SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

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BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI

CRISTIANA ANDRADE POFFAL

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

1

Edição

Rio Grande

2017

IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G -

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Universidade Federal do Rio Grande - FURG

NOTAS DE AULA DE CÁLCULO

Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Rodriguez

Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal

lemas.furg.br

2 Notas de aula de Cálculo - FURG

IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G - IMEF - FUR G -

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Sumário

1 Sequências Numéricas 4

1.1 Uma breve introdução . . . . 4

1.2 Sequências numéricas . . . . 4

1.3 Convergência de sequências numéricas . . . . 8

1.4 Calculando limites de sequências . . . . 9

1.5 Sequências monótonas . . . 13

1.5.1 Sequência limitada . . . 15

1.5.2 Sequência monótona e limitada . . . 15

1.6 Lista de Exercícios . . . 17

3

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Capítulo 1

Sequências Numéricas

1.1 Uma breve introdução

A palavra sequência é usualmente empregada para representar uma su- cessão de objetos ou fatos em uma ordem determinada. Essa ordem pode ser de tamanho, de lógica, de ordem cronológica, entre outros. Em matemática é utilizada comumente para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função que é chamada de termo geral da sequência ou lei de recorrência.

A teoria de séries é uma ferramenta matemática importante na resolução de equações diferenciais e na obtenção de resultados em computação numérica. Para desenvolver a teoria de séries, estudam-se primeiro as chamadas sequências infinitas.

Sequências e séries de funções tiveram seu estudo impulsionado a partir das contribuições de Newton (1642–1727) e Leibniz (1646–1716). Ambos desenvolve- ram representações de séries para funções. Usando métodos algébricos e geométricos, Newton determinou as séries de potências para as funções trigonométricas sen(x) e cos(x) e para a função exponencial. Ele utilizou séries para desenvolver muitos resultados do Cálculo, tais como área, comprimento de arco e volumes. Para calcu- lar áreas, por exemplo, ele, frequentemente, integrava uma função, primeiramente expressando-a como uma série, e então integrando cada termo.

1.2 Sequências numéricas

Uma sequência numérica, ou simplesmente, uma sequência, é uma suces- são de números. Ela pode ser pensada como uma lista de números escritos em uma

4

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1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

ordem definida a

, a

, a

, . . . , a

, . . . .

Os valores a

, a

, a

, . . . , a

, . . . são chamados termos da sequência. O número a

é chamado de primeiro termo, a

é o segundo termo e, em geral, a

é dito o n -ésimo termo.

Observação 1.2.1. Em algumas ocasiões é conveniente denotar o primeiro termo da sequência por a

. Neste caso, a sequência tem a forma: a

, a

, a

, . . . , a

, . . . . Definição 1.2.1. Uma sequência de números reais (a

) é uma função a : N → R que associa a cada número natural n um número real a

.

Observação 1.2.2. A notação (a

) é utilizada com frequência ao longo deste texto para denotar uma sequência. Também pode-se escrever (a

)

, (a

, a

, a

, . . .) , {a

} ou simplesmente a

, nos dois últimos supõe-se que n ≥ 1 . Pode-se também usar quaisquer outras letras, como por exemplo (b

) ou (c

) .

Exemplo 1.2.1. Iniciando em n = 1 , escreva os cinco primeiros termos de cada uma das seguintes sequências cujos n -ésimos termos são representados por

a) a

= 3 + (−1)

b) b

= 2n

1 + n c) c

= n

2

− 1 d) d

= 1

2

. Solução:

a) a

= 3 + (−1)

Substitui-se o valor de n na expressão de a

para obter os termos da sequência, isto é:

a

= 3 + (−1)

= 2 ; a

= 3 + (−1)

= 4 ; a

= 3 + (−1)

= 2 ; a

= 3 + (−1)

= 4 ; a

= 3 + (−1)

= 2 .

Assim, os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 4, 2, 4, 2 .

5 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

b) b

= 2n 1 + n

Substitui-se o valor de n na expressão de b

para calcular os termos da sequência:

b

= 2 · 1 1 + 1 = 2

2 ; b

= 2 · 2

1 + 2 = 4 3 ; b

= 2 · 3

1 + 3 = 6 4 ; b

= 2 · 4

1 + 4 = 8 5 ; b

= 2 · 5

1 + 5 = 10 6 .

