Propagação de fluidos em meios porosos

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ÀLISSON MARQUES DE MIRANDA

PROPAGAÇÃO DE FLUIDOS EM MEIOS POROSOS

Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação em Fisica Aplicada, para obtenção do título de Magister

Scientiae.

APROVADA: 16 de dezembro de 2008.

Prof. Silvio da Costa Pereira Junior (coorientador)

Prof. Marcio Santos Rocha

Prof. José Guilherme M. A Moreira

Prof. Oscar Nassif de Mesquita

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β H

δ

(10)

(11)

δ

(12)

α

H

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

bx x by y

d= 2

h=f(x)

h

W

(19)

x bx y by

W = f(L) L bx

W by

byW =f(bxL),

L

f(L) =Lα_.

(20)

α

(21)

¯_h

¯

h≡ 1

L

i=1

h(i, t),

h(i, t) i t

W(L, t)≡

1 L L i=1

[h(i, t)−h¯(t)]2.

W(L, t)∼tβ [t≪tx],

(22)

Wsat

tx

L Wsat

Wsat L

(23)

(24)

α

tx

tx∼Lz,

z W Lα t Lz W Lα t Lz

W =Lα_f

t Lz

,

f(x)∼ xβ _x_≪ ₁

f(x) =constante x≫1

β α z W ∼Lα

t→tx W ∼txβ t→ tx W(t)

Lβz _∼_Lα

z ≡ α

β,

(25)

hi =h(xi) β

W(β) = 1

L L−ǫ i=ǫ 1 2β+ 1

i+ǫ

j=i−ǫ

(h(xj)− hi)2,

hi=

1 2β+ 1

i+ǫ

j=i−ǫ

h(xj),

i

β < L

W(β)∼βH,

H 0< H <1

h(x)

k−H_h₍_kx₎ _k

H

q q

Cq(β) =

1

L

i=1

(26)

Hq

Cq(β, t≫ξz)∼βqHq

Hq q

tx Wsat

L = ∞

i

(27)

ξ

ξ∼t

1

z [t≪ t_x],

ξ L ξ = L

ξ⊥

W(L, t)

(28)

Ld

(29)

α

W(t)∼t12 β = 1

2

β = 1₂ α

∂h(x, t)

∂t = Φ(x, t)

Φ

x

Φ

∂h(x, t)

∂t =φ+η(x, t).

φ x η(x, t)

(30)

η(x, t)η(x′_{, t}′₎_{= 2}_Dδd₍_x₋_x′₎_δ₍_t₋_t′₎_,

D

h(x, t) =φt+

t

0

dt′η(x, t′),

h(x, t)= φt.

h2(x, t)=φ2t2+ 2Dt,

W2(t) =h2 − h2 = 2Dt,

W(t)∼tβ _β ₌ 1

(31)

to

t+ ∆t tn _n _{= 0}

∂h ∂t

ho

h+ ∆h hn

∇n_h

x xo

x+∆x x

x −x ∇2n+1_h

n (∇2n+1_h₎2m _m

h −h

(32)

d = 1

α= 0,47±0,02 β = 0,33±0,01

(33)

∂h(x, t)

∂t =G(h, x, t) +η(x, t),

G(h, x, t)

η(x, t)

G(h, x, t) η(x, t) G(h, x, t)

∇n_h _n

∂h(x, t)

∂t = (∇

2_h_{) + (∇}4_h_{) +}_..._{+ (∇}2n_h_{) + (∇}2_h_)(∇_h₎2₊_..._{+ (∇}2k_h_)(∇_h₎2j₊_η₍_{x, t}₎_,

n k j η(x, t)

t→ ∞ L→ ∞ n >2

∇4_h _∇2_h

(∇2_h_)(∇_h₎2

(34)

∂h(x, t)

∂t =σ∇

2_h₊_η₍_{x, t}₎_,

σ σ∇2_h

α= 2−d

2 , β = 2−d

4 , z= 2.

(35)

δh h

tanθ = AC

AB tanθ ≈ ∇h δt → 0 AC = υδt∇h

δh= [(υδt)2+ (υδt∇h)2]12 =υδt[1 + (∇h)2] 1 2,

υ | ∇h|≪1

∂h(x, t)

∂t =υ+

υ

2(∇h)

(36)

(∇h)2

∂h(x, t)

∂t =σ∇

2_h₊υ

2(∇h)

2₊_η₍_{x, t}₎_,

σ υ η

d= 1

α= 1

2, β = 1 3, z =

3 2,

(37)

d= 1

F

∂h

∂t =F +σ∇

2_h₊ υ

2(∇h)

2₊_η₍_{x, h}₎_,

η(x, h)= 0 e η(x, h)η(x′, h′)=δd(x−x′)∆(h−h′).

