Universidade Federal Fluminense
Instituto de Física
Amanda Guerrieri Melchior
Gravitação de Newton-Cartan no Formalismo
de Primeira Ordem
Niterói, Rio de Janeiro
30 de outubro de 2020
Amanda Guerrieri Melchior
Gravitação de Newton-Cartan no Formalismo de Primeira
Ordem
Projeto de trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto de Física da Uni-versidade Federal Fluminense como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Bacharel em Física.
Orientador: Rodrigo Ferreira Sobreiro
Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Física
Niterói, Rio de Janeiro
30 de outubro de 2020
Bibliotecário responsável: Sandra Lopes Coelho - CRB7/3389
M518g Melchior, Amanda Guerrieri
Gravitação de Newton-Cartan no Formalismo de Primeira Ordem / Amanda Guerrieri Melchior ; Rodrigo Ferreira Sobreiro, orientador. Niterói, 2020.
96 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2020.
1. Gravitação. 2. Teoria de Calibre. 3. Formalismo de Primeira Ordem. 4. Geometria de Newton-Cartan. 5. Produção intelectual. I. Sobreiro, Rodrigo Ferreira, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.
-AMANDA GUERRIERI MELCHIOR
GRAVITAÇÃO DE NEWTON-CARTAN NO FORMALISMO DE PRIMEIRA ORDEM
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Física da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Física.
Aprovado em 30 de outubro de 2020.
BANCA EXAMINADORA
Prof. Orientador Rodrigo Ferreira Sobreiro (IF/UFF)
Prof. Antônio Duarte Pereira Jr. (IF/UFF)
Prof. Reinaldo Faria de Melo e Souza (IF/UFF)
Pós-doutorando Anderson Alves Tomaz (IF/UFF)
Niterói 2020
Nesse trabalho de conclusão de curso, consideramos o limite não-relativístico de teorias de gravitação, nos restringindo a quatro dimensões. Para tal, fizemos o uso do formalismo de primeira ordem e da contração de Inönü-Wigner do grupo de Poincaré, em vez de considerarmos a aproximação de campo fraco para o tensor métrico. Com isso, associamos à teoria de calibre do grupo de Galilei, a geometria de Newton-Cartan. Nos primeiros dois capítulos, tivemos como objetivo introduzir os conceitos fundamentais por trás de uma teoria de calibre não-abeliana, e elucidar a particularidade do caso gravitacional. Além de, é claro, prover a base matemática necessária para prosseguirmos. No terceiro capítulo, revisitamos o limite para o caso mais simples, onde a dinâmica da teoria é dada pela ação de Einstein-Hilbert. Em seguida, nomeamos essa teoria de Gravitação Galileana e discutimos formalmente algumas possíveis soluções geométricas no vácuo e na presença da matéria. Entre essas soluções, ressaltamos a condição de torção temporal nula, que é fundamental para obter uma teoria consistente com o tempo absoluto newtoniano. Essa teoria, apesar de ter graus de liberdade associados à torção e ser fundamentada na Geometria Diferencial, é uma representação válida da gravitação newtoniana. Por último, no quarto capítulo, consideramos o limite para o caso mais geral, onde a dinâmica da teoria é dada pela ação de Mardones-Zanelli. Para esse caso, nos referimos a teoria como sendo a Gravitação de Galilei-Cartan. Discutimos em seguida algumas soluções, e a sua consistência. Desenvolvemos um teorema, que nos diz em que circunstâncias podemos empregar o tempo absoluto newtoniano.
Abstract
In this work, we have considered the non-relativistic limit of gravity theories in four dimen-sions. For that, we employed the first order formalism and the Inönü-Wigner contraction of the Poincaré group, instead of considering the weak field approach for the metric tensor. Therefore, we associated the gauge theory of the Galilei group with a Newton-Cartan ge-ometry. In the first two chapters, our goal was to introduce fundamental concepts behind non-Abelian gauge theories and elucidate the particularity of gravity as a gauge theory. Moreover, the mathematical fundaments necessary to proceed were also introduced. In the third chapter, we revisited the non-relativistic limit of gravity for the simplest case we know, in which the dynamics of the theory is given by the Einstein-Hilbert action. We called this theory of Galilei Gravity and then we formally discussed some possible geometric solutions at the vacuum and in presence of matter. Among these solutions, we emphasized the twistless torsion condition, which is necessary if we want a theory consis-tent with the concept of Newtonian absolute time. This theory is then a valid covariant representation of Newtonian gravity, with torsion degrees of freedom. In the fourth chap-ter, we have considered the non-relativistic limit for the most general case, where the dynamics of the theory is given by the four dimensional Mardones-Zanelli action. For this case, we referred to the theory as Galilei-Cartan gravity and then discussed some solutions and their consistencies. We developed a theorem, which gave us the conditions we need to employ the notion of absolute Newtonian time in this most general case.
Sumário
Introdução . . . . 9
1 TEORIA DE CALIBRE . . . 13
1.1 O Eletromagnetismo . . . 13
1.2 Teorias de Calibre Não-Abelianas . . . 16
1.2.1 Definições básicas. . . 17
2 GRAVITAÇÃO NO FORMALISMO DE PRIMEIRA ORDEM . . . . 21
2.1 Gravitação no formalismo de segunda ordem . . . 22
2.2 Gravitação no formalismo de primeira ordem . . . 25
2.2.1 Grupo de Poincaré . . . 25
2.2.2 Tetrada . . . 27
2.2.3 Conexão de Lorentz. . . 29
2.2.4 Gravitação e teoria de calibre. . . 31
2.2.5 Curvatura e torção . . . 32
2.3 Teorias de gravitação . . . 34
2.3.1 Teorema de Lovelock . . . 34
2.3.2 Teorema de Mardones-Zanelli . . . 35
3 A GRAVITAÇÃO DE GALILEI . . . 37
3.1 A contração de Inönü-Wigner do grupo de Poincaré . . . 38
3.2 A Estrutura de Calibre do Grupo de Galilei . . . 41
3.2.1 Conexão de Calibre . . . 41 3.2.2 Tetrada . . . 43 3.2.3 Curvatura . . . 45 3.2.4 Torção . . . 48 3.2.5 Identidades de Bianchi . . . 50 3.3 Gravitação de Galilei . . . 53 3.3.1 Soluções no Vácuo . . . 56 3.3.1.1 Um vínculo impossível . . . 56
3.3.1.2 Imposição fraca de torção temporal nula . . . 57
3.3.1.3 Imposição forte de torção temporal nula . . . 58
3.3.1.4 Solução tipo Weitzenböck . . . 58
3.3.2 Soluções dentro da matéria . . . 62
4.2 Soluções no Vácuo . . . 72
4.2.1 Solução maximamente simétrica . . . 73
4.2.2 Solução mais geral no vácuo . . . 75
4.3 Soluções dentro da matéria . . . 78
Conclusão. . . 83
REFERÊNCIAS . . . 87
APÊNDICES
91
APÊNDICE A – PROPRIEDADES MATEMÁTICAS . . . 93A.1 Cálculo Tensorial . . . 93
9
Introdução
Existem pelo menos três formas de estender a validade da Mecânica Clássica (MC). Cada uma delas introduz uma constante da natureza, que desaparece nesse caso particular. A primeira forma nos diz que no limite de altas velocidades (com relação a velocidade da luz 𝑐), a teoria é estendida para a Relatividade Restrita. A segunda forma, nos diz que a curtas distâncias certas quantidades físicas são quantizadas, em unidades da constante de Planck ¯ℎ, e a teoria é estendida para Mecânica Quântica (MQ). Já a terceira forma, nos
diz que a força gravitacional pode ser introduzida por meio da constante de Newton 𝐺, tal que a teoria se estende para a Gravitação Newtoniana (GN). Há formas de combinar essas extensões e encontrar novas teorias. Podemos, por exemplo, combinar a primeira e a última extensão, para encontrar a Relatividade Geral (RG). Ou, a primeira e a segunda, para encontrar a Teoria Quântica de Campos (TQC). Por fim, poderíamos combinar as três extensões, encontrando uma Teoria de Gravitação Quântica (GQ).
Nesse contexto, sabemos que com exceção da interação da gravitacional, as outras interações fundamentais têm uma descrição quântica bem sucedida através de uma Teoria de Calibre (RUBAKOV,2002), cuja ideia central é determinar que simetria (global e local) está por trás de determinada interação e, a partir dela, construir os campos responsáveis por mantê-la localmente dentro da teoria. Esses campos são chamados de campos de calibre, ou potenciais, responsáveis por codificar toda a informação presente em uma interação física. A partir deles, podemos gerar o que chamamos de tensor intensidade de campo, ou simplesmente curvatura, responsável por associar a essa simetria a noção de força. Ao questionarmos o que gera essa força, nos voltamos ao teorema de Noether (NOETHER, 1918), que associa à essa simetria (global) uma quantidade conservada, chamada de carga. Seu papel é servir de fonte para o potencial que, por consequência, será a origem da força propriamente dita. Separamos o primeiro capítulo desta monografia para introduzir os principais conceitos e equações por trás de uma Teoria de Calibre.
