O Teorema da Projeção em Espaços de Hilbert

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas Colegiado de Matem´atica

Curso de Especialização em Matemática

Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

O TEOREMA DA PROJEC

¸ ˜

AO EM ESPAC

¸ OS DE HILBERT

Edpaula Moitinho dos Anjos

Orientador: Prof. Msc. Cristiano Mascarenhas

Feira de Santana 2014

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Agradecimentos

S˜ao tantos e t˜ao especiais...

A Deus, pela prote¸c˜ao e cuidado, o que seria de mim sem a f´e que tenho nEle.

A minha mãe, que torceu sempre orgulhosa para que eu chegasse até mais esta etapa de minha vida, meu amor eterno e gratidão.

Ao meu esposo Jackson Feitosa, pela for¸ca, alegria e inspira¸cão. Você é muito especial para mim. Te amo.

Aos amigos, Veralúcia Carvalho, Isabel Marques, Romélia Araújo, em especial Gildeane Duarte com quem pude contar em todos os momentos durante o curso e na realiza¸cão desse trabalho, pela amizade, carinho que compartilhamos durante nosso caminhar. Ao orientador Cristiano Mascarenhas, pela simpatia e presteza no aux´ılio às atividades e discussões sobre o andamento e normatiza¸cão desta monografia.

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Resumo

Palavras-chave: Espa¸cos de Hilbert.

Os espa¸cos de Hilbert são espa¸cos muito especiais, visto que que têm um forte apelo geométrico, muito similar aos espa¸cos euclidianos. Neles podemos falar em distâncias (con-vergência, topologia), ângulo e proje¸cões. Com grande aplica¸cão aos problemas práticos em f´ısica-matemática, suas propriedades permiti-nos resolver problemas importantes e atuais; desde problemas de minimiza¸cão até aqueles da mecânica quântica, onde um forte apelo à teoria de operadores em espa¸cos de Hilbert são usados como pe¸ca fundamental. A no¸cão de base em espa¸cos de Hilbert ( um dos mais belos resultados da teoria dos espa¸cos de Hilbert) capacita-nos a termos uma visão mais profunda do conceito de base para espa¸cos de dimensão infinita. Tudo o que necessitamos é uma boa e abrangente defini¸cão de produto interno e de uma norma advinda deste produto interno.

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Abstract

Palavras-chave: Hilbert Spaces.

The Hilbert spaces are a very special kind of spaces, seen that have a Strong gemetric feeling, much similar to euclidian spaces. In that we can talk in distances(convergence, topology), angle and projection like euclidians spaces. With great application to prati-cal problems in mathemathiprati-cal-physics; your properties permit us solve importants and currents problems, since minimization problems until that envolving quantum mechanics, where a strong appeal to theory of operators in Hilbert spaces are used how a funda-mental piece. The notion of a base in Hilbert spaces (one of the most beautiful result in the Hilbert spaces theory) able us a have one vision more deep of the concept of base in infinite dimensional. All what we need is one good and large definition od a inner product and one of a norm came from it.

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Sum´

ario

Agradecimentos 2

Resumo 3

Abstract 4

Introdu¸c˜ao 7

1 Breve Hist´orico de David Hilbert 8

2 Espa¸cos M´etricos 10

2.1 Métrica . . . 10 2.2 Sequência de Cauchy . . . 12 2.3 Espa¸cos Métricos Completos . . . 15

3 Espa¸cos Normados Reais 17

3.1 Espa¸cos de Banach . . . 20

4 Espa¸cos de Produto Interno 22

4.1 Produtos Internos . . . 22 4.2 Norma e Distˆancia em Espa¸cos de produto Interno . . . 23 4.3 Angulo e ortogonalidade de espa¸cos com produto interno . . . .ˆ 26 4.4 Espa¸cos Vetoriais Complexos com Produto

Interno . . . 29 4.5 Conjunto Ortogonal de vetores . . . 30 4.6 Base de um Espa¸co vetorial . . . 31

(6)

6 SUM ´ARIO

4.7 Base Ortogonal . . . 31

4.8 Base Ortonormal . . . 31

4.9 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . 32

4.10 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal . . . 34

4.11 Conjuntos Ortogonais . . . 35

4.12 Complemento Ortogonal . . . 36

4.13 Propriedades complementares de Produto Interno . . . 37

5 Espa¸cos de Hilbert 42 5.1 Sequˆencias Ortonormais versus Espa¸cos de Dimens˜ao Infinta . . . 48

Conclus˜ao 57

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Introdu¸

c˜

ao

Os espa¸cos de Hilbert são um tópico da matemática moderna que ocupa um papel fundamental na análise matemática. Seu estudo tem se tornado abundante no meio cient´ıfico devido às suas interpreta¸cões geométricas de espa¸cos de dimensão infinita; além de aplica¸cões fortes no campo da f´ısica, como a mecânica quântica.

O conceito de ortogonalidade tem um papel central na constru¸cão do conceito de base de dimensão infinita. É por razões geométricas e aplicadas que o estudo dos espa¸cos de Hilbert nos fascina.

Dentro do estudo dos espa¸cos de Hilbert podemos entender conceitos matemáticos importantes como convergência, sequências de Cauchy, completeza, propriedades lineares dos espa¸cos, e também suas propriedades métricas e geométricas, melhor que em outros espa¸cos.

O objetivo principal deste trabalho ´e apresentar, a defini¸c˜ao de espa¸cos de hilbert e algumas de suas propriedades.

No cap´ıtulo 1, será apresentado um breve histórico da vida e obra do matemático David Hilbert.

O cap´ıtulo 2 e 3, é dedicado ao estudo geral de espa¸cos métricos e espa¸cos normados. veremos as defini¸cões de métrica, norma, sequência de cauchy, espa¸cos métricos completos e uma no¸cão de espa¸co de Banach.

No cap´ıtulo 4, estudamos as propriedades básicas dos espa¸cos com produto interno. O tema central deste trabalho se encontra no cap´ıtulo 5, em que consiste em definir espa¸cos de Hilbert e mostrar algumas propriedades e aplica¸cões destes espa¸cos. além disso, será demostrado alguns teorems importantes, como o teorema da menos distância e o teorema da proje¸cão.

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Cap´ıtulo 1

Breve Hist´

orico de David Hilbert

David Hilbert matemático alemão, principal filósofo de sua gera¸cão e representante mais ilustre da tendência axiomática, nasceu em Konigsberg na Prussia Oriental, (atual Kaliningrado, na Rússia) no dia 23 de janeiro de 1862. O seu pai era Otto Hilbert, um juiz da cidade, que gozava de uma posi¸cão muito respeitável em uma cidade pequena e sua mãe uma apaixonada pelas ciências, tanto que se interessou por filosofia e astronomia. David Hilbert foi um dos mais notáveis matemáticos, e os tópicos de suas pesquisas são fundamentais em diversos ramos da matemática atual. Hilbert é frequentemente considerado como um dos maiores matemáticos do século XX, no mesmo n´ıvel de Henri Poincaré. Deve-se a ele, principalmente, a lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje, apresentada em 1900 no Congresso Internacional de Matemática em Paris.

A partir de 1900, Hilbert teve um destaque acadêmico , tanto que várias institui¸cões de diversos pa´ıses convidaram-no para trabalhar.

O nome de Hilbert é mais, atualmente, conhecido devido aos seus famosos espa¸cos de Hilbert, os quais fora introduzido entre 1909 e 1912 durante seus trabalhos em análise sobre equa¸cões integrais. A teoria dos espa¸cos de Hilbert foi iniciada em seu trabalho de 1912 sobre formas quadráticas em infinitas variáveis; no qual ele publicou a teoria das equa¸cões integrais. Ele publicou uma série de artigos sobre o assunto durante os anos de 1904 à 1910, e formulou a teoria dos espa¸cos l2 _(Sequˆ_{encias quadrados som´}_{aveis), em}

conexão com equa¸cões integráveis. A teoria do espa¸co l2 _{e a teoria espectral de formas}

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9 quadráticas limitadas foram publicadas em 1906. Todos esses artigos foram publicados na forma de um livro em 1912. O livro teve uma tremenda influência sobre análise matemática e suas aplica¸cões.

David Hilbert viveu o fim da ciência e da investiga¸cão matemática da Universidade de Gottingen, a partir do ano de 1933, quando o nazismo assumiu o poder na Alemanha. Este regime afastou uma parte substancial de cientistas renomados da Universidade. Envolvido sensivelmente, um ano após este processo que dizimou o conhecimento, Hilbert participou de um banquete sentando-se ao lado do novo ministro da educa¸cão nazista, Bernhart Rust. Rust então pergunta-lhe: ”É mesmo verdade, professor, que o seu instituto sofreu muito com a partida dos judeus e dos seus amigos? ”Hilbert respondeu: ”Sofreu? Não, Herr Minister, não sofreu. Ele simplismente deixou de existir.”

Hilbert durante sua vida, recebeu muitos prémios. Em 1905, a Academia de Ciências da Hungria fez-lhe uma cita¸cão especial. Em 1930 aposentou-se, e a cidade de Konigsberg homenageou-o ao fazer dele um cidadão honorário.

David Hilbert teve um final pouco feliz, o seu funeral foi presenciado por menos de uma d´uzia de pessoas, das quais apenas duas eram colegas da Universidade.

Hilbert dirigiu, na altura da sua aposentadoria à sociedade de Cientistas e Médicos da Alemanha, no seu discurso final em 1930, as seguintes palavras: ”Wir mussen Wissen. Wir werden wissen”(”Nós precisamos saber, e nós iremos saber.”). Anos mais tarde, John von Neumann(1903-1957) foi o primeiro a formular uma teoria axiomática dos espa¸cos de Hilbert, e desenvolveu a moderna teoria dos operadores sobre os espa¸cos de Hilbert. Sua notável contribui¸cão forneceu as bases matemáticas da mecânica quântica. O trabalho de Von Neumann forneceu uma interpreta¸cão f´ısica da mecânica quântica em termos de rela¸cão abstratas em um espa¸co de Hilbert de dimensão infinita.

(10)

Cap´ıtulo 2

Espa¸

cos M´

etricos

2.1 M´

etrica

Defini¸cão 2.1. Uma métrica num conjunto M é uma fun¸c˜_{ao d : M × M −→ R, que} associa a cada par ordenado de elementos x, y ∈ M um número real d(x, y), chamado a distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as seguintes condi¸cões para quaisquer x, y, z ∈ M :

(d1) d(x,x)=0

(d2) Se x6=y ent˜ao d(x,y)> 0

(d3) d(x,y) = d(y,x) (Simetria)

(d4) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z) (Desigualdade triangular)

A fun¸cão d acima definida é chamada de métrica ou fun¸cão distância em M . As propriedades (d1) a (d4) são chamadas de axiomas de uma métrica.

Defini¸cão 2.2. Um espa¸co métrico é um par (M, d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em M .

