Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias

Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL

matos@mat.ufpb.br

Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead

Site da UFPBVIRTUAL: www.virtual.ufpb.br Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257

Carga horária: 60 horas Créditos: 04

Ementa

Sequências Numéricas, Séries Numéricas, Séries de Potências, Equações Diferenciais de Primeira Ordem, Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem.

Descrição

A disciplina Séries e Equações Diferenciais consiste em uma exposição passo a passo de conceitos e propriedades básicas de cálculo de limites de sequência numéricas, critérios de convergência para séries, representação das funções elementares do cálculo por séries de potências, métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e aplicações.

O programa da disciplina divide-se em cinco unidades, as três primeiras sobre sequências e séries e as outras duas sobre equações diferencias. Na primeira unidade apresentam-se os conceitos e resultados básicos sobre sequências numéricas com vistas ao cálculo de limites; na segunda unidade apresentam-se os principais critérios de convergência para séries numéricas, com ênfase no Teste da Razão. Na terceira unidade dar-se-á ênfase ao desenvolvimento de funções em séries de potências. Na quarta unidade apresentam-se conceitos e métodos sobre equações diferenciais de primeira ordem enfatizando o processo que vai da modelagem à resolução de alguns problemas práticos. Finalmente, a quinta unidade trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem, onde se apresentam conceitos e métodos com aplicações.

Objetivos

Ao final do curso espera-se que o aluno

Compreenda o significado de limite de uma sequência numérica e de convergência de uma série numérica;

Saiba determinar o domínio de uma função definida por uma série de potências e esteja habilitado a desenvolver as principais funções elementares do cálculo em séries de potências;

Saiba aplicar os métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias e modelar alguns fenômenos físicos por equações diferenciais para, em seguida, resolvê-los.

Unidades Temática Integradas Unidade I Sequências Numéricas

Conceitos Básicos

Sequências Convergentes Cálculo de Limites Unidade II Séries Numéricas

Séries Convergentes

Séries de Termos Positivos. Critérios de Convergência Séries Alternadas. Critério de Leibniz

Convergência Absoluta. Critério da Razão

Unidade III Séries de Potências Intervalo de Convergência

Funções definidas por Séries de Potências Derivação e Integração de Séries de Potências Séries de Taylor e Séries de Maclaurin

Unidade IV Equações Diferenciais de Primeira Ordem Modelagem de Problemas Práticos

EDO Linear: solução geral

EDO Não-Linear: métodos elementares

Unidade V Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem Alguns modelos como motivação

Método dos Coeficientes a Determinar - MCD Método de Variação dos Parâmetros - MVP Soluções em Séries de Potências

Unidade I Sequências Numéricas

1. Situando a temática

Nesta unidade, apresentamos os conceitos básicos e a noção intuitiva de limite para sequências numéricas e formalizamos as principais propriedades para o cálculo de limites. A notação e terminologia fixadas são fundamentais para o acompanhamento das unidades posteriores.

2. Problematizando a Temática

A importância de sequências (e séries) infinitas para o cálculo torna-se evidente quando se deseja aproximar certas funções por polinômios. Essa ideia já fora idealizada por Newton no cálculo de áreas onde ele frequentemente integrava funções a partir de sua representação como uma soma infinita de funções polinomiais.

3. Conhecendo a Temática

3.1 Conceitos Básicos

Informalmente, uma sequência é uma lista ordenada de coisas, mas nesta unidade as coisas serão números reais. Pensando desta forma, uma sequência nada mais é do que uma lista ordenada infinita de números reais

a1 , a2 , a3 , ... an ,....

em que a₁ é o primeiro termo e a_n é o n-ésimo termo ou termo de ordem n. Em se tratando de uma lista infinita, cada termo a_n tem um sucessor a_n+1 e assim fica estabelecida uma correspondência entre o conjunto = {1,2,3,4,....} dos números naturais e o conjunto constituído pelos termos a1 , a2 , a3 , ... an ,.... da sequência.

Uma sequência {a_n} é uma função f cujo domínio é o conjunto dos números naturais e cujo valor no número natural n é precisamente o termo an, isto é, f(n) = an. Por simplicidade, essa sequência f é representada pelo seu termo genérico a_n.

Uma sequência pode ser representada pelo seu termo geral an, bn, xn, etc. ou explicitando-se seus primeiros termos como mostram os seguintes exemplos:

Exemplo

A sequência cujos termos são todos iguais a 1 é representada por a_n = 1 ou explicitando seus primeiros termos: 1, 1, 1, 1, ... Uma sequência em que todos os termos são iguais é denominada sequência constante.

Exemplo

A sequência de termo geral a_n = (–1)ⁿ assume dois valores distintos: o valor –1, quando n for um número ímpar e o valor 1, quando n for par. Seus valores são alternadamente negativos e positivos e ela também é representada sob a forma: –1, 1, –1, 1, .... Quando os termos de uma sequência são alternadamente positivos e negativos ela recebe o nome de sequência alternada.

Exemplo

A sequência de termo geral a_n = 1/n é também representada por: 1, 1/2, 1/3, 1/4,.... Nesta sequência os termos a_n tornam-se cada vez menores, à medida que o índice n aumenta.

