Matemática Junho

2019 Matemática 1

Junho

Definição de módulo e equações modulares

Resumo

Definição

Dado um número real x, define-se o módulo de x, representado por |x| como:

, se x 0

| x |

, se x < 0 x

x

 

=   −

O módulo também é chamado de valor absoluto.

Uma observação importante é que, se x é negativo então –x é positivo.

Com isso, podemos concluir que x  0 , para todo x real Exemplos:

| 1 | = 1

| -2 | = 2

| √2 | = √2

| -1/5 | = 1/5

Note que:

| 1 | = 1, já que 1 ≥ 0, o resultado é o próprio 1

| -2 | = 2, pois – 2 < 0, o resultado será – (-2) = 2

Interpretação geométrica

A interpretação geométrica do módulo de um número real x é a distância desse número até a origem (ponto 0). Observe na reta real:

Nesse caso | -5| = 5 representa que esse número dista 5 da origem.

Exemplo:

| x | = 4

Do ponto de vista geométrico, queremos descobrir qual é o número que dista 4 unidades da origem, ou

seja,

Logo, existem 2 valores que satisfazem essa condição: -4 e 4. Assim, o conjunto solução S será:

S= {-4,4}

Propriedades

Sejam x e y números reais, então:

1 2

2 3 4

: x 0 : x . y

: ²

: ² x

P

P x y

P x x

P x



=

=

=

Equação modular

Usando como base o exemplo anterior, vamos estudar um caso parecido:

| x – 1 | = 4.

Como não sabemos se a expressão x – 1 é positiva, devemos estudar os dois casos. Ou seja:

x – 1 = 4 ou x – 1 = -4

Nesse caso, temos como solução:

1 4 5

1 4 3

{ 3, 5}

x x

x x

S

− =  =

  − = −  = −



= −

Existem casos em que ambos os membros da equação possuem módulo, nesse caso, para x e y números reais:

ou x = y  = x y x = − y

Condição de existência

Como dito anteriormente, x  0 para todo x real, ou seja, o caso | x | = - 2 não possui solução, pois não existe número real tal que diste -2 unidades da origem.

Exemplo:

|x – 5| = -2x + 1

Para que a equação seja verdadeira, temos a seguinte condição:

2 1 0 1

x x 2

− +   

Então para que a solução seja válida, ela deve ser menor que 1/2.

5 2 1 2

5 2 1

5 ( 2 1) 4

x x x

x x

x x x

− = − +  =

− = − +     − = − − +  = −

Nesse caso, 2 não é solução pois é maior que ½.

Substituindo x = 2,

|x – 5| = -2.2 + 1

|x – 5| = -3 , o que não é solução válida Logo S = {-4}

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Exercícios

1. Simplificando a expressão 2 2 A x

x

= −

− , com x > 2, temos que ela vale:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2

2. Três números positivos proporcionais a 5, 8 e 9 são tais que a diferença do maior para o menor supera o módulo da diferença entre os dois menores em 5 unidades. Assinale o maior deles.

a) 45 b) 54 c) 63 d) 72 e) 81

3. Considerando-se a equação x² - 5x + 6 = |x – 3|, tem-se que a soma de suas raízes é a) 0

b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

4. O número de soluções da equação 1 3

. 3 2.

2 x x − = x − 2 , no conjunto R, é a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5. A soma das raízes reais distintas da equação x − − = 2 2 2 é igual a a) 0

b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

6. A soma das raízes da equação modular x − − = 2 7 6 é a) 15

b) 30 c) 4 d) 2 e) 8

7. O produto das raízes reais da equação |x² - 3x + 2| =|2x – 3| é igual a a) -5

b) -1 c) 1 d) 2 e) 5

8. No conjunto dos números reais, o conjunto solução da equação

( ^{2 x + 1} )

^{= 3 x + 2}

a) é vazio b) é unitário

c) possui dois elementos d) possui três elementos e) possui quatro elementos

9. Sobre os elementos do conjunto solução da equação |x²| - 4|x| - 5 = 0, podemos dizer que a) são um número natural e inteiro.

b) são números naturais.

c) o único elemento é um número natural.

d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional.

e) não existem, isto é, o conjunto solução é vazio.