Os elementos de um espa¸co métrico podem ser de natureza bastante arbitrária: números, vetores, matrizes, fun¸cões, conjunto,etc.

Daremos alguns exemplos de espa¸cos m´etricos.

Exemplo 2.3. Seja X um conjunto n˜ao- vazio e d a fun¸c˜ao definida por: d(a, b) =    0 se a = b 1 se a 6= b 10

(11)

2.1. M ÉTRICA 11 Então, d é uma métrica em x.

Demonstra¸c˜ao: (d1): d(a, a) = 0. Logo (d1) ´e satisfeita.

(d2): Se a 6= b ent˜ao d(a, b) = 1 > 0. Logo (d2) ´e satisfeita.

(d3): d(a, b) = 1 = d(b, a). Logo (d3) ´e satisfeita.

(d4) Neste caso devemos analisar as possibilidades.

d(a, b) = 0 se a = b ou d(a, b) = 1 se a 6= b, d(a, c) = 0 se a = c ou d(a, c) = 1 se a 6= c, d(c, b) = 0 se c = b ou d(c, b) = 1 se c 6= b. Temos que:

d(a, b) ≤ 0 caso d(a, c) = 0 e d(c, b) = 0

d(a, b) ≤ 1 caso d(a, c) = 0 e d(c, b) = 1 ou d(a, c) = 1 e d(c, b) = 0 d(a, b) ≤ 2 caso d(a, c) = 1 e d(c, b) = 1

Então d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b). Logo (d3) é satisfeita. Portanto d é métrica.

O espa¸co métrico (X, d), do exemplo 2.3, que se obtém desta maneira é, naturalmente, bastante trivial, porém útil para contra-exemplos.

Exemplo 2.4. O conjunto R dos números reais, com a métrica definida por d(x, y) = |x − y| para x, y ∈ R; é um espa¸co métrico. Esta métrica é chamada ”métrica usual”da reta.

Demonstra¸c˜ao: d1: d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

d2: Se x 6= y ent˜ao x − y 6= 0, logo d(x, y) = |x − y| > 0.

d3: d(x, y) = |x − y| = |y − x| = d(y, x)

d4: d(x, y) = |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y|)=d(x, z) + d(z, y).

Exemplo 2.5. O espa¸co euclidiano Rn. Este exemplo generaliza o anterior. Os pontos de Rn _s˜_{ao as listas x = (x}

1, ..., xn), onde cada uma das n coordenadas xi ´e um n´umero

real. Existem algumas formas de se definir a distˆ_{ancia entre dois pontos em R}n_{. Dados}

(12)

12 CAPÍTULO 2. ESPAÇ OS M ÉTRICOS Métrica Euclidiana: d(x, y) = p(x1− y1)2+ ... + (xn− yn)2 = [ n X i=1 (xi− yi)2] 1 2 Métrica da Soma: d0(x, y) = |x1− y1| + ... + |xn− yn| = n X i=1 |xi− yi| Métrica do Máximo:

d00(x, y) = max{|x1 − y1|, ..., |xn− yn|} = max1≤i≤n|xi− yi|

As fun¸cões d, d0, d00 _{: R}n_{× R}n_{−→ R são métricas. Isto será provado nos exemplos 3.3, 3.4}

e 3.5.

2.2 Sequˆ

encia de Cauchy

Defini¸cão 2.6. Uma sequência {xn}n∈N em um espa¸co métrico (X, d) é dita convergente

em X, se existir um x ∈ X tal que lim

n7−→∞d(xn, x) = 0.

Assim, x ´e chamado de limite de {xn}n∈N e escreve-se

lim

n7−→∞xn= x.

Defini¸cão 2.7. Uma sequência {xn} num espa¸co métrico M chama-se uma sequência

de Cauchy quando, para todo E > 0 , existe n0 ∈ N tal que, para todo m, n > n0 implica

d(xm, xn) < E .

Para que uma sequência (xn) seja de Cauchy, é nescessário e suficiente que, para cada

E > 0 dado, exista n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ d(xn, xn+p) < E qualquer que seja

(13)

2.2. SEQU ÊNCIA DE CAUCHY 13 cada vez mais próximos uns dos outros, à medida que cresce o ´ındice n. Ser de Cauchy ´

e uma propriedade essencial de uma sequência, depende apenas dos seus termos, mas não da existência de outros pontos no espa¸co (em contraste com a propriedade de ser convergente). Assim, se M ⊂ X, uma sequência de pontos {xn} ∈ M é de Cauchy em M

se, e somente se, é de Cauchy em X. Quando os termos de uma sequência se aproximam de um ponto fixado, eles devem necessariamente aproximar-se uns dos outros, como será demonstrado na proposi¸cão 2.8.

Proposi¸cão 2.8. Toda sequência convergente é de Cauchy.

Demonstra¸c˜ao: Seja {xn} uma sequˆencia convergente para a ∈ X. Dado E > 0, existe

n0 ∈ N tal que d(xn, a) <

E

2, para todo natural n > n0. Assim, para quaisquer m, n > n0, temos, d(xn, xm) ≤ d(xn, a) + d(a, xm) <

E 2 +

E

2 = E . Logo, {xn} é de Cauchy. A rec´ıproca não é verdadeira, como se vê do exemplo a seguir:

Exemplo 2.9. Seja X = (0, 1) com a m´etrica usual. Ent˜ao, (1 2,

1 3,

1

4, ...) é uma sequência em X que é de Cauchy, mas que não converge em X.

Proposi¸cão 2.10. Toda sequência de Cauchy é limitada.

Demonstra¸cão: Seja {xn} uma sequência de Cauchy no espa¸co métrico M . Para

E = 1, existe n0 ∈ N tal que d(xn, xm) < 1 para quaisquer n, m > n0. Em particular,

d(xn, xn0+1) < 1 para todo o n > n0. Assim, fazendo r=max {d(x1, xn0+1), ..., d(xn0, xn0+1), 1}

temos d(xn, xn0+1) ≤ r, para todo o n ∈ N. Logo {xn} ´e limitada.

Exemplo 2.11. Nem toda sequência limitada é de Cauchy. Por exemplo: (1, 0, 1, 0, ...) na reta, embora limitada, não é de Cauchy pois d(xn, xn+1) = 1, ∀n.

Proposi¸cão 2.12. Uma sequência de Cauchy que possui uma subsequência convergente ´

e convergente.

Demonstra¸cão: Sejam {xn} uma sequência de Cauchy no espa¸co métrico M e {xnk} uma

subsequˆ_{encia que converge para o ponto a ∈ M . Dado E > 0 existe um p ∈ N tal que} d(xnk, a) <

E

(14)

14 CAPÍTULO 2. ESPAÇ OS M ÉTRICOS

tal que d(xn, xm) <

E

2 para quaisquer n´umeros naturais m, n > q. Fazendo n0=m´ax p, q e escolhendo nk > n0 tem-se d(xn, a) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk, a) < E 2+ E 2 = E para qualquer n > n0. Logo xn−→ a.

(15)

2.3. ESPAÇ OS M ÉTRICOS COMPLETOS 15 Observa¸cão 2.13. Se uma sequência possui duas subsequências que convergem para limites distintos, então ela não é de Cauchy. Em particular, uma sequência que possui apenas um número finito de termos distintos só pode ser de Cauchy quando, a partir de uma certa ordem, ela se torna constante.

2.3 Espa¸

cos M´

etricos Completos

Defini¸cão 2.14. Um espa¸co métrico M é dito completo se toda sequência de Cauchy em M converge para um elemento de M ; isto é, para todo {xn} ∈ M , implica xn −→ x

quando n −→ ∞; x ∈ M .

Exemplo 2.15. A reta real, com a m´etrica usual, ´e completa.

Exemplo 2.16. Seja d a m´etrica trivial num conjunto X. Ora uma sequˆencia (an) em

X ´e de Cauchy se, e somente se, ´e da forma (a1, a2, ..., an0, p, p, p, ...), que claramente

converge para p ∈ X . Assim, todo espa¸co m´etrico trivial ´e completo.

Exemplo 2.17. Rn _{e C}n _{com a m´}_{etrica euclidiana}

d(x, y) = [ n X i=1 (xi− yi)2] 1 2 onde x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn), ´e completo.

Exemplo 2.18. O intervalo unitário aberto X = (0, 1) com a métrica usual, não é completo, pois a sequência (_n1)_n∈N em X é de Cauchy, mas não converge para um ponto de X.

Exemplo 2.19. R \ I = Q com d = |x − y| n˜ao ´e completo.

Defini¸cão 2.20. Um subconjunto F de um espa¸co métrico M é fechado se toda sequência convergente formada por elementos de F convergir em M a um vetor que também é elemento de F .

Proposi¸cão 2.21. Seja (X, d) um espa¸co métrico completo. Então um subconjunto M ⊂ X é completo se, e somente se, M é fechado em X.

(16)

16 CAPÍTULO 2. ESPAÇ OS M ÉTRICOS Demonstra¸cão: (=⇒) Suponha que (M, d) é completo. Seja (xn) uma sequência de

pon-tos de M que converge para a ∈ X. Como (xn) ´e convergente, (xn) ´e de Cauchy. Como

(M, d) ´e completo, a sequˆencia (xn) converge para um elemento de M . Pela unicidade do

limite temos que a ∈ M . Logo M ´e fechado.

(⇐=) Agora suponha M fechado. Seja (xn) uma sequˆencia de Cauchy de pontos de M .

Então (xn) também é uma sucessão de Cauchy em (X, d) e, como (X, d) é completo, (xn)

converge para algum a ∈ X. Sendo M um subconjunto fechado de X tem-se a ∈ M e, consequentemente, (xn) converge em (M, d). Logo (M, d) ´e completo.

Veremos que em espa¸cos vetoriais lineares este conceito voltará à tona e nos capacitará a enunciar teoremas similares.

(17)

Cap´ıtulo 3

Espa¸

cos Normados Reais

Defini¸c˜_{ao 3.1. Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Uma norma em E é uma aplica¸cão} que associa a cada x ∈ E um número real kxk não negativo,

k.k : E −→ R+ (3.1)

x 7−→ kxk (3.2)

de maneira que:

N 1.kxk > 0 e kxk = 0 ⇐⇒ x = 0; N 2.kαxk = |α|kxk, para todo α ∈ R;

N 3.kx + yk ≤ kxk + kyk , para todo x, y ∈ E.

Um espa¸co normado ´_{e um par (E, k.k) onde E ´e um espa¸co vetorial e k.k ´e uma norma} em E.

A próxima proposi¸cão nos mostra que todo espa¸co normado é também um espa¸co métrico.

Proposi¸cão 3.2. Seja k.k, uma norma sobre um espa¸_{co vetorial E. A fun¸cão d : E×E −→} R definida por d(x, y) = kx − yk é uma métrica em E, isto é ,(E, d) é um espa¸co métrico. Demonstra¸cão: (d1) d(x, x) = kx − xk = k0k = 0 da defini¸cão 1 dado acima.