Logo, os cinco primeiros termos da sequência são: 2 2 , 4

3 , 6 4 , 8

5 , 10 6 . c) c

= n

2

− 1

Aplica-se o valor de n na expressão de c

para determinar os termos da sequência:

c

= 1

2

− 1 = 1 ; c

= 2

2

− 1 = 4 3 ; c

= 3

2

− 1 = 9 7 ; c

= 4

2

− 1 = 16 15 ; c

= 5

2

− 1 = 25 31 .

Portanto, os cinco primeiros termos da sequência são: 1, 4 3 , 9

7 , 16 15 , 25

31 . d) d

= 1

2

Na expressão de d

, aplica-se o valor de n para calcular os termos da sequência:

d

= 1 2

= 1

2 ; d

= 1

2

= 1 4 ; d

= 1

2

= 1 8 ; d

= 1

2

= 1 16 ;

6 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

d

= 1 2

= 1

32 .

Consequentemente, os cinco primeiros termos da sequência são: 1 2 , 1

4 , 1 8 , 1

16 , 1 32 .

Exemplo 1.2.2. Começando em n = 1 , determine uma expressão para o n -ésimo termo das sequências em função de n :

a) 1, 4, 7, 10, . . . b) 2

3 , 3 4 , 4

5 , 5 6 , . . . c) 2, −1, 1

2 , − 1 4 , 1

8 , . . . d) 2, 1 + 1

2 , 1 + 1

3 , 1 + 1 4 , 1 + 1

5 , . . . . Solução:

a) 1, 4, 7, 10, . . .

Analisando a sequência, observa-se que se trata de uma progressão aritmética (PA) que inicia em a

= 1 e tem razão 3 , pois a diferença entre um termo e seguinte é de 3 unidades.

O termo geral da PA é a

= a

+ (n − 1)r , logo, a

= 1 + (n − 1) · 3 , isto é, a

= 3n − 2 .

b) 2 3 , 3

4 , 4 5 , 5

6 , . . .

Neste caso, verifica-se que os numeradores formam uma sequência de números naturais iniciando em 2 . Os denominadores também, entretanto inicia em 3 . Assim, escreve-se o termo geral da sequência como: a

= n + 1

n + 2 . c) 2, −1, 1

2 , − 1 4 , 1

8 , . . .

Neste caso, percebe-se a alternância de sinais positivo e negativo, o que acarreta a presença do termo (−1)

, uma vez que a sequência inicia em 1 . Este termo deve multiplicar 2

para produzir as potências do número 2 .

Portanto, o termo geral da sequência é a

= (−1)

· 2

.

7 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.3. CONVERGÊNCIA DE SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

d) 2, 1 + 1

2 , 1 + 1

3 , 1 + 1 4 , 1 + 1

5 , . . . .

A partir do segundo termo, tem-se 1 + 1

n , como a sequência inicia em n = 1 verifica-se que a expressão serve desde o primeiro termo.

Logo, escreve-se a

= 1 + 1 n .

Observação 1.2.3. Nem sempre é possível representar o termo geral de uma sequên- cia por uma fórmula. Observe o exemplo da sequência dos números primos,

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, . . . .

Não existe uma fórmula para o termo geral da sequência dos números primos, mas todos eles estão determinados e podem ser encontrados, por exemplo, pelo chamado

“crivo de Erastóstenes”.

1.3 Convergência de sequências numéricas

Sequências cujos termos se aproximam de um valor limite são ditas convergentes , enquanto que sequências que não possuem limites são ditas diver- gentes .

Definição 1.3.1. A sequência (a

) converge para o número L se

n→+∞

lim a

= L ou a

→ L quando n → +∞,

isto é, para todo número positivo existe um número inteiro N tal que para todo n n > N ⇒ |a

− L| < .

O número L é dito limite da sequência. Se este número L não existe, dizemos que (a

) diverge.

Observação 1.3.1. Ao representar os pontos (n, a

) no plano cartesiano, pode-se observar que a

convergir para L significa que para todo > 0 , existe um ponto na sequência a partir do qual todos os termos estão entre as retas y = L − e y = L + . Exemplo 1.3.1. Considere a sequência cujo termo geral é a

= n

n + 1 . Neste caso,

n→+∞

lim a

= 1.

8 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS

De fato, seja > 0 , observe que

n n + 1 − 1

< ⇔ 1

n + 1 < ⇔ n > 1 − 1.

