Notas de Aulas 1 - Conjuntos
Prof Carlos A S Soares
1
Preliminares e rela¸
c˜
ao de pertinˆ
encia
Nestas notas n˜
ao temos a pretens˜
ao de apresentar a teoria de conjuntos e seus axiomas, t˜
ao
somente pretendemos apresentar um pequeno esbo¸co de forma a dispormos de uma linguagem
razo´
avel para o restante do curso. Desta forma, quando nos referirmos a um conjunto estaremos
pensando em uma cole¸c˜
ao de objetos, ditos elementos do conjunto. Seguindo a tradi¸c˜
ao,
conjuntos ser˜
ao indicados por letras mai´
usculas e seus elementos por letras min´
usculas.
Exemplo 1 (a) Seja A o conjunto de todos os n´
umeros naturais ´ımpares.
(b) Seja B o conjunto de todas a retas no plano
1.1
Representa¸
c˜
ao de um conjunto
Podemos representar um conjunto de v´
arias formas. Vejamos as mais usuais:
1) Enumerando seus elementos, isto ´
e, dispor seus elementos entre chaves separados por
v´ırgula. Se houver risco de ambiguidade separamos os elementos pot ponto e v´ırgula. Vejamos
alguns exemplos.
Exemplo 2 A =
{1, 2, 3, 4, 5}
´
E interessante observar que um conjunto pode ser elemento de um segundo
segundo!
Exemplo 3 Observe com cuidado este exemplo. Considere o conjunto
A =
{1, 2, {1}, {1, 2}}
Note que os elementos de A s˜
ao 1, 2,
{1} e {1, 2}.
1.2
Conjuntos num´
ericos
Lembramos que os conjuntos mais importantes ao longo do nosso ser˜
ao os chamados conjuntos
num´
ericos, quais sejam:
1) Conjunto dos n´
umeros naturais =
N = {1, 2, 3, . . .}
2) Conjunto dos n´
umeros inteiros =
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
3) Conjunto dos n´
umeros racionais =
Q =conjunto dos n´umeros que podem ser
represen-tados na forma p/q com p, q
∈ Z e q ̸= 0=conjuntos dos n´umeros que possuem representa¸c˜ao
decimal finita ou diz´ımas.
4) Conjunto dos n´
umeros reais=
R
Vale destacar os seguintes subconjuntos de
R, chamados intervalos.
Sendo a < b, n´
umeros reais, definimos:
1)[a, b] =
{x ∈ R; a ≤ x ≤ b} 2)[a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}
3)(a, b] =
{x ∈ R; a < x ≤ b} 4)(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}
5)(
−∞, b] = {x ∈ R; x ≤ b} 6)(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}
7)[a,
∞) = {x ∈ R; a ≤ x} 8)(a, ∞){x ∈ R; a < x} 9)(−∞, ∞) = R
1.3
Rela¸
c˜
ao de partinˆ
encia
Fixado um conjuto A, se x ´
e um elemento deste conjunto, indicaremos,
x
∈ A (x pertence `a A).
Note que
x
∈ A ⇔ x ´e elemento de A.
Exemplo 4 Considere o conjunto
A =
{1, 2, {1}, {1, 2}}
. Ent˜
ao temos, por exemplo,
{1, 2} ∈ A.
Observa¸
c˜
ao 5 Sugiro estudar bem os exemplos trabalhados em sala sobre este t´
opico!
Lembremos que utilizamos o s´ımbolo
∅ para indicar o conjunto vazio, isto ´e, o
conjunto que n˜
ao possui elementos.
Exemplo 6 Considere um triˆ
angulo no plano, e seja A o conjunto das retas que passam pelos
trˆ
es v´
ertices deste triˆ
angulo. Ent˜
ao A =
∅.
2
Subconjuntos rela¸
c˜
ao de inclus˜
ao
Defini¸
c˜
ao 7 Diremos que um conjunto A ´
e subconjunto de um conjunto B se todo elemento
de A ´
e tamb´
em elemento de B. Neste caso, escreveremos A
⊂ B ou B ⊃ A
Exemplo 8 Seja A =
{∅, {∅}}. Ent˜ao {{∅}} ⊂ A pois {∅} ´e um elemento de A.
Observa¸
c˜
ao 9 Novamente sugiro estudar bem os exemplos trabalhados em sala sobre este
t´
opico!
Salientamos que:
1. Qualquer que seja o conjunto A temos
∅ ⊂ A.
