AULA DE ALCV. Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia

(1)

Profª Drª Ana Paula Marins Chiaradia AULA DE ALCV

(2)

• Uma seção cônica ou, simplesmente,

cônica é uma curva obtida cortando-se

qualquer cone de duas folhas por um

plano que não passa pelo vértice,

chamado de plano secante.

(3)

• Se o plano secante for paralelo a uma

geratriz do cone, a cônica é uma

parábola.

• Se o plano secante não for paralelo a

uma geratriz do cone e corta só uma

das duas folhas do cone, a cônica é

uma elipse.

(4)

degeneradas

(5)

• Se o plano secante não for paralelo a

uma geratriz do cone e corta ambas as

folhas do cone, a cônica é uma

hipérbole.

• Se o plano secante for paralelo a base

do

cone,

a

cônica

é

uma

(6)

degeneradas

(7)

(8)

• No caso de um plano que passa pelo

vértice do cone obtém-se as cônicas

degeneradas:

– ponto;

– uma reta; ou

(9)

degeneradas

(10)

• Parábola é o lugar

geométrico dos

pontos de um plano

eqüidistantes de um

ponto fixo e de uma

reta fixa,

pertencentes a este

mesmo plano

.

(11)

• Parábola é o conjunto

de todos os pontos P

do plano

π tais que:

d (P,F) = d (P,P’)

'

PP PF =

(12)

• Elementos da

parábola:

– Foco (F) – Vértice (A) – Diretriz (d) – Parâmetro (p) diretriz foco V Vértice d(V,F) = d(V,A) = p/2 A eixo P’

(13)

diretriz:

Vértice: V(0,0)

p>0 e y>0 côncava para cima p<0 e y<0 côncava para baixo

2

p y = −

Equação reduzida da parábola de centro na origem

(14)

diretriz:

Vértice:V(0,0)

p>0 e x>0 côncava para direita p<0 e x<0 côncava para esquerda

2

p x = −

Equação reduzida da parábola de centro na origem

(15)

diretriz: Vértice: V(h,k) 2 p k y = − Translação: Foco: ) 2 , (h p k F +

(

x

−

h

)

2

=

2 p

(

y

−

k

)

(16)

diretriz: Vértice: V(h,k) 2 p h x = − Foco: , ) 2 (h p k F + Translação:

(

y

−

k

)

2

=

2 p

(

x

−

h

)

(17)

(18)

• Uma seção transversal de um refletor parabólico é mostrada na figura. A lâmpada é colocada em um foco, e a abertura no foco é de 10cm. • a) Encontre uma equação da parábola. b) Encontre o diâmetro da abertura , 11 cm a partir do vértice.

x

y

2

=

10

110

2

(19)

• Uma criança joga uma bola a um ângulo de 45°, da beira de um platô acima de uma colina de coeficiente

angular, conforme a figura. • a) Se a bola toca o solo a

50 metros da colina abaixo, ache a equação de sua

trajetória parabólica (Ignore a altura da criança).

• b) Qual a altura máxima da bola em relação ao solo?

5,3 m x x y = − 2 + 160 7

(20)

• O arco de uma ponte é semi-elíptico, com eixo maior horizontal. A

base do arco tem 10 metros e a parte mais alta está a 3 metros acima da rodovia, conforme a figura. Determine a altura do arco a 2 metros do centro da base. – 2,75m

(21)

degeneradas

(22)

• A elipse é o lugar

geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano é constante.

• A circunferência é um caso particular da uma elipse, onde os dois pontos fixos são

(23)

• A elipse é o

conjunto de todos

os pontos P do

plano

π

tais que:

(24)

• Elementos da

elipse:

– Focos (F₁ e F₂) – Centro (C) – Vértices (A₁ e A₂) – Distância focal (2c) – Eixo maior (2a)

– Eixo menor (2b) – Excentricidade

1

0 <

=

<

a

c

e

c < a e b < a Vale a relação: a2_{= b}2 _{+ c}2

(25)

• Eixo maior está

sobre o eixo dos x:

Equação reduzida da elipse de centro na origem

1

2

=

+

b

y

a

x

Se na equação da elipse o número a2 _{é denominador de x}2_{, a elipse}

(26)

• Eixo maior está

sobre o eixo dos y:

Equação reduzida da elipse de centro na origem

1

2

=

+

b

x

a

y

Se na equação da elipse o número a2 _{é denominador de y}2_{, a elipse}

(27)

• Eixo maior é paralelo

ao eixo dos x

Equação da elipse de centro fora da origem do sistema

(

) (

)