10. Se as raízes da equação x² - 5|x| - 6 = 0 são também raízes de x² - ax – b, então, os valores dos números reais a e b são respectivamente

a) -1 e 6

b) 5 e 6

c) 0 e 36

d) 5 e 36

Gabarito

1. B

Como x > 2, então a expressão |2 - x| é negativa, logo |2 - x| = - (2 – x), assim

2 (2 x)

2 2 1

x

x x

− = − − = −

− −

2. A

3. E

4. D

5. D

6. E

7. A

8. B

Mas, para satisfazer a condição de existência, temos que:

9. A

2

² 4 5 0

5 5 5 ou 5

1 1 (não tem solução

² 4 5

em 5

)

0 4 0

x a

a a

a x x x

x x x

x

x

a

=

− − =

= → = → =

− − =  − − =

= −

= − → = −

10. C

Usando a propriedade, temos que x² = |x|², assim:

² 5 | | 6 0 | | ² 5 | | 6 0

| |

² 5 6 0

6 | | 6 6 ou 6

1 | | 1 (não tem solução em )

x x x x

x a

a x

a x x x

a x

− − =  − − =

=

− − =

= → = → = = −

= − → = −

Como 6 e -6 são raízes de x² - ax – b = 0, então, vale que:

( ) -6 ² - (-6) - 0 ^{6 36}

6 36

6² - .6 - 0

0 e 36 a b

a b

a b a b

a b

 =  − = −

 =  − − = − 



 = =

Exercícios envolvendo logaritmos

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Exercícios

1. A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é

0

log ( I ) R = I com I

sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I

. Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I = 32000I

, qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo. Dado: use a aproximação log 2 ≈ 0,30.

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0

2. Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$

5000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400;

2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

a) 12

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

3. O pH de uma solução mede a acidez da mesma e é definido como 1 log( )

[ ]

pH = H

, onde [H

] representa a concentração de íons H

.

Devido às secas registradas na região nordeste do país, a escassez de água tornou-se uma calamidade pública em algumas cidades. Como atendimentos de urgência, caminhões pipas distribuíram águas retiradas diretamente de açudes entre as famílias atingida, como pH baixíssimo, tornando-se vulneráveis à contaminação com determinadas bactérias prejudiciais à saúde humana.

Numa amostra dessas águas foi detectado que [H

] = 2,5.10

.

De acordo com o texto acima, e considerando log 5 = 0,70, o pH dessa água foi de:

a) 9,70 b) 9,68 c) 9,23 d) 8,87 e) 8,60

4. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica β = 120 + 10 log

I, em que β é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado.

Sejam I

a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I

a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I

/I

é igual a:

a)

1 10

b) 1 c) 10 d) 100 e) 1 000

5. A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por

0

2 log ( ) 3

I E

= E , em que E é a energia liberada pelo terremoto, em quilowatt-hora (kwh), e E

= 10

kwh. A cada aumento de uma unidade no valor de I, o valor de E fica multiplicado por:

a) 10

b) 10 c) 10

d) 20/3

6. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão:

M(t) = A . (2,7)

Onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere log 2 = 0,3. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio- 137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

7. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:

a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) 3x – 2y d) 2x – 3y e) x + y

8. O conjunto solução da inequação

log2 3

1 1

2 2

 

  

   

    ^é:

a) b) {x / x < 8}

c) {x / x < 3}

d) {x / x > 3}

e) {x / x > 8}

9. Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela v t ( ) = v

.2

em que V

é o volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo de escoamento em horas. Qual é, aproximadamente, utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento necessário para que o volume de água escoado seja 10% do volume inicial contido no caminhão? (utilize: log 2  0,3.) a) 3h e 30 min.

b) 3h e 12 min.

c) 3h e 18 min.

d) 2h e 15 min.

e) 2h e 12 min.

10. O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por

1

( ) 20.log ( )

h p = p . Num

determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log2 = 0,3, a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros, era de

a) 5.

b) 8.

c) 9.

d) 11.

e) 12.

