1.5 Sistemas de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto

(1)

Tempo Discreto

• Os sistemas físicos, em sentido amplo, são uma interconexão de componentes,

dispositivos ou subsistemas.

• Um sistema de tempo contínuo é um sistema

em que os sinais de entrada de tempo contínuo são aplicados e resultam em sinais de saída de tempo contínuo.

(2)

140

Tempo Discreto

• Um sistema de tempo discreto é um sistema

que transforma entradas de tempo discreto em saídas de tempo discreto.

(3)

Tempo Discreto

( ) ( ) x t ® y t

[ ] [ ] x n ® y n

(4)

142

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

(5)

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• _{Exemplo 1.8}_{: Circuito RC – Figura 1.1}

( ) ( ) ( ) v ts v tc i t R -= ( ) ( ) dv tc i t C dt = ( ) 1 1 ( ) ( ) c c s dv t v t v t dt + RC = RC

(6)

144

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

(7)

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• _{Exemplo 1.9}_{: Veículo – Figura 1.2}

[

]

( ) 1 ( ) ( ) dv t f t v t dt = m -

r

( ) 1 ( ) ( ) dv t v t f t dt m m

r

+ =

(8)

146

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo contínuo descritos por

equações diferenciais lineares de primeira

ordem: ( ) ( ) ( ) dy t ay t bx t dt + =

(9)

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• _{Exemplo 1.10}_{: Modelo de Balanço Mensal em} Conta Bancária

[ ] 1,01 [ 1] [ ]

y n = y n - + x n

[ ] Saldo ao final do mês

y n º n

[ ] Depósito Líquido ao final do mês

(10)

148

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• _{Exemplo 1.11}_{: Simulação Digital da Equação} Diferencial ( ) 1 ( ) ( ) dv t v t f t dt m m

r

+ = ( ) ( ) (( 1) ) dv t v n v n dt D - - D » D ( ) (( 1) ) 1 ( ) ( ) v n v n v n f n m m

r

D - - D + D = D D

(11)

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

[ ] [ 1] 1 [ ] [ ] v n v n v n f n m m

r

- -+ = D [ ] [ 1] [ ] [ ] mv n - mv n - + D

r

v n = Df n

(

m + D

r

)

v n[ ] - mv n[ -1] = Df n[ ]

(

)

(

)

[ ] m [ 1] [ ] v n v n f n m

r

m

r

D - - = + D + D

(12)

150

1.5.1 Exemplos Simples de Sistemas

• Os exemplos anteriores são exemplos de sistemas de tempo discreto descritos por

equações de diferenças lineares de primeira

ordem:

[ ] [ 1] [ ]

(13)

Conclusões

• As representações matemáticas de sistemas de uma grande variedade de aplicações têm muito em comum.

• Isso motivou o desenvolvimento de

ferramentas amplamente aplicáveis para a análise de senais e sistemas.

• A chave para obter o sucesso é a identificação de classes de sistemas.

(14)

152

1.5.2 Interconexão de Sistemas

• Muitos sistemas reais são construídos como interconexão de diversos subsistemas.

• Existem alguns tipos básicos de conexão que merecem ser estudados.

(15)

(16)

(17)

(18)

156

1.6 Propriedades Básicas de Sistemas

• Nesta sessão estudaremos algumas

propriedades básicas dos sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto.

• Essas propriedades possuem descrições

matemáticas relativamente simples, usando a linguagem de sinais e sistemas que

(19)

1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um sistema é dito sem memória se a sua

saída, para todo valor da variável

independente, em um dado instante, depende somente da entrada nesse mesmo instante.

• Exemplos: 2 2 [ ] (2 [ ] [ ]) y n = x n - x n ( ) ( ) y t = Rx t

(20)

158

1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um sistema sem memóreia particularmente

simples é o sistema identidade:

[ ] [ ]

y n = x n

( ) ( )

(21)

1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um exemplo de sistema de tempo discreto

com memória sistema é o sistema acumulador

(somador): [ ] [ ] n k y n x k =-¥ =

å

(22)

160

1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um segundo exemplo seria o sistema

atrasador:

[ ] [ 1]

(23)

-1.6.1 Sistemas com e sem Memória

• Um capacitor é um exemplo de sistema de

tempo contínuo com memória:

1

( ) t ( )

y t x d

C -¥

t

=

_ò

• Em geral, em um sistema com memória há presença de um mecanismo que retém ou guarda a informação sobre os valores de entrada em instantes que não o atual.

