Circuitos Aritméticos I

Circuitos Aritméticos I

José Costa

Introdução à Arquitetura de Computadores

Departamento de Engenharia Informática (DEI) Instituto Superior Técnico

2013-10-09

Sumário

Somadores

Subtratores

Multiplicadores e Divisores

Somadores

A B

S

+

n n

n+1

4 A A A

A A3 2 1 0

Semi-somador de 1 Bit

A forma mais simples é seguir o procedimento algébrico

A 1 0 1 1

B + 1 1 1 0 S 1 1 0 0 1

C 1 1 1 0

A₀ B₀ C₀ S₀

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 0 1

A B

S

Somador de 1 Bit

Ai B

i C_i−1 C

i S

i

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 0

1 1 1 1 1

A B

C C

S i

i

i-1

i

i

Semi-somador Semi-somador

A B

C S Somador completo

C out in

Ci =A

iB

i+A

iC_i−1+B

iC

i−1

Si =A

i B

iC_i−1+A

iB

iC

i−1+A

iB

iC

i−1+A

iB

i C

i−1

Interligação em Cadeia de Circuitos Somadores

Ripple Carry Adder

A₀ B₀

C₀

A₁ B₁ A₂ B₂ A₃ B₃

S₀ S₁ S₂ S₃ S₄

C₁ C₂ C₃

Semi- -somador

Somador completo

Somador completo

Somador completo

S S S S

A B A B A B A B

C_out C_in C_out C_in C_out C_in C_out

Interligação em Cadeia de Circuitos Somadores

Ripple Carry Adder

A B

0 0

C0

A B

1 1 A B

2 2 A B

3 3

S₀ S₁ S₂ S₃

C_out

C1 C

2 C

3 Somador

completo

Somador completo

Somador completo Somador

completo Cin

S

A B

C_out C_in

S

A B

C_out C_in

S

A B

C_out C_in

S

A B

C_out C_in

Interligação em Cadeia de Circuitos Somadores

Ripple Carry Adder

A_3-0 B_3-0 A_7-4 B_7-4

S_3-0 S_7-4 S₈

4 4 4 4

4 4

A B A B

S S

C_in C_out C_in C_out

+ +

0

Somadores Rápidos

Carry Select

A B

7-4 7-4

S_8-4

4 4 4 4

4 4

A B A B

S S

C_in C_out C_in C_out

+ +

0

A B

3-0 3-0

S_3-0

4 4

4

A B

C_in S C_out + 0

1

MUX Sel

0 1

5

5 5

Somadores Rápidos

Carry Lookahead

A B C

P i S

i i-1

i

i

G_i

Gi - geração de transporte no nível i Pi - propagação para o nível seguinte

Somadores Rápidos

Carry Lookahead

A B

0 0 A B

1 1 A B

2 2 A B

3 3

S0 S

1 Somador

completo parcial C_in

S

A B

C_in

S

A B

C_in

A B

C_in

A B

C_in G

P P G

Somador completo parcial

Somador completo parcial

Somador completo parcial S2

S

P0

G0 P

1

G1

S3 S

G P

P G

2

G P

P G3 3 2

Somadores Rápidos

Carry Lookahead

A_3-0 B_3-0

Somador de 4 bits carry

lookahead C_in

S

A B

C_in

G P

P_3-0 G_3-0

4 4

4 S_3-0

A_7-4 B_7-4

Somador de 4 bits carry

lookahead S

A B

C_in

G P

P_7-4 G_7-4

4 4

4 S_7-4

Subtratores

Procedimento algébrico

A 0 1 0 1

B - 0 0 1 0

S 0 0 1 1

C 0 0 1 0

A₀ B₀ C₀ S₀

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 1 0 0

Circuito Subtrator

Ai B

i C_i−1 C

i S

i

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1

C_i =A_iB_i +A_iC_i−1+B_iC_i−1

Si =A

i ⊕B

i ⊕C_i−1

Subtração Usando Somadores

2 3 0 2 3

A B

S

+

Cin C

1 out

-

A A

A

S S S 0

0

1

1 B1 B₂ B₃

Circuito Somador/Subtrator

2 3

2 3

A B

S

+

C_in C_out

+/

-

A A

A

S S S

0

0 0

1 1

M

B₁ B₂ B₃

Multiplicadores e Divisores

A 1 1 0 1

B × 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1

M 1 0 0 0 0 0 1 0

Multiplicação de Números sem Sinal

Multiplicador em Matriz

A B

0 0

A₁ A₂ A₃

B

0 1

1 2

3 A A A

A

+

B

0 2

1 2

3 A A A

A

0

+

B

0 3

1 2

3 A A A

A

+

S0 S1 S2 S3 Cout

S0 S1 S2 S3 Cout

Multiplicação de Números com Sinal

Módulo e Sinal

A₀ A₁ A₂ B₀

B

0 1

1

2 A A

A

+

B

0 2

1

2 A A

A

0

M M

M M M M M

M 0 + B₃A₃

S0 S1 S2 Cout

S0 S1 S2 Cout

Multiplicação de Números com Sinal

Algoritmo de Booth

1112 =2² +2¹+2⁰ =4+2+1=710

1112 =10002−1=2³−1=8−1=710

1101112=1100002+1112 =112×2⁴+1112

1100002=2⁶−2⁴ e 1112 =2³−2⁰ 1101112=2⁶−2⁴+2³−2⁰

Complemento para 2

110112=10112−100002 =2⁴−2³+2²−2⁰−2⁴ =−2³+2²−2⁰ Algoritmo de Booth

bi b_i−1 Operação 0 0 não se soma nada 0 1 soma-se 2ⁱ

1 0 subtrai-se 2ⁱ

Multiplicação de Números com Sinal

Complemento para 2

A 0 1 0 1

B × 1 1 0 1

(1) (1) (1) 1 0 1 1 (0) (0) 0 1 0 1

(1) 1 0 1 1

0 0 0 0

M 1 1 1 1 0 0 0 1

Multiplicação de Números com Sinal

Multiplicador de Booth

(-A) B0

B₁

A 0

MUX

+

B₂

+

B₃

+ S S1

0 0 1 2 3

0

B₀

4

B₁ MUX

S S1 0

0 1 2 3

4 (-A) A

0 0

B₂ MUX

S S1

0 0 1 2 3

4 (-A) A

0 0

(-A)

S0 MUX 0 1

0

S0 S1 S2 S3 Cout

S0 S1 S2 S3 Cout

4 4 4 4

4 4 4 4

4 4

4 4 4 4

Divisores

Divisão é a operação mais complexa

É raro haver cicuitos combinatórios que façam divisão

Mais comum é fazer-se por subtrações sucessivas

Sumário

Somadores

Subtratores

Multiplicadores e Divisores

Referências

Arquitectura de Computadores: dos Sistemas Digitais aos Microprocessadores,

G. Arroz, J. Monteiro, A. Oliveira, Secções 5.1, 5.3 e 5.4

Próxima Aula

Operações com Números Fracionários Unidade Lógica e Aritmética