Gabarito

1. D

Utilizando as informações do enunciado, temos:

0 5 10

0 0

5

32000

log ( ) log( ) log 32000 log 32.1000 log 32 log1000 log 2 log10³ log 2 log10³ 5 log 2 3log10 5(0, 3) 3(1) 1, 5 3 4, 5

I R I

I I

= = = = = + = +

+ = + = + = + =

2. D

3. E

Devemos calcular:

9 1 9

9 9

log( 1 ) log(2, 5.10 ) 2, 5.10

log 2, 5.10 (log 2, 5 log10 ) (log 25 / 10 9 log10) (log 25 log10 9 log10)

(log 5² log10 9 log10) (2 log 5 log10 9 log10) (2.0, 7 1 9) ( 8, 6) 8, 6 pH

pH pH pH pH pH

− −

−

− −

= =

= − = − + = − −

= − − −

= − − −

= − − −

= − − − = − − =

4. D

Primeiro, vamos calcular I

:

1 1 1

4 1

80 120 10 log 8 12 log

log 4

10

I I I

I

= +

= +

= −

=

Agora, vamos calcular I

:

2 2 2

6 2

60 120 10 log 6 12 log

log 6

10

I I I

I

= +

= +

= −

=

Queremos I

/I

, assim:

4 6

6 4

10 10

10 10 100

−

−

= =

5. C

Vamos colocar E em função de I:

I = (2/3).log

(E/Eo)

3I/2 = log

(E/Eo), usando a propriedade do logaritmo da divisão, 3I/2 = log

E - log

Eo

3I/2 = log

E - log

10

3I/2 = log

E - (-3) 3I/2 = log

E + 3

3I/2 - 3 = log

E, aplicando a definição de logaritmo, E = 10

Agora se acrescentarmos uma unidade em I, obteremos outro valor de E, que chamarei de E'. O valor de E' será:

E = 10

E' = 10

E' = 10

E' = 10

E' = 10

O problema pergunta por quanto o valor de E fica multiplicado quando aumentamos uma unidade em I, ou seja, por quanto temos que multiplicar E para chegar em E'. Digamos que tenhamos que multiplicar E po x para chegar em E':

E.x = E'

10

.x = 10

x = (10

)/(10

)

Na divisão de duas potências de mesma base, subtraímos os expoentes:

x = 10

x = 10

x = 10

x = 10

Resposta: "C" fica multiplicado por 10

(isso é igual à raiz quadrada de 1000).

6. E

7. B Observe:

( )

log 72 log 8.9 log 8 log 9 log 2³ log 3² 3log 2 2 log 3 Substituindo log2 = x e log3 = y, temos:

log 72 3 x 2 y

= = + = + = +

= +

8. E

Temos uma inequação exponencial de base menor do que 1. Assim, comparamos os expoentes, mas com o sinal trocado:

log2 3

2

1 1

2 2

log 3

x

x

    

   

   



Quando nos deparamos com uma inequação logarítmica, temos que ter log nos dois lados.

2

2 2

2 2

2 2

log 3

log 3log 2 log log 2³ log log 8

8 x x x x x











9. C

Segundo o enunciado, temos que calcular V = 10%V

. Substituindo na fórmula, temos:

0 0

0,1 .2

0,1 2

log 0,1 log 2 log1 / 10 log 2 log1 log10 log 2 0 1 .0, 3

1 0, 3

3, 3 3 0, 3 3 horas e 18 minutos.

t t

t

v v

t t t

t t

−

−

−

=

=

=

= −

− = −

− = −

=

= = + =

10. B

Substituindo os valores fornecidos no enunciado, temos:

1 10

(0, 4) 20.log ( 1 ) 20 log(0, 4) 20( log 0, 4) 0, 4

(0, 4) 20( log 4 / 10) 20[ (log 4 log10)] 20[ (log 2² log10)]

(0, 4) 20[ (2 log 2 log10) 20[ (2.0, 3 1)] 20[ (0, 6 1)]

(0, 4) 20[ ( 0, 4)] 20.0, 4 8 atm h

h h h

= =

= −

= − = − − = − = −

= − − = − − = − −

= − − = =

Função modular e inequação modular

Resumo

Função modular:

A função modular é uma função f : → , definida por f(x) = |x|. Para se construir o gráfico dessa função devemos considerar como uma função definida por várias sentenças, ou seja, ela se comporta de maneiras distintas para cada intervalo de x.

Considere a função f(x) = |x|

Temos que:

se x ( )

0

se x 0 x

f x ou

x

x x

= 

= 

 

=  − 

Ou seja, para x ≥ 0, a função é y = x e para x < 0, a função é y = - x

Juntando os dois gráficos:

Note que a Imagem é

.

Inequação modular

Na equação modular, exemplo |x| = 3, geometricamente, queríamos descobrir quais os valores que distavam 3 unidades da origem, nesse casos S = {-3,3}.