A última desigualdade sugere escolher N como o primeiro natural maior do que 1

− 1 . Observe que outro número natural maior do que este N estabelecido também atende a definição de convergência.

Exemplo 1.3.2. Iniciando em n = 1 represente graficamente a sequência (a

) = (n + 1) , analisando o seu comportamento.

Figura 1.1: Sequência (a

) = (n + 1)

Observando o gráfico, pode-se confirmar que a sequência diverge.

1.4 Calculando limites de sequências

Como sequências são funções reais cujo domínio está restrito aos inteiros positivos, propriedades e teoremas para limites de funções estudadas durante o curso de Cálculo Diferencial possuem versões para sequências numéricas. A seguir estão enunciadas algumas das propriedades para o cálculo de limites.

Sejam (a

) e (b

) sequências de números reais convergentes e tais que

n→+∞

lim (a

) = L , lim

n→+∞

(b

) = M e L , M e c números reais.

1. Regra da soma: lim

n→+∞

(a

+ b

) = L + M.

2. Regra da diferença: lim

n→+∞

(a

− b

) = L − M.

9 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS 3. Regra do produto: lim

n→+∞

(a

· b

) = L · M.

4. Regra da multiplicação por uma constante: lim

n→+∞

(c · a

) = c · L.

5. Regra do quociente: lim

n→+∞

a

b

= L

M , se M 6= 0.

Teorema 1.4.1. Teorema para convergência de sequências numéricas.

a) Se |c| < 1, então lim

n→+∞

c

= 0.

b) Se |c| > 1, então (c

) diverge . c) Se c = 1, então lim

n→+∞

1

= 1.

O teorema a seguir nos permite aplicar a regra de L’Hospital para en- contrar o limite de algumas sequências.

Teorema 1.4.2. Suponha que f (x) seja uma função definida para todo x > n

, onde n

∈ N fixo. Seja (a

) uma sequência de números reais tal que a

= f(n) para todo n > n

. Então,

x→+∞

lim f (x) = L ⇒ lim

n→+∞

a

= L.

Demonstração:

Suponha que lim

x→+∞

f(x) = L. Então, para cada número positivo existe um número M tal que para todo x ,

x > M ⇒ |f(x) − L| < .

Seja n

um número inteiro maior tal que n

≥ M . Então, n > n

⇒ a

= f(n) e |a

− L| = |f (n) − L| < .

Exemplo 1.4.1. Se possível, calcule os limites das sequências cujos n -ésimos termos são:

a) a

= n 1 − 2n b) b

= (−1)

c) c

= 2

3

d) d

= nsen π

2n .

10 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS

Solução:

a) a

= n 1 − 2n

O limite pode ser escrito como lim

x→+∞

x

1 − 2x , considerando que x ∈ R.

Neste caso, pode-se utilizar a regra de L’Hospital, lim

x→+∞

x

1 − 2x = − 1 2 . Portanto, a sequência a

converge para 1

2 . b) b

= (−1)

O limite lim

n→+∞

b

não existe, pois para n par, resulta 1 e para n ímpar, resulta −1 . Logo, diz-se que a sequência diverge.

c) c

= 2

3

O limite desta sequência pode ser escrito como lim c

= lim

n→+∞

2

3 · 3

, isto é:

lim c

n→+∞

= 1 3 lim

n→+∞

2

3

= 1

3 lim

n→+∞

2 3

= 0 , pelo Teorema 1.4.1.

d) d

= nsen π 2n

Pode-se reescrever o limite desta sequência de modo a obter o limite fundamental lim

x→0

sen(x)

x .

Assim, escreve-se: lim d

n→+∞

= lim

n→+∞

sen π

2n

1 n

. Multiplica-se o nume- rador e o denominador da fração por π

2 , define-se a nova variável x = π 2n . Esta nova variável tende a zero quando n tende a ∞ . O novo limite é

lim

d

= π 2 lim

x→0

sen(x)

x = π

2 . Portanto, a sequência d

converge para π 2 .

