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INIS Clearinghouse IAEA

P.O. Box 100

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IcTfcoi

PEDIDO

wjeiaáàja

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FRCD UÜLFGANG POTTAG

0C0287CC09 2-8A

•* ESTUDO DA EXPANSÃO T IANSVCRSAL NO CIUDCLO

HIDRODINAMCÜ DE LANDAU "

\ .

Tese de Doutoramento apr<J

sentada ao Instituto da

física da Universidade de

52o Paulo.

\*>

tf

• » , ' . M . : : : ; ' Y,,,M.'.'-".Í',I'<>

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Yogiro .'.ema pela amizade, upoiu e ori^

entação do presente trabalho.

An Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico

e Tecnológico -CNPq- e à Coordenação do Aperfeiçoamento de

Abstract

The system of equations in the frame of Landau's hydr£

dynamical model for multiparticle production at high energies

is studied.

Taking as a first approximation the one-riimonsionai

exact solution due to Khalatnikov, and a special set of curvi^

lirear coordinates, the radial part is neparated from the

longitudinal one in the equations of motion, nnd a system of

partial differential equations ( non-linear, .hyperbolic J is

obtained for the radial part. These equations are solved nuaie,

rically by the method of caracteristics.

The hydrodynamical variables are obtained over all the

three-dimensional-flou region as well as its variation with

the mass of the initially expanding system.

Both, the transverse rapidity distribution of the fluid

at the centor off

and the inclusive particle distribution E — „ 90°

of mass system, are calculated. The last one is compared with

recent experimental data.

-RESUMI

Estuda-se o sistema de equações do modelo hidrodinâmico

de Landau, para produção múltipla de partículas a alta3 ener

gias.

Usando como primeira aproximação a solução unidimen

sional exata de Khalatnikov, e um sistema de coordenadas

curvilínjas especial, separa-se a parte radial ria parte longi_

tudinal das equações de movimento, obtendo-se um sistema de

duas equações diferenciais a durivadas parciais ( n3o linear,

hiperbólico ) para a parte radial. Estas equações s3o resol.

vidas numericamente pelo método das características.

Obtêm-se as variáveis hidrodinâmicas em toda a região

de movimento tridimensional e sua? variações com a massa

inicial do sistema em expansão.

Calcula-se a distribuição de rapidez transversal do

fluido e finalmente a distribuição inclusiva £ -— a 90° no

àf

sistema de centro de massa, comparada com resultados experi

mentais recentes.

ii-índice

Capítulo

I Introdução

II Sistema HidrodinSmicu

ill Transformação do Sistyma Hidrodinâmico IV Características, rtelagões Diferenciais

B Condições de Contorno

V Aproximado Ultrarelativística VI Aproximação Mão-leia ti vistica

VII Resolução Numérico e Alguns Itesult.uios VIII Distribuição do Rapidez Transversal du

IX Distribuição Inclusive do fio men to X ConclusSos

Apêndice

A Formulas Matemáticas

3 Tonsor dn Enenjia o Momento C tlelaçoos Termodinâmicas D Equação C a r a c t e r í s t i c a E Solução Unidimunsional F Relações D i f e r e n c i a i s C Elemento ds Mipersuperfície Referências índice de Figuras Tabelas Figuras i v

-* CAPITULO I -*

Introdução

Q modelo hidrodinâmico pura produção múltipla de part£

cuias a altíssimas energias foi proposto por Landau ' a muito

tempo. Esse modelo foi revivido PO inicio dos anos setenta por

P. Carruthcrs e Plinh Duong-van"' e sofrou algur>3 refinamentos

ao longo dos anos para se adaptar ao recent»? progresso em

física do partículas, rias devido à grande complexidade materna^

tica rias equações hidrodinamiciis, cias nunca foram resolvidas

exatamente, exceto no casn d« movimento puramente unir!imen_

sional. Para este ca30 tem-se a solução analítica exata obtida

de forma muito criativa por Kh.ilatnikov . Lmbora n;;ta solução

despreze totalmente a expansão transversal, ela 6 aproximada^ mente válida para descrever a produção múltipla de partículas

a altíssimas energias até hoje em dia» Isto se deve ao fato do

fluido inicial ter uma espessura longitudinal muito menor que

sua espessura transversal devido à contração de Lorentz das

partículas incidentes e devido à própria colisão . de modo que

a expansão ocorre principalmente nn direção das partículas

41

Veja por exemplo a revisão dada na referência 3 ) .

Tem-se em mente aqui a contração longitudinal na prircoira

fase da colisão durante a ijual há propagação de ondas de

choque, segundo o modelo original de Landau \ ou o recuo semirelativístico dos núcleons do alvo ( em colisSss

núcleo--núcleo ) durante a colisão, segundo o modulo de Anishetty, 5)

Koehler e McLerran í

-1-incidentes. Contado, a espessura transversal, embora muito

maior que a espessura longitudinal, cia »? finita e portanfo

também haverá expansão na diregão transversal e existem de

fato evidências empíricas desse fenômeno. De fatj, num Irabii

S) 7)

lho anterior estudou-sa um modelo proposto pur Y. llama

para a reação p>p-».p*-X(fl), concluindo-sc que a influência da

expansão transversal na distribuição de momsntu longitudinal

não é desprezível, fia realidade a expansão transversal implica

nura esfriamento adicional do sistema ocasionando una acele_

ração longitudinal menor, antjs de ocorrer a dissociação nas

partículas finais, lagu estreitando a distribuição de momento

longitudinal. Em outro trabalho ' o alargamento com a energia

da distribuição inclu "•' r píons c —— I . para grande pj, é atribuído a expansão transversal do fluido pré-hadrônico.

g)

Finalmente, mistrou-se ' que a furte correlação entre o momento transversal médio e a multiplicidade, conforme dados

recentes do pp collider , pode ser bem entendida em termos da

expansão transversal do um plasma de quarks e gluons inicia^

mente achatado.

Todas as considerações feitas acima, indicam que seria

de grande importância a obtenção de uma solução das equações

hirirodinSmicas que também levasse em consideração a expansão

transversal. Tia literatura existente encontram-se alguns tr<a

balhos com esse objetivo. Primeiramente tem-se o antigo

trabalho de Plilekhin ' que não resolve propriamente o sistema

\iu oq'jucues diferuncLais a derivadas parciais resultante do sistema hídrociinâmico certamente devido à dificuldade mntem£

tica encontraria. EZlí? contorna essa dificuldade transformando

o sistema hidroríinâmico num sistema de equações diferenciais

ordinárias para as médias, na direção transvers.il, das quantj^

-2-dades termodinâmicas e hidrodinâmicas. Na referência 9) foi

usado um de seus resultados obtidos dessa maneira dando bons

resultados quanto à descrição do comportamento do nomento

transversal médio como função da multiplicidade. Evidentemente

esse tratamento é insatisfatório por nSo fornecer uma distri_

buição de momento transversal mais detalhada. Excetuando-se a

parte da introdução de quantidades médias, o método de

nilekhin consiste basicamente em separar no sistema hidrodin£

mico a parte de movimento transversal da parte de movimento

longitudinal assumindo que essa última possa ser aproximada

pelo limite assintótico da solução uni dimensional de Khala_t

nikov e que o movimento transversal não perturbe muito o mov^

mento longitudinal. Anos mais tarde» Yotsuyanagi estudou o

12) »

mesmo problema , desenvolvendo a idéia do Plilekhin. Neste

trabalho ele obtém uma solução analítica do sistema de

equações diferenciais a derivadas parciais no limite de

rapidez transversal grande. Contudo, como será visto no capjÇ

tulo IV, a sua escolha de condições de cor torno não ' correta. Por estes motivos, esse trabalho também não pode ser conside_

rado satisfatório. Recentemente», surgiu um trabalho de G. Baym 13)

et ai. ' que trata entre outros assuntos a expansão tranis versai em colisões núcleo-núcleo, seguindo essencialmente o

raciocínio de Plilekhin descrito acima, embora isso não seja

mencionado lá. A diferença está nus condições iniciais, em que

supõem segundo a referência 14), que a matorialização ocorra

num instante íTs2c» â onde â e a espessura rias partículas

incidentes e Z o tempo próprio. Segundo esse modelo, para

C < Ze é assumido quo os fragmentos da colisão se movem longi,

tudinalmente com velocidade v=x/t que é justamente a aprox^

mação obtida da solução de Khalatnikov para movimento pura

-3-•ente unidimonsionol. So é assumido comporta-nun to hidrodin^

mico para *£> Co o as condições iniciais de contorno são esp£ cificadis sobre a superfície £-£>. A densidade de energia tc sobre essa superfície é conjecturada usando a distribuição experimental dM/dy em colisões hadron-hadron. Essa tomada de

condiçSes iniciais de contorno parece um tanto artificial e o

fato de ser assumido v=x/t para <T< t0 conforme o resultado da

solução unidim>ncional das equações hidrodinâmicas, sugere que

a evolução temporal dos fragmentos antes de sua materializttçSo

possa muito bem ser simulada per uma expansão de fluido

incluindo aqui ambos os fluxos, longitudinal e transversal.