O Modelo Padrão é a teoria por trás da unificação das interações elétrica, nuclear fraca e nuclear forte. Ele contém o setor de interações eletrofracas 𝑆𝑈 (2) × 𝑈 (1), que descreve unificadamente as interações nuclear fraca e elétrica, e o setor da interação nuclear forte 𝑆𝑈 (3). Tal que o seu grupo de calibre é 𝑆𝑈 (3) × 𝑆𝑈 (2) × 𝑈 (1). A simetria global desse grupo gera as cargas conservadas do sistema, que serão as fontes para os campos, e a simetria local introduz os campos de calibre não-abelianos associados aos grupos 𝑆𝑈 (3) e
𝑆𝑈 (2), e o campo de calibre abeliano associado a 𝑈 (1). Além disso, existem propagadores
associados a esses campos, que têm o papel papel de mediar as interações forte, fraca e eletromagnética. Eles vão corresponder, respectivamente, aos glúons da interação forte, aos bósons 𝑊±, 𝑍0 da interação fraca e ao fóton da interação eletromagnética. Suas fontes
serão, respectivamente, as partículas carregadas com cor e a auto-interação do campo de glúons, as cargas de sabor e a auto-interação dos campos, e a carga elétrica. Veja, por exemplo (FURTADO; HELAYEL-NETO,2020).
Para o caso gravitacional, ao contrário das interações anteriores, o grupo de calibre será o grupo de isometrias1 locais. Essa é uma diferença sutil, mas extremamente impor-tante. Considere, por exemplo, o caso do eletromagnetismo. Suas equações de campo são invariantes por transformações de Lorentz e, portanto, existem quantidades conservadas associadas a essa simetria - mas ela não é a sua simetria de calibre. É, a princípio, total-mente novo imaginar uma interação que surja dessas isometrias e essa é justatotal-mente uma das primeiras e principais diferenças que aparecem ao compararmos a gravitação com as outras interações. Uma formulação de calibre bem sucedidas para a gravitação é feita no chamado formalismo de primeira ordem (FPO) (HASSAINE; ZANELLI, 2016; ORTIN,
2015), que apresentaremos no segundo capítulo desta monografia.
Sabemos que a gravitação newtoniana pode ser obtida a partir da RG, por meio de uma aproximação de campo fraco. No contexto do FPO, uma descrição da RG como a te-oria de calibre do grupo de Poincaré2 (UTIYAMA,1956;KIBBLE,1961;SCIAMA,1964) é feita e a RG pode ser reduzida a Gravitação newtoniana a partir da contração de Inönü-Wigner (IW) (INONU; WIGNER, 1953) do grupo de Poincaré, veja (BERGSHOEFF et al.,2017b). Por um lado, podemos tomar o limite ultra-relativístico3do grupo de Poincaré e encontrar a chamada gravitação de Carroll. Por outro, o limite não-relativistico do grupo de Poincaré gera o grupo de Galilei e a gravitação galileana. A gravitação galileana é uma teoria de calibre baseada no grupo de Galilei e descreve uma gravitação geometrodinâmica que, sob certas condições (AFSHAR et al.,2016;ABEDINI; AFSHAR; GHODSI,2019), é equivalente a gravitação newtoniana. Uma condição importante é conhecida como
condi-ção de torcondi-ção temporal nula, que é necessária para definir o tempo absoluto Newtoniano.
Vale ressaltar que, ainda assim, a gravitação galileana é muito mais geral que a Gravita-ção newtoniana, carregando, por exemplo, graus de liberdade de torGravita-ção (BERGSHOEFF et al., 2017a). Em contraste com o limite não-relativístico da RG no FPO, poderíamos iniciar a nossa análise diretamente a partir da álgebra de Galilei e das suas extensões, de forma a construir teorias de gravitação newtoniana mais gerais (BERGSHOEFF et al., 2019). Dois exemplos renomados são as teorias de calibre associadas aos grupos de Bargmann e Schrödinger. Uma característica particularmente atraente da gravitação de
1 Uma aplicação entre espaços métricos é chamada de isometria se conserva as distâncias entre os pontos
e a amplitude dos ângulos. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões. Nesse sentido, no espaço de Minkowski, as transformações de Lorentz são isometrias. Como a RG pode ser aproximada localmente por um espaço de Minkowski, elas constituirão uma isometria local da teoria.
2 Mais precisamente, consideramos apenas o setor de Lorentz, já que o grupo de Poincaré não é um grupo
de Lie semi-simples. Ainda assim, o setor de translações é usado para expandir os graus de liberdade da tetrada, o que é fundamental para o princípio da equivalência (UTIYAMA,1956; KIBBLE,1961;
SCIAMA,1964;MARDONES; ZANELLI,1991;ZANELLI,2005).
11
Schrödinger (AFSHAR et al., 2016) é que ela pode ser usada como base para construir modelos de gravitação de Hoˇrava-Lifshitz (HORAVA, 2009).
Sabendo que o FPO permite que graus de liberdade de torção surjam de uma maneira natural (UTIYAMA, 1956; KIBBLE, 1961; SCIAMA, 1964; MARDONES; ZA-NELLI,1991;ZANELLI,2005), consideramos o uso do teorema de Lovelock-Cartan para construirmos a ação mais geral que descreva a dinâmica da teoria. De fato, em ( MAR-DONES; ZANELLI, 1991), Mardones e Zanelli foram capazes de generalizar a teoria de Gravitação de Lovelock (LOVELOCK, 1971b), de maneira a considerar os termos com torção em qualquer dimensão espaço-temporal. Essas teorias, conhecidas como teorias de Gravitação de Lovelock-Cartan (LC), são descritas por ações de primeira ordem, polino-miais e locais, chamadas de ações de Mardones-Zanelli (MZ). O objetivo desta monografia é desenvolver o limite não-relativístico dessas teorias, indo além da ação de EH no estudo de sistemas gravitacionais não-relativísticos. Além disso, a linguagem de formas diferenci-ais é uma escolha particularmente útil e natural nesse cenário, pois nos permite trabalhar de forma completamente independente dos referenciais. É importante ressaltar que nos restringiremos a quatro dimensões.
No terceiro capítulo, antes de partirmos para o caso mais geral, revisamos o caso particular do limite não-relativístico da ação de EH. Como resultado, obtemos a gravitação galileana e analisamos algumas soluções para os casos com e sem torção, tanto no vácuo quanto na matéria. No quarto capítulo, partimos para o caso mais geral, onde a estrutura de calibre permanece, é claro, inalterada. O que se altera nesse caso é a dinâmica da teoria, dada pelos termos extras da ação de MZ, após o limite. Com isso, a essa nova teoria damos o nome de Gravitação de Galilei-Cartan (GC), para distingui-la do caso anterior. Novamente, encontramos as equações de campo e discutimos casos genéricos. Além de a compararmos com a teoria galileana, discutida no capítulo anterior.
Vale ressaltar que o presente trabalho, sendo inédito, rendeu um artigo cientí-fico que atualmente está em fase de análise para publicação (GUERRIERI; SOBREIRO,
13
1 Teoria de Calibre
Nesse capítulo, buscamos mostrar ao leitor os fundamentos e a importância da chamada teoria de calibre moderna, na qual se classifica a Teoria de Yang-Mills. Existem inúmeras abordagens possíveis para a sua apresentação. Começaremos com uma breve motivação conceitual para em seguida introduzir conceitos mais profundos por trás da teoria, no formalismo adequado para esta monografia. Não nos interessa aqui deduzir formalmente a sua construção matemática, caso seja de interesse do leitor ele a encontrará na referência (RUBAKOV, 2002).
1.1
O Eletromagnetismo
Usando uma notação atual, podemos escrever as equações de Maxwell ( GRIF-FITHS, 1999)(MACHADO, 2000), que descrevem o eletromagnetismo, tanto na forma vetorial quanto nas formas diferencial e tensorial. É familiar ao estudante de graduação encontrá-las escritas na forma vetorial, portanto, será a forma que abordaremos inicial-mente nesta monografia. Elas foram publicadas por James Clerk Maxwell no ano de 1865 (MAXWELL,1865) e são resumidas, fora dos meios materiais, da seguinte maneira
∇ × E +𝜕B 𝜕𝑡 = 0 , (1.1) ∇ · B = 0 , (1.2) ∇ · E = 𝜌 𝜖0 , (1.3) ∇ × B − 𝜇0𝜖0 𝜕E 𝜕𝑡 = 𝜇0J , (1.4)
onde E e B são, respectivamente, os vetores campo elétrico e magnético1. As constantes
𝜖0 e 𝜇0, são chamadas de permissividade elétrica e a permeabilidade magnética no vácuo,
respectivamente. A quantidade 𝜌 é uma função escalar que descreve a densidade de cargas elétricas, variando de acordo com o problema. Analogamente, J é uma função vetorial que descreve a densidade de corrente elétrica.
A partir das equações de Maxwell, podemos encontrar quantidades conservadas que nos ajudam a resolver problemas físicos. A que gostaríamos que enfatizar aqui é a conservação de carga, dada pela equação de continuidade,
𝜕𝜌
𝜕𝑡 = −∇ · J . (1.5)
1 Os campos elétrico e magnético se propagam perpendicularmente entre si constituindo uma onda
eletromagnética. Essa onda viaja com velocidade constante igual a velocidade da luz e descreve os diferentes tipos de radiação.