(d2) d(x, y) = kx − yk > 0 pela defini¸c˜ao de norma.

d(x, y) = kx − yk = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y, pela condi¸c˜ao 1. Logo, se x 6= y ent˜ao d(x, y) > 0.

(d3) d(x, y) = kx − yk = k(−1)(y − x)k = | − 1|ky − xk = ky − xk = d(y, x), apropriando-se

(18)

18 CAPÍTULO 3. ESPAÇ OS NORMADOS REAIS da condi¸cão 2.

(d4) d(x, z) = kx − zk = kx − y + y − zk = k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk

ou seja ,d(x.z) ≤ d(x, y) + d(y, z), usando a condi¸c˜ao 3.

Sendo assim, d ´e uma m´_{etrica em E.}

Vejamos alguns exemplos de espa¸cos normados.

Exemplo 3.3. Tomemos o espa¸co euclidiano Rn_{. Mostraremos que, a aplica¸c˜}_ao

x ∈ Rn7−→ kxk = v u u t n X i=1 (xi)2 ∈ R ´

e uma norma em Rn para x = (x1, ..., xn) ∈ Rn.

Demonstra¸c˜ao: 1.kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 kxk = v u u t n X i=1 (xi)2 = 0 ⇐⇒ n X i=1 (xi)2 = 0 ⇐⇒ (xi)2 = 0; ∀i ∈ {1, ..., n} ⇐⇒ xi = 0; ∀i ∈ {1, ..., n} ⇐⇒ x = 0 2.kαxk = |α|kxk, ∀x ∈ Rn _{e α ∈ R} kαxk = v u u t n X i=1 (αxi)2 = v u u t n X i=1 α2_(x i)2 = v u u tα2 n X i=1 (xi)2 = |α| v u u t n X i=1 (xi)2 = |α|kxk

Para provar o terceiro axioma da defini¸cão de norma utilizamos a desigualdade de Cauchy Schwarz, que pode ser encontrado no próximo cap´ıtulo na página 27.

3.kx + yk ≤ kxk + kyk

kx+yk2 _{= hx+y, x+yi = hx, xi+hx, yi+hy, xi+hy, yi = kxk}2_{+2hx, yi+kyk}2 _{≤ kxk}2_{+2|hx, yi|+kyk}2

pela desigualdade de Cauchy- Schawarz, obtemos |hx, yi| ≤ kxkkyk, assim,kx + yk2 ≤ kxk2_+2kxkkyk+kyk2 _{≤ (kxk+kyk)}2_{. Extraindo a raiz em ambos os lados da desigualdade,}

temos que kx + yk ≤ kxk + kyk. Logo (Rn, k.k) com kxk = v u u t n X i=1 (xi)2

(19)

19 ´

e um espa¸co normado.

Exemplo 3.4. Consideremos o espa¸co euclidiano Rn_{. Mostraremos que (R}n_{, k.k}

a), onde kxka= n X i=1 |xi|

para x = (x1, ..., xn) ∈ Rn ´e uma norma em Rn.

De fato, k.ka: R −→ R é uma fun¸cão e como |xi| > 0, n X i=1 |xi| > 0 isto é, kxka= 0. 1.kxka= 0 ⇐⇒ n X i=1 |xi| = 0 ⇐⇒ |xi| = 0; ∀i ∈ {1, ..., n} ⇐⇒ xi = 0; ∀i ∈ {1, ..., n} ⇐⇒ x = 0. 2.kαxka = |α|kxka, ∀x ∈ Rn e α ∈ R. kαxka= n X i=1 |αxi| = n X i=1 |α||xi| = |α| n X i=1 |xi| = |α|kxka 3.kx + yka≤ kxka+ kyka kx + yka= n X i=1 |xi+ yi| ≤ n X i=1 (|xi| + |yi|) ≤ n X i=1 |x| + n X i=1 |yi| = kxka+ kyka

Sendo assim, (R, k.ka) com

kxka= n X i=1 |xi| ´ e um espa¸co normado. Exemplo 3.5. (Rn, k.k∗) onde kxk∗ = max 1≤i≤n|xi|

para x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, tamb´em ´e um espa¸co normado.

De fato, k.k∗ : R −→ R ´e uma fun¸c˜ao e como

|xi| > 0; ∀1 ≤ i ≤ n, kxk∗ = max

(20)

20 CAP´ITULO 3. ESPAC¸ OS NORMADOS REAIS 1.kxk∗ = max 1≤i≤n|xi| = 0 ⇐⇒ |xi| ≤ kxk∗ = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ n ⇐⇒ |xi| = 0, ∀ 1 ≤ i ≤ n ⇐⇒ xi = 0, 1 ≤ i ≤ n ⇐⇒ x = 0. 2.kαxk∗ = |α|kxk∗, ∀x ∈ Rn e ∀α ∈ R. kαxk∗ = max

1≤i≤n|αxi| = max1≤i≤n|α||xi| = |α| max1≤i≤n|xi| = |α|kxk∗

3.kx + yk∗ ≤ kxk∗+ kyk∗

Temos que

kx + yk∗ = max

1≤i≤n|xi+ yi|

Pela desigualdade triangular em R, |xi + yi| ≤ |xi| + |yi|, 1 ≤ i ≤ n. Assim, temos

max

1≤i≤n|xi+ yi| ≤ max1≤i≤n|xi| + |yi|

De |xi| > 0 e |yi| > 0; ∀ 1 ≤ i ≤ n segue que,

max

1≤i≤n|xi| + |yi| = max1≤i≤n|xi| + max1≤i≤n|yi| = kxk∗+ kyk∗.

Sendo assim,(Rn_{, k.k} ∗) com kxk∗ = max 1≤i≤n|xi| ´ e um espa¸co normado.

3.1 Espa¸

cos de Banach

Defini¸cão 3.6. Um espa¸co normado E é chamado completo se toda sequência de Cauchy em E converge para um elemento de E. Um espa¸co normado completo é chamado um espa¸co de Banach.

Exemplo 3.7. O espa¸co normado R é um espa¸co de Banach, pois sabemos que toda sequência de Cauchy de números reais converge.

(21)

3.1. ESPAC¸ OS DE BANACH 21 Exemplo 3.8. Vamos mostrar que Rp ´e um espa¸co de Banach.

Seja (xn)n∈Numa sequˆencia de Cauchy em Rp. Note que aqui cada (xn) = (x (1)

n , x(2)n , ..., x(p)n ).

Como (xn)n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy , para todo E > 0, existe algum n0 ∈ N tal

que: n, m > n0 =⇒ kxn− xmk =

q

(x(1)n − x(1)m )2+ (x(2)n − x(2)m )2+ ... + (x(p)n − x(p)m )2 < E .

Em particular, para cada i = 1, 2, ..., p ,se n, m > n0 ent˜ao |x (i)

n − x(i)m| < E. Isso mostra

que cada sequência (x(i)n )n é uma sequência de Cauchy em R e portanto converge. Defina

ent˜ao x(i) = limnx (i)

n e considere x = (x(i), x(2), ..., x(p)).

Claro que x ∈ Rp _{e vamos mostrar que este ´}_{e o limite da sequˆ}_{encia (x}

n)n. Seja ent˜ao E > 0.

Como x(i)_{= lim} nx

(i)

n , para cada i = 1, 2, ..., p, existe nital que |x (i) n −x(i)|2 < E2 p se n > ni. Se k0 = max{ni : 1, 2, ..., p} ent˜ao n > k0 =⇒ kxn−xk = q (x(1)n − x(1))2+ (x(2)n − x(2))2+ ... + (x(p)n − x(p))2

< E o que mostra que (xn)n converge para x em Rp.

Proposi¸cão 3.9. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach é Banach. Recipro-camente, todo subespa¸co de Banach de um espa¸co normado é fechado.

Demonstra¸cão: Suponha que S seja fechado em X Banach.Tomamos uma sequência de Cauchy (xn)n ⊂ S. Mas (xn)ntambém é uma sequência de Cauchy em X que é completo.

Logo, (xn)n converge para algum x ∈ X. Isso implica que x ∈ ¯S. Sendo S fechado, temos

que x ∈ S. Mostramos que toda sequˆencia de Cauchy em S converge (em S). Logo, S ´e completo.

Reciprocamente, seja S completo no normado X. Considere x ∈ ¯S. Então existe uma sequência (xn)n⊂ S que converge para x. Ora, toda sequência convergente é de Cauchy.

Assim, (xn)né uma sequência de Cauchy em S, que é completo, e portanto converge para

algum y ∈ S ⊂ X. pela unicidade do limite em X, temos que x = y, e portanto x ∈ S,

(22)

Cap´ıtulo 4

Espa¸

cos de Produto Interno

4.1 Produtos Internos

Defini¸cão 4.1. Um produto interno em um espa¸co vetorial real V é uma fun¸cão que associa um número real hu, vi a cada par de vetores u e v em V de tal maneira que os seguintes axiomas s˜_{ao satisfeitos para quaisquer u, v e w de V e qualquer escalar λ ∈ R.} I1 hu, vi = hv, ui [Axioma da simetria]

I2 hu + v, wi = hu, wi + hv, wi [Linearidade na 1a componente]

I3 hλu, vi = λhu, vi [Axioma de homogeneidade]

I4 hv, vi > 0 [Axioma de positividade]

e hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0.

Um espa¸co vetorial real com um produto interno ´e chamado espa¸co de produto interno real.

Exemplos de espa¸cos com produto interno: Exemplo 1: Produto Interno Euclidiano em Rn_.

Se u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) são vetores no Rn então a fórmula hu, vi =

u1.v1+ u2.v2 + ... + un.vn define hu, vi como um produto interno em Rn,que ´e chamado

de produto interno euclidiano, também chamado produto interno padrão ou canônico do Rn. Dos quatro axiomas da defini¸cão acima decorrem as propriedades:

I1 0.u = u.0 = 0; ∀u ∈ V

I2 < w, u + v >=< u + v, w >=⇒< u + v, w >=< u, w > + < v, w >

(23)

4.2. NORMA E DIST ˆANCIA EM ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO 23 I3 < u, αv >=< αv, u >= α < v, u >= α < u, v >

I4 < u, v1+ v2+ ... + vn>=< u, v1 > +...+ < u, vn>

Exemplo 2: Produto Interno Euclidiano Ponderado.

Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2) vetores do R2. Mostre que o produto interno euclidiano

ponderado hu, vi = 3u1v1+ 2u2v2 , satisfaz os quatro axiomas de produto interno.