Movimento transversal d2 tuis fragmentos sempre deve existir.

Uutro trabalho análogo, cm qur? a distribuição de rapidez trans

versai tambi'm * acolhida fie um motJo arbitrário, ': dado na referência 15).

0 trabalho que será apresentado aqui, pelo contrário,

seguira um caminho mais tradicional, em que se resolve explicit

tamente o sistema de equações hidrodinâmicas incluindo o

movimento transversal, especialmente aplicável na região de

grandes ângulos. Além disso outros dois pontos distinguem este

trabalho dos dois anteriores ' J; a sabor: 1) o estudo da

distribuição de rapidez transversal como função da massa, e

2) o cálculo da distribuição inclusiva E ^ r I „ . 0 método

ompregado e fundamentalmente o proposto por Plilekhin, exceto

evidentemente, pela parte final onde se integrou explicita

mente o sistema de equaçSes diferenciais a derivadas parciais.

Embora o mutoüo e conseqüentes resultados se apliquem ao

modelo original de Landou, tem-se em mente um modelo quo tern

sido estudado numa série de trabalhos ' ' ' / n o qual durante

H, e n~ s~o formadas cm torno de cada partícula incidente. Assim, tudo sera especificado con a massa H de una tal bola de

fogo, que se reduz à energia total /s no caso do modelo de

Landau» Lm primeiro lugar, os resultados teóricos obtidos

nessa série de trabalhos com a aplicação desse modelo para

colisões hadron-hadron sao rnu" to bons. Em 3 .gunrío lugar, o

modelo em si é simples e suficif:tit'í:aentQ bum Jafinirio de modo

quo sem nenhuma hipótese adicional, as condições iniciais s3o

determinadas e as equações hi irudinfimi^as lev^m à solução sem

ambigüidades. Estes sao essencial men te os motivos responsáveis

em se insistir na vors3o ortodoxa da hidrodinâmica para

colisões hadron-hadron. Contudo, é claro, ss os resultados

presentes sao aplicáveis a colisões hadron-hadron, espera-se

que com algunas mu'iificaçõüs eles possam também ser úteis para

estudar colisões hadron-núclao e também núcleo-núcieo.

Devs-se mencionar um ponto a respeito da aplicabilidade

dos conceitos hidrodinâmicos à colisões hadron-hadron. Muitos

autores criticam o uso da hidrudinãraica em processos como

colisões hadron-hadron, mas outros o defendem mesmo sem equi

líbrio térmico. Um dos autores do último tipo é P. Carruthers

que diz que o comportamento hidrodinSmico pode existir mesmo 17)

sem equilíbrio térmico . Cie aryumanta que equilíbrio térmico local nao é prerequisite ao uso de variáveis coletivas, de

Pode-se imaginar cada hadron incidente zomo uma superposição de estados virtuais com número variável de componentes, mas

tendo uma massa bem definida. Então durante a colisSo, um

desses estados pode se materializar com uma massa maior Cl.

Csta é uma maneira de l e v r um conta a flutuação de n,

<fx> »etc. evento por evento.

-5-modo que estruturas fornais hidrodinâmicos podam existir nesmo

na ausêncio desse equilíbrio, e poderia fornecer informações

bastanta úteis. Em usa artigo recente ; B. Lukács e K.

Martinas mostraram como estender o formalismo termodinâmico a

situações onde a função de distribuição diverge do equilíbrio

no espaço dos momentos. Cies concluem que os resultados suo

compatíveis com a mecânico do contínuo. Aqui adore-se a eusas

opiniões para o estudo hicrodinâraico de colisões

hudron--hadron.

Üutro ponto a ser mencionado 6 o seguinte. A natureza do fluido não ê clara, mas cie acordo com o ponto de vista atual poderia ser um plasmo quark-gluon ( muitas pessoas

aceitam sua formação somente em colisões núcleo-núcleo ) . En.

tal caso deve ocorrer uma transição de fase antes de chegar

nos produtos f .nais e embora não se conheço qualquer estudo

desse tipo, acredita-se qu-j os efeitos que tal transição de

fase causo ao movimento do fluido seja importante. Apesar da

incerteza, deve-se lembrar que, uma vez aceita a hidrodiníl mica, ambas as expansões, longitudinal e transversal, sempre

existirão e resultados do um modelo simples como o presente

sempre serão úteis para compreender o comportanento geral do

fenômeno.

0 plano de apresentação é o seguinte. fJo capítulo II deduz-so explicitamente as oguaçues de movimento com simetria

axial a partir da escolha de um sistema de coordenadas curvi

lmeas especial, escolha osta, baseada numa aproximação da

solução unidiinensional. 'Io capítulo III scparo-ce nos equações de movimento u parte dü movimento longitudinal da purte de

movimento transversal ob.undo-se poro essa última, duas equa

capítulo 11/ determinam-se as relações diferenciais correspor^

dentes à essas equ. ;5es riiferenciais bem COTIO as caracterís^ ticas e condições de contorno. Nos capítulos D e III obtôm-se

a solução ultrarelativística em form3 analítica e a solução

não relativíctica respectivamente. ." seguir nu capítula l/II

explica-se a resoluto numérica pelo método tias caracterís_

ticas Q apresentam-se alguns resultados numéricos obtidos dessa maneira. Mos capítulos 71II u IX calculam-se a distri^

buiçâo de rapidez transversal — e a distribuição inclusiva . dí

,- dN I ,

de momonto t — - I .respectivamente, finalmente nu capitulo X

apresentam-se us conclusões. A soluçSo unirümsnsional de

Khalatnikov e alguns detilhes matemáticos encontram-se nos

apêndices. Os pontas principiis ;!i;str? trabalho encuntram-so na

referência 19).

?JO qu-3 segue? e s c o l l n u - r i e um s i s t e m a t!e uni (lados er:i que ^í=c = !<=l. Além d i s s o u s a - s e a cunvenç3o s o i j u i n t c : í n d i c e s greijos tomam os v a l o r e s 0 , 1 , 2 , o 3 ; í n d i c e s l a t i n o s tomam os v a l o r e s 1 , 2 , e 3 .

-* CAPITULO II -*

Sis tema Hidrodinâmico

De30ja-so estudar a expansão com simetria axial de um sistema de massa N, achctado longitudinalmente devido à cor^ tração de Lorentz i essa direção, com espessura -d* f raio iL»l ,

inicialmente à temperature» Te > > T^ , onde Td é a temperatura

quando ocorre o dissociação nas partículas Finais. Então no sistema de centro de massa desse objeto podemos escrever a quadrivelocidade de um elemento do fluido, purametrizada em

termos da rapidez longitudinal «* , rapidez transversal "£ e Sngulo azimutal Vf em relação ao eixo de simetria x, como segue.

ü'* = (cflU CMU Y

f

*i*h«< ccik^ ^ 4vrtU^ c«W

t

W > * *i*H ) ( 2 . 1 )

Pode-se fixar a seguinte métrica nesse 3Í3tema:

portanto:

ã^*(-cttUc«il^ ,**&«< coliÇ

f

wdCl&M

t

/Yv*U>(4v*^) ( 2 . 3 )

l o g o :

ÜM^-1 ( 2 . 4 )

-Na aproximação imidimonsional om quo no despreza comply Lamente o movimento < ransver:;al do fluido, temos de acordo com

(E17) que V*tj|U«<«Vt a ^ = £A — ~ - c* Ã i —^ — . ü primeiro resultado quer dizer que cada olemt J do fluido se move com

velocidade aproximadamente constante. 0 tempo próprio desse

elemento do fluido é dado por £"= t V**v* ~ Wj-(*/t)* =: )/t*- x* .

Então o segundo resultado mostra que nessa aproximação n

temperatura só depende do tempo próprio do oi emento do fluido

considerado, e não de x e t independentemente;. C* natural supor

que o movimento transversal do fluido, que certamente deve

existir, não modifique consideravelmente o seu movimento

longitudinal. Portanto será natural eliminar a velocidade

longitudinal do fluido passando-se para um sistema de coorde,

nadas curvilíneas definido pela seguinte transformação, de

acordo com o procedimento de Nilekbin ':

X° B Z

* f F I ^

X

1

= * „ - ty>"

J

Vt

(2.5)

x* s r =

fff

onde r o f são as coordenadas polaro3 no plano y,z introdiJ

zidas devido à suposta simetria axial em torno do eixo x.