Essa equação nos diz que a carga é conservada localmente (não só globalmente). É uma consequência surpreendente da simetria de calibre, que iremos introduzir a seguir.
Consideremos as relações entre os potenciais elétrico e magnético com os campos E e B. Essas relações já existiam antes mesmo das equações de Maxwell serem escritas. O potencial vetor magnético, por exemplo, foi introduzido por William Thomson em 1851 (YANG,2014). Mas na época (e durante muito tempo) se pensava que essas relações eram apenas uma ferramenta matemática desprovida de qualquer significado físico. Atualmente, sabemos que isso não é verdade e a descoberta do significado físico dessas relações está associada ao desenvolvimento das Teorias de Calibre. As relações são as seguintes,
E = −∇𝜑 − 𝜕A
𝜕𝑡 , (1.6)
B = ∇ × A , (1.7)
onde 𝜑 é uma função chamada de potencial elétrico e A um vetor, chamado de potencial vetor magnético. O que foi notado é que (1.7) automaticamente satisfaz a relação (1.2), pois a relação
∇ · (∇ × A) = 0 , (1.8)
é válida para qualquer A. Podemos enfatizar essa liberdade somando ao potencial vetor qualquer gradiente de uma função escalar 𝛼, sem alterar o campo magnético2. Ou seja,
B = ∇ × (A + ∇𝛼) = ∇ × A. (1.9)
Concluímos que o potencial vetor pode se transformar como
A’ = A + ∇𝛼. (1.10)
Essa liberdade na escolha do potencial vetor é chamada de liberdade de calibre. Para garantir que o campo elétrico não se altere por essa transformação, é fácil notar pela equação (1.6), que o potencial elétrico deve se transformar por
𝜑′ = 𝜑 +𝜕𝛼
𝜕𝑡 . (1.11)
Nesse sentido, encontrada uma função escalar que descreva um determinado sistema, teremos ainda todo um conjunto de infinitas possibilidades que ela poderá vir a assumir. Qualquer uma manterá os campos elétrico e magnético invariantes, desde que o potencial elétrico se transforme como (1.11). O mesmo raciocínio se aplica ao potencial vetor.
O surgimento da Relatividade Restrita (RR) em 1905 (EINSTEIN,1905) se pautou em fenômenos de natureza eletromagnética, fundamentando o magnetismo como uma consequência da dinâmica dos observadores. Com isso, passou a ser conveniente reescrever
1.1. O Eletromagnetismo 15
a eletrodinâmica na mesma linguagem da RR e isso implica reescrever esses resultados usando uma 1-forma potencial definida por
𝐴𝜇(𝑥) = {𝜑(𝑥), A(𝑥)}. (1.12)
Ela representa o quadri-potencial eletromagnético, tal que sua primeira componente é o potencial elétrico e suas outras componentes são as componentes do potencial vetor magnético. Com o índice livre 𝜇 atingindo valores {0,1,2,3}, as relações (1.10) e (1.11) se reduzem a
𝐴′𝜇(𝑥) = 𝐴𝜇(𝑥) + 𝜕𝜇𝛼(𝑥), (1.13)
formando um sistema de quatro equações contidas no índice3. Essa classe de transforma-ções é chamada de transformatransforma-ções de calibre. São transformatransforma-ções que agem nos campos de calibre 𝐴𝜇, mantendo o sistema de coordenadas inalterado. Note que ela depende do
ponto no espaço e no tempo e, portanto, é local. Cada ponto no espaço pode ter seu 𝐴𝜇
transformado de uma maneira diferente, em contraposição com uma transformação global (em que as transformações não dependem da posição no espaço e no tempo). O leitor deve ter uma distinção importante em mente,
1. As equações de Maxwell são invariantes por transformações globais de coordenadas do grupo de Poincaré (transformações de Lorentz + translações). A transformação de coordenadas ser global, indica que estamos lidando com referenciais globais e inerciais.
2. As equações de Maxwell são invariantes por transformações (locais) de calibre. Transformações de calibre podem ser entendidas como representações locais de um grupo de Lie. No caso do eletromagnetismo, esse grupo de calibre é o grupo U(1)4.
O que essas invariâncias nos dizem? Sabemos que toda simetria contínua gera
uma corrente conservada de Noether (NOETHER, 1918; MIELING, 2017; RUBAKOV,
2002). Transformações globais de Poincaré se referem a transformações de coordenadas e geram a conservação do tensor energia-momento. Esse tensor pode ser representado por uma matriz cujos componentes são: a densidade de energia do campo eletromagnético, as componentes do vetor de Poynting e as componentes da matriz das tensões de Maxwell (que dá a densidade de momento). Enquanto para as transformações de calibre, a corrente
3 Usamos a notação reduzida 𝜕
𝜇=𝜕𝑥𝜕𝜇 , com 𝑥
𝜇= {𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧}.
4 As transformações de calibre para o eletromagnetismo são uma consequência da ação local do grupo
de simetria U(1). Ele pode ser representado como um círculo unitário no plano complexo, definindo uma fase nas ondas de matéria (campos). Tornar a simetria desse grupo local significa criar uma invariância nas equações de campo (da mecânica quântica) sob a ação de uma fase local nas ondas de matéria. O ato de criar a invariância local introduz o potencial eletromagnético como uma relação a ser satisfeita pela teoria, fazendo com que o eletromagnetismo surja de maneira natural a partir dessa simetria. Essa descoberta foi publicada em 1929 por Hermann Weyl (WEYL,1929), conhecido como o precursor das Teorias de Calibre.
associada de Noether é a 4-corrente elétrica (a fonte do 4-potencial eletromagnético) definida por 𝑗𝜇 = {𝜌, J}. Onde a primeira componente é a densidade de carga elétrica e
a segunda é a densidade de corrente elétrica. Ou seja, geram a equação de continuidade, que dá a conservação local de carga (1.5). Essa conservação nos diz que se a carga dentro de um dado volume se altera, então uma corrente elétrica deve ter entrado ou saído do volume para ter gerado essa variação. Isso nos conduz a uma generalização desse raciocínio, que está correta: toda vez que nos depararmos com uma liberdade de calibre dentro de qualquer teoria física, estaremos lidando com alguma lei de conservação. Essa lei de conservação pode estar explícita ou não dentro da teoria, mas estará sempre lá, bastando aplicar o Teorema de Noether.
1.2
Teorias de Calibre Não-Abelianas
Os conceitos introduzidos na seção anterior são satisfeitos de uma forma genérica para qualquer teoria de calibre (abeliana ou não). No caso do eletromagnetismo, temos uma teoria abeliana. Se quisermos lidar com grupos mais complexos, assumimos a pos-sibilidade dos seus geradores não comutarem. Passamos a chamar a teoria de calibre de não-abeliana. Esse último caso engloba, é claro, o caso abeliano como um caso particular.
Podemos resumir 3 propriedades fundamentais que expressam os conceitos intro-duzidos na seção anterior e estão por trás de toda teoria de calibre,
1. Lei de Conservação: A simetria global do grupo de calibre gera a conservação da corrente e das cargas de Noether.
2. Interação: Para manter a simetria local do grupo de calibre, introduzimos a deri-vada covariante e os campos de calibre associados a mesma (potenciais). Eles tem o papel de transmitir as interações na teoria.
3. Fontes: A fonte dos campos de calibre são as cargas conservadas de Noether. Para campos não-abelianos, o próprio campo também é fonte, ou seja, os potenciais tam-bém são carregados.
O primeiro item, a lei de conservação, nos dá a relação entre uma simetria de calibre e sua consequência física. Nos diz que sempre que nos depararmos com um simetria de calibre contínua, teremos uma lei de conservação. Não são todas simetrias que podem ser localizadas e consideradas simetrias de calibre, com campos de interação associados. Por exemplo, a reflexão espacial e a simetria de reversão temporal não podem ser consideradas simetrias de calibre. As simetrias de calibre são uma classe especial de simetrias que podem ser:
1.2. Teorias de Calibre Não-Abelianas 17
1. Localizadas;
2. Ser uma simetria contínua;
3. Ter quantidades conservadas associadas.
Com isso, os grupos de Lie e suas álgebras de Lie associadas formam o cenário ideal para descrever as simetrias de calibre (HALL,2003).
O mecanismo que busca generalizar a teoria de calibre para grupos não-abelianos, apresentado por Yang-Mills (YANG; MILLS, 1954), tem a restrição de que esses grupos devem ser grupos de Lie semi-simples5. Para grupos que não sejam semi-simples, existe uma dificuldade em formar a ação invariante de Yang-Mills (YM). É de conhecimento fundamental que a teoria de YM é um exemplo de teoria de calibre, sendo apenas um caso particular. Por esse motivo, apresentaremos nesta monografia definições gerais aplicáveis a grupos que não satisfaçam essas restrições - como é o caso do grupo de Galilei, e inúmeros outros. Para eles, teríamos que analisar termo a termo invariante para construir a ação mais geral possível. Esse é um problema que iremos contornar ao longo desta monografia, para o grupo de Galilei, fazendo o uso do teorema de Mardones-Zanelli.
Na próxima seção, vamos apresentar o formalismo por trás de uma teoria de calibre, usando a notação de formas diferenciais.