Solu¸c˜ao:

(1) hu, vi = 3u1v1+ 2u2v2

hv, ui = 3v1u1+ 2v2u2

hu, vi = hv, ui

(2) Se w = (w1, w2), ent˜ao:

hu + v, wi = 3(u1 + v1).w1 + 2(u2 + v2).w2 = (3u1w1 + 2u2w2) + (3v1w1 + 2v2w2) =

hu, wi + hv, wi (3) hλu, vi = λhu, vi

hλu, vi = 3(λu1)v1+ 2(λu2)v2 = λ(3u1v1 + 2u2v2) = λhu, vi

(4) hv, vi > 0 e hv, vi = 0 se, e somente se, v = 0. hv, vi = 3v1v1+ 2v2v2 = 3v12+ 2v22

´

E ´obvio que hv, vi = 3v2

1 + 2v22 > 0. Al´em disto, hv, vi = 3v12+ 2v12 = 0 se, e somente se,

v1 = v2 = 0 ou seja, se, e somente se, v = (v1, v2) = 0

4.2 Norma e distˆ

ancia em espa¸

cos de produto interno

Defini¸cão 4.2. Se V é um espa¸co com produto interno, então a norma de um vetor u de V é denotada por kuk e é definida por kuk = hu, vi12.

A distância entre dois pontos (vetores) u e v é denotado por d(u, v) e é definida por: d(u, v) = ku − vk.

Teorema 4.3. Propriedades da Norma

Se u e v são vetores em um espa¸co com produto interno V e λ é um escalar qualquer, então:

(24)

24 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO (b) kuk = 0 ⇔ u = 0

(c) kλvk = |λ|kvk (Homogeneidade)

(d) ku + vk ≤ kuk + kvk (Desigualdade triˆangular) Provaremos a letra (d):

Demonstra¸c˜ao: d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) Por defini¸c˜ao,

ku + vk2 _{= hu + v, u + vi}

= hu, ui + 2hu, vi + hv, vi

≤ hu, ui + 2|hu, vi| + hv, vi [Propriedade do valor absoluto] ≤ hu, ui + 2kukkvk + hv, vi [Por (4) de Schwarz ]

= kuk2_{+ 2kukkvk + kvk}2

= (kuk + kvk)2

Extraindo a raiz quadrada obtemos ku + vk ≤ kuk + kvk .

Teorema 4.4. . Propriedades da distˆancia

Se u, v e w s˜ao vetores em um espa¸co com produto interno V , ent˜ao: (a) d(u, v) > 0(Positiva definida)

(b) d(u, v) = 0 ⇔ u = v (c) d(u, v) = d(v, u)(Simetria)

(d) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v) (Desigualdade triˆangular) Exemplo 3: Norma e distˆ_{ancia em R}n_.

Se u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) s˜ao vetores do Rn com o produto interno

eu-clidiano padr˜ao, logo: kuk = hu, ui12 = (u, u)

1

2 =pu2

1+ u22+ ... + u2n.

Por defini¸c˜ao

d(u, v) = ku − vk. Como u − v = (u1 − v1, ..., un − vn), temos d(u, v) = ku − vk =

(u − v, u − v)12 =p(u₁− v₁)2+ (u₂− v₂)2+ ... + (u_n− v_n)2

Veja que estas são as fórmulas padrão para a norma e a distância euclidianas. Exemplo 4: Usando o produto interno euclidiano ponderado.

(25)

4.2. NORMA E DIST ÂNCIA EM ESPAÇ OS DE PRODUTO INTERNO 25 sendo usado. se o produto interno for mudado, então as normas e distâncias entre vetores tamb´_{em mudam. Por exemplo, para os vetores u = (1, 0) e v = (0, 1) do R}2 _{com produto}

interno euclidiano, n´os temos: kuk = √12_{+ 0}2 _{= 1 e d(u, v) = ku − vk = k(1, −1)k =}

p12_{+ (−1)}2 ₌√₂

Por´em, se mudarmos para o produto interno euclidiano ponderado hu, vi = 3u1v1+ 2u2v2

ent˜ao obteremos kuk = hu, ui12 = [3u₁u₁ + 2u₂v₂] 1 2 = [3.(1).(1) + 2.(0).(0)] 1 2 = √ 3 e d(u, v) = ku − vk = hu − v, u − vi12 = h(1, −1), (1, −1)i 1 2 = [3.u₁.u₁ + 2.u₂.u₂] 1 2 = [3.(1).(1) + 2.(−1).(−1)]12 = √ 5

Exemplo 5: lp_{; 1 ≤ p ≤ ∞. Onde l}p _´_{e o espa¸co de todas as sequˆ}_{encias infinitas de forma}

{xn} = {x1, x2, ..., xk, ...} onde se define o produto interno por:

< x, y >=

∞

X

j=1

xjyj, ∀x, y ∈ lp

e sua norma ´e dada por:

kxkp = ( ∞ X j=1 |xj|p) 1 p _{< ∞} Em particular ∞ X j=1 |xj|2 < ∞ Um elemento pertence a lp se ∞ X j=1 |xj|p < ∞

isto é, as sequências são p-absolutamente convergentes.

Exemplo 6: l2 _´_{e um exemplo de produto interno, e seus elementos satisfazem} ∞

X

j=1

|xj|2 < ∞

e tem como norma

kxk = ( ∞ X j=1 |xj|2) 1 2

Exemplo 7: Os espa¸cos L2_{[a, b]. S˜}_{ao os espa¸cos das fun¸c˜}_{oes quadradas integr´}_{aveis (`}_a

Lebesgue). Define-se o produto interno em L2[a, b] por: Seja f, g ∈ L2_{[a, b] =⇒< f, g >=} Rb

a f gdx e tem como norma kf k = (

Rb

a |f | 2_dx)1₂

(26)

26 CAPÍTULO 4. ESPAÇ OS DE PRODUTO INTERNO para x(t)y(t) ∈ C[a, b] =⇒< x(t), y(t) >=R_abx(t)y(t)dt ; onde a norma é dada por: kxk = maxt∈[a,b]|x(t)|.

Proposi¸c˜ao 4.5. Propriedades do Produto Interno

Se u, v e w são vetores em um espa¸co com produto interno real e k é um escalar qualquer, então:

(a) h0, vi = hv, 0i = 0

(b) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi (c) hu, kvi = khu, vi

(d) hu − v, wi = hu, vi − hu, wi Provaremos a letra (b) :

hu, v + wi = hv + w, ui [por simetria] = hv, ui + hw, ui [Por linearidade] = hu, vi + hu, wi [Por simetria]

4.3 _{Angulo e ortogonalidade de espa¸}

ˆ

_{cos de produto interno}

Sabemos que se u e v s˜ao dois vetores n˜_{ao-nulos em R}2 _{ou R}3 _{e θ ´}_{e o ˆ}_{angulo entre eles,}

ent˜ao: u.v = kuk.kvk cos θ (1),

ou, equivalentemente, cos θ = u.v

kuk.kvk (2).

Nosso objetivo é definir o conceito de ângulo entre dois vetores de um espa¸co com produto interno arbitrário. Para que uma tal defini¸cão seja razoável, queremos que seja consistente com a f´_{ormula (2) quando aplicada ao caso especial do R}2 _{ou R}3 _{com o}

produto interno euclidiano. Assim, nós desejamos que a nossa defini¸cão de ângulo θ entre dois vetores não-nulos de um espa¸co com produto interno satisfa¸ca a rela¸cão:

cos θ = hu, vi

kuk.kvk (3).

Contudo, com | cos θ| ≤ 1, haveria pouca esperan¸ca de satisfazer (3) a menos que nos seja assegurado que | hu, vi

kukkvk| ≤ 1 vale para qualquer par de vetores n˜ao nulos de um espa¸co com produto interno. Felizmente, seremos capazes de provar que isto realmente ocorre, usando a generaliza¸c˜ao da desigualdade de Cauchy-Schwarz a seguir.

(27)

4.3. ˆANGULO E ORTOGONALIDADE DE ESPAC¸ OS COM PRODUTO INTERNO27 Teorema 4.6. Lei do Paralelogramo

Sejam V um espa¸co com produto interno e k.k a norma proveniente do produto interno. Ent˜ao, para u, v ∈ V , tem-se que: kx + yk2_{+ kx − yk}2 _{= 2(kxk}2_{+ kyk}2_).

Demonstra¸c˜ao: Sejam u, v ∈ V . Ent˜ao,

kx + yk2 _{=< x + y, x + y >=< x, x > + < x, y > + < y, x > + < y, y > e}

kx − yk2 _{=< x − y, x − y >=< x, x > − < x, y > − < y, x > + < y, y >. Somando estas}

duas igualdades temos:

kx + yk2_{+ kx − yk}2 _{= 2 < x, x > +2 < y, y >= 2(kxk}2 _{+ kyk}2₎

Observa¸cão 4.5. Num espa¸co normado em que a norma não verifica a igualdade do paralelogramo, a norma não deriva de um produto interno e, por conseguinte, o espa¸co não é um espa¸co com produto interno.

Teorema 4.7. Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Se u e v s˜ao vetores de um espa¸co de produto interno real, ent˜ao

|hu, vi| ≤ kukkvk (4).

Demonstra¸cão: Se u = 0, então hu, vi = hu, ui = 0, e ambos lados de (4) são iguais. Suponha agora que u 6= 0. Sejam a = hu, ui, b = 2hu, vi e c = hv, vi e seja t um número real qualquer. Pelo axioma da positividade, o produto interno de qualquer vetor por ele mesmo é sempre não-negativo. Portanto 0 ≤ htu + v, tu + vi = htu + v, tui + htu + v, vi = htu, tui + hv, tui + htu, vi + hv, vi = t2_{hu, ui + htu, vi + htu, vi + hv, vi = t}2_{hu, ui + thu, vi +}

thu, vi + hv, vi = hu, uit2_{+ 2hu, vit + hv, vi = at}2_{+ bt + c}

Esta igualdade implica que o polinˆomio quadr´atico at2 _{+ bt + c n˜}_{ao tem raiz real ou}

ent˜ao tem uma raiz real dupla. Portanto, seu discriminante deve satisfazer a desigual-dade b2_{− 4ac ≤ 0.}

Expressando os coeficientes a, b e c em termos dos vetores u e v resulta 4hu, vi2 ₋

4hu, uihv, vi ≤ 0, ou, equivalente, hu, vi2 ≤ hu, uihv, vi.

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados e usando o fato que hu, ui e hv, vi s˜ao n˜ao-negativos, resulta |hu, vi| ≤ hu, ui12hv, vi

1

2 ou, equivalentemente |hu, vi| ≤ kukkvk

completando a demonstra¸c˜ao.

Observamos, para referˆencia, que a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser escrita na seguinte forma alternativa: hu, vi2 _{≤ hu, uihv, vi = kuk}2_.kvk2

(28)

28 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO Exemplo 4.8. A desigualdade de Cauchy-Schwarz em Rn

A desigualdade de Cauchy-Schwarz em Rn _{decorre como caso especial do Teorema acima}

tomando hu, vi como o produto interno euclidiano u.v

Lema 4.9. Seja V um espa¸co de produto interno real. Então é válida a identidade de polariza¸cão: < u, v >= 1 4ku + vk 2₋ 1 4ku − vk 2

Prova: Basta desenvolver o lado direito da igualdade. ˆ

Angulo entre Vetores.