Portanto considerando-se o raciocínio acima, de que o movi,

mento longitudinal 6 muito mais importante que o transversal o de que este último.não influi muito sobro o primeiro, tem-se

«* B *0 • Mais tarde toma-se <**'<, para so obter as oquaçSes de

movimento transversal. Nesse caso (**"*o)» a soluçSo se torna

x, tendo-se um cilindro infinito em expansão.

Invertendo-38 as oquaçõos acima, tem-se:

'í° = t - t ccfo^

* r X - 2T * « M I | < )

= 3

- 3

*

5

J

= r c^nv/ = r *w»Y

0 t e n s o r m é t r i c o no noun o i s t e m a c díiric por:

, c-< )X^ ~)X

f>

-w*' n

h

)*" í'

(2.6) (2.7) obtendo-se: portanto: e da definição: ( 2 . 3 )

3

s

<to(g^) = -*

2

r'cu y - â ' ^

r

(2.9)

«'"r

-L 2 1

3

? >&..

t e m - s e :

{f-irf.'Wrf.i-.f.fr

Y

-o po4(\ ^y*»

( 2 . 1 0 ) ( 2 . 1 1 )

A quadrivelocídade no nuwo siatoma e ríí>da por:

-Ox* -

_{/ +\ <f'*t>}

( 2 . 1 2 )

l o g o , com ( 2 . 3 ) e ( 2 . 6 ) t e m - s e :

t f = {ctt.ü«&(•<•*)t ~ c ^ t W»W~0#Ht*\ri% 0 J (2.13)

AAp-(- cok^ &&{<-<*)t Z w>Kç WiC**--*,), Wi^Ef o) (2.14)

Cm coordenadas c u r v i l í n e a s , u equação r,a h i i l r o d i n â m i c a

se e s c r e v e :

T

K

=0

( 2 . 1 5 )

onde "T»,> é o t e n s o r de e n e r g i a e momento, v e j a apêndice B. D e s e j a - o e a g o r a , e s c r e v e r a equação acima mais e x p l i c i t t a m e n t e . Usando a d e f i n i ç ã o ( A l ) de d e r i v a d a c o v a r i a n t e , ( 2 . 1 5 ) f i c a : ( A O (A?) <F> T

A ' { / « U * - U l U ^ O (2.16)

1£% JLIfcQQv -f

É

) T

_{É «O} ( 2 . 1 7 )

l i T t -L ^ 3 Í T/ - 1 2ÍJC£ T

T Í

=o

( 2 X B ) ( 2 ; l 9 )

Substituindo-se o tensor de momento e energia (03) mais (09) na equação acima, com a equação de estado (010) e efetuando-se as derivadas, obtóm-se:

Üíi lít. 'W?*')

+

ÍIÍlV

/T

^ *

,* 2L _ üí

,*V 2*2.

- L

**

21

0 / 1 Ox" J O > x * -* * 0 *

w _

=.0 (2.20)

Vamos roescrever a equação aeimu em termos de Y defi^

nido por (Cll), ou seja, *f - ím. —— . Para isso raultiplica-se a ;3o (2.20) por — 2 — — , depois usa-se a propriedade (A4) equaç;

U<£ P

para Q " no último termo, e o resultado (C17). IV.; í segue que:

Para resolver r?ste sir.tcm.j, nonvém pô-lo r.oli uma forma

tal que —— apareça isolado em cada uma das equações. Para

isso, projeta-se inicialmente as equações (2.21) segundo as

direções de u . Essa projeção da equação (2.21) segundo u é obtida multiplicando-a por tta u , então desenvolvendo-se os

seus termos e usando-se (2.4) e o resultado (Ali) tem-se:

)x*

( 2 . 2 2 )

J«<?

M u l t i p l i c a n d o - s e e s t a u l t i m a equação por " ' ~w t e m - s e :

! l Ã

l

^ i i t ( H c ^

22

Ox

-^ -^ « ' U o .(,.23,

/=J ? * '

S u b t r a i n d o a g o r a ingmbro a membro a s e q u a ç õ e s ( 2 . 2 l ) e ( 2 . 2 3 ) o b t é m - s e f i n a i m u n t e : ( 2 . 2 4 ) - 1 2 ,

Este ó portanto o sistema hidrodinâruico escrito em termo.- •' ~ derivadas ySAyh , constituído por quatro equaçSes a quatro onçues incógnitas que seriam a temperature T ou

equivalentemente ^ , e as três componentes da velocidade do

elemento do fluido AJL , u e U ou equivalentemente oc , ^ e ip ( veja (2.1) ). Pias na equaçiío acima aparece t..jmbi'm Ai quo n~o

6 uma função independente pois se relaciona cem iC através da propriedade (2.4), ou suja, u U„ = -i . Deseja-se então,

r

eliminar do sistema acima as derivadas de u° e tumbém de U

reescrevendo-as em termos de u" e u^ respectivamente. Isto pode ser feito facilmente substituindo os resultados (A13) e

(A14) desenvolvidos no apêndice, em (2.24), Daí resulta:

Considerando-se as funções incógnitas *f e u* como as componentes de um "uetor" fM definido como:

( ' (2.26)

pode-se reescrever (2.25) na forma:

onde 03 coeficientes £ ^ e (SL s5o obtidos por simples

comparação com (2,25), Portanto:

<i = t K V"»< • 1»."'

u

<*?"•"^)

(2

-

28)

£ claro que este sistema é equivalente a (2.24) ou

(2.25). Substituinrio-se agora as componentes da quaririveloci^

dade, dadas por (2.13) ou (2.14), cm qualquer U'ti destes

sistemas e efetuando-se os cálculos, obtém-se explicitamente

as equações hidroríinâmicas escritas a seguir:

•14-- I^^^Ut^Vs^^^^u,^.^)"^ (2.30)

Or 22 r -2 55

\ ' 'nc

~ = 0 (2.32)

Dificilmente esto sistema poderá sar resolvido analiti_

camente. Agora colocando-se «K = *<o » como discutido anterior,

mente, as equações acima tomam a forma:

2 ^ = -^u^K1^ - ^ A^^OftK^ ^O-cD^klcoJ^H +(^\f J- 4^J)2i (2.33)

21 z O (2.34)

2 2 - 0 (2.36)

Csto sistema, como pode ser visto, 6 bum mais simples que o anterior e constitui-se de duas equações a duas funções

incógnitas "J e *$ nas variáveis "2? e r . £ este o sistema de equaçSes que se vai estudar aqui.

Tendo-se um vista a futura necessidade tie se resolver

este sistema numericamente, surio interessante transformá-lo

num sistema equivalente tal, de modo que caria equação desse

novo sistema seja uma equação diferencial contendo derivadas

parciais de uma função incógnita somente.

•16-« CAPITULO III *

Transformação do Sistema Hidrodinâmico

Deseja-se transformar o sistuna hidrodinâmico do modo a

deixá-lo sob forma mais simples de 3er resolvido nunerica_

mente, Para isso procede-se como segue. Primeiro escreve-se:

y--y^r

n

(3.i)

onde yu é* a contribuição da expansão longitudinal que nesse

cálculo será aproximada pela solução unidimensional calculada

no apêndice (C17) que, usando (2.5), pode ser escrita como:

y , ^ ^ - 4

!

4 (3.2)

Agor.j, no lugar i!as Funções independentes ]T e ^f ,

tem-se como fungoes incógnitas as quantidades independentes ¥±

e "£ . jubstituinrio-so (3.1) n (3.2) nos ijqua;oos (7.33) e

(7.35) obtém-se:

^ - («-tf)^í«»»* ^ -(>«*>-<;e«kj)(w*k)• <i««^)^ --- | * J Í | -*-W$<<*) ( 3 . 3 )

2ÍS(^-<i,>U>)t)(^

t

^^k))2Í • ( n J ) M ^ 2 I s fi^wi^SlWÍf (3,4)

or 'C *• u r

Multiplicando, ( 3 . 3 ) por (ctfk^ + C* M*vK]f) e ( 3 . 4 ) por (/yuvkt + C . w ^ ^ J G somando membro a membro, r e s u l t a :

(«*J»*iaj)f21£t^l|t(«U^ (3.5)

-Analogamente, m u l t i p l i c a n d o ( 3 . 3 ) por ( &nk^ - C0AW\K^ J e

( 3 . 4 ) por í A*wl>^ - t0 £cr>V£ J e socando membro a netnuro, r e s u l t a :

(«

AV

<;^)g-<;|)

t

Hj-^)^-

t

.2LJ,<.Wj(-|- i.) (3.6)

Introiiuzindu-se no luijar il.is run;5es iniW;pendente3 ^ G £ as funções Y e <p d e f i n i d a s por: ( 3 . 7 ) ou inversamente:

<f>

= X L

- < ; 5

y

x

- . 1 1 1 - ^

T | ( 3 . 9 )

pode-se escrever as equações (3.5) e (3.6) após algumas simpli

ficaçoes, como:

21 • J Ü Í L 21

te i ^ v i

or

1È. ***-*> 2Í.

