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Realce de Imagens Domínio da Frequência. Tsang Ing Ren - UFPE - Universidade Federal de Pernambuco CIn - Centro de Informática

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(1)

1

Realce de Imagens

Domínio da Frequência

Tsang Ing Ren - tir@cin.ufpe.br

UFPE - Universidade Federal de Pernambuco

(2)

2

 Introdução

 Série de Fourier.

 Transformada de Fourier.

 Transformada discreta de Fourier.

 Propriedades das transformada de Fourier.  Filtros no domínio da freqüência.

(3)

3

Introdução

 Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).  Contribuição publicada em 1822 – Teória Analítica do Calor.

 Qualquer função periódica pode ser expressa como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes freqüências. Cada um multiplicada por uma coeficiente diferente (Série de Fourier).

 Funções que são não-periódicas (porém tendo a área abaixo da curva um valor finito) podem também ser expresso como integrais de senos e/ou cossenos multiplicados por uma função de peso (Transformada de Fourier).

 Ambas representação tem uma importante característica, a função expressa como série ou transformada de Fourier, podem ser reconstruída (recuperada) completamente por um processo inverso, sem perda de informação.

(4)

4

(5)

5

Série de Fourier

 Uma função

f(x)

é dita periódica de período p se

f(x) = f(x +

np)

para qualquer

n

inteiro e positivo.

 Seja f(x) uma função periódica de período 2π. A série de

Fourier para esta função é a representação em forma de uma

soma infinita de co-senos e senos:

f(x) = a

0

/2 + ∑

k=1,∞

a

k

cos kx + ∑

k=1,∞

b

k

sen kx

.

Ou

f(x) = a

0

/2 + a

1

cos x + a

2

cos 2x + ... + b

1

sen x + b

2

sen

2x + ...

. Notar que b

0

não é indicado porque sen 0 = 0.

(6)

6

Série de Fourier

 Casos particulares:

– Se f(x) é uma função par, isto é, f(-x) = f(x), os coeficientes bk são nulos e a série é uma soma de co-senos.

– Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(x) = -f(-x), os coeficientes ak são nulos e a série é uma soma de senos.

(7)

7

Série de Fourier

 Exemplo:

Na prática, não é possível o trabalho com infinitas parcelas e um

número possível deve ser empregado. Veja exemplo na figura, a curva vermelha é a função f(x) resultante de:

f(x) = 5 + 4 sen x + (4/3) sen 3x + (4/5) sen 5x + (4/7) sen 7x + ... (só com as 5 parcelas explicitadas na equação).

 Esta série é a representação de uma onda quadrada.

Notar que, com 5 parcelas, já ocorre uma certa aproximação. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita conforme indicado pela linha tracejada.

(8)

8

(9)

9

Série de Fourier

 A primeira parcela (5) é constante. Se não existisse, isto é, se fosse nula, o sinal estaria acima e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal.  A segunda parcela (4 sen x) tem o mesmo período ou mesma

freqüência (inverso do período) do sinal. Por esta igualdade, é

chamada oscilação fundamental do sinal.

 As parcelas seguintes têm freqüências múltiplas (sen 3x, sen 5x, ...) da fundamental. São chamadas oscilações harmônicas ou

simplesmente harmônicos do sinal.

 Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação

fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental.

 Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico.

(10)

10

Série de Fourier

 Gráfico das amplitudes dos 25 primeiros harmônicos do sinal quadrado em estudo. Este tipo de gráfico é denominado espectro de freqüências do sinal.

(11)

11

Série de Fourier

 Os coeficientes da série de Fourier f(t) = a0/2 + ∑k=1,∞ ak cos kt + ∑k=1,∞ bk sen kt são dados por:

ak = (1/π) ∫0,2π f(t) cos kt dt e bk = (1/π) ∫0,2π f(t) sen kt dt.

 A depender do sinal, a integração matemática pode ser trabalhosa ou complexa. Entretanto, métodos de integração gráfica usados em computadores tornam a tarefa bastante simples e existem instrumentos e programas para analisar na prática qualquer sinal periódico.

(12)

12

Transformada de Fourier

 f(x): função contínua de uma variável real x  A transformada de Fourier de f(x):

 (u) é a variável de frequência

{

}

∞ −

=

=

f

(

x

)

F

(

u

)

f

(

x

)

exp[

j

2

π

ux

]

dx

onde

j

=

1

(13)

13

Transformada de Fourier

 A integral da equação mostra que F(u) é composto por uma soma infinita de termos seno e cosseno.

