos do presente trabalho foram veri-ficados com resultados já presentes na literatura, e é possível observar na tabela 4.2 que os resultados convergem razoavelmente.

Tabela 4.2: Comparação entre os resultados obtidos numericamente através do método do tiro e os resultados encontrados na literatura Alves and Barletta (2013) para o início da instabilidade convectiva.

kr R (Alves and Barletta (2013)) R

1.152254 40.46992 40.46978 1.603469 30.42835 30.42823 3.592764 31.64865 31.64847 4.860074 41.64435 41.64409 5.810938 51.64392 51.64358 6.617453 61.64381 61.64339 7.333037 71.64377 71.64326 7.983780 81.64376 81.64316 8.585012 91.64375 91.64307

4.2 CURVASMARGINAIS

Na análise de estabilidade, as curvas marginais são aquelas em que estão representadas a estabilidade marginal de determinado problema, ou seja, a iminência de um sistema passar de uma configuração estável para instável. Em geral essa condição de estabilidade é repre-sentada através de uma curva tendo como variável no eixo das ordenadas um parâmetro de controle e no eixo das abscissas o número de onda.

Q = 0

Q = 10

Q = 20

Q = 30

Q = 35

k

R

Figura 4.1: Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 7eφ =π₂

As figuras 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 são referentes ao primeiro caso onde as duas primeiras se referem ao caso longitudinal e as duas últimas ao transversal, e representam a estabilidade marginal para diferentes valores de Q. Foi verificado que os modos longitudinais são os

mais instáveis para o caso 1, isto é, transicionam de uma configuração estável para uma configuração instável para um valor menor deR.

Q = 0

Q = 35

Q = 150

Q = 200

Q = 250

k

R

Figura 4.2: Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 12eφ =π₂

Q = 0 Q = 2 Q = 4 Q = 5 Q = 6 1 2 3 4 5 6 7 0 50 100 150 200 250

k

R

Figura 4.3: CCurvas Marginais Caso 1 paraPe = 7eφ = 0

No segundo caso estudado, foi verificado que não existe uma dependência de Pe na es-tabilidade marginal, dependência esta que se manifesta somente na frequência de oscilação das perturbações. Além disso, os modos longitudinais, transversais e oblíquos se manifes-tam igualmente, não sendo necessário portanto diferenciação quanto à direção do modo. Estão representadas pelas figuras 4.5 e 4.6 dois casos de estabilidade marginal considerando

Q = 0 Q = 35 Q = 125 Q = 200 Q = 230 2 4 6 8 10 12 14 16 0 200 400 600 800

k

R

Figura 4.4: Curvas Marginais Caso 1 paraPe = 12eφ = 0

dois diferentes número de Biot e em cada curva diferentes valores para a geração de energia internaQ. Q = 0 Q = 100 Q = 101 Q = 103 0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 50 60

k

R

Q = 0 Q = 100 Q = 101 Q = 103 0 1 2 3 4 5 6 7 0 10 20 30 40 50 60

k

R