1.2.1
Definições básicas
A base da teoria é um grupo de Lie. A álgebra de Lie correspondente é6
[𝑇𝐴, 𝑇𝐵] = 𝑓𝐴𝐵𝐶𝑇𝐶 , (1.14)
onde 𝑇𝐴 são os geradores do grupo de calibre, com seus índices definidos de 1 a 𝒩 , com
𝒩 sendo a dimensão do grupo (𝐴, 𝐵, 𝐶 = 1, ..., 𝒩 ) e 𝑓𝐴𝐵𝐶 são as constantes de estrutura
do grupo. Elas são antissimétricas nos três índices. Se o grupo de calibre for abeliano, teremos 𝑓𝐴𝐵𝐶 = 0.
Um elemento do grupo, 𝑔 = 𝑒𝛼, pertencente a álgebra, é definido como
𝑔 ≈ 1 + 𝛼 = 1 + 𝛼𝐵𝑇𝐵 , (1.15)
onde 𝛼 é uma matriz, que pode ser expandida em uma combinação linear de parâmetros infinitesimais 𝛼𝐵 (que no caso das rotações, por exemplo, podem representar ângulos) associados aos geradores matriciais 𝑇𝐵 associados ao grupo.
5 Um grupo de Lie semi-simples é aquele que não contém uma subálgebra abeliana invariante, por esse
motivo, pode ser representado por uma matriz. No caso dos grupos que descrevem uma simetria da Mecânica Quântica, também devem ser compactos. O motivo é que qualquer representação para um grupo de Lie compacto é equivalente a uma representação unitária. (RUBAKOV,2002)
Podemos definir os campos de calibre explicitamente, usando a fórmula
𝐴 = 𝐴𝐵𝜇𝑇𝐵𝑑𝑥𝜇= 𝐴𝐵𝑇𝐵. (1.16)
Sendo 𝐴𝐵 um campo de calibre associado ao gerador 𝑇
𝐵. Os campos de calibre se
trans-formam sob a ação do grupo satisfazendo a relação
𝐴′ = 𝑔−1(𝑑 + 𝐴)𝑔 ≈ 𝐴 + ∇𝛼, (1.17) com 𝑑 sendo a derivada exterior7. É recorrente usar a equação (1.14) na transformação (1.17) para simplificar os resultados obtidos. Passaremos a chamar o campo de calibre, que antes chamávamos de potencial, de conexão.
A partir da conexão, é possível encontrar o tensor intensidade de campo, associado à interação produzida pela simetria. Passaremos a chamá-lo de curvatura, definida pela fórmula
𝐹 = 𝑑𝐴 + 𝐴𝐴. (1.18)
Para simplificar os termos que surgem dessa definição, faremos o uso da equação (1.14). Podemos também encontrar a curvatura por meio da derivada covariante, definida como
∇𝜑 = 𝑑𝜑 + [𝐴, 𝜑]. (1.19)
Para uma 1-forma 𝜑 = 𝜑𝐴𝑇
𝐴 arbitrária, temos
∇2𝜑 = 𝐹 𝜑. (1.20)
Usaremos a curvatura e o seu significado físico para associar à simetria de calibre a noção de força, ou como chamaremos a partir de agora, interação.
Para encontrarmos um sistema de equações que defina o comportamento da in-teração física, construímos uma ação invariante por transformações de calibre - usando, por exemplo, as componentes da curvatura e as suas combinações. No caso específico de Yang-Mills, as condições impostas por eles nos dizem que, para grupos semi-simples, o produto escalar associado aos elementos A e B da álgebra se reduz à definição do traço,
(𝐴, 𝐵) = −𝑇 𝑟(𝐴𝐵) ≥ 0 .
Além disso, seus geradores podem ser escolhidos de forma que sejam normalizados como
(𝑇𝐴, 𝑇𝐵) = −𝑇 𝑟(𝑇𝐴𝑇𝐵) =
1
2𝛿𝐴𝐵 . (1.21)
A relação (1.21) implica que 𝑇 𝑟(𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈) será um escalar invariante, proporcional ao
produto escalar, igual a
𝑇 𝑟(𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈) = 𝐹𝜇𝜈𝐴𝐹𝐵𝜇𝜈𝑇 𝑟(𝑇𝐴𝑇𝐵) = −
1 2𝐹
𝐴
𝜇𝜈𝐹𝐴𝜇𝜈 .
7 Definimos a derivada exterior como 𝑑 = 𝜕
1.2. Teorias de Calibre Não-Abelianas 19
Como esta expressão é invariante por transformações de calibre, a ação de YM, que descreve o comportamento da interação gerada por um grupo de calibre compacto e semi-simples, é dada por
𝑆𝐴= −
1 4
∫︁
𝑑4𝑥 𝐹𝜇𝜈𝐴𝐹𝐴𝜇𝜈 . (1.22) A ação de YM é válida para grupos de calibre do tipo 𝑆𝑈 (𝑁 ). Esses grupos são a base para as teorias da Eletrodinâmica Quântica (QED), da Cromodinâmica Quântica (QCD) e do Modelo Padrão8. A primeira, descreve as interações eletromagnéticas e tem como grupo de calibre o grupo 𝑈 (1), tal que o campo de interação descrito pelas equações de campo provenientes de (1.22) é o campo eletromagnético e tem como propagador o fóton. A carga conservada associada a essa interação é a carga elétrica. A segunda, descreve a interação nuclear forte e tem como grupo de calibre o grupo 𝑆𝑈 (3), tal que o campo de interação descrito pelas equações de campo provenientes de (1.22) é o campo de glúons. A carga conservada associada a essa interação é a carga de cor. Já a terceira, é a teoria por trás da unificação das interações elétrica, nuclear fraca e nuclear forte. Seu grupo de calibre contém o setor de interações eletrofracas 𝑆𝑈 (2) × 𝑈 (1), que descreve unificadamente as interações nuclear fraca e elétrica, e também o setor da interação nuclear forte 𝑆𝑈 (3). Seus campos de interação descritos pelas equações de campo provenientes de (1.22) serão os campos anteriores, juntamente com o campo responsável pela interação fraca cujos propagadores associados são os bósons vetoriais 𝑊±, 𝑍0. A carga conservada associada a
interação fraca é a chamada carga de sabor.
8 Em 1954, C. N. Yang e R. L. Mills. generalizaram para o grupo SU(2) e para qualquer grupo de
calibre compacto não-abeliano (YANG; MILLS,1954) o mecanismo desenvolvido pelo H. Weyl em 1929 (WEYL,1929). Sua generalização permitiu englobar as forças nucleares a teoria. Essa extensão não foi imediatamente aceita, pois até então, a Teoria de Calibre não-abeliana parecia prever a existência de partículas carregadas sem massa – o que não estava de acordo com os dados experimentais. Então, em 1960, surgiu o conceito de quebra espontânea de simetria, que buscava dar massa a essas partículas por meio do bóson de Higgs. Com o sucesso dessa ideia, foi desenvolvido o Modelo Padrão na década de 1970. Físicos de partículas de todo mundo buscaram então comprovar experimentalmente as previsões do Modelo Padrão e em 2012 foi detectado o bóson de Higgs no CERN.
21
2 Gravitação no formalismo de primeira
or-dem
A formulação da Relatividade Geral, apresentada por Albert Einstein em 1915 (EINSTEIN,1915b;EINSTEIN,1915a), encontra-se à disposição do leitor nos mais diver-sos livros, veja por exemplo (SCHUTZ, 2009;HARTLE,2003; GASPERINI; SABBATA,
1986; WALD, 1984). Ela representa o que chamamos de formalismo de segunda ordem para a gravitação.
No regime clássico, as equações de campo de Einstein são formadas pelo tensor de Einstein, associado à curvatura, e pelo tensor de energia-momento, associado às fontes que possam gerar a curvatura, como a massa. Quando queremos sondar a física em escalas microscópicas, devemos nos basear no fato de que os objetos macroscópicos são formados por partículas elementares que seguem as leis da Relatividade Restrita e da Mecânica Quântica. Para determinarmos o efeito dessas partículas no espaço-tempo, devemos con-siderar que cada uma delas é caracterizada não apenas pela sua massa, mas também pelo seu spin.
O spin, assim como a massa, modificará o espaço-tempo de alguma maneira e estará associado à alguma propriedade geométrica da variedade. À esta última, damos o nome de torção. Na teoria de Einstein a condição de torção nula é um dos seus pilares, junto a condição de compatibilidade da métrica. Portanto, buscamos uma teoria modificada de gravitação mais flexível que atenda apenas a condição de não-metricidade nula. Para tal, a conexão não será mais equivalente ao símbolo de Christoffel - deveremos considerar a sua parte antissimétrica, que é associada à própria torção. Uma das implicações disso é que a conexão afim não será mais totalmente descrita pela métrica e, portanto, teremos uma conexão independente da métrica como campo extra a ser considerado ao variar a ação de Einstein-Hilbert, que deverá ser feita agora usando o formalismo de Palatini (CARMELI,
1982). Entramos assim no formalismo de primeira ordem. Onde, em vez de um, temos dois campos independentes que representam a métrica e a conexão. Reescreveremos esses campos de modo a substituí-los por novas variáveis, denominadas tetrada e conexão de spin.
