Bondade do Ajuste e Análise de Resíduos Bayesiana em Modelos Espaciais

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Métodos Estat´ısticos Curso de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica

Viviana das Gra¸cas Ribeiro Lobo

Bondade do ajuste, an´

alise de res´ıduos bayesiana em modelos espaciais

Rio de Janeiro 2014

(2)

Bondade do ajuste, an´

alise de res´ıduos bayesiana em modelos espaciais

Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFRJ, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de MESTRE em Estat´ıstica.

Orientadora: Tha´ıs Cristina Oliveira da Fonseca

PhD em Estat´ıstica

Rio de Janeiro 2014

(3)

Lobo, Viviana

Bondade do ajuste, an´alise de res´ıduos bayesiana em modelos espaciais / Vivi-ana Lobo - 2014

xx.p

. I.T´ıtulo.

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Bondade do ajuste, an´

alise de res´ıduos bayesiana em modelos espaciais

Disserta¸c˜ao apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFRJ, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de MESTRE em Estat´ıstica.

Aprovado em, 8 de Maio de 2014

BANCA EXAMINADORA

Tha´ıs Cristina Oliveira da Fonseca

Fernando Antˆonio da Silva Moura

M´arcia D’Elia Branco

(5)

`

(6)

Resumo

Dados georeferenciados frequentemente apresentam observa¸cões at´ıpicas ou regiões com heterocedastici-dade espacial. Modelos baseados na suposi¸cão de gaussianidade não são os mais adequados para este problema. Uma alternativa é a utiliza¸cão de modelos com caudas mais pesadas, permitindo uma maior flexibilidade no tratamento dessas observa¸cões. Neste trabalho, são propostos métodos de diagnóstico para análise e deteçcão de outliers, através de fun¸cões de influência espacial, análise de res´ıduos baye-sianos e p-valores bayebaye-sianos num contexto espacial. Outras ferramentas de diagnóstico são abordadas para deteçcão de outliers baseados na distribui¸cão preditiva, como a concordância preditiva (PC) e a or-denada preditiva condicional (CPO) e teste de Savage-Dickey. Além desses, são propostos neste trabalho a probabilidade mais conservadora (McP) e o p-valor do CPO (CPOp). Num contexto de compara¸cão de modelos, utilizou-se o fator de Bayes usual e fracionário, mostrando vantagens e desvantagens em sua aplicabilidade quando há presen¸ca de outliers. Foram utilizados dados simulados segundo vários cenários de contamina¸cão por valores at´ıpicos. Três modelos espaciais propostos na literatura são ajustados e comparados para os cenários e métodos propostos.

(7)

Abstract

Georeferenced data often present atypical observations or regions with spatial heterocedasticity. Models based on the assumption of gaussianity are not optimal for this problem. An alternative is to use models with heavier tails, allowing flexibility in the treatment of these observations. In this dissertation we propose methods for detection and analyze of outliers, through spatial influence functions, bayesian residual analysis and bayesian p-values in a spatial context. Other diagnostic tools are discuessed for outlier detection based on the predictive distribution, as predictive concordance (PC) and the conditional predictive ordinate (CPO) and Savage-Dickey test. In addition to these, are proposed in this work the most conservative p-value (McP) and p-value of CPO (CPOp). In the context of model comparison, are used the usual and fractional Bayes factor, showing advantages and disadvantages in its application when there are presence of outliers. Three spatial models proposed in the literature are adjusted and compared to the scenarios and proposed methods.

(8)

Agradecimentos

Agrade¸co `a minha fam´ılia, pelo apoio incondicional.

Aos meus amigos, em especial a Natália S. Paiva companheira de guerra desde os tempos de gradua¸cão, Aniel Ojeda pela grande ajuda e contribui¸cão matemática ao longo do curso, Eduardo F. Gomes pelas discussões sobre a defini¸cão da probabilidade mais conservadora e aos rapazes, Fernando G. Aragão, Rafael Jorge Pereira e Rafael Barcellos.

Aos meus orientadores: de gradua¸cão Dirley M. dos Santos, pelo incentivo, de mestrado Thais C. O. Fonseca, pela colabora¸cão e conhecimentos repassados a mim, me dando a oportunidade de aprender novos conceitos e métodos ao longo do trabalho.

Aos membros da banca, por terem disponibilizado seu tempo para contribui¸cão deste tra-balho, Fernando A. S. Moura e Márcia D’ Élia Branco.

Universidade Federal do Rio de Janeiro e a CAPES pelo apoio financeiro, do qual possibili-taram a oportunidade de dar continuidade aos meus estudos.

(9)

“O sucesso ´e ir de fracasso em fracasso sem perder entusiasmo”.

(10)

Sum´

ario

Lista de Tabelas 9

Lista de Figuras 11

1 Introdu¸c˜ao 13

1.1 Estrutura e classifica¸c˜ao dos outliers . . . 14

1.2 Exemplo de motiva¸c˜ao . . . 15

1.3 Delineamento da disserta¸c˜ao . . . 17

2 Estat´ıstica espacial 18 2.1 Modelo Gaussiano . . . 18

2.2 Modelo de Mistura Espacial . . . 18

2.3 Classes de Covariˆancias . . . 20

2.3.1 Classe M`atern . . . 20

2.3.2 Classe Cauchy Generalizada . . . 22

2.4 Inferˆencia bayesiana . . . 23

2.4.1 Distribui¸c˜ao a Priori . . . 23

2.4.2 Distribui¸c˜ao a posteriori e distribui¸c˜ao preditiva . . . 25

3 Exemplo simulado e contamina¸cão de dados 26 3.1 Estima¸cão dos parâmetros . . . 27

3.1.1 Modelo Gaussiano - Classe M`atern . . . 28

3.1.2 Modelo T-Student multivariado . . . 30

3.1.3 Modelo GLG - Classe M`atern . . . 32

3.2 Comportamento dos λ’s no modelo GLG . . . 35

4 Fun¸cões de influência espaciais 37 4.1 Fun¸cão de influência . . . 37

(11)

4.2.1 Caso Gaussiano . . . 39

4.2.2 Caso T-Student Multivariado . . . 40

4.2.3 Caso GLG . . . 41

4.3 Exemplo Simulado I . . . 44

4.3.1 Caso Gaussiano . . . 44

4.4 Exemplo Simulado II . . . 47

5 Análise de res´ıduos e deteçcão de outliers em modelos espaciais 52 5.1 Análise bayesiana de res´ıduos para deteçcão de outliers . . . 53

5.1.1 Escolha do limiar t . . . 54

5.2 Detec¸c˜ao de outliers baseados na preditiva . . . 55

5.2.1 Concordˆancia Preditiva (PC) . . . 55

5.2.2 Ordenada preditiva condicional (CPO) . . . 55

5.2.3 Probabilidade mais conservadora . . . 56

5.2.4 Raz˜ao de densidades de Savage-Dickey . . . 57

5.3 Estudo Simulado . . . 58

6 P-valor bayesiano 72 6.1 Medidas de discrepˆancia . . . 73

7 Sele¸c˜ao de modelos 83 7.1 Fator de Bayes Usual . . . 83

7.2 Fator de Bayes fracion´ario . . . 85

7.3 Regra de Decis˜ao e Interpreta¸c˜ao . . . 87

8 Conclus˜oes e projetos futuros 93 A Condicionais Completas 95 A.1 Caso Gaussiano . . . 95

A.2 Caso T-Student Multivariado . . . 96

(12)

A.4 Amostrador para os λ’s . . . 98

(13)

Lista de Tabelas

3.1 Simula¸cão dos dados (z) oriundos de uma distribui¸cão normal multivariada com seus res-pectivos parâmetros (σ2_{, µ, φ, κ)} _{. . . .} ₂₆

3.2 Contamina¸cão dos dados para cada cenário . . . 27 3.3 Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parâmetros do modelo gaussiano

no Cen´ario 1 . . . 28 3.4 Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parˆametros do modelo t student

multivariado para o Cen´ario 1. . . 30 3.5 Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parˆametros do modelo GLG para

o Cen´ario 1. . . 33

4.1 Parâmetros fixados para o cálculo da curva de influência para as duas fun¸cões de covariância 45 4.2 Valores da curtose como uma fun¸cão do parâmetro responsável pelo comportamento da

cauda ν do modelo GLG e comparados com os graus de liberdade νts da T-student. . . . 47

5.1 Tabela dos res´ıduos padronizados com respectivas probabilidades a posteriori pi(|ri| >

t|z) no Cen´ario 1 para os trˆes modelos propostos. Probabilidades a posteriori grandes representam presen¸ca de outliers na amostra. . . 62 5.2 Tabela dos res´ıduos padronizados com respectivas probabilidades a posteriori pi(|ri| >

t|z) no Cen´ario 2 para os trˆes modelos propostos. Probabilidades a posteriori grandes representam presen¸ca de outliers na amostra. . . 63 5.3 Tabela dos res´ıduos padronizados com respectivas probabilidades a posteriori pi(|ri| >

t|z), no Cenário 3 para os três modelos propostos. Probabilidades a posteriori grandes representam presen¸ca de outliers na amostra. . . 64 5.4 Variância relativa a posteriori para algumas observa¸cões suspeitas como outliers no modelo

