INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
VESTIBULAR SIMULADO / 2007
PROVA DE LÍNGUA PORTUGUESA
INSTRUÇÕES 1. Esta prova tem duração de quatro horas.
2. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.
3. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material
escolar.
4. Esta prova é composta de 20 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 20).
5. As 20 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes.
6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questões está completo.
7. Numere seqüencialmente de 21 a 30, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada página corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno de soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato.
8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.
9. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos.
10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradas de 01 a 20. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das
questões de múltipla escolha. Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites.
11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma
folha extra com o cabeçalho devidamente preenchido.
12. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica.
13. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida
com um simples traço a lápis, durante a realização da prova.
14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato. 15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar.
CEARÁ
TURNO: MANHÃ DATA: 30/08/2007 No QUESTÕES: 30
PROFESSORES: MAX e ONOFRE ETAPA: 3a
PROVA DE MATEMÁTICA – IV SIMULADO ITA
O Colégio que ensina o aluno a estudar
ALUNO(A):_______________________________________________________ No: ______ TURMA: ______
3
o
Ensino Médio4006.7777
CEARÁSEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ Av. do Imperador, 1055 SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ
Rua Henriqueta Galeno, 1011 SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ
QUESTÃO 01
Considere o subconjunto P, do conjunto dos números complexos C, dado por: P = {z ∈ C; z = x + i · y, com y2 = x + 4}. Se exatamente três
das raízes da equação x5 – 7x3 + 20x2 – 44x + 80 = 0 estão em P, duas das quais são números imaginários puros (parte real nula), o produto
das raízes desta equação que NÃO pertencem a P é: A) – 1 B) 3 C) 3i D) 5 E) 4 – i QUESTÃO 02
Sabendo-se que as abscissas r
1 e r2 dos focos da hipérbole x
2 – y2 = 1 são as raízes do polinômio P(t) = t3 + at2 + bt + c com a, b e c ∈ R e
que a terceira raiz r3 do polinômio verifica a igualdade r3 = 3
2
− · r1 · r2. Pode-se concluir que a + b + c é:
A) 3 +2 B) 2 +3 C) 3 −2 D) − 2 −3 E) 2 + 3 QUESTÃO 03
Sabendo-se que no desenvolvimento do binômio
6 1 mx 4x +
o termo independente de x é igual a distância focal relativa à hipérbole
2 2
y x
1,
9 − 16 = pode-se concluir que a equação da reta que passa pelo ponto
m 1,
2
e com coeficiente angular m é:
A) 3 3 y−2 · 4 · x+ 4 =0 B) 3 3 y−4 · 4 · x+ 4 =0 C) 3 y− +x ( 4 − =1) 0 D) y−2x+( 43 −2)=0 E) y−4x+( 43 −4)=0
QUESTÃO 04
Um corpo se movimenta obedecendo à função horária S(t) = t4 – 1 · t2 ,
3 9
λ λ
+ +
λ > 0, onde S é dado em metros e t em segundos.
Sabendo-se que o corpo passa pela origem das posições exatamente em dois instantes distintos t
1 e t2, o valor do parâmetro λ para o qual
t 2 = 3t1 é: A) 49 25 B) 81 64 C) 81 49 D) 36 25 E) 16 9 QUESTÃO 05
A equação de uma determinada elipse pode ser obtida usando as seguintes informações: I. Seu centro é o foco da parábola x = y2.
II. Seu eixo menor tem comprimento igual à distância entre as retas y – x = 1 e x – y = 1.
III. Seu eixo maior está sob o eixo das abscissas e tem comprimento igual ao perímetro do quadrilátero formado pelas raízes do polinômio P(z) = z4 + 2z3 + 23z2: – 50z + 58, o qual tem z = 1 + i como uma de suas raízes.
Com bases nessas informações, pode-se concluir que a equação da elipse é: A) 7(x – 4)2 + 180y2 = 420 B) 2 1 x 4 − + 242y2 = 121 C) x2 + 16y2 = 80 D) 2 2 9 x 3 − + 12y 2 = 1 E) 4 · (x – 1)2 + 3 · (y – 1)2 = 12 QUESTÃO 06
O número de raízes reais da equação
2 5x 6 x 4 x · 4 (x 2) · 1 (x 5) · (x 7) 2 − − − − − + − − = é igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Considere o polinômio
P(x) = (1 + x)1000 + x · (1 + x)999 + x2 · (1 + x)998 + ... + x1000
Determine o coeficiente de x50 no polinômio P(x).
A) 1001 50 B) 1001 51 C) 1000 50 D) 1000 51 E) 999 50 QUESTÃO 08
Determine o valor da expressão E = sec 40o + sec 80o + sec 160o.
A) 0 B) 1 C) 6 D) 3 E) − 3 QUESTÃO 09
Seja x um número complexo, tal que x 1 1. x + = − Calculando x2008 + x–2008, obtemos: A) 0 B) 1 C) – 1 D) i 3 E) −i 3 QUESTÃO 10
O produto de duas das quatro raízes da equação x4 – 18x3 + k · x2 + 200x – 1984 = 0 é – 32. Determine o valor de k.
A) 78 B) 86 C) 95 D) 84 E) 76
QUESTÃO 11
Considere as seguintes afirmações sobre os conjuntos A = {0, 1, 2, 4} e B = {1, 3, 5}: I. A\B = {0, 2, 4}.