 Cada valor de u determina a freqüência de seu correspondente par seno-cosseno.

Fórmula de Euler

ux

j

ux

ux

j

2

π

]

cos

2

π

sin

2

π

exp[

=

(14)

14

Transformada de Fourier

 Dado F(u), f(x) pode ser obtida através do uso da Transformada

Inversa de Fourier.

 As equações descritos é chamada de par de transformada de Fourier.

)

(

)}

(

{

1

x

f

u

F

=

∞ ∞ −

=

F

(

u

)

exp[

j

2

π

ux

]

du

(15)

15

Transformada de Fourier

 Espectro de Fourier  Fase  Espectro de potência

[

2 2

]

1/2

)

(

)

(

)

(

u

R

u

I

u

F

=

+

=

)

(

)

(

tan

)

(

1

u

R

u

I

u

φ

)

(

)

(

)

(

)

(

u

F

u

2

R

2

u

I

2

u

P

=

=

+

(16)

16

Transformada de Fourier

 A transformada de Fourier de uma função real, entretanto, é geralmente complexa

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

u

j

e

u

F

u

F

u

jI

u

R

u

F

φ

=

+

=

a+jb

Parte real Componete cosseno da freqüência u Parte imaginária Componete seno da freqüência u

re-jф

Magnitude Quanta componete senoidal da freqüência u Fase Qual a fase que a senoidal precisa estar

=

+

=

)

(

)

(

tan

)

(

)]

(

)

(

[

)

(

1 2 / 1 2 2

u

R

u

I

u

u

I

u

R

u

F

φ

(17)

17

Transformada de Fourier

 Exemplo:

2

sin

1

j

e

e

x

e

a

dx

e

jx jx ax ax

=

=

uX j uX j uX j uX j uX j X ux j X

e

uX

u

A

e

e

e

u

j

A

e

u

j

A

e

u

j

A

dx

ux

j

A

dx

ux

j

x

f

u

F

π π π π π π

π

π

π

π

π

π

π

− − − − − ∞ ∞ −

=

=

=

=

=

=

)

sin(

]

[

2

]

1

[

2

]

[

2

]

2

exp[

]

2

exp[

)

(

)

(

2 0 2 0 f(x) A X 0 x

(18)

18

Transformada de Fourier

Espectro de Fourier

1

sin

cos

sin

cos

sin

cos

=

=

=

+

=

− − − π π

π

π

j j jx jx

e

j

e

x

j

x

e

x

j

x

e

)

(

)

sin(

)

sin(

)

(

uX

uX

AX

e

uX

u

A

u

F

j uX

π

π

π

π

π

=

=

(19)

19

(20)

20

Transformada de Fourier

 O par da transformada de Fourier para função f(x,y) de duas variáveis.

 Onde u, v são os valores de freqüência.

dxdy

vy

ux

j

y

x

f

v

u

F

y

x

f

(

,

)}

(

,

)

(

,

)

exp[

2

(

)

]

{

∫ ∫

∞ ∞ −

+

=

=

π

dudv

vy

ux

j

v

u

F

y

x

f

v

u

F

(

,

)}

(

,

)

(

,

)

exp[

2

(

)

]

{

1

∫ ∫

∞ ∞ − −

=

=

+

π

(21)

21

(22)

22

Transformada Discreta de Fourier

 A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:

 Tomando N amostras de ∆x unidades

)}

]

1

[

(

),...,

2

(

),

(

),

(

{

f

x

0

f

x

0

+

x

f

x

0

+

x

f

x

0

+

N

x

(23)

23

Transformada Discreta de Fourier

 Onde x assume os valores discretos (0,1,2,3,….,M-1) então

 A seqüência {f(0),f(1),f(2),…f(M-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçadas de uma função contínua

correspondente

)

(

)

(

x

f

x

0

x

x

f

=

+

(24)

24

Transformada Discreta de Fourier

 O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:

F(u)

=

1

M

x=0

f (x)exp[

j2

π

ux / M]

M−1

para u=0,1,2,…,M-1

f (x)

=

f (u)exp[ j2

π

ux / M]

u=0 M−1

para x=0,1,2,…,M-1

(25)

25

Transformada Discreta de Fourier

 Para computar F(u), substituimos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de x.

