1
Realce de Imagens
Domínio da Frequência
Tsang Ing Ren - tir@cin.ufpe.br
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco
2
Introdução
Série de Fourier.
Transformada de Fourier.
Transformada discreta de Fourier.
Propriedades das transformada de Fourier. Filtros no domínio da freqüência.
3
Introdução
Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830). Contribuição publicada em 1822 – Teória Analítica do Calor.
Qualquer função periódica pode ser expressa como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes freqüências. Cada um multiplicada por uma coeficiente diferente (Série de Fourier).
Funções que são não-periódicas (porém tendo a área abaixo da curva um valor finito) podem também ser expresso como integrais de senos e/ou cossenos multiplicados por uma função de peso (Transformada de Fourier).
Ambas representação tem uma importante característica, a função expressa como série ou transformada de Fourier, podem ser reconstruída (recuperada) completamente por um processo inverso, sem perda de informação.
4
5
Série de Fourier
Uma função
f(x)
é dita periódica de período p se
f(x) = f(x +
np)
para qualquer
n
inteiro e positivo.
Seja f(x) uma função periódica de período 2π. A série de
Fourier para esta função é a representação em forma de uma
soma infinita de co-senos e senos:
f(x) = a
0/2 + ∑
k=1,∞a
kcos kx + ∑
k=1,∞b
ksen kx
.
Ou
f(x) = a
0/2 + a
1cos x + a
2cos 2x + ... + b
1sen x + b
2sen
2x + ...
. Notar que b
0não é indicado porque sen 0 = 0.
6
Série de Fourier
Casos particulares:– Se f(x) é uma função par, isto é, f(-x) = f(x), os coeficientes bk são nulos e a série é uma soma de co-senos.
– Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(x) = -f(-x), os coeficientes ak são nulos e a série é uma soma de senos.
7
Série de Fourier
Exemplo:Na prática, não é possível o trabalho com infinitas parcelas e um
número possível deve ser empregado. Veja exemplo na figura, a curva vermelha é a função f(x) resultante de:
f(x) = 5 + 4 sen x + (4/3) sen 3x + (4/5) sen 5x + (4/7) sen 7x + ... (só com as 5 parcelas explicitadas na equação).
Esta série é a representação de uma onda quadrada.
Notar que, com 5 parcelas, já ocorre uma certa aproximação. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita conforme indicado pela linha tracejada.
8
9
Série de Fourier
A primeira parcela (5) é constante. Se não existisse, isto é, se fosse nula, o sinal estaria acima e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal. A segunda parcela (4 sen x) tem o mesmo período ou mesma
freqüência (inverso do período) do sinal. Por esta igualdade, é
chamada oscilação fundamental do sinal.
As parcelas seguintes têm freqüências múltiplas (sen 3x, sen 5x, ...) da fundamental. São chamadas oscilações harmônicas ou
simplesmente harmônicos do sinal.
Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação
fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental.
Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico.
10
Série de Fourier
Gráfico das amplitudes dos 25 primeiros harmônicos do sinal quadrado em estudo. Este tipo de gráfico é denominado espectro de freqüências do sinal.
11
Série de Fourier
Os coeficientes da série de Fourier f(t) = a0/2 + ∑k=1,∞ ak cos kt + ∑k=1,∞ bk sen kt são dados por:
ak = (1/π) ∫0,2π f(t) cos kt dt e bk = (1/π) ∫0,2π f(t) sen kt dt.
A depender do sinal, a integração matemática pode ser trabalhosa ou complexa. Entretanto, métodos de integração gráfica usados em computadores tornam a tarefa bastante simples e existem instrumentos e programas para analisar na prática qualquer sinal periódico.
12
Transformada de Fourier
f(x): função contínua de uma variável real x A transformada de Fourier de f(x):
(u) é a variável de frequência
{
}
∞∫
∞ −−
=
=
ℑ
f
(
x
)
F
(
u
)
f
(
x
)
exp[
j
2
π
ux
]
dx
onde
j
=
−
1
13
Transformada de Fourier
A integral da equação mostra que F(u) é composto por uma soma infinita de termos seno e cosseno.
Cada valor de u determina a freqüência de seu correspondente par seno-cosseno.