Exemplo

Os cinco primeiros termos da sequência alternada

a n

n n

) (− 1

=

são:

. 5 / 1 ,

4 / 1 ,

3 / 1 ,

2 / 1 ,

1

_{2 3 4 5}

1

= − a = a = − a = a = −

a

Em valor absoluto essa sequência se comporta como aquela do exemplo precedente. Em valores relativos os termos de ordem par decrescem e os termos de ordem ímpar crescem, à medida que o índice n aumenta.

Independente de a ordem ser par ou ímpar, o termo a_n se aproxima cada vez mais do número zero, com n aumentando.

Exemplo

A sequência de termo geral

a

_n

= n

cresce com n e atinge valores arbitrariamente grandes, ao contrário da sequência

b

_n

= − n

² que decresce à medida que n aumenta.

Definição 3.1A

Uma sequência {an} é denominada não decrescente se:

L

L

≤ ≤

≤

≤

≤

≤ a a a a

_n

a

_{1 2 3 4} .

Quando ocorrer < no lugar de ≤ a sequência será denominada crescente.

Definição 3.1B

Uma sequência {a_n} é denominada não crescente se:

L

L

≥ ≥

≥

≥

≥

≥ a a a a

_n

a

_{1 2 3 4} .

Quando ocorrer > no lugar de ≥ a sequência denomina-se decrescente.

De forma concisa, as definições anteriores ficam assim:

• {a_n} é não decrescente se

a

_n

≤ a

_n+1

, ∀ n

;

• {a_n} é crescente se

a

_n

< a

_n+1

, ∀ n

;

• {a_n} é não crescente se

a

_n+1

≤ a

_n

, ∀ n

;

• {a_n} é decrescente se

a

_n+1

< a

_n

, ∀ n

.

Esses tipos de sequências classificam-se como sequências monótonas.

Agora que você está familiarizado com os primeiros conceitos, veja as sequências dos exemplos do ponto de vista gráfico. Como o domínio de uma sequência é um conjunto de pontos isolados (recorde-se que o domínio de uma sequência é o conjunto dos números naturais) o gráfico de uma sequência não é uma linha contínua, mas um conjunto de pontos isolados do plano cartesiano em que as ordenadas representam os termos a_n da sequência.

Observe como as ordenadas (as alturas) dos pontos (n,1/n) vão diminuindo à medida que o índice n aumenta. A sequência an=1/n é decrescente e seus termos se aproximam cada vez mais de zero, quando n vai crescendo. Existe uma simbologia apropriada que traduz essa aproximação da sequência an=1/n para zero. Usa-se a notação n→∞ para indicar que o índice n cresce arbitrariamente e

a

_n

→ 0

indica que a sequência an se aproxima de zero. Assim,

1 0 lim =

∞

→

n

n .

A sequência de termo geral an =1/n

A sequência constante

a

_n

= 1

A sequência alternada

a

_n

= (− 1 )

ⁿ

Observe a figura e se convença que os termos de ordem par decrescem e se aproximam de zero, enquanto os termos de ordem ímpar crescem se aproximando também de zero, à medida que o índice n aumenta. Com a simbologia introduzida anteriormente, escreve-se:

) 0 1 lim ( − =

∞

→

n

n

n .

Este exemplo mostra que uma sequência alternada pode sim aproximar-se de um determinado valor, quando o índice n torna-se arbitrariamente grande. Isso ocorre quando os termos de ordem par e os termos de ordem ímpar se aproximam do mesmo valor e aqui este valor é zero. Isso não ocorre com a sequência alternada da figura 3.1B, onde os termos de ordem par e os termos de ordem ímpar se aproximam de valores diferentes.

A sequência alternada

a n

n n

) (− 1

=

Além da monotonia (Definição 3.1A e 3.1B), as sequências se classificam quanto à limitação em: limitada superiormente, limitada inferiormente e limitada, como estabelecem as definições a seguir.

Definição 3.1C

Uma sequência {an} é denominada limitada superiormente quando existir uma constante M, denominada cota superior da sequência, tal que:

n M a

_n

≤ , ∀

. Definição 3.1D

Uma sequência {an} é denominada limitada inferiormente quando existir uma constante m, denominada cota inferior da sequência, tal que:

n a

m ≤

_n

, ∀

. Definição 3.1E

Uma sequência {an} é denominada limitada quando o for superiormente e inferiormente. Isto é equivalente a existência de uma constante positiva C tal que:

n C a_n ≤ , ∀ . Exemplo

• A sequência de termo geral

a

_n

= n

é limitada inferiormente por 1, mas não é limitada superiormente, porque ela atinge valores arbitrariamente grandes.

• A sequência

b

_n

= − n

² é limitada superiormente por zero e ela atinge valores arbitrariamente pequenos. Isso faz com que ela não seja limitada inferiormente.

• Todos os termos da sequência

+ 1

= n

a

_n

n

estão entre 0 e 1, o que faz dela uma sequência limitada. O

crescimento ou decrescimento é deduzido a partir de uma análise da razão

n n

a a

₊₁

. Para calcular an+1 substitua n por n +1 na expressão que define an e, neste caso, obtenha

2 1

1

+

= +

+

n

a

_n

n

Assim,

2 1 1 2 )

2 (

) 1 (

2 2 2

1

>

+ +

= + +

= +

+

n n

n n n

n n a

a

n n

e, portanto,

a

_n+1

> a

_n e a sequência é crescente.