A desigualdade de Schwarz nos dá a possibilidade de definir ângulo entre dois vetores não nulos em um espa¸co vetorial V munido de um produto interno. Sejam u, v ∈ V não nulos. Então |hu, vi| ≤ kukkvk (Desigualdade de Schwarz) pode ser escrito como

|hu, vi|

kukkvk ≤ 1 ou seja | hu, vi

kukkvk| ≤ 1, e portanto existe um ˆangulo θ entre 0 e π radianos tal que cos θ = hu, vi

kukkvk. Este ângulo θ é chamado ângulo entre u, v. Exemplo 4.10. Cosseno de um ˆ_{angulo entre dois vetores em R}4_.

Tomando o produto interno euclidiano em R4 encontre o cosseno do ˆangulo θ entre os vetores u = (4, 3, 1, −2) e v = (−2, 1, 2, 3). Solu¸c˜ao: kuk =p42_{+ 3}2_{+ 1}2_{+ (−2)}2 ₌√_{16 + 9 + 1 + 4 =} √₃₀ kvk =p(−2)2_{+ 1}2_{+ 2}2_{+ 3}2 ₌√_{4 + 1 + 4 + 9 =}√₁₈ hu, vi = 4.(−2) + 3.1 + 1.2 + (−2).3 = −8 + 3 + 2 − 6 = −5 − 4 = −9 de modo que, cos θ = hu, vi kukkvk = −9 √ 30.√18 = −9 √ 30.3√2 = − 3 2√15

Defini¸cão 4.11. Dois vetores u e v não-nulos de um espa¸co com produto interno são chamados ortogonais se e somente se hu, vi = 0.

Exemplo 4.12. Vetores ortogonais em P2.

Tomando em P2 o produto interno hp, qi =

R1 −1p(x)q(x)dx. Sejam p = x e q = x 2_{. Ent˜}_ao: hp, qi =R1 −1xx 2_{dx =}R1 −1x 3_{dx = 0.}

Como hp, qi = 0, os vetores p = x e q = x2 _s˜_{ao ortogonais relativamente ao produto}

(29)

4.4. ESPAÇ OS VETORIAIS COMPLEXOS COM PRODUTO INTERNO 29 Observa¸cão 4.13. 1) O vetor 0 ∈ V é ortogonal a qualquer v ∈ V .

2) Se u ⊥ v, ent˜_{ao αu ⊥ v; ∀α ∈ R}

3) Se u1 ⊥ v e u2 ⊥ v, ent˜ao (α1u1+ α2u2) ⊥ v, ∀α1, α2 ∈ R

Teorema 4.14. Teorema de Pit´agoras Generalizado

Se u e v s˜ao vetores ortogonais em um espa¸co de produto interno, ent˜ao: ku + vk2 _{= kuk}2_{+ kvk}2

Demonstra¸c˜ao: A ortogonalidade de u e v implica que hu, vi = 0, e portanto, ku + vk2 _{= hu + v, u + vi = kuk}2_{+ 2hu, vi + kvk}2 _{= kuk}2_{+ kvk}2

4.4 Espa¸

cos Vetoriais Complexos com Produto

Interno

Defini¸cão 4.15. Um produto interno num espa¸co vetorial complexo V é uma fun¸cão que associa um número complexo hu, vi a cada par u e v de vetores em V de tal maneira que os seguintes axiomas são satisfeitos por quaisquer vetores u, v e w em V e qualquer escalar λ ∈ C.

(1) hu, vi = hv, ui

(2) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi (3) hλu, vi = λhu, vi

(4) hv, vi > 0 e hv, vi = 0 ⇔ v = 0

Um espa¸co vetorial complexo de produto interno ´e chamado um espa¸co de produto interno complexo ou um espa¸co Hermitiano. As seguintes propriedades adicionais seguem imediatamente dos quatro axiomas de produto interno, com k ∈ C:

. (i) h0, vi = hv, 0i = 0

(ii) hu, v + wi = hu, vi + hu, vi (iii) hu, kvi = ¯khu, vi

(30)

30 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO reais.

hu, kvi = hkv, ui [Axioma(1)] = khv, ui [Axioma (3)]

= khv, ui [ Produtos de Conjugados] = khu, vi [Axioma (1)]

Exemplo 4.16. O produto interno em Cn

Sejam u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) vetores em Cn. O produto interno euclidiano

hu, vi = u.v = u1. ¯v1+ u2. ¯v2+ ... + un. ¯vn , satisfaz todos os axiomas do produto interno.

Observa¸cão 4.17. A norma e a distância em espa¸cos de produto interno complexos serão definidas de forma análoga as do produto interno reais.

kuk = hu, ui12

d(u, v) = ku − vk

Lema 4.18. Seja V um espa¸co de produto interno complexo. Então é válida a identidade de polariza¸cão: < u, v >= 1 4ku + vk 2₋ 1 4ku − vk 2₊ i 4ku + ivk 2₋ i 4ku − ivk 2

Prova: Basta desenvolver o lado direito da igualdade.

4.5 Conjunto Ortogonal de vetores

Seja V um espa¸co vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} ⊂

V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, vj.vi = 0 para

i 6= j.

Exemplo 4.19. No R3, o conjunto {(1, 2, −3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} ´e ortogonal, em rela¸c˜ao ao produto interno usual, pois:

(1, 2, −3).(3, 0, 1) = 0 (1, 2, −3).(1, −5, −3) = 0 (3, 0, 1).(1, −5, −3) = 0

Teorema 4.20. Um conjunto ortogonal de vetores n˜ao-nulos A = {v1, v2, ..., vn} ´e

(31)

4.6. BASE DE UM ESPAC¸ O VETORIAL 31 .

Demonstra¸c˜ao:

Consideremos a igualdade av1 + a2v2 + ... + anvn = 0 e fa¸camos o produto interno de

ambos os membros da igualdade por vi:

(a1v1+ a2v2 + ... + anvn).vi = 0.vi

ou

a1.(v1.vi) + a2(v2vi) + ... + an(vi.vi) + ... + an(vn.vi) = 0

Como o conjunto A ´e ortogonal, vj.vi = 0 para j 6= i e vi.vi 6= 0 , pois vi 6= 0 . Ent˜ao

ai(vi.vi) = 0 implica que ai = 0 para i = 1, 2, ..., n. Logo, A = {v1, v2, ..., vn} ´e (L.I)

4.6 Base de um Espa¸

co vetorial

Um conjunto de vetores A ⊂ V ´e chamado uma base de V se A ´e L.I e gera V , isto ´

e, A = V

4.7 Base Ortogonal

Diz-se que uma base {v1, ..., vn} de V ´e ortogonal se os seus vetores s˜ao dois a dois

ortogonais.

Assim, de acordo com o teorema anterior, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores n˜ao-nulos e dois a dois ortogonais, constitue uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apresentado no exemplo anterior: {(1, 2, −3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} ´e uma base ortogonal do R3_.

4.8 Base Ortonormal

Uma base B = {v1, v2, ..., vn} de um espa¸co vetorial euclidiano V ´e ortonormal se B ´e

(32)

32 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO vi.vj =    0, para i 6= j; 1, para i = j.

Exemplo 4.21. Em rela¸c˜ao ao produto interno usual, o conjunto 1) B = {(1, 0), (0, 1)} ´_{e uma base ortonormal do R}2. (Base canˆonica)

2) B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´_{e uma base ortonormal do R}3_{. (´}_{e a base canˆ}_onica)

3) B = {u1, u2, u3}, sendo u1 = ( 1 √ 3, 1 √ 3, 1 √ 3), u2 = ( −2 √ 6, 1 √ 6, 1 √ 6) e u3 = (0, − 1 √ 2, 1 √ 2), ´

e tamb´_{em base ortonormal do R}3, pois:

u1.u2 = u1.u3 = u2.u3 = 0 e ku1k = ku2k = ku3k = 1

Observa¸cão 4.22. Vimos que se v é um vetor não-nulo, o vetor v

kvk é unitário. Diz-se, nesse caso, que o vetor v está normalizado. O processo que transforma v em v

kvk chama-se normaliza¸c˜ao de v. Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando cada vetor.

Exemplo 4.23. A base B = {v1, v2, v3} sendo v1 = (1, 1, 1), v2 = (−2, 1, 1) e v − 3 =

(0, −1, 1), ´e ortogonal em rela¸c˜ao ao produto interno usual. Normalizando cada vetor, obtemos: u1 = v1 kv1k = √(1, 1, 1) 1 + 1 + 1 = ( 1 √ 3, 1 √ 3, 1 √ 3) u2 = v2 kv2k = (−2, 1, 1) p(−22_{) + 1 + 1} = (−2, 1, 1) √ 6 = ( −2 √ 6, 1 √ 6, 1 √ 6) u3 = v3 kv3k = (0, −1, 1)√ 2 = (0, −1, 1) √ 2 = (0, − 1 √ 2, 1 √ 2)

e B0 = {u1, u2, u3} ´e uma base ortonormal do R3

4.9 Processo de Ortogonaliza¸

c˜

ao de Gram-Schmidt

Teorema 4.24. Em todo espa¸co vetorial euclidiano V , de dimens˜ao finita com uma base qualquer B = {v1, v2, ..., vn} desse espa¸co, ´e poss´ıvel, a partir dessa base, extrair uma base

ortogonal de V .

Demonstra¸cão: Suponha que v1, v2, ..., vn não são ortogonais, considera-se

(33)

4.9. PROCESSO DE ORTOGONALIZAC¸ ˜AO DE GRAM-SCHMIDT 33 w2 = v2− αw1

Para ser ortogonal < w1, w2 >= 0 < v2 − α.w1, w1 >= 0 < v2, w1 > + < −αw1, w1 >= 0 < v2, w1 > −α < w1, w1 >= 0 α = < v2, w1 > < w1, w1 > w2 = v2− < v2, w1 > < w1, w1 > .w1 Assim w1 e w2 s˜ao ortogonais

Considere o vetor w3 = v3− a2w2 − a1w1 e determina-se a2 e a1 de maneira que o vetor

w3 seja ortogonal aos vetores w1 e w2:

< w3w1 >= 0 ⇒< v3− a2.w2− a1.w1, w1 >= 0

< w3, w2 >= 0 ⇒< v3− a2.w2− a1.w1, w2 >= 0

< v3, w1 > −a2. < w2, w1 > −a1 < w1, w1 >= 0

< v3, w2 > −a2. < w2, w2 > −a1. < w1, w2 >= 0

Tendo que < w1, w2 >= 0, vem:

< v3, w1 > −a1 < w1, w1 >= 0 < v3, w2 > −a2. < w2, w2 >= 0 a1 = < v3, w1 > < w1, w1 > a2 = < v3, w2 > < w2, w2 > E portanto, w3 = v3− ( < v3, w2 > < w2, w2 > .w2− < v3, w1 > < w1, w1 > .w1

Pode-se concluir a demonstra¸c˜ao do teorema por indu¸c˜ao, admitindo que, por esse pro-cesso, tenham sido obtidos (n − 1) vetores w1, w2, ..., wn−1 e considerar o vetor:

wn= vn− an−1wn−1− ... − a2w2− a1w1, sendo a1, a2, ..., an−1 tais que o referido vetor wn

seja ortogonal aos vetores w1, w2, ..., wn−1.