Fórmula de Euler
ux
j
ux
ux
j
2
π
]
cos
2
π
sin
2
π
exp[
−
=
−
14
Transformada de Fourier
Dado F(u), f(x) pode ser obtida através do uso da Transformada
Inversa de Fourier.
As equações descritos é chamada de par de transformada de Fourier.
)
(
)}
(
{
1
x
f
u
F
=
ℑ
−
∫
∞ ∞ −=
F
(
u
)
exp[
j
2
π
ux
]
du
15
Transformada de Fourier
Espectro de Fourier Fase Espectro de potência[
2 2]
1/2)
(
)
(
)
(
u
R
u
I
u
F
=
+
=
−)
(
)
(
tan
)
(
1u
R
u
I
u
φ
)
(
)
(
)
(
)
(
u
F
u
2R
2u
I
2u
P
=
=
+
16
Transformada de Fourier
A transformada de Fourier de uma função real, entretanto, é geralmente complexa
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
u
j
e
u
F
u
F
u
jI
u
R
u
F
φ
=
+
=
a+jbParte real Componete cosseno da freqüência u Parte imaginária Componete seno da freqüência u
re-jф
Magnitude Quanta componete senoidal da freqüência u Fase Qual a fase que a senoidal precisa estar
=
+
=
−)
(
)
(
tan
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
1 2 / 1 2 2u
R
u
I
u
u
I
u
R
u
F
φ
17
Transformada de Fourier
Exemplo:2
sin
1
j
e
e
x
e
a
dx
e
jx jx ax ax −−
=
=
∫
uX j uX j uX j uX j uX j X ux j Xe
uX
u
A
e
e
e
u
j
A
e
u
j
A
e
u
j
A
dx
ux
j
A
dx
ux
j
x
f
u
F
π π π π π ππ
π
π
π
π
π
π
− − − − − ∞ ∞ −=
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
∫
∫
)
sin(
]
[
2
]
1
[
2
]
[
2
]
2
exp[
]
2
exp[
)
(
)
(
2 0 2 0 f(x) A X 0 x18
Transformada de Fourier
Espectro de Fourier
1
sin
cos
sin
cos
sin
cos
−
=
−
=
−
=
+
=
− − − π ππ
π
j j jx jxe
j
e
x
j
x
e
x
j
x
e
)
(
)
sin(
)
sin(
)
(
uX
uX
AX
e
uX
u
A
u
F
j uXπ
π
π
π
π=
=
−19
20
Transformada de Fourier
O par da transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis.
Onde u, v são os valores de freqüência.
dxdy
vy
ux
j
y
x
f
v
u
F
y
x
f
(
,
)}
(
,
)
(
,
)
exp[
2
(
)
]
{
∫ ∫
∞ ∞ −+
−
=
=
ℑ
π
dudv
vy
ux
j
v
u
F
y
x
f
v
u
F
(
,
)}
(
,
)
(
,
)
exp[
2
(
)
]
{
1∫ ∫
∞ ∞ − −=
=
+
ℑ
π
21
22
Transformada Discreta de Fourier
A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:
Tomando N amostras de ∆x unidades
)}
]
1
[
(
),...,
2
(
),
(
),
(
{
f
x
0f
x
0+
∆
x
f
x
0+
∆
x
f
x
0+
N
−
∆
x
23
Transformada Discreta de Fourier
Onde x assume os valores discretos (0,1,2,3,….,M-1) então
A seqüência {f(0),f(1),f(2),…f(M-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçadas de uma função contínua
correspondente
)
(
)
(
x
f
x
0x
x
f
=
+
∆
24
Transformada Discreta de Fourier
O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:
F(u)
=
1
M
x=0f (x)exp[
−
j2
π
ux / M]
M−1∑
para u=0,1,2,…,M-1f (x)
=
f (u)exp[ j2
π
ux / M]
u=0 M−1∑
para x=0,1,2,…,M-125
Transformada Discreta de Fourier
Para computar F(u), substituimos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de x.
Repetimos para todos M valores de u.