A tetrada está associada à métrica e faz a transição do espaço plano de Minkowski para o espaço curvo dessa nova teoria1, que se reduz ao da Relatividade Geral quando a torção se anula. Já a conexão de spin está associada com o transporte paralelo no espaço tangente à variedade, tendo papel semelhante ao da conexão de Levi-Civita no espaço curvo da Relatividade Geral e está associada à esta última, por meio de uma relação,
como veremos a seguir. Também a chamamos de conexão de Lorentz.
2.1
Gravitação no formalismo de segunda ordem
Em 1915, Albert Einstein publicou a teoria que hoje conhecemos como Relativi-dade Geral, na qual, segundo o mesmo, surgiu do “pensamento mais feliz de sua vida”. Ele se imaginou, por meio e um experimento mental, em queda livre junto a um elevador e observou que neste caso qualquer ação da força gravitacional seria localmente anulada. Esse ponto de partida, que separa a Relatividade Restrita da Relatividade Geral, é co-nhecido como o Princípio da Equivalência. Essa seção visa fazer uma breve revisão das ideias introduzias pela Relatividade Geral, que formam o que chamamos de formulação de segunda ordem da gravidade, onde as equações de campo tem derivadas de segunda ordem na métrica.
Definição 2.1 (O princípio da equivalência forte) Os princípios da Relatividade
Res-trita são localmente válidos, em uma pequena região do espaço-tempo.
A afirmação acima diz que o tempo é localmente plano e representado pelo espaço-tempo de Minkowski. Foi a partir dessa ideia que Einstein descreveu a interação gravita-cional, por meio de uma formulação dinâmica do espaço-tempo, isto é, a matéria diz ao espaço-tempo como se deformar e o espaço-tempo diz à matéria como se mover. Por essa característica, também chamamos esse tipo de teoria de geometrodinâmica. A Relativi-dade Geral é descrita pelas equações de Einstein,
𝐺𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈−
1
2𝑔𝜇𝜈𝑅 = 8𝜋𝐺𝑇𝜇𝜈 − 𝑔𝜇𝜈Λ . (2.1) A equação acima foi publicada por Einstein, em 1917. Ela inclui o termo de constante cosmológica (Λ), que pode ser considerado como uma modificação2 da teoria, com o objetivo de explicar a expansão do universo. Do lado esquerdo, temos (em componentes) o tensor de Einstein 𝐺𝜇𝜈, que é dependente unicamente da curvatura, representada pelo
tensor de Ricci (𝑅𝜇𝜈) e pelo escalar de Ricci (𝑅), e da métrica (𝑔𝜇𝜈). A métrica contém
todas as informações sobre a geometria do espaço-tempo, ao redor de um objeto, enquanto a curvatura é apenas uma forma de caracterizar essa geometria. Usamos as definições,
𝑅𝛽𝜈 = 𝑅𝛼𝛽𝛼𝜈 , (2.2) 𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈 𝛽𝛼 = −𝑅𝛽𝛼𝜇𝜈 = −𝑅𝛼𝛽𝜈𝜇 , (2.3) 𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = 𝜕𝜇Γ𝛼𝜈𝛽 − 𝜕𝜈Γ𝛼𝜇𝛽+ Γ 𝛼 𝜇𝜆Γ 𝜆 𝜈𝛽 − Γ 𝛼 𝜈𝜆Γ 𝜆 𝜇𝛽 , (2.4) Γ𝜅𝜇𝜈 = {𝜅𝜇𝜈} = 1 2𝑔 𝜅𝜆(𝜕 𝜇𝑔𝜈𝜆+ 𝜕𝜈𝑔𝜇𝜆− 𝜕𝜆𝑔𝜇𝜈) , (2.5)
2 Inicialmente, Einstein incluiu a constante cosmológica com o objetivo de obter um universo estático.
Em seguida, modificou as equações de campo retirando a mesma. Por esse motivo, consideramos a inclusão da constante cosmológica como uma modificação da Relatividade Geral.
2.1. Gravitação no formalismo de segunda ordem 23
𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇, (2.6)
Γ𝛼𝜇𝜈 = Γ𝛼𝜈𝜇 , (2.7)
𝑔𝜇𝜆𝑔𝜆𝜈 = 𝛿𝜇𝜈 , (2.8)
𝑅 = 𝑔𝛽𝜈𝑅𝛽𝜈 . (2.9)
A equação que define a métrica depende da simetria do objeto que curva o espaço-tempo. Mas, para qualquer ponto do espaço-tempo e independente da forma matemática de 𝑔𝜇𝜈, podemos aproximá-la localmente usando a métrica de Minkowski. A métrica de
Minkowski local define a Relatividade Restrita, descrevendo o fundamento matemático por trás do Princípio da Equivalência. Ou seja, localmente o espaço-tempo é aproximadamente plano e definido por
𝑑𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 ≈ 𝜂𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 = −𝑐2𝑑𝑇2+ 𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦2+ 𝑑𝑧2 . (2.10)
Voltando ao lado direito da equação (2.1), temos a constante cosmológica e o tensor de energia-momento, tal que 𝐺 é a constante gravitacional de Newton. O último, representa todas as propriedades físicas que podem gerar a curvatura do espaço-tempo, tal como a densidade de energia, o fluxo de energia, a densidade de momento e o fluxo de momento. Se o leitor lembrar da equação para força gravitacional, que cai com o quadrado da distância, ele perceberá que para Newton, a fonte da força gravitacional era somente a massa. Elas são as “cargas” da teoria. Já para Einstein, o que era força gravitacional se torna uma consequência da dinâmica dos objetos na curvatura do espaço-tempo, e passa a ser provocada não apenas pela massa, mas por tudo o que pode gerar essa curvatura. Vale ressaltar que o ente fundamental da formulação de Einstein é o tensor métrico e, por esse motivo, a formulação de segunda ordem também é chamada de formalismo da métrica.
Os objetos se movem através de curvas geodésicas, cujo formato depende da ge-ometria da deformação do espaço-tempo. Isto é, sua trajetória é o caminho mais curto que conecta dois pontos. Por exemplo, para uma geometria esférica, sua geodésica seria um arco de grande círculo com raio igual ao da esfera. Já para uma geometria plana, sua geodésica seria uma reta. Nesse sentido, uma geodésica pode ser definida como a curva que transporta paralelamente o seu próprio vetor tangente (𝑈𝜈). Com isso, uma fórmula geral para a geodésica, considerando essa definição, é
𝑈𝜈∇𝜈𝑈𝛼 = 0 , (2.11)
tal que a derivada covariante e o vetor tangente à curva são definidos, respectivamente, por
∇𝛽𝑇𝜇1𝜇2...𝜇𝑘𝜈1𝜈2...𝜈𝑙 = 𝜕𝛽𝑇 𝜇1𝜇2...𝜇𝑘 𝜈1𝜈2...𝜈𝑙 + Γ 𝜇1 𝛽𝜆𝑇 𝜆𝜇2...𝜇𝑘 𝜈1𝜈2...𝜈𝑙+ Γ 𝜇2 𝛽𝜆𝑇 𝜇1𝜆...𝜇𝑘 𝜈1𝜈2...𝜈𝑙 − Γ𝜆 𝛽𝜈1𝑇 𝜇1𝜇2...𝜇𝑘 𝜆𝜈2...𝜈𝑙− Γ 𝜆 𝛽𝜈2𝑇 𝜇1𝜇2...𝜇𝑘 𝜈1𝜆...𝜈𝑙 , (2.12) 𝑈𝜈 = 𝑑𝑥 𝜈(𝜆) 𝑑𝜆 , (2.13)
com 𝜆 sendo o parâmetro afim que usamos para definir a curva.
Vale a pena ressaltar o papel da conexão (2.5) na equação (2.12). Para isso, imagine dois observadores A e B, representando duas bases distintas, em pontos diferentes de uma esfera. Se considerarmos um vetor como uma quantidade observável, o referencial A poderia medir suas componentes com relação à sua base. Então, imagine que o vetor agora seja transportado paralelamente ao longo de uma curva na esfera até o observador B, que critério ele usaria para comparar as suas componentes com as medidas pelo referencial A? Não bastaria ele comparar as suas medidas. É necessário relacionar essas componentes às suas respectivas bases, diferentes, e encontrar uma forma de relacionar essas duas bases, para então descobrir a variação do observável. A ferramenta matemática que descreve todo esse processo é a derivada covariante (2.12), de forma que a relação entre as bases é dada pela conexão Γ𝛽𝛼𝜇(que pode ser vista como as componentes de uma matriz jacobiana, cujo papel é relacionar os dois sistemas de coordenadas). Para um espaço-tempo plano, poderíamos alinhar os eixos de ambos referenciais e medir apenas a variação direta das componentes. Porém, no espaço-tempo curvo não conseguimos alinhar os eixos, de forma que obrigatoriamente temos que considerar a variação da base.
Para concluir, precisamos enfatizar as seguintes imposições da teoria de Einstein:
1. Não-metricidade nula: a derivada covariante do tensor métrico é nula, isto é, ∇𝛽 𝑔𝜇𝜈 = 0. Isso garante a preservação do comprimento dos vetores diante de
qualquer transporte paralelo. Esta condição também é chamada de condição de compatibilidade da métrica.
2. Torção nula: Γ𝛼
𝜇𝜈 = Γ𝛼𝜈𝜇, implica que a conexão afim é simétrica. Tal conexão é
conhecida como conexão de Levi-Civita.