GLG. Observa¸cões classificadas como outliers, apresentam variância relativa maiores que as demais. . . 64 5.5 Tabela das probabilidades múltiplas a posteriori pij = p(|ri| > t3 e |rj| > t3|z) e

cor-rela¸c˜ao a posteriori ρij entre ri e rj, para cada modelo no Cen´ario 2. Probabilidades

m´ultipla residuais a posteriori grandes, representam outliers na amostra. . . 65 5.6 Tabela das probabilidades m´ultiplas a posteriori pij = p(|ri| > t3 e |rj| > t3|z) e

cor-rela¸c˜ao a posteriori ρij entre ri e rj, para cada modelo no Cen´ario 3. Probabilidades

(14)

5.7 Cálculo do pci,cpoi, CP Opi e M cP para algumas observa¸cões - observa¸cões destacadas

em negrito representam observa¸cões contaminadas. Probabilidades próximas de zero são classificadas como outliers . . . 69 5.8 Densidade de Savage-Dickey para o modelo GLG no Cenário 2 e 3 em favor de λi para

algumas observa¸cões selecionadas. Observa¸cões em negrito representam observa¸cões con-taminadas classificando-as como outliers. . . 70

6.1 P-valor preditivo a posteriori (ppp) para os três modelos propostos em seus respectivos cenários de acordo com as discrepâncias (A), (A∗), (B) e (F) propostas no estudo. Proba-bilidades próximas de zero indicam a não adequa¸cão do modelo aos dados. . . 77

7.1 Calibragem do fator de Bayes segundo Jeffreys [1961]. . . 87 7.2 Calibragem do fator de Bayes na escala logar´ıtmica segundo Kass and Raftery [1995]. . . 88 7.3 Conclusão final para escolha do modelo. . . 88 7.4 Propor¸cão do 2 log do fator de Bayes usual B(z) do modelo gaussiano versus modelo TS. 89 7.5 Propor¸cão do 2 log do fator de Bayes Usual B(z) do modelo gaussiano versus modelo GLG. 89 7.6 Contamina¸cão de uma única observa¸cão classificada como outlier para 2 Log do fator de

Bayes Usual - modelo gaussiano versus modelo GLG. . . 90 7.7 Contamina¸cão de uma única observa¸cão classificada como outlier para 2 Log do fator de

Bayes fracionário - modelo gaussiano versus modelo GLG, utilizando as constantes b. . . . 91 7.8 Propo¸cão do 2log do fator de Bayes fracionário Bb(z) do modelo G versus modelo GLG,

de acordo com a constante b utilizada. . . 92

(15)

Lista de Figuras

1.1 Densidade a posteriori de µ dado valores de z (i) Caso t-student com ν = 5 e (ii) Caso Normal . . . 16

2.1 Fun¸cões de correla¸cão Màtern com seus respectivos valores de κ e φ. . . 21 2.2 Realiza¸cão de uma fun¸cão aleatória gaussiana para a fun¸cão de covariância Matèrn com

parâmetros θ = (φ, κ) . . . 22 2.3 Fun¸cão de correla¸cão da classe Cauchy . . . 22

3.1 Localiza¸cão espacial de cada observa¸cão de acordo com respectivo cenário. Os pontos fixados com ∗ na cor vermelha representam os dados contaminados. O gráfico (i) representa o Cenário 1, (ii) Cenário 2 e (iii) Cenário 3. . . 27 3.2 Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cao para os respectivos parˆ

a-metros do modelo gaussiano. A reta tracejada de cor vermelha no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa de verde representa a média a posteriori. . . 29 3.3 Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cao para os respectivos parˆ

a-metros do modelo t-student multivariado. A reta tracejada na cor verde no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa na cor vermelha representa a média a posteriori. . . 32 3.4 Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cão para os respectivos parˆ

a-metros do modelo GLG. A reta tracejada na cor verde no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa na cor vermelha representa a média a posteriori. . . 35 3.5 Comportamento dos λ’s em cada cenário. Observa¸cões contaminadas são destacadas em

verde e apresentam variˆancia relativa maior que as demais. . . 36

4.1 (i) Fun¸cões de Densidade e (ii) Fun¸cões de Influência para ν = 1 . . . 38 4.2 Fun¸cão de influência da distribui¸cão t-student para respectivos graus de liberdade. A linha

tracejada na cor vermelha representa a fun¸cão de influência para distribui¸cão normal. . . 39 4.3 Fun¸cao de Influência univariada para o modelo gaussiano com z1para fun¸cão de covariância

exponencial, para valores de φ. . . 45 4.4 Fun¸cões de Influência univariada para procesos gaussiano e respectivas fun¸cões de covariância 46

(16)

4.5 Mapa de influˆencia para os processos Gaussiano, T-Student Multivariado (com νT S =

203 graus de liberdade) e GLG (ν = 0, 01 respons´avel pelo comportamento da cauda), alternando o valor do alcance. . . 49 4.6 Mapa de influˆencia para os processos Gaussiano, T-Student Multivariado (com νT S = 5

graus de liberdade) e GLG (ν = 1 respons´avel pelo comportamento da cauda), alternando o valor do alcance. . . 50

5.1 Box-Plots das distribui¸cões a posteriori dos res´ıduos para as 30 observa¸cões nos modelos (i) Gaussiano, (ii) T-Student Multivariado e (iii)GLG. As linhas pontilhadas representam o intervalo (-2,2) para o caso gaussiano e as caixas de cor verde (pontos acima ou abaixo do intervalo) representam os pontos contaminados em cada cenário. . . 60 5.2 Densidades preditivas para cada observa¸cão dos modelos propostos para o Cenário 2 onde

a linha tracejada representa o dado observado zobs

i , de acordo com os resultados obtidos

de pci. . . 66

5.3 Densidades preditivas para cada observa¸c˜ao dos modelos propostos para o Cen´ario 3 onde a linha tracejada representa o dado observado zobs

i , de acordo com os resultados obtidos

de pci. . . 67

6.1 Propor¸cão dos pontos acima da reta para através do cálculo do p-valor baseado na medida de discrepância (A) na primeira linha e (A∗) segunda linha para o modelo gaussiano e respectivos cenários. . . 78 6.2 Histograma e gráfico de dispersão para a medida de discrepância (A) para os modelos

propostos em seus respectivos cenários. A reta vermelha em cada histograma representa o valor observado. . . 79 6.3 Histograma e gráfico de dispersão para a medida de discrepância (A∗) para os modelos

propostos em seus respectivos cenários. A reta vermelha em cada histograma representa o valor observado. . . 80 6.4 Histograma e gráfico de dispersão para a medida de discrepância (B) para os modelos

propostos em seus respectivos cenários. A reta vermelha em cada histograma representa o valor observado. . . 81 6.5 Histograma e gráfico de dispersão para a medida de discrepância (F ) para os modelos

propostos em seus respectivos cen´arios. A reta vermelha em cada histograma representa o valor observado. . . 82

7.1 Densidades para os modelos G, T-Student e GLG,para observa¸c˜oes n˜ao contaminadas, tal que `max− `t∼ Gamma(α, 1) . . . 89

7.2 Gráficos do 2log(F BU ) em favor do modelo gaussiano versus modelo GLG , utilizando o estimador Shifted Gamma, quando observa¸cão 15 é não contaminada e contaminada. . . . 91

(17)

13

1 Introdu¸

c˜

ao

Dados utilizados na análise estat´ıstica comumente apresentam algum tipo de referência espa¸co-temporal. Quando incorporado a dimensão espa¸co-temporal, é frequente a presen¸ca de observa¸cões at´ıpicas, o que pode causar algum tipo de viés na modelagem dos dados.

Considere interesse em modelar algum fenˆomeno no espa¸co como um processo estoc´astico

{Z(s) : s ∈ D} (1.1)

onde s varia continuamente em D e D representa o conjunto de todas as localiza¸cões s permitindo previsão para qualquer ponto no espa¸co, tal que D ⊆ <d. Para qualquer cole¸cão de localiza¸cões s1, . . . , sn com

cada si ∈ <2 é assumido que a distribui¸cão de Z = {Z(s1), . . . , Z(sn)} é uma Normal Multivariada

com m´edia µ = (µ(s1), . . . , µ(sn)) e matriz de covariˆancia Σ com elementos Σij = Cov {Z(si); Z(sj)}.

Usualmente considera-se localiza¸cão espacial s de dimensão dois, ou seja, utiliza-se latitude e longitude. A estrutura de covariância utilizada para os modelos propostos no presente estudo são válidas em <d _{e sua validade depende da escolha da fun¸}_c˜_{ao de covariˆ}_{ancia adotada. Adotaremos trˆ}_{es fun¸}_c˜_{oes de}

covariância, da classe Màtern, a Exponencial (como um caso especial da Màtern) e a Cauchy Generalizada. Estas estruturas são válidas em qualquer números de dimensões segundo Stein [1999].

Se estamos interessados em modelar algum fenônomeno espacial, como por exemplo, chuva de uma determinada região, algumas localiza¸cões podem apresentar maior variabilidade comparada as outras localiza¸cões, vide que fenômenos naturais frequentemente apresentam dados fora do normal.

Modelos baseados na gaussianidade não possuem um bom desempenho se o conjunto de dados apresenta outliers, dados extremos ou regiões com maior variabilidade observacional. Desta forma, modelos não gaussianos são prefer´ıveis para tratar e acomodar outliers, já que possuem caudas mais pesadas e são capazes de acomodar associa¸cão espacial de forma a explicar melhor o comportamento dos dados de maneira mais realista.