Já nas inequações, exemplo |x| ≤ 3, queremos descobrir intervalo onde os números que distam menos de 3 unidades da origem e |x| ≥ 3, analogamente, o intervalo onde os números distam mais de 3 unidades da origem.

Assim, o conjunto solução de |x| ≤ 3 é -3 ≤ x ≤ 3 e de |x| ≥ 3 é x ≤ 3 ou x ≥ 3 Resumindo:

→ | | x   −   a a x a

→ | x |    a x a ou x  − a

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Exercícios

1. Seja f(x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, |f(x)|

a) nunca passará pela origem

b) nunca passará pelo 3 ou 4 quadrante

c) intercepta o eixo x somente se f(x) for do primeiro grau d) intercepta o eixo y somente se f(x) for do segundo grau

2. Seja f(x) | x = − 3 | uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor 2 é a) 3

b) 4 c) 6 d) 7

3. O domínio da função real f(x) = 1 | x | − é o intervalo a) {x  | x  − 1 _ou x  1}

b) {x  | x  − 1 _ou x  1}

c) {x  | 1 −   x 1}

d) {x  | 1 −   x 1}

4. Considera a função x ²

f(x) 2 .

= 2 − Para quais valores reais de x temos f(x) = 1?

a) ^{S = −}  ^{6, 6, − 2, 2} 

b) ^{S = −}  ^{6, − 2} 

c) ^{S =}  ^{6, 2} 

d) ^{S = −}  ^{6, 6} 

e) ^{S = −}  ^{2, 2} 

5. Considere a função x ²

f(x) 2 .

= 2 − Para quais valores reais de x temos f(x)  1?

a) ^{S =}  ^{x  / − 6   − x 2 ou 2   x 6} 

b) ^{S =}  ^{x  / − 6   − x 2} 

c) ^{S =}  ^{x  / 2   x 6} 

d) ^{S =}  ^{x  / − 6   x 2 ou 2   − x 6} 

e) ^{S =}  ^{x  / − 6   x 6} 

6. Considere a função real f(x) | x 1|. = − + O gráfico que representa a função é:

a) c) e)

b) d)

7. Qual é o conjunto solução em de 5 −  + x x 2 ? a) =      

 

S x / x 3 2 b) =     −  

 

S x / x 3 2 c) =      

 

S x / x 3 2 d) =     −  

 

S x / x 3 2 e) =      

 

S x / x 3

2

8. Qual é o conjunto solução em de 3 x +  1 3 ? a) =    −    

 

4 2

S x / x

3 3

b) =    −   

 

S x / 4 x

3 c) =      

 

S x / x 2 3 d) =    −    

 

4 2

S x / x

3 3

e) =    −    

 

4 2

S x / x

3 3

9. A expressão |x – a| < 16 também pode ser representada por a) x – a < 16

b) x + a > 16

c) – a – 16 < x < a + 16 d) – 16 + a < x < a + 16 e) x – a < 16 ou x – a > 0

10. O conjunto solução da inequação x − +  4 1 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a + b é igual a a) -8

b) -2

c) 0

d) 2

e) 8

Gabarito

1. B

2. C

Queremos calcular x de modo que se tenha f(x) = 2. Desse modo, vem

| x 3 | 2 x 3 2 x 1 ou x 5.

− =  − = 

 = =

O resultado é, portanto, 1 5 + = 6.

3. D

1 | x | 0 −   | x | 1   −   1 x 1

Portanto, o domínio da função será dado por: {x  | 1 −   x 1}.

4. A

Calculando:

2

2

2

x 2 1

2

x 2 1 x 6

2

x 2 1 x 2

2

− =

− = → = 

− = − → = 

5. A

Esboçando o gráfico:

Assim: − 6   − x 2 _ou 2   x 6.

6. A

Tem-se que x 1, se x 1

f(x) .

x 1, se x 1

− + 

=  

− 

 Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o que representa f.

7. A

8. A

9. D

10. E

Porcentagem Resumo

Porcentagem é uma fração de denominador 100.

Ex.: 3

100 = 0,3 = 3%

37

100 = 0,37 = 37%

Mas e se a fração não tiver denominador 100? É só transformarmos essa fração em uma que tenha denominador 100.

Ex.: 2 5 ⁼

40

100 ^{= 40%.}

3 42, 9

7 = 100 = 42,9%

Obs.: Se quisermos calcular x% de algum valor y, basta multiplicarmos. Ou seja:

𝑥% 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥 100 × 𝑦

Fatores multiplicativos

Para facilitar o cálculo de um valor resultante de um aumento ou desconto percentual, utilizam-se os fatores multiplicativos.

