Regra dos Trapézios Composta i :

FP5_Ex1:

Calcule um valor aproximado do integral

=

∫

2 / 0

)

sin(

π

dx

x

e

I

x

com

um erro de truncatura, não superior, em valor absoluto a 0.01 usando:

a) a regra dos Trapézios

b) a regra de Simpson (composta)

Regra dos Trapézios Composta

i

_:

Para calcular a aproximação do integral divide-se o intervalo

I

em

subintervalos de igual amplitude

/

e logo aproxima-se o

integral de

em cada subintervalo

1

,

pela regra do Trapézio:

∫

∑ ∫

∑

[

]

= = − − −

−

−

=

=

=

b a n i x x n i i i i i i i

x

f

x

f

x

x

x

f

dx

f

I

1 1 1 1 1

(

)

(

2

)

(

(x)

Como resultado da soma obtemos a regra dos trapézios (composta):

TC

[

f

f

f

f

n

f

n

]

h

f

I

I

≈

=

0

+

2

1

+

2

2

+

...

+

2

₋₁

+

2

)

(

,

f

i

=(x

i

),

i=0, …, n

O erro de truncatura cometido na aproximação de I determinada pela regra dos trapézios composta é dado por:

)

,

(

),

(

''

12

)

(

₂

b

a

f

h

a

b

I

I

e

_TC

=

−

_TC

=

−

−

η

η

∈

Resolução do exercício 1.a)

,

,

π

/

Primeiramente é preciso determinar o menor número de subintervalos, , em que devemos dividir 0,π/2 por forma a garantir que |eTC| ≤ 0.01

O erro cometido na aproximação de I determinada pela regra dos trapézios composta é dado por:

)

,

(

),

(

''

12

)

(

2

b

a

f

h

a

b

I

I

e

_TC

=

−

_TC

=

−

−

η

η

∈

Substituindo por 0, π/2 e / π/2 , obtém-se:

)

2

,

0

(

),

(

''

4

24

2 2

π

η

η

π

π

_×

_∈

−

=

f

n

e

_TC

Queremos que |eTC| ≤ 0.01, então

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∈

=

≤

≤

2

,

0

,

)

(

''

max

onde

,

01

.

0

96

2 2 2 3

π

π

x

x

f

M

M

n

e

_TC

O valor máximo de | |, 3.1017664, se atinge em π/4 ≈ 0.7854. Por análise do gráfico vemos que

’’ 2 é positiva em

0,π/2 mas não é monótona crescente (nem decrescente). Assim, para determinar o máximo é preciso determinar tal que ’’’ 0.

0 2 0

/4

Logo, | ’’ /4 | 3.1017664

Substituindo na fórmula do majorante do erro absoluto de truncatura vem:

009

.

10

1017664

.

3

01

.

0

96

01

.

0

1017664

.

3

96

3 2 3

≥

⇔

×

≥

⇔

≤

≤

n

n

n

e

_TC

π

π

Como ≥ 10.0009 então é o número mínimo de intervalos que garante que |eTC| ≤ 0.01.

Uma vez determinado n, podemos determinar π/ / π/ e construir a tabela com os 12 pontos , , 0, 1, … ,11 que necessitamos usar na fórmula

xk 0 π /22 π /11 3π/22 2π/11 5π/22 3π/11 7π/22 4π/11 9π/22 5π/11 π/2 fk 0 0.1642 0.3749 0.6379 0.9571 1.3373 1.7802 2.2858 2.8510 3,4689 4.1279 4,8105

[

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

8

2

9

2

10 11

]

2

)

(

f

h

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

I

I

≈

TC

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Substituindo por π /22 e pelos valores da tabela, 0, 1, … ,11 obtemos:

1815

9117205878

.

