Resoluções das atividades
Perpendicularidade6
C apítulo 1 S a b O 3 4x + º15 Como OS é bissetriz, 3 4 15 45 3 4 30 40 x+ º= º→ x= º→x= º 2 m 49º 49º 49º 41º 41º m = 41º 3 Sugestão de resposta: Q v u 4 m M N 5 2 cm6 a) Duas retas que formam entre si um ângulo de 90º. b) Reta que passa pelo ponto médio do segmento e,
com ele, forma um ângulo de 90º. 7 x + 3x + 10º + x = 90º o 5x = 80º o x = 16º Quadriláteros I
7
C apítulo 1 2x + (3x – 10º) + (6x – 140º) + (x + 30º) = 360º 12x – 120º = 360º 12x = 480º x = 40º 2 a) 68 = (x + 15) + (5x – 4) + (3x + 5) + (6x + 2) 15x + 18 = 68 15 50 10 3 x= →x= b) Maior lado o AR = 6x + 2 = 22 cm 3 x + x + 4x + 4x = 256 10x = 256 x = 25,6 Logo, MN = NP = 25,6 cm, e MQ = PQ = 102,4 cm. 4 a) Não, pois 123º + 24º + 56º + 167º = 370º > 360º b) 67º + 112º + 115º + x = 360º 294º + x = 360º x = 66º 120º + 56º + 122º + y = 360º 298º + y = 360º y = 62º 5 a) Perímetro = AB + BC + CD + DA 29 = 5 + 7 + 9 + x 21 + x = 29 x = 8 cm b) AD + BC = 8 + 7 = 15 cm AB + CD = 5 + 9 = 14 cm 6 I. a) Convexo. b) Côncavo. c) Convexo. d) Côncavo. II. a) A D C B c) J I L M b) G H F E d) N R Q Inserir sím-bolo de ân-gulo reto, igual à ques-tão.7 a) 2x + 4x + 5x + x = 360º 12x = 360º o x = 30º Logo: x = 30º; 2x = 60º; 4x = 120º; 5x = 150º. b) x + 5x + 5x + x = 360º o 12x = 360º o x = 30º Logo: x = 30º; x = 30º; 5x = 150º; 5x = 150º. 8 a) Losango: b) Retângulo: c) Quadrado: • Quadrado. 9 a) 3x + 7x = 180º o 10x = 180º o x = 18º b) Como a fi gura é um paralelogramo:
x x x x 2 18 4 17 4 2 35 8 2 35 7 70 10 + = − − = → − = → = → = º x º x º º x º x º
10 a) Como são paralelogramos, os lados opostos são iguais: AD = BC o 6y – 42 = 9x o 6y – 9x = 42 AB = CD o 5x = y + 7 o 5x – y = 7 (6) o 6 9 42 21 84 30 6 42 4 13 y x x x y x y − = = − = = → = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪
b) Os ângulos opostos devem ser iguais:
4x – 31º = x + 38º o 4x – x = 69º o 3x = 69º o x = 23º y + 4x – 31º = 180º o y + 61º = 180º o y = 119º 11 As diagonais se cruzam no ponto médio, então:
x = 2y – 5 o 2y – x = 5 3y + 2 = x + 14 o 3y – x = 12 − + = − − = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ 2 5 3 12 y x y x o y = 7 o x = 9 AC = x + 2y – 5 o AC = 18 BD = x + 14 + 3y + 2 o BD = 46 12 2E = 236 o E = 118º D = 62º D + E = 180º E – D = 56º + ⎧ ⎨ ⎩ E D E D
13 Como as diagonais se encontram no ponto médio:
OQ OP PQ OQ OP cm OR SR cm = = → = + = = = = 11 5 23 2 17 2 8 5 , , Q O 11,5 S P R
14 Como DB é bissetriz, CDA = 2 , mas CDA DABx + = 180º. CDA +71º=180º→CDA =109º→2x=109º→ =x 54 5, º 15 DB é diagonal e bissetriz. Logo:
2 3 25 45 2 3 70 2 210 105 x x x x − = º→ = º→ = º→ = º 16 a) Como o ∆MNP é retângulo: x+10 + +x = → 2 14 90 º º 2 20 28 2 90 3 48 2 90 3 48 180 3 132 44 x x x x x x + + + = → + = → + = → = → = º º º º º º º º º b) x + 10º+ y = 90º o44º + 10º + y = 90º o y + 54º = 90º o y = 36º
17 a) Seja E o ponto de interseção de AC e BD o ∆BCD é equilátero o ângulo agudo = 60º.