Imagine uma quantidade C que será aumentada de x%. O resultado desse aumento pode ser calculado por:

→ Valor Final = . 100

C + x C = (1 ) 100 C + x

Agora imaginemos que C sofra uma redução de x%.

Assim, temos que:

→ Valor final = . 100

C − x C = (1 ) 100 C − x

Resumindo:

→ Fator de aumento = 1 100 + x

→ Fator de desconto = 1 100

− x

Exercícios

1. Uma concessionária de automóveis revende atualmente três marcas de veículos, A, B e C, que são responsáveis por 50%, 30% e 20%, respectivamente, de sua arrecadação. Atualmente, o faturamento médio mensal dessa empresa é de R$ 150 000,00. A direção dessa empresa estima que, após uma campanha publicitária a ser realizada, ocorrerá uma elevação de 20%, 30% e 10% na arrecadação com as marcas A, B e C, respectivamente.

Se os resultados estimados na arrecadação forem alcançados, o faturamento médio mensal da empresa passará a ser de

a) R$ 180 000,00.

b) R$ 181 500,00.

c) R$ 187 500,00.

d) R$ 240 000,00.

e) R$ 257 400,00.

2. O tipo mais comum de bebida encontrado nos supermercados não é o suco, mas o néctar de frutas. Os fabricantes de bebida só podem chamar de suco os produtos que tiverem pelo menos 50% de polpa, a parte comestível da fruta. Já o néctar de frutas é mais doce e tem entre 20% e 30% de polpa de frutas.

Superinteressante, São Paulo, ago. 2011.

Uma pessoa vai ao supermercado e compra uma caixa de 1 litro de bebida. Em casa ela percebe que na embalagem está escrito “néctar de frutas com 30% de polpa”.

Se essa caixa fosse realmente de suco, necessitaria de um aumento percentual de polpa de, aproximadamente,

a) 20%.

b) 67%.

c) 80%.

d) 167%.

e) 200%.

3. Quanto A inclinação de uma rampa é calculada da seguinte maneira: para cada metro medido na horizontal, mede-se x centímetros na vertical. Diz-se, nesse caso, que a rampa tem inclinação de x%, como no exemplo da figura:

A figura apresenta um projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento.

Depois de projetada a rampa, o responsável pela obra foi informado de que as normas técnicas do município onde ela está localizada exigem que a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial seja de 20%.

Se a rampa projetada tiver inclinação superior a 20%, o nível da garagem deverá ser alterado para diminuir o percentual de inclinação, mantendo o comprimento da base da rampa. Para atender às normas técnicas do município, o nível da garagem deverá ser

a) elevado em 40 cm.

b) elevado em 50 cm.

c) mantido no mesmo nível.

d) rebaixado em 40 cm.

e) rebaixado em 50 cm.

4. O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna. Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25%

delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%. Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a

a) 10.

b) 15.

c) 35.

d) 40.

e) 45.

5. O Brasil é o quarto produtor mundial de alimentos e é também um dos campeões mundiais de

desperdício. São produzidas por ano, aproximadamente, 150 milhões de toneladas de alimentos e, desse total, 2/3 são produtos de plantio. Em relação ao que se planta, 64% são perdidos ao longo da cadeia produtiva (20% perdidos na colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% na indústria de processamento, 1% no varejo e o restante no processamento culinário e hábitos alimentares).

O desperdício durante o processamento culinário e hábitos alimentares, em milhão de tonelada, é igual a

a) 20.

b) 30.

c) 56.

d) 64.

e) 96.

6. Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação.

No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente,

a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.

b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.

c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.

d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.

e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t.

7. O colesterol total de uma pessoa é obtido pela soma da taxa do seu “colesterol bom” com a taxa do seu “colesterol ruim”. Os exames periódicos, realizados em um paciente adulto, apresentaram taxa normal de “colesterol bom”, porém, taxa do “colesterol ruim” (também chamado LDL) de 280 mg/dL. O quadro apresenta uma classificação de acordo com as taxas de LDL em adultos.

O paciente, seguindo as recomendações médicas sobre estilo de vida e alimentação, realizou o exame logo após o primeiro mês, e a taxa de LDL reduziu 25%. No mês seguinte, realizou novo exame e constatou uma redução de mais 20% na taxa de LDL. De acordo com o resultado do segundo exame, a classificação da taxa de LDL do paciente é

a) ótima.

b) próxima de ótima.

c) limite d) alta.

e) muito alta.