 Repetimos para todos M valores de u.

 Teremos então MxM adicões e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N2)

F(u)

=

1

M

x=0

f (x)exp[

j2

π

ux / M]

M−1

(26)

26

Transformada Discreta de Fourier

 Os valores u = 0, 1, 2, …, M-1 correspondem a amostras de uma transformada contínua nos valores 0, ∆u, 2∆u, …, (M-1)∆u.

 Isso significa que, F(u) representa F(u ∆u), onde:

u

=

1

(27)

27

Transformada Discreta de Fourier

 Exemplo: A amostragem sobre os valores do argumento x0=0.5,

x1=0.75, x2=1.0, x3=1.25

25

.

3

)

4

4

3

2

(

4

1

)]

3

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

[

4

1

]

0

exp[

)

(

4

1

)

0

(

3 0

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

=

f

f

f

f

x

f

F

x

)

2

(

4

1

)

4

4

3

2

(

4

1

]

4

/

2

exp[

)

(

4

1

)

1

(

2 / 3 2 / 0 3 0

j

e

e

e

e

x

j

x

f

F

j j j x

+

=

+

+

+

=

=

− − − =

π π π

π

]

2

[

4

1

)

3

(

]

0

1

[

4

1

)

2

(

j

F

j

F

+

=

+

=

(28)

28

Transformada Discreta de Fourier

 O espectro de freqüência é obtido a partir da magnitude de cada um dos termos da transformada.

4

5

4

1

4

2

)

3

(

4

1

4

0

4

1

)

2

(

4

5

4

1

4

2

)

1

(

25

.

3

)

0

(

2 2 2 2 2 2

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

F

F

F

F

(29)

29

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 No caso de duas variáveis, o par DFT é:

∑∑

− = − =

+

=

1 0 1 0

)]

/

/

(

2

exp[

)

,

(

1

)

,

(

M x N y

N

vy

M

ux

j

y

x

f

MN

v

u

F

π

∑∑

− = − =

+

=

1 0 1 0

)]

/

/

(

2

exp[

)

,

(

)

,

(

M u N v

N

vy

M

ux

j

v

u

F

y

x

f

π

para x=0,1,2,…,M-1 and y=0,1,2,…,N-1 e:

(30)

30

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 A amostragem de uma função contínua é agora feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura ∆x e ∆y, nos eixos x e y, respectivamente.

 Como no caso unidimensional, a função discreta f(x,y) representa amostras da função f(x0+x∆x,y0+y∆y) para x=0,1,2,…,M-1 e y=0,1,2,…,N-1.

y

N

v

x

M

u

=

=

1

,

1

(31)

31

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 Quando as imagens são amostradas em uma matriz quadrada, M=N

∑∑

− = − =

+

=

1 0 1 0

]

/

)

(

2

exp[

)

,

(

1

)

,

(

N x N y

N

vy

ux

j

y

x

f

N

v

u

F

π

∑∑

− = − =

+

=

1 0 1 0

]

/

)

(

2

exp[

)

,

(

1

)

,

(

N u N v

N

vy

ux

j

v

u

F

N

y

x

f

π

para u,v=0,1,2,…,N-1 e x,y=0,1,2,…,N-1

(32)

32

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 Espectro de Fourier ou magnitude

 Fase

[

2 2

]

1/2

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

u

v

F

u

v

R

u

v

I

u

v

P

=

=

+

=

)

,

(

)

,

(

tan

)

,

(

1

v

u

R

v

u

I

v

u

φ

(33)

33

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 Transformada inversa de Fourier, para uma imagem f(x,y) de tamanho NxN.

∑∑

∑∑

− = − = − = − =





+

+





+

=





+

=

1 0 1 0 1 0 1 0

)

(

2

sin

)

(

2

cos

)

,

(

1

)

(

2

exp

)

,

(

1

)

,

(

N x N y N x N y

N

vy

ux

j

N

vy

ux

v

u

F

N

N

vy

ux

j

v

u

F

N

y

x

f

π

π

π

)

,

(

)

,

(

)

(

2

sin

)

(

2

cos

)

,

(

1

)

(

2

exp

)

,

(

1

)

