sara construcao conjuntos TFA

A construção dos conjuntos numéricos e o

Teorema Fundamental da Álgebra

Sara Regina da Rosa Pinter

Ciclo de Seminários Instituto Federal Catarinense

São Francisco do Sul Abril 2016

1. Numeros Naturais

2. Números Inteiros

3. Números Racionais

4. Números Reais

5. Números Complexos

6. Teorema Fundamental da Álgebra

Numeros Naturais

6. Teorema Fundamental da Álgebra

N = 1, 2, 3, 4, · · · , 1000, 1001, 1002, · · ·

N = 1, 2, 3, 4, · · · , 1000, 1001, 1002, · · ·

Em N, a operação de soma (+) está bem definida; Definição n, m_{∈ N ⇒ n + m ∈ N} Exemplos: 5 + 6 = 11 1000 + 1 = 1001

Em N, a operação de soma (+) está bem definida; Definição n, m_{∈ N ⇒ n + m ∈ N} Exemplos: 5 + 6 = 11 1000 + 1 = 1001

Em N, a operação de soma (+) está bem definida; Definição n, m_{∈ N ⇒ n + m ∈ N} Exemplos: 5 + 6 = 11 1000 + 1 = 1001

Em N, a operação de soma (+) está bem definida; Definição n, m_{∈ N ⇒ n + m ∈ N} Exemplos: 5 + 6 = 11 1000 + 1 = 1001

Essa operação satisfaz as seguintes propriedades: Comutatividade: n + m = m + n 2 + 3 = 5 = 3 + 2 Associatividade: (n + m) + o = n + (m + o) (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Essa operação satisfaz as seguintes propriedades:

Comutatividade: n + m = m + n

2 + 3 = 5 = 3 + 2 Associatividade: (n + m) + o = n + (m + o)

(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Essa operação satisfaz as seguintes propriedades: Comutatividade: n + m = m + n 2 + 3 = 5 = 3 + 2 Associatividade: (n + m) + o = n + (m + o) (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Essa operação satisfaz as seguintes propriedades:

Comutatividade: n + m = m + n

2 + 3 = 5 = 3 + 2 Associatividade: (n + m) + o = n + (m + o)

(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Essa operação satisfaz as seguintes propriedades:

Comutatividade: n + m = m + n

2 + 3 = 5 = 3 + 2 Associatividade: (n + m) + o = n + (m + o)

(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Zero é um número natural?

Para nós, será.

Zero é um número natural?

Para nós, será.

Zero é um número natural?

Para nós, será.

Elemento Neutro: 0 + n = n + 0

0 + 5 = 5 + 0

Resumindo:

A operação + no conjunto N é uma operação associativa, comutativa e possui elemento neutro.

Elemento Neutro: 0 + n = n + 0

0 + 5 = 5 + 0

Resumindo:

A operação + no conjunto N é uma operação associativa, comutativa e possui elemento neutro.

Elemento Neutro: 0 + n = n + 0

0 + 5 = 5 + 0

Resumindo:

A operação + no conjunto N é uma operação associativa, comutativa e possui elemento neutro.

x + 4 = 10

x = 6

x + 4 = 10

x = 6

x + 4 = 2

Fato:

Não existe um número natural que resolva tal equação!

Dessa forma há a necessidade de expandir o conjunto dos números naturais.

x + 4 = 2

Fato:

Não existe um número natural que resolva tal equação!

Dessa forma há a necessidade de expandir o conjunto dos números naturais.

x + 4 = 2

Fato:

Não existe um número natural que resolva tal equação!

Dessa forma há a necessidade de expandir o conjunto dos números naturais.

Números Inteiros

6. Teorema Fundamental da Álgebra

Números inteiros

I Comércio

Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }

Números inteiros

I Comércio

Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.}

Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0

Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Elemento oposto: z_{∈ Z ⇒ (−z) ∈ Z tal que z + (−z) = 0.} Para z = 5 :

5 + (−5) = 0 Para z = −3

−3 + (3) = 0 Isso nos diz que −(−3) = 3.

x + 4 = 2

x + 4 + (−4) = 2 + (−4)

x + 0 = −2

x = −2.

Resumindo:

A operação + no conjunto Z é associativa, comutativa, possui elemento neutro e elemento oposto.

