GABARITO S = { 1, 33; 0, 2} (VERDADEIRO) 08. 2x 5 = 8x x 2 9 x x = 3 e x = 3. x = 7 ± 3. x =

(1)

01) √88 121 − 1 x≤ 0, 25 1 2 → aplicando a prop. a n m = m √ an_: 88 √ 121− r 25 100 ≤ 1 x 88 √ 121− 5 10 ≤ 1 x 8 11− 5 10 ≤ 1

x → multiplicando toda inequa¸c˜ao por 10: 80 − 5 ≤ 10

x 75 ≤10

x → multiplicando toda inequa¸c˜ao por x: 75x ≤ 10

x ≤ 10 75 x ≤ 2

15

Por´em, x 6= 0, pois x ´e o denominador.

Resposta: letra B

02) 01. x2_{< 9}

−3 < x < 3 (FALSO) 02. −5x2_{− 14x + 3 ≥ 0}

Encontrando as ra´ızes temos: x = 14 ± √ 196 + 60 −10 x = 14 ± √ 256 −10 x = −14 ∓ 16 10      x0= −14 − 16 10 = −30 10 = −3 x00=−14 + 16 10 = 2 10 = 0, 2

Então a solu¸cão da inequa¸cão é: S = {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤ 0, 2} (VERDADEIRO) 04. (5x − 8)2_{= −21} 25x2− 80x + 64 + 21 = 0 25x2_{− 80x + 85 = 0} ∆ = 6400 − 8500 ∆ = −2100 Não tem raiz real.

|5x − 3| = −8 |5x − 3| + 8 = 0

caso I: caso II: 5x − 3 + 8 = 0 −5x + 3 + 8 = 0 5x + 5 = 0 −5x + 11 = 0 5x = −5 11 = 5x x = −1 x = 2, 2 S = {−1; 2, 2} (VERDADEIRO) 08. |2x − 5| = |8x + 3|

caso I: os dois positivos caso II: os dois negativos 2x − 5 = 8x + 3 −2x + 5 = −8x − 3 −5 − 3 = 8x − 2x −2x + 8x = −3 − 5

−8 = 6x 6x = −8

x = −1, 33 x = −1, 33 caso III: primeiro positivo e segundo negativo

2x − 5 = −8x − 3 2x + 8x = −3 + 5

10x = 2 x = 0, 2

caso IV: primeiro negativo e segundo positivo −2x + 5 = 8x + 3 5 − 3 = 8x + 2x 2 = 10x x = 0, 2 S = {−1, 33; 0, 2} (VERDADEIRO) 16. x2_{≤ 9} x2− 9 ≤ 0 x0 = −3 e x00= 3

Então a solu¸cão da inequa¸cão é: S1= {x ∈ R/ − 3 ≤ x ≤ 3}

Encontrando as ra´ızes de x2_{− 7x + 10 = 0 temos:}

x = 7 ± √ 49 − 40 2 x = 7 ± √ 9 2 x = 7 ± 3 2      x0= 7 + 3 2 = 10 2 = 5 x00=7 − 3 2 = 4 2 = 2

Então a solu¸cão da inequa¸cão é: S2= {x ∈ R/x < 2 ou x > 5}

(2)

32. x2_{− 7x + 10 ≤ 0}

Encontrando as ra´ızes temos: x0= 5 e x00= 2

Então a solu¸cão da inequa¸cão é: S = {x ∈ R/2 ≤ x ≤ 5}

Fazendo a intersec¸c˜ao temos:

A ∩ S = {x ∈ R/2 ≤ x ≤ 3} (FALSO)

Resposta: 30

03) −x2_{+ 13x − 40 ≥ 0}

Encontrando as ra´ızes de −x2_{+ 13x − 40 = 0 temos:}

x = −13 ± √ 169 − 160 2 · (−1) x = −13 ± √ 9 −2 x = −13 ± 3 −2 x = 13 ∓ 3 2 =      x0 =13 − 3 2 = 10 2 = 5 x00= 13 + 3 2 = 16 2 = 8 S = {x ∈ R/5 ≤ x ≤ 8} Fazendo S ∩ I temos: Resposta: letra D 04) 5m + 24 > 5500 5m > 5500 − 24 5m > 5476 m >5476 5 m > 1095, 2 −8m 5 + 700 > 42 − m 700 − 42 > −m +8m 5 658 > −m +8m

5 → multiplicando toda inequa¸c˜ao por 5: 3290 > −5m + 8m

3290 > 3m 3290

3 > m

1096, 66 > m

Então 1095, 2 < m < 1096, 66. Logo o único inteiro que satisfaz esse intervalo é 1096: 1 + 0 + 9 + 6 = 16

Resposta: 16

5) x2_{− 32x + 252 < 0}

x = 32 ± √ 1024 − 1008 2 x = 32 ± √ 16 2 x = 32 ± 4 2 = ( x0 = 18 x00_{= 14} Resposta: letra B 6) (x − 3)2_{> x − 3} x2_{− 6x + 9 > x − 3} x2_{− 6x + 9 − x + 3 > 0} x2− 7x + 12 > 0

x = 7 ± √ 49 − 48 2 x = 7 ± √ 1 2 x = 7 ± 1 2 = ( x0= 4 x00= 3 S = {x ∈ R/x < 3 ou x > 4} Resposta: letra D 7) 2x + 1 ≤ x + 3 ≤ 4x parte I: parte II: 2x + 1 ≤ x + 3 x + 3 ≤ 4x 2x − x ≤ 3 − 1 3 ≤ 4x − x x ≤ 2 3 ≤ 3x 1 ≤ x S = {x ∈ Z/1 ≤ x ≤ 2} → 1 + 2 = 3 Resposta: letra D