. «U

i i V i \ 8 rj J -Q,vrA \ 5 ri ( 3 . 9 ) onde

vi - W - ^{-tÈ.)

( 3 . 1 0 ) Este ê p o r t a n t o o sistema hidrodinâmico a ser r e s o ^ v i d o . Pias para i s s o , necau3itam-3o ainda an condições de contorno para as funções ^ e á .

* CAPITULO IV *

Características, Ftelaq5e3 Pi renunciais e Condições *jg Contorno

No apêndice D determinou-so a equação característica do

sistema hidrodinâmico original (2.27) obtendo-se:

onde

2 ( * " ) = 0 (4.2)

define a superfície característica, ü significado físico tie

superfície característica é que ela é a superfície sobre a qual se propaga uma perturbúçLi produzida num ponto qualquer

do fluido.

Agon, na suposição feita posteriormente, de simetria

axial, e na aproximação «-«* , a superfície característica independe de r* - «9 e de V » V , isto é, só depende de z* = i e de x^sf i e portanto:

21 - 2* = o

e.,,

1X% li*

e além disso, (4.2) fica:

Z (*•*') = 2 ( * . 0 = 0 (4.4)

que é urna equaçuo implícita do ondu ae obtém:

•J 'VWtr't t - ; -. >ó . " . fx-t t » ll'Slva « • C i O I * I t £',. : • ' •. % - • L - . ' . 1 ( T C « - S . ' « . . (*•»•<*»>< u, • - . v..s rtwaus

dr

dr

^ * °

Z

/,x-( 4 . 5 )

^J/x )Z/**

S u b s t i t u i n d o - s e a q u a d r i v e l u c i t i o d e u* dada por ( 2 . 1 3 )

con •<«% , a m é t r i c a A^** dada por ( 2 . 1 1 ) e ( 4 . 3 ) em ( 4 . 1 ) , t e m - s e :

$(«s->3/'fèí-(âr-

O ( 4 . 6 )

Dividindo e s s a o>;ua>;"o r ^ r ( O X / ) * * ) c usvin Jo ( 4 . 5 ) ,

obtem-se:

i (-•*< * ***f * in"

= 0 (4.7)

Ü desenvolvendo, dá:

(4.8)

Esta 6 uma equação do segundo grau em df/jg que tem as seguintes raízes:

l

4|S -r— - — —— —

ou

A - dr Vi -Co

que define uma família C, do carai;l.«.»r ir. tic.jrj.

que defino uma família C7

de características.

(4.9)

(4.10)

^i i^i) dá vis trajetóriaj sobre as quais as pertur, baçces caminham para fora (dentro) em relação ao elemento do

fluido.

simetria axial é dado por (3.9) que é da forma (Fl), fazendo por exemplo:

D

logo Üu=bii = aí, =bji = o (4.11) ou 2) X=Z logo < all*bn=«uibíi= O (4.12)

Cm ambos os casos a equação das características (F6) leva às

mesmas famílias de características dadas por (4.3) e (4.10)

como, naturalmente, era de sn esperar. A seguir determinam-se

as relações diferenciais.

No casa l ) , substituindo (4.11) e-n (F7) dá:

< (4.13)

e portanto a relação diferencial dada por (F13) dá:

(4.14)

-21-Conclui-se então, que sobre as curvas características da família C,, definidas por "Xa^i em (4.9), a relaç3o diferencial acima da:

(4.15)

S i m p l i f i c a n d o essa equação, c o n c l u i - s e que:

sobro aü c a r a c t e r í s t i c a s ila f a m í l i a Z. : — = J - L i ,

1 d£ üc.v/a v a l e : No cago 2 ) . s u b s t i t u i n d o ( 4 . 1 2 ) em (T7) da:

A=

Vk»c. , BS- J , ( = o (4.16) (4.17)

a portanto a relação diferencial dada por (F13) dá:

( * * . » W . «2*. Í2-(L£.I\d»tÍ£-(.S-i\dr.o (4.18)

Conclui-so então, que sobre as curvas características da família C2» definidas por >s>j nm (4.10), o relaçSo diferencial acima dá:

( s s . . £ t W - 2 ± i s . ( . s . i \ * , i i t a . n ± i a

e

. « (4.19)

S i m p l i f i c a n d o essa equação, c o n c l u i - s e que:

-sobre as c a r a c t e r í s t i c a s da família C,: -— - _i—1 ,

(4.20)

J-C0vj \ Z rj

Resumindo, conclu\-sc de (4.16) e (4.2ü) que o sistema hirirodinâmico dado por (3.9) 6 equivalente ao sistema abaixo:

rir / . ,» sobre as caracterís . , A

"liQViVs r ) ticas Ia família C, : <*d i4f*^

/ (4.21) -*,, / _ . \ sobra ar, j ^ r a c t ü r i £ • ^ . r

J - c A c r / t i cas ria família C?: d e í " ^1

Ests sistema agora está na f'jnna adequada à sua resolujão numérica que será explicada no capítulo VII.

As cont!i;oe3 de contorno s3o determinadas sobre as

seguintes superfícies:

l) Superfície do separação entre a região de movimento trans

versai o a região du vúcuo:

0 fluido, na3 proximidades desta superfície possui vel£

cidade transversal igual â velocidade da luz, ou em

termos da rapidez, ^fsoo • Além disso a temperatura é

nula nossa região, ou equivalentemente y=-oo . E usando

(3.1), tum-se ^=-oo .

Das equações r!as características em (4.21) o! tém-se:

no liwitu |soo , 4 ^ = 1 <*=> r a c f t + S (4.72)

de

e como, para £*o tem-se X- R , então:

(4.23)

-2) Superfície cie separação entre a região de movimento trans^

versai a a região de movimento unirlimonsional:

0 fluido, nus proximidades desta superfície possui velo,

cidade transversal nula, ou equivalentemente, £ = o •

Além disso, sobre esta superfície vole a solução unic'i^

ensional (C17), ou oeja, ^f = -ç,'&%z. . E usando (3.1),

4

m

tem-se f = O •

Das equações das características em (4.21) obtém-se:

no limito S = 0 , - - ! r„ **> r=efelc.5 (4.24)

e como, p a r a t-O tent-se f - K. , e n t ã o :

f s R - c . C ( t < ^ / c , ) s o b r e a q u a l ( 4 . 2 5 )

0 sinal a ser escolhido em (4.24) evidentemente é o

negativo pois a região de movimento transversal 3e

origina na superfície om contato com o vácuo onde 6

gerada uma superfície de descontinuidade que caminha

con velocidade do som em direção ao eixo longitudinal

(vcji figura l) • Esta superfície depois se reflete

nesse eixo dando origem à região de movimento tran£

versai não trivial.

* 12)

No trabalho de Yotsuyanagi ' o sinal que ele escolheu foi

o sinal "positivo", o quo evidentemente não estn correto

pelo raciocínio exposto acima. Além disso, a região de movi,

men to puramente unidimensional apareceria atrás de uma supe£

fície e descontinuidade o cresceria indefinidamente quando

t crases.

-24-A figura 2 mostra as superfícies acima mencionadas

assim como as diferentes regiões do fluido.

Falta mencionar ainda a condição de contorno sobre o

eixo (f=o) para £ > R/c. . Sabe-se que sobre esse eixo J = 0 por

razõa3 riu simetria. Porém, j x n3o ó conhecido sobre o eixo

para £ > R/c0 . Portanto, aparentemente, falta uma coniição de

contorno. Essa questão será discutida no capítulo VI.

