TOPOGRAFIA. Poligonais

Poligonais

C

R

¨  Quando se pretende representar numa superfície plana zonas extensas da

superfície terrestre, é necessário adoptar sistemas de representação plana do elipsóide, visto que este não é planificável.

¨  Isto é, por intermédio de uma projecção geométrica ou por fórmulas

analíticas de transformação, establece-se uma correspondência biunívoca entre os pontos do elipsóide definidos pelas suas coordenadas geodésicas e os pontos do plano definidos por coordenadas rectangulares.

¨  O posicionamento relativo do elipsóide de referência e do plano

cartográfico é definido por intermédio de um ponto, situado de preferência no centro da região a representar, designado por ponto central.

C

R

¨  Nestas condições, os meridianos e os paralelos são representados por linhas

rectas ou curvas, sendo sempre uma linha recta o meridiano que passa pelo ponto central da zona considerada.

¨  É a este meridiano central (designado por meridiana) e à recta que lhe é

perpendicular e passa no ponto central da região, que se referem as coordenadas rectangulares, designadas por M (distância à meridiana) e P (distância à perpendicular).

C

R

¨  Uma direcção qualquer AB pode ser posicionada relativamente ao sistema

de coordenadas rectangulares através do ângulo que forma com a direcção da recta meridiana.

¨  O rumo de uma direcção varia entre zero e 400 grados.

Poligonais

¨  Este ângulo chama-se azimute cartográfico ou

rumo da direcção AB.

¨  Representa-se por (AB) e, tendo vértice no ponto

A, conta-se no sentido retrógrado (sentido dos ponteiros do relógio) a partir da direcção definida pela meridiana, que corresponde à direcção do Norte Cartográfico, até à direcção definida pelos pontos A e B.

C

R

¨  Os ângulos em Topografia são sempre descritos no sentido retrógrado.

¨  Deste modo, duas semi-rectas com a mesma origem, como as semi-rectas EA

e EB, definem dois ângulos distintos, o ângulo AÊB e o ângulo BÊA.

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Cálculo do rumo inverso

¤  Suponhamos que se conhece o rumo da direcção [AB] no sentido de A

para B e se pretende conhecer o rumo da mesma direcção, mas agora no sentido de B para A.

(BA) = (AB) + 200gr (BA) = (AB) – 200gr

(BA) = (AB) ± 200gr

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Transporte de rumos

¤  Conhece-se o rumo da direcção [AB] e o ângulo BÂC ou CÂB (BÂC =

400gr - CÂB) e pretende-se calcular o rumo da direcção AC.

(AC) = (AB) + BÂC

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Transmissão de rumos

¤  Conhece-se o rumo da direcção [AB] e o ângulo entre alinhamentos

pretende-se calcular o rumo da orientação BC.

Dados: (AB);α Pedido: (BC)

(BC) = (AB) + α ± 200 (a menos de 400gr)

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Transporte de coordenadas

¤  Determinar as coordenadas de um ponto B a partir das coordenadas de

outro ponto A, conhecendo a distância AB entre os dois pontos e o rumo da direcção que definem.

Dados: M_A; P_A; AB ; (AB) Pedido: M_B; P_B

M_B - M_A= AB sin(AB)

P_B - P_A= AB cos(AB)

M_B = M_A + AB sin(AB)

P_B = P_A + AB cos(AB)

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Cálculo de rumos

¤  Calcular o rumo de uma direcção definida por dois pontos, cujas

coordenadas rectangulares são conhecidas.

Dados: M_A; P_A; M_B; P_B Pedido: (AB)

PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES

¨  Cálculo de distâncias

¤  conhecidas as coordenadas rectangulares de A e B, determinar a

distância entre estes pontos.

Dados: M_A; P_A; M_B; P_B Pedido: [AB]

¨  Quando se pretende levantar uma determinada parcela de terreno, de um modo geral substitui-se essa parcela por um conjunto de pontos que podem ser ligados entre si por alinhamentos rectos.

¨  Como se viu anteriormente, a operação topográfica conduz a duas espécies

de medidas: ângulos e distâncias.

¨  A medição de distâncias envolve um processo mais demorado e exige maior

cuidado comparativamente com a medição de ângulos. Por tal motivo, a medição de distâncias pode ser substituída pela medição de ângulos.

MÉTODOS

Poligonais

MÉTODOS

¨  Poligonação: consiste no estabelecimento, observação e cálculo de

poligonais.

¨  Poligonais não são mais do que um conjunto de sucessivos segmentos de

recta formando uma linha poligonal, da qual se medem os comprimentos dos lados e os ângulos que estes formam.

¨  A poligonação é uma operação tridimensional que permite transportar

simultaneamente coordenadas cartográficas e altitudes ortométricas.