No Moodle

3.2 Sequências Convergentes

Em alguns exemplos da seção anterior foi abordada a noção intuitiva de convergência e, informalmente, pode-se dizer que uma sequência {a_n} tem limite L ou converge para L quando os termos {a_n} da sequência estiverem arbitrariamente próximos de L ao se fazer n suficientemente grande. Compare essa noção de convergência com as informações produzidas pelos gráficos das sequências nas figuras 3.1C e 3.1D acima, onde o número L em ambos os casos é zero. Passando para a linguagem matemática, isso significa que qualquer intervalo aberto que contiver o número L conterá os termos da sequência a partir de certo índice N.

Observe pela figura 3.2A que a distância entre os pontos do gráfico da sequência, e a reta horizontal y = L torna-se próxima de zero, à medida que o índice n cresce. A ideia que passa é que o gráfico da sequência toca a reta y = L, quando n for suficientemente grande. Isso até ocorre em alguns casos, mas não é regra geral. Se você olhar a figura 3.1C se convencerá de que o gráfico daquela sequência jamais tocará o eixo horizontal. Para indicar que a sequência {a_n} tem limite L ou converge para o número L, utiliza-se as notações

lim a

_n

= L ou a

_n

→ L

, onde está implícito que n→∞. Agora que você absorveu a ideia intuitiva de limite, veja a definição formal.

Definição 3.2A

Uma sequência {a_n} tem limite L ou converge para L se para cada ε >0 existir um correspondente número natural N tal que

<ε

−L

a_n sempre que n>N .

Observação

Para confrontar a noção intuitiva de limite com a definição formal, observe que:

(a) o número natural N da definição de limite em geral depende do número ε dado;

(b) sendo a desigualdade a_n −L <ε equivalente a

L − ε < a

_n

< L + ε ,

ou ainda que

a

_n jaz no intervalo

)

,

( L − ε L + ε

. A definição 3.2A estabelece que fora do intervalo aberto

( L − ε , L + ε )

existe no máximo uma quantidade finita de termos da sequência ou, em outras palavras, que os termos da sequência a partir da ordem N estão dentro do intervalo aberto

( L − ε , L + ε )

;

(c) a sequência {a_n} convergir para L significa que as distâncias |a_n–L| entre a_n e L se aproximam de zero quando n→∞;

Critério da Limitação

Se uma sequência {a_n} é convergente, então ela é limitada.

Corolário

Uma sequência que não é limitada não pode convergir.

De fato, se L=lim a_n, segue da definição de limite, com ε = 1, que existe um número natural N tal que

|a_n -L| < 1

, sempre que n > N,

Agora vá à plataforma MOODLE e procure responder as questões e resolver os exercícios referentes ao tema estudado.

e considerando C o maior entre os números

a1

,

a2 , ... , aN e 1 + |L|, então:

. todo para

, n

C L L a L L a

a_n = _n − + ≤ _n − + <

Exemplo

O critério da limitação é bastante utilizado quando se deseja mostrar que uma dada sequência não converge. Por exemplo, as sequências a_n = n e b_n = logn não são limitadas e, consequentemente, não podem convergir.

Em geral o limite de uma sequência é calculado por meio de propriedades e regras que são estabelecidas a partir da definição de limite. Por exemplo, a distância entre dois termos consecutivos an e an+1

de uma sequência convergente se aproxima de zero, quando n→ ∞. Para comprovar esse fato, seja L o limite da sequência an e use a desigualdade triangular para obter:

| a_n+1 – a_n| = | a_n+1 – L + L − a_n| ≤ | a_n+1 − L| +| L – a_n|.

Para concluir basta observar que os dois termos do lado direito da última desigualdade se aproximam de zero com n→ ∞. Como consequência dessa propriedade deduz-se que a sequência a_n =(-1)ⁿ não converge, porque a distância entre dois termos consecutivos dessa sequência é sempre 2. É oportuno observar que existem sequências que não convergem, e ainda assim, a distância entre quaisquer dois termos consecutivos se aproxima de zero, quando n→ ∞. Por exemplo, a sequência a_n = logn não converge e a distância entre dois termos consecutivos dessa sequência se aproxima de zero. De fato,

) / 1 1 log(

| log ) 1 log(

|

|

| a

_n+1

− a

_n

= n + − n = + n

e o lado direito da última igualdade se aproxima de zero, quando n→∞.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Existem sequências que crescem arbitrariamente com o índice n, como é o caso da sequência a_n = n.

Para essas sequências anota-se

lim a

_n

= ∞

, e existem sequências que decrescem arbitrariamente, à medida que n aumenta, como por exemplo, a sequência bn = – n; neste caso anota-se

lim b

_n

= −∞

. Para essas sequências, a distância entre dois termos consecutivos é sempre 1, e isso faz com que elas não sejam convergentes. Uma sequência que não converge, isto é, que não tem limite finito, é denominada sequência divergente.

Observação

Você deve está se perguntando: o que limite de sequência tem a ver com limite de funções? A

diferença entre

f n L f x L

x

n

= =

∞

→

∞

→

( ) e lim ( )

lim

é que o número n deve ser um número natural. Então, se

L

x

x

f =

∞

→

( )

lim

e

f ( n ) = a

_n, quando n é um número natural, tem-se

a

_n

L

n

=

∞

lim

→ . Por exemplo,

1 1

lim 1 1

lim =

⇒ +

+ =

^→∞

∞

→

n

n x

x

n x

e daí segue que a sequência

+ 1

= n

a

_n

n

converge para 1.