-25-• CAPITULO V *

Aproximai; 3o (II trorola ti v ísticn

No limite ultrarelativistico em que J-»oo , as equações hidrodinSmicas (3.9) ficam: }fc X " J i c, l £ ri

'A = JL-(-5L - 1 \

li

f

2Í

02 X (5.1) (5.2)

Estas equações estão agora tlesocopladas 5m "f e <f) , sendo

possível a sua integração analítica, e sujeitas às condições de contorno (4.25) quo em termos de ^ e é , usando (3.7), ficara:

>f/ = ^ = Q /vo*v\< r=í£-Ç>5 (5.3)

A rigor as equações (5.1) e (5.2) sendo ultrarelativís, ticas, n3o são válidas sobro a característica rrft-c,5 onde^JfsO de modo que a imposição de (5.3) como condição de contorno às equações ultrarelativístic^s não ostu correto. Mo entanto, a solução que será cbtida e uma boa aproximação à condição de contorno (4.23). Como se vê abaixo, o erro quo se cometo na

região ultrarelativística (perto do fs R+1» ) 6 pequeno.

As equações acima podem ser facilmente resolvidas por

r

serem linearos o desacoplaclas em y e i[> . Consirlr>re-3e prime^

rnmento a oquação (5.1). Csta 6 uma nqua<,ãu de Lagrange c sua

resolução se reduz à resolução de um sistema, chamado sistema

-26-auxiliar de Lagrange, que no caso da pqua<;~o (5.1) é o seguinte:

àz

_

dr

à*

1 + Ç \ C r /

Agora consir!eranrlo-í.;o os mui tipl i cadoros:

( 5 . 4 ) ( 5 . 5 ) ti»m-r>o, de ( 5 . 4 ) : <r>

(jL ±.\d* J.jL.L\úr • (-J)d*«

V J * C0 S J \ 14<\, ." / i » r . \ G <~ I ( 5 . 6 ) ( 5 . 7 ) e integrando da: $L-ÍC,2*>.- Lc} - t-\% - o _{( 5 . 0 )} nu ( 5 . 9 ) onde *Ç0 u uma c o n s t a n t e a r b i t r a r i a .

Agora rie ( 5 . 4 ) também obtsrn-se:

d C - c í r ^ 2 » f + U onde? Q. á uma c o n s t a n t s a r b i t r á r i a , (5,10)

p o r t a n t o , o contorno f * R * f , í se oscrev/c:

f 4-(;(f*ft) ^ r « J L Í L sobre a q u a l , por ( 5 . 3 ) : "r * O ( 5 . 1 l )

-S u b s t i t u i n d o (5.10) e (O.Ll) GÍU (5.9) obtém-se i*0 : f , í \ ( t f . / % - - VU\ < H R-c0a

"7777

(5.1?) Agora, de (5.10):

a -

z-v

(5.1'J)

Fvesubstituindo \ dado por (5.17) COTI (5.13) em (5.9) obtém-se f i n a l m e n t e :

•H* >-£-*.

_{R t f.-r} S * «"Ce

i t ca

(5.14)

Considerando-se agora a equação ( 5 . 2 ) , nn tão o r>ist(3ma a u x i l i a r de Lugrange correspondente é: i

dtf

Considerando-se os multiplicadores: (5.15) <c I Cl C J-C„' S ' i - c . í ' (5.16) então de (5.15) tem-se: «•»

(_£>_.£l\ds • ( -iL l ] d r 4 (J)<ty =o (5,17)

e i n t e g r a n d o , da:

-iiL

í

<

0

L Z

•- £. r \ i 0 - ^

e

^ o

_(5.19) 2 8

-e isolando <p t-em-s-e:

* « * .

-i-c0 r

(5.19)

on do 0 6 urna constante a r b i t r á r i a .

Agora de (5.15) também sugue que:

<ls - dr =s> Í=r+(X onde O. é una constant-? a r b i t r ú r i ^ , (5.20)

portanto, o contorno r = R - f . £ so nr.cruve:

R-Ç,OL f s R - í i ^ i a ) => r-—-— s o b r e a q u a l , p o r ( 5 . j ) : Çfr-O (5.2i) Substituindo (5.20) e (5.21) em (5.19), obtém-se f0 :

í # s

J L <» L«i£>_L

(5

.

22)

* - q , R-Cctt

TT7T

A g o r a , de ( 5 . 2 0 ) : Cl - c - r ( 5 . 2 3 )

Resubstituindo ^„ dado por (5.22) com (5.23) em (5.19) obtém-se finalmente:

K-t s-r

( • f o

( 5 . 2 4 )

Portanto, (5.14) e (5.24) s~o as soluçSes das equações

hidrodinâmicas, no caso ultrarolutívístico, sujeita3 às condi^

ções de contorno (5.3),

-29-» CAPITULO VI *

Apro.<inio';~o 'l~rj-.^i;lo t i v f •; 11 o i

Pur.i .1 i n t o y r u c ã u na tO'jiao Til da f i y u r a 2 , ó p r e c i s o c o n h e c o r "t" c ^ s o b r e o n i x o r*o,5 > y c# . 1'or ruzo»r: -i»? s i m e t r i a

t u m - s e y ~o nosoe e i x o , o -^ue dá a p e n a s "f*= ^ .

Mosto c a p í t u l o , mostra-:;:» como ">o c a l c u l a "V ( ou (f> , j á que "f* = flj ) cio lonijo du e i x o r = o> t >*Vf. , í^tu-^-in^o-so a s o l u ç ã o

n ~ o - r e l . t t Lu Cs L i c a .

fio l i m i t e n3o-rr:l;i t i v '•; \. Lcn ar. IJIJG T-*-0 » v . ' l í ' ! o na rcgLao r = o ( E > ^/c0) , a s cquu^ã-rj hir!roi!inSmicas ( 3 . 9 ) , ficam:

' T l0

-:>s

')f ( 6 . 1 ) C o r o o , ^ = o s o b r e a sewi-rt? La f *0#£ >tyc, t'?m-5s: (6.-3) 2 t o /voir* r = o Sr>R/r<> ( 6 , 4 ) e pur ( 3 . T ) : <

t - 0

11 = 2^

A*jbrr r*of £><?/i; _{( 6 . 5 )}

S u b t r a i n d o a equação (("».?) de ( 6 . 1 ) o us.jn-!o (r>.0)

t a m - s e :

-ir -ir , o » ( 6 . 6 )

Agora do ( 6 . 4 ) v o - s e -\u>2 ^ em ( 6 . 1 ) e ( 6 . ? ) nuo 'iepemJe de 3» n as v i z i n h a n ç a s de f - O £ > t f / < i » p o r t a n t o , e x p a n d i n d o J

em s é r i e de p o t ê n c i a s ÍIL; T e u:;.:niju ( 6 . 3 ) no pun t o fsO t ' j m - s e :

r r i o

( 6 . 7 ) p p o r ( 3 . ^ ) , u-Jon-lo ( 6 . 6 ) , f.>MO— I;«_•

1

r

_{t or}

*>0

r - o

1 21

<1 ">r _r^o ( 6 . 3 ) "toinamtu im.'inbru a mrnnbru *.:; ijquacou.'j ( ó . l )

U:;..IMIIIJ ( G . ' J ) , ( 6 . 6 ) a ( 6 . 0 ) n!)L''w-no:

(0.2)

2t

or

Ir

_ = ' 2 Q — = ^ C9 ^ |>«"fc r ^ O , £>*/r„ _(6.9)

Com esta relação, dados "f o 0 numa vizinhança de f ^ O porá £ fixo, é possível dutor-.ninar H e á nessa vizinhança ao longo do eixo t .

-31-* CAPITULO mi -31-*

Resolução Numérica e Alguns Resultados

Segundo as definições do apêndice F, o sistema hidrodi^

nâmico (3.9) com os condições de contorno (4.23) e (4.25) é um

problema de iUsmann, e a solução a principio fica comp]eta

mente determinada no "retângulo" infinito chamado de região II

na figura 2. Has devido ao Fato rias características da família C~ em (4.21) convergirem todas para o pontu C-ü^-o como mostra esquumaticamonte a meonia figura 2, fica impossível

resolver o sistema de relações diferenciais (4.21) pelo método

numérico usual, ou seja, via formulei-; (H.7) e (T19), n r'cterin^

iu5i,ão da solução nos punte:; !Ü íetjiun !T t,"nfi;n,H; o método

ilustrado na fijura T6. Uma nn---x ibi 1 i darie rii? contornar esse problema seria arredondar a ponta r-R,c = 0 como feito por Baytn

13)

et ai. ' de modo que teda curva característica da família C~

tenha seu ponto inicial sobre o segmenta £-0 . Porém outra

alternativa, seguida aqui, é usar a solução ultrarelativística

(5.14) e (5.24) sobre um segmento £*Co nas vizinhanças

riu r = R. , &iO como condição inicial. A seguir ilustra-se esque maticümente, na figura 7.1 a seqüência do cálculos efetuados

para determinar a solução das equações hiriroriinâmicas na

região II ria figura 2.