E D B C A D B C o
b) Pelo item A, o ângulo obtuso equivale a 120º. 18 Vanda: y 2 y 2 x 3 x 3 x 3 Igor: y 3 y 3 y 3 x 2 x 2 Corrigir a fi-gura, pois tá um pouco torta. Girar 11,5 pra ficar no sentido da reta.
Como as fi guras de Igor são quadrados: x y x y 2= →3 3 =2 Pelo enunciado: 2 2 2 3 26 ⋅ + ⋅ =y x cm→ y y y y y y y y + ⋅ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = → + ⋅⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = → + = → = → 2 2 3 3 26 3 2 2 3 3 26 9 4 9 26 13 9 26 13 == → = = → = ⋅ → = 234 18 2 3 2 18 3 12 y x y x x
Resposta: As dimensões da folha são 12 cm × 18 cm.
19 y x Perímetro = 2x + 2y = 192 x y x y y x x x x x x = → = → = + ⋅⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = → + = → = → 3 5 5 3 5 3 2 2 5 3 192 6 10 3 192 16 3 192 166 576 36 5 3 5 36 3 60 x x y x y y = → = = → = ⋅ → =
20 a) ( F ) Os quatro lados do losango são congruentes, mas suas diagonais, não.
b) ( V ) c) ( V )
d) ( F ) As diagonais de um retângulo não formam um ângulo reto.
Desafio
Figura A Figura B
No tangram, há dois triângulos maiores de área 1
4 do qua-drado, ou seja, 10 4 2 cm ; um triângulo, um quadrado e um paralelogramo de área 1 8 do quadrado, ou seja, 108 2 cm e dois triângulos da área 1
16 do quadrado, ou seja, 1 16
2
cm . Na fi gura B, o retângulo é formado pelas peças do tangram e mais quatro quadrados de área 10
8 2 cm e seis triângulos de área 1 16 2
cm , em uma área total de:
4 10 8 6 10 16 40 8 60 16 40 8 30 8 70 8 35 4 2 ⋅ + ⋅ = + = + = = cm
Resposta: A área total do retângulo é 10 35 4 75 4 18 75 2 + = = , cm . 21 Triângulos. D D E E A B C D Quadriláteros II
8
C apítulo 1 a) x + 90º + 90º + 135º = 360º o x = 45º b) x + x + 100º + 100º = 360º o 2x + 200º = 360º o 2x = 160º o x = 80º c) x + 3x + 90º + 90º = 360º o 4x + 180º = 360º o 4x = 180º o x = 45º 2 D 50º 80º C A B C B C + = → = + = → = 180 130 180 100 º º A D º D º 3 D 2x 3y y x C A B Sabe-se que 2x + x = 180º o x = 60º o A = 60º e D = 120º 3y + y = 180º o 4y = 180º o y = 45º o B = 45º e C = 135º. 4 a) 105º 105º x xÂngulos colaterais são suplementares, logo: 105º + x = 180º
x = 75º
b) 125º 125º
y y 2x = 250º (dois ângulos obtusos) x = 125º, assim: x + y = 180º y = 180º – 125º = 55º Tamanho da fonte ok? Me pareceu muito grande. Trazer questão 21.
Assim,
Afastar um pouco.11 D A 30º 40º 40º 30º 80º 80º 70º 100º 100º 70º 40º 40º C B
ADC BAD + =180º→70º+BAD =180ºo BAD = 110º , ∆ADC isósceles o DAC = 70º o CAB DBA = = 40º . Assim, os ângulos entre as diagonais são 100º, 100º, 80º e 80º.