2

)

(

=

≈

I

f

I

T_C

Podemos calcular em MatLab o valor da aproximação obtido pela regra dos trapézios composta usando a rotina trapezios.m (incluída nas rotinas de MN):

>> a=0; b=pi/2; n=11;

>> f=inline('exp(x).*sin(x)') ans = 2.911720587818155 >> trapezios (f, a, b, n)

Alternativamente podemos utilizar os seguintes comandos em Matlab: >> a=0; b=pi/2; n=11;

>> f=inline('exp(x).*sin(x)') >> h= (b-a)/n

>> x=a:h:b >> y=f(x)

>> itc=h/2* sum([1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1].*y) ⇒

Também podemos calcular o máximo do valor absoluto da segunda derivada em Matlab usando computação simbólica e a função fminbnd que determina o valor mínimo (por isso para determinar o valor máximo precisamos de multiplicar por -1):

>> f=inline('exp(x)*sin(x)'); a=0; b=pi/2; >> syms x;

>> df2= diff(f(x), 2)

df2 =2*exp(x)*cos(x)

>> x_max = fminbnd(['-1 * abs(', char(df2), ')'], a, b) x_max = 0.7854

>> M2 = abs(subs(df2, x_max)) M2 =3.1018

Podemos também criar previamente o vector com os 12 coeficientes: coef(1)=1; coef(n+1)=1; coef(2:n)=2 e usá-lo na fórmula para calcular o itc itc=h/2* sum(coef.*y)

Regra de Simpson Composta

ii

_:

Para calcular a aproximação do integral divide-se o intervalo em subintervalos de igual

amplitude / e logo aproxima-se o

integral de em cada subintervalo [

x

0

, x

2],

[

x

2

, x

4], …, [

x

n-2

, x

n], pela regra de Simpson.

Logo somando obtemos a regra de Simpson composta.

[

n n n

]

C S

f

f

f

f

f

f

h

f

I

I

≈

=

0

+

4

1

+

2

2

+

...

+

2

₋₂

+

4

₋₁

+

3

)

(

,

f

i

= (x

i

),

i=0, …n.

ATENÇÃO: n tem de ser par pois necessitamos de dois subintervalos (3 pontos) para

aproximar a função por um polinómio de grau 2

O erro de truncatura cometido na aproximação de determinada pela regra de Simpson composta é dado por:

)

,

(

),

(

180

)

(

_{4 (4)}

b

a

f

h

a

b

I

I

e

_SC

=

−

_SC

=

−

−

η

η

∈

Resolução do exercício 1.b)

,

,

π

/

Primeiramente é preciso determinar o menor número de subintervalos, n, em que devemos dividir

,

π

/

por forma a garantir que |

e

SC| ≤ 0.01

Substituindo por 0, π/2 / π/2 na fórmula do erro,

obtém-se:

)

2

,

0

(

),

(

180

1

2

) 4 ( 4 5

π

η

η

π

_×

_∈

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

f

n

e

_SC

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∈

=

≤

≤

2

,

0

,

)

(

max

onde

,

01

.

0

5760

) 4 ( 4 4 4 5

π

π

x

x

f

M

M

n

e

S_C

O valor máximo de | |, 19.240675 se atinge em π/2 ≈ 1.5707321.

Por análise do gráfico vemos que

4 é negativa

e decrescente em [0, π/2], pelo

que | | é uma função

positiva e crescente e o valor máximo se atinge em π/2.

Substituindo na fórmula do majorante do erro absoluto de truncatura vem:

18

.

3

23

.

102

19.240675

01

.

0

5760

01

.

0

5760

4 4 5 4 4 5

≥

⇔

≥

⇔

×

≥

⇔

≤

≤

M

n

n

n

n

e

_SC

π

π

Como ≥ 3.18 e tem de ser par então é o número mínimo de intervalos que garante que |

e

SC| ≤ 0.01.

Uma vez determinado , podemos calcular a amplitude π/2 0 /4 π/8 e construir a tabela com os 5 pontos , , 0, 1, 2, 3, 4 que necessitamos usar na fórmula: xk 0 π /8 π /4 3π/8 π/2 fk 0 0.5667 1.5509 3.0009 4.8105

[

0 1 2 3 4

]

4

2

4

3

)

(

f

h

f

f

f

f

f

I

I

≈

_SC

=

+

+

+

+

Substituindo na fórmula por π /22 e pelos valores

f

k da tabela, 0, 1, 2, 3, 4,

obtemos:

(

)

2

.