Teremos então MxM adicões e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)
F(u)
=
1
M
x=0f (x)exp[
−
j2
π
ux / M]
M−1
26
Transformada Discreta de Fourier
Os valores u = 0, 1, 2, …, M-1 correspondem a amostras de uma transformada contínua nos valores 0, ∆u, 2∆u, …, (M-1)∆u.
Isso significa que, F(u) representa F(u ∆u), onde:
∆
u
=
1
27
Transformada Discreta de Fourier
Exemplo: A amostragem sobre os valores do argumento x0=0.5,
x1=0.75, x2=1.0, x3=1.25
25
.
3
)
4
4
3
2
(
4
1
)]
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
[
4
1
]
0
exp[
)
(
4
1
)
0
(
3 0=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
∑
=f
f
f
f
x
f
F
x)
2
(
4
1
)
4
4
3
2
(
4
1
]
4
/
2
exp[
)
(
4
1
)
1
(
2 / 3 2 / 0 3 0j
e
e
e
e
x
j
x
f
F
j j j x+
−
=
+
+
+
=
−
=
− − − =∑
π π ππ
]
2
[
4
1
)
3
(
]
0
1
[
4
1
)
2
(
j
F
j
F
+
−
=
+
=
28
Transformada Discreta de Fourier
O espectro de freqüência é obtido a partir da magnitude de cada um dos termos da transformada.
4
5
4
1
4
2
)
3
(
4
1
4
0
4
1
)
2
(
4
5
4
1
4
2
)
1
(
25
.
3
)
0
(
2 2 2 2 2 2=
+
=
=
+
=
=
+
=
=
F
F
F
F
29
Transformada Discreta de Fourier em 2D
No caso de duas variáveis, o par DFT é:∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0)]
/
/
(
2
exp[
)
,
(
1
)
,
(
M x N yN
vy
M
ux
j
y
x
f
MN
v
u
F
π
∑∑
− = − =+
=
1 0 1 0)]
/
/
(
2
exp[
)
,
(
)
,
(
M u N vN
vy
M
ux
j
v
u
F
y
x
f
π
para x=0,1,2,…,M-1 and y=0,1,2,…,N-1 e:
30
Transformada Discreta de Fourier em 2D
A amostragem de uma função contínua é agora feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura ∆x e ∆y, nos eixos x e y, respectivamente.
Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função f(x0+x∆x,y0+y∆y) para x=0,1,2,…,M-1 e y=0,1,2,…,N-1.
y
N
v
x
M
u
∆
=
∆
∆
=
∆
1
,
1
31
Transformada Discreta de Fourier em 2D
Quando as imagens são amostradas em uma matriz quadrada, M=N
∑∑
− = − =+
−
=
1 0 1 0]
/
)
(
2
exp[
)
,
(
1
)
,
(
N x N yN
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
π
∑∑
− = − =+
=
1 0 1 0]
/
)
(
2
exp[
)
,
(
1
)
,
(
N u N vN
vy
ux
j
v
u
F
N
y
x
f
π
para u,v=0,1,2,…,N-1 e x,y=0,1,2,…,N-132
Transformada Discreta de Fourier em 2D
Espectro de Fourier ou magnitudeFase
[
2 2]
1/2)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
u
v
F
u
v
R
u
v
I
u
v
P
=
=
+
=
−)
,
(
)
,
(
tan
)
,
(
1v
u
R
v
u
I
v
u
φ
33
Transformada Discreta de Fourier em 2D
Transformada inversa de Fourier, para uma imagem f(x,y) de tamanho NxN.