(3)

8) −1 ≤ 3x − 2 ≤ 1 parte I: parte II: −1 ≤ 3x − 2 3x − 2 ≤ 1 −1 + 2 ≤ 3x 3x ≤ 1 + 2 1 ≤ 3x 3x ≤ 3 1 3 ≤ x x ≤ 1 Logo: 1 3 ≤ x ≤ 1, ent˜ao a = 1 3 e b = 1 → a + b = 1 3 + 1 = 4 3 Resposta: letra C 9) 2x + 3 ≤ x + 7 ≤ 3x + 1 parte I: parte II: 2x + 3 ≤ x + 7 x + 7 ≤ 3x + 1 2x − x ≤ 7 − 3 7 − 1 ≤ 3x − x x ≤ 4 6 ≤ 2x 3 ≤ x S = {x ∈ Z/3 ≤ x ≤ 4} Resposta: letra D 10) 5 (x − 3) > 3 5 > 3 · (3 − x) 5 > 3x − 9 5 + 9 > 3x 14 > 3x 14 3 > x

4, 66 > x → o maior inteiro que satisfaz a inequa¸c˜ao ´e 4

Resposta: letra A

11)

primeiro jovem: segundo jovem: 2t − 3960 ≥ 0 3t − 6000 ≤ 0 2t ≥ 3960 3t ≤ 6000 t ≥ 3960 2 t ≤ 6000 3 t ≥ 1980 t ≤ 2000

Ent˜ao 1980 ≤ t ≤ 2000, isso significa que os jovens vive-ram simultaneamente em SP de 1980 at´e 2000

Resposta: letra C

12) Note que g(x) é não negativa no intervalo −2 ≤ x ≤ 2 e que f (x) = pg(x). Sabendo que não existe raiz nega-tiva de ´ındice par é poss´ıvel afirmar que o dom´ınio de f (x) é {x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 2}

Resposta: letra D

13) A = {x ∈ R/x2_{− 6x + 5 < 0}}

x = 6 ± √ 36 − 20 2 x = 6 ± √ 16 2 x = 6 ± 4 2 = ( x0= 5 x00_{= 1} A = {x ∈ R/1 < x < 5} B = {x ∈ R/ − x2+ 2x + 3 > 0}

Encontrando as ra´ızes de −x2_{+ 2x + 3 = 0 temos:}

x = −2 ± √ 4 + 12 2 · (−1) x = −2 ± √ 16 −2 x = −2 ± 4 −2 x = 2 ∓ 4 2 = ( x0= −1 x00= 3 B = {x ∈ R/ − 1 < x < 3} C = {x ∈ R/x2_{− 8x + 12 ≥ 0}}

x = 8 ± √ 64 − 48 2 x = 8 ± √ 16 2 x = 8 ± 4 2 = ( x0= 6 x00= 2 C = {x ∈ R/x ≤ 2 ou x ≥ 6}

Determinando a intersec¸c˜ao temos:

(4)

14) A : x − 2y + 6 = 0 B : x − 3y + 15 = 0 x + 6 = 2y x + 15 = 3y x 2 + 3 = y x 3 + 5 = y A > B x 2 + 3 > x 3 + 5

→ multiplicando toda inequa¸c˜ao por 6: 3x + 18 > 2x + 30 3x − 2x > 30 − 18 x > 12 Resposta: letra D 15) A : 500 + 40x B : 400 + 60x A = B 500 + 40x = 400 + 60x 500 − 400 = 60x − 40x 100 = 20x 100 20 = x 5 = x Resposta: letra C 16) LT (q) = F T (q) − CT (q) 0 = 5q − (2q + 12) 0 = 5q − 2q − 12 12 = 3q 12 3 = q q = 4 Resposta: letra D 17)

Tipo I: 3x (onde 3 ´e o pre¸co e x os quilos de arroz) Tipo II: 4y (onde 4 ´e o pre¸co e y os quilos de arroz)

x + y = 75 (?)

Sabemos que o pre¸co por quilo da mistura é R$3,40 então 75 · 3, 4 = 255. Logo temos a seguinte equa¸cão para o pre¸co:

3x + 4y = 255 (??)