Recentemente na literatura, foram desenvolvidos alguns tipos de modelos não-gaussianos para processos espaciais, como De Oliveira and Short [1997] que utiliza transforma¸cões não lineares de campos amostrais, para acomoda¸cão de outliers moderados. Já Palacios and Steel [2006] propuseram um modelo geoestat´ıstico para acomodar a não gaussianidade, via misturas de escala, modelando somente no espa¸co. Fonseca and Steel [2011] abordaram o uso de misturas em fun¸cões de covariâncias no espa¸co e no tempo.

Palacios and Steel [2006] mostraram ainda que embora o processo T-student seja um modelo com caudas mais pesadas que o da Normal, ele não possui a flexibilidade necessária para modelar dados georeferenciados, pois não é capaz de capturar estrutura espacial. Outros autores sugerem então o modelo de mistura GLG (no inglês Gaussian Log-Gaussian) o qual é baseado em um processo de mistura

(18)

log-gaussiano, permitindo a modelagem em regiões com maior variância. Este processo estocástico nos permite identificar e acomodar observa¸cões consideradas outliers via mistura de escalas.

Com a finalidade de propor técnicas de diagnósticos em modelos espaciais, utilizaremos três processos ao longo deste trabalho, o Gaussiano (G), o T-Student multivariado (TS) e o Gaussian Log Gaussian (GLG),

O objetivo deste trabalho é estudar medidas de bondade do ajuste, análise de res´ıduos e compara¸cão de modelos em modelos não gaussianos para processos que variam de forma cont´ınua no espa¸co. O principal interesse é estudar a influência do outlier na estima¸cão do parâmetro de interesse e compara¸cão de modelo. Por exemplo, O’Hagan [1995] diz que um único outlier pode dominar o cálculo e produzir um fator de Bayes totalmente enganoso. Em geral, algumas observa¸cões podem ser altamente influentes para a estima¸cão dos parâmetros de um modelo mas de outro modelo não.

Para isso iremos abordar os seguintes temas num contexto de modelos espaciais:

1. Utiliza¸cão de fun¸cões de influência, com objetivo de ver o quão uma observa¸cão classificada como outlier influência na estima¸cão do parâmetro de interesse. Essa técnica baseia-se na abordagem de West [1984] e é generalizada para o contexto espacial.

2. Adota-se medidas de bondade de ajuste para sele¸cão e compara¸cão de modelos mais robustos, através de testes de hipóteses bayesiano, como o fator de Bayes usual (Kass and Raftery [1995]) e fator de Bayes fracionário (O’Hagan [1995]), na cren¸ca de que o fator de Bayes fracional fornece uma forma de reduzir a sensiblidade do fator de Bayes usual perante os outliers. O p-valor bayesiano, baseado na distribui¸cão preditiva também é utilizado para ver o quão adequado pode ser o modelo na presen¸ca de observa¸cões discrepantes.

3. Análises de res´ıduos bayesianos também são estudados, como descrito em Chaloner and Brant [1988] para deteçcão de outliers. Os res´ıduos usuais utilizados em análise de regressão são aplicados no contexto espacial para deteçcão de outliers. Além disso, probabilidades a posteriori dos res´ıduos também são usadas para detectar outlier

4. Métodos de deteçcão baseados na distribui¸cão preditiva são estudados, como a concordância pre-ditiva (pc) proposto por Gelfand [1996], o cálculo da preditiva condicional ordinal Gelfand [1996] e uma medida de classifica¸cão de outlier mais conservadora. O teste de Savage-Dickey, é utilizado para o modelo GLG como um outro tipo de diagnóstico para deteçcão de outliers.

1.1 Estrutura e classifica¸

c˜

ao dos outliers

Define-se um outlier como uma observa¸cão at´ıpica, ou seja, que apresenta um grande afastamento das demais observa¸cões do conjunto amostral. Em estat´ıstica, a existência dessas observa¸cões podem levar a má interpreta¸cão dos resultados aplicados em toda a amostra.

´

E de extrema importˆancia saber como lidar com tal tipo de observa¸c˜ao, visto ser um problema frequente em estat´ıstica. Diversos autores como A. and L.R [2011] mencionam alguns pontos relevantes

(19)

e citam alternativas j´a aplicadas na literatura para solucionar este tipo de problema.

Uma das técnicas sugeridas na literatura é a decisão da rejei¸cão ou não dessa observa¸cão, tratando com um peso igual as demais observa¸cões presentes, com o uso de distribui¸cões mais prop´ı-cias para o tratamento desse dado. Em nosso estudo, distribui¸cões com caudas mais pesadas são mais favoráveis para tratar observa¸cões que apresentam comportamentos diferentes das demais na amostra.

O matemático deFinetti [1961] mostrou como a rejei¸cão de outliers poderia ocorrer natu-ralmente no contexto bayesiano. De acordo com O’Hagan [1979], deFinetti [1961] descreveu como a distribui¸cão a posteriori, dependendo sempre dos dados totais de forma que um modelo adequado seria menos influenciado por valores at´ıpicos. Em particular, Neyman and Scott [1971] designaram que há situa¸cões em que os outliers não devem ser tratados apenas como observa¸cões discrepantes, mas como uma caracter´ıstica natural do processo de gera¸cão de dados.

Neyman and Scott [1971] introduziram a classifica¸cão de dois termos: outlier-prone, distri-bui¸cões inclinada a valores extremos e outlier resistant, distribui¸cões que resistem a valores at´ıpicos. Tais termos são inseridos em tipos de distribui¸cões diferentes, como por exemplo, distribui¸cões normais são classificadas como outlier resistant e distribui¸cões t-student são classificadas como outlier-prone .

A literatura sugere métodos bayesianos para resolver esse tipo de problema, através de um modo automático, sendo uma das alternativas o uso de distribui¸cões com caudas pesadas. Uma forma para gera¸cão de tal tipo de distribui¸cão é realizada via de misturas de escalas da distribui¸cão Normal como descrito em West [1984], A. and L.R [2011],Choy and Smith [1997] e Johnson and Geisser [1983].

1.2 Exemplo de motiva¸

c˜

ao

O exemplo apresentado a seguir é exposto em A. and L.R [2011] sob o enfoque bayesiano através da modelagem de distribui¸cão com caudas pesadas via mistura de escalas, com intuito de tratar observa¸cões extremas presentes no conjunto de dados.

Seja uma amostra contendo 6 observa¸cões, y = (1.5, 2.6, 0.3, 0.9, 2.2, 25.5), onde cada ob-serva¸cão yi tem distribui¸cão yi ∼ tν(µ, 1) independentes. Observe que a última observa¸cão parece ser

um caso diferente das demais e nos questiona como tratá-la quando comparada as demais observa¸cões restantes. Considere a distribui¸cão t-student com densidade:

f (yi| µ, ν) ∝ 1 +(y − µ) 2 ν − (ν+1) 2

(20)

log f (y | µ, ν) = log n Y i=1 f (yi| µ, ν) = n X i=1 log Γ ν + 1 2 − n X i=1 log Γν 2 +1 2log ₁ πν −(ν + 1) 2 n X i=1 log 1 +(yi− µ) 2 ν

Considera-se uma priori uniforme para µ. A sexta observa¸c˜ao pode ser denotada por z e uma distribui¸c˜ao a posteriori de µ|y e z → ∞.

A proposta é mostrar graficamente pelas curvas de densidade a posteriori de µ que se alte-rarmos o valor de z, sendo z uma observa¸cão da amostra y, a curva irá se mover suavemente, esbo¸cando uma não influência na estima¸cão do parâmetro µ.

Podemos comparar o caso da distribui¸cão t com a distribui¸cão Normal(µ, 1), novamente considerando uma priori uniforme para µ. A fun¸cão de log-verossimilhan¸ca da Normal é dada por

logf (y | µ) = n X i=1 log 1 2π −1 2 n X i=1 (yi− µ)2 −1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T−Student(ν, µ, 1) µ f z=2 z=10 z=25.5 z=200 −1 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Normal(µ, 1) µ f z=2 z=5 z=10 z=20 (i) (ii)

Figura 1.1: Densidade a posteriori de µ dado valores de z (i) Caso t-student com ν = 5 e (ii) Caso Normal

Em rela¸cão a distribui¸cão N ormal(µ, 1) Figura (1.1) (ii), podemos observar que a altera¸cão e o aumento do valor da sexta observa¸cão (z) faz com que a curva se mova para a direita de forma significativa indicando uma forte influência na estima¸cão de µ. Por outro lado, isso não ocorre com a distribui¸cão t-student. Essa mudan¸ca suave nas curvas é uma caracter´ıstica natural da distribui¸cão t, como mostrado em Figura (1.1) (i). Baseado neste resultado, podemos concluir que distribui¸cões com caudas mais pesadas, relativamente se ajustam melhor a conjuntos de dados com observa¸cões aberrantes, indicando menor influência na estima¸cão do parâmetro de interesse. Assim, de fato, uma melhor maneira de modelar um banco dados com tais conflitos é através do uso de distribui¸cões com caudas pesadas, na cren¸ca de que isso irá fornecer um comportamento mais robusto na distribui¸cão a posteriori em resposta aos outliers.

(21)

Acredita-se que essa influência de observa¸cões at´ıpicas seja também importante num contexto espacial, onde observa¸cões tendem a ser correlacionadas espacialmente. Esse tema será abordado nesta disserta¸cão.