No formalismo de segunda ordem, a conexão afim é unicamente determinada como função de 𝑔𝜇𝜈. Entretanto, isso normalmente não é necessário e, ao falarmos sobre a teoria
de Newton-Cartan, ficará claro que há formulações geométricas onde a conexão afim não depende apenas da métrica. Para uma demonstração da forma geral da conexão afim, veja por exemplo (NAKAHARA, 2003).
2.2. Gravitação no formalismo de primeira ordem 25
2.2
Gravitação no formalismo de primeira ordem
Nessa formulação, dois campos serão usados para caracterizar a geometria, a te-trada e a conexão de Lorentz, sendo os objetos dinâmicos fundamentais que codificarão a métrica e a estrutura afim. Na próxima seção será mostrado como a ação de Einstein-Hilbert pode ser construída usando esses ingredientes, suas derivadas exteriores (torção e curvatura) e alguns tensores invariantes de Lorentz apropriados. Como consequência, a gravitação em quatro dimensões se torna uma teoria de calibre com grupo de simetria local de Lorentz.
Como visto no princípio da equivalência, um observador em queda livre define um sistema localmente inercial, onde esse localmente depende da precisão que buscamos atingir com os nossos experimentos. Por exemplo, na região entre a Terra e a Lua, o desvio da geometria plana é de uma parte em 109 (HASSAINE; ZANELLI, 2016). A região em
que a aproximação será boa o suficiente depende também de quão curvo o espaço-tempo é na vizinhança. Sempre haverá uma pequena vizinhança onde o espaço-tempo curvo é descrito com satisfatória precisão por um espaço-tempo plano.
Em geometria diferencial o tempo plano pode ser identificado com o espaço-tempo tangente 𝑇𝑥, que pode ser definido em cada ponto 𝑥 de uma variedade suave 𝑀 .
Para a Relatividade Geral, o espaço tangente é o espaço de Minkowski, que define a Relatividade Restrita. A transição entre uma vizinhança do espaço-tempo curvo e uma vizinhança do espaço-tempo tangente é apenas uma mudança de referencial para um observador em queda livre, i.e., uma transformação de coordenadas no espaço-tempo curvo. Isso significa que podemos representar tensores pertencentes a 𝑀 usando tensores em 𝑇𝑥, e vice-versa. A relação entre esses tensores é um isomorfismo3, representado por
um mapa linear 𝑒 chamado tetrada.
Daqui em diante, por questão de praticidade, focaremos na abordagem de for-mas diferenciais. Para simplificar a notação, a partir de agora vamos considerar todo produto como um produto exterior - omitindo o wedge (∧). O apêndice (A) relembra ao leitor propriedades importantes da notação de formas, tendo como referência (BASSALO; CATTANI, 2009).
2.2.1
Grupo de Poincaré
O grupo de Poincaré contém dois setores, um de rotações hiperbólicas (Lorentz) e um de translações espaciais e temporais. O primeiro é definido por uma matriz 4 × 4 antissimétrica, tendo seis parâmetros independentes. Já o segundo, tem quatro parâme-tros independentes, definidos pelo número de dimensões. Com isso, temos no total dez
3 Um isomorfismo é definido como uma correspondência biunívoca entre os elementos de dois grupos,
parâmetros independentes contidos em 𝐼𝑆𝑂(1, 3) = 𝑆𝑂(1, 3)×𝑅1,3.
Para encontrarmos a álgebra de Lie correspondente, precisamos definir os geradores infinitesimais das rotações de Lorentz e das translações, respectivamente,
Σ𝐴𝐵 = 1 2(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴) , (2.14) 𝑃𝐴 = 𝜕𝐴 = 𝜕 𝜕𝑥𝐴 , (2.15)
tal que os índices do espaço-tempo tangente sejam A,B,C... ≡ {0,1,2,3}. Onde Σ𝐴𝐵 são
os seis geradores do grupo de Lorentz 𝑆𝑂(1, 3) e 𝑃𝐴 os quatros geradores do grupo de
translação 𝑅1,3.
A álgebra de Lie produzida pelos geradores de rotação e translação é definida pelos seguintes comutadores4 [Σ𝐴𝐵, Σ𝐶𝐷] = 1 4(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴)(𝑥𝐶𝜕𝐷− 𝑥𝐷𝜕𝐶) − 1 4(𝑥𝐶𝜕𝐷− 𝑥𝐷𝜕𝐶)(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴) = 1 4(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴)(𝑥𝐶𝜕𝐷− 𝑥𝐷𝜕𝐶) − ((𝐴𝐵) ↔ (𝐶𝐷)) = 1 4(𝑥𝐴𝜂𝐵𝐶𝜕𝐷 + 𝑥𝐴𝑥𝐶𝜕𝐵𝜕𝐷− 𝑥𝐴𝑥𝐷𝜕𝐵𝜕𝐶− 𝑥𝐴𝜂𝐵𝐷𝜕𝐶) − 1 4(𝑥𝐵𝑥𝐶𝜕𝐴𝜕𝐷+ 𝑥𝐵𝜂𝐴𝐶𝜕𝐷− 𝑥𝐵𝑥𝐷𝜕𝐴𝜕𝐶− 𝑥𝐵𝜂𝐴𝐷𝜕𝐶) − ((𝐴𝐵) ↔ (𝐶𝐷)) = 1 4(𝑥𝐴𝜂𝐵𝐶𝜕𝐷 + 𝑥𝐴𝑥𝐶𝜕𝐵𝜕𝐷− 𝑥𝐴𝑥𝐷𝜕𝐵𝜕𝐶− 𝑥𝐴𝜂𝐵𝐷𝜕𝐶) − 1 4(𝑥𝐵𝑥𝐶𝜕𝐴𝜕𝐷+ 𝑥𝐵𝜂𝐴𝐶𝜕𝐷− 𝑥𝐵𝑥𝐷𝜕𝐴𝜕𝐶− 𝑥𝐵𝜂𝐴𝐷𝜕𝐶) − 1 4(𝑥𝐶𝜂𝐷𝐴𝜕𝐵+ 𝑥𝐶𝑥𝐴𝜕𝐷𝜕𝐵− 𝑥𝐶𝑥𝐵𝜕𝐷𝜕𝐴− 𝑥𝐶𝜂𝐷𝐵𝜕𝐴) + 1 4(𝑥𝐷𝑥𝐴𝜕𝐶𝜕𝐵+ 𝑥𝐷𝜂𝐶𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐷𝑥𝐵𝜕𝐶𝜕𝐴− 𝑥𝐷𝜂𝐶𝐵𝜕𝐴) = 1 2 [︂ 𝜂𝐵𝐶 1 2(𝑥𝐴𝜕𝐷− 𝑥𝐷𝜕𝐴) + 𝜂𝐴𝐷 1 2(𝑥𝐵𝜕𝐶− 𝑥𝐶𝜕𝐵) ]︂ + 1 2 [︂ 𝜂𝐵𝐷 1 2(𝑥𝐶𝜕𝐴− 𝑥𝐴𝜕𝐶) + 𝜂𝐴𝐶 1 2(𝑥𝐷𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐷) ]︂ = 1 2(𝜂𝐵𝐶Σ𝐴𝐷+ 𝜂𝐴𝐷Σ𝐵𝐶+ 𝜂𝐵𝐷Σ𝐶𝐴+ 𝜂𝐴𝐶Σ𝐷𝐵) = 1 2(𝜂𝐴𝐷Σ𝐵𝐶 − 𝜂𝐴𝐶Σ𝐵𝐷+ 𝜂𝐵𝐶Σ𝐴𝐷− 𝜂𝐵𝐷Σ𝐴𝐶) , (2.16) 4 Note que 𝑥 𝐵 = 𝜂𝐵𝐶𝑥𝐶, portanto 𝜕𝑋𝜕𝑥𝐵𝐴 = 𝜂𝐵𝐶𝜕𝑥 𝐶 𝜕𝑋𝐴 = 𝜂𝐵𝐶𝛿𝐴𝐶= 𝜂𝐵𝐴 .