Montando um sistema com (?) e (??) temos: 





x + y = 75 3x + 4y = 255

→ multiplicando a primeira linha por −3: 





−3x − 3y = −225 3x + 4y = 255

→ somando as duas linhas temos que y = 30 Substituindo y em (?) temos: x + 30 = 75 x = 75 − 30 x = 45 Resposta: letra B 18)

C = 50 + 2x + 0, 1x2 _{→ fun¸c˜}_{ao do custo di´}_ario

R = 6, 5x → fun¸c˜ao do pre¸co de venda L = R − C → fun¸c˜ao do lucro

L = 6, 5x − (50 + 2x + 0, 1x2) L = 6, 5x − 50 − 2x − 0, 1x2

L = −0, 1x2_{+ 4, 5x − 50}

Encontrando as ra´ızes de −0, 1x2_{+ 4, 5x − 50 = 0 temos:}

x = −4, 5 ± √ 20, 25 − 20 2 · (−0, 1) x = −4, 5 ± √ 0, 25 −0, 2 x = −4, 5 ± 0, 5 −0, 2 x = 4, 5 ∓ 0, 5 0, 2 = ( x0= 20 x00= 25 S = {x ∈ N/20 ≤ x ≤ 25} Resposta: letra B 19) x − y = 2 x − 2 = y (?) A ≤ 24cm2 xy ≤ 24 (??) Substituindo (?) em (??) temos: x(x − 2) ≤ 24 x2_{− 2x ≤ 24} x2_{− 2x − 24 ≤ 0}

(5)

x = 2 ± √ 4 + 96 2 x = 2 ± √ 100 2 x = 2 ± 10 2 = ( x0 = 6 x00= −4

→ n˜ao conv´em um lado com valor negativo

Note que x > 2, pois a diferen¸ca entre os lados ´e de 2cm

Resposta: letra C

20) (x − 1)(x − 4) ≤ 0

Note que a inequa¸c˜ao ´e do 2o _{grau na forma fatorada com}

x0= 1 e x00= 4. Podemos escrever a inequa¸c˜ao x2− 5x + 4 ≤ 0. Pelo estudo dos sinais temos:

Somando os inteiros deste intervalo temos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Resposta: letra B

21) Quest˜ao correta: O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem a inequa¸c˜ao x + 3

x − 3− x + 1 x − 1 ≤ 3 x − 3 ´e: x + 3 x − 3 − x + 1 x − 1 ≤ 3 x − 3

→ multiplicando toda inequa¸c˜ao por (x − 3)(x − 1): (x + 3)(x − 1) − (x + 1)(x − 3) ≤ 3(x − 1) x2_{− x + 3x − 3 − (x}2_{− 3x + x − 3) ≤ 3x − 3} x2_{+ 2x − 3 − x}2_{+ 2x + 3 ≤ 3x − 3} 4x ≤ 3x − 3 4x − 3x ≤ −3 x ≤ −3

Notem que o novo denominador é (x − 3)(x − 1) que é uma equa¸cão de 2o_{grau com ra´ızes x}0 _{= 3 e x}00_{= 1, ent˜}_ao:

{x ∈ R/x ≤ −3 ou 1 < x < 3} Resposta: letra B

22) f (x) = 16 − x2 _{e g(x) = x − 4.} f (x)

g(x) ≤ 0

Encontrando as ra´ızes de 16 − x2_{= 0 e x − 4 = 0 temos:}

16 − x2= 0 x − 4 = 0

16 = x2 _{x = 4}

±√16 = x x = ±4

Fazendo o estudo de sinais temos:

Ent˜ao x ≥ −4 e x 6= 4

Resposta: letra B

23) f (x) = x + 2 e g(x) = 2x − x2_. _{f (x) · g(x) ≤ 0}

Encontrando as ra´ızes de x + 2 = 0 e 2x − x2_{= 0 temos:}

x + 2 = 0 2x − x2_{= 0}

x = −2 x(2 − x) = 0 x = 0 ou x = 2

Ent˜ao {x ∈ R/ − 2 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 2} Logo, a = −2, b = 0 e c = 2 → a2_{+ b}2_{+ c}2_{= (−2)}2_{+ 0}2_{+ 2}2₌ 4 + 0 + 4 = 8 Resposta: letra A 24) f (x) = x2− 2x − 3 e g(x) = x − 2. f (x) g(x) ≥ 0

(6)

x2− 2x − 3 = 0 x − 2 = 0 x = 2 ± √ 4 + 12 2 x = 2 x = 2 ± √ 16 2 x = 2 ± 4 2 x0= 3 ou x00= −1

Ent˜ao S = [−1, 2) ∪ [3, +∞] Resposta: letra A 25) f (x) = 3−x, g(x) = x2_{−1 e h(x) = x+2.} f (x) · g(x) h(x) ≥ 0 Encontrando as ra´ızes de 3−x = 0, x2_{−1 = 0 e h(x) = x+2 = 0} temos: 3 − x = 0 x2_{− 1 = 0} _{x + 2 = 0} 3 = x x = ±1 x = −2

Fazendo o estudo de sinais: 1) Para f (x) · g(x):

2) Para f (x) · g(x) h(x) :

Então S = {x ∈ R/ − 2 < x ≤ −1 ou 1 ≤ x ≤ 3}. Os números naturais pertencentes a solu¸cão são 1, 2 e 3. Logo, 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{= 14.}

Resposta: letra B

26) f (x) = 5 − x2_{e g(x) = 2 − x.} f (x)

g(x) ≤ 0

Encontrando as ra´ızes de 5 − x2_{= 0 e 2 − x = 0 temos:}

5 − x2= 0 2 − x = 0

5 = x2 _{2 = x}

±√5 = x

S =] − ∞, −√5]∪]2,√5]

(7)

27) Seja f (x) = 1 − x, g(x) = (x − 8)2 _{e h(x) = (x + 4)}3_.

f (x) · g(x) · h(x) > 0 Encontrando as ra´ızes:

1) Para f (x): 1 − x = 0 → x = 1

2) Para g(x): Note que podemos reescrever g(x) = x2_−16x+64,

ou seja, (x − 8)(x − 8), ent˜ao x − 8 = 0 → x = 8

3) Para h(x): Note que h(x) = (x + 4)(x + 4)(x + 4), ent˜ao x + 4 = 0 → x = −4

S = (−4, 1). Então os números inteiros são: −3, −2, −1, 0.