1.3 Delineamento da disserta¸

c˜

ao

A disserta¸cão está organizada da seguinte forma. No Cap´ıtulo 2, são apresentados conceitos de modelagem espacial, como por exemplo estacionariedade. Também são apresentados os três processos espaciais que serão comparados ao longo do estudo, gaussiano, T-student multivarido e GLG, acrescentando suas caracter´ısticas, vantagens e desvantagens. A escolha das fun¸cões de covariância utilizadas no contexto espacial também é exposta, bem como a utiliza¸cão da inferência bayesiana para estes modelos e para as métodos adotados nos cap´ıtulos seguintes.

No Cap´ıtulo 3, é realizado a simula¸cão de um pequeno conjunto de dados, oriundos de uma normal multivariada. Os dados são contaminados em cenários - nenhum, pouco, moderados outliers. Em particular, estamos interessados em utilizar distribui¸cões com caudas mais pesadas comparadas as da normal através de mistura de escalas para acomodar a não gaussianidade.

No Cap´ıtulo 4, a fun¸cão de influência é estendida para o caso espacial, com a finalidade de observar o quão influente pode ser uma observa¸cão classificada ou não como discrepante na estima¸cão de um parâmetro de interesse. Mapas para as fun¸cões de influência dos processo são expostos para os três modelos.

No Cap´ıtulo 5, são estudados alguns métodos de diagnósticos bem estabelecidos na literatura para deteçcão de outliers, sendo estendido para o contexto espacial. A análise de res´ıduo bayesiana de forma padronizada é descrito para os três modelos espaciais considerados (Normal, T-Student e GLG). Métodos de deteçcão de outliers baseados na preditiva e teste de Savage-Dickey também são estudados. Além disso, é proposto por mim dois métodos para detectar outliers baseados na preditiva: o p-valor para a condicional preditivia ordinal, que pode ser visto como um p-valor de valida¸cão cruzada e um p-valor mais conservador na escolha de outliers.

No Cap´ıtulo 6, é apresentado o p-valor bayesiano para cada cenário proposto no Cap´ıtulo 3 com respectivos modelos, através de medidas de discrepâncias que são utilizadas como teste estat´ıstico na inferência clássica.

Já no Cap´ıtulo 7, é estudado a compara¸cão e sele¸cão de modelos através do fator de Bayes usual e fator de Bayes fracional para a escolha de um melhor modelo que se adeque aos dados.

Por fim, no Cap´ıtulo 8, ´e feito um breve resumo sobre os resultados da disserta¸c˜ao e poss´ıveis trabalhos futuros.

(22)

18

2 Estat´ıstica espacial

2.1 Modelo Gaussiano

Os modelos para dados referenciados no espa¸co e no tempo são recorrentemente utilizados em várias áreas tais como, meio ambiente, dados meterológicos, geológicos e saúde. Neste contexto, podemos definir o processo como descrito em (1.1) e

Z ∼ N ormaln(µ, σ2Σ(θ)) (2.1)

Segundo Diggle and Ribeiro [2007], processos estocásticos do tipo gaussianos são comumente utilizados na prática em modelos para dados geoestat´ısticos, ou seja, dados que assumem valores reais para cada localiza¸cão s ∈ D ⊆ <d _{podendo capturar um comportamento espacial de acordo com a}

especifica¸cão de sua estrutura de correla¸cão. Tal classe é matematicamente conveniente, mas a suposi¸cão ´

e muito restritiva e os dados podem apresentar muitas vezes caracter´ısticas n˜ao-gaussianas (Fonseca and Steel [2011]).

A fun¸cão de covariância para o processo Z(s) é escrita da forma

C(s, s + us) = Cov {Z(s); Z(s + us)} (2.2)

onde C é uma fun¸cão de covariância válida em <d_{. Por exemplo, a fun¸}_c˜_{ao de covariˆ}_{ancia para o modelo}

Màtern é válida em qualquer número de dimensões (Stein [1999]) e é utilizada para processos puramente espaciais (ver em Banerjee et al. [2004], Palacios and Steel [2006]). A seguir, iremos também considerar alguns conceitos como estacionariedade e isotropia.

O processo {Z(s) : s ∈ D} é dito ser estacionário, se sua esperan¸ca não depende dos pontos de localiza¸cão, ou seja, se µ(s) = µ, é uma constante para s e C(s, s + us) = K(us), onde us representa

o vetor de diferen¸ca.

O processo estacionário é isotrópico se C(s, s + us) = K(||us||) onde || · || denota a distância

euclidiana, ou seja, a covariância entre os valores de Z(s) para qualquer duas localiza¸cões depende somente da distância entre eles.

2.2 Modelo de Mistura Espacial

Frequentemente dados apresentam algum tipo de observa¸c˜ao at´ıpica. ´E preciso saber lidar com esse tipo de dado quando consideramos um processo no espa¸co, pois usualmente este tipo de dado pertencem a

(23)

sub-regiões que apresentam variâncias observacionais grandes. Com isto, a distribui¸cão gaussiana torna-se inadequada para este tipo de problema. É considerado processos não-gaussianos, constru´ıdo através de modelos de mistura espacial com a finalidade de explicar o comportamento de caudas mais pesadas.

´

E de nosso interesse enfatizar a importˆancia dos modelos n˜ao-gaussianos para processos que variam continuamente no espa¸co.

Seja Z um processo escotástico definido para localiza¸cões s em alguma região espacial D ⊂ <d_{. Podemos escrever o modelo como:}

Z(s) = xT(s)β + σ Z(s)e

λ1/2_(s)+ τ ω(s) (2.3)

onde xT_{(s) representa as covari´}_{aveis do modelo com vetor de coeficientes β ∈ <}k _{desconhecidos; e}_Z(s)

´

e um processo gaussiano definido em s ∈ D, com um vetor de médias zero, e matriz de correla¸cão que depende da distância entre os pontos dada por Σ(θ), representando uma matriz de correla¸cao n × n, ou seja, é a fun¸cão de correla¸cão parametrizada pelo vetor θ = (φ, κ)T_{, tal que κ representa um parˆ}_ametro

de suaviza¸cão e φ o parâmetro de decaimento. Um efeito pepita (do inglês nugget efect ) dado por ω(s) iid com média zero e matriz de covariância τ2In, é inserido no modelo afim de permitir erros de

medida e varia¸cão de pequena escala. Note que se τ2= 0 haverá a ausência do efeito pepita no processo {Z(s) : s ∈ D}.

Se definimos λ(s) 6= 1, teremos um processo não gaussiano, onde a única diferen¸ca é que neste caso temos um processo de mistura denotado por λ(s), tal que o processo {λ(s) : s ∈ D} é um processo de mistura positivo espacialmente correlacionado, isto é, uma fun¸cão única da distância us,

entre si e sj, do qual independe de Z(s) e do efeito pepita. Abaixo, sao apresentados dois modelos n˜ao

gaussianos:

A) O caso em que a distribui¸cao de mistura λ(s) = λ e λ|ν ∼ Gama ν₂,ν₂ marginalizando z com respeito a λ temos um processo T-student multivariado dado por

z ∼ t − studentn(µ, ν, σ2Σ(θ) + τ2In) (2.4)

onde ν representa os graus de liberdade e o cálculo da marginaliza¸cão pode ser visto com maiores detalhes no Apêndice B. Também podemos escrevê-lo como

z|β, σ2, θ, λ ∼ N ormaln(Xβ, σ2λ−1Σ(θ) + τ2In) (2.5)

B) Palacios and Steel [2006] propõem a classe de modelos GLG, permitindo a modelagem em regiões com maior variância. A inser¸cão da variável λ afeta a variância do processo permitindo que o mesmo se torne mais flex´ıvel, real´ıstico e acomode heterocedasticidade espacial.

Em particular, uma vari´avel de mistura λ(s) ∈ <+ _´_{e atribu´ıda para cada observa¸}_c˜_{ao da amostra e}

(24)

z|β, σ2, τ2, θ, Λ ∼ N ormaln

Xβ, σ2(Λ−1/2Σ(θ)Λ−1/2) + τ2In

(2.6) tal que Λ = diag(λ1, . . . , λn). Ao longo deste estudo n˜ao usaremos o incremento do efeito pepita,

considerando τ2_{= 0. Integrando em λ temos um processo com caudas mais pesadas que a normal.}

Queremos estar na situa¸cão em que poder´ıamos acomodar esses outliers, o que pode ser realizado via mistura de variáveis para cada localiza¸cão. De forma geral podemos definir a distribui¸cão de mistura adotado em Palacios and Steel [2006] como

ln(λ) = (ln(λ1), ln(λ2)), . . . , ln(λn)))T ∼ N ormaln −ν 21, νΣ(θ) (2.7)

onde 1 representa um vetor de un’s, correlacionamos os elementos de ln(λ) através da mesma matriz de correla¸cão como em eZ(s) e ν ∈ <+ é um parâmetro escalas introduzido na distribui¸cão de ln(λ) e tais

valores perto de zero levam infla¸c˜ao da variˆancia.

Cada elemento da distribui¸cão de λ(s) seguirá uma Log-Normal com média E(λ) = 1 e variância V ar(λ) = eν_{− 1.}

O grande diferencial desde modelo apresentado por Palacios and Steel [2006], é permitir que os parâmetros do qual estamos interessados sejam estimados de maneira mais adequada quando deparados com observa¸cões conflitantes, pois este é capaz de acomodar heterocedasticidade espacial, devido a mistura de escala atribuida para cada localiza¸cão, o que não acontece com o modelo gaussiano e T-student multivariado, pois estes não são capazes de capturar heterocedasticidade espacial, visto que o modelo gaussiano não apresenta nenhum parâmetro responsável pelo comportamento da cauda e no caso T-student multivariado embora tenhamos este parâmetro, é utilizado uma única mistura de escala para todas as localiza¸cões, e esta mistura não se torna adequada para acomoda¸cão de observa¸cões at´ıpicas.