∑∑
∑∑
− = − = − = − =
+
+
+
=
+
=
1 0 1 0 1 0 1 0)
(
2
sin
)
(
2
cos
)
,
(
1
)
(
2
exp
)
,
(
1
)
,
(
N x N y N x N yN
vy
ux
j
N
vy
ux
v
u
F
N
N
vy
ux
j
v
u
F
N
y
x
f
π
π
π
)
,
(
)
,
(
)
(
2
sin
)
(
2
cos
)
,
(
1
)
(
2
exp
)
,
(
1
)
,
(
1 0 1 0 1 0 1 0v
u
jI
v
u
R
N
vy
ux
j
N
vy
ux
y
x
f
N
N
vy
ux
j
y
x
f
N
v
u
F
N x N y N x N y+
=
+
−
+
=
+
−
=
∑∑
∑∑
− = − = − = − =π
π
π
34
Transformada Discreta de Fourier em 2D
Exemplo: Para uma imagem f(x,y) de tamanho 4x4Coordenadas Pixels
)
3
,
3
(
)
2
,
3
(
)
1
,
3
(
)
0
,
3
(
)
3
,
2
(
)
2
,
2
(
)
1
,
2
(
)
0
,
2
(
)
3
,
1
(
)
2
,
1
(
)
1
,
1
(
)
0
,
1
(
)
3
,
0
(
)
2
,
0
(
)
1
,
0
(
)
0
,
0
(
1
2
5
8
2
2
2
4
3
8
7
1
2
0
3
5
35
Transformada Discreta de Fourier em 2D
“kernel” de imagem da transformada de Fourier
+
−
=
N
vy
ux
j
v
u
y
x
g
(
,
;
,
)
exp
2
π
(
)
u,v=0,1,2,3
+
=
N
vy
ux
v
u
y
x
g
r(
,
;
,
)
cos
2
π
(
)
=
−
+
N
vy
ux
v
u
y
x
g
i(
,
;
,
)
sin
2
π
(
)
36
37
38
39
40
Transformada Discreta de Fourier em 2D
Imagem Original Transformada de Fourier Transformada de Fourier mapeado linearmente mapeado logaritimicamente
41
Propriedades da Transformada de Fourier
Translação– Deslocamento no domínio espacial
42
Propriedades da Transformada de Fourier
Translação43
44
Propriedades da Transformada de Fourier
Periodicidade e simetria conjugada
– Periodicidade
– Apesar de F(u,v) repetir por infinitos valores de u e v, apenas os valores M,N de cada variável em qualquer período é necessário para obter f(x,y) de F(u,v).
– Isso significa que apenas um período da transformada é necessaria para especificar F(u,v) completamente no domínio de freqüência ( e similarmente f(x,y) no domínio espacial)
45
Propriedades da Transformada de Fourier
Deslocamento do espectro, move a origem da transformada para u=N/2
46
Propriedades da Transformada de Fourier
Simetria conjugada)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*v
u
F
v
u
F
v
u
F
v
u
F
−
−
=
−
−
=
47
Propriedades da Transformada de Fourier
Exemplo:48
Propriedades da Transformada de Fourier
Transformada de Fourier49
50
51
52
53
54
Filtragem no Domínio da Freqüência
Procedimento:– Centrar a transformada, multiplicando a imagem por (-1)x+y
– Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem. – Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v).
– Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova imagem realçada.
– Obter a parte real
– Multiplicar o resultado por (-1)x+y
– Resumindo
G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
55
Filtragem no Domínio da Freqüência
Três tipos de filtragem.– Filtros passa-baixa (suavização, borramento).
• Preserva as baixas freqüências espaciais. • Suprime as altas freqüências espaciais
.
– Filtros passa-alta (realce das bordas, aguçamento)
• Preserva as altas freqüências espaciais. • Suprime as baixas freqüências espaciais
.
– Filtros passa-faixa (restauração de imagens)
• Preserva específicas freqüências espaciais. • Suprime outras freqüências espaciais.
Baixa freqüências: área de suavização
56
Filtragem no Domínio da Freqüência
57
58
Convolução
Definição:
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
x
y
g
x
y
F
u
v
G
u
v
f
⇔
)
,
(
*
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
g
x
y
F
u
v
G
u
v
f
⇔
)
,
(
)
,
(
1
)
,
(
*
)
,
(
1 0 1 0n
y
m
x
g
n
m
f
MN
y
x
g
y
x
f
M m N n−
−
=
∑∑
− = − =59
Filtragem no Domínio da Freqüência
Filtro BásicoO valor médio de uma image é dado por F(0,0). Se fizermos este
termo no dominio da freqüência igual a zero ( F(0,0)=0) e tomarmos a transformada inversa, teremos o valor médio da imagem resultante igual a zero. (Filtro de Notch)
H(u,v)
=
0
1
se (u,v) = M/2, N/2 caso contrárioF(0,0)
=
1
MN
y=0f (x, y)
N−1∑
x=0 M −1∑
60
61
Filtragem no Domínio da Freqüência
Filtro Ideal (passa-baixa)
Um filtro ideal passa-baixa é definido por:
Onde D0 é um valor não-negativo específico e D(u,v) é a distância do
ponto (u,v) à origem do plano da freqüência:
O centro do plano da freqüência: (u,v)=(m/2,n/2)
>
≤
=
0 0)
,
(
se
0
)
,
(
se
1
)
,
(
D
v
u
D
D
v
u
D
v
u
H
2 / 1 2 2)
(
)
,
(
u
v
u
v
D
=
+
62
63
Filtragem no Domínio da Freqüência
Filtro Ideal (passa-baixa)
Todas as freqüências dentro do do círculo de raio D0 são passadas sem
atenuação.
