INTEGRAIS DE LINHA. C P n-1 P n P 1 P 3 P 2. n A i

(1)

INTEGRAIS DE LINHA

Lembrando que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas variáveis).

Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos calcular a área de um “muro” construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida nem de integral dupla. Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas.

Problema:

Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano XOY e uma função z = f(x, y) contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual à f(x, y) (supondo que f seja não negativa em D) em cada ponto (x,y) de C. Qual é a área deste muro?

Para resolver o problema nós tomamos um partição da curva C obtendo n arcos pela introdução de n-1 pontos em C entre os seus extremos.

Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n “tiras”. Denotando por ∆ Ai a área da i-ésima tira a área do muro é dada por

A = ∆ A1 + ∆ A2 + ... + ∆ An =

∑

= n

i 1

∆ Ai

C

P1 P

P 3 2

P0

Pn-1 P

n

(2)

Vejamos uma aproximação para a área da i-ésima tira, ∆ Ai. Para isso, tomemos no i-ésimo arco, Pi-1 Pi, um ponto Qi(x*i, y*i) e consideremos a altura f(x*i, y*i) do muro neste ponto.

O comprimento do arco Pi-1 Pi denotaremos por ∆ si.

Como f é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de f para f(x*i, y*i) em todo (x, y) do arco Pi-1 Pi. Assim, a área da i-ésima tira é aproximada por

∆ Ai ≈ f(x*i, y*i) ∆ si

enquanto a área do muro tem aproximação A

∑

=

≈ ⁿ

i 1

f(x*i, y*i) ∆ si

Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em cada arco o comprimento tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante f(x*i, y*i) . Desta forma a área do muro é

A = _n^lim_→_∞

∑

= n

i 1

f(x*i, y*i) ∆ si

f(x*

i, y*

i)

Pi-1

Pi

Qi

C

f

X

Y Z

0

(3)

que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea da função f ao longo da curva C e denotaremos

∫

c

s d y x

f ( , ) . Assim, A =

∫

c

s d y x f ( , )

Obs: Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o resultado será a diferença entre a área onde a f é não negativa e a área onde a f é negativa. Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo ou nulo.

Assim, se C é uma curva suave e limitada no plano XOY e f é uma função (escalar) contínua em uma região D do plano e que contém C. A integral de linha ou integral curvilínea de f ao longo da curva C é denotada e dada por

Analogamente, o acima exposto estendemos para a curva C no espaço-3D e a função f de três variáveis. Ou seja,

Naturalmente o cálculo da expressão que acima envolvendo limite, não é viável na maioria dos casos. Vejamos um modo simplificado para esses cálculos.

Consideremos uma parametrização para a curva suave e limitada C dada pela função vetorial

r (t) = (x(t), y(t) ) com t

∈

[a, b], de onde,

∫

c

s d y x

f ( , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t) ) ds.

Como

s

= ∫^a^b ^r^'⁽^t⁾ ^d ^t

vem que

∫

c

s d y x

f ( , ) = _n^lim_→_∞

∑

= n

i 1

f(x*i, y*i) ∆ si

∫

c

s d z y x

f ( , , ) = ^lim_n_→_∞

∑

= n

i1

f(x*i, y*i, z*i) ∆ si

(4)

) ( )

(

0 r' u du r t

t d

d t d

s

d ^t

=

= ∫

ou

t d t r ds = '( )

Assim,

∫

c

s d y x

f ( , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t) ) ^r^'⁽^t⁾ ^d^t e análogamente

∫

c

s d z y x

f ( , , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t), z(t) ) ^r^'⁽^t⁾ ^d^t Lembramos que

2 2 [ '( )]

)]

( ' [ ) (

' t x t y t

r = + ou ^r^'⁽^t⁾ ⁼ ^[^x^'⁽^t^)]² ⁺^[^y^'⁽^t^)]² ⁺^[^z^'⁽^t⁾^]² Exemplo 1

Calcule a integral de linha ∫^C (xy + 3x) ds, sendo C o segmento que une o ponto A(-1, 0) ao ponto B(2, 3).

Solução:

Primeiro temos de parametrizar a curva C y – 0 =

1 2

0 3

+

− (x + 1) ⇒ y = x + 1

r(t) = (t, t + 1), t

∈

^{[-1, 2]}

r’(t) = (1, 1) ⇒ | r’(t) | = 1+1 = 2

∫C (xy + 3x) ds = ∫− 2

1 [x(t) y(t) + 3x(t)] | r’(t) | dt = ∫− 2

1 [t(t + 1) + 3t] 2 dt =

= 2 ∫− 2

1 (t² + 4t) dt = 2

2

1 2 3

3 2 ₋



 



t + t

= 2(8/3 + 8 + 1/3 - 2) = 9 2

Obs: A parametrização usada foi através da equação reduzida de uma reta no plano e o intervalo de variação do parâmetro foi dado pelas abcissas dos pontos extremidade do segmento de reta, já que foi tomado x = t. O resultado obtido seria o mesmo se tomássemos as equações paramétricas da reta para parametrizar o segmento(orientado) AB. Ou seja, o vetor diretor é v = B –A =(3, 3) sendo a parametrização dada por

r(t) = (-1 + 3t, 3t), com t∈[0, 1] (r(t) = A – t v, com t∈[0, 1])

Sugerimos que calcule a integral de linha ∫^C (xy + 3x) ds, usando esta parametrização. Deverá dar o mesmo resultado pois a integral de linha não depende da parametrização.