Escrevendo para aprender

Você já deve ter ouvido falar em unicidade do limite de uma função real. Pois é, usando o conceito de limite e a desigualdade triangular, deduza que uma sequência convergente não pode ter dois limites.

3.3 Cálculo de limites

As propriedades básicas para o cálculo de limites de sequências são similares àquelas estabelecidas para funções reais definidas em intervalos. Elas são demonstradas utilizando a definição de limite.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Sobre o uso da Regra de L’Hôpital

Embora não exista uma regra de L’Hôpital para sequências, o limite do quociente a_n/b_n de duas sequências que convergem para zero ou têm limite ±∞ pode ser calculado com base na última observação, considerando a função que estende o termo geral da sequência. Por exemplo,

=

=

→∞

∞

→

x

x n

n

x n

lim log

lim log

(usando a regra de L’Hôpital)

1 0

1 lim /

lim 1 = =

=

→∞ →∞

x x

x

x .

Logo, a sequência (logn)/n converge para zero.

3.3A Propriedades algébricas

Sejam {a_n} e {b_n} duas sequências convergentes com limites L e M, respectivamente. Então:

(a) limite da soma:

lim( a

_n

+ b

_n

) = L + M

; (b) limite do produto:

lim( a

_n

⋅ b

_n

) = L ⋅ M

(c) limite do quociente:

lim( a

_n

/ b

_n

) = L / M

, se M e cada b_n é diferente de zero.

(d) limite do produto por constante:

lim( C ⋅ a

_n

) = C ⋅ L

, sendo C uma constante real.

Com as propriedades algébricas 3.3A, o cálculo de limites torna-se bem prático. Por exemplo, para calcular o limite da sequência

1 2 4

3

2 2

+

−

= +

n n

a

_n

n

, coloca-se em evidência o termo de maior grau no numerador e no denominador, resultando:

4 1 /

1 / 2 4

/ 3 lim 1

) / 1 / 2 4 (

) / 3 1 lim (

1 2 4 lim 3

lim

₂

2 2

2

2 2

2

2

=

+

−

= + +

−

= + +

−

= +

n n

n n

n n

n n

n n a

_n

n

Para que fique bem claro o procedimento acima, observe os limites do numerador e do denominador separadamente. Para o numerador, temos:

1 0 0 3 1 ) / 1 lim(

) / 1 lim(

3 1 lim ) / 3 1

lim( + n

²

= + n n = + × × =

Para o denominador, temos:

4 0 0 0 2 4 ) / 1 lim(

) / 1 lim(

) / 1 lim(

2 4 lim ) / 1 / 2 4

lim( − n + n

²

= − n + n × n = − × + × =

.

3.3B Critério do Confronto

Sejam {a_n}, {b_n} e {c_n} três sequências tais que a_n ≤ b_n ≤ c_n , a partir de certa ordem N. Se as sequências {a_n} e {c_n} convergem para o mesmo valor L, então a sequência intermediária {b_n} também converge para L.

Escrevendo para aprender

Seja x um número real tal que –1 < x < 1 e considere a sequência de termo geral an = xⁿ. Se x = 0, a sequência an é identicamente nula e, é claro, seu limite é zero. Se x não é zero, então 0 < |x| <1 e log|x| está definido, é um número negativo e, além disso, dado

ε

>0, então:

|

| log log log

|

| log

|

|

|

| x

ⁿ

< ε ⇔ x

ⁿ

< ε ⇔ n x < ε ⇔ n > ε x

.

A última desigualdade sugere escolher o índice N da definição de limite como o primeiro número natural maior do que

|

| log

log x

ε

. As sequências (1/2)ⁿ, (2/3)ⁿ e (1/5)ⁿ convergem todas para zero.

3.3C Critério do Limite zero

Se

lim a

_n

= 0

e {bn} é uma sequência limitada (convergente ou não), então o produto anbn tem limite zero.

Exemplo

Para provar que a sequência

x

_n

= (cos n ) / n tem limite zero, observe que ela se escreve como

o produto anbn, onde an = 1/n tem limite zero e bn = cosn é limitada pois – 1 < bn < 1, ∀n∈ .

Você deve ter percebido através dos exemplos que uma sequência limitada pode ser divergente e uma sequência monótona também pode divergir. Se uma sequência além de limitada for também monótona, então ela será convergente. É isso o que estabelece o seguinte critério.

3.3D Critério da Convergência Monótona

Uma sequência que é ao mesmo tempo limitada e monótona é convergente.

Exemplo Sequência envolvendo n!

Se n é um inteiro positivo, define-se o fatorial de n por n!=1×2×3×L×n

e convenciona-se 0!=1

. Considere a sequência de termo geral

) 1 2 ( 5 3 1

!

−

×

×

×

= ×

n a

_n

n

L

.

• {an} é uma sequência limitada, porque

1 × 2 × 3 ×

L

× n ≤ 1 × 3 × 5 ×

L

× ( 2 n − 1 ) e, portanto, 0 ≤

an

≤ 1, para todo n;

• {a_n} é uma sequência decrescente. Basta observar que

1 , , 1

2

1

1 n

n n a a

n

n

< ∀

+

= +

+

e,

consequentemente,

an +1 < an.