Exemplo 1.4.2. Determine o n -ésimo termo da sequência e verifique se a mesma é convergente ou divergente.

a

= 2, 4 3 , 8

5 , 16 7 , 32

9 , . . . . Solução:

11 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.4. CALCULANDO LIMITES DE SEQUÊNCIAS

Inicia-se com a determinação do termo geral da sequência através da análise dos termos dados. Verifica-se que o numerador contém potências de 2 , ini- ciando em n = 1 , isto é, pode-se escrever 2

. Já a sequência dos denominadores é composta pelos números ímpares, ou seja, 2n − 1 .

Portanto, o termo geral da sequência é a

= 2

2n − 1 .

A convergência ou não da sequência é obtida através do cálculo do limite do n-ésimo termo quando n tende a infinito. Com o intuito de usar o Teorema 1.4.2, escreve-se para x ∈ R:

x→∞

lim 2

2x − 1 = lim

x→∞

2

ln(2)

2 = +∞.

Logo, a sequência a

= 2

2n − 1 diverge.

Teorema 1.4.3. (Teorema do Confronto ou Sanduíche para sequências) Seja n

∈ N. Se a

≤ b

≤ c

para todo n > n

e

n→+∞

lim a

= lim

n→+∞

c

= L, então

n→+∞

lim b

= L.

Demonstração. A demonstração é análoga ao Teorema do Confronto para funções.

Observação 1.4.1. Suprimindo-se de uma sequência (a

) um número finito de seus termos, o caráter da sequência, com n tendendo ao infinito, não será alterado. Assim, se a sequência original converge para L ou diverge, a nova sequência terá o mesmo comportamento, ou seja, convergirá para L ou divergirá, respectivamente.

Exemplo 1.4.3. Aplicando o teorema do confronto, calcule os limites das sequên- cias:

a) a

= cos(n) n b) b

= 1

2

c) c

= (−1)

1

n . Solução:

12 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS

a) a

= cos(n) n

Sabe-se que −1 ≤ cos(n) ≤ 1 , logo, dividindo a desigualdade por n , chega-se a:

− 1

n ≤ cos(n)

n ≤ 1

n . Como lim

n→+∞

−1

n = lim

n→+∞

1

n = 0 , aplicando o Teorema do Confronto, obtém-se que

n→+∞

lim cos(n)

n = 0.

Portanto, a sequência converge para 0 . b) b

= 1

2

Sabe-se que 0 ≤ 1 2

≤ 1

n , logo, pelo Teorema do Confronto, escreve- se:

n→+∞

lim 0 ≤ lim

n→+∞

1

2

≤ lim

n→+∞

1 n . Consequentemente, lim

n→+∞

1

2

= 0 . A sequência converge para 0 . c) c

= (−1)

1

n

Sabe-se que − 1

n ≤ (−1)

n ≤ 1

n . Como lim

n→+∞

−1

n = lim

n→+∞

1

n = 0 , aplicando o Teorema do Confronto, obtém-se que

n→+∞

lim (−1)

n = 0.

Assim, a sequência converge para 0 .

1.5 Sequências monótonas

Definição 1.5.1. Uma sequência (a

) é denominada não-decrescente se, para todo o número natural n , a

≤ a

, isto é, a

≤ a

≤ a

≤ a

≤ . . . ≤ a

≤ . . . .

Definição 1.5.2. Uma sequência (a

) é denominada crescente se, para todo o nú- mero natural n , a

< a

, isto é, a

< a

< a

< a

< . . . < a

< . . . .

Definição 1.5.3. Uma sequência (a

) é denominada não-crescente se, para todo o número natural n , a

≥ a

, isto é, a

≥ a

≥ a

≥ a

≥ . . . ≥ a

≥ . . . .

13 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS

Definição 1.5.4. Uma sequência (a

) é denominada decrescente se, para todo o número natural n , a

> a

, isto é, a

> a

> a

> a

> . . . > a

> . . . .

Definição 1.5.5. Uma sequência (a

) é denominada monótona se for não-crescente ou não-decrescente.

Exemplo 1.5.1. Determine se cada sequência é crescente, decrescente ou não ne- nhum dos dois.

a) a

= 3 + (−1)

b) b

= 2n

1 + n c) c

= 2n + 1

3n − 2 . Solução:

a) a

= 3 + (−1)

Analisando os primeiros termos da sequência, isto é, 2, 4, 2, 4, ... e assim sucessivamente, verifica-se que a sequência não é crescente e nem decres- cente.

b) b

= 2n 1 + n

Os primeiros termos da sequência são 1, 4 3 , 6

4 , 8 5 , 10

6 , ... .