2.3 Classes de Covariˆ

ancias

Dados geoestat´ısticos são comumente baseados na teoria de processos aleatórios gaussianos e o principal elemento é a fun¸cão de correla¸cão. Se o campo é também isotrópico, a fun¸cão de correla¸cão só dependerá da distância u. Assim, algumas fun¸cões de correla¸cão são inclu´ıdas neste estudo.

2.3.1 Classe M`

atern

Uma forma muito comum do comportamento emp´ırico para a estrutura de covariância estacionária é que a correla¸cão entre Z(si) e Z(sj) decresce como a distância u = ||si− sj|| cresce. É natural, portanto,

olhar para modelos cuja estrutura de correla¸cão teórica se comporta desta maneira. É esperado também que diferentes aplica¸cões possam exibir diferentes graus de suaviza¸cão no processo espacial Z(s).

A fam´ılia Matérn de fun¸cões de correla¸cão satisfaz essas duas determinantes. É uma fam´ılia de dois parâmetros desconhecidos, dado por

(25)

ρ(u) =2k−1_{Γ (κ)} −1 u φ κ Kκ u φ , u ≥ 0, φ ≥ 0 (2.8)

onde Kκ(·) é a fun¸cão de Bessel modificada de ordem κ, sendo que κ > 0 determina a suaviza¸cão anal´ıtica

do processo Z(s) e 1/φ > 0 representa o parâmetro de alcance com as dimensões da distância, ou seja, a distância no qual as observa¸cões estão espacialmente correlacionadas.

Note que, para κ = 0, 5, a fun¸cão de correla¸cão Mátern reduz-se a fun¸cão de correla¸cão exponencial, ρ(u) = exp−u_φ . Por outro lado, quando κ → ∞, ρ(u) → exp

−u

φ

2

, também é chamado de fun¸cão correla¸cão Gaussiana. A fun¸cão de covariância é dada por

C(u) = σ22k−1_{Γ (κ)} −1 u φ κ Kκ u φ , u ≥ 0, φ ≥ 0 (2.9)

A classe Màtern é válida para qualquer número de dimensões segundo Stein [1999]. Podemos observar graficamente na figura (2.1) o que acontece quando mudamos os valores de φ e κ.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 u ρ ( u ) k=0.5φ=0.25 k=1.5φ=0.16 k=2.5φ=0.13

Figura 2.1: Fun¸cões de correla¸cão Màtern com seus respectivos valores de κ e φ.

A figura abaixo representa a realiza¸cão de fun¸cão aleatória gaussiana com θ = (φ, κ), com processo mais suaves.

(26)

κ = 0, 5 κ = 1, 0 κ = 2, 0

Figura 2.2: Realiza¸cão de uma fun¸cão aleatória gaussiana para a fun¸cão de covariância Matèrn com parâmetros θ = (φ, κ)

2.3.2 Classe Cauchy Generalizada

A fun¸cão de covariância é dada por

C(u) = σ2 1 + u φ κψ/κ , (2.10)

onde u é a distância euclidiana, φ > 0, κ ∈ (0, 2] e ψ > 0. Quando κ = 2, esta classe é conhecida como modelo Cauchy. O parâmetro φ representa o decaimento, κ a suavia¸cão do processo e ψ é responsável pela dependência de longo alcance. Como na fun¸cão Matèrn esta fun¸cão também é valida em todas as dimensões, ver Gelfand and MacEachern [2005].

Uma das vantagens da utiliza¸cão desta classe de covariância é a flexibilidade, pois permite a modelagem de dependência de memória longa e também correla¸cão de lags curtos e intermediários. Se ψ ∈ (0, 1) então processo é dito ter memória longa.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 u ρ ( u ) k=0.5φ=0.25 k=1.5φ=0.16 k=2.5φ=0.13

Figura 2.3: Fun¸c˜ao de correla¸c˜ao da classe Cauchy

(27)

2.4 Inferˆ

encia bayesiana

Nesta se¸cão um procedimento inferencial é proposto seguindo o ponto de vista bayesiano. Para maiores detalhes sobre o método bayesiano ver Migon and Gamerman [1999].

Suponha que observamos z = (z1, . . . , zn), onde zi = z(si) para cada localiza¸c˜ao si, i =

1, . . . , n. Temos uma m´edia µ = β0+ β1lati+ β2longi e a matriz de covariˆancia expressa por Σ(θ), onde

θ = (φ, κ). Podemos escrever a verossimilhan¸ca para os respectivos modelos como:

I. Modelo Gaussiano: LG(Φ; z) = fNn(z|µ, σ2Σ(θ)), onde Φ = (β, σ2, θ)

II. Modelo T-Student Multivariado: LT S(Φ; z) = fT Sn (z|µ, ν, σ

2_{Σ(θ)) ,} _onde _{Φ = (β, σ}2_{, θ, ν)}

III. Modelo GLG: LGLG(Φ; z) = fNn(z|µ, σ2Λ−1/2Σ(θ)Λ−1/2), onde Φ = (β, σ2, θ, λ, ν)

e fn

N(·|µ, Σ) denota uma Normal multivariada e fT Sn(·|µ, ν, Σ) ´e segue uma distribui¸c˜ao T-Student

mul-tivariada

2.4.1 Distribui¸

c˜

ao a Priori

A distribui¸cão a priori nos dá o conhecimento prévio a respeito do parâmetro do qual estamos interessados em estudar antes de observar um conjunto de dados. Elicitar prioris não é fácil, pois temos que juntar conhecimentos que o pesquisador acredita que seja viável transformando este conhecimento em uma distribui¸cão de probabilidade.

Se temos algum conhecimento prévio do parâmetro de interesse, podemos utilizá-lo para espeficicar a distribui¸cão a priori, caso contrário, precisamos recorrer a outros métodos, como por exemplo utilizar prioris conjugadas ou não informativas, procedendo uma análise bayesiana mais simples.

As prioris apresentadas a seguir foram baseadas no artigo de Palacios and Steel [2006] e Fonseca et al. [2008] no qual tentam induzir propriedades razo´aveis para um processo de elicita¸c˜ao mais cuidadoso.

• Distribui¸c˜ao a priori para Modelo Gaussiano

Para o modelo gaussiano, n˜ao teremos o incremento do efeito pepita (τ2 _{= 0), ou seja, os}

locais de amostragem foram suficientemente próximos para detectar a variabilidade espacial da variável de estudo e o parâmetro de suaviza¸cão κ é fixado. A distribui¸cão a priori será cont´ınua com uma fun¸cão de densidade da forma

π(β, σ2, θ) = π(β)π(σ2)π(θ) (2.11)

Em sequência é descrito a escolha segundo Palacios and Steel [2006] para as distribui¸cões a priori no modelo gaussiano.

(28)

Priori para σ2_{: σ}2_{∼ GamaInversa(a, b)}

Priori para φ: φ ∼ Gama (1, c/med(us)), tal que med representa a mediana da distˆancia us.

• Distribui¸c˜ao a priori para Modelo T-Student Multivariado

Para o modelo t-student multivariado, não teremos o incremento do efeito pepita, ou seja, os locais de amostragem foram suficientemente próximos para detectar a variabilidade espacial da variável de estudo e o parâmetro de suaviza¸cão κ é fixado. A distribui¸cão a priori será cont´ınua com uma fun¸cão de densidade da forma

π(β, σ2, θ, ν) = π(β)π(σ2)π(θ)π(ν) (2.12)

Em sequência é descrito a escolha segundo Palacios and Steel [2006] e Fonseca et al. [2008] para as distribui¸cões a priori no modelo T-Student multivariado.

Priori para β: β ∼ Nn(0, c1In)

Priori para φ: φ ∼ Gama (1, c/med(us))

Priori para ν : π(ν) ∝_ν+3ν

1/2n

ψ0 ν₂ − ψ0 ν+1₂ −_ν(ν+1)2(ν+3)2

o1/2

, priori independente (Fonseca et al. [2008])

em que ψ0(a) = d ψ(a)_da representa a fun¸c˜ao Trigama.

• Distribui¸c˜ao a priori para Modelo GLG

Para o modelo GLG, não teremos o incremento do efeito pepita, ou seja, os locais de amos-tragem foram suficientemente próximos para detectar a variabilidade espacial da variável de estudo e o parâmetro de suaviza¸cão κ é fixado. A distribui¸cão a priori será cont´ınua com uma fun¸cão de densidade da forma

π(β, σ2, θ, ν) = π(β)π(σ2)π(θ)π(ν) (2.13)

Em sequência é descrito a escolha segundo Palacios and Steel [2006] para as distribui¸cões a priori no modelo GLG.