A sequência {a_n}, sendo monótona e limitada, é convergente.

Unidade II Séries Numéricas

1. Situando a Temática

Nesta unidade, apresentamos os conceitos e resultados básicos sobre convergência de séries infinitas, que formam a base para o desenvolvimento de uma técnica que nos permite aproximar funções por polinômios e, ao mesmo tempo, calcular o erro cometido nessa aproximação. Na primeira seção trataremos dos fundamentos gerais e nas seções subsequentes serão abordados temas específicos sobre séries de termos positivos e séries alternadas.

2. Problematizando a Temática

Uma soma infinita é um processo que sempre nos intriga porque literalmente não podemos somar, um a um, uma quantidade infinita de termos. Ao estabelecer que a soma infinita

L

L

+ +

+ +

+ a a a

_n

a

_{1 2 3}

dos termos de uma sequência {an} tem valor S (ou converge para o número S) desejamos passar a seguinte ideia: o valor da soma a1+ a2+ a3+...+ an torna-se arbitrariamente próxima de S, à medida que o número n de parcelas aumenta. Em alguns casos uma soma infinita resulta em um número, como no caso da soma:

1 2

/ 1 8

/ 1 4 / 1 2 /

1 + + +

L

+

ⁿ

+

L

=

^,

deduzida a partir da soma de áreas como na figura abaixo. Em outros casos, a soma infinita torna-se arbitrariamente grande à medida que se aumenta o número de parcelas. Não parece óbvio, mas isso ocorre com a soma:

∞

= + + + +

+1/2 1/3 L 1/n L

1 ,

onde mais uma vez recorremos a intuição geométrica em nossa conclusão.

Por fim, existem somas infinitas com resultado indefinido, como é o caso da soma:

+

L

− +

− +

− 1 1 1 1 1

que pode ser 1, pode ser zero, dependendo de como seus termos são agrupados:

1

(1−1) + (1−1) + (1−1) + ··· = 0 ou 1 + (−1+1) + (−1+1) + (−1+1) + ··· = 1.

Assim, é fundamental nos familiarizarmos com os conceitos de convergência de sequências e somas infinitas.

3. Conhecendo a Temática 3.1 Fundamentos Gerais

Para motivar o que será desenvolvido nesta seção apresentaremos como ilustração o cálculo da soma infinita:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ···

A esta soma infinita associamos uma sequência {Sn}, denominada sequência de somas parciais, definida da seguinte maneira:

S₁ = 0.9

S₂ = 0.9 + 0.09 = 0.99

S₃ = 0.9 + 0.09 + 0.009 = 0.999

S₄ = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 = 0.9999,

e assim por diante. É natural pensar na soma infinita como o limite da sequência {S_n}, quando n→∞, e considerando que

3 2 1 vêzes

9 ...

999 . 0

n

S

n

=

então limSn = 0.9999… é uma dízima periódica. Esse cálculo pode ser feito de outra maneira, escrevendo as parcelas da soma infinita como frações ordinárias. Neste caso, a soma infinita se escreve sob a forma:

L

L

+ +

+ +

+

_n

10 9 1000

9 100

9 10

9

,

de onde segue que:

[

^{1 (1/10) (1/10)2 (1/10)3 (1/10) 1}

]

) 10 / 9

( + + + + + ⁻

= ⁿ

Sn L

e a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r = 1/10 e tem valor [1− (1/10)ⁿ]/(1−1/10), isto é:

n n

Sn 1 (1/10)

10 / 1 1

) 10 / 1 ( 1 10

9 ⎥= −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= − .

Na Unidade I aprendemos que lim(1/10)ⁿ = 0 e, dessa forma, limSn = 1. Este exemplo nos conduz à igualdade 0.9999…= 1, a qual deve ser interpretada como um limite.

Dada uma sequência {an} de números reais, a soma infinita

a

₁

+ a

₂

+ a

₃

+

L

+ a

_n

+

L será representada simbolicamente por

∑

^∞

=1 n

a

n e denominada série infinita ou simplesmente série; o termo an recebe o nome de termo geral da série . Nosso objetivo é estabelecer condições sobre a sequência {an} para que a soma infinita

∑

^∞n=1an resulte em um número real. Se este for o caso, a série infinita denomina-se convergente. Conforme alertamos no início, literalmente não podemos somar, um a um, um número infinito de termos, entretanto, ao escrever

∑

_n^∞=1a_n =S queremos dizer que somando um número suficientemente grande de termos a soma infinita torna-se arbitrariamente próxima de S. Formalmente, temos a seguinte definição:

Definição 3.1A

A série

∑

^∞n=1an é dita convergente quando a sequência {S_n} de suas somas parciais for convergente. Neste caso, a soma da série é o limite da sequência {S_n}, isto é:

n ₁an =limSn

∑

^∞=

Quando uma série não for convergente ela será denominada série divergente. Neste caso, a sequência de somas parciais {Sn} é divergente, isto é, não tem limite.