12 Usando a base média do trapézio, tem-se:
y 10 16 y y y = + = = 10 16 2 26 2 13 x y 10 10 2 20 13 20 7 = + + = → + = = x y x y x x
13 Como MN é base média:
MN= AB CD+ →MN= = x− + x+ → 2 6 5 13 2 4 2 o7x – 9 = 12 o7x = 21 o x = 3 AB = 5x – 13 = 5 · 3 – 13 = 15 – 13 = 2 CD = 2x + 4 = 2 · 3 + 4 = 6 + 4 = 10 14 MN= = →4 y− = → y= → =y 2 2 2 2 2 2 4 2 15 y 70º A D C x B ∆BCD é isósceles o DBC = 70º o CDB = 40º Como ABCD é isósceles o BDA x = = 30º
y CDA= =70º , pois CDA DAB + = 180º.
16 (2a + 80º) + (2a + 80º) + (2a + 40º) + (2a + 40º) = 360º o o8a + 240º = 360º o 8a = 120º o a = 15º
x = 2a + 40º o x = 2 · 15º + 40º o x = 30º + 40º = 70º 5 a) ( V )
b) ( F ) O trapézio retângulo pode ser isósceles ou escaleno.
c) ( V )
d) ( F ) Aplica-se aqui o mesmo raciocínio utilizado na explicação do item B.
e) ( F ) Um losango é um polígono de 4 lados, mas não necessariamente possui ângulos iguais, como o quadrado.
6 a) 2x + 30º = x + 35º o x = 5º
b) x + 12º = 3x – 20º o 2x = 32º o x = 16º
c) 2x + x + 90º + 90º = 360º o 3x = 180º o x = 60º 7 a) ( V )
b) ( F ) Ângulos adjacentes a uma mesma base são con-gruentes apenas no trapézio isósceles.
c) ( V )
8 Com base no enunciado, tem-se a seguinte fi gura: B
A
C D
A e D são ângulos agudos. Logo:
2A=100º→ =A 50→ =D 80º−50º=30º A D A D + = − = 80 20 º º +
Sabendo que A B + = 180º , tem-se que B = 130º. Assim como C D + = 180º, tem-se que C = 150º.
Logo, o menor e o maior ângulo desse trapézio são, res-pectivamente, 30º e 150º. 9 2p = 80 cm o b + B + 2 · = 80 o + 2 + 2 = 80 o 5 = 80 o = 16 cm; b = 16 cm; B = 32 cm. 10 B D A D D D D D C B D
Como ABCD é isósceles, tem-se: AB DC
ABC DCB
Como BD é bissetriz de ABC ABD DBC , = = α.
Sendo AD//BC, ADB DBC (ângulos alternos internos). Então, o ∆ABC é isósceles, com AB = AD.
Logo, a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. Inserir Diminuir os se-micírculos pra diferenciar os ângulos.
17 a) Como MNPQ é isósceles: N M Q N P = − = = = = = 180 106 74 106 74 º º º º; º b) x =180º – 2 · (74º – 47º) = 180º – 2 · 27º = 180º – 54º = 126º 18 a) LAL
b) Sim, pois ∆DNE {∆CNF. c) MN=9 15+ = 2 12 d) AE BF MN AE x x BF y BC BF y = → = + = → → = → + = → = = → = − = − → = 9 15 2 12 12 9 12 3 12 15 12 3
19 Quando se traça DH = AB, obtém-se HDC = 45º e, completando-se a fi gura, fi ca-se com um quadrado.
H 4 Os quatro lados do quadrado têm a mesma medida. Assim: DH = AB = 4 cm 4 6 6 45º 4 A D C B 10 45º 4 20 180º – x 180º – y y x x + y = 170º y – x = 30º Ângulos: x = 70º; y = 100º; 180º – x = 110º; 180º – y = 80º. 2y = 200º y = 100º o x = 70º o + Desafio A B C D E F G M
Traçando a diagonal AC do quadrado ABCD e sabendo que AC e GE formam um ângulo de 45º em relação à reta BE, tem-se, então, que AC e GE são paralelas.