Priori para β: β ∼ Nn(0, c1In)

Priori para ν: ν ∼ GIG(ζ, δ, ι) ou ν ∼ Gama(c2, c3)

Priori para φ: φ ∼ Gama (1, c4/med(us))

(29)

2.4.2 Distribui¸

c˜

ao a posteriori e distribui¸

c˜

ao preditiva

Dado a fun¸cão de verossimilhan¸ca e a distribui¸cão a priori para o vetor de parâmetros Φ, para qualquer inferência e decisão a respeito de Φ temos que encontrar a densidade a posteriori utilizando o teorema de Bayes sendo definida por

Teorema 2.4.1 (Distribui¸cão a Posteriori). A distribui¸cão a posteriori do vetor Φ é calculada atráves do Teorema de Bayes, da forma

p(Φ|z) = L(Φ; z)π(Φ)

R L(Φ; z)π(Φ)dΦ (2.14)

Para obter o denominador, ou seja, a distribui¸c˜ao preditiva para o modelo de interesse calcula-se

p(zrep|z) = Z

p(zrep|Φ)p(Φ|z)dΦ (2.15)

A equa¸cão (2.15) será bastante utilizada ao longo do trabalho, para o cálculo das observa¸cões futuras comparadas com os valores observados, verificar se uma observa¸cão pode ser classificada como outlier, cálculo do p-valor bayesiano para o modelo e também na aplica¸cão do fator de Bayes (usual e fracionário).

Como a posteriori do vetor paramétrico Φ dificilmente possuiu uma forma análitica co-nhecida, recorremos a utiliza¸cão de métodos de simula¸cão estocástica via MCMC para obtermos uma aproxima¸cão da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros. De forma mais espec´ıfica adotamos o método de Gibbs Sampler com passos de Metrópolis-Hastings, para amostrar das condicionais completas. Para maiores detalhes destes métodos ver Gamerman [1997], Robert and Casella [1999].

O cálculo das condicionais completas para os modelos propostos acima são expostas no Apêndice A, bem como a constru¸cão do amostrador para λ.

(30)

26

3 Exemplo simulado e contamina¸

c˜

ao de dados

Considere o caso em que Z(s) é um processo definido para localiza¸cões s em alguma região espacial D ∈ <d_{. Podemos definir o modelo como}

Z(s) = x(s)Tβ + σ Z(s)e λ1/2_(s)

O objetivo é mostrar a influência das observa¸cões discrepantes em um processo gaussiano, comparado com um processo não-gaussiano como descrito anteriormente, pois outliers podem ser definidos como observa¸cões pertencentes a uma determinada sub-região com variância observacional grande.

Neste exemplo, foram simulados n = 30 pontos para latitute e longitude

Tabela 3.1: Simula¸cão dos dados (z) oriundos de uma distribui¸cão normal multivariada com seus respec-tivos parâmetros (σ2_{, µ, φ, κ)}

7,466 7,435 5,980 5,643 8,486 7,478 7,633 6,607 8,135 6,174 5,352 6,247 7,192 7,538 8,549 7,817 6,770 5,347 5,668 6,998 7,209 7,481 4,573 7,703 7,218 5,854 7,922 7,168 8,169 7,940

Definimos o modelo como em (2.3) para (λ(s) = 1 e ausˆencia de efeito pepita), simulando z sendo oriundos de uma distribui¸c˜ao fN(µ, σ2Σ(θ)), tal que µ(s) = β0+ β1lati+ β2longi e matriz de

covariˆancia σ2_{Σ(θ) = Σ, e latitude (lat) e longitude (long) representam as covari´}_{aveis do modelo. Esta}

simula¸c˜ao foi divida em 3 cen´arios e apresentado na tabela (3.2)

Para simula¸c˜ao desses dados, fixamos valores iniciais para β0= 6, 716, β1= 2, 7, β2= −1, 808

- para o cálculo da média µ, σ = 1, φ = 0, 61, κ = 0, 5 – para o cálculo da matriz de covariância Σ, sendo os dois últimos parâmetros da fun¸cão da matriz de correla¸cão Màtern, do vetor θ. A partir do dado verdadeiro (Cenário 1), foram contaminados os demais cenários. Gostar´ıamos de analisar como os dados se comportam na presen¸ca de outliers.

Segundo West [1984] modelos normais contaminados são úteis para caracterizar observa¸cões discrepantes e mudan¸cas na estrutura de séries temporais em modelos lineares dinâmicos. Utilizaremos a mesma ideia para análise de dados contaminados em um contexto espacial.

(31)

Tabela 3.2: Contamina¸cão dos dados para cada cenário Cenário 1 Sem presen¸ca de outliers nos dados

Cen´ario 2 Com presen¸ca de fracos outliers: foram contaminados 3 pontos (observa¸c˜oes 1,6,20)

Cen´ario 3 Com presen¸ca de moderados outliers: foram contaminados 8 pontos (observa¸c˜oes 1,6,20,15,30,16,13,29)

As contamina¸cões foram realizadas com intuito de investigar o comportamento de vários métodos de diagnóstico na identifica¸cão de observa¸cões que seriam outliers. Para o Cenário 2, seleci-onamos 3 observa¸cões aleatoriamente de tal forma que as observa¸cões 1 e 20 foram contaminadas por adi¸cão de um incremento aleatório utilizando uma U nif orme(1; 3, 5) vezes um desvio padrão para cada observa¸cão e a observa¸cão 6 foi contaminada por adi¸cão de um incremento aleatório U nif orme(1; 2, 5) vezes um desvio padrão para todas as loca¸cões espaciais, classificados como fracos outliers.

Da mesma forma, o Cenário 3, classificado como moderado outliers, as 8 observa¸cões foram selecionadas aleatoriamente de forma que as observa¸cões 1, 13, 15, 16, 20, 30 foram contaminadas por adi¸cão de um incremento aleatório através da U nif orme(1; 3, 5), a observa¸cão 6 adicionada por U nif orme(1; 2, 5) e a observa¸cão 29 adicionando uma U nif orme(1; 6, 5) vezes um desvio padrão para todas as localiza¸cões espaciais. A Figura (3.1) mostra o mapa das contamina¸cões em cada cenário.

long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(i) (ii) (iii)

Figura 3.1: Localiza¸cão espacial de cada observa¸cão de acordo com respectivo cenário. Os pontos fixados com ∗ na cor vermelha representam os dados contaminados. O gráfico (i) representa o Cenário 1, (ii) Cenário 2 e (iii) Cenário 3.

3.1 Estima¸

c˜

ao dos parˆ

ametros

Nesta se¸cão apresentaremos a estima¸cão dos parâmetros para os três processos propostos somente para os dados originais, ou seja, com ausência de contamina¸cão, com o intuito de verificar a convergência do

(32)

vetor de parˆametros de cada processo.

3.1.1 Modelo Gaussiano - Classe M`

atern

Inicialmente iremos avaliar o modelo proposto utilizando os respectivos cenários, através dos dados simu-lados oriundos de uma Normal Multivariada com média µ = β0+ β1lati+ β2longi e com estrutura de

covariância da classe Màtern com κ = 0, 5 fixo. Os dados consistem em 30 loca¸cões espaciais, com o vetor de parâmetros Φ = (µ, σ2_{, φ) . Foram utilizadas as mesmas distribui¸}_c˜_{oes a priori propostas no Cap´ıtulo}

2, onde os valores dos parˆametros de cada priori foram selecionados de tal forma que as distribui¸c˜oes a priori fossem vagas, ou seja, pouco informativas.

As amostras a posteriori são obtidas utilizando M = 50000 itera¸cões ,um burn-in de 1000 e lag de 50 itera¸cões. A convergência dos parâmetros e histogramas a posteriori são mostradas nas figuras (3.2), com valor verdadeiro e a curva da priori. A tabela (3.3) mostra o resumo dos parâmetros a posteriori, com mediana e intervalo de credibilidade para o Cenário 1.

Tabela 3.3: Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parˆametros do modelo gaussiano no Cen´ario 1

Parˆametro Mediana (2, 5%; 97, 5%) β0= 6, 716 6,543 (4, 685; 8, 512)

β1=2,700 2,328 (0, 344; 4, 739)

β2=-1,808 -1,358 (−3, 340; 0, 659)

σ2_{= 1, 0} _1,001 _{(0, 941; 1, 068)}

φ = 0, 61 0,588 (0, 327; 0, 935)

1_{Taxa de aceita¸}_c˜_{ao para φ igual a 0,239}

(33)

0 200 600 1000 4 6 8 10 β0 β0 Density 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 200 600 1000 6.0 6.2 6.4 6.6 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta0 0 200 600 1000 0 2 4 6 β1 β1 Density −2 0 2 4 6 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 2.5 3.0 3.5 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta1 0 200 600 1000 −5 −3 −1 0 1 2 β2 β2 Density −4 −2 0 2 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 −1.6 −1.2 −0.8 −0.4 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta2 0 200 600 1000 0.90 1.00 1.10 σ2 _σ2 Density 0.90 1.00 1.10 0 2 4 6 8 10 0 200 600 1000 1.000 1.010 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação sigma2 0 200 600 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 φ φ Density 0.2 0.6 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 200 600 1000 0.55 0.65 0.75 0 5 10 20 30 0.0 0.4 0.8 Lag A CF autocorrelação phi

Figura 3.2: Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cao para os respectivos parâmetros do modelo gaussiano. A reta tracejada de cor vermelha no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa de verde representa a média a posteriori.

(34)

3.1.2 Modelo T-Student multivariado

Como no modelo gaussiano, iremos fixar o valor de κ = 0, 5 para fun¸cão de covariância da classe Màtern, como um caso particular. Os dados consistem em 30 localiza¸cões espaciais, com o vetor de parâmetros Φ = (µ, σ2_{, φ, ν) . Foram utilizadas as mesmas distribui¸}_c˜_{oes a priori propostas no Cap´ıtulo 2, onde os}

valores dos parˆametros de cada priori foram selecionados de tal forma que as distribui¸c˜oes a priori fossem vagas, ou seja, pouco informativas.