Resposta: letra C

28) f (x) = (−x2_{+ x − 20)}3_{e g(x) = x}2_{(x − 1)}5_. f (x)

g(x) < 0 Encontrando as ra´ızes:

1) Para f (x): Note que podemos escrever como (−x2_{+ x −}

20)(−x2 + x − 20)(−x2 + x − 20). Calculando as ra´ızes da equa¸c˜ao do 2o _{grau −x}2_{+ x − 20 = 0 encontramos ∆ = −79}

2) Para g(x): x2= 0 (x − 1)5= (x − 1) · ... · (x − 1) | {z } 5 3 = x x − 1 = 0 ⇒ x = 1 Ent˜ao g(x): Logo, f (x) g(x): S =]1, +∞) Resposta: letra A 29) f (x) = 2x2_{+ 5x − 3 e g(x) = 1 − 5x.} f (x) g(x) < 0

Encontrando as ra´ızes de 2x2_{+ 5x − 3 = 0 e 1 − 5x = 0 temos:}

2x2_{+ 5x − 3 = 0} _{1 − 5x = 0} x = −5 ± √ 25 + 24 2 · 2 1 = 5x x = −5 ± √ 49 4 1 5 = x x = −5 ± 7 4 x0= 1 2 e x 00_{= −3}

Ent˜ao S = {x ∈ R/ − 3 < x < 1₅ ou x > 1₂} Resposta: letra C 30) f (x) = −x2− 2x + 8 e g(x) = 2 − x f (x) g(x) ≥ 1 −x2_{− 2x + 8} 2 − x ≥ 1 → Note que 2 − x 2 − x = 1, logo: −x2_{− 2x + 8} 2 − x ≥ 2 − x 2 − x −x2_{− 2x + 8} 2 − x − 2 − x 2 − x ≥ 0 −x2_{− 2x + 8 − 2 + x} 2 − x ≥ 0 −x2_{− x + 6} 2 − x ≥ 0

(8)

Encontrando as ra´ızes de −x2_{− x + 6 = 0 e 2 − x = 0 temos:} −x2_{− x + 6 = 0} _{2 − x = 0} x = 1 ± √ 1 + 24 2 · (−1) 2 = x x = 1 ± √ 25 −2 x = 1 ± 5 −2 x = −1 ∓ 5 2 x0= −3 e x00= 2

Ent˜ao S = [−3, 2[∪]2, +∞) Resposta: letra B 31) 4x − 3 x + 1 > 2 4x − 3 x + 1 − 2 > 0

→ multiplicando a inequa¸c˜ao por x + 1: 4x − 3 − 2(x + 1) > 0 4x − 3 − 2x − 2 > 0 2x − 5 > 0 2x > 5 x > 5 2 Analisado o denominador x + 1: x = 1 = 0 ⇒ x = −1

Ent˜ao S = (−∞, 1) ∪ (5₂, +∞) Resposta: letra B 32) x 2_{+ x − 1} 9 − x2 ≥ 1 3 − x x2_{+ x − 1} (3 − x)(3 + x) ≥ 1 3 − x

→ multiplicando a inequa¸c˜ao por (3 − x)(3 + x): x2_{+ x − 1 ≥ 3 + x}

x2+ x − 1 − 3 − x ≥ 0

x2− 4 ≥ 0

Encontrando as ra´ızes de x2_{− 4 = 0 e −x}2_{+ 9 = 0 temos:}

x2_{− 4 = 0} _{9 − x}2_{= 0}

x2_{= 4} _{9 = x}2

x = ±√4 ±√9 = x

x = ±2 ±3 = x

Ent˜ao S =] − 3, −2] ∪ [2, 3[ Resposta: letra C 33) |x − 1| ≤ 2 −2 ≤ x − 1 ≤ 2 I) −2 ≤ x − 1 II) x − 1 ≤ 2 −2 + 1 ≤ x x ≤ 2 + 1 −1 ≤ x x ≤ 3 S = {x ∈ R/ − 1 ≤ x ≤ 3}, ent˜ao a = −1 e b = 3 → b − a = 3 − (−1) = 3 + 1 = 4 Resposta: letra B

(9)

34) f (x) = p(x − 3) 2 x − 3 = |x − 3| x − 3 , através da defini¸cão de módulo√x2_{= |x|} D = {x ∈ R/x 6= 3} I) |x − 3| = −(x − 3) se x < 3: II) |x − 3| = x − 3 se x > 3: −(x − 3) x − 3 = − x − 3 x − 3 = −1 x − 3 x − 3 = 1 Im = {−1, 1} Resposta: letra C 35) A = {x ∈ Z/|x + 1| < 5} |x + 1| < 5 −5 < x + 1 < 5 I) −5 < x + 1 II) x + 1 < 5: −5 − 1 < x x < 5 − 1 −6 < x x < 4 A = {x ∈ Z/ − 6 < x < 4} ⇒ A = {−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} B = {x ∈ Z/|x| > 3 |x| > 3 −3 > x > 3 B = {x ∈ Z/x < −3 ou x > 3} ⇒ B = (−∞, −3) ∪ (3, +∞) Então A ∩ B = {−5, −4} Resposta: letra A 36) f (x) = −2x + 4 g(x) = x2_{− 9} −2x + 4 = 0 x2_{− 9 = 0} 4 = 2x x2= 9 4 2 = x x = ± √ 9 2 = x x = ±3

