O teorema central do limite de distribuições probabilísticas

O teorema central do limite de distribuições prob- abilísticas

Há um teorema de central importância sobre o limite de distribuições probabilís- ticas: é o chamado teorema central do limite. Esse teorema é realmente curioso, pois estabelece que seNvariáveis reais aleatóriasx_i,comi= 1,2, . . . , N,forem identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada porp(xi),para cadai= 1,2, . . . , N,e se a densidadepfor arbitrária, mas tal que todos os valores médios das potências dexisejam nitos, então a densidade de probabilidade para a variável soma, isto é,

X = 1 N

∑N i=1

xi,

no limite em que N for muito grande, será gaussiana! :shock: Isso mesmo:

independentemente da distribuiçãop!:shock:

Como exemplo análogo do caso discreto, pensemos em uma série deNlança- mentos de um dado. Cada lançamento pode resultar em uma de seis possíveis faces, com a probabilidade de ocorrência igual a um sexto. Assim, a ocorrência de cada um dos números de face de1a 6é igualmente provável em cada lança- mento. Depois deN lançamentos idênticos e independentes, podemos perguntar qual a média do número de face. Por exemplo, em três lançamentos, obtemos os números de face: x1= 1, x2= 5ex3= 4e a média é dada por

X = 1

3(1 + 5 + 4)

= 10 3 .

Podemos repetir esses três lançamentos muitas e muitas vezes e estimar a dis- tribuição de probabilidades de que um valorX ocorra para a média dos valores de face. Essa distribuição, para três lançamentos, não é gaussiana. Mas se zer- mos esse mesmo experimento com o número de lançamentosN cada vez maior, a distribuição de ocorrência deX será gaussiana, segundo o teorema central do limite. A seguir, segue uma prova do teorema. :cool:

SejaP(X)a densidade de probabilidade de que a variávelX,denida pela soma das variáveis aleatóriasxi,isto é,

X = 1 N

∑N i=1

x_i,

assuma um valor entreX eX+dX.SejaQ(K)a transformada de Fourier de P(X) :

Q(K) =

ˆ +∞

−∞

dX P(X) exp (iKX).

A exponencial pode ser escrita como uma série innita:

exp (iKX) =

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n! Xⁿ. Logo,

Q(K) =

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n!

ˆ +∞

−∞

dX P(X)Xⁿ =

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n! ⟨Xⁿ⟩,

onde denotamos o valor esperado deXⁿ por⟨Xⁿ⟩:

⟨Xⁿ⟩ =

ˆ +∞

−∞

dX P(X)Xⁿ.

ParaN = 2,por exemplo, temos a probabilidadep(x₁)dx₁de que a variável estocástica x1 assuma um valor entre x1 e x1+dx1. Analogamente, temos a probabilidadep(x2)dx2de que a variável estocásticax2assuma um valor entre x2 ex2+dx2.De todos os valores independentes quex1 ex2 possam assumir, qual a probabilidade de que assumam valores tais que (x1+x2)/2 tenha um valor entreX eX+dX?A resposta para essa questão é simples: escrevemos

x₂ = 2X−x₁ e, para cada valor deX ex1 a probabilidade é

p(x1)p(x2)dx1dx2.

Como agora queremos que as variáveis independentes sejamX ex1,utilizamos a relação

dx₁dx₂ =

∂x1

∂x₁

∂x1

∂X

∂x2

∂x₁

∂x2

∂X

dx₁dX= 1 0

−1 2

dx₁dX = 2dx₁dX

e a probabilidade procurada pode ser escrita como P(X)dX = 2

ˆ +∞

−∞

p(x1)p(2X−x1)dx1dX,

já que qualquer valor dex₁ poderá ocorrer e ainda assim termos o mesmo valor paraX.Portanto, a densidade de probabilidade é dada por

P(X) = 2 ˆ +∞

−∞

p(x₁)p(2X−x₁)dx₁, que também pode ser expressa como

P(X) = 2 ˆ +∞

−∞

ˆ +∞

−∞

p(x₁)p(x₂)δ[x₂−(2X−x₁)]dx₁dx₂,

ondeδ é a chamada "função delta de Dirac". Se utilizarmos as propriedades:

δ(ay) = 1

|a|δ(y) e

δ(y) = δ(−y), obteremos

P(X) =

ˆ +∞

−∞

ˆ +∞

−∞

p(x1)p(x2)δ (

X−x1+x2

2 )

dx1dx2. ParaN >2, podemos facilmente generalizar a fórmula acima:

P(X) =

ˆ +∞

−∞

ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

p(x₁)p(x₂). . . p(x_N)δ (

X− 1 N

∑N n=1

x_i )

dx₁dx₂. . . dx_N.

Usando esse resultado na expressão do valor esperado deXⁿ encontramos

⟨Xⁿ⟩ =

ˆ +∞

−∞

dX P(X)Xⁿ

=

ˆ +∞

−∞

dX Xⁿ ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

p(x1). . . p(xN)δ (

X− 1 N

∑N n=1

xi

)

dx1. . . dxN

=

ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

dx1. . . dxNp(x1). . . p(xN) ˆ +∞

−∞

dX Xⁿδ (

X− 1 N

∑N n=1

xi

) , isto é,

⟨Xⁿ⟩ = ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

dx1. . . dxNp(x1). . . p(xN) (

1 N

∑N n=1

xi

)n

. Utilizando essa igualdade na equação

Q(K) =

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n!