Os valores de a1, a2, ..., an−1 que aparecem em wn s˜ao:

a1 = < vn, w1 > < w1, w1 > ,a2 = < vn, w2 > < w2., w2 > , a3 = < vn, w3 > < w3, w3 > , ..., an−1 = < vn, wn−1 > < wn−1, wn−1>

Assim a partir de B = {v1, v2, ..., vn}, obtivemos a base ortogonal {w1, w2, ..., wn}. O

(34)

34 CAPÍTULO 4. ESPAÇ OS DE PRODUTO INTERNO chama-se processo de ortogonaliza¸cão de Gram-Schmidt.

Para se obter uma base ortonormal, basta normalizar cada wi. Fazendo ui =

wi

kwik

obte-mos a base B0 = {u1, u2, ..., un} que ´e uma base ortonormal obtida a partir da base

B = {v1, v2, ..., vn}

Exemplo 4.25. Sejam v1 = (1, 1, 1) e v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) vetores do R3. Esses

vetores constituem uma base B = {v1, v2, v3} n˜ao ortogonal em rela¸c˜ao ao produto interno

usual. Pretendemos obter, a partir de B, uma base B0 = {u1, u2, u3} que seja ortonormal.

Solu¸c˜ao: w1 = v1 = (1, 1, 1) w2 = v2− < v2, w1 > < w1, w1 > .w1 = ( −2 3 , 1 3, 1 3) w3 = v3− < v3, w2 > < w2, w2 > .w2− < v3, w1 > < w1, w1 > .w1 = (0, −1 2 , 1 2) Os vetores normalizados s˜ao:

u1 = w1 kw1k = (√1 3, 1 √ 3, 1 √ 3), u2 = w2 kw2k = (−2√ 6, 1 √ 6, 1 √ 6), u3 = w3 kw3k = (0,√−1 2, 1 √ 2) A base B0 = {u1, u2, u3} ´e uma base ortonormal, pois u1.u2 = u1.u3 = u2.u3 = 0 e

ku1k = ku2k = ku3k = 0

4.10 Componentes de um Vetor numa Base Ortogonal

Seja V um espa¸co vetorial euclidiano e B = {v1, ..., vn} uma base ortogonal de V .

Para cada vetor w ∈ V , podemos escrever w de modo ´unico da forma: w = a1v1+ ... + aivi+ ... + anvn

Efetuando o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi, vem:

< w, vi >= a1 < v1, vi > +... + ai < vi, vi > +... + an< vn, vi > ou < w, vi >= ai < vi, vi > pois < vj, vi >= 0 para j 6= i. Logo: ai = < w, vi > < vi, vi > = < w, vi > kvik2 ´

e a expressão da i-ésima coordenada de w em rela¸cão à base B.

(35)

4.11. CONJUNTOS ORTOGONAIS 35 Fourier de w em rela¸c˜ao `a base ortogonal B.

Observa¸c˜ao 4.22. No caso particular de B = {v1, ..., vn} ser uma base ortonormal de

V , os coeficientes ai do vetor w = a1v1+ ... + anvn, s˜ao dados por:

ai =< w, vi > pois < vi, vi >= 1. Assim, w =< w, v1 > v1+ < w, v2 > v2+ ...+ < w, vn>

vn,onde os termos < w, vi > são as proje¸cões de w sobre as dire¸cões vi.

Defini¸c˜_{ao 4.26. Sejam V um espa¸co vetorial sobre o corpo F munido de produto interno} e B = {v1, ..., vn} um conjunto ortogonal em V com elementos vj 6= 0 para j = 1, ..., n.

Os coeficientes de Fourier do elemento u ∈ V relativos ao conjunto ortogonal B s˜ao definidos como: αi = < u, vi > < vi, vi > para i = 1, ..., n

4.11 Conjuntos Ortogonais

Se S1 e S2 s˜ao subconjuntos n˜ao-vazios de um espa¸co vetorial euclidiano V , diz-se que

S1 ´e ortogonal a S2, S1 ⊥ S2, se qualquer v1 ∈ S1 ´e ortogonal a qualquer vetor v2 ∈2.

Teorema 4.27. Seja V um espa¸co vetorial euclidiano e B = {v1, ..., vp} uma base de um

subespa¸co S de V , gerado por B. Se um vetor u ∈ V é ortogonal a todos os vetores da base B, então u, é ortogonal a qualquer vetor do subespa¸co S e se representa por u ⊥ S.

Demonstra¸c˜ao: Qualquer vetor v ∈ S pode ser expresso por: v = a1v1+ a2v2+ ... + apvp

e

u.v = u.(a1v1 + a2v2+ ... + apvp)

u.v = a1(u.v1) + a2(u.v2) + ... + ap(u.vp)

Mas por hip´otese que, u.vi = 0, i = 1, ..., p

Portanto: u.v = 0

(36)

36 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO

4.12 Complemento ortogonal

Seja V um espa¸co vetorial euclidiano e S um subespa¸co vetorial de V . Consideremos o subconjunto de V formado pelos vetores que s˜ao ortogonais a S definidos por:

S⊥ = {v ∈ V /v ⊥ S} = {v ∈ V : (v, s) = 0, ∀s ∈ S}

Esse subconjunto S⊥ de V ´e chamado complemento ortogonal de S . vamos considerar duas propriedades:

(I) S⊥ ´e subespa¸co de V De fato:

a) Se v1, v2 ∈ S⊥, para qualquer u ∈ S, tem-se: u ⊥ v1 e u ⊥ v2, isto ´e:

v1.u = 0 e v2.u = 0. Ent˜ao: v1.u + v2.u = 0 =⇒ (v1+ v2).u = 0 =⇒ v1+ v2 ∈ S⊥

b) Analogamente, se verifica que para qualquer α ∈ R, α.v1 ∈ S⊥.

(II) Se S é subespa¸co vetorial de V , então V = S ⊕ S⊥ V é a soma direita de S e S⊥.

De fato:

Se S = {0}, ent˜ao S⊥= V e a demonstra¸c˜ao seria imediata.

S 6= {0}, para qualquer v ∈ S ∩ S⊥ tem-se: v.v = 0, isto é, v=0; o que mostra que S ∩ S⊥ = {0}. Como S é um subespa¸co vetorial de V , S pode ser considerado um espa¸co vetorial euclidiano tal como V . Nessas condi¸cões, sejam B = {e1, e2, ..., ep} uma base

ortonormal de S e v um vetor qualquer de V .

Tendo em vista que v.e1, v.e2, ..., v.ep s˜ao n´umeros reais o vetor v1 = (v.e1)e1+ (v.e2)e2+

... + (v.ep)ep

pertence a S, e o vetor v2 = v − v1´e ortogonal a S, isto ´e, pertence a S⊥ por ser ortogonal

a todos os vetores da base B = {e1, e2, ..., ep}

v2.e1 = (v − v1).e1 = v.e1− v1.e1

v2.e1 = v.e1− [(v.e1).e1+ (v.e2).e2+ ... + (v.ep).ep].e1

v2.e1 = v.e1− [(v.e1).e1].e1+ 0 + ... + 0

v2.e1 = v.e1− v.e1

v2.e1 = 0

Do mesmo modo:

(37)

4.13. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DE PRODUTO INTERNO 37 Assim,

v = v1+ v2, com v1 ∈ S e v2 ∈ S⊥

Logo:

V = S ⊕ S⊥

4.13 Propriedades Complementares de Produto Interno.

Desde que um espa¸co de produto interno X é um espa¸co normado (com a norma induzida pelo produto interno), já que, ele é também um espa¸co métrico com a métrica induzida de uma norma , isto é, d(x, y) = kx − yk =phx − y, x − yi.

Assim quaisquer conceitos de espa¸cos métricos que usamos sobre X será definido através dessa métrica.

Continuidade do Produto Interno

Definimos a métrica via produto interno e definimos este via propriedades algébricas. No entanto podemos mostrar que o produto interno é uma fun¸cão cont´ınua.

Lema 4.28. Seja X um espa¸co com produto interno e suponha que {xn} e {yn} sejam

sequˆencias convergentes em X, com lim xn = x e lim yn= y, ent˜ao:

lim

n→∞(xn, yn) = (x, y).

Demonstra¸c˜ao: Desejamos mostrar que |(xn, yn) − (x, y)| < E para n suficientemente

grande.

|(xn, yn) − (x, y)| = |(xn, yn) − (xn, y) + (xn, y) − (x, y)

= |(xn, yn− y) + (xn− x, y)| ≤ |(xn, yn− y) + |xn− x, y| ≤

≤ kxnkkyn− yk + kxn− xkkyk.

Como {xn} é convergente =⇒ kxnk é limitada e como {yn} é convergente =⇒ {yn} é

limitada ent˜ao |(xn, yn) − (x, y)| ≤ kxnkkyn− yk + kxn− xkkyk −→ 0

|(xn, yn) − (x, y)| −→ 0 para n −→ ∞, isto ´e,

lim

n−→∞(xn, yn) = (x, y).

Ortogonalidade

(38)

38 CAP´ITULO 4. ESPAC¸ OS DE PRODUTO INTERNO se < x, y >= 0.

Observa¸cão 4.30. Da álgebra linear estamos familiarizados com o conceito de conjunto de vetores ortogonais em espa¸cos de dimensão finita. O conceito pode ser estendido para espa¸cos de produto interno arbitrários.

Defini¸c˜ao 4.31. Seja X um espa¸co de produto interno, o conjunto {e1, e2, ..., ek} ⊂ X ´e

dito ortonormal se :

(i) kenk = 1 para 1 ≤ n ≤ k, e

(ii) (em, en) = 0 para 1 ≤ m, n ≤ k com m 6= n

δm,n =    1, se m = n; 0, se m 6= n.

Lema 4.32. Um conjunto ortonormal { ~e1, ~e2, ..., ~ek} num espa¸co de produto interno ´e

L.I. Em particular se k = dimX < ∞ então { ~e1, ~e2, ..., ~ek} é uma base para X e além do

mais ∀x ∈ X podemos escrever:

x =

k

X

n=1

(x, en)en

onde os números (x, en) são as componentes de x com rela¸cão a esta base, (x, en)en as

proje¸c˜oes de x nas dire¸c˜oes en.