Note que f (x) = s

f (x)

, então a divisão das duas fun¸cões

anteriores n˜ao pode ser negativa, pois n˜ao tem raiz negativa de ´ındice par para os reais. Logo:

D = {x ∈ R/x < −3 ou 2 ≤ x < 3} Resposta: letra B 37) h − 153 22 ≤ 1 −1 ≤h − 153 22 ≤ 1 −1 · 22 ≤ h − 153 ≤ 1 · 22 −22 ≤ h − 153 ≤ 22 −22 + 153 ≤ h ≤ 22 + 153 131 ≤ h ≤ 175

Então a altura máxima é de 175cm, ou 1, 75m.

Resposta: letra D 38) f (x) = 4x − 3 −√−x2_{+ 10x − 25} Analisando o sinal de −x2_{+ 10x − 25 = 0:} x = −10 ± √ 100 − 100 2 · (−1) x = −10 ± √ 0 −2 x = −10 ± 0 −2 = −10 −2 = 5

Logo D = {5}. Calculando a imagem temos: f (5) = 4 · 5 − 3 −√−52_{+ 10 · 5 − 25} f (5) = 20 − 3 −√−25 + 50 − 25 f (5) = 17 −√0 f (5) = 17 Ent˜ao Im = {17} Resposta: letra D 39) f (x) =p(x5_{− x}3₎ Achando as ra´ızes: x5_{− x}3_{= 0} x3_(x2_{− 1) = 0} I) x3_{= 0} _{II) x}2_{− 1 = 0} x = 0 x2_{= 1} x = ±√1

(10)

Analisando os sinais: Ent˜ao D = [−1, 0] ∪ [1, +∞) Resposta: letra B 40) 1 − x − 1 2 ≤ 4 1 − x − 1 2 = 2 − (x − 1) 2 = −x + 1 + 2 2 = −x + 3 2 Ent˜ao: −4 ≤−x + 3 2 ≤ 4 −4 · 2 ≤ −x + 3 ≤ 4 · 2 −8 ≤ −x + 3 ≤ 8 −8 − 3 ≤ −x ≤ 8 − 3 −11 ≤ −x ≤ 5 → multiplicando por −1: −5 ≤ x ≤ 11 Resposta: letra B 41) |x + 1| ≤ |2x − 3|

caso I) x + 1 ≤ 2x − 3 caso II) x + 1 ≤ −(2x − 3) 1 + 3 ≤ 2x − x x + 1 ≤ −2x + 3 4 ≤ x x + 2x ≤ 3 − 1 x ≥ 4 3x ≤ 2 x ≤ 2 3 Resposta: letra B 42) f (x) = √ 2 − 3x |x| − 1 Analisando o numerador: 2 − 3x = 0 2 = 3x 2 3 = x Logo x ≤ 2 3 Analisando o denominador: |x| 6= 1 ⇒ x 6= 1 ou x 6= −1

Porém no numerador x ≤ 2₃, então o dom´ınio é: D = {x ∈ R/x ≤ 2₃ ou x 6= −1}

Resposta: letra D

43) |x − 2| < |x − 5|

caso I) x − 2 < −(x − 5) caso II) −(x − 2) < x − 5 x + x < 5 + 2 −x − x < −5 − 2 2x < 7 −2x < −7 x < 7 2 x < 7 2 Resposta: letra C 44) |x − 2| < 0, 01 −0, 01 < x − 2 < 0, 01 − 1 100 + 2 < x < 1 100 + 2 199 100 < x < 201 100 1, 99 < x < 2, 01

Ent˜ao para encontrar o menor valor de N, x > 1, 99: Logo para x = 1, 99 temos:

|x2_{− 4| < N} |(1, 99)2_{− 4| < N} |3, 9601 − 4| < N | − 0, 0399| < N 0, 0399 < N Resposta: letra C 45) |x2_{− 10x + 21| ≤ |3x − 15|}

I) Analisando |x2_{− 10x + 21| e encontrando as ra´ızes:}

x2_{− 10x + 21 = 0} x = 10 ± √ 100 − 84 2 x = 10 ± √ 16 2 x = 10 ± 4 2 x0 = 7 e x00= 3

II) Analisando |3x − 15| e encontrando a raiz: 3x − 15 = 0

3x = 15 x = 15

3 x = 5

III) Analisando a desigualdade |x2_{− 10x + 21| ≤ |3x − 15|:}

Caso 1: x2− 10x + 21 ≤ 3x − 15 x2_{− 10x + 21 − 3x + 15 ≤ 0 ⇒ x}2_{− 13x + 36 ≤ 0} Encontrando as ra´ızes: x2_{− 13x + 36 ≤ 0} x = 13 ± √ 169 − 144 2