8. Devido ao não cumprimento das metas definidas para a campanha de vacinação contra a gripe comum e o vírus H1N1 em um ano, o Ministério da Saúde anunciou a prorrogação da campanha por mais uma semana. A tabela apresenta as quantidades de pessoas vacinadas dentre os cinco grupos de risco até a data de início da prorrogação da campanha

Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco já vacinadas?

a) 12 b) 18 c) 30 d) 40 e) 50

9. O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura.

De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de

a) 32,8%

b) 28,6%

c) 10,7%

d) 9,4%

e) 8,0%

10. Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película.

De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é

a) [35; 63].

b) [40; 63].

c) [50; 70].

d) [50; 90].

e) [70; 90].

Gabarito

1. B

Faturamento da marca A: 150 000 × 50% = 75 000,00. Com aumento de 20%, 75 000 × 1,2 = 90 000,00.

Faturamento da marca B: 150 000 × 30% = 45 000. Com aumento de 30%, 45 000 × 1,3 = 58 500,00.

Faturamento da marca C: 150 000 × 20% = 30 000. Com aumento de 10%, 30 000 × 1,1 = 33 000,00.

Novo faturamento = 90 000 + 58 500 + 33 000 = 181 500,00.

2. B

Primeiramente, é importante observar o que a questão considera como suco (no caso, 50% de polpa) Considerando que os 30% de polpa é o total que há na caixa, pode-se dizer que correspondem a 100%

do "real". O "desejável" é que se obtenha mais que os 100%, ou seja, os 50%. Dessa forma:

30% --- 100%

50% --- x

x = 167%

Esse seria o total obtido, tem-se que diminuir 100%, pois ele pede o aumento percentual, ou seja, 67%.

3. A

4. D

5. A

150 × 2/3 = 100 toneladas no plantio 64% de perda dos quais 20% são perdidos na colheita, 8% no transporte e armazenamento, 15% na indústria de processamento, 1% no varejo e o restante no processamento culinário e hábitos alimentares.

20 + 8 + 15 + 1 + c = 64

c = 20%

20% são devido ao desperdício no processamento culinário e hábitos alimentares 100 × 20/100= 20 toneladas.

6. C

A carga máxima suportada pela ponte é de 12 toneladas, assim, o ponto de sustentação central receberá 12% dessa carga, logo, 12/100 . 12 = 7,2 toneladas. Os outros pontos de sustentação receberão o resto da carga igualmente, assim, 12 – 7,2 = 4,8 toneladas, como cada um vai receber a mesma quantidade, 2,4 toneladas cada um.

7. D

Pelo enunciado, vemos que a taxa inicial é igual a 280 mg/dL. Esta reduzirá, em um mês, 25%. Ou seja, a taxa foi para 280 × 0,75 = 210 mg/dL.

No segundo mês, ele reduziu em 20% sua taxa em relação ao mês anterior. Dessa forma, a taxa final dele, é de 210 × 0,8 = 168 mg/dL.

Consultando a tabela, sua taxa será considerada alta.

8. D

9. D

Usando as informações do enunciado, temos que a área utilizada para agricultura em relação a área do território brasileiro é de:

80 milhões/853 milhões ≈ 0,094 = 9,4%

10. A

Considerando L como sendo a intensidade da luz que sai da fonte externa, a quantidade mínima que passa do vidro é de 70% × 50% × L = 35% L e quantidade máxima é dada por 90% × 70% × L = 63% L.

Logo a porcentagem P da intensidade da luz que ultrapassa o vidro está num intervalo de 35% a 63%.

Medidas de Centralidade

Resumo

Em Estatística, medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um único valor. Já as medidas de dispersão mostram o quão esticada ou espremida está uma distribuição de observações.