,

(

1 0 1 0 1 0 1 0

v

u

jI

v

u

R

N

vy

ux

j

N

vy

ux

y

x

f

N

N

vy

ux

j

y

x

f

N

v

u

F

N x N y N x N y

+

=





+





+

=





+

=

∑∑

∑∑

− = − = − = − =

π

π

π

(34)

34

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 Exemplo: Para uma imagem f(x,y) de tamanho 4x4

Coordenadas Pixels

)

3

,

3

(

)

2

,

3

(

)

1

,

3

(

)

0

,

3

(

)

3

,

2

(

)

2

,

2

(

)

1

,

2

(

)

0

,

2

(

)

3

,

1

(

)

2

,

1

(

)

1

,

1

(

)

0

,

1

(

)

3

,

0

(

)

2

,

0

(

)

1

,

0

(

)

0

,

0

(

1

2

5

8

2

2

2

4

3

8

7

1

2

0

3

5

(35)

35

Transformada Discreta de Fourier em 2D

 “kernel” de imagem da transformada de Fourier





+

=

N

vy

ux

j

v

u

y

x

g

(

,

;

,

)

exp

2

π

(

)

u,v=0,1,2,3





+

=

N

vy

ux

v

u

y

x

g

r

(

,

;

,

)

cos

2

π

(

)

=



+



N

vy

ux

v

u

y

x

g

i

(

,

;

,

)

sin

2

π

(

)

(36)

36

(37)

37

(38)

38

(39)

39

(40)

40

Transformada Discreta de Fourier em 2D

Imagem Original Transformada de Fourier Transformada de Fourier mapeado linearmente mapeado logaritimicamente

(41)

41

Propriedades da Transformada de Fourier

 Translação

– Deslocamento no domínio espacial

(42)

42

Propriedades da Transformada de Fourier

 Translação

(43)

43

(44)

44

Propriedades da Transformada de Fourier

 Periodicidade e simetria conjugada

– Periodicidade

– Apesar de F(u,v) repetir por infinitos valores de u e v, apenas os valores M,N de cada variável em qualquer período é necessário para obter f(x,y) de F(u,v).

– Isso significa que apenas um período da transformada é necessaria para especificar F(u,v) completamente no domínio de freqüência ( e similarmente f(x,y) no domínio espacial)

(45)

45

Propriedades da Transformada de Fourier

 Deslocamento do espectro, move a origem da transformada para u=N/2

(46)

46

Propriedades da Transformada de Fourier

 Simetria conjugada

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

*

v

u

F

v

u

F

v

u

F

v

u

F

=

=

(47)

47

Propriedades da Transformada de Fourier

 Exemplo:

(48)

48

Propriedades da Transformada de Fourier

 Transformada de Fourier

(49)

49

(50)

50

(51)

51

(52)

52

(53)

53

(54)

54

Filtragem no Domínio da Freqüência

 Procedimento:

– Centrar a transformada, multiplicando a imagem por (-1)x+y

– Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem. – Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v).

– Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova imagem realçada.

– Obter a parte real

– Multiplicar o resultado por (-1)x+y

– Resumindo

G(u,v) = H(u,v) F(u,v)

(55)

55

Filtragem no Domínio da Freqüência

 Três tipos de filtragem.

– Filtros passa-baixa (suavização, borramento).

• Preserva as baixas freqüências espaciais. • Suprime as altas freqüências espaciais

.

– Filtros passa-alta (realce das bordas, aguçamento)

• Preserva as altas freqüências espaciais. • Suprime as baixas freqüências espaciais

.

– Filtros passa-faixa (restauração de imagens)

• Preserva específicas freqüências espaciais. • Suprime outras freqüências espaciais.

Baixa freqüências: área de suavização

(56)

56

Filtragem no Domínio da Freqüência

(57)

57

(58)

58

Convolução

 Definição:

)

,

(

)

,

(

)

,

(

*

)

,

(

x

y

g

x

y

F

u

v

G

u

v

f

)

,

(

*

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

g

x

y

F

u

v

G

u

v

f

)

,

(

)

,

(

1

)

,

(

*

)

,

(

1 0 1 0

n

y

m

x

g

n

m

f

MN

y

x

g

y

x

f

M m N n

=

∑∑

− = − =

(59)

59

Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtro Básico

 O valor médio de uma image é dado por F(0,0). Se fizermos este

termo no dominio da freqüência igual a zero ( F(0,0)=0) e tomarmos a transformada inversa, teremos o valor médio da imagem resultante igual a zero. (Filtro de Notch)