Divide-se u plano C, f numa rede qu.idrada de espaça monto H. Considere uma coluna Inss.i rgtle com Ss£0^»0 . 'JOG

pontos rio rede, desta coluna, situados entre os contornos

r»Rtt o P = f^-t^'5 , denotados por 1, ?, 3, e t c , c:onsidera-se

que a solução seja daria pela aproximação ultrarelativística

-32-( 5 . 1 4 ) o -32-( 5 . 2 4 ) , cüino d i s c u t i d o a c i m a . Por rsid:- un r!«>r.siís p o n t o s passa uma c a r a c t e r í s t i c a da f a s n í l i n r. a uma c a r a c t u r í s _

t i c a da f a m í l i a C~, que i n t e r c e p t a m a c o l u n a s-'-juLnte (2=fc.*-H) nos p o n t o s 1 1 , 2 1 , 3 1 , e t c . , v 1 ? , 2 2 , 3 2 , c t r : . , i - o s p o c t i v í i mente, como mostra R j ^ i e M í i t í u . n - i n ! . ' ; ri f i j u r . i " ' . l . ferido H s u F i c i o n t o m ?n to ptj-juono, p n ';i ; - s ' j con , L ! I T . r • "•• •!,« t r e c h o de uma

c a r a c t e r í s t i c a q u . - l q u o r , :. i. t-i-Vi: ;;n'. •••:• •:• i->_;' un..s £*£<, a C-tfc-»-H » com) :;eiv!"j l i f i ' j o r . .',.•.::. i m , o:., p n : : t . ' ; •'>; i i t o r s o - ; õ o

acima suo f a o i l n i . ' n !.o ''<_• to r u i .nodus a t . r - i v ' s '':*. f ú r n u l n s ( F 1 7 ) usando ( 4 . 9 ) e ( 4 . l f l ) . /Wjuru U"..THID ns r e l a ;ôVs <' í F . - r ^ n o i a i s ( 4 . 2 1 ) , do t'u-iT'.n.iu'-sii aVv-o/ós •' •••. Ft'r .m' .as ;f"l.'.)), o , \ / » l o r o r . »V t no:: ponto:; ! 1 , 2 1 , / i l , ' L < : . , e us v - l o : . •'»; ^ nss p o n t o s 1 2 , 2 2 , 3 2 , e t c . . ';«nrio R'f l ' , 2 ' , V , 4 » , o t - : . , ',-; pontos -'a

f i g u r a 7 . 1

rede s i t u a d o s na c o l u n a £•=£„• H > t a n t o "f coito ^ ' rlo t e r m i n a d o

nessey p o n t o s , por i n t o r p o l n\;~u. Por p x o m p j u : (í p o n t o 0 ' so s i t u a e n t r e o c o n t o r n o r = R - ^ £ , sobro o q o a l Y ' j f ' O , o o p o n t o 1 1 , s o b r o a a,ual :;o cunhuce "f ou o por>to 12 s o b r o o o,ual so conhece ^ . Daí p o r i n t o r p o l a e H o d u t e r m i n a m - s ü *f e 0 no

-p o n t o 0 ' . Analogamente, o -p o n t o 3* -por - x e n -p l n , r.e r . i t u a e n t r o os p o n t o s 21 e 3 1 , s o b r e or, q u a i s so conhece i* , e e n t r o o s p o n t o s 22 e 3 2 , s o b r e os q u a i s s.* conhrm» <p . |>aíf p o r interpp_

l a ç ã o , d e t e r m i n a m - s e "r* e ^ no ponto V . ?.á nos p o n t o s r*e r e : ' e s i t u a d o s muito proximo ao cuol.iimo f = t t t t ruir. ;u : i s n."To ó

p o s s í v e l d e t e r m i n a r "fr* ou (^ por i n ^ i - r p o l a ^ ã o , u~..!-T= n a t u r a l ^ mente a aproximação u l t r a n ? l a t . i \ / í s t i c a (rj . ! 4 ) «nj ' " » . ? 4 ^ . Josta

maneira de t e r ' a i n u - u e o rriilu-^o sid-rt- t.í dos uv n )iitn:; 'ri r»;«'e •iif.'idur, -;o!;r-' a c o l u n a Ç--í„iH . r» .log • : -.».?,->?. Í , ;IT"-: •:!•;-••,•_• p a r u c'-»t:>rminar o saTo-^íTo or-s a t l n - ; s o : u i nt-»s, p.i • •••o-'- --.o c o l r i r .;«-..-> Í.T. toda 5 rr:jL~o il limita-:.: -•!-;.:- r u n ' o r M i : , r = Ki£ ; r*R-ç,£

• ; a i-..:r.-,.:;t:.:n'-.U(.'.! :'i.

" a l t a , n a t u r a l m e n t e , d-.terminer a " o l n / r . n. n-(ji"o TI f

• ia f i g u r a 2 ou f i g u r a 7 . 1 . ".: r.-T-r.•••••n rronheci.~!nr. r>r y . l o r e s de Y o <^ s o í i - - a •••• :ii-re!.-> r - 0/2 > ^ / C , " s •'• -ndn '•,<>•• cr.'...

s o n i - r e t a n~o '• una l i n h í i c r acti.-r i s t i c u , e n t ã o a r>:L>G!u;~o fio s i s t e m a h i d r o d i n r . m i c o ( 3 . ° ) com os-sas condiroer. d--? c o n t o r n o c o n s t i t u i r i a um problema fie Cauchy segundo o a p ê n d i c e F . A s o l u ç ã o , a p r i n c í p i o , f i c a r i a oompletamooto d e t e r m i n a d a na r e g i ã o a n g u l a r chamada do regi.To ITT na f i g u r a ? ou F i g u r a 7 . 1 . Porém, a ú n i c a c o n d i ç ã o i n i c i a l m e n t e c o n h e c i d a n o b r e a s e n i - r o t a f-0f Z>fyc„ ó que "f = jj por (''•.ri), que 6 a c o n d i ç ã o

e q u i v a l e n t e ('arla por ( u . 3 ) , ou s e j a , J = 0 s o b r e a s s o l i n h a . A o u t r a r e l a ç ã o que s e r á usada c a s o l u ç ã o n ã o - r . ? l a t i v í s t i c a que s a t i s f a z a <: ;u :ção (õ.'-')« •> f i g u r a 7 .7 i l u s t r a e s q u e m a t i

rumen tu o p r o c •••' i rn ;n l.o OUMO;Í :<\ ' . o g j i - ' o . ajpo-'-'.f fjur» o p r n c e dímanto a n t e r i o r tenha s i d o e f e t u a d o a f é a o.Tuna "C«£/C0 •

P o r t a n t o a s o l u ç ã o ó c o n h u c i d a nor. p o n t o s d • r-j 'e s i t u a d o s s o b r e a c o l u n a fcsfyt» » d e n o t a d o s 1 , ? , 3 , e t c . na f i g u r a 7 . 2 . Daí d e t e r m i n a m - s e ^ o ^ no ponto 1 ' (onde "f=0 ) s i t u a d o s o b r e

-a s o i n i - r e t -a f = 0 ; S > R / < i t'-a c - l - i n n u e - j u -a i t r ; c vn C = R / c * H . ficr-a (iüteriJiina';~o '' foi t a inontanrta-r.c!, ;J p ; t v t i r <!a ' ' " ; u n ; ã o ''iff?