₁

2 2 2 2

=

−

+

−

b

k

y

a

h

x

C(h,k) F₁(h-c,k) F₂(h+c,k) A₁(h-a,k) A₂(h+a,k) Translação

(28)

• Eixo maior é paralelo

ao eixo dos y

Equação da elipse de centro fora da origem do sistema

(

) (

)

₁

2 2 2 2

=

−

+

−

b

h

x

a

k

y

C(h,k) F₁(h,k-c) F₂(h,k+c) A₁(h,k-a) A₂(h,k+a) Translação

(29)

(30)

Um corpo ligado a outro gravitacionalmente

gira em torno dele numa órbita elíptica,

sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

Primeira Lei de Kepler

(Lei das órbitas elípticas)

As órbitas dos planetas são elipses com o Sol como foco.

(31)

Em uma órbita lunar o ponto mais próximo da

superfície da Lua é chamado de perilúnio, e o ponto mais distante da superfície da Lua é chamado de

apolúnio. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma órbita lunar elíptica com altitude de perilúnio de 110km e altitude de apolúnio de 314 km (acima da Lua). Encontre uma equação dessa elipse se o raio da Lua for 1728km e o centro da Lua estiver em um dos focos.

1 3753196

3763600

2 2

=

+

y

x

(32)

degeneradas

(33)

• A hipérbole é o

lugar geométrico

dos pontos de um

plano cuja diferença

das distâncias a

dois pontos fixos

deste plano é, em

valor absoluto,

(34)

• A hipérbole é o

conjunto de todos

os pontos P do

plano

π

tais que:

a

)

d(P,F

)

d(P,F

₁

−

₂

=

2 a

)

d(P,F

)

d(P,F

₁

−

₂

=

±

2

Quando o ponto P estiver no ramo da direita, a diferença é +2a e, caso contrário, será –2a.

(35)

• Elementos da

hipérbole:

– Focos (F₁ e F₂) – Centro (C) – Vértices (A₁ e A₂) – Distância focal (2c) – Eixo real (2a)

– Eixo imaginário (2b) – Assíntota – Excentricidade

1 >

=

a

c

e

c > a Vale a relação: c2_{= a}2 _{+ b}2

(36)

θ é ângulo de abertura da hipérbole

Quanto maior e, maior será θ. Se a=b, então θ =90° Eixo real Eixo imaginário

Assíntota Assíntota

(37)

• Eixo real está sobre

o eixo dos x:

Equação reduzida da hipérbole de centro na origem

1

2

=

−

b

y

a

x

Equação da assíntota:

x

a

b

y

=

±

(38)

• Eixo real está sobre

o eixo dos y:

Equação reduzida da hipérbole de centro na origem

1

2

=

−

b

x

a

y

Equação da assíntota:

x

b

a

y

=

±

(39)

• Eixo real é paralelo ao

eixo dos x

Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema

(

) (

)

₁

2 2 2 2

=

−

b

k

y

a

h

x

C(h,k) F₁(h-c,k) F₂(h+c,k) A₁(h-a,k) A₂(h+a,k) Translação

(

)

(

x h

)

a b k y − = ± − Equação da assíntota:

(40)

• Eixo real é paralelo

ao eixo dos y

Equação da hipérbole de centro fora da origem do sistema

(

) (

)

₁

2 2 2 2

=

−

b

h

x

a

k

y

C(h,k) F₁(h,k-c) F₂(h,k+c) A₁(h,k-a) A₂(h,k+a) Equação da assíntota:

(

)

(

x h

)

b a k y − = ± − Translação

(41)

(42)

(43)

• No sistema de navegação LORAN (Long Range

Navigation), duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem simultaneamente sinais para um barco ou um avião localizado em P. O

computador de bordo converte a diferença de tempo na

recepção desses sinais em diferença de distância , e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou avião em um ramo de

hipérbole (veja s figura). Suponha que a estação B esteja localizada 400 milhas a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal de B 1200 microssegundos (µs) antes de receber o sinal de A.

(44)

a) Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 980 pés/µs, encontre

uma equação da hipérbole na qual o navio esteja.

b) Se o navio for esperado ao norte de B, a que distância da costa estará o navio?

1 3339375 121 1500625 121 2 2 = − y x

milhas

248 ≈

(45)

• Em 1911, o físico Ernest Rutherford (1871-1937) descobriu que quando partículas alfa são

atiradas para o núcleo de um átomo, elas são

eventualmente repelidas do núcleo segundo uma trajetória hiperbólica. A figura ilustra a trajetória de uma partícula que se encaminha para a origem ao longo da reta e chega a 3 unidades do núcleo. Determine a equação da trajetória.

(46)