ˆ +∞

−∞

dX P(X)Xⁿ fornece

Q(K) =

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n!

ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

dx1. . . dxNp(x1). . . p(xN) (

1 N

∑N n=1

xi

)n

=

ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

dx1. . . dxNp(x1). . . p(xN)

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n!

( 1 N

∑N n=1

xi

)n

.

Reconhecemos a série innita acima como uma exponencial:

∑∞ n=0

iⁿKⁿ n!

( 1 N

∑N n=1

x_i )n

= exp (

iK N

∑N n=1

x_i )

. Logo,

Q(K) =

ˆ +∞

−∞

. . . ˆ +∞

−∞

dx1. . . dxNp(x1). . . p(xN) exp (

iK N

∑N

n=1

xi

)

=

ˆ +∞

−∞

dx1p(x1) exp (iK

N x1

) . . .

ˆ +∞

−∞

dxNp(xN) exp (iK

N xN

)

=

[ˆ +∞

−∞

dxp(x) exp (iK

N x )]^N

.

Como estamos supondo queN é muito grande, podemos utilizar a expansão:

exp (iK

N x )

= 1 +iK Nx−1

2 (K

N )2

x²+· · · e, portanto,

ˆ +∞

−∞

dxp(x) exp (iK

N x )

= ˆ +∞

−∞

dxp(x) [

1 +iK Nx−1

2 (K

N )2

x²+· · · ]

= ˆ +∞

−∞

dxp(x) +iK N

ˆ +∞

−∞

dxp(x)x

− 1

2 (K

N

)2ˆ +∞

−∞

dxp(x)x²+· · ·, isto é,

ˆ +∞

−∞

dxp(x) exp (iK

N x )

= 1 +iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · ·,

onde ˆ +∞

−∞

dxp(x) = 1,

⟨x⟩ =

ˆ +∞

−∞

dxp(x)x e

⟨x²⟩

=

ˆ +∞

−∞

dxp(x)x².

Com isso, a equação

Q(K) =

[ˆ _+∞

−∞

dxp(x) exp (iK

N x )]N

pode ser escrita como Q(K) =

[ 1 +iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]N

= exp {

Nln [

1 +iK

N⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]}

. ParaN muito grande, podemos expandir o logaritmo:

ln [

1 +iK N ⟨x⟩ −

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]

= [

iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]

− 1

2 [

iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]2

+· · · isto é,

ln [

1 +iK N ⟨x⟩ −

(K N

)2⟨ x²⟩

+· · · ]

= iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2⟨ x²⟩

−1 2

( iK

N ⟨x⟩ )2

+· · ·

= iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2(⟨

x²⟩

− ⟨x⟩²) +· · ·

= iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2

var (x) +· · ·, onde reconhecemos a variância dex,ou seja,

var (x) = ⟨ x²⟩

− ⟨x⟩². Então,

Q(K) = exp {

N [

iK

N ⟨x⟩ −1 2

(K N

)2

var (x) +· · · ]}

= exp [

iK⟨x⟩ −1 2

K²

N var (x) +· · · ]

.

Essa é a trasformada de Fourier da densidade de probabilidadeP(X)que procu- ramos. Podemos inverter a equação

Q(K) =

ˆ +∞

−∞

dX P(X) exp (iKX)

e obter ˆ +∞

−∞

dK Q(K) exp (−iKX) =

ˆ +∞

−∞

dK [ˆ +∞

−∞

dY P(Y) exp (iKY) ]

exp (−iKX)

=

ˆ +∞

−∞

dY P(Y) ˆ +∞

−∞

dKexp [iK(Y −X)].

Como ˆ +∞

−∞

dKexp [iK(Y −X)] = 2πδ(Y −X), concluímos que podemos obterP(X)a partir deQ(K) :

P(X) = 1 2π

ˆ +∞

−∞

dK Q(K) exp (−iKX). Então, da equação

Q(K) = exp [

iK⟨x⟩ −1 2

K²

N var (x) +· · · ]

segue que

P(X) = 1 2π

ˆ +∞

−∞

dK exp [

−iK(X− ⟨x⟩)−1 2

K²

N var (x) +· · · ]

≈ 1

2π ˆ +∞

−∞

dK exp [

−iK(X− ⟨x⟩)−1 2

K² N var (x)

]

= 1

2π ˆ +∞

−∞

dK exp {

−1 2

var (x) N

[

K²+ 2i N K

var (x)(X− ⟨x⟩) ]}

e, completanto o quadrado no argumento da exponencial no integrando, vem:

P(X) ≈ 1 2πexp

{ 1 2

var (x) N

(iN(X− ⟨x⟩) var (x)

)2}

×

ˆ +∞

−∞

dK exp {

−1 2

var (x) N

[

K²+ 2i N K

var (x)(X− ⟨x⟩) +

(iN(X− ⟨x⟩) var (x)

)2]}