MÉTODOS

¨  Como a poligonação é um método de cálculo de coordenadas, que, para a

obtenção do mesmo número de pontos de apoio, é de execução muito mais rápida do que a triangulação e as intersecções, em determinados estudos, não sendo a precisão um factor primordial, pode-se utilizar apenas a poligonação para obtenção do apoio necessário.

¨  Em alguns tipos de levantamentos, em que é necessário fazer o

levantamento de uma faixa de terreno comprida e estreita, como por exemplo, no caso de traçado de estradas, caminhos de ferro, redes de saneamento, linhas de alta tensão, etc, também é normalmente utilizada a poligonação.

MÉTODOS

¨  Uma poligonal pode ser:

¤  Aberta;

¤  Fechada;

¤  Fechada sobre si mesmo.

¨  É natural que se cometam erros que interessa controlar. Esses erros, dado

que se medem ângulos e distâncias, são:

¤  erros de fecho angular;

¤  erros de fecho linear.

MÉTODOS

¨  O estabelecimento de uma poligonal deve ser feito após um prévio

reconhecimento da zona, dependendo o seu traçado do acidentado do terreno e do facto de se tratar, ou não, de uma zona densamente arborizada.

¨  Não se podem por isso estabelecer normas rígidas para o traçado de

poligonais, no entanto, para se melhorar a precisão dos resultados obtidos, convém que a escolha dos vértices tenha em atenção alguns aspectos.

MÉTODOS

¨  No estabelecimento de uma poligonal deve procurar-se:

¤  que o seu traçado seja alongado (excepto se for fechada sobre si

mesma);

¤  que os desníveis entre vértices consecutivos sejam pouco acentuados;

¤  que o comprimento dos lados seja da mesma ordem de grandeza;

¤  que o comprimento dos lados seja tão grande quanto possível (reduzir o

número de vértices para atenuar a influência dos erros). O valor deste comprimento é evidentemente limitado, não só pelo acidentado do terreno, como pelas características dos instrumentos utilizados.

MÉTODOS

¨  Cálculo e compensação de uma poligonal com vértices A, 1, 2, 3 e B,

apoiada nos vértices A e B de uma triangulação. Conhecem-se ainda as coordenadas dos vértices A’ e B’, ou os rumos (AA’) e (BB’).

MÉTODOS

¨  Procedimento de cálculo:

1.  Cálculo dos rumos provisórios

2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias

3.  Cálculo dos rumos definitivos

4.  Cálculo das coordenadas relativas provisórias

5.  Cálculo do erro de fecho linear (ou planimétrico) e verificação das

tolerâncias

6.  Cálculo das coordenadas relativas corrigidas

7.  Cálculo das coordenadas absolutas

8.  Cálculo do erro de fecho altimétrico e verificação das tolerâncias

9.  Cálculo das cotas

MÉTODOS

1.  Cálculo dos rumos provisórios

¤ Designando por (BB')* o rumo (BB') calculado utilizando as medições

feitas obtém-se:

Sendo k um número inteiro

MÉTODOS

2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias

¤ Como (BB') e (BB')* normalmente não são iguais, calcula-se o erro de

fecho angular através da seguinte equação:

MÉTODOS

2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias

¤ Pode-se então considerar que o erro terá que ser menor do que as

tolerâncias abaixo indicadas para poligonais de alta, média e baixa precisão.

MÉTODOS

2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias

¤ O erro de fecho angular, ε, deverá ser distribuído igualmente por

todos os ângulos medidos ou distribuído proporcionalmente ao ângulo medido.

MÉTODOS

3.  Cálculo dos rumos definitivos

Poligonais

MÉTODOS

4.  Cálculo das coordenadas relativas provisórias

MÉTODOS

5.  Cálculo do erro de fecho linear (ou planimétrico) e verificação das

tolerâncias

Com os valores de ε_M e ε_P calcula-se o erro de fecho linear da

poligonal:

MÉTODOS

6.  Cálculo das coordenadas relativas corrigidas

¨  O erro de fecho linear, ε_M e ε_P , deverá ser distribuído

proporcionalmente aos valores relativos das coordenadas.

MÉTODOS

7.  Cálculo das coordenadas absolutas

MÉTODOS

8.  Cálculo do erro de fecho altimétrico e verificação das tolerâncias

9.  Cálculo das cotas

EXERCÍCIO

EXERCÍCIO

EXERCÍCIO

EXERCÍCIO

EXERCÍCIO

BIBLIOGRAFIA

Fonte, Cidália C.. “Textos de apoio de Topografia”. Departamento de Matemática FCTUC, Universidade de Coimbra.

Freitas, Elisabete (2011). Apresentações teóricas no âmbito da disciplina de Topografia. Universidade do Minho.