H(u,v)

=

0

1

se (u,v) = M/2, N/2 caso contrário

F(0,0)

=

1

MN

y=0

f (x, y)

N−1

x=0 M −1

(60)

60

(61)

61

Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtro Ideal (passa-baixa)

 Um filtro ideal passa-baixa é definido por:

 Onde D0 é um valor não-negativo específico e D(u,v) é a distância do

ponto (u,v) à origem do plano da freqüência:

 O centro do plano da freqüência: (u,v)=(m/2,n/2)

>

=

0 0

)

,

(

se

0

)

,

(

se

1

)

,

(

D

v

u

D

D

v

u

D

v

u

H

2 / 1 2 2

)

(

)

,

(

u

v

u

v

D

=

+

(62)

62

(63)

63

Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtro Ideal (passa-baixa)

 Todas as freqüências dentro do do círculo de raio D0 são passadas sem

atenuação.

 Todas as freqüências for a deste círculo são completamente atenuadas.  Freqüência de corte: ponto de transição entre H(u,v)=1 e H(u,v)=0,

neste exemplo ela e definido por (D0).

 Um modo de estabelecer um conjunto de posições padrão é computar círculos que incluam várias quantidades de potência do sinal total PT

(64)

64

Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtro Ideal (passa-baixa)

 PT é obtido pela soma da potência a cada ponto (u,v) para

u,v=0,1,2,…,N-1, ou seja:

 Se a transformada for centrada, um círculo de raio r com origem no centro do quadrado de freqüências inclui β% da potência:

=

∑∑

u v T

P

v

u

P

(

,

)

/

100

β

∑∑

− = − =

=

1 0 1 0

)

,

(

N u N v T

P

u

v

P

(65)

65

(66)

66

Filtragem no Domínio da Freqüência

Modos mais suaves para remover as altas freqüências

Filtro de Butterworth Filtro Gaussiano passa-baixas n D v u D v u H 2 0] / ) , ( [ 1 1 ) , ( + =

H(u,v)

=

e

D2(u,v ) / 2σ 2

(67)

67

(68)

68

(69)

69

Filtragem no Domínio da Freqüência

Filtro passa-baixa

Filtro passa-alta Hpa(u,v)=1-Hpb(u,v)

Filtro passa-alta + constante

(70)

70

(71)

71

Filtragem no Domínio da Freqüência

   > ≤ = 0 0 ) , ( if 1 ) , ( if 0 ) , ( D v u D D v u D v u H

Filtro ideal passa-alta

Filtro Butterworth passa-alta

n v u D D v u H 2 0 / ( , )] [ 1 1 ) , ( + =

Filtro Gaussiano passa-alta

(72)

72

Filtragem no Domínio da Freqüência

(73)

73

Filtragem no Domínio da Freqüência

   > ≤ = 0 0 ) , ( if 1 ) , ( if 0 ) , ( D v u D D v u D v u H

Filtro ideal passa-alta

Filtro Butterworth passa-alta

n v u D D v u H 2 0 / ( , )] [ 1 1 ) , ( + =

Filtro Gaussiano passa-alta

(74)

74

Filtragem no Domínio da Freqüência

Laplaciano

2

f

=

2

f

x

2

+

2

f

y

2

2

f

2

x

2

=

f ( x

+

1, y)

+

f ( x

1, y)

2 f ( x, y)

2

f

2

y

2

=

f ( x, y

+

1)

+

f ( x, y

1)

2 f ( x, y)

2

f

=

[ f ( x

+

1, y)

+

f ( x

1, y)

+

f ( x, y

+

1)

+

f ( x, y

1)]

4 f ( x, y)

(75)

75

Filtragem no Domínio da Freqüência

Laplaciano no domínio de Fourier

 Temos que:

 O Laplaciano pode ser implementado usando o filtro:

 Par da transformada de Fourier

ℑ ∇

2

f ( x, y)

[

]

= −

(u

2

+

v

2

)F (u,v)

H(u,v)

= −

(u

2

+

v

2

)

2

f ( x, y)

⇔ −

[(u

M /2)

2

+

(v

N /2)

2

]F (u,v)

(76)

76

Filtragem no Domínio da Freqüência

)

(

)

(

)

(

u

F

ju

dx

x

f

d

n n n

=

(77)