Sendo M um ponto qualquer sobre AC, verifi ca-se que os triângulos AEG e MGE possuem a mesma área, pois ambos apresentam a mesma base GE e a mesma altura que equi-vale à distância entre as retas paralelas AC e GE.
Tomando M = C, conclui-se que a área do triângulo AEG é igual à área do 'CGE, ou seja, 12 12
2 144
2 72
2
⋅ = = cm .
Triângulos III – Pontos notáveis
9
C
apítulo
1 a) Segmento de reta que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto.
b) Segmento que, partindo do vértice, divide o ângulo em duas partes iguais.
2 a) MB BR MB BR MR MB BR BR BR BR BR MB = → = → = = + = = + = → = → = 2 2 9 2 3 3 6 b) B S M P 2x x R N 2x + x = 25,8 3x = 25,8 x = 8,6 = BS Desafio A F E C B r
O segmento de reta EF é paralelo ao lado BC, e os ângulos alternos internos formados pela transversal CF são iguais, ou seja, FCB CFA = . Por outro lado, como CF é bissetriz, tem-se FCB FCA = e, assim, FCA CFA = , no qual o triângulo CAF é isósceles de base CF. Portanto, AF = AC = 9. De forma aná-loga, o triângulo BAE é isósceles de base BE e AE = AB = 13. Assim, EF = EA + AF = 13 + 9 = 22. 3 63º y B R 47º S P P R S + + =180º→ =R 180º−110º=70º Como RB é bissetriz: PRB BRS = = 35º. No ∆PRB, veja que: BRP PBR RPB y y + + = + + = = − = 180 35 63 180 180 98 82 º º º º º º º
4 A 2x + 5 x + 8 2x – 3 x + 4 C B M
Como AM é mediana o 2x – 3 = x + 4 ox = 7 AC = 2x + 5 = 19 AB = x + 8 = 15 BC = 2x – 3 + x + 4 = 3x + 1 = 3 7 + 1 = 22 5 4 D D 5 A B C Incentro
6 a) Sendo: MQN =AQP = 130º, tem-se: a b+ =180º−AQP =180º−130º=50º b) a + b = 50º o 2a + 2b = 100º
c) Como AN e PM são bissetrizes: PAR =2a e APR =2 .b
180 2 2 180 2 2 180 100 80 º º ( ) º º º = + + = + + → = − + = − =
PAR APR ARP a b R
R a b 4 R B 38º x y H T x + 38º = 90º o x = 52º x + y = 90º o 52º + y = 90º o y = 38º 5 I – B III – C II – D IV – A, D 6 A y C H S 60º 50º x B
Como ABC =60º→HAB =30º Como HC A =50º→CAH =40º= +x y AS é bissetriz o 30º + x = y Substituindo, tem-se: 40º = x + (30º + x) o 2x = 10º o x = 5º 7 A B H S 80º 40º x C 10º y A B C A CAH BAH = − − = − − → = = − = = 180 180 80 40 60 90 80 10 90 º º º º º º º º º−− 40º=50º 10º + x = y x + y = 50º o x + 10º + x = 50º o 2x = 40º o x = 20º 8 T R I A N G U L O 1. B B A C C C C C D M S S S S E E E E E E E E E N N N N N N U L L L S S A A A A Â T T T R R R R R R T T O O O O O O Ó Z I I I I I 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Triângulos IV – Pontos notáveis
10
C apítulo 1 a) CD b) BM c) AE d) r 2 a) III b) I c) IV d) II 3 x + 24º = 90º o x = 66º y + 48º = 90º o y = 42º cl.Desafio B A yE x 2D 5D D D C
Sendo a soma dos ângulos internos de um triângulo 180º, tem-se: x = 180º – 3D oCEB = 360º – (x + y) y = 180º – 2D CEB = 360º – (360º – 5D) CEB = 360º – 360º + 5D CEB = 5D
Como o ângulo EBC = 5D, tem-se que ∆BEC é isósceles. Então, AB = CE = BC e, assim, como o ∆ABC é isósceles, A C . No ∆ABC, tem-se: ˆA C B = 180º 3D + 3D + 6D = 180º 12D = 180º D = 15º