(11)

x = 13 ± √ 25 2 x = 13 ± 5 2 x0= 9 e x00= 4 Caso 2: x2_{− 10x + 21 ≤ −(3x − 15)} x2− 10x + 21 + 3x − 15 ≤ 0 ⇒ x2_{− 7x + 6 ≤ 0} Encontrando as ra´ızes: x2_{− 7x + 6 = 0} x = 7 ± √ 49 − 24 2 x = 7 ± √ 25 2 x = 7 ± 5 2 x0_{= 6 e x}00_{= 1}

Através da interpreta¸cão gráfica, temos que: S = {x ∈ R/1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9} Resposta: S = {x ∈ R/1 ≤ x ≤ 4 ou 6 ≤ x ≤ 9} 46) → f (x) = r _x x3_{− 1} Analisando o numerador: x = 0; Analisando o denominador: x3_{− 1 = 0 ⇒ x}3_{= 1 ⇒ x = 1;}

Analisando a fra¸c˜ao conclui-se que: D = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x > 1} → f (x) = 1 p1 − |x| 1 − |x| > 0 ⇒ |x| < 1, ent˜ao −1 < x < 1 D = {x ∈ R/ − 1 < x < 1} → f (x) = tg(2x) 2x 6=π

2 + kπ → dividindo a inequa¸c˜ao por 2: x 6= π 4 + k π 2 → colocando π 2 em evidˆencia: x 6= π 2 1 2+ k

→ deixando com o mesmo denominador: x 6= π 2 1 + 2k 2 D = {x ∈ R/x 6= (2k+1)π₄ , k ∈ Z} → f (x) = sen 1 x−1 x − 1 6= 0 ⇒ x 6= 1 D = {x ∈ R/x 6= 1}

Logo os dom´ınio de alguma fun¸c˜ao da primeira coluna s˜ao: D = {x ∈ R/x 6= 1}

D = {x ∈ R/x ≤ 0 ou x > 1} D = {x ∈ R/ − 1 < x < 1}

Resposta: letra C

47) Sabendo que o volume é igual ao produto das três di-mensões, temos então a seguinte fun¸cão:

V = (20 − 2x)(10 − 2x)x, tal que:

C = 20 − 2x é a equa¸cão do comprimento, então: 20 − 2x = 0

20 = 2x 20

2 = x x = 10

L = 10 − 2x é a equa¸cão da largura, então: 10 − 2x = 0

10 = 2x 10

2 = x x = 5

H = x é a equa¸cão da altura, então: x = 0

Analisando o sinal temos que os intervalos positivos são (0, 5) e (10, +∞). Porém como estamos analisando os lados de uma figura, C > 0, L > 0, H > 0 e V > 0. Logo o dom´ınio da fun¸cão volume é (0, 5).

(12)

48) f (x) = 3x_{+ 2} 01. f (f (x)) = 3f (x)+ 2 f (f (x)) = 33x+2_{+ 2} Calculando f (f (0)) temos: f (f (0)) = 330+2_{+ 2} f (f (0)) = 31+2_{+ 2} f (f (0)) = 33_{+ 2} f (f (0)) = 27 + 2 f (f (0)) = 29 (VERDADEIRO)

02. Por defini¸c˜ao sabemos que a imagem de uma fun¸c˜ao g(x) = ax _´_{e igual a R}∗

+, por´em a f (x) = 3x+ 2 ter´a a sua

imagem deslocada duas unidades, ent˜ao Im =]2, +∞[ (VERDADEIRO) 04. f (a + b) = 3a+b_{+ 2} f (a + b) = 3a_{· 3}b_{+ 2} f (a) = 3a_{+ 2} f (b) = 3b+ 2 ⇒ f (a) + f (b) = 3a_{+ 2 + 3}b_{+ 2} ⇒ f (a) + f (b) = 3a_{+ 3}b_{+ 4 (FALSO)}

08. f (x) ´e crescente, pois a base ´e maior que 1 (FALSO)

16. f (x + 1) = 3x+1_{+ 2 e f (x) = 3}x_{+ 2 ent˜}_ao: f (x + 1) − f (x) = 3x+1+ 2 − (3x+ 2) f (x + 1) − f (x) = 3x+1_{+ 2 − 3}x_{− 2} f (x + 1) − f (x) = 3x+1_{− 3}x f (x + 1) − f (x) = 3x· 31_{− 3}x f (x + 1) − f (x) = 3x_{(3 − 1)} f (x + 1) − f (x) = 3x· 2 = 2 · 3x_(VERDADEIRO) Resposta: 19

49) Por defini¸c˜ao temos que y = ax > 0 para todo x real, ou seja, y > 0 (Im = R∗₊) e que para a > 1 ent˜ao f (x) = ax _´_e