2.2. Gravitação no formalismo de primeira ordem 27 [Σ𝐴𝐵, 𝑃𝐶] = 1 2(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴)𝜕𝐶 − 1 2𝜕𝐶(𝑥𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐵𝜕𝐴) = 1 2(𝑥𝐴𝜕𝐵𝜕𝐶 − 𝑥𝐵𝜕𝐴𝜕𝐶− 𝜂𝐶𝐴𝜕𝐵− 𝑥𝐴𝜕𝐶𝜕𝐵+ 𝜂𝐶𝐵𝜕𝐴+ 𝑥𝐵𝜕𝐶𝜕𝐴) = 1 2(𝜂𝐶𝐵𝜕𝐴− 𝜂𝐶𝐴𝜕𝐵) = 1 2(𝜂𝐵𝐶𝑃𝐴− 𝜂𝐴𝐶𝑃𝐵) , (2.17) [𝑃𝐴, 𝑃𝐵] = 𝜕𝐴𝜕𝐵− 𝜕𝐵𝜕𝐴 = 0 . (2.18)
O grupo de Poincaré não é um grupo de Lie semi-simples (BASSALO; CATTANI,
2008; NAKAHARA, 2003), o que torna difícil a construção de uma ação invariante de calibre. Uma forma de contornar esse problema é considerar apenas o setor de Lorentz na teoria de calibre. Teremos dois campos fundamentais na representação de 1-formas: a tetrada 𝐸𝐴 e a conexão de Lorentz 𝑌𝐴𝐵. O primeiro será um campo de matéria associado
às translações5, enquanto o segundo é um campo de calibre associados às rotações de Lorentz, tal que,
𝐸 = 𝐸𝐴𝑃𝐴,
𝑌 = 𝑌𝐴𝐵Σ𝐴𝐵 . (2.19)
A conexão de Lorentz se transformará como um campo de calibre, mas a tetrada não. Suas transformações (locais) de calibre serão definidas por
𝑌′ = 𝑢−1(𝑑 + 𝑌 )𝑢 ≈ 𝑌 + ∇𝛼 ,
𝐸′ = 𝑢−1𝐸𝑢 ≈ 𝐸 + [𝐸, 𝛼] , (2.20) onde 𝑢 = exp 𝛼 ≈ 1 + 𝛼 é um elemento do grupo de Lorentz e 𝛼 = 𝛼𝐴𝐵Σ
𝐴𝐵 é um
parâmetro infinitesimal definido na álgebra desse grupo. Exploraremos mais esses campos nas próximas seções.
2.2.2
Tetrada
Chamamos de tetrada o isomorfismo entre a variedade 𝑀 e a coleção de espaços tangentes {𝑇𝑥} em cada ponto 𝑥 da variedade. Essa, pode ser construída como uma
trans-formação de coordenadas entre um sistema de coordenadas locais {𝑥𝜇} na variedade e um
sistema de coordenadas ortonormal {𝜉𝐴} no espaço tangente 𝑇
𝑥. Os índices latinos daqui
5 A tetrada pode ser vista como uma representação fundamental do grupo de Lorentz, ou seja, se
transforma como as componentes de um vetor nos índices de Lorentz. É um campo vetorial, tal que os geradores de translação formam a sua base vetorial.
para frente representarão coordenadas em referenciais localmente inerciais e os índices gregos coordenadas em referenciais não-inerciais, tal que definimos 𝐴, 𝜇 = {0, 1, 2, 3}. Se consideramos a variedade como sendo o espaço-tempo, a tetrada relaciona um referencial não-inercial no espaço-tempo com um referencial localmente inercial em queda-livre. Esse processo, em essência, se traduz ao princípio da equivalência. Portanto,
𝐸𝐴𝜇(𝑥) = 𝜕𝜉
𝐴
𝜕𝑥𝜇 . (2.21)
Similarmente, existe uma correspondência um para um entre os tensores pertencentes a
𝑀 e a 𝑇𝑥, tal que 𝑃𝐴1...𝐴𝑛(𝑥) = 𝐸𝐴1 𝜇1(𝑥)...𝐸 𝐴𝑛 𝜇𝑛(𝑥)Π 𝜇1...𝜇𝑛(𝑥) , (2.22)
onde Π𝜇1...𝜇𝑛 e 𝑃𝑎1...𝑎𝑛 são as componentes dos tensores Π e 𝑃 , respectivamente, em 𝑀 e
𝑇𝑥.
Se considerarmos que o intervalo espaço-temporal é preservado pelo mapeamento, teremos 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑠′2. Com isso, seja a separação de coordenadas entre dois pontos
in-finitesimalmente próximos em 𝑀 definida por 𝑑𝑥𝜇, a separação correspondente em 𝑇𝑥
será 𝑑𝜉𝐴 = 𝐸𝐴𝜇(𝑥)𝑑𝑥𝜇, (2.23) de forma a encontrarmos 𝑑𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 = 𝜂𝐴𝐵𝐸𝐴𝜇(𝑥)𝐸𝐵𝜈(𝑥)𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈 , 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝐴𝐵𝐸𝐴𝜇(𝑥)𝐸 𝐵 𝜈(𝑥) . (2.24)
A partir dessa última equação, podemos tirar o módulo do determinante para chegar a
|𝑔| = |𝑑𝑒𝑡 𝑔𝜇𝜈| = |𝑑𝑒𝑡 (𝜂𝐴𝐵𝐸𝐴𝜇𝐸𝐵𝜈)| = |𝑑𝑒𝑡 𝜂𝐴𝐵||𝑑𝑒𝑡 𝐸𝐴𝜇||𝑑𝑒𝑡 𝐸𝐵𝜈| = 1.|𝐸|2 ,
𝐸 = √︁|𝑔| . (2.25)
Já que 𝐸𝐴
𝜇(𝑥) determina a métrica, todas as propriedades métricas do espaço-tempo estão
contidas na tetrada. É importante enfatizar que dada uma métrica 𝑔𝜇𝜈, existem infinitas
escolhas de tetrada que se relacionam com ela, devido às transformações de Lorentz. Isso significa que há mais componentes independentes na tetrada, do que na métrica. De fato, a diferença do número de componentes é obtida pelo número de rotações de Lorentz possíveis, estando portanto relacionada com a dimensão do grupo de Lorentz.
A tetrada, definida na equação (2.21), é um objeto híbrido. Sob transformações gerais de coordenadas 𝑥𝜇→ 𝑥′𝜇 ela se comporta como as componente de um vetor
covari-ante. Entretanto, sob a ação do grupo de Lorentz, ela se comporta como as componentes de um vetor contravariante, 𝐸𝐴𝜇 = 𝜕𝑥 𝜈 𝜕𝑥′𝜇𝐸 𝐴 𝜈 = 𝜕𝑥𝜈 𝜕𝑥′𝜇 𝜕𝜉𝐴 𝜕𝑥𝜈 = 𝜕𝜉𝐴 𝜕𝑥′𝜇 , (2.26) 𝐸𝐴𝜇 = Λ𝐴𝐵𝐸𝐵𝜇, (2.27)
2.2. Gravitação no formalismo de primeira ordem 29
de forma que Λ𝐴
𝐵 seja uma transformação local de Lorentz e 𝜕𝑥𝜇/𝜕𝑥
′𝜈 seja uma
trans-formação geral de coordenadas. Aqui, o grupo de Lorentz 𝑆𝑂(1, 3) é interpretado como um grupo de calibre, de maneira que o tensor métrico seja invariante de calibre,
𝑔𝜇𝜈 = Λ𝐴𝐶Λ 𝐵 𝐷𝜂𝐴𝐵𝐸𝐶𝜇𝐸 𝐷 𝜈 , 𝜂𝐶𝐷 = Λ𝐴𝐶Λ 𝐵 𝐷𝜂𝐴𝐵 , 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝐶𝐷𝐸𝐶𝜇𝐸 𝐷 𝜈 .
Além disso, sendo um isomorfismo, a tetrada possui inversa 𝐸𝜇𝐴. Portanto, as seguintes relações são satisfeitas,
𝐸𝐴𝜇𝐸𝜇𝐵 = 𝛿𝐴𝐵, (2.28)
𝐸𝐴𝜇𝐸𝜈𝐴 = 𝛿𝜈𝜇. (2.29)
Com isso, da equação (2.24) chegamos a
𝐸𝜇𝐴(𝑥) = 𝜂𝐴𝐵𝑔𝜇𝜈𝐸𝐵𝜈 . (2.30)
Naturalmente, a tetrada inversa se transformará de maneira inversa, com relação a tetrada,
𝐸𝜇𝐴 = 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥′𝜈𝐸 𝜈 𝐴, (2.31) 𝐸𝜇𝐵 = Λ𝐴𝐵𝐸𝜇𝐴 . (2.32)
Da equação (2.24) também podemos chegar à relação
𝜂𝐴𝐵 = 𝑔𝜇𝜈𝐸𝜇𝐴(𝑥)𝐸 𝜈
𝑏(𝑥) . (2.33)
Agora, a partir da definição (2.30), é possível generalizar a equação (2.22) para
𝑃𝐴1...𝐴𝑛 𝐵1...𝐵𝑘(𝑥) = 𝐸 𝐴1 𝜇1(𝑥)...𝐸 𝐴𝑛 𝜇𝑛(𝑥)Π 𝜇1...𝜇𝑛 𝜈1...𝜈𝑘(𝑥)𝐸 𝜈1 𝐵1...𝐸 𝜈𝑘 𝐵𝑘 . (2.34)
Para concluir, como a tetrada é um vetor do espaço tangente, podemos igualmente representá-la pelo seu dual no espaço cotangente 𝑊𝑥*,
𝐸𝐴 = 𝐸𝐴𝜇𝑑𝑥𝜇 . (2.35)
Essa quantidade é uma 1-forma, que substitui a métrica como campo fundamental no formalismo de primeira ordem. Ela não carrega índices curvos, portanto é explicitamente invariante sob transformações gerais de coordenadas (difeomorfismos).
2.2.3
Conexão de Lorentz
Analogamente à conexão de Levi-Civita, utilizada na Relatividade Geral, quando queremos definir o transporte paralelo de um vetor no formalismo de primeira ordem
é necessário o uso de uma conexão, chamada de conexão de Lorentz6. Como visto an-teriormente, ela não depende apenas da métrica. Essa conexão é necessária para que a estrutura diferencial permaneça invariante sob transformações de Lorentz, agindo inde-pendentemente em cada ponto do espaço-tempo.