Podemos definir, ainda, em N e em Z a operação de multiplicação.

x, y_{∈ Z ⇒ x · y ∈ Z}

3· 2 = 6

(−5)· 2 = −(5 · 2) = −10

Podemos definir, ainda, em N e em Z a operação de multiplicação. x, y_{∈ Z ⇒ x · y ∈ Z}

3· 2 = 6

(−5)· 2 = −(5 · 2) = −10

Podemos definir, ainda, em N e em Z a operação de multiplicação. x, y_{∈ Z ⇒ x · y ∈ Z}

3· 2 = 6

(−5)· 2 = −(5 · 2) = −10

Comutatividade: x· y = y · x

3· 5 = 15 = 5 · 3

Elemento neutro: 1 é tal que, pra todo x∈ Z, 1 · x = x. 1· 7 = 7

Distributividade: x(y + z) = xy + xz

2(1 + 3) = 2· 4 = 8 = 2 + 6 = 2 · 1 + 2 · 3

Comutatividade: x· y = y · x

3· 5 = 15 = 5 · 3

Elemento neutro: 1 é tal que, pra todo x∈ Z, 1 · x = x. 1· 7 = 7

Distributividade: x(y + z) = xy + xz

2(1 + 3) = 2· 4 = 8 = 2 + 6 = 2 · 1 + 2 · 3

Comutatividade: x· y = y · x

3· 5 = 15 = 5 · 3

Elemento neutro: 1 é tal que, pra todo x∈ Z, 1 · x = x. 1· 7 = 7

Distributividade: x(y + z) = xy + xz

2(1 + 3) = 2· 4 = 8 = 2 + 6 = 2 · 1 + 2 · 3

Definição

Um conjunto X munido de duas operações + e · tais que a soma é

comutativa e associativa, existe elemento neutro com relação a soma, existe elemento oposto pra todo elemento do conjunto, a multiplicação é associativa e vale a distributividade é chamado de anel.

Exemplo

Z é um anel.

Exemplo

O conjunto das matrizes de ordem dois é um anel.

Definição

Um conjunto X munido de duas operações + e · tais que a soma é

comutativa e associativa, existe elemento neutro com relação a soma, existe elemento oposto pra todo elemento do conjunto, a multiplicação é associativa e vale a distributividade é chamado de anel.

Exemplo

Z é um anel.

Exemplo

O conjunto das matrizes de ordem dois é um anel.

Definição

Um conjunto X munido de duas operações + e · tais que a soma é

comutativa e associativa, existe elemento neutro com relação a soma, existe elemento oposto pra todo elemento do conjunto, a multiplicação é associativa e vale a distributividade é chamado de anel.

Exemplo

Z é um anel.

Exemplo

O conjunto das matrizes de ordem dois é um anel.

2x = 4

⇒ x = 2

2x = 5

2x = 4⇒ x = 2

2x = 5

2x = 4⇒ x = 2

2x = 5

Números Racionais

6. Teorema Fundamental da Álgebra

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

Q = _a

b, a, b∈ Z, b 6= 0 

Para resolver a equação do slide anterior, precisamos de uma noção semelhante ao oposto, só que relacionado com a operação de multiplicação.

Elemento inverso Dado a∈ Q, a 6= 0, existe a−1

∈ Q tal que aa−1_{= 1.} Exemplos: Para a = 5, temos a−1₌ 1 5, pois 5· 1 5 = 1 Para a = 2 7, temos a −1₌ 7 2, pois 2 7· 7 2 = 1.

2x = 5 1 2 · 2x = 1 2 · 5 1· x = 5 2 x = 5 2

2x = 5 1 2 · 2x = 1 2 · 5 1· x = 5 2 x = 5 2

2x = 5 1 2 · 2x = 1 2 · 5 1· x = 5 2 x = 5 2

2x = 5 1 2 · 2x = 1 2 · 5 1· x = 5 2 x = 5 2

Fato:

O conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações lineares de uma variável com coeficientes inteiros, isto é, equações do tipo

ax + b = 0, com a6= 0.

ax + b = 0

x = −b a

Mais ainda:

Dessa forma, o conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações do tipo ax + b = 0, com a, b∈ Q, a 6= 0.

Fato:

O conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações lineares de uma variável com coeficientes inteiros, isto é, equações do tipo

ax + b = 0, com a6= 0.

ax + b = 0

x = −b a

Mais ainda:

Dessa forma, o conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações do tipo ax + b = 0, com a, b∈ Q, a 6= 0.

Fato:

O conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações lineares de uma variável com coeficientes inteiros, isto é, equações do tipo

ax + b = 0, com a6= 0.

ax + b = 0

x = −b a

Mais ainda:

Dessa forma, o conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações do tipo ax + b = 0, com a, b∈ Q, a 6= 0.