Todas as freqüências for a deste círculo são completamente atenuadas. Freqüência de corte: ponto de transição entre H(u,v)=1 e H(u,v)=0,
neste exemplo ela e definido por (D0).
Um modo de estabelecer um conjunto de posições padrão é computar círculos que incluam várias quantidades de potência do sinal total PT
64
Filtragem no Domínio da Freqüência
Filtro Ideal (passa-baixa)
PT é obtido pela soma da potência a cada ponto (u,v) para
u,v=0,1,2,…,N-1, ou seja:
Se a transformada for centrada, um círculo de raio r com origem no centro do quadrado de freqüências inclui β% da potência:
=
∑∑
u v TP
v
u
P
(
,
)
/
100
β
∑∑
− = − ==
1 0 1 0)
,
(
N u N v TP
u
v
P
65
66
Filtragem no Domínio da Freqüência
Modos mais suaves para remover as altas freqüências
Filtro de Butterworth Filtro Gaussiano passa-baixas n D v u D v u H 2 0] / ) , ( [ 1 1 ) , ( + =
H(u,v)
=
e
−D2(u,v ) / 2σ 267
68
69
Filtragem no Domínio da Freqüência
Filtro passa-baixa
Filtro passa-alta Hpa(u,v)=1-Hpb(u,v)
Filtro passa-alta + constante
70
71
Filtragem no Domínio da Freqüência
> ≤ = 0 0 ) , ( if 1 ) , ( if 0 ) , ( D v u D D v u D v u H
Filtro ideal passa-alta
Filtro Butterworth passa-alta
n v u D D v u H 2 0 / ( , )] [ 1 1 ) , ( + =
Filtro Gaussiano passa-alta
72
Filtragem no Domínio da Freqüência
73
Filtragem no Domínio da Freqüência
> ≤ = 0 0 ) , ( if 1 ) , ( if 0 ) , ( D v u D D v u D v u H
Filtro ideal passa-alta
Filtro Butterworth passa-alta
n v u D D v u H 2 0 / ( , )] [ 1 1 ) , ( + =
Filtro Gaussiano passa-alta
74
Filtragem no Domínio da Freqüência
Laplaciano
∇
2
f
=
∂
2
f
∂
x
2
+
∂
2
f
∂
y
2
∂
2f
∂
2x
2=
f ( x
+
1, y)
+
f ( x
−
1, y)
−
2 f ( x, y)
∂
2f
∂
2y
2=
f ( x, y
+
1)
+
f ( x, y
−
1)
−
2 f ( x, y)
∇
2f
=
[ f ( x
+
1, y)
+
f ( x
−
1, y)
+
f ( x, y
+
1)
+
f ( x, y
−
1)]
−
4 f ( x, y)
75
Filtragem no Domínio da Freqüência
Laplaciano no domínio de Fourier
Temos que:
O Laplaciano pode ser implementado usando o filtro:
Par da transformada de Fourier
ℑ ∇
2f ( x, y)
[
]
= −
(u
2+
v
2)F (u,v)
H(u,v)
= −
(u
2+
v
2)
∇
2f ( x, y)
⇔ −
[(u
−
M /2)
2+
(v
−
N /2)
2]F (u,v)
76
Filtragem no Domínio da Freqüência
)
(
)
(
)
(
u
F
ju
dx
x
f
d
n n n=
ℑ
77
Desaguçamento (“Unsharp Masking”)
Filtragem por “alto reforço”
78
Desaguçamento (“Unsharp Masking”)
Filtragem por “alto reforço”