Por meio de deduções análogas às do formalismo de segunda ordem, supomos que 𝜑𝐴(𝑥) seja um campo que se transforma como um vetor sob a ação do grupo de
Lorentz. Sua derivada covariante é definida por meio do transporte paralelo entre pontos infinitesimalmente próximos, 𝜑𝐴// = 𝜑𝐴(𝑥 + 𝜖) + 𝜖𝜇𝑌𝐴𝐵𝜇𝜑𝐵(𝑥) = 𝜑𝐴+ 𝜖𝜇[𝜕𝜇𝜑𝐴(𝑥) + 𝑌𝐴𝐵𝜇𝜑 𝐵(𝑥)] = 𝜑𝐴+ 𝜖𝜇𝐷𝜇𝜑𝐴, 𝐷𝜇𝜑𝐴(𝑥) = 𝜕𝜇𝜑𝐴(𝑥) + 𝑌𝐴𝐵𝜇𝜑 𝐵(𝑥) , (2.36)
tal que 𝜖 seja um conjunto de parâmetros infinitesimais. Portanto, 𝑌𝐴
𝐵𝜇define o transporte
paralelo dos tensores de Lorentz no espaço tangente, entre 𝑇𝑥 e 𝑇𝑥+𝑑𝑥.
Da mesma forma que associamos a tetrada com a métrica (2.24), temos uma relação que associa a conexão de Lorentz com a conexão de Levi-Civita,
Γ𝜓𝜇𝜆 = 𝐸𝜓𝐴(︁𝜕𝜇𝐸𝐴𝜆+ 𝑌 𝐴 𝐵𝜇𝐸 𝐵 𝜆 )︁ . (2.37)
A demonstração dessa relação foi omitida, mas pode ser encontrada, por exemplo, em (HASSAINE; ZANELLI, 2016). Essa equação relaciona a conexão de spin, juntamente com a tetrada, com a conexão afim do espaço-tempo. Para encontrá-la, é necessário usar a condição de compatibilidade da métrica, mas não a condição de torção nula. Em particular, a condição de compatibilidade da métrica se traduz no fato da conexão de Lorentz ser anti-simétrica nos índices de espaço tangente7 (HEHL; MCCREA; NE’EMAN, 1995). Então, a conexão afim da equação acima é uma generalização da conexão de Levi-Civita (2.5), contendo um setor antissimétrico associado a torção. Sua expressão pode ser encontrada na referência (NAKAHARA, 2003).
Antes de prosseguirmos, é importante enfatizar que a derivada covariante 𝐷, para
𝑝-formas, pode ser escrita como
𝐷 = 𝑑 + [𝑌, ] , (2.38)
tal que definimos a conexão de Lorentz como uma 1-forma local, assim como fizemos com a tetrada,
𝑌𝐴𝐵(𝑥) = 𝑌𝐴𝐵𝜇(𝑥)𝑑𝑥𝜇, (2.39)
6 Alguns livros a chamam de conexão de spin, pelo fato dela ser necessária para definir os espinores. 7 Se a conexão tivesse uma parte simétrica, deveríamos ter um setor do grupo de calibre com
gerado-res simétricos. Os geradogerado-res antissimétricos estão associados às rotações de Lorentz, que pgerado-reservam comprimentos e ângulos. O setor simétrico caracterizaria dilatações, o que não preserva distâncias e ângulos. Isso nada mais é que a definição de não-metricidade. Para termos a compatibilidade da métrica, precisamos que a não-metricidade seja nula e, portanto, a conexão deve ser antissimétrica.
2.2. Gravitação no formalismo de primeira ordem 31
𝑌𝐴𝐵(𝑥) = −𝑌𝐵𝐴(𝑥) . (2.40)
A conexão de Lorentz é antissimétrica nos índices do espaço tangente, pois ela está as-sociada aos geradores de rotação de Lorentz. Esses geradores são antissimétricos em seus índices, fazendo com que seja necessário que a conexão que surja a partir deles também seja. Além disso, como visto no capítulo anterior, ela irá se transformar como um campo de calibre,
𝛿𝑌𝐴𝐵 = 𝑌′𝐴𝐵− 𝑌𝐴𝐵 = ∇𝛼𝐴𝐵 , (2.41)
com 𝛼𝐴𝐵 sendo os parâmetros infinitesimais associados aos geradores da rotação de
Lo-rentz.
2.2.4
Gravitação e teoria de calibre
Dado um ponto na variedade curva que define o espaço-tempo, podemos aproximá-la localmente usando paproximá-lanos tangentes que definam espaços de Minkowski e a Reaproximá-latividade Restrita. Portanto, em cada ponto temos uma família de planos tangentes possível de ser definida, tal que esses planos estão conectados pelas transformações de Lorentz. Dessa forma, a invariância sob a ação local do grupo de Lorentz faz parte do princípio da equi-valência, já que um observador localmente inercial está ligado a outros vários observadores localmente inerciais, por meio das transformações de Lorentz. Com isso, podemos notar que o grupo de isometrias, numa teoria de gravitação, terá o mesmo papel de um grupo de calibre.
Portanto, se quisermos definir uma derivada covariante no espaço-tempo, preci-samos considerar não só a ação global do grupo de difeomorfismos, mas também a ação local do grupo de isometrias, que passa a ser o grupo de calibre. Com isso, o papel da derivada covariante será tornar a estrutura diferencial da teoria invariante por trans-formações gerais de coordenadas e por transtrans-formações locais de Lorentz, de forma que, respectivamente, não teremos observadores privilegiados no espaço curvo nem consegui-remos distinguir entre si os observadores localmente inerciais. No caso de uma teoria de Einstein-Cartan, esse grupo de isometrias é o grupo de Lorentz. Assim, teremos uma co-nexão afim (com torção) e uma coco-nexão de spin, que estarão associadas, respectivamente, ao grupo de difeomorfismos e ao grupo de calibre. Além de estarem relacionadas entre si pela equação (2.37).
O princípio da equivalência estará completamente formalizado matematicamente dentro da teoria a partir do momento que definimos, junto com o grupo de calibre e a conexão de Lorentz, a tetrada. O grupo de calibre nos dará todos os observadores localmente inerciais conectados entre si pelas transformações de Lorentz, e a tetrada conectará esses observadores localmente inerciais com observadores não inerciais. Ou seja,
fará a transição do que esse conjunto de observadores localmente inerciais veem com o que um observador não inercial, no mesmo ponto do espaço-tempo, vê.
É importante ressaltar que não usamos o grupo de Poincaré como grupo de calibre, pois os geradores de translação estarão associados a tetrada que, do ponto de vista de uma teoria de calibre, se comporta como um campo de matéria. Não fazendo parte, portanto, da estrutura de calibre, mas da definição do princípio da equivalência. O formalismo de primeira ordem é só uma forma de tornar essa estrutura de calibre explícita, embora ela também exista sem usá-lo. Nesse sentido, a curvatura Riemanniana será o tensor intensidade da conexão de spin. Enquanto a torção, é como se fosse o tensor intensidade do campo de matéria e estará associada a tetrada e a conexão de spin8. Para entender o papel geométrico desses dois campos, podemos imaginar que temos um caminho inicialmente fechado e realizamos um transporte paralelo em cima do mesmo. O papel da curvatura será “rotacionar” o vetor, de forma que se compararmos o original com o transportado paralelamente, após uma volta, eles não serão paralelos. Já a torção terá o papel de transladar, após uma volta, o vetor transportado paralelamente em relação ao inicial, ou seja, uma curva antes fechada deixa de estar fechada e uma volta não implica mais que o vetor retorne ao mesmo ponto. A ação conjunta da curvatura com a torção implica que o vetor transladado, após uma volta completa, não estaria apenas rotacionado com relação ao original (formando um ângulo não nulo entre si), mas também deslocado com relação ao mesmo (GASPERINI; SABBATA, 1986)(NAKAHARA, 2003).
Se quisermos uma teoria de calibre para gravitação sem torção, é necessário intro-duzir um vínculo impondo a condição de torção nula, pois ela surge naturalmente nesse mecanismo.
2.2.5
Curvatura e torção
Usamos a tetrada 𝐸𝐴 e a conexão de Lorentz 𝑌𝐴
𝐵 para descrever, direta ou
indire-tamente, todas as propriedades geométricas do espaço-tempo. Nessa subseção, chegaremos nas 2-formas de curvatura e torção, assim como nas relações de hierarquia dadas pela atu-ação da derivada covariante. A primeira equatu-ação de hierarquia define a torção,
𝑊𝐴 = 𝐷𝐸𝐴 = 𝑑𝐸𝐴+ 𝑌𝐴𝐶𝐸𝐶 , (2.42)
tal que as componentes da torção são definidas como
𝑊𝐴 = 1 2𝑊 𝐴 𝜇𝜈𝑑𝑥 𝜇𝑑𝑥𝜈 = 1 2𝐸 𝐴 𝛼𝑊 𝛼 𝜇𝜈𝑑𝑥 𝜇𝑑𝑥𝜈 . (2.43)
8 A torção não é independente da estrutura de calibre, já que além de depender de um campo de matéria
também depende da conexão de spin. Dito isso, é claro o motivo da torção estar associada ao spin das partículas elementares.