Exemplos

Os primeiros exemplos: série geométrica, série harmônica e série de encaixe

(a) Série Geométrica A série

∑

^∞=

− 1

1 n

rn em que o termo geral é

a

_n

= r

ⁿ⁻¹ denomina-se série geométrica de razão r. Neste caso as somas parciais são dadas por:

1

1 + +

2

+

⁻

=

ⁿ

n

r r r

S

L

e no caso em que r ≠ 1, teremos

r S

_n

r

ⁿ

−

= − 1

1

, obtida como n-ésima soma de uma progressão geométrica de razão r. A convergência da série geométrica depende do valor da razão r e será investigada por etapas. Para cada número natural n, temos:

1 1

3 2 1

1 + +

+ = + + + + _n = _n + _n

S

n

n a a a a a S a

S

n

4 4 4 3 4

4 4 2

1 L ^,

de modo que |S_n+1−S_n| = |a_n+1| e no caso em que r = ±1 teremos |a_n+1| = |(−1)ⁿ⁺¹|=1. Assim, |S_n+1−S_n| = 1 e a sequência de somas parciais{S_n} é divergente e, consequentemente, a série geométrica também diverge.

Dialogando e Construindo Conhecimento

Quando r ≠ ±1, então

r S r

n

n

−

= − 1

1

e há dois casos a considerar:

• 1º Caso: |r| < 1

Neste caso a sequência {rⁿ} converge para zero e, portanto, a limSn = 1/(1−r). Logo, a série geométrica é convergente e tem soma 1/(1−r);

• 2º Caso: |r| > 1

Neste caso, a sequência {1/rⁿ} converge para zero, porque |1/r| < 1 e, consequentemente, |rⁿ| → ∞ o que nos leva a concluir que a sequência {rⁿ} é divergente, o mesmo ocorrendo com a sequência de somas parciais {S_n}. Assim, a série geométrica diverge.

Resumo

Se |r| < 1, então a série geométrica

∑

^∞=

− 1

1 n

rn converge e tem soma 1/(1−r). Se |r| ≥ 1 a série é diverge.

(b) Série Harmônica

A série

∑

^∞_n=11/n recebe o nome de série harmônica devido à semelhança de seus termos aos nós em uma corda vibrando (nota musical). Por exemplo, 1/2 produz um harmônico igual ao dobro da frequência fundamental, 1/3 produz um harmônico igual ao triplo da frequência fundamental e assim por diante. Como vimos na explanação do tema, a série harmônica é divergente, já que

∑

^∞_n=₁1/n=∞.

(c) Série de Encaixe

Uma série do tipo

( b

₁

− b

₂

) + ( b

₂

− b

₃

) +

L

+ ( b

_n

− b

_n+1

) +

L em que os termos se encaixam é representada simbolicamente por

∑

^∞_n=₁(b_n −b_n+₁) e é denominada série de encaixe. A n-ésima soma parcial dessa série é:

1 1 1 1

3 2 2

1

) ( ) ( ) ( )

( − + − + +

₋

− + −

₊

= −

₊

=

_{n n n n n}

n

b b b b b b b b b b

S

L ^,

de onde deduzimos que:

• Se bn→B, então Sn→b1−B e a série

∑

^∞= − +

1( 1)

n bn bn é convergente e tem soma b1−B;

Alerta!

Recorde-se que, se uma sequência {Sn} converge, então as distâncias entre dois termos consecutivos

|Sn+1 − S_n| aproximam-se de zero, com n→∞

• Se a sequência {bn} diverge, então a sequência {Sn} ⎯ e, consequentemente, a série

∑

^∞_n=₁(b_n −b_n+₁)⎯ também diverge.

Como ilustração, vamos investigar a convergência da série

∑

^∞=

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

1

log 1

n

n

n

. Em primeiro lugar

observamos que a série se escreve sob a forma

∑

^∞_n=₁(b_n −b_n+₁), com bn = logn, e, portanto, trata-se uma série de encaixe. Como a sequência b_n = logn é divergente (tem limite ∞), então a série de encaixe também diverge. Outra série que se enquadra neste modelo é a série

∑

^∞=^{1 2}

+

1

n

n n

. Se considerarmos a decomposição

1

1 1 1

2

= − +

+ n n n n

a série identifica-se com a série de encaixe

∑

^∞_n=₁(b_n −b_n+₁), com b_n = 1/n . Temos que b₁ = 1 e limb_n = 0 e, sendo assim, a série é convergente e tem soma:

. 1 1 lim

1 2

=

1

− =

∑

^∞n=

+ b b

n

n n

Ampliando seu Conhecimento

Critério do n-ésimo termo

Se a série

∑

^∞n=1an é convergente, então o termo geral a_n tem limite zero. Em outras palavras, se o termo geral an não converge ou tem limite diferente de zero, então a série

∑

^∞n=1an é divergente.

Demonstração: A demonstração baseia-se em um fato que já utilizamos outras vezes: se uma sequência é convergente, então a distância entre dois termos consecutivos tem limite zero. Ora, a série ser convergente significa que a sequência {S_n} de somas parciais converge e como |a_n | = |S_n – S_n-1|, então o termo geral a_n converge para zero.