Fato:

O conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações lineares de uma variável com coeficientes inteiros, isto é, equações do tipo

ax + b = 0, com a6= 0.

ax + b = 0

x = −b a

Mais ainda:

Dessa forma, o conjunto Q é um lugar onde se pode resolver todas as equações do tipo ax + b = 0, com a, b∈ Q, a 6= 0.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Definição

Um corpo é um conjunto K6= ∅, munido com duas operações fechadas +

e ·, satisfazendo as seguintes condições:

I a + b = b + a, para quaisquer a, b∈ K;

I (a + b) + c = a + (b + c), para quaisquer a, b, c∈ K;

I Existe um elemento 0K∈ K tal que a + 0K= a, para todo a∈ K;

I Para qualquer a∈ K, existe um elemento (−a) ∈ K tal que a + (−a) = 0;

I a· b = b · a, para quaisquer a, b ∈ K;

I (a· b) · c = (a · b) · c, para quaisquer a, b, c ∈ K;

I Existe um elemento 1K∈ K tal que 1K· a = a, para todo a ∈ K;

I Para qualquer a∈ K, a 6= 0 existe um elemento a−1_{∈ K tal que}

a· a−1_{= 1} K;

I a· (b + c) = a · b + a · c, para quaisquer a, b, c ∈ K.

Números Reais

6. Teorema Fundamental da Álgebra

d2= 12+ 12

d2= 2

d2= 12+ 12

d2= 2

d2= 12+ 12

d2= 2

A equação d2_{= 2 não possui solução no conjunto dos números racionais.}

Definimos √2 como sendo um número positivo que elevado ao quadrado é igual a 2.

E assim "surge" o conjunto dos números reais!

Um lugar em que todas as equações do tipo x2= a, com a> 0 podem ser resolvidas.

A equação d2_{= 2 não possui solução no conjunto dos números racionais.}

Definimos √2 como sendo um número positivo que elevado ao quadrado é igual a 2.

E assim "surge" o conjunto dos números reais!

Um lugar em que todas as equações do tipo x2= a, com a> 0 podem ser resolvidas.

A equação d2_{= 2 não possui solução no conjunto dos números racionais.}

Definimos √2 como sendo um número positivo que elevado ao quadrado é igual a 2.

E assim "surge" o conjunto dos números reais!

Um lugar em que todas as equações do tipo x2= a, com a> 0 podem ser resolvidas.

A equação d2_{= 2 não possui solução no conjunto dos números racionais.}

Definimos √2 como sendo um número positivo que elevado ao quadrado é igual a 2.

E assim "surge" o conjunto dos números reais!

Um lugar em que todas as equações do tipo x2= a, com a> 0 podem ser resolvidas.

A equação d2_{= 2 não possui solução no conjunto dos números racionais.}

Definimos √2 como sendo um número positivo que elevado ao quadrado é igual a 2.

E assim "surge" o conjunto dos números reais!

Um lugar em que todas as equações do tipo x2= a, com a> 0 podem ser resolvidas.

Na verdade é um pouco mais complicado do que isso...

Por exemplo,

Na verdade é um pouco mais complicado do que isso... Por exemplo,

Formalmente, R é construído como o completamento de Q via cortes de Dedekind ou sequências de Cauchy.

Em tal construção explica-se o porquê de R ser um corpo.

Formalmente, R é construído como o completamento de Q via cortes de Dedekind ou sequências de Cauchy.

Em tal construção explica-se o porquê de R ser um corpo.

Formalmente, R é construído como o completamento de Q via cortes de Dedekind ou sequências de Cauchy.

Em tal construção explica-se o porquê de R ser um corpo.

Números Complexos

6. Teorema Fundamental da Álgebra

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Por muito tempo matemáticos questionavam-se sobre a solução de uma equação do tipo

x2+ 1 = 0.

Cardano lançou a seguinte questão: “Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40”.

x + y = 10 e xy = 40 x = 5 +√−15 e y = 5 −√−15 x + y = 5 +√−15 + 5 −√−15 = 10 e xy = (5 +√−15)(5 −√−15) = 25 −·(−15) = 25 + 15 = 40 x2_{− 10x + 40 = 0}

Definição

Seja i tal que i2_{= −1.}

Logo, i é uma solução para a equação x2_{+ 1 = 0.}

Além disso, √−a =√−1· a =√−1√a = i√a.