77

Desaguçamento (“Unsharp Masking”)

Filtragem por “alto reforço”

(78)

78

Desaguçamento (“Unsharp Masking”)

Filtragem por “alto reforço”

 Desaguçamento (“unsharp masking”)

 Passa-altas = original – passa-baixas  Se A for um fator de amplificação então:

– “Alto-reforço” = A.original – passa-baixas

= (A-1).original+original – passa-baixas = (A-1).original+passa-altas

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

f

x

y

f

x

y

f

hp

=

lp

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

1

(

)

,

(

x

y

A

f

x

y

f

x

y

f

x

y

f

hb

=

+

lp

)

,

(

)

,

(

)

1

(

)

,

(

x

y

A

f

x

y

f

x

y

f

hb

=

+

hp

)

,

(

)

,

(

x

y

f

x

y

Af

f

hb

=

lp

(79)

79

Desaguçamento (“Unsharp Masking”)

Filtragem por “alto reforço”

)

,

(

)

,

(

)

,

(

u

v

F

u

v

F

u

v

F

hp

=

lp

)

,

(

)

,

(

)

,

(

u

v

H

u

v

F

u

v

F

lp

=

lp

)

,

(

1

)

,

(

u

v

H

u

v

H

hp

=

lp

)

,

(

)

1

(

)

,

(

u

v

A

H

u

v

H

hb

=

+

hp

(80)

80

Desaguçamento (“Unsharp Masking”)

Filtragem por “alto reforço”

(81)

81

Filtragem por “enfase nas

altas frequências ”

)

,

(

)

,

(

u

v

a

bH

u

v

H

hfe

=

+

hp

1

)

1

(

=

=

b

A

a

(82)

82

Filtragem Homomórfica

)

,

(

)

,

(

)

,

(

x

y

i

x

y

r

x

y

f

=

{

f

(

x

,

y

)

} {

i

(

x

,

y

)

} {

r

(

x

,

y

)

}

)

,

(

ln

)

,

(

ln

)

,

(

ln

)

,

(

y

x

r

y

x

i

y

x

f

y

x

z

+

=

=

{

} {

}

{

ln

(

,

)

} {

ln

(

,

)

}

)

,

(

ln

)

,

(

y

x

r

y

x

i

y

x

f

y

x

z

+

=

=

)

,

(

)

,

(

)

,

(

u

v

F

u

v

F

u

v

Z

=

i

+

r

(83)

83

Filtragem Homomórfica

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

v

u

F

v

u

H

v

u

F

v

u

H

v

u

Z

v

u

H

v

u

S

r i

+

=

=

{

}

{

(

,

)

(

,

)

}

{

(

,

)

(

,

)

}

)

,

(

)

,

(

1 1 1

v

u

F

v

u

H

v

u

F

v

u

H

v

u

S

y

x

s

r i − − −

+

=

=

{

(

,

)

(

,

)

}

)

,

(

'

x

y

1

H

u

v

F

u

v

i

=

i

{

(

,

)

(

,

)

}

)

,

(

'

x

y

1

H

u

v

F

u

v

r

=

r

)

,

(

'

)

,

(

'

)

,

(

x

y

i

x

y

r

x

y

s

=

+

(84)

84

Filtragem Homomórfica

)

,

(

)

,

(

.

)

,

(

0 0 ) , ( ' ) , ( ' ) , (

y

x

r

y

x

i

e

e

e

y

x

g

y x r y x i y x s

=

=

=

[

]

L

D

v

u

D

c

L

H

e

v

u

H

=

γ

γ

02

+

γ

2

/

)

,

(

(

1

)

(

)

,

(

(85)

85

(86)

86

(87)

87

Propriedades da transformada

2-D de Fourier

(88)

88

Propriedades da transformada

2-D de Fourier

(89)

89

Propriedades da transformada

2-D de Fourier

(90)

90

Propriedades da transformada

2-D de Fourier

(91)

91

Transformada Rápida de Fourier

 Número de multiplicações e adicões para implementar a transformada de Fourier: M2

 A decomposição da TF torna o número de multiplicações e adições

proporcional a MlogM

 Isto é se M=1021 seriam necessários 1.000.000 de operações, enquanto que na FFT seriam 10000.

F(u)

=

1

M

x

=

0

f (x)exp[

j2

π

ux / M]

M

1

Referências

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