Desaguçamento (“unsharp masking”)
Passa-altas = original – passa-baixas Se A for um fator de amplificação então:
– “Alto-reforço” = A.original – passa-baixas
= (A-1).original+original – passa-baixas = (A-1).original+passa-altas
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
f
x
y
f
x
y
f
hp=
−
lp)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
1
(
)
,
(
x
y
A
f
x
y
f
x
y
f
x
y
f
hb=
−
+
−
lp)
,
(
)
,
(
)
1
(
)
,
(
x
y
A
f
x
y
f
x
y
f
hb=
−
+
hp)
,
(
)
,
(
x
y
f
x
y
Af
f
hb=
−
lp79
Desaguçamento (“Unsharp Masking”)
Filtragem por “alto reforço”
)
,
(
)
,
(
)
,
(
u
v
F
u
v
F
u
v
F
hp
=
−
lp
)
,
(
)
,
(
)
,
(
u
v
H
u
v
F
u
v
F
lp
=
lp
)
,
(
1
)
,
(
u
v
H
u
v
H
hp
=
−
lp
)
,
(
)
1
(
)
,
(
u
v
A
H
u
v
H
hb
=
−
+
hp
80
Desaguçamento (“Unsharp Masking”)
Filtragem por “alto reforço”
81
Filtragem por “enfase nas
altas frequências ”
)
,
(
)
,
(
u
v
a
bH
u
v
H
hfe
=
+
hp
1
)
1
(
=
−
=
b
A
a
82
Filtragem Homomórfica
)
,
(
)
,
(
)
,
(
x
y
i
x
y
r
x
y
f
=
{
f
(
x
,
y
)
} {
≠
ℑ
i
(
x
,
y
)
} {
ℑ
r
(
x
,
y
)
}
ℑ
)
,
(
ln
)
,
(
ln
)
,
(
ln
)
,
(
y
x
r
y
x
i
y
x
f
y
x
z
+
=
=
{
} {
}
{
ln
(
,
)
} {
ln
(
,
)
}
)
,
(
ln
)
,
(
y
x
r
y
x
i
y
x
f
y
x
z
ℑ
+
ℑ
=
=
ℑ
ℑ
)
,
(
)
,
(
)
,
(
u
v
F
u
v
F
u
v
Z
=
i+
r83
Filtragem Homomórfica
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
v
u
F
v
u
H
v
u
F
v
u
H
v
u
Z
v
u
H
v
u
S
r i+
=
=
{
}
{
(
,
)
(
,
)
}
{
(
,
)
(
,
)
}
)
,
(
)
,
(
1 1 1v
u
F
v
u
H
v
u
F
v
u
H
v
u
S
y
x
s
r i − − −ℑ
+
ℑ
=
ℑ
=
{
(
,
)
(
,
)
}
)
,
(
'
x
y
1H
u
v
F
u
v
i
=
ℑ
− i{
(
,
)
(
,
)
}
)
,
(
'
x
y
1H
u
v
F
u
v
r
=
ℑ
− r)
,
(
'
)
,
(
'
)
,
(
x
y
i
x
y
r
x
y
s
=
+
84
Filtragem Homomórfica
)
,
(
)
,
(
.
)
,
(
0 0 ) , ( ' ) , ( ' ) , (y
x
r
y
x
i
e
e
e
y
x
g
y x r y x i y x s=
=
=
[
]
L
D
v
u
D
c
L
H
e
v
u
H
=
γ
−
γ
−
02+
γ
2/
)
,
(
(
1
)
(
)
,
(
85
86
87
Propriedades da transformada
2-D de Fourier
88
Propriedades da transformada
2-D de Fourier
89
Propriedades da transformada
2-D de Fourier
90
Propriedades da transformada
2-D de Fourier
91
Transformada Rápida de Fourier
Número de multiplicações e adicões para implementar a transformada de Fourier: M2
A decomposição da TF torna o número de multiplicações e adições
proporcional a MlogM
Isto é se M=1021 seriam necessários 1.000.000 de operações, enquanto que na FFT seriam 10000.