Suspeita-se que a sequência seja crescente. Com o intuito de confir- mar o resultado, calcula-se a diferença b

− b

, caso seja positiva, a sequência é crescente:

b

− b

= 2n + 2

n + 2 − 2n

1 + n = 2

(n + 2)(n + 1) .

Como o resultado obtido é positivo para n ≥ 1 , pode-se afirmar que a sequência é crescente.

c) c

= 2n + 1 3n − 2

Calcula-se a diferença c

− c

para verificar se a sequência é cres- cente ou decrescente:

c

− c

= 2n + 3

3n + 1 − 2n + 1

3n − 2 = − 7

(3n + 1)(3n − 2) .

Como o resultado obtido é negativo para n ≥ 1 , conclui-se que a sequência c

é decrescente.

14 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS

1.5.1 Sequência limitada

Definição 1.5.6. Uma sequência (a

) é limitada se existe um número real positivo M tal que |a

| ≤ M , ∀n ∈ N. O número M é chamado de cota superior da sequência (a

) .

Teorema 1.5.1. Se (a

) é uma sequência convergente, então (a

) é limitada.

Demonstração.

Seja (a

) uma sequência convergente com limite L . Pela definição de limite: seja = 1 , então existe um valor n

∈ N a partir do qual tem-se que

|a

− L| < 1 . Aplicando a desigualdade triangular, tem-se

|a

| = |a

− L + L| ≤ |a

− L| + |L| < 1 + |L|, ∀n ≥ n

. (1.5.1) Os únicos termos da sequência (a

) , que possivelmente, não atendem à condição representada pela equação (1.5.1) são: a

, a

, a

, . . . , a

. Considerando o número real C como o maior entre todos os números 1+|L|, |a

|, |a

|, |a

|, . . . , |a

| , tem-se |a

| < C, ∀n ∈ N.

Observação 1.5.1. Pode-se verificar que uma sequência não converge, mostrando que ela não é limitada. Entretanto a recíproca do teorema 1.5.1 não é verdadeira, isto é, existem sequências que são limitadas e divergentes. Por exemplo, a sequência cujo termo geral é a

= (−1)

é limitada, pois |a

| ≤ 1, ∀n ∈ N, porém é divergente, uma vez que os valores desta sequência alternam de −1 para 1 indefinidamente e portanto, não existe lim

n→+∞

a

.

1.5.2 Sequência monótona e limitada

Teorema 1.5.2. Toda sequência (a

) monótona e limitada é convergente.

Demonstração.

O teorema será demonstrado para o caso de sequências não-decrescentes, pois para o caso de sequências não-crescentes a demonstração é análoga.

Seja (a

) uma sequência não-decrescente e com termos positivos. Como a sequência é limitada, existe uma cota superior M tal que a

≤ a

≤ a

≤ . . . ≤ a

≤ M .

15 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.5. SEQUÊNCIAS MONÓTONAS

O conjunto dos números reais é completo, então existe um valor L que é a menor das cotas superiores tal que a

≤ a

≤ a

≤ . . . ≤ a

≤ L . Para provar que a sequência converge para L , toma-se um número > 0 . Para > 0 , L − < L , e portanto L − não pode ser uma cota superior para a sequência. Consequentemente, existe pelo menos um a

maior que L − . Em outras palavras, L − < a

para algum N inteiro positivo. Como (a

) é não-decrescente, segue que a

< a

para todo n > N . Portanto,

L − < a

< a

≤ L < L + , ∀n > N.

Logo, |a

− L| < para todo n > N o que significa, por definição, que (a

) converge para L .

Exemplo 1.5.2. Determine se cada sequência é limitada, monótona, convergente.

a) a

= 1 n b) b

= (−1)

. Solução:

a) a

= 1 n

Todos os termos da sequência a

= 1

n assumem valores menores ou iguais a 1, portanto a sequência é limitada.

A sequência também é monótona decrescente, pois a diferença a

− a

= 1

n + 1 − 1

n é negativa.

Pelo Teorema 1.5.2, pode-se afirmar que a sequência a

é convergente, pois é monótona e limitada.

Calculando lim

n→+∞

1

n , obtém-se o valor para o qual a sequência con- verge. Neste caso, zero.

b) b

= (−1)

Todos os termos da sequência b

= (−1)

assumem valores menores ou iguais a 1, portanto a sequência é limitada.