2. Qualquer que seja o conjunto A temos A
⊂ A.
3. Dois conjunto A e B s˜
ao iguais se, e somente se, A
⊂ B e B ⊂ A
4. Se trˆ
es conjuntos A, B, C s˜
ao tais que A
⊂ B e b ⊂ C, teremos A ⊂ C.
2.1
Observa¸
c˜
ao
1. Diremos que um conjunto A ´
e subconjunto pr´
oprio de um conjunto B se A ´
e subconjunto
de B, mas n˜
ao ´
e todo o conjunto B. Neste caso, escreveremos A
$ B ou B ' A
2. ´
E claro que dois conjuntos A e B s˜
ao iguais (A = B), se todo elemento de A ´
e elemento
de B e todo elemento de B ´
e elemento de A. De outra forma, temos,
A = B
⇔ A ⊂ B e A ⊃ B ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
3. Se um conjunto A possui k elementos, escreveremos, card(A) = k ou n
A
= k.
4. ´
E possivel mostrar que se um conjunto A possui k elementos, ent˜
ao o total de
subcon-juntos de A, incluindo o conjunto vazio e o pr´
oprio A, ´
e dado por 2
k
. Temos, ainda, que
o total de subconjuntos de A com j elementos ´
e dado por
j!(k
k!
−j)!
.
Exemplo 10 Seja A =
{1, 2, {1}, {1, 2}, ∅}. Como A possui 5 elementos, A possui um total
de 2
5
subconjuntos. Temos que A possui
5!
3!(5
−3)!
= 10 subconjuntos com 3 elementos.
2.2
Conjunto das partes de um conjunto
Defini¸
c˜
ao 11 Fixado um conjunto A, indicaremos por
P(A) o conjunto formado por todos os
subconjuntos de A.
Enfatizo que foram estudados exemplos suficientes em sala sobre este t´
opico e,
portanto, sugiro estud´
a-los com calma!
´
E interessante observar que independente do conjunto nunca teremos
P(A) = ∅
pois, teremos, pelo menos,
∅ ∈ P(A). Pelo item 3 da observa¸c˜ao acima, temos que,
se car(A) = k, ent˜
ao car(
P(A)) = 2
k
.
3
Exerc´ıcios
1) Sendo A =
{1, 2, 4, 6, 9}, determine quais alternativas abaixo s˜ao verdadeiras ou falsas.
(a)4
∈ A
(b)4
⊂ A
(c)
{2, 9} ∈ A
(d)
{2, 9} ⊂ A
(e)
{4} ∈ A
(f )
{4} ⊂ A
(g)
∅ ∈ A
(h)
∅ ⊂ A
(i)
{2, 5} ⊂ A
(j)
{1, 2, 7} ̸⊂ A (k)N ̸⊂ Z
(l)
{2, 1} ⊂ A
(m)
{2, 1} ∈ A
(n)
{1, 2, 4, 9, 6}´e subconjunto deA (o){1, 2, 4, 9, 6}´e subconjunto pr´oprio deA
2) Sendo A =
{{2, 6}, {3, 4, 9}, {8}}, determine quais alternativas abaixo s˜ao verdadeiras
ou falsas.
(a)
{2, 6} ∈ A (b){2, 6} ⊂ A (c){8} ∈ A
(d)
{8} ⊂ A
(e)2
∈ A
(f )8
∈ A
(g)
∅ ∈ A
(h)
∅ ⊂ A
(i)
{{2, 6}, {3, 4, 9}}
3) Sendo B =
{{3, 4}, {1, 2, 5}, ∅}, determine quais alternativas abaixo s˜ao verdadeiras ou
falsas.
(a)
∅ ⊂ B
(b)
∅ ∈ B
(c)
{3, 4} ∈ B (d){{3, 4}, {1, 2, 5}} ⊂ B
4) Sendo A =
{∅}, determine quais alternativas abaixo s˜ao verdadeiras ou falsas.
(a)
∅ ∈ A
(b)
∅ ⊂ A
(c)
∅ = {∅} (d)Apossui um elemento
5) Sendo A =
{∅, {∅}, {{∅}}}, determine:
(a)
P(A)
(b) Quantos elementos possui
P(P(A))? Justifique!
(c) Quantos subconjuntos pr´
oprios possui o conjunto A? Justifique!
6)
(a) Exibir um exemplo, se poss´ıvel, de um conjunto A tal que card(
P(A)) < car(A). Se
acredita que tal exemplo n˜
ao existe, justifique!