(24)

162

1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade

• Um sistema é dito invertível se entradas

distintas levam a saídas distintas.

• Se um sistema é invertível, então existe um sistema inverso que, ao ser colocado em série com o sistema original, produz uma saída que é igual a entrada do primeiro sistema.

• Utilizados, por exemplo, em sistemas de

(25)

(26)

164

1.6.2 Sistemas Inversos e Invertibilidade

• Exemplo de sistemas não-invertíveis:

[ ] 0

y n =

2

( ) ( )

(27)

1.6.3 Causalidade

• Um sistema é dito causal se a saída, em

qualquer tempo, depender dos valores da entrada somente nos instantes presente e passados.

• Também conhecido com não-antecipativo.

• Exemplos:

– O circuito RC – O veículo

(28)

166

1.6.3 Causalidade

• Exemplos de sistemas não-causais:

[ ] [ ] [ 1]

y n = x n - x n +

( ) ( 1)

(29)

1.6.3 Causalidade

• Todos os sistemas sem memória são causais. • A causalidade nem sempre é uma restrição

essencial em aplicações em que a variável independente não é o tempo, como, por

exemplo, o processamento de imagens.

• Quando os dados forem gravados, não estamos limitados ao processamento causal. Por

exemplo na análise histórica do mercado de

(30)

168

Exemplo 1.12

• Verificar a causalidade dos sistemas descritos pelas seguintes equações:

[ ] [ ]

y n = x n

-( ) ( ) cos( 1)

(31)

1.6.4 Estabilidade

• Um sistema será estável se, para toda entrada limitada (isto é, seu módulo não cresce sem limites), a sua saída também for limitada.

(32)

(33)

Exemplo 1.13

• As vezes “suspeitamos” que um sistema é instável;

• Para verificarmos isso, “basta” mostrarmos

que existe uma entrada limitada específica que produz uma saída ilimitada.

• Verificar a estabilidade dos seguintes sistemas:

1 : ( ) ( )

(34)

172

Exemplo 1.13

(35)

1.6.5 Invariânça no tempo

• Um sistema é invariante no tempo se um

deslocamento, no tempo do sinal de entrada (qualquer que seja ele) resulta em um

deslocamento no tempo idêntico no sinal de saída.

(36)

174

Exemplo 1.14

• Verifique se o sistema definido abaixo é ou não invariante no tempo.

[

]

( ) sin ( )

(37)

Exemplo 1.15

[ ] [ ]

y n = nx n

• Teste a propriedade da invariânca para a seguinte entrada:

[ ] [ ]

(38)

176

Exemplo 1.16

( ) (2 )

y t = x t

• Dica: testar para um sinal de entrada simples, por exemplo, um pulso de largura 2 e

(39)

Exemplo 1.16

( ) (2 ) y t = x t 1( ) 1( ) 1(2 ) x t ® y t = x t 2 ( ) 2 ( ) 2(2 ) x t ® y t = x t 2 1 0 2 2 1 0 Se ( )x t = x (t - t ) ® y t( ) = x (2t) = x (2t - t ) 2 ( ) 1( 0 ) x * = x * - t

(40)

178

Exemplo 1.16

1 0 Deslocando ( ) de :y t t 1( ) 1(2 ) y t = x t 2 1 0 Portanto ( )y t ¹ y t( - t ) 1( ) 1(2 ) y * = x * 0 1(t t ) 1(2(t t0 )) x1(2 2 )t0 y - = x - = t

(41)

(42)

-180

1.6.6 Linearidade

• Um sistema é dito linear, se ele possui a

propriedade da sobreposição: – Propriedade da homogeneidade ( ) ( ) ( ) ( ) x t ® y t ax t ® ay t – Propriedade da aditividade 1 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t x t y t y t x t y t ® _ü + ® + ý ® _þ

(43)

Exemplo 1.17

• Determine se o sistema abaixo é linear.

( ) ( )

(44)

182

Exemplo 1.18

2

( ) ( )

(45)

Exemplo 1.19

{

}

[ ] Re [ ]

(46)

184

Exemplo 1.20

[ ] 2 [ ] 3

(47)