II. n(A x B) é um número primo. III. B\A é um conjunto unitário.
Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): A) Apenas I. B) Apenas II. C) Apenas II e III. D) Apenas I e III. E) Todas as armações. QUESTÃO 12
Sejam f, g : R → R funções definidas por ƒ(x) = x3 e g(x) = 103cos5x. Podemos afirmar que:
A) ƒ é injetora e par e g é ímpar. B) g é sobrejetora e g oƒ é par.
C) ƒ é bijetora e g o ƒ é ímpar.
D) g é par e g o ƒ é ímpar.
E) ƒ é ímpar e g o ƒ é par. QUESTÃO 13
Seja A um conjunto finito de números reais cujo número de elementos é igual a k. Seja S = {(x; y) ∈ A x A; x > y}. O número de elementos de S é igual a: A) 2 k k 3 − B) (k2 – k)2 C) k(k – 1) (k – 2) D) k(k 1) 2 − E) 2 k k 2 + QUESTÃO 14
Seja ƒ uma função real que satisfaz ƒ(x) . x2 + [ƒ(x)]2 . x + 2 = 0. A imagem de ƒ está contida no conjunto:
A) R B) {y ∈ R; y ≤ 0 ou y ≥ 2} C) {y ∈ R; y ≤ 2} D) {y ∈ R; y ≥ 2} E) {y ∈ R; 0 ≤ y ≤ 2} QUESTÃO 15
Se x é um número real positivo, com x ≠ 1/3, 1, satisfazendo 3 x
x x 2 3 2 log x log (x 2) log (x 2), log + x 1 log x + − + = +
+ então x pertence ao intervalo I,
onde: A) I = (0, 1/9) B) I = (0, 1/3) C) I = (1/2, 1) D) I = (1, 3/2) E) I = (3/2, 2)
No triângulo ABC, temos AC = 10 cm e BC = 6 cm. Seja D um ponto sobre o lado BC tal que CD = 3 cm. A circunferência circunscrita ao triângulo ABD corta o lado AC em um ponto interior E. Se a área do triângulo CDE é igual 4 cm2, a área do quadrilátero ABDE é igual a:
A) 354 9 B) 364 9 C) 374 9 D) 384 9 E) 394 9 QUESTÃO 17
Sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC tais que AD/AB = α, BE/BC = β e CF/CA =λ. Sabendo que α + β + λ = 2/3 e α2 + β2 + λ2 = 2/5, determine [DEF].
[ABC]
Obs: [ ] denota área. A) 16 45 B) 26 49 C) 2 3 D) 3 5 E) 27 49 QUESTÃO 18
No paralelogramo ABCD, AB < AD. A bissetriz interna do ângulo ∠ABC intersecta AD em P. Se PD = 5 e BP = CP = 6, quanto mede o lado AB? A) 5 B) 17/3 C) 18/5 D) 19/7 E) 4 QUESTÃO 19 Seja α = 1· log 2 .
2 log 3−log 5 O conjunto solução da desigualdade 2
sen x≤ 3 5 α no intervalo [0, 2π) é: A) [0, π/3] ∪ [2π/3, 2π) B) [0, 7π/6] ∪ [11π/6, 2π) C) [0, 4π/3] ∪ [5π/3, 2π) D) [0, π/6] ∪ [5π/6, 2π) E) [π/6, 5π/6] ∪ [7π/6, 11π/6]
QUESTÃO 20
Se a e b são números reais positivos tais que as equações x2 + ax + 2b = 0 e x2 + 2bx + a = 0 possuem soluções reais, então o menor valor
possível de a + b é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
QUESTÕES SUBJETIVAS
QUESTÃO 21 Se tg 3a = tg 3b = tg 3c. Determine o valor de M = (tg a + tg g + tg c) · (cot ga + cot gb + cot gc)QUESTÃO 22
Determine o valor da expressão E = sec4 sec4 2 sec4 3
7 7 7
π π π
+ +
Considere os seguintes conjuntos de números complexos: A = {z ∈ C| |z| = 1, Im(z) > 0} e B = {z ∈ C | Re(z) = 1, Im(z) > 0},
onde Re(z) e Im(z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente. A) Mostre que para cada z ∈ A, o número 2z
z+1 pertence a B.
B) Mostre que cada ω ∈ B pode ser escrito da forma 2z
z+1 para algum z ∈ A.
QUESTÃO 24
Sobre os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC consideram-se, respectivamente, 3 pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não coincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determi-nadas pelos 12 pontos?
QUESTÃO 25
A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha a metade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Com base nessas informações calcule a idade de Ana.
QUESTÃO 26
Mostre que não existe função ƒ: Z → Z tal que ƒ(ƒ(x)) = x + 1, para todo x ∈ Z.
QUESTÃO 27
No trapézio ABCD, as bases medem AB = a e CD = b. As diagonais encontram-se em O. Ache a razão entre a área do triângulo ABO e a área do trapézio.
QUESTÃO 28
Resolva a equação
(
) (
)
x x
Seja ƒ uma função real definida por ƒ(x) = ln 2x x 1 e . e −
A) Ache o domínio da função ƒ. B) Ache a imagem da função ƒ.
QUESTÃO 30
Seja ABCDE um pentágono convexo tal que AB = BC, CD = DE, ∠ABC = 150o, ∠CDE = 30o e BD = 2. Determine a área do pentágono