Prova: Suponha k X n=1 αnen = 0 algum αn ∈ F, n = 1, 2, ..., k ( k X n=1 αnen, em) = k X n=1 αn(en, em) = k X n=1 αnδmn= 0 k X m=1 αmδmn= 0 =⇒ αm = 0, ∀m ∈ N.

Logo {e1, ..., ek} ´e L.I. Se {e1, e2, ..., ek} ´e uma base =⇒ ∃γn∈ F tal que

x = k X n=1 γnen=⇒ (x, em) = ( k X n=1 γnen, em) = k X n=1 γn(en, em) = k X n=1 γnδmn= γm

(39)

4.13. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DE PRODUTO INTERNO 39 isto ´e, x = k X n=1 (x, en)en

Lema 4.33. Seja {v1, v2, ..., vk} um subconjunto L.I de um espa¸co de produto interno X

e seja S = span{v1, v2, ..., vk} ent˜ao existe uma base ortonormal {e1, e2, ..., ek} para S.

Prova: Gram-Schmitd

Teorema 4.34. Seja um k- dimensional espa¸co de produto interno e seja {e1, e2, ..., ek}

uma base ortonormal para X. Ent˜ao, para todo αn∈ F, n = 1, 2, ..., k

k k X n=1 αnenk2 = k X n=1 |αn|2 Prova: k k X n=1 αnenk2 = ( k X n=1 αnen, k X m=1 αmem) = k X n=1 k X m=1 αn. ¯αm(en, em) = k X n=1 k X m=1 αn. ¯αm.δm,n = k k X n=1 αn.enk2 = k X n=1 αn. ¯αn= k X n=1 |αn|2

Defini¸c˜ao 4.35. Seja X um espa¸co de produto interno e A ⊂ X. O complemento ortogonal de A ´e o conjunto:

A⊥ = {x ∈ X : (x, a) = 0; ∀a ∈ A}

Lema 4.36. Se X ´e um espa¸co de produto interno e A ⊂ X ent˜ao: (a) ~0 ∈ A⊥

(b) Se ~0 ∈ A =⇒ A ∩ A⊥= {0}, caso contr´ario A ∩ A⊥_{= ∅} (c) {0}⊥= X, X⊥= {0}

(d) Se B ⊂ A =⇒ A⊥ ⊂ B⊥

(e) Se A⊥ é um subespa¸co linear fechado de X, então A⊥ é um subespa¸co linear. Mostraremos a letra (e):

Suponha que y e z ∈ A⊥ _{e α, β ∈ F e seja x ∈ A.} (i) (y, x) = 0

(ii) (z, x) = 0

(40)

40 CAPÍTULO 4. ESPAÇ OS DE PRODUTO INTERNO =⇒ αy + βz ∈ A⊥. Mostraremos agora que A⊥ é fechado: Suponha que {xn} ∈ A⊥

convergindo para x ∈ X. 0 = (0, a) = lim n→∞(xn− x, a) = limn→∞[(xn, a) − (x, a)] = −(x, a) = 0 (x, a) = 0 =⇒ como x ∈ A⊥=⇒ A⊥ ´e fechado. (f) A ⊂ (A⊥)⊥ tomemos a ∈ A =⇒ ∀x ∈ A⊥ (a, x) = 0 =⇒ (x, a) = 0 portanto a ∈ (A⊥)⊥

Lema 4.37. Seja Y um subespa¸co linear de um espa¸co de produto interno X . Ent˜ao x ∈ Y⊥ _{⇐⇒ kx − yk > kxk.}

Prova:

(=⇒)Suponha que x ∈ Y⊥ =⇒ (x, y) = (y, x) = 0 kx − αyk2 _{= (x − αy, x − αy)}

kx − αyk2 _{= (x, x) − (x, αy) − (αy, x) + (αy, αy)}

kx − αyk2 _{= kxk}2_{− ¯}_{α(x, y) − α(y, x) + |α|}2_kyk2

kx − αyk2 _{= kxk}2_{+ |α|}2_kyk2_{, particularmente seja α = 1}

kx − yk2 _{= kxk}2_{+ kyk}2 _{> kxk}2 _{=⇒ kx − yk > kxk}

(⇐=) kx − yk > kxk =⇒ x ∈ Y⊥, ∀y ∈ Y . Seja y ∈ Y , ent˜ao αy ∈ Y ,pois Y ´e um subespa¸co linear de X. Agora,

kx − αyk2 _{= kxk}2_{− ¯}_{α(x, y) − α(y, x) + |α|}2_kyk2

0 ≤ kx − αyk2_{− kxk}2 _{= − ¯}_{α(x, y) − α(y, x) + |α|}2_kyk2

¯ α(x, y) + α(y, x) ≤ |α|2kyk2 Escolhendo: β =      |(x, y)| (y, x) se (y, x) 6= 0 1 se (y, x) = 0 α = tβ ; t ∈ R+ ∗.

Portanto, tβ(x, y) + tβ(y, x) ≤ |tβ|2kyk2 _{=⇒ ¯}_{t ¯}_{β(x, y) + tβ(y, x) ≤ |t}2_β2_|kyk2_.

Substituindo-se o valor de β, temos: t.|(x, y)|

(x, y) .(x, y) + t.|(x, y)| ≤ t

2_|β|2_kyk2 _{≤ t}2₍|(x, y)|

(x, y) )

2_.kyk2 _{=⇒ t.|(x, y)| + t|(x, y| ≤}

t2_.kyk2 _{=⇒ 2t.|(x, y)| ≤ t}2_.kyk2 _{=⇒ |(x, y)| ≤} t

2.kyk

2_{; ∀t ∈ R}+ ∗.

(41)

4.13. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DE PRODUTO INTERNO 41 lim t→0+|(x, y)| ≤ lim_t→0+ t 2kyk 2 _{= 0 =⇒ lim} t→0+|(x, y)| ≤ 0 =⇒ |(x, y)| ≤ 0 ⇐⇒ (x, y) = 0 =⇒ x ⊥ y, ou seja, x ∈ y⊥.

Defini¸cão 4.38. Conjunto Convexo: Seja A um subconjunto não-vazio de um espa¸co vetorial X .Sejam x, y ∈ A e λ ∈ [0, 1]. Dizemos que A é convexo se λx + (1 − λ)y ∈ A; ∀x, y ∈ A.

(42)

Cap´ıtulo 5

Espa¸

cos de Hilbert

Defini¸cão 5.1. Seja X um espa¸co de produto interno. Dizemos que X é um espa¸co de Hilbert se X é completo na norma induzida pelo produto interno. Neste caso usamos H para representar X como um espa¸co de produto interno completo.

Vejamos alguns exemplos de espa¸cos de Hilbert: Exemplo 5.2. : (1) Rn e Cn s˜ao espa¸cos de Hilbert. (2) l2 _´_{e um espa¸cos de Hilbert.} ∞ X n=1 |xn|2 < ∞ (3) L2_{[a, b] ´}_{e de Hilbert =⇒}Rb a |f 2_{|dx < ∞}

Lema 5.3. Se H é um espa¸co de Hilbert e Y ⊂ H é um subespa¸co linear, então Y é Hilbert, se somente se Y é fechado.

Demonstra¸c˜ao: :

(=⇒) Y ´e de Hilbert =⇒ Y ´e completo =⇒ (xn) ∈ Y −→ x ∈ Y =⇒ y = Y

(⇐=) Y ´e fechado =⇒ Y = Y =⇒ ∀xn ∈ Y → x ∈ Y = Y

xn → x ∈ Y =⇒ Y completo =⇒ Y ´e Hilbert.

Lema 5.4. Seja X um espa¸co vetorial de dimens˜_{ao finita sobre F(R ou C) e seja {e}1, ..., en}

uma base para X;

(43)

43 Se k · k1 : X −→ R ´e a norma sobre X, e em particular

kxk1 = v u u t n X j=1 |λj|2

então X é um espa¸co métrico completo. Demonstra¸cão:

Para mostrar que X é completo é suficiente mostrar que toda sequência de Cauchy em X converge para elementos de X. Inicialmente suponhamos que {xn} seja uma sequência

de Cauchy em X : {xm} ∈ X. xm =P λ (m) j ej kxm− xnk2 = n X j−1 |λ(m)_j − λ(n)_j |2 _{< E}2 |λ(m)_j − λ(n)_j |2 _{< E}2_{; ∀i ≤ j ≤ n} |λ(m)_j − λ(n)_j | < E

{λ(m)_j _{} é de Cauchy. Como R ou C são completos} {λ(m)_j } −→ λj. Então ∃ x ∈ X : x = n X j=1 λjej

Ent˜ao, existe Nj ∈ N : m > Nj =⇒ |λ (m) j −λj|2 ≤ E2 n (n ∈ N). Seja N0 = max{N1, N2, ..., Nn} xm = (λ (m) 1 , λ (m) 2 , ..., λ (m) n ) x = (λ1, λ2, ..., λn) kxm− xk2 = n X j=1 |λ(m)_j − λi|2 ≤ n X j=1 E2 n kxm− xk2 ≤ E2 kxm − xk < E; m > N0 ⇐⇒ lim

m→+∞xm → x,ou seja, xm → x ∈ X. Como {xm} foi

arbitr´ario =⇒ X ´e completo.

Teorema 5.5. Desigualdade de Minikowski. Seja p > 1. Se (an)(bn) sequˆencias de

n´umeros reais n˜ao negativos tal que

∞ X n=1 ap_n< ∞, ∞ X n=1 bp_n < ∞,

(44)

44 CAPÍTULO 5. ESPAÇ OS DE HILBERT então ( ∞ X n=1 (an+ bn)p) 1 p ≤ ( ∞ X n=1 (ap_n)1p) + ( ∞ X n=1 bp_n)1p

Demonstra¸c˜_{ao: Se p = 1 a desigualdade se verifica. Consideremos p > 1. Fixando m ∈ N} observe que m X n=1 (an+ bn)p = m X n=1 (an+ bn)(an+ bn)p−1= m X n=1 an(an+ bn)p− 1 + m X n=1 bn(an+ bn)p−1

Aplicando a desigualdade de Holder, com p e q = p/(p − 1) ´as duas ultimas somat´orias temos que m X n=1 (an+ bn)p ≤ {( m X n=1 (ap_n)1p _{+ (} m X n=1 (bp_n)1p}( m X n=1 (an+ bn)p)1− 1 p

de onde segue que

( m X n=1 (an+ bn)p) 1 p ≤ ( ∞ X n=1 (ap_n)p1_{) + (} ∞ X n=1 bp_n)1p_{; ∀m ∈ N}

Elevando à potência p segue que a série do lado esquerdo converge e temos a

desigual-dade desejada.

