Lista de Exercícios de Álgebra I
Professor Rodrigo
Turma T02
Relações – 8ª Lista
Exercício 1:
Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {3,4,5,6,7} e R = {(x,y) є A x B/ x + y é um número par e menor que 10}. Descreva os elementos de R.
Exercício 2:
Sejam A e B dois conjuntos tais que n(A) = 3 e n(B) = 2. Determine o número de relação bi-nárias diferentes que podem ser definidas de A em B.
Exercício 3:
Dado o conjunto A = {a, b, c} e a relação binária R definida em A por aRa, aRb, bRb, bRa, cRc, temos que:
a) R é uma relação de ordem. b) R é uma relação anti-simétrica. c) R é uma relação não reflexiva. d) R é uma relação não transitiva. e) R é uma relação de equivalência.
Exercício 4:
Considere o conjunto dos automóveis da cidade do Recife. Dizemos que o automóvel a será relacionado com o automóvel b, isto é, aRb, se o último algarismo de suas respectivas placas forem iguais. Assinale a alternativa certa:
a) R é uma relação de ordem. b) R é uma relação de equivalência.
d) R é uma relação simétrica, mas não transitiva. c) R é uma relação reflexiva, mas não simétrica. e) R é uma relação transitiva, mas não reflexiva.
Exercício 5:
Seja A o conjunto dos seres humanos e seja R o seguinte subconjunto de A x A: R = {(a, b) є A x A; a tem o mesmo pai que b ou a tem a mesma mãe que b}.
Assinale a alternativa correta:
a) R é uma relação de equivalência. b) R é uma relação de ordem. c) R não define uma relação em A.
d) R não é uma relação de ordem porque não é reflexiva. e) R não é uma relação de equivalência porque não é transitiva.
Exercício 6:
a) R é reflexiva b) R é simétrica c) R é anti-simétrica d) R é transitiva e) R é anti-reflexiva
Exercício 7:
Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos A = {x є Z; -1 < x ≤ 2} e B = {3, 4, 5}. Então, se D = {(x, y) є A x B; y ≥ x + 4}, tem que:
a) D = A x B
b) D tem um único elemento. c) D tem apenas três elementos. d) D tem apenas dois elementos.
e) As quatro afirmativas anteriores são falsas.
Exercício 8:
Considere a relação R = {(a, b) є IN x IN; a + 2b = 6}, então R é igual a:
a) {(0, 6), (1, 4), (6, 0)} b) {(2, 2), (3, 0)}
c) {(0, 3), (2, 2), (4, 1). (6, 0)} d) {(0, 6), (1, 4), (3, 0)} e) {(0, 6), (3, 0)}
Exercício 9:
Dado o conjunto A = {a,b,c,d}, escreva uma relação R sobre A que não seja apenas simétrica nem transitiva.
Exercício 10:
Sejam A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, pergunta-se quantos são os elementos da relação R = {(x, y) є A x B; x2 = y2}?
a) R tem 10 elementos. b) R tem 5 elementos. c) R tem 25 elementos. d) R tem 2 elementos. e) n.d.a.
Exercício 11:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3}, os elementos da relação R = {(x, y) є A x B; x < y} são:
a) {(3, 1); (2, 1)} b) {(1, 1); (2, 2); (3, 3)} c) {(1, 2); (2, 1); (3, 2); (4, 1)} d) {(1, 2); (1, 3); (2, 3)
e) {(1, 2); (1, 3)}
Exercício 12:
a)R−1∩S−1=(R∩S)−1
b)R−1∪S−1=(R∪S)−1
c) Se R e S são transitivas, entãoR∩S também é.
d) Se R e S são simétricas, entãoR∩S e R∪S também são.
Exercício 13:
Seja A uma conjunto finito com n elementos:
a) Quantas são as relações binárias em A? b) Quantas são as relações reflexivas em A? c) Quantas são as relações simétricas em A?
Exercício 14:
Verifique se as relações a seguir são de equivalência:
a) x≤y
b) x + y = 10 c) x | y
d) mdc(X,Y) = 1
e) (a,b) R (c,d) ⇔ a + c = b + d
Exercício 15:
Seja A = {x є Z/ 0≤x≤10} e R a relação definida por x ~ y ⇔ Existe k є Z / x – y = 4k. Determine o conjunto quociente A/R.
Exercício 16:
Sejam E = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} e R = {(x,y) є E2 / x + |x| = y + |y|}. Mostrar que esta é uma relação de equivalência e descrever E/R.
Exercício 17:
Seja R uma relação sobre o conjunto dos racionais definida como x ~ y ⇔ x – y é inteiro. Provar que esta é uma relação de equivalência e descrever 1.
Exercício 18:
Seja R = {(x,y) є R2 / x – y é racional}. Provar que é uma relação de equivalência e descrever as classes de equivalência representadas por ½ e 2.
Exercício 19:
Mostre que a relação definida sobre o conjunto dos complexos é de equivalência: (x + yi) ~ (z + ti) ⇔ x2 + y2 = z2+ t2. Descreva a classe 1+i.
Exercício 20:
Sejam P = (x1,y1) e Q = (x2,y2) pontos genéricos do plano cartesiano. Mostre que as seguintes
relações sobre o plano são de equivalência, e interprete geometricamente as classes de equivalência e o conjunto-quociente de:
a) P ~ Q ⇔ x1y1 = x2y2.
b) P ~ Q ⇔ y2 – y1 = x2 – x1.
Exercício 21:
Considere o seguinte conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e as relações R : “x é metade de y” e S : “x é o dobro de y”:
a) Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados. b) Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria e à transitividade.
Exercício 22:
Considere o seguinte conjunto A = {2, 3, 4, 5, 10, 15, 20} e as relações ℬ : “x divide y” e ℳ : “x é divisível por y”:
a) Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados. b) Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à transitividade.