crescente. Resposta: letra C 50) f (n + 2) = 10n+2_{= 10}n_{· 10}2_{= 10}n_{· 100} f (n + 1) = 10n+1= 10n· 101_{= 10}n_{· 10} f (n) = 10n f (n − 1) = 10n−1₌ 10 n 101 = 10n 10 f (n + 2) − f (n + 1) f (n) − f (n − 1) = 10n_{· 100 − 10}n_{· 10} 10n₋10 n 10 f (n + 2) − f (n + 1) f (n) − f (n − 1) = 10n(100 − 10) 10n 1 − 1 10 f (n + 2) − f (n + 1) f (n) − f (n − 1) = 90 9 10 = 90 · 10 9 = 100 = 10 2 Resposta: letra D 51) f (x) = kax_{, A = (1, 3) e B =} 2,9 2 a) Quando x = 1 temos y = 3 3 = ka1 3 = ka 3 a = k → aplicando a propriedade a −N ₌ 1 aN 3a−1= k (?) Quando x = 2 temos y = 9 2 9 2 = ka 2_{→ substituindo (?)} 9 2 = 3a −1_a2 _{→ aplicando a propriedade a}N_aM _{= a}N +M 9 2 = 3a 9 2 · 3 = a 9 6 = a 3 2 = a (??) Substituindo (??) em (?): k = 3 · 3 2 −1 k = 3 · 2 3 k = 2 Resposta: f (x) = 2 · 3₂x b) f (x) = 2 · 3 2 x Quando x = 0 ent˜ao f (0) = 2 · 3 2 0 = 2 · 1 = 2 Quando x = 3 ent˜ao f (3) = 2 · 3 2 3 = 2 ·27 8 = 27 4 Resposta: f (0) = 2 e f (3) =27 4

(13)

52) Por defini¸c˜ao sabemos que a imagem de uma fun¸c˜ao g(x) = ax _´_{e igual a R}∗

+, por´em a f (x) = 5x+ 3 ter´a a sua

imagem deslocada trˆes unidades, ent˜ao Im =]3, +∞[

Resposta: letra D

53) n(t) = 100 · 2t3

Quando n(t) = 51200 ent˜ao:

51200 = 100 · 23t → dividindo toda equa¸c˜ao por 100:

512 = 23t → fatorando:

29= 2t3

9 = t 3 27 = t

Ent˜ao t = 27h, ou seja, 1 dia e 3 horas

Resposta: letra A 54) f (x) = a2x−1 Quando x = −1 2; y = 1 9 1 9 = a 2(1 2)−1 → aplicando a propriedade a−N ₌ 1 aN: 9−1= a−1−1 9−1= a−2 → fatorando: (32₎−1 _{= a}−2 _{→ aplicando a propriedade (a}N₎M _{= a}N M_: 3−2= a−2 a = 3 Resposta: letra D 55) P = 6 + 6 · (36)n

Quando P = 7782 ent˜ao: 7782 = 6 + 6 · (36)n 7782 − 6 = 6 · (36)n 7776 = 6 · (36)n 7776 6 = (36) n 1296 = 36n _{→ fatorando:} 24_{· 3}4_{= (2}2_{· 3}2₎n _{→ aplicando a propriedade a}N_{· b}N _{= (a · b)}N_: (2 · 3)4= ((2 · 3)2)n → aplicando a propriedade (aN₎M _{= a}N M_: (2 · 3)4_{= (2 · 3)}2n 4 = 2n 4 2 = n 2 = n Resposta: letra B 56) N (t) = 500 · 26t 01. t = 0 ⇒ N (0) = 500 · 206 N (0) = 500 · 20 N (0) = 500 · 1 N (0) = 500 (VERDADEIRO) 02. t = 3 ⇒ N (3) = 500 · 236 N (3) = 500 · 212 → aplicando a propriedade a N M = M √ aN_: N (3) = 500 ·√2 N (3) ≈ 707 < 800 (FALSO) 04. t = 12 ⇒ N (12) = 500 · 2126 N (12) = 500 · 22 N (12) = 500 · 4 N (12) = 2000 = 4 · N (0) (VERDADEIRO) 08. t = 6 ⇒ N (6) = 500 · 266 N (3) = 500 · 21 N (3) = 500 · 2 N (3) = 1000 = 2 · N (0) (VERDADEIRO) Resposta: 13 57) Quantidade inicila: 125 Quantidade desejada: 256000

Sabendo que a quantidade dobra a cada 2h, é poss´ıvel escrever a fun¸cão da seguinte mareira: f (t) = 125 · 22t. Então:

256000 = 125 · 2t2 → dividindo a equa¸c˜ao por 125:

256000 125 = 125 · 22t 125 2048 = 2t2 → fatorando: 211= 2t2 11 = t 2 11 · 2 = t 22 = t Resposta: letra C 58) f (t) = k · 1 2 2t

Quando k = 128; f (t) = 2. Ent˜ao: 2 = 128 · 1

2 2t

→ dividindo a equa¸c˜ao por 128:

2 128 = 128 · 1 2 2t 128

(14)

1 64 = 1 2 t2 → aplicando a propriedade a−N ₌ 1 a N : 64−1 = 2−t2 → fatorando: (26)−1 = 2−t2 → aplicando a propriedade (aN)M = aN M: 2−6= 2−t2 −6 = −t

2 → multiplicando a equa¸c˜ao por −1: 6 = t

2 → multiplicando a equa¸c˜ao por 2: 6 · 2 = t

12 = t

Resposta: letra B

59) f (t) = a · bt

Quando t = 0; f (t) = 104. Ent˜ao: 104= a · b0 10000 = a · 1

10000 = a (?)

Quando t = 3; f (t) = 8 · 104_{. Ent˜}_{ao: 8 · 10}4_{= a · b}3

8 · 10000 = a · b3 → substituindo (?)