... ∆

∆(u) = ∆(−u) ∆(u)

u u >0

a

a= 0 ∆(u) =δ(u)

η(x, h)

(38)

F Fc F < Fc

F > Fc

v F

F →F+

c v

(39)

ω f

f = F −Fc

Fc

.

F →F−

c

ξ

ξ ∼(F −Fc)−µ,

(40)

d= 1 + 1

β = 1

2 ∂h(x,t)

∂t = Φ(x, t)

α

β = (2−₄d) = 1₄

∂h(x,t)

∂t =σ∇

2_h₊_η₍_{x, t}₎

α= (2−₂d) = 1₂

β = 1

3 ∂h(x,t)

∂t =σ∇2h+ υ

2(∇h)2+η(x, t)

α= 1₂

∂h

∂t =F +σ∇2h+η(x, h) α= 0,41±0,03

∂h

∂t =F+σ∇2h+ υ

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

σs1 σs2

σ

θ < π 2

θ > π 2

(47)

r

˙

h= rσcosθ 4ϑh ,

σ ϑ h

θ

h= rσtcosθ

2ϑ

˙

h= rσcosθ

8ϑt .

¯

h

¯

(48)

(49)

¯

h(t)∼tδ [δ= 1 2].

α

15

(50)

50% 21,0◦ _{60% 23}_,₀◦

10

α = 0,67±0,004 α =

0,45±0,004

α

0,36

β = 0,47±0,04

0,36

(51)

0,52±0,03 β≈0,5

30

T = 25±3◦

45%

δ β H

t < t1 = 115

δ = 0,5

β H

2 + 1

3D

t1 < t < ts β H

1 + 1

(52)

t = t1 = 115 t = 150

t = 500 t = 1000 t = 2000 t = ts = 3600 t = 4000

t= 4500 t= 5000 t= 5600 t=tp = 6100

δ δ β β H H

t < t₁ 0,50±0,02 0,50±0,02 0,40±0,05 0,40±0,05 0,50±0,02 0,50±0,02 t₁< t < ts 0,41±0,03 0,38±0,02 0,24±0,02 0,46±0,04 0,50±0,02 H(t)

ts< t < tp 0,19±0,03 0,38±0,02 0,48±0,02 − H(t) 0,80±0,02

(53)

α H

(54)

(55)

(56)

h(x)

H

(57)

(58)

(36,8±

(59)

(60)

(61)

(62)

7,1

(2,0×0,8×0,4) m3

(63)

(64)

t= 0

(31,5±0,5)◦

(70,5±0,5)%

(65)

15 16

2550

3037

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

7,1

h(x)

7,1

h(x)

h(x) x

x h(x)

(71)

t= 100

t= 50

t= 25

t= 10

t= 5

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

β1

t < 40 β2 40 < t < 600

β1 β2

t < 40 β1 0,19±0,04 0,20±0,03

(77)

(78)

t < 2 β

40< t <600

(79)

δ

δ1 δ2

t <20 δ1 0,36±0,04 0,38±0,06

t >20 δ2 0,156±0,007 0,167±0,007

δ

(80)

(81)

δ

0,5

δ δ

β β ≤ L L

(82)

H H =H(t)

H

(83)

H

(84)

10

x

15< t <300 β 0,51±0,02 0,49±0,03

10

β

(85)

(86)

t1 < t < ts

β

(87)

4< t <300 δ= 0,28±0,01

(88)

(89)

δ

H H

H = H(t)

H

β δ H

H = H(t)

H

(90)

H

(91)

Cq β

Hq

q

H q

t

Cq β

Cq β q = 2

Hq=2

Hq=1 Hq=2

Hq

(92)

H α

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

β δ H

β δ

(98)

◦ _δ

1 δ2 β1 β2 H1 H2

0,36(0,04) 0,156(0,007) 0,19(0,04) 0,38(0,03) H(t) 0,80(0,02)

0,38(0,06) 0,167(0,007) 0,20(0,03) 0,34(0,04) H(t) 0,85(0,02)

− 0,28(0,01) − 0,51(0,02) H(t) 0,80(0,02)

− 0,26(0,02) − 0,49(0,03) H(t) 0,85(0,02)

H

H = H(t)

H

α z α

(99)

(100)

(101)

(102)