Definição

C = {a + bi : a, b ∈ R}.

Fato:

C, com soma definida por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e multiplicação definida por (a + bi)· (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i é um corpo.

Definição

Seja i tal que i2_{= −1.}

Logo, i é uma solução para a equação x2_{+ 1 = 0.}

Além disso, √−a =√−1· a =√−1√a = i√a.

Definição

C = {a + bi : a, b ∈ R}.

Fato:

C, com soma definida por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e multiplicação definida por (a + bi)· (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i é um corpo.

Definição

Seja i tal que i2_{= −1.}

Logo, i é uma solução para a equação x2_{+ 1 = 0.}

Além disso, √−a =√−1· a =√−1√a = i√a.

Definição

C = {a + bi : a, b ∈ R}.

Fato:

C, com soma definida por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e multiplicação definida por (a + bi)· (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i é um corpo.

Definição

Seja i tal que i2_{= −1.}

Logo, i é uma solução para a equação x2_{+ 1 = 0.}

Além disso, √−a =√−1· a =√−1√a = i√a.

Definição

C = {a + bi : a, b ∈ R}.

Fato:

C, com soma definida por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e multiplicação definida por (a + bi)· (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i é um corpo.

Definição

Seja i tal que i2_{= −1.}

Logo, i é uma solução para a equação x2_{+ 1 = 0.}

Além disso, √−a =√−1· a =√−1√a = i√a.

Definição

C = {a + bi : a, b ∈ R}.

Fato:

C, com soma definida por (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i e multiplicação definida por (a + bi)· (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i é um corpo.

Teorema Fundamental da Álgebra

6. Teorema Fundamental da Álgebra

Definição

Dizemos que (K, +,·) é um corpo algebricamente fechado se toda equação

do tipo

anxn+ an−1xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0= 0,

com n_{∈ N, n > 1 e a}i ∈ K para todo i ∈{1, · · · , n} possui solução em K.

Exemplo

x3

− 2 = 0 não possui solução em Q, logo Q não é algebricamente fechado.

Exemplo

x2

+ 1 = 0 não possui solução em R, logo R não é algebricamente fechado.

Definição

Dizemos que (K, +,·) é um corpo algebricamente fechado se toda equação

do tipo

anxn+ an−1xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0= 0,

com n_{∈ N, n > 1 e a}i ∈ K para todo i ∈{1, · · · , n} possui solução em K. Exemplo

x3

− 2 = 0 não possui solução em Q,

logo Q não é algebricamente fechado.

Exemplo

x2

+ 1 = 0 não possui solução em R, logo R não é algebricamente fechado.

Definição

Dizemos que (K, +,·) é um corpo algebricamente fechado se toda equação

do tipo

anxn+ an−1xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0= 0,

com n_{∈ N, n > 1 e a}i ∈ K para todo i ∈{1, · · · , n} possui solução em K. Exemplo

x3

− 2 = 0 não possui solução em Q, logo Q não é algebricamente fechado.

Exemplo

x2

+ 1 = 0 não possui solução em R, logo R não é algebricamente fechado.

Definição

Dizemos que (K, +,·) é um corpo algebricamente fechado se toda equação

do tipo

anxn+ an−1xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0= 0,

com n_{∈ N, n > 1 e a}i ∈ K para todo i ∈{1, · · · , n} possui solução em K. Exemplo

x3

− 2 = 0 não possui solução em Q, logo Q não é algebricamente fechado.

Exemplo

x2

+ 1 = 0 não possui solução em R,

logo R não é algebricamente fechado.

Definição

Dizemos que (K, +,·) é um corpo algebricamente fechado se toda equação

do tipo

anxn+ an−1xn−1+· · · + a2x2+ a1x + a0= 0,

com n_{∈ N, n > 1 e a}i ∈ K para todo i ∈{1, · · · , n} possui solução em K. Exemplo

x3

− 2 = 0 não possui solução em Q, logo Q não é algebricamente fechado.

Exemplo

x2

+ 1 = 0 não possui solução em R, logo R não é algebricamente fechado.

Teorema Fundamental da Álgebra

C é um corpo algebricamente fechado.

Exemplo

√

2x10_{+ πx}7_{+ (2i)x}3

+ 57 = 0 possui pelo menos uma solução em C.

Teorema Fundamental da Álgebra

C é um corpo algebricamente fechado.

Exemplo

√

2x10_{+ πx}7_{+ (2i)x}3

+ 57 = 0 possui pelo menos uma solução em C.

Obrigada!