8 · 10000 = 10000 · b3_{→ dividindo a equa¸c˜}_{ao por 10000:}

8 · 10000 10000 = 10000 · b3 10000 8 = b3 → fatorando: 23_{= b}3 2 = b

Reescrevendo a fun¸c˜ao temos: f (t) = 10000 · 2t

Quando t = 30min =1 2h, ent˜ao: f 1 2 = 10000 · 2 1 2 → aplicando a propriedade a N M = M √ aN_: f 1₂ = 10000 ·√2 → usando√2 = 1, 4: f 1₂ = 10000 · 1, 4 f 1₂ = 14000 Resposta: letra D 60) f (x) =4 x_{+ 4}−x 2 e g(x) = 4x_{− 4}−x 2 Reescrevendo as fun¸c˜oes temos: f (x) =4 x_{+ 4}−x 2 → fatorando: f (x) =(2 2₎x_{+ (2}2₎−x 2 → aplicando a prop. (a N₎M _{= a}N M_: f (x) =2 2x_{+ 2}−2x

2 → separando as fra¸c˜oes: f (x) =2 2x 2 + 2−2x 2 → aplicando a prop. a N _{÷ a}M _{= a}N −M_: f (x) = 22x−1_{+ 2}−2x−1 g(x) =4 x_{− 4}−x 2 → fatorando: g(x) =(2 2₎x_{− (2}2₎−x 2 → aplicando a prop. (a N₎M _{= a}N M_: g(x) =2 2x_{− 2}−2x

2 → separando as fra¸c˜oes: g(x) =2 2x 2 − 2−2x 2 → aplicando a prop. a N _{÷ a}M _{= a}N −M_: g(x) = 22x−1_{− 2}−2x−1

Elevando as fun¸c˜oes ao quadrado:

[f (x)]2= 22x−1+ 2−2x−12 → de (a + b)2_{= a}2_{+ 2ab + b}2 [f (x)]2_{= 2}2x−12 + 2(22x−1₎₍₂−2x−1_{) + 2}−2x−12 [f (x)]2= 24x−2+ 2−1+ 2−4x−2 [g(x)]2_{= 2}2x−1_{− 2}−2x−12 → de (a − b)2_{= a}2_{− 2ab + b}2 [g(x)]2_{= 2}2x−12 − 2(22x−1₎₍₂−2x−1_{) + 2}−2x−12 [g(x)]2_{= 2}4x−2_{− 2}−1_{+ 2}−4x−2 Calculando [f (x)]2_{− [g(x)]}2_{, temos:} [f (x)]2−[g(x)]2_{= 2}4x−2₊₂−1₊₂−4x−2₋₍₂4x−2₋₂−1₊₂−4x−2₎ [f (x)]2_{− [g(x)]}2_{= 2}4x−2_{+ 2}−1_{+ 2}−4x−2_{− 2}4x−2_{+ 2}−1_{− 2}−4x−2 [f (x)]2_{− [g(x)]}2_{= 2}−1_{+ 2}−1 → aplicando a propriedade a−N ₌ 1 a N : [f (x)]2_{− [g(x)]}2₌ 1 2+ 1 2 [f (x)]2− [g(x)]2_{= 1} Resposta: letra B 61) f (x) = 1 9x−1 e h(x) = 3 x+1 f (x) = h(x) 1 9x−1 = 3 x+1 _{→ aplicando a propriedade a}−N ₌ 1 a N : (9x−1)−1= 3x+1 → aplicando a prop. (aN₎M _{= a}N M_: (9−x+1= 3x+1 _{→ fatorando:} (32)−x+1 = 3x+1 3−2x+2= 3x+1 −2x + 2 = x + 1 2 − 1 = x + 2x 1 = 3x 1 3 = x

(15)

Substituindo x em uma das fun¸c˜oes temos: h 1 3 = 3 1 3+1 → 1 3+ 1 = 1+3 3 = 4 3 h 1₃ = 34 3 → aplicando a propriedade a N M = M √ aN_: h 1₃ =√3 34 h 1₃ =√3 33_{· 3} h 1₃ =√333_·√3 3 h 1₃ = 3√3 3 Resposta: letra E 62) 1 3 4x−x2 = f (x)

Como o expoente é uma equa¸cão de segundo grau, precisa-mos encontrar o valor de máximo:

Xv= −b 2a Xv= −4 2 · (−1) Xv= −4 −2 Xv= 2

Note que a base da fun¸cnao está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então essa fun¸cão é decrescente, isto é, quando o expoente tiver o valor máximo a potência terá o valor m´ınimo. Então quando x = 2, temos: f (2) = 1 3 4·2−22 f (2) = 1 3 8−4 f (2) = 1 3 4 f (2) = 1 81 Resposta: letra C

63) A fun¸c˜ao exponencial M (t) pode ser representada pela equa¸c˜ao M (t) = 2m+t

n com m ∈ N e n ∈ N∗ e seu gr´afico

passa pelos pontos A = (0, 16) e B = (150, 4).

Para A temos: 16 = 2m+0 n 16 = 2m+0 16 = 2m_{→ fatorando:} 24_{= 2}m 4 = m Para B temos: 4 = 24+150 n 22_{= 2}4+150 n 2 = 4 +150

n → multiplicando a equa¸c˜ao por n: 2n = 4n + 150 −150 = 4n − 2n −150 = 2n −150 2 = n −75 = n Resposta: letra A