9

0374209126

865

=

≈

I

f

Podemos em Matlab calcular o valor da aproximação obtido pela regra de Simpson usando a rotina simpson.m de Métodos Numéricos

>> a=0; b=pi/2; n=4;

>> f=inline('exp(x).*sin(x)') ans = 2.903742091268649 >> simpson (f, a, b, 4)

Alternativamente podemos calcular o valor da aproximação usando os seguintes comandos em Matlab: >> a=0; b=pi/2; n=4; >> f=inline('exp(x).*sin(x)') >> h= (b-a)/n >> x=a:h:b x = 0 0.3927 0.7854 1.1781 1.5708 >> y=f(x) y = 0 0.5667 1.5509 3.0009 4.8105

>> isc = h/3* sum([1 4 2 4 1].*y)

⇒

Também podemos calcular o máximo do valor absoluto da quarta derivada em Matlab usando computação simbólica e a função fminbnd que determina o valor mínimo (por isso para determinar o valor máximo precisamos de multiplicar por -1):

>> f=inline('exp(x)*sin(x)'); a=0; b=pi/2; >> syms x;

>> df4= diff(f(x), 4)

df4 =(-4)*exp(x)*sin(x)

>> x_max = fminbnd(['-1 * abs(', char(df4), ')'], a, b) x_max = 1.5707

>> M4 = abs(subs(df4, x_max)) M4= 19.2407

Podemos também criar previamente o vector com os 5 coeficientes: coef(1)=1; coef(n+1)=1; coef(2:2:n)=4 %índices pares coef(3:2:n-1)=2 %índices impares e usá-lo na fórmula para calcular o isc isc=h/3* sum(coef.*y)

Sem conhecer o valor real do integral I podemos concluir que as aproximações determinadas são por excesso ou por defeito?

• Para a aproximação ITC determinada pela regra dos trapézios

)

,

(

),

(

''

12

)

(

₂

b

a

f

h

a

b

I

I

e

_TC

=

−

_TC

=

−

−

η

η

∈

Como 0 0,π/2 ⇒ eTC = I - ITC < 0 ⇒ I < ITC ⇒ então a aproximação ITC de I é por excesso

• Para a aproximação ISC determinada pela regra de Simpson composta

)

,

(

),

(

180

)

(

_{4 (4)}

b

a

f

h

a

b

I

I

e

_SC

=

−

_SC

=

−

−

η

η

∈

Como 0 0,π/2 ⇒ eSC = I – ISC > 0 ⇒ I > ISC ⇒ então a aproximação ISC de I é por defeito

Podemos ainda confirmar os resultados obtidos porque sabemos calcular o valor do integral da função dada.

Podemos calcular o valor do integral de uma função num intervalo dado usando os seguintes comandos em MatLab:

>> f = inline('exp(x).*sin(x)') >> syms x; >> I = double(int(f(x), 0, pi/2)) O valor do integral I = 2.90523869048268 ITC(f) = 2.91172058781815 com |eTC |= |I- ITC|= 0.0064818973 ≤ 0.01 ISC(f) = 2.90374209126865 com |eSC|= |I- ISC|= 0.0014965992 ≤ 0.01

Podemos confirmar que para as aproximações calculadas o erro de truncatura não excede em valor absoluto o valor da tolerância dada (0.01). Também podemos constatar que realmente a aproximação ITC de I obtida pela regra dos trapézios é

uma aproximação por excesso enquanto a aproximação ISC obtida pela regra de

Simpson composta é uma aproximação por defeito.        i _{A figura que ilustra a regra dos trapézios foi extraída de}  http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/05/Trapezoidal_rule_illustration_small.svg/ 500px‐Trapezoidal_rule_illustration_small.svg.png    ii  A figura que ilustra a regra de Simpson foi extraída de http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/integra/int‐ 24.gif