Exemplo 2:

1 0 2 X Y

3

A

B

(5)

Calcule a integral de curvilínea ∫^C xy ds onde C é a curva dada pelas equações x² + y² = 4 e y + z = 8.

Solução:

Temos:

x² + y² = 4 ^, ^[⁰^,² ^]

sen 2

cos

2 ∈ π





=

⇒ = t

t y

t

x (superfície cilíndrica)

y + z = 8 ⇒ z = 8-y (plano).

Assim, uma parametrização para C (elipse) é r(t) = (2cos t, 2sen t, 8 – 2sen t), t

∈

^{[0, 2}π ^]

r’(t) = (-2sen t, 2cos t, -2cos t) ⇒ | r’(t) | = 4sen²t+4cos²t+ 4cos²t

⇒ | r’(t) | = 2 sen²t+cos²t+cos²t ⇒ | r’(t) | = 2 1+ cos² t

1

∫C xy ds =∫⁰²^π x(t).y(t) | r’(t) | dt = ∫⁰²^π (2cos t)(2sen t) 2 1+cos² t dt =

= -4∫⁰²^π ^{(1 + cos}²^t)^1/2(-2cost . sent) dt =

π 2

0 32 2

32 ) cos 1 4(











− + t

=

π 2

0 3 2 ) cos 1 3 (

8 

− + t =

u du

= 8

3 8 8 3

8 +

− = 0

Obs: Se a curva C é limitada mas parcialmente suave, então a integral de linha de uma função pode ser calculada desde que C seja a união de uma seqüência finita de curvas suaves C1, C2, ..., Cn , unidas pelas extremidades.

Para calcular a integral ao longo de C, calculamos a integral ao longo de cada uma das curvas que são suaves e somamos. Ou seja,

∫^C ^f ^d ^s⁼

∫

c1 f d s +

∫

c2 f d s + ... +

∫

Cn f d s

Exemplo 3:

Calcule ∫^C 3xy ds, onde C é a curva dada pelo gráfico ao lado.

Solução:

C1

C2

C3

R S

T

C

Y 2

Z

2 Y X

0 C

(6)

Como vemos no gráfico, C é uma curva parcialmente suave, formada pela união de três curvas C1, C2 e C3, Essas curvas são, respectivamente, os segmentos de reta RS, ST e TR (orientados), onde R(0, 0), S(1, 0) e T(1, 2).

Parametrizando as curvas:

C1 : P = R + t(S – R), t

∈

[0, 1]

(x, y) = (0, 0) + t(1, 0), t

∈

[0, 1] ⇒ r(t) = (t, 0), t

∈

[0, 1]

r’(t) = (1,0) ⇒ | r’(t) | = 1 C2 : P = S + t(T - S), t

∈

[0, 1]

(x, y) = (1, 0) + t(0, 2), t

∈

[0, 1] ⇒ r(t) = (1, 2t), t

∈

[0, 1]

r’(t) = (0, 2) ⇒ | r’(t) | = 2 C3 : P = T + t(R - T), t

∈

[0, 1]

(x, y) = (1, 2) + t(-1, -2), t

∈

[0, 1] ^⇒ r(t) = (1 - t, 2 – 2t), t

∈

[0, 1]

r’(t) = (-1, -2) ⇒ | r’(t) | = ¹⁺⁴ ⁼ ⁵

Calculando a integral ao longo de cada uma dessas curvas:

∫

C1 3xy ds = ∫⁰¹ 3x(t).y(t) | r’(t) | dt = ∫⁰¹ 3.t.0.1 dt = ∫⁰¹ ^{0 dt = 0}

∫

C2 3xy ds = ∫⁰¹ 3x(t).y(t) | r’(t) | dt = ∫⁰¹ 3.1.2t.2 dt = ∫⁰¹ ^{12t dt =}

1

0 2

12 2 



 



 t

= 6

∫

C2 3xy ds = ∫⁰¹ 3x(t).y(t) | r’(t) | dt = ∫⁰¹ 3.(1 – t).(2 - 2t) ⁵ dt =

= 6 ⁵ ∫⁰¹ (1 - 2t + t²) dt = 6 ⁵

1

0 3 2

3



 