Medidas de centralidade:

Média:

Média aritmética simples:

A média aritmética simples de um conjunto {x

, x

, ..., x

} de n observações para a variável X, é dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações:

Ex.: Seja um grupo de 3 pessoas e I o conjunto das idades dessas 3 pessoas. I = {12, 10, 11}. Calculando a média da idade desse grupo, temos:

12 10 11 33

11 anos

3 3

x = + + = =

Média aritmética ponderada:

A média aritmética ponderada de um conjunto {x

, x

, ..., x

} de k observações para a variável X, com frequências absolutas é dada pela expressão:

Ex.: Para passar no curso de matemática devemos obter média 7, sendo que a p

tem peso 1 e a p

tem peso 2. Dessa maneira calculamos a média da seguinte maneira:

Média geométrica

A média geométrica é definida como a raíz n-ésima do produto de n elementos do conjunto {x

, x

, ..., x

} . Assim:

n

1 2 3 4 n

G = x .x .x .x . ... .x

Ex.: A população da cidade A cresceu 2000 habitantes no ano 1, cresceu 1000 no ano 2 e 32000 no ano 3.

Qual a média geométrica do crescimento dessa cidade.

Como se trata de 3 elementos, devemos calcular:

3 9 3

3

2000.1000.32000 = 64.10 = 4.10 = 4000

Média Harmônica

Dado o conjunto formado por n elementos {x

, x

, ..., x

}. A média harmônica é dada por:

1 2 3 n

H n

1 1 1 1

x x x ... x

=

+ + + +

Essa média costuma aparecer em contextos que envolvem grandezas inversamente proporcionais.

Exemplo: Durante uma viagem, um ônibus de turismo mantém a velocidade a 60 km/h na metade do percurso e no reto 70 km/h. Qual a velocidade média desse ônibus?

2 2 420 840

H 2. 64, 6km / h

6 7 13 13 13

420 420

= + = = = 

Aproximadamente 64,6 km/h

Moda:

É valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.

Ex: Alguns alunos fizeram a segunda chamada de uma prova de matemática. Suas notas foram tabuladas na tabela abaixo:

Aluno Nota Aluno 1 2 Aluno 2 7 Aluno 3 3 Aluno 4 4 Aluno 5 3 Aluno 6 3,5

A nota que mais aparece no conjunto de dados é a nota 3. Portanto, a moda é 3.

Mediana:

Ordenando as observações de uma variável de forma crescente ou descrescente (Rol), a mediana é a observação que ocupa o valor central.

Ex.: A quantidade de atrasos dos alunos de uma turma, registrados por mês, de março a novembro, formam o seguinte conjunto de dados: 23, 34, 21, 48, 51, 20, 38, 29, 13.

Ordenando esses dados de forma crescente, temos:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51

Como há 9 observações, a observação central é a quinta:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 Portanto, a mediana é igual a 29.

Cuidado! E se a quantidade de elementos da amostra não for um número ímpar? Se o tamanho da amostra

for par, então não terá um elemento central. Dessa maneira, precisamos fazer a média aritmética simples

entre os dois centrais.

Ex.: Seja uma amostra A = {1, 2, 7, 4}. Para calcular a mediana, precisamos colocar os elementos em ordem:

1, 2, 4, 7. Agora, fazemos a média aritmética simples entre os dois termos centrais:

2 4 3 2 + =

Assim, 3 é a mediana.

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Exercícios

1. Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos.

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45.

Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas. A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor

a) branca e os de número 38.

b) branca e os de número 37.

c) branca e os de número 36.

d) preta e os de número 38.

e) preta e os de número 37.

2. O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em%) para o período de março de 2008 a abril de 2009, obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.

A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de a) 8,1%

b) 8,0%

c) 7.9%

d) 7,7%

e) 7,6%

3. Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês.

Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.

As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a:

a) 17º C, 17º C e 13,5º C

b) 17º C, 18º C e 13,5º C

c) 17º C, 13,5º C e 18º C

d) 17º C, 18º C e 21,5º C

e) 17º C, 13,5º C e 21,5º C

4. O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

`

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952.

b) 229 913.

c) 240 621.

d) 255 496.

e) 298 041

5. Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedece à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.

A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D.

b) B, A, C, E, D.

c) C, B, E, A, D.

d) C, B, E, D, A.

e) E, C, D, B, A.

6. Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade.

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados:

I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados.

II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados.

Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?

a) 59

b) 65

c) 68

d) 71

e) 80

7. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z.

b) Z < X = Y.

c) Y < Z < X.

d) Z < X < Y.

e) Z < Y < X.

8. A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes sofridos por funcionários. Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa na política de segurança no trabalho. Os resultados obtidos estão no quadro.

A média do número de acidentes por funcionário na amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empresa é

a) 0,15.

b) 0,30.

c) 0,50.

d) 1,11.

e) 2,22.