I ' u n c i a l n ã o - r n l a t i v í s t . i c a ('".T;» u ua uriua^ão '•••? rii F o r o n ç a n p a r a oo pan tor. 1 , 2 , c 1 ' . IHa v a z r . o n h u c i r!ar; a-.; c a m ' i ^ a s lie

c o n t o r n o "m 1 ' , t\>;i.r.r .ni.na-".a .< ' j u i i i ^ ã n nn.-. ; i i ' i t u r , <l;> r a t ' a

rr.^tL-.nt:J3 !or;ta c o l u n a , '.'.' , : j ' , i . ' t c , 'j^ijiuv'a o urrvr.o " I ' t c H o

r !'..'.'•. r. r i tn a n i a r i.; ;;.;i vi i. •• •.• i 1': • t! a . ' a .i'1.-. f>" ; i r > 7 . 1 . 'nil.on._i_

-.1--I-» t-,.-;, p - i : : - a . _{p r a • i'} r:.-;T i ; _"J ii i • i r I. n • • • ( _ >;

n n a - n / n t a a r " ' , i a n i i <> a 1 o 2 > R/c,

«; i -iu J t

F i g u r a 7 . 2

T a n t o a rj (••qua^fàV:-, iiiclrnrh'n*r;i i.i:;ts ( 3 . ^ ) , r:oMn a-. c n n d j ^ ycicr. rio c o n t o r n o ^ 1 . 2 1 5 ) , ( ' ; . 7 : ' i )f o (r >. T ; , .'"ão i n ' '•"• p .?n-.-?í: ri t<;r, fia

m a s c o í'l, p o r t a n t o a s o l u ç ã o f P $ n;i t u ' ! ' i r •-"•«; i.~n rio mov.; ,nr?ntn

t r a n r > v o r r . a l i' í n r l - ^ p c n d n n ' . n i'.: :.i;iÜ :;.: f, n r'.-p.-n -'c -.o'nnn In <\n

r a i . n ' { . /\ r l c p o m l i V i c i a «tin q r a n ' a . M r ; n h s o : v á v ; ir; r;rv» .-. m.r-.-n r,ú

a p a r e ç o q u a n d o 3 „> l e v o am r..onta a p a r t n l o n r j i. t u -! i n a ] {Z.7).

-Qs p a r â m e t r o s R e / foram f i x a d o s cm

r

r

M

( 7 . 1 )

onric

vv = t' o Jo,|orv di Cu^Ucup. ck 2CA*M1^ ( 7 . 2 )

F ê z - s e c á l c u l o s p a r a duas massas t í p i c a s , ro,= 3Cr Gev e

n=10CU Gev, e em tO(Jos e l e s t o m o u - s e :

<*« -'

vr

( 7 . 3 )

A f i g u r a 3 mostra a d i s t r i b u i ç ã o r a t l i a l r!e TA , d e f i n i d a

em ( 3 . 3 ) , p a r a d i f e r e n t e s i n s t a n t e s da tempo. l/G-se gun a r e g i ã o do f l u i d o próxima ao vácuo se expande r a p i d a m e n t e . A r e g i ã o de movimento t r i d i m e n s i o n a l d i m i n u i corn o tempo a t o d e s a p a r e c e r em "C = ítyc, , e a p a r t i r d a í a " t e m p e r a t u r a tranis v e r s a i " Tx d e c r c n c c na r c g i 3 o c e n t r a l formando uma riopressSo

n e s s a r e g i ã o a n a l o g a m e n t e ao c a s o puramente uni d i m e n s i o n a l . Porém, no c a s o p r e s e n t e , a r e g i 3 o mais i m p o r t a n t e é a r e g i ã o " t r i v i a l " ( r e g i ã o I I do f i g u r a 2) ao c o n t r á r i o do que a c o n t e c e no c a s o du expanseo unírlinionsiniial pur.i om que a n.Tjião mais

i m p o r t a n t e ó j u s tamunto a r e g i ã o " n * í u - t r i v i a l " .

A firjura 4 mr.jit.ra a i.;i r:':.r Líiiji';no r f'i ai ''o ^S . VR-SO

nuvcTiinnti! cjue a r u f i ã o rio fluiria próxima on vi'cin :;n .-"/prinde r a p i i1am.;nt(,-, havendo om ru?'jui'!.» uma r á p i d a Mir.acol. r rriçrío para

f ^ í l seguiria por pequena ac?>1 n t a ç u n que mu ria. rio s i n a l p a r a

-valores maiores üu ^ •

As f i g u r a s 5 e S mostram as mesmas riistrituiçÕ33 a c i m a , porem corno funyõeà de £ p a r u d i v e r s o s v a l o r e s de r . Na

f i g u r a 5 v ê - c e quo TA ( f i o ) permanece c o n s t a n t e a t e o i n s t a n t e

R/c0 após o q u a l decreicK! r a p i ' ' a - m n t e . .', f i g u r a ri, melhor que

a f i e j u r a 4 , mostra a r ' p i d . : ' ' • « ' - . a r ^ l - r a i j " " •'•• j f para f £, 9-segu.Lda por u UM pvqu^na i i ^ I ' i v , * ) <)'.orc>:ud i i : ;maV) cio i n f l r , x 3 o p:.ra c o r t o v a l o r tfn fc v p n i n i;u*' T£ w » n T O . Conpj^ r j f i t i o a f i j u v a ó ò f i g u r a 7 \»r>-r.f; -; n? rr-.-.-T. j i o n t o - -'e Ln^iTxtía

o c o r r e u no l o n j o »Ia l i n h ^ .\ >,i i • ^ • o i i n i. !.i' >:i'-r,, ,3., r-í j " . f5 • * •;

L r i •' í n \ >? iiTo- I r L v i n 1 .

Todas r?í'i.3b f i g u r - s -nnr. Iram ap_»nas n c n ' V0 r l ;*i'?n to

I r inr>v" r:;.\l '!o f l u i d o , i n '.: r. i. •• 11 "'jn '.. •• '.i s a ; Í J , '; r;>vjijir, l e v a n d o o"n c o n t a tambén a ^ - iJ-üisÜn l o n g i t u d i n a l a t r a v . ' s de

( 3 . ? ) , o b t r ' n - s e a d i s t r i t o L 3~n c-' ! i . )1 dc T / T0 p >ro •'.'i / .T'yj:;

i n s t a n t e s do tempo c a l c u l a d a com Pl=30li Gev o 'TrlfinO I ' J V . AS f i g u r a s 7 p 1 mostram ossan tli.n I r i b i j ' . - c e s r - j s p ^ c t l v a - n o r t t o . Vo-so p o r C : ; : ; J 3 f i g u r a s qu.:? o e s f r i a m e n t o devido a oxpono5o

l o n g i t u d i n a l r pr^dominan to o que o I n c r e s c e coin a n;issa. Essas f i g u r a s são semelhante-; as f i g u r a s a p r e s e n t a d a s na refe_ r ê n c i a 1 3 ) , para o b j e t o s do tamanho:; n c o n d i y o ' j i n i c i a i s d i f e r e n t e s .

As f i g u r a s 9 3 10 mostram algumas i s o t e n r r t s no p i a n o f , r p a r a os d o i s v a l o r u s f'n n r.onoiderddu'.; n c i ' i o , As c u r v a s

p o n t i l h a d a s o i n d i c a d a s por ^f, sao a q u e l a s juo correspondem â t e m p e r a t u r a do d i s s o c i a r ã o , quo f o i tomaria i g u ' i l * " ^ ' ^ V • A t e m p e r a t u r a i n i c i a l T0 f o i r.alcu.T ad.i por (C?'J) com *<'=3.3

como medido o x p e r i m e n t a i i n e n t o í N o t a - s e também que ossas i s o t e n n a s s o f r e m uma depressão na r e g i ã o c o n t r o l e comparando essas f i g u r a s à f i g u r a 2 o b s e r v a - s e que os p o n t o s de ^ i r s O

-o s t ~ -o s i t u a d -o s j u r , t;vntJiit-o J U I J ~ C r< l i n ' . i i f. ;;u • .•;) : o a r o g i S o t r i v i u l '!u I I U O - t r i v i a l . T : ' i ' - . •' v ;.•;'<./•: 1 11 • . , f i j u . - . i r . 'i i m p o r t â n c i a fU\ r o : j i ~ o I r i v l - i l r;o!u'';: a -i~c:- i. r i .w i.:] .

.'Ja r i j u . o 11 i « t " u r ^ j j i v . MI "..vi;:-, . . i l ' j u i. ; r ^ j r u u i i'« r a p i ' l u z t r a n s v o r i í n l c o n : ; ?. JM ' •;. ".ovi i'ir n _{' »} <; i • • ! . . ; i > .1» -j'j^.i.

P i g u r u ü f i r j u r - i 2 nu L a - 3 e q u '1 - - . ^ :•; C U ^ J - J . ,

Tün t o o w ' l c u l o i'a -; L , t r':! u i ,*i'i -'•-• r . - p ; \

J .;o'i'j l<ant>?

coma i:, - L j L ^ i b ' . J i f j i i i j i n ; ! u'.-L v-: .t; . M < I I M ' , W u — - ' M/'J ^ I ? .