Amostras a posteriori são obtidas utilizando M = 50000 itera¸cões, com um burn-in de 1000 e lag de 50 itera¸cões. A convergência da cadeia dos parâmetros são mostradas nas figuras , para o cenário 1. A tabela (3.4) mostra o resumo a posteriori de cada parâmetro para o Cenário 1.

Tabela 3.4: Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parˆametros do modelo t student multivariado para o Cen´ario 1.

Parˆametro Mediana Intervalo de Credibilidade β0= 6, 716 7,000 (4, 681; 8, 614) β1=2,700 2,000 0, 223; 4, 493) β2=-1,808 -1,475 (−3, 424; 0, 612) σ2_{= 1, 0} _1,003 _{(0, 940; 1; 070)} φ = 0, 61 0,579 (0, 241; 1, 495) ν 7,721 (0, 0121; 39, 797)

1_{Taxa de aceita¸}_c˜_{ao para φ igual a 0,260} 2_{Taxa de aceita¸}_c˜_{ao para ν igual a 0,358}

(35)

0 200 600 1000 4 6 8 10 β0 β0 Density 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0 200 600 1000 6.0 6.2 6.4 6.6 6.8 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta0 0 200 600 1000 −2 0 2 4 6 β1 β1 Density −2 0 2 4 6 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 1.2 1.6 2.0 2.4 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta1 0 200 600 1000 −6 −4 −2 0 2 β2 β2 Density −6 −4 −2 0 2 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 −1.6 −1.2 −0.8 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta2 0 200 600 1000 0.95 1.00 1.05 1.10 σ2 _σ2 Density 0.90 1.00 1.10 0 2 4 6 8 10 12 0 200 600 1000 0.980 0.990 1.000 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação sigma2

(36)

0 200 600 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 φ φ Density 0.2 0.6 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 0 200 600 1000 0.52 0.56 0.60 0.64 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação phi 0 200 600 1000 0 20 40 60 80 Index n u.sample nu.sample Frequency 0 20 40 60 80 0 100 300 500 0 200 600 1000 5 10 15 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação nu

Figura 3.3: Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cao para os respectivos parâmetros do modelo t-student multivariado. A reta tracejada na cor verde no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa na cor vermelha representa a média a posteriori.

3.1.3 Modelo GLG - Classe M`

atern

Fixa-se novamente o valor do parâmetro de suavia¸cão κ = 0, 5 para fun¸cão de covariância da classe Màtern, como um caso particular. Os dados consistem em 30 loca¸cões espaciais, com o vetor de parâmetros Φ = (µ, σ2_{, φ, ν, λ) . Foram utilizadas as mesmas distribui¸}_c˜_{oes a priori propostas no Cap´ıtulo 2, onde os}

valores dos parˆametros de cada priori foram selecionados de tal forma que as distribui¸c˜oes a priori fossem vagas, ou seja, pouco informativas.

Amostras a posteriori são obtidas utilizando M = 50000 itera¸cões, com um burn-in de 1000 e lag de 50 itera¸cões. A convergência da cadeia dos parâmetros são mostradas nas figuras (3.4), para o Cenário 1. O histograma das distribui¸cões a posteriori para os respectivos parâmetros são mostrados na figura (3.4). A tabela (3.5) mostra o resumo a posteriori de cada parâmetro para o Cenário 1.

(37)

Tabela 3.5: Mediana a posteriori e quantis de 2,5% e 97,5% para os parˆametros do modelo GLG para o Cen´ario 1.

Parˆametro Mediana Intervalo de Credibilidade β0= 6, 716 6,374 (4, 376; 8, 353) β1=2,700 2,365 (0, 167; 4, 881) β2=-1,808 -1,387 (−3, 775; 0, 948) σ2_{= 1, 0} _1,006 _{(0, 943; 1, 068)} φ = 0, 61 0,479 (0, 301; 0, 760) ν 0,053 (0, 003; 0, 281)

1_{Taxa de aceita¸}_c˜_{ao para φ igual a 0.235} 2_{Taxa de aceita¸}_c˜_{ao para ν igual a 0.306}

(38)

0 200 600 1000 3 4 5 6 7 8 9 β0 β0 Density 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0 200 600 1000 6.2 6.6 7.0 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta0 0 200 600 1000 0 2 4 6 β1 β1 Density 0 2 4 6 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 1.5 2.0 2.5 3.0 0 5 10 20 30 0.0 0.4 0.8 Lag A CF autocorrelação beta1 0 200 600 1000 −6 −4 −2 0 2 β2 β2 Density −6 −4 −2 0 2 0.00 0.10 0.20 0.30 0 200 600 1000 −1.8 −1.4 −1.0 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação beta2 0 200 600 1000 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 σ2 _σ2 Density 0.90 1.00 1.10 0 2 4 6 8 10 0 200 600 1000 0.96 0.98 1.00 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação sigma2 34

(39)

0 200 600 1000 0.4 0.6 0.8 1.0 φ φ Density 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 0 200 600 1000 0.40 0.45 0.50 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação phi 0 200 600 1000 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Index n u.sample nu.sample Frequency 0.0 0.2 0.4 0 100 200 300 400 0 200 600 1000 0.06 0.10 0.14 0 5 10 20 30 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag A CF autocorrelação nu

Figura 3.4: Convergência das cadeias, histograma, média e autocorrela¸cão para os respectivos parâmetros do modelo GLG. A reta tracejada na cor verde no histograma representa o valor verdadeiro, e a reta completa na cor vermelha representa a média a posteriori.

3.2 Comportamento dos λ’s no modelo GLG

´

E apresentado pelas figuras (3.5) para cada cenário o comportamento do parâmetro λ no modelo GLG em rela¸cão as observa¸cões. Este parâmetro consegue capturar outliers por meio da variância de cada observa¸cão. Os outliers podem ser classificados como tais se possuem variâncias maiores em rela¸cão as outras observa¸cões.

A proposta para os λi, i = 1, . . . , n no MCMC ´e constru´ıda dividindo as observa¸c˜oes em 4

blocos (regiões), definidos pela posi¸cão no dom´ınio espacial. As regiões foram divididas e contaminadas de acordo com a figura (3.5), que apresenta o box-plot das variâncias relativas σ2

λ para cada localiza¸c˜ao.

Observa-se que loca¸cões que foram contaminadas apresentam uma variância relativa maior que as demais loca¸cões não contaminadas. Com isso, podemos afirmar que o processo de mistura consegue identificar observa¸cões discrepantes na amostra.

(40)

Cenário 1 long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 4 7 11 15 19 23 27 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 observações σ 2 λi Cenário 2 long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 ₂₀ 6 1 4 7 11 15 19 23 27 0 2 4 6 8 observações σ 2 λi Cenário 3 long lat 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 ₂₀ 6 15 29 30 16 1 4 7 11 15 19 23 27 0 2 4 6 8 10 12 14 observações σ 2 λi

Figura 3.5: Comportamento dos λ’s em cada cenário. Observa¸cões contaminadas são destacadas em verde e apresentam variância relativa maior que as demais.

(41)

37

4 Fun¸

c˜

oes de influˆ

encia espaciais

Nesta se¸cão abordaremos um instrumento que permite um melhor entendimento sobre o comportamento de uma distribui¸cão ou modelo perante os dados. Nas análises a seguir a fun¸cão de influência sugere como se comporta um estimador quando mudamos uma observa¸cão da amostra, baseada no conjunto dos dados.

4.1 Fun¸

c˜

ao de influˆ

encia

A fun¸cão de influência permite analisar como o conjunto de dados são tratados pela estima¸cão em uma determinada distribui¸cão de interesse.

Sob o paradigma bayesiano o cálculo da fun¸cão de influência é visto com maiores detalhes em West [1984]. A fun¸cão de influência é calculada a partir da distribui¸cão escore a posteriori do parâmetro no qual estamos interessados e escrita como

∂ ∂µlogp(µ, ν|y) = ∂ ∂µlogπ(µ) + n X i=1 g(yi− µ) (4.1)

onde a expressao em (4.1) é a fun¸cão escore a posteriori e g() = −_∂∂p() é a fun¸cão de influência e = yi− µ. Para (4.1) o efeito que a observa¸cão yi tem sobre a fun¸cão escore é determinada pela fun¸cão

de influˆencia g.

Apresentado o caso da tν(µ, λ) no exemplo de motiva¸c˜ao (1.2) do Cap´ıtulo 1, podemos

calcular a sua fun¸cão de influência, já que o propósito é avaliar se a observa¸cão yi influencia ou não na

estima¸cão do parâmetro µ. Para isso, seja o parâmetro de escala σ2 _{= 1, conhecido. Sua distribui¸}_c˜_{ao a}

posteriori ´e dada por

p(µ, ν|yi) ∝ f (yi|µ, ν)π(µ)

Aplicando o log na distribui¸c˜ao a posteriori e derivando em rela¸c˜ao a µ:

logp(µ, ν|yi) = c + logf (yi|µ, ν) + logπ(µ) + logπ(ν)

∂ ∂µlogp(µ, ν|yi) = 1 π(µ)π 0_{(µ) +} ν + 1 2 1 1 +(yi−µ)2 ν ! 2(yi− µ) ν

Então se temos as observa¸cões y1, . . . , yn a fun¸cão de influência da t-student será dada por

gt= ν + 1 2 n X i=1 1 1 + (yi−µ)2 ν ! 2(yi− µ) ν

(42)

e ent˜ao gt() = ν + 1 2 n X i=1 1 1 +_ν2 ! 2 ν

Para o caso da distribui¸c˜ao Normal com parˆametros µ e σ2_{temos que a fun¸}_c˜_{ao de influˆ}_encia

´ e dada por: gN() = n X i=1 (yi− µ) = n X i=1

fun¸c˜ao de influˆencia da forma linear (y − µ).