 − + t t

t = 6 ⁵(1 – 1 + 31 ) = 2 ⁵ Como ^C⁼ ^C¹^∪ ^C²^∪ ^C³ temos

∫^C ^{3xy ds =}

∫

C1 3xy ds +

∫

C2 3xy ds +

∫

C2 3xy ds = 0 + 6 + 2 ⁵ = 6 + 2

5

As integrais de linha apresentadas são integrais de linha em relação ao comprimento de arco (s). Também calculamos integrais de linha em relação a x, y e z que analogamente são dadas pelas fórmulas:

∫

c

x d y x

f ( , ) =

lim

_→ _∞

n

∑

= n

i 1

f(x*i, y*i) ∆ xi = ∫^a^b f(x(t), y(t) ) x’(t) dt

(7)

∫

c

y d y x

f ( , ) =

lim

_→ _∞

n

∑

= n

i 1

f(x*i, y*i) ∆ yi = ∫^a^b f(x(t), y(t) ) y’(t) dt Ou no espaço-3D

∫

c

x d z y x

f ( , , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t), z(t) ) x’(t) dt

∫

c

y d z y x

f ( , , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t), z(t) ) y’(t) dt

∫

c

z d z y x

f ( , , ) = ∫^a^b f(x(t), y(t), z(t) ) z’(t) dt

As integrais de linha em relação a x, y e z geralmente ocorrem em conjunto, nos permitindo calcular integrais de linha de funções vetoriais, que estudaremos em outra ocasião. No momento trabalharemos integrais de linha em relação ao comprimento de arco. Essas integrais são totalmente independentes da parametrização considerada para a curva C e até mesmo da orientação de C.

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO ESCALAR Podemos aplicar as integrais de linha em relação ao comprimento de arco para:

 Calcular o comprimento de um arco.

Se C é uma curva parametrizada suave do espaço-2D ou do espaço-3D dada por uma função vetorial r definida em um intervalo [a, b], o comprimento de arco, L, da curva C pode ser dado por uma integral de linha da função constante 1 ao longo de C. Ou seja,

L = ∫^a^b ^r^'⁽^t⁾ ^d ^t⁼∫^c^ds

 Calcular a massa de um arame.

Consideremos um arame fino com a forma de uma curva suave, C, do espaço-2D ou do espaço-3D cuja parametrização é dada por uma função

t

d

t

r

ds = ' ( )

(8)

vetorial r definida em um intervalo [a, b] . Admitindo que em qualquer secção transversal deste arame todos os pontos possuem mesma densidade de massa (o arame é homogêneo ). Assim, a densidade de massa em um ponto do arame varia apenas quando fazemos esse ponto variar no sentido do comprimento do arame, que dizemos ser densidade de massa linear do arame. Se f é uma função que a cada ponto do arame nos fornece a densidade de massa linear nesse ponto, dividindo o arame em pequenos arcos e usando o mesmo procedimento do problema inicial, a massa desse arame é dada por

M =

∫

c

s d y x

f ( , ) ou M =

∫

c

s d z y x

f ( , , )

 Encontrar o centro de massa do arame.

O centro de massa (x ^* , y , z^* ^* ) é dado por x^* = M

∫

C

1 x f(x, y, z) ds

y^* = _M¹

∫

^C y f(x, y, z) ds z^* = _M¹

∫

^C x f(x, y, z) ds

Obs: Na maioria dos problemas de Mecânica é usado que o centro de massa coincide com o centro de gravidade baseado na hipótese de que o campo gravitacional da terra é uniforme.

Exemplo4:

Calcule a massa de um arame na forma de um semi-círculo de raio “a”, sabendo que a densidade de massa linear em qualquer um de seus pontos é proporcional à distância desse ponto até à reta que passa pelas extremidades do arame.

Considerando o gráfico ao lado, temos r(t) = (a cost, a sent) , t^∈^[⁰^,^π^]

r’(t) = (-a sent, a cost) ⇒ | r’(t) | = a (verifique)

A distância do ponto P(x, y) até a reta que passa pelas extremidades da curva (eixo OX) é igual à ordenada de P. Ou seja, é igual a y.

Assim, a densidade de massa linear é dada pela função δ (x, y) = k y , onde k é o coeficiente de proporcionalidade. Daí,

C P

-a 0 x a X Y

A y

(9)

M = ∫^C ^δ (x, y) ds = ∫^C ^{k y ds =}∫⁰^π ^{k y(t) |}^r’^{(t) | dt =} ∫⁰^π k a sent a dt =

= k a²∫⁰^π ^{sent dt =}

[ ]

^π0 2 cost

− ka = -k a² cosπ + k a² cos 0 = 2k a²

Sugerimos que você encontre o centro de massa do arame e coloque no sistema de coordenadas ( ele não faz parte do arame)