A condição lima_n=0 não dá informação sobre a convergência da série

∑

^∞n=1an , sendo necessária uma investigação adicional para determinar a convergência ou não da série. O critério do n-ésimo termo é utilizado como um critério de divergência, como sugere o seguinte diagrama:

Raciocinando corretamente

Quando estudamos séries numéricas pela primeira vez somos induzidos a pensar que a convergência do termo geral an é quem determina a convergência da série. Os primeiros exemplos nos mostram que o termo geral de uma série divergente pode ter limite zero, como ocorre com a série harmônica. Portanto, a convergência do termo geral an não implica na convergência da série

∑

^∞n=1an . O raciocínio correto é: se a sequência de somas parciais {Sn} for convergente, então a série será convergente.

Mais exemplos

As séries

∑

^∞_n=₁(−1)ⁿ e

∑

^∞_n=₁2n/(n+1)são divergentes. A primeira porque o termo geral a_n = (−1)ⁿ não tem limite (é divergente) e a segunda porque o termo geral a_n = 2n/(n+1) embora convergente, não tem limite zero. Em ambos os casos o critério do n-ésimo termo foi utilizado.

Como consequência das propriedades básicas do limite, demonstram-se as seguintes propriedades para séries numéricas:

Operações com séries

Sejam

∑

^∞n=1an e

∑

^∞n=1bn duas séries numéricas e seja λ uma constante.

• Se

∑

^∞n=1an e

∑

^∞n=1bn são convergentes, então

∑

^∞_n=₁(a_n +b_n)e

∑

^∞_n=1(

λ

a_n)também convergem e valem as relações:

∑

^∞_n=₁(a_n +b_n)=

∑

^∞n=1an +

∑

^∞n=1bn e

∑

^∞_n=1(

λ

a_n)=λ

∑

^∞n=1an ;

• Se

∑

^∞n=1an converge e

∑

^∞n=1bn diverge, então

∑

_n^∞=₁(a_n +b_n)diverge;

• Se

∑

^∞n=1an diverge e λ ≠ 0, então

∑

^∞_n=1(

λ

a_n) diverge.

Para ilustrar, vamos demonstrar a primeira propriedade: a soma de duas séries convergentes produz uma série convergente. De fato, representando por {S_n} e {R_n} as somas parciais das séries convergentes

∑

^∞n=1an e

∑

^∞n=1bn , respectivamente, então a n-ésima soma parcial da série

∑

^∞_n=₁(a_n +b_n)é:

. )

( ) (

) (

) (

) (

) (

3 2 1 3

2 1

3 3 2 2 1 1

n n n n

n n

n a a a a b b b b S R

b a b

a b a b a U

+

= + + + + + + + + +

= + + + + + + + =

=

L

L L

Como {Sn} e {Rn} são convergentes, então {Un} é convergente e limUn= limSn+ limRn

Dialogando e Construindo Conhecimento

Exemplos

(a) A série

∑

^∞

=

+

1

) 2 / 1 / 1 (

n

n

n é divergente, porque

∑

^∞

=1

/ 1

n

n

diverge e

∑

^∞

=1

) 2 / 1 (

n

n converge;

(b) A serie

_∑

^∞

[ ]

=

+

− 1

)

1

2 / 1 ( ) 3 / 1 (

n

n

n é convergente, porque

∑

^∞

=1

) 3 / 1 (

n

n e

∑

^∞

=

− 1

)

1

2 / 1 (

n

n são convergentes. A soma da série é calculada com auxílio da fórmula padrão da soma de uma série geométrica. Temos:

•

∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

=

1

1 3

1 1

2 / 3 1 / 1 1

1 3 ) 1 3 / 1 ( )

3 / 1 (

n

n n

n (razão r = 1/3);

•

2

2 / 1 1 ) 1 2 / 1 (

1

1

=

= −

∑

^∞

=

− n

n (razão r = 1/2).

Logo,

[ ^{( 1 / 3 ) ( 1 / 2 )} ] ^{1 / 2 2 5 / 2 .}

1

1

= + =

∑

^∞

+

=

− n

n n

Escrevendo para aprender

As demais operações com séries listadas acima são demonstradas de maneira similar. Escreva as demonstrações usando os seguintes fatos sobre sequências que você aprendeu na unidade I:

• Se Sn→L, então λ S_n→λL;

• Se {Sn} é divergente e λ ≠ 0, então {λS_n} também diverge;

• Se {Sn} converge e {Rn} diverge, então {Sn + Rn} diverge.

(c) Pode ocorrer de

∑

^∞n=1an e

∑

^∞n=1bn serem divergentes e

∑

^∞_n=₁(a_n +b_n)convergir. De fato, as séries

∑

^∞

=1

/ 1

n

n

e

∑

^∞

[ ]

=

+

−

1

) 1 /(

1

n

n

são divergentes e, ainda assim, a soma termo a termo é a série de encaixe

∑

^∞

=₁

+

²

1

n

n n

convergente.

A natureza (convergente ou divergente) de uma série não é alterada quando acrescentamos ou omitimos uma quantidade finita de termos. Por exemplo, as séries

∑

^∞

=1

/ 1

n

n

e

∑

^∞

=5

/ 1

n

n

são ambas divergentes, porque elas diferem em exatamente quatro termos. Já as séries

∑

^∞

=1

) 3 / 1 (

n

n e

∑

^∞

=10

) 3 / 1 (

n

n diferem em nove termos e são ambas convergentes, embora tenham somas diferentes. De forma geral, temos o seguinte: se duas séries diferem em uma quantidade finita de termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes.

No Moodle ...