9. Ao iniciar suas atividades, um ascensorista registra tanto o número de pessoas que entram quanto o número de pessoas que saem do elevador em cada um dos andares do edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta os registros do ascensorista durante a primeira subida do térreo, de onde partem ele e mais três pessoas, ao quinto andar do edifício.

Com base no quadro, qual é a moda do número de pessoas no elevador durante a subida do térreo ao quinto andar?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10. Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:

A mediana dos tempos apresentados no quadro é a) 20,70.

b) 20,77.

c) 20,80.

d) 20,85.

e) 20,90.

Gabarito

1. A

2. B

3. B

4. B

5. B

6. D

7. E

8. D

9. D

10. D

Medidas de dispersão

Resumo

Medidas de dispersão

As medidas de dispersão medem o quão homogênea uma amostra é. Ou seja, quanto mais homogênea é a amostra, menor serão os valores da variância e desvio padrão. Vamos aprender a calculá-los?

Variância

A Variância é a média aritmética dos desvios quadrados entre os valores da variável e a média das observações.

Desvio padrão

O desvio-padrão de um conjunto de dados é calculado tirando a raiz quadrada da sua variância.

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Exercícios

1. O número de casos registrados de acidentes domésticos em uma determinada cidade nos últimos cinco anos foram: 100,88,112,94 e 106. O desvio padrão desses valores é aproximadamente:

a) 3,6 b) 7,2 c) 8,5 d) 9,0 e) 10,0

2. Em um concurso, as notas finais dos candidatos foram as seguintes:

Com base na tabela anterior, é correto afirmar que a variância das notas finais dos candidatos foi de:

a) 0,75 b) 0,65 c) √0,65 d) √0,85 e) 0,85

3. Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m² e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m²).

A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)² é a) 20,25.

b) 4,50.

c) 0,71.

d) 0,50.

e) 0,25.

4. O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.

Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta. A primeira luta foi entre os atletas:

a) I e III.

b) I e IV.

c) II e III.

d) II e IV.

e) III e IV.

5. Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Dados dos candidatos no concurso

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é a) Marco, pois a média e a mediana são iguais

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português d) Paulo, pois obteve maior mediana

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão

6. Em uma escola, cinco atletas disputam a medalha de ouro em uma competição de salto em distância.

Segundo o regulamento dessa competição, a medalha de ouro será dada ao atleta mais regular em uma série de três saltos. Os resultados e as informações dos saltos desses cinco atletas estão no quadro.

A medalha de ouro foi conquistada pelo atleta número a) I

b) II c) III d) IV e) V

7. Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro, estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas (em minutos)

Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.

e) V.

8. Numa competição esportiva, cinco atletas estão disputando as três primeiras colocações da prova de salto em distância. A classificação será pela ordem decrescente da média aritmética de pontos obtidos por eles, após três saltos consecutivos na prova. Em caso de empate, o critério adotado será a ordem crescente do valor da variância. A pontuação de cada atleta está apresentada na tabela a seguir:

Com base nas informações apresentadas, o primeiro, o segundo e o terceiro lugares dessa prova foram ocupados, respectivamente, pelos atletas

a) A; C; E.

b) B; D; E.

c) E; D; B.

d) B; D; C.

e) A; B; D.

9. Uma lista de quatro números inteiros tem média 7 e diferença entre o maior e o menor dos números igual a 24. A moda e mediana da lista são, ambas, iguais a 8. Assim o desvio padrão da lista é igual a:

a) √69

b) √70

c) √71

d) √72

e) √73

10. O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as seguintes afirmativas:

I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6.

II. A variância dos dados é 4.

III. O desvio padrão dos dados é √2 .

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

d) Somente a afirmativa I é verdadeira.

e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras

Gabarito

1. C

2. E

Inicialmente, deve-se calcular a media ( x ) que nesse caso será ponderada:

7.6 2.7 9 10 6, 5

x = + + =

Assim, a variância será:

7.(6 6, 5)² 2.(7 6, 5)² (9 6, 5)²

var 0,85

10

− + − + −

= =

3. E

4. C

5. B

6. C

7. C

=0,25

8. A

9. E

10. A

I. Verdadeira:

3 4 6 9 5 7 8 7 6

x = + + + + + + =

II. Verdadeira

(3 6)² (4 6)² (6 6)² (5 6)² (7 6)² (8 6)²

var 4

7

− + − + − + − + − + −

= =

III. Falsa

var 4 2

D = = =