Um dos exemplos mais importantes de espa¸co de Hilbert é o espa¸co das sequências quadrados somáveis, ou espa¸co l2_{. Ou seja, l}2 _´_{e um espa¸co m´}_{etrico, na distˆ}_{ancia induzida}

do produto interno, completo.

Demonstra¸c˜ao: Seja {xm} uma sequˆencia de Cauchy em l2.

Definamos: xm ∈ l2 =⇒ xm = (ε(m)1 , ε (m) 2 , ..., ε (m) j , ...) xn ∈ l2 =⇒ xn= (ε (n) 1 , ε (n) 2 , ..., ε (n) j , ...) d(xm, xn) = ( ∞ X j=1 |ε(m)_j − ε(n)_j |2₎1₂ _{< E}

(45)

45 d(xm, xn) −→ 0, quando n, m −→ ∞. Em particular, a soma ´e valida para cada

coorde-nada Ej, as quais s˜ao sequˆencias, assim temos: ∞

X

j=1

|ε(m)_j − ε(n)_j |2 _{< E}2

o que implica que |ε(m)_j − ε(n)_j |2 _{< E}2_{; m, n −→ ∞ para E dado. Assim {ε}(m)

j } ´e uma

sequˆencia de Cauchy.

Como R ou C s˜ao completos =⇒ {ε(m)j } −→ εj para cada j ∈ N.

Definamos o vetor x com estas coordenadas: x = (ε1, ε2, ..., εn, ...). Mostraremos que

Assim para cada j temos a equivalˆencia: d(xm, x) = kxm − xk2 ≤ E2ou seja kxm− xk ≤

E =⇒ xm −→ x.

Da desigualdade de Minkowski temos:

( ∞ X j=1 |εj+ ηj|2) 1 2 ≤ ( ∞ X j=1 |εj|2) 1 2 + ( ∞ X j=1 |ηj|2) 1 2 ( ∞ X j=1 |εj|2) 1 2 = ( ∞ X j=1 |ε(m)_j |2_{) + |ε} j− ε (m) j | 2₎1₂ _{≤ (} ∞ X j=1 |ε(m)_j |2₎1₂ _{+ (} ∞ X j=1 |εj− ε (m) j | 2₎1₂ _{< ∞} isto ´e, x ∈ l2_{. Como x}

m −→ x ∈ l2, e como {xm} foi uma sequˆencia arbitr´aria temos que

l2 _´_{e Hilbert.}

Teorema 5.6. (Menor distância ou Melhor aproxima¸cão): Seja H um espa¸co de Hilbert e A um subespa¸co linear não vazio convexo e fechado em H. Então, dado p ∈ H, existe um único q ∈ A tal que kp − qk = inf {kp − ak : a ∈ A}.

(46)

46 CAPÍTULO 5. ESPAÇ OS DE HILBERT Demonstra¸cão: A idéia da demonstra¸cão é construir um vetor q com a propriedade mencionada, a partir de uma sequência de Cauchy de vetores de A, mostrar que essa sequência converge a um vetor de A, mostrar que esse vetor satisfaz a propriedade de m´ınima distância mencionada e, por fim, mostrar sua unicidade.

Seja γ > 0 definido como γ = inf {kp − ak : a ∈ A}. Para cada n ∈ N seja qn ∈ A um

vetor com a propriedade que kp − qnk2 ≤ γ2+

1 n.

Vamos agora provar que toda sequência qn como acima é uma sequência de Cauchy em

H. Para tal, usaremos a lei do paralelogramo e o fato de A ser convexo. A lei do paralelogramo diz que para todos u e v ∈ H tem-se que

ku + vk2_{+ ku − vk}2 _{= 2(kuk}2_{+ kvk}2_).

Adotemos, ent˜ao, u = p − qm e v = p − qn. Teremos que:

k(p − qm) + (p − qn)k2+ k(p − qm) − (p − qn)k2 = 2(kp − qmk2) + kp − qnk2) k2p − (qm+ qn)k2+ kqn− qmk2 = 2(kp − qmk2+ kp − qnk2) 4kp − (qm+ qn) 2 k 2_{+ kq} n− qmk2 = 2(kp − qmk2+ kp − qnk2)

Isso pode ser reescrito como:

kqn− qmk2 = 2(kp − qmk2+ kp − qnk2) − 4kp −

(qm+ qn)

2 k

2

Usando agora o fato que kp − qnk2 6 γ2+

1

n para todo n, ficamos com kqn− qmk2 6 2((γ2+ 1 m) + (γ 2₊ 1 n)) − 4kp − (qm+ qn) 2 k 2 kqn− qmk2 6 4γ2+ 2( 1 n + 1 m) − 4kp − (qm+ qn) 2 k 2

Notemos agora que (qm+ qn)

2 ∈ A pois o lado esquerdo é uma combina¸cão linear convexa de elementos de A e A é um conjunto convexo. Assim, pela defini¸cão de γ,

kp − (qm+ qn)

2 k

2 _{≥ γ}2_{. Portanto, temos que}

kqn− qmk2 6 4γ2+ 2( 1 n + 1 m) − 4γ 2 _{= 2(}1 n + 1 m) kqn− qmk2 6 2( 1 n + 1 m)

O lado direito pode ser feito arbitrariamente pequeno, tomando-se m e n ambos grandes o suficiente. Ora, isso diz-no precisamente que {qn}n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy.

n, m −→ ∞ =⇒ kqn− qmk −→ 0 =⇒ {qn} ´e de Cauchy.

H ´e completo =⇒ {qn} −→ q ∈ H

Como A ´e fechado =⇒ q ∈ A qn −→ q ∈ A

(47)

47 Uma vez encontrado esse q ∈ A, vamos mostrar que kp − qk = γ. De fato, para todo n vale que:

kp − qk = k(p − qn) − (q − qnk ≤ kp − qnk + kq − qnk <

r

γ2 ₊ 1

n + kq − qnk.

Tomando-se n −→ ∞, e usando o fato que qn converge a q, conclu´ımos que kp − qk ≤ γ.

Por outro lado, ´e evidente pela defini¸c˜_{ao de γ que kp − qk > γ pois q ∈ A. Da´ı, segue que} kp − qk = γ.

Mostrando a unicidade:

Suponhamos que exista outro ponto w ∈ A : kp − wk = inf {kp − ak : a ∈ A}. Pelo fato de A ser convexo n´os temos que w + q

2 ∈ A

kp − (w + q)

2 k > kp − wk = kp − qk = γ Aplicando a Lei do Paralelogramo nos vetores: p − w e p − q temos: |2p − (w + q)k2_{+ kp − w − p + qk}2 _{= 2kp − wk}2_{+ 2kp − qk}2 4kp − (w + q) 2 k 2_{+ kq − wk}2 _{= 2kp − wk}2_{+ 2kp − qk}2 kq − wk2 _{= 2γ}2_{+ 2γ}2_{− 4kp −} (w + q) 2 k 2 kq − wk2 _{= 4γ}2_{− 4kp −} (w + q) 2 k 2 kq − wk2 _{≤ 4γ}2 _{− 4γ}2 _{= 0} 0 ≤ kq − wk2 _{≤ 0 ⇐⇒ kq − wk = 0 =⇒ q = w.}

Proposi¸cão 5.7. O fecho E de um subespa¸co E de um espa¸co de Hilbert H é E = (E⊥)⊥. Em particular, se E é um subespa¸co fechado de H, então E = (E⊥)⊥.

Prova: Notemos primeiramente que E ⊂ (E⊥)⊥, pois (E⊥)⊥ ´e o conjunto de todos os vetores perpendiculares a cada elemento de E⊥e todo elemento de E tem essa propriedade. Como (E⊥)⊥ ´e um conjunto fechado, segue que E ⊂ (E⊥)⊥.

Vamos agora provar a rela¸c˜ao oposta, ou seja, que E ⊃ (E⊥)⊥. Para isso vamos mostrar que todo elemento de (E⊥)⊥ est´a no fecho de E.

Seja x ∈ (E⊥)⊥. Como E é um subespa¸co linear fechado, a ele se aplica o Teorema de Decomposi¸cão Ortogonal e podemos afirmar que x pode ser escrito como x = y + z com y ∈ E e z ∈ (E)⊥. Se provarmos que z = 0, teremos estabelecido que x = y ∈ E que é o

(48)

48 CAP´ITULO 5. ESPAC¸ OS DE HILBERT queremos. Para isso, notemos que:

< x, z >=< y + z, z >=< y, z > + < z, z >=< y, z > +kzk2

Como < y, z >= 0 pois (y ∈ E e z ∈ (E)⊥), segue que kzk2 _{=< x, z >. Queremos}

agora provar que esse produto interno ´e nulo, o que implica z = 0.Como E ⊂ E segue que (E)⊥ ⊂ E⊥_{. Logo, z ∈ E}⊥_{. Como x ∈ (E}⊥₎⊥_{, segue imediatamente que x e z s˜}_ao

perpendiculares, completando a prova.

5.1 Sequˆ

encias Ortonormais versus Espa¸

cos de Dimens˜

ao

Infinita

Defini¸cão 5.8. Seja X um espa¸co de produto interno. Uma sequência {en : n ∈ N} é

dita ortonormal se (en, em) = 0; ∀n, m ∈ N e kenk = 1; ∀n ∈ N.

Exemplo 5.9. e1 = (1, 0, 0, ...), e2 = (0, 1, 0, ...), ..., en= (0, 0, ..., 1, 0, ...) ∈ l2

=⇒ (en, em) = 0 e kenk = 1; ∀n ∈ N ´e uma sequˆencia ortonormal.

Lema 5.10. (Desigualdade de Bessel): Seja X um espa¸co de Produto Interno e {en} uma

sequência ortonormal em X. Então, para qualquer x ∈ H, a série P |(x, en)|2 converge.

Demonstra¸c˜ao: kx − ykk2 = (x − yk, x − yk) = kxk2− (x, yk) − (yk, x) + (yk, yk) = = kxk2_{+ kyk}2_{− (x, y} k) − (yk, x). Temos: (x, yk) = (x, k X n=1 (x, en)en) = k X n=1 (x, en)(x, en) = k X n=1 |(x, en)|2 (yk, x) = ( k X n=1 (x, en)en, x) = k X n=1 (x, en)(en, x) = k X n=1 (x, en)(x, en) = k X n=1 |(x, en)|2 (yk, yk) = ( k X n=1 (x, en)en, k X m=1 (x, em)em) = k X n,m=1 (x, en)(x, em)(en, em) = k X n,m=1 (x, en)(x, em).δm,n = k X m=1 |(x, en)|2 Sendo assim, kx − ykk2 = kxk2+ kykk2− (x, yk) − (yk, x) kx − ykk2 = kxk2+ k X n=1 |(x, en)|2− 2 k X n=1 |(x, en)|2 = kxk2− k X n=1 |(x, en)|2 > 0