A sequência não é monótona, pois os valores da sequência são −1, 1, −1, 1 e assim por diante.

16 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS

Neste caso, o Teorema 1.5.2 não pode ser usado para determinar se a sequência b

é convergente.

Como lim

n→+∞

(−1)

não existe, diz-se que a sequência diverge.

Algumas observações relevantes para os exercícios

Observação 1.5.2. Seja n um inteiro positivo, então n fatorial é definido por n! = 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · (n − 1) · n.

Observação 1.5.3. Zero fatorial é, por definição, igual a 1 , isto é, 0! = 1.

1.6 Lista de Exercícios

1. Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência cujos n-ésimos termos são definidos por:

a) a

= √

n + 1 − √ n b) b

= n(−1)

c) c

= 2

2

+ 1

2. Iniciando com n = 1 , escreva uma expressão para o n-ésimo termo das sequên- cias:

a) 1, 9, 25, 49, 81, . . . b) 1, 1

2 , 1 6 , 1

24 , 1 120 , . . . c) 1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .

3. Iniciando em n = 1 represente graficamente as sequências, analisando o com- portamento de cada uma delas:

a) (b

) = (−1)

b) (c

) = n

n + 1 c) (d

) = 1 +

1 2

.

4. Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.

17 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS

a) {a

} =

3n − 2 4n + 7

b) {b

} = n

sen nπ 2

o

c) {c

} =

n

3n

+ 7

d) {d

} =

n + 3 n

e) {f

} =

(−1)

7n

f) {g

} =

2 + ln(n) n

g) {h

} =

(−3)

n!

h) {i

} =

ln(n) 2

i) {k

} =

(r 2n + 3 3n − 1

)

j) {p

} = √

2n − 4 k) {q

} =

n 1 + n

l) {r

} = (

1 + 1 n

)

m) {s

} =

n + 5 n

n) {t

} = (

1 + 7 n

)

o) {u

} =

ln(3n + 1) n

p) {v

} =

1 + 1 n

q) {z

} =

3

3

+ 1

r) {α

} = n √

n + 1 − √ n

o

s) {β

} =

1 + 2 + 3 + . . . + n n

+ n

t) {φ

} =

(2n)!

(n!)

u) {ψ

} =

n + (−1)

n − (−1)

18 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS

v) {σ

} =

n

(−1)

w) {θ

} =

ln(n

) n

5. Determine se as sequências são monótonas.

a) {a

} = 4n

n + 1

b) {b

} = n

sen nπ 6

o

c) {c

} =

(−1)

n

6. Um programa governamental, que custa atualmente R$ 2, 5 bilhões ao ano, vai sofrer um corte em seu orçamento em relação à verba original de 20% ao ano.

a) Expresse a quantia orçada para esse programa após n anos.

b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.

c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge.

Se ela convergir, calcule o seu limite.

Respostas da Lista de Exercícios

1. a) √

2 − 1, √ 3 − √

2, √ 4 − √

3, √ 5 − √

4, √ 6 − √

5 . b) −1, 2, −3, 4, −5 .

c) 2 3 , 4

5 , 8 9 , 16

17 , 32 33 . 2. a) (2n − 1)

.

b) 1 n! . c) (−1)

. 3. a) (b

) = (−1)

19 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS

b) (c

) = n n + 1

c) (d

) = 1 + 1

2

4. a) converge para 3 4 . b) diverge.

c) converge para 0 . d) diverge.

e) converge para 0 . f) converge para 0 . g) converge para 0 . h) converge para 0 .

i) converge para r 2

3 . j) converge para 1 . k) converge para e

.

l) converge para e

. m) converge para 1 .

n) converge para e

.

20 Notas de aula de Cálculo - FURG

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1.6. LISTA DE EXERCÍCIOS

o) converge para 0 . p) converge para e . q) converge para 1 . r) converge para 0 . s) converge para 1

2 . t) diverge.

u) converge para 1 . v) diverge.

w) converge para 0 .

5. a) a

é monótona crescente.

b) b

não é monótona.

c) c

não é monótona.

6. a) 2, 5 · (0, 8)

b) 2 bilhões; 1, 6 bilhões; 1, 28 bilhões; 1, 024 bilhões c) converge para 0 .

21 Notas de aula de Cálculo - FURG