37

f o L L u ••.uu.e 'i Tii •;ji.,i.'ijU;jt:r T i c : D U j q u Í V . J ! L ' Í I L'.-II.M Li: X - ^ J J »

•? Pi n i ' i p , r T = TJ

-* CAPÍTULO VIII -*

Distribuição da Rapidez Transversal do Fluido

Segundo o modelo hidrodinSmico original, o sistema ini^ cialmente à temperatura T e longitudinalmente achatado, se expande até que cada uma de suas partes atinja uma certa tempts ratura crítica chamada têmporatura de dissociação T_,vx T . A

d

o

partir daí as partículas finais aparecem como objetos indepen^ dentes não interagentes. Agora, segundo modelos atuais o sis_ temu acima seria constituída de um plasma riu quarks e gluons em expansão. Cm certe momento, quando a temperatura atingisse a temperatura crítica, ocorreria uma transição de fase. das em qualquer caso, tanto a distribuição dtJ rapidez transversal como a distribuição inclusiva de momento* do fluido hadrônico, deve ser calculada sobre a hipersuperfície definida por T=T.»

» d

ou equivalentemente ~f - fj . Essa hipersuperfície será chamada

de hipersuperfície de dissociação.

Sendo d(£, o elemento de hipersuperfície, tero-se:

ii

« H ~- >v> <*' -<7< (3.1)

onde ii é a densidade de número de partículas dada por (C18),

Deve-se xembrar ainda que no case da expansão do uai plasma de quarks e gluons, defronta-se com um problema a mais que é a questão do que ocorre corn o sistema na transição de fase durante a qual ainda poderia haver expansão. Não é do nosso conhecimento quo essa questão tonho sido abordada ainda.

-39-( C 2 0 ) , e -39-( C 2 2 ) , s u p o n d o a p r o d u ç ã o s ó tie p i o n 3 . P o r t a n t o :

^:rl

(a.2)

com

'--^ - •: : — — (3.3)

Logo, sendo T.= .».(. , (9-2) com (3.3) fica:

"\H - - / (8.4)

• • " • ' - . i "

A q u j d r i v e l o c i d a d e t«^* riada >>m ( 2 . 1 3 ) , na apro>tir>:i,*ü •- r . ,

d á :

KK* - (iciV, ^ 0 > n - i U I v ) ( 8 . 5 )

0 elemento da hipersuperfície J»n, sm termos rias coordenadas Curvilxneas foi calculado no apêndice G e e dado por (G15), a saber:

ci% = (•* iK«l«f (<Ji, <•, .*.', «•) (8.6)

Agora como as equações hidrodinâmicos (3,9) e suas condições

do contorno (4.23), (4.25), e (6.9) independem de '-,. e ^» , a

hipersuperfície de dissociação será paralela aos eixos -\0 e <f

e intercepta o plano C, f cw uma curva como mo3tram as figuras

9 e 10. Portanto as funções íf u f sobre a hipersuparfície de

dissociação podem ser pararoetrizadas em termos de l e r :

i iu, <)

f

/' n - ' ) /,; (9.7)

~4U-l o g o :

it t" - a >( ,

u resolvendo esse sistema para 'u e . I . , tem-se:

(3.8) . . >J i -r 1 < .1 one!*;

V

:;

<-• o Jacubiono r!a transformação ( X » V* )-*( ^ » ' )

0.9)

Substituindo os resultados (3,'J) O (3.9) em (9.1) e integrando

em <-p , t e m - s e :

rJ

'U.r ••/) 4 K )i i

\ _(3.10)

K'.

;

-)

Devido o aproximação *\' *•<<, , a distribuição acirr.a á indeperi

dento de •* , o quo dá - «.v-v . e n t r e t a n t o , a equação (fcl2!3) do

apêndice mostra que a distribuição em x é aproximadamente uma

Gaussiana. Para levar em conta então também o dependência em -\ p o d e r i a - s e , em primeira a p r o x i m a ç ã o , introduzir essa função Gaussiana no mumbro direito do (3.10) simplesmente como um

f a t o r . Isto é, em primeira a p r o x i m a ç ã o , a distribuição de

partículas 6 separávol «m '•• e J . Integrando então em ^ , 38

obtém a distribuição de rapidez transversal:

-que deva sor calculada sobre a curva ./' " '^ do plano J , . A figura 12 mostra a distribuição de rapidez trans^

versai acima, calculada para duns massas, a saber, '•1=300 GRV e

Pl=10üü Gev, normalizada stjguntki (C27). Mota-so quu o pico da

distribuição cresce e se dosloca para a direita com o aumento

da massa, como esporado intuitivamente.

Doseja-stí agora comparai u resultado ob*-i'in aqui corn

jlguDS trabalhos antiirioro;. Ia ro Tnrôncia 11), 'ilckhir» foz

uma es tina ti va da rapiduz transversal méili;i. Ha nosso caso, usando a definição da média do UNIU fun;ão:

• V''

/ — (B.12)

;•• "

calculada sobre a hipersuperfície de dissociação, obtêvo-se a

media da rapiduz transversal, apresontnd.-i nu Tabela l. A

txtulo do comparação, tambt'm constat rmoo;i tabola os vuloros

obtidos segundo a fórmula de tlilekhin.

Analogamente, pode-st» calcular a módia d<» função Y| •

Agora do (3.1), tem-su:

'* ; ' -*. (0-13)

logo

r - ?t- -\ ( 9 . i 4 )

•'v.:j ' < . ( 9 . 1 5 )

Os v/alores de T R "I7, , a s s i m c a l c u l a d o s , e s t ã o na Tabela I I ,

p a r a as duas massas Fl=300 Gov e M=10Uü GQV. C a l c u l a n d o - s e e n t ã o a l a r g u r a da d i s t r i b u i r ã o de r a p i d e z l o n g i t u - i i n a l , que por (E25) G uma G a u s s i a n a , o r a supondo f <• , o r a supondo t dado na Tabela I I , conclui-s<2 quo no segundo c a i o a d i s t r i ^ b u i ç a o ê mais e s t r e i t a por um f a t o r 1.26 p<;ra ambas a , o i a s s a s ,

6'! Lsse r e s u l t a d o ur. tu de a c o r d o com um t r a h a l b n nu tf; or ' em qijfi mostramos que a oxpansrio 11 .-jn^vr. r níil :iir ftt.o nfío i? d c s p i o z í v o l e onde i n t r o d u z i m o s wu> ;iíir?Witrn fonom»:nol ó ç i n o p a r a l e v a r em c o n t a e s s a expansão a d i c i o n a l o b t e n d o - s ' * o mvsm r e s u l t a d o q u a n t i t a t i v o a c i m a .

» CAPfTULO IX *

Distribuição Inclusiva dq fomento

- Ahi

Pretende-se calcular a distnhuicao inclusiva t —- para

di>

grandos Sngulos ( *" c)9 omiu a dificuldade mencionada no cap^

tulo anterior ( ou seja, de independência era »•• ) não aparece.

Paru calcular esta distribuirão, dovo-ie lev ir em conta tar.iLám

o movimento tcrmico. A 'i'.yi:x^Zo a ->or us .'ia para tal fim,

consistente con a conservação de energia, é a obtida por

Cooper e Fryj ', deduzido u partir Ja t«oria de transportes

para um gás relativístico:

• I '

- ; — (y.i)

onde E' B T' silo respectivamente, a energia o a temperatura no

sistema próprio do fluida. A integração acima deva ser Feita

sobre a hipersuperfície de dissociação (7^ definida por T=T ..

No sistema de coordenadas curvilinear, (2.5), o elemento de

hipersuperfície clÇ. já foi calculado no capítulo anterior,

dado por (3.6), ou seja:

•J~„ - "ITilv, iN ^)r v J- u) ('3.2)

0 quadrivetor momento da partícula a ser observada, calculado

no sistema de centro de massa do ohjpto em expansão pode ser

parametrizado em termos do sua rapidez longitudinal '#,, , de sua

rapidez tranavorsal |t , e angulo azimutal '/ em relação ao

eixo de simetria x, como so'jue:

-44-j V , ... i-iil,^,, i-iíl,',),

r - i \ - ,Mii » - "k ,. i » « -i l , ,4 .

(9.3)

Agora passando-se para o sistema du coordenadas curvilíneas

(2.5), uuando a relação do transformação:

li.

)> p.

_i''

_l

_]

_»'.

(9.4)

e n t u o com ( 9 . 3 ) , ( 2 . 6 ) , ( 2 . 1 1 ) , u u:»-jndo a apro Lniação *< v ,

obtem-se: r f --'- •••V".|i > ' - k% :i'.) ; ( 9 . 5 ) |': V vH »»"l-l.M

r

1

- u

Como já foi visto no capítulo anturior, sobre a curva do dissti

ciaçâo no plano ;', , | valo (fj.y), ou seja:

">2 onde J •'< \-f >-(9.6) o u J-Jcubiano

K'^J

da transformação ( j,, .r' j -*• ( ''•. t » ) - 4rj