3.2 Séries de termos positivos

Nesta seção vamos investigar, por meio de critérios específicos, a convergência de uma série

∑

^∞

=1 n

a

n

em que todos os termos an são positivos. Para tal série, a sequência de somas parciais {Sn} é monótona crescente e sua convergência está condicionada à sua limitação. Uma série

∑

^∞

=1 n

a

n onde cada termo a_n é maior do que zero é denominada série de termos positivos. O primeiro critério específico para séries de termos positivos que abordaremos ⎯ conhecido como Critério da Integral ⎯ relaciona a soma discreta (série) com a soma contínua (integral).

Critério da Integral

Consideremos uma função f:[1,∞)→a contínua e suponhamos que f seja não negativa e não crescente, isto é:

(a) f(x) ≥ 0, para x≥1; e (b) f(x) ≥ f(y), sempre que 1 ≤ x ≤ y.

Nessas condições, se an = f(n) então a série

∑

^∞

=1

n

a

n é convergente se, e somente se, a integral imprópria

∫

1^∞

f ( x ) dx

for convergente.

Demonstração: Suponhamos que a função f tenha o aspecto mostrado na figura 3.1B abaixo e comparemos as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f. Temos:

1 2

1 1 3

2

+ ^a + ^a

ⁿ

≤ ∫

ⁿ

^f ( ^x ) ^dx ≤ ^a + ^a + ^a

ⁿ₋

a

L L ^,

isto é:

, , 0 ≤ S

_n

− a

₁

≤ R

_n

≤ S

_n−1

∀ n

onde S_n = a₁ + a₂ +…+ an é a n-ésima soma parcial da série e

^R

ⁿ

⁼ ∫

1ⁿ

^f ( ^x ) ^dx

. Sendo as sequências {S_n} e {R_n} monótonas, segue das desigualdades acima que a limitação — e, portanto, a convergência — de uma delas implica na limitação e, por conseguinte, na convergência, da outra. Isso prova que as sequências {S_n} e {R_n} são ambas convergentes ou ambas divergentes

Na plataforma MOODLE encontram-se diversas questões que já podem ser respondidas para fixação da teoria. Lá você vai encontrar questões do tipo Falso (F) ou Verdadeiro (V), alguns problemas práticos de aplicação da série geométrica e séries para testar a convergência.

Exemplos

(a) A função f(x)=1/x² atende às condições do Critério da Integral no intervalo [1,∞). De fato, nesse intervalo a função é claramente contínua e não negativa e como a derivada f′(x) = − 2/x³ é negativa, para x ≥ 1, então f(x) é decrescente. A integral imprópria

∫

1^∞

2

) / 1

( x dx

é convergente (seu valor é igual a 1) e, por conseguinte, a série correspondente

∑

^∞

=1

/

2

1

n

n

converge.

(b) Para x ≥ 2, a função f(x) = 1/(xlogx) também atende às condições do Critério da Integral (verifique!)

e a integral imprópria

[ ] =

⁼₌

= ∞

∞

→

∫

∞

x x dx

B

x

^{xx B}₂

1

1 /( log ) lim log(log )

sendo divergente deduzimos que a série

∑

^∞

=2

) log /(

1

n

n

n

também diverge.

(c) Consideremos agora a função f(x)= xe^−x2, definida para x ≥ 1. Não é difícil verificar que as condições do Critério da Integral são atendidas também neste caso e que a integral imprópria

∫

1^{∞ −}

2

dx

xe

^x converge para 1/2e. Logo, a série

∑

^∞

=

− 1

2

n

ne

n é convergente.

3.2.1 p-séries

Uma classe importante de séries numéricas é aquela constituída das séries do tipo

∑

^∞

=1

/ 1

n

n

p , que levam o nome de p-séries e que são bastante utilizadas como séries de prova nos critérios de comparação. O termo geral an = 1/n^p tem limite 1, quando p = 0, e limite ∞, quando p < 0. Em ambos os casos o critério do n-ésimo termo estabelece a divergência da série. No caso p > 0 a convergência das p-séries será determinada pelo critério da integral e iniciamos a investigação recordando algumas integrais impróprias elementares. Se p >

0, a função f(x) = 1/x^p, definida para x ≥ 1, atende às condições do critério da integral (verifique!) e temos:

a) se p = 1, então

∞

=

=

=

→∞ →∞

∞

∫

∫ ^{x dx x dx}

B

^B

B

B

( 1 / ) lim log

lim )

/ 1

(

1

1

b) se p ≠ 1, então

⎩ ⎨

⎧

>

−

<

<

= ∞ + −

= − +

= −

=

⁻

∞

→ +

−

∞

→

−

∞

→

∞

∫

∫ ^{( 1 / ) lim lim} ₁ ¹ ₁ ^{lim (}

¹

^{1 )} _{1 /(} ^, ₁ ^{se 0} _{), se} ¹ ₁

1 1 1

1

p p

B p p

p dx x

x dx

x

^p

B p B

B

B p

B

p

.

Assim, a integral imprópria

∫

1^∞

( 1 / x

^p

) dx

converge apenas quando p > 1 de onde deduzimos, pelo critério da integral, que a p-série

∑

^∞

=1

/ 1

n

n

p converge quando p > 1 e diverge quando p ≤ 1. No quadro abaixo mostramos algumas p-séries convergentes e outras divergentes.