(b) Exibir um exemplo, se poss´ıvel, de um conjunto A tal que card(
P(A)) = 1024. Se
acredita que tal exemplo n˜
ao existe, justifique!
(c) Exibir um exemplo, se poss´ıvel, de um conjunto A tal que card(
P(A)) = 1200. Se
acredita que tal exemplo n˜
ao existe, justifique!
(d) Exibir um exemplo, se poss´ıvel, de um conjunto A tal que card(
P(A)) = car(A). Se
acredita que tal exemplo n˜
ao existe, justifique!
7) Sendo A =
{{4, 6}, {1, 3, 5}, {9}} e B = {{8}, {3, 6}∅}, determine quais alternativas
abaixo s˜
ao verdadeiras ou falsas.
(a)
{4, 6} ∈ A (b){4, 6} ⊂ A
(c)4
∈ A
(d)9
∈ A
(e)
{9} ⊂ A
(f )
{9, } ∈ A
(g)
∅ ⊂ A
(h)
∅ ⊂ B
(i)
∅ ∈ A
(j)
∅ ∈ B
(k)
{{4, 6}, {1, 5, 3}} ⊂ A (l){{4, 6}} ⊂ A
(m)
{∅} ⊂ A {∅} ⊂ B
4
Opera¸
c˜
oes com conjuntos
4.1
Uni˜
ao e intersec˜
ao
Defini¸
c˜
ao 12 Dados conjuntos A e B, definimos a interse¸
c˜
ao entre A e B como o conjunto
cujos elementos s˜
ao os elementos comuns aos conjuntos A e B. Indicaremos tal conjunto por
A
∩
B. Em outra palavras, temos,
A
∩
B =
{x; x ∈ A e x ∈ B}.
Defini¸
c˜
ao 13 Dados conjuntos A e B, definimos a uni˜
ao entre A e B como o conjunto
cu-jos elementos s˜
ao todos os elementos que est˜
ao em pelos menos um dos conjuntos A ou B.
Indicaremos tal conjunto por A
∪
B. Em outras palavras, temos,
A
∪
B =
{x; x ∈ A ou x ∈ B}.
Novamente, sugerimos estudar os exemplos feitos em sala!
4.2
Diferen¸
ca e complementar
Defini¸
c˜
ao 14 Dados conjuntos A e B, definimos a diferen¸
ca entre A e B como o conjunto
cujos elementos s˜
ao os elementos que est˜
ao em A mas n˜
ao est˜
ao em B. Indicaremos tal
conjunto por A
− B ou A\B. Em outras palavras, temos,
A
− B = A\B = {x; x ∈ A e x /∈ B}.
Observa¸
c˜
ao 15 Se A
⊂ B, ent˜ao a diferen¸ca B − A ser´a dita o complementar de A em
(rela¸
c˜
ao a) B e, neste caso, tal conjunto ser´
a indicado por
{
A
B
.
Exemplos suficientemente estudados em sala!
4.3
Produto cartesianao
Defini¸
c˜
ao 16 Dados conjuntos A e B, definimos o produto cartesiano entre A e B como
o conjunto cujos elementos s˜
ao todos os pares ordenados onde a primeira coordenada ´
e um
elemento de A e a segunda ´
e um elemento de B. Indicaremos tal conjunto por A
× B. Em
outra palavras, temos,
A
× B = {(x, y); x ∈ A e y ∈ B}.
Ressaltamos que, muitas vezes, indicaremos o conjunto A
× A por A
2
.
Exemplo 17 Sendo A =
{∅, {∅}}, teremos
A
× A = {(∅, ∅), (∅, {∅}), ({∅}, ∅), ({∅}, {∅})}.
5
Conjunto universo e diagrama de Venn
5.1
Conjunto Universo
Muitas vezes, quando trabalhamos con conjuntos ´
e conveniente considerarmos todos os
conjun-tos como subconjunconjun-tos de um conjunto maior U denominado conjunto universo. Por exemplo,
em geometria plana, podemos considerar como conjunto universo o plano, j´
a que todos os
objetos de estudo est˜
ao contidos no plano. Salientamos que quando desenvolvemos uma teoria
o conjunto universo deve ser especificado. Quando o conjunto universo U est´
a fixado e A
⊂ U
indicamos a diferen¸ca U
− A ou o complentar de A em U por A
c
ou A
′
.
Exemplo 18 Sendo U =
N, A = {x; x ∈ N e 1 ≤ x ≥ 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, teremos:
A
c
=
{0, 6, 7, . . .}, B
c
=
{x; x ∈ N e x > 5}
5.2
Diagrama de Venn
Para resolvermos certoa exerc´ıcios pode ser conveniente utilizarmos os chamados Diagramas
de Venn. Neste tipo de diagrama os conjuntos s˜
ao representados por regi˜
oes planas interiores a
uma curva fechada n˜
ao estrela¸cada. Ao utilizar estes diagramas ´
e usual representa o conjunto
universo, quando especificado, por um retˆ
angulo e, da´ı, todos os outros conjuntos estar˜
ao no
interior deste retˆ
angulo. Vide figura abaixo.
... ...... ...... ...... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
A
B
C
U
6
Exerc´ıcios
1) Sendo A, B conjuntos tais que n
A
∪
B
= 38, n
A
∩
B
= 12 e n
B
= 15, determine n
A
.
2) Os conjuntos A =
{x ∈ N; 2 ≤ x ≤ 4} e B = {x ∈ R; x
2
− 5x + 6 = 0} s˜ao iguais?
Justifique!
3) Sendo B =
{x ∈ R; 0 < x < 5} e A = {x ∈ R; 1 < x ≤ 7}, determine:
(a) A
− B (b) B − A ( Se poss´ıvel, use intervalos para escrever sua resposta! )
4) Sendo A = [2, 5) e B = (3, 7), determine:
(a) A
∪
B (b) A
∩
B (c) A
− B (d) C
A
R
5) Sejam:
A =
{x ∈ R; −3 ≤ x < 1} B = [−1, 2) C = (−2,
5
4
)
Determine:
(a) A
∩
B
∩
C
(b) (A
− B)
∪
C
(c) (A
∩
B)
− C
(d) B
∩
C
6) Os conjuntos A =
{x ∈ R; x <
√
2
} e B = {x ∈ R; x
2
< 2
} s˜ao iguais? Justifique!
7) Analisando-se as carteiras de vacina¸c˜
ao das 84 crian¸cas de uma creche, verificou-se que
68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 n˜
ao foram vacinadas.
Quantas dessas crian¸cas receberam as duas vacinas?
8) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto U tais que: card(U ) = 52 card(A) =
20
card(A
∩
C) = 8
card(A
∩
B
∩
C) = 3
card(B
∩
C) = 9
card(A
∪
B
∪
C) =
45 card(A
∩
B) = 7 card(B
− A) = 15. Determine:
a)card(B) (b)card(A
∪
B) (c)card(C) (d)card(U
− (A
∪
B
∪
C))
9) ´
E verdade que para quaisquer dois conjuntos finitos A e B temos card(A
− B) =
card(A)
− card(B)? Justifique!
10) Dˆ
e exemplo, se poss´ıvel, de dois conjuntos finitos n˜
ao vazios A e B tais que card(A
∪
B) =
card(A) + card(B). Caso acredite n˜
ao ser poss´ıvel exibir tal exemplo, justifique!
11) Dˆ
e exemplo, se poss´ıvel, de dois conjuntos finitos n˜
ao vazios A e B tais que card(A
∪
B) =
card(A) + card(B) e A
∩
B
̸= ϕ. Caso acredite n˜ao ser poss´ıvel exibir tal exemplo, justifique!
12) Em uma esscola, cujo total de alunos ´
e 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes
que os alunos costumam beber. Os resultados foram: 300 alunos bebebm o refrigerante A, 20
alunos bebem os refrigerantes A e B e 100 alunos n˜
ao bebem A nem B. Pergunta-se:
(a) Quantos alunos bebem apenas o refrigerante A?
(b) Quantos bebem apensa o refrigerante B?
(c) Quantos bebem B?
(d) Quantos bebem A ou B?
13) Sejam A,B,C conjuntos tais que: n
A
∩
B
∩
C
= 8, n
A
∩
B
= 15, n
A
∩
C
= 20, n
B
∩
C
=
24, n
C
= 50, n
B
= 60 e n
A
∪
B
∪
C
= 129. Determine:
(a) n
A
(b) n
B
−A
(c) n
C
−A
(d) n
A
−B
(e) n
(A
∩
B)
−C
(f) n
A
∪
C
14) Para cada item abaixo, repita o diagrama a seguir e sombreie as regi˜
oes pedidas.
... ...... ...... ...... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... ... ... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... .... .... .... .... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