Abaixo segue as curvas de densidade e suas respectivas fun¸c˜oes de influˆencia para a tν(µ, ν, 1)

e N ormal(µ, 1) −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Densidade Student's t Normal −20 −10 0 10 20 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Função de Influência y g ( ε ) Student's t Normal (i) (ii)

Figura 4.1: (i) Fun¸cões de Densidade e (ii) Fun¸cões de Influência para ν = 1

(43)

−20 −10 0 10 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 y g ( ε ) ν=1 ν=5 ν=20 ν=1 ν=5 ν=20 ν=1 ν=5 ν=20

Figura 4.2: Fun¸cão de influência da distribui¸cão t-student para respectivos graus de liberdade. A linha tracejada na cor vermelha representa a fun¸cão de influência para distribui¸cão normal.

Conforme aumentamos um valor de y na t-student, a influência em rela¸cão a µ diminui, o que não acontece para o caso gaussiano. Note que se aumentamos o valor de y a influência permanece alta sobre a estima¸cão do parâmetro. Veja ainda que ν o parâmetro representado pelos graus de liberdade também influencia na estima¸cão do parâmetro de interesse e quanto maior é o valor dos graus de liberdade mais a influência da t-student se assemelhará com a influência da normal. Temos mais uma evidência que distribui¸cões com caudas mais pesadas são favoráveis para tratar dados contaminados.

4.2 Caso Espacial

Apresentado o caso não-espacial no qual conseguimos representar a curva de influência de µ de acordo com a distribui¸cão de interesse, a ideia então é novamente representar o quão influênciável é o parâmetro na presen¸ca de dados at´ıpicos, por meio de modelos espaciais.

De acordo com a proposta de West [1984] iremos generalizar as fun¸cões de influência espaciais para os dois modelos: Gaussiano e Não Gaussiano.

4.2.1 Caso Gaussiano

Inicialmente considere o caso onde µ ´e um escalar. De forma geral suponha que temos z|µ, σ2_{, θ ∼}

fN(µ, σ2Σ(θ)). Para σ2= 1 e θ conhecidos temos o log da sua densidade

logL(µ; z) ∝ −1

2(z − µ1n)

T_Σ−1_{(z − µ1} n)

(44)

dlogp(µ|z) dµ = dlogπ(µ) dµ + dlogL(µ; z) dµ = 1 π(µ)π 0_{(µ) −}1 21 T nΣ −1_{z − z}T_Σ−1₁ n+ 2µ1TnΣ −1₁ n = 1 π(µ)π 0_{(µ) +}₁T nΣ−1z − µ1 T nΣ−11n = 1 π(µ)π 0_{(µ) +}₁T nΣ −1_{(z − µ1} n)

Denotado por C = Σ−1, representando a matriz de precis˜ao e assim temos

dlogp(µ|z) dµ = 1 π(µ)π 0_{(µ) + (C} ·1, . . . , C·n)(z − µ1n) | {z } gG , k = 1, . . . , n

onde C·k representa a soma dos elementos de cada linha da coluna k, tal que gGé a fun¸cão de influência

para o processo gaussiano para o caso geral de West [1984]. Gostar´ıamos de ver como uma determinada observa¸cão (que pode ser ou não discrepante) influencia na estima¸cão do parâmetro de interesse. Baseado nesta fato, chegamos a seguinte proposi¸cão

Proposi¸cão 4.2.1. Se para a observa¸cão k, onde z = (zk, z(−k)) representa o vetor das observa¸cões zk e

as demais observa¸cões da amostra z(−k) diferentes de zk, a fun¸cão de influência para o processo gaussiano

pode ser representada atrav´es de

gG() = C·k(zk− µ) | {z } k +X j6=k C·j(zj− µ) | {z } j (4.2)

A primeira parte de (4.2) representa a influência da observa¸cão k e a outra parte a influência das demais observa¸cões. Para o caso em que C·k= 1, k = 1, . . . , n retornaremos para o caso i.i.d. de West [1984] dada

pela equa¸c˜ao (4.1), onde todas as observa¸c˜oes apresentam o mesmo comportamento, ou seja, independente e identificamente distribu´ıdas.

4.2.2 Caso T-Student Multivariado

Inicialmente considere o caso onde µ ´e um escalar. Suponha que temos z ∼ t − studentn(µ, ν, σ2Σ(θ)).

Para σ2_{= 1 e θ conhecidos e ν um valor fixo , temos o logaritmo da densidade dado por}

logL(µ, ν; z) ∝ − ν + n 2 log 1 + (z − µ1n) T_Σ−1_{(z − µ1} n) ν

O cálculo da fun¸cão escore a posterior é dado por

(45)

dlogp(µ, ν|z) dµ = dlogπ(µ) dµ + dlogL(µ, ν; z) dµ = 1 π(µ)π 0_{(µ) −} ν + n 2 × 1 1 +(z−µ1n)TΣ−1(z−µ1n) ν ! × 1 + 1 T nΣ−1z − zTΣ−11n+ 2µ1TnΣ−11n ν = 1 π(µ)π 0_{(µ) −} ν + n 2 × 1 1 +(z−µ1n)TΣ−1(z−µ1n) ν ! × 21 T nΣ−1(z − µ1n) ν

Podemos chamar C = Σ−1, representando a precis˜ao da matriz de covariˆancia, temos

dlogp(µ, ν|z) dµ = 1 π(µ)π 0_{(µ) +} ν + n 2 × 1 1 + (z−µ1n)TC(z−µ1n) ν ! × 2(C·1, . . . , C·n)(z − µ1n) ν | {z } gN G , k = 1, . . . , n

onde C·k representa a soma dos elementos de cada linha da coluna k e Ckk representa o elemento da

k-ésima linha da k-ésima coluna. Podemos escrever a fun¸cão de influência para o modelo T-Student Multivariado através da Proposi¸cão (4.2.1) tendo:

gT S() = ν + n 2 × 1 1 +(z−µ)0C(z−µ)_ν ! ×      2C·k k z }| { (zk− µ) +Pj6=kC·j j z }| { (zj− µ) ν      = ν + n 2 × 1 1 + P ij(zi−µ)0Cij(zj−µ) ν ! ×      2C·k k z }| { (zk− µ) +P_j6=kC·j j z }| { (zj− µ) ν      (4.3)

O caso T-Student tem uma expressão mais complicada que o caso gaussiano, mas note que a fun¸cão de influência irá depender dos parâmetros de alcance (a = 1/φ), da constante de suaviza¸cão κ e dos graus de liberdade ν.

Novamente, se C·k= 1, k = 1, . . . , n retornaremos ao caso da se¸c˜ao anterior para a influˆencia

t-student univariada.

4.2.3 Caso GLG

Para o processo GLG utilizamos a mistura de escalas da distribui¸c˜ao normal multivariada, afim de obtermos uma disitrui¸c˜ao com caudas mais pesadas e segundo Palacios and Steel [2006] a estrutura de

(46)

correla¸cão não é afetada pela mistura. Para este processo temos que z|Λ, β, σ2_{, φ, ν ∼ N ormal}

n(µ, Σ∗(θ)).

Do mesmo modo apresentado anteriorimente para os dois processo acima, desejamos calcular a influência do parâmetro µ. Neste caso temos que λ|ν ∼ Log − N ormal −ν₂1, νΣ(θ). Suponha também que µ é um escalar, σ2= 1, ν responsável pelo comportamento da cauda fixo e θ conhecidos.

Proposi¸cão 4.2.2. A fun¸cão de influência para o processo GLG é dada por

gGLG() =

R dq(|λ)

dµ p(λ|ν)dλ

R q(|λ)p(λ|ν)dλ (4.4)

onde q(|) representa a densidade e = z − µ

Demonstra¸cão. O cálculo da fun¸cão escore a posteriori será escrito através de p(µ|z) ∝ p(z|µ)π(µ). Note que, como não conhecemos a densidade de p(z|µ) devemos primeiramente marginalizar z com respeito a λ através de

p(z|µ) = Z

p(z|µ, λ)p(λ|ν)p(ν)dλ

o que torna o cálculo inviável analiticamente. Uma maneira de resolver este problema é utilizar técnicas numéricas para conseguir primeiramente calcular a integral acima. A posteriori de µ|z é dada por

p(µ|z) ∝ p(z|µ)π(µ) ∝ π(µ) Z p(z|µ, λ)p(λ|ν)π(ν)dλ ∝ π(µ)π(ν) Z p(z|µ, λ)p(λ|ν)dλ

O log da posteriori ´e dado por

logp(µ|z) = c + logπ(µ) + log p(ν) + log Z

p(z|µ, λ)p(λ|ν)dλ = c∗+ logπ(µ) + log

Z

p(z|µ, λ)p(λ|ν)dλ

O cálculo da fun¸cão escore a posteriori é dado por

dlogp(µ|z) dµ = dlogπ(µ) dµ + dlogR p(z|µ, λ)p(λ|ν)dλ dµ = 1 π(µ)π 0_{(µ) +} R dp(z|µ,λ) dµ p(λ|ν)dλ R p(z|µ, λ)p(λ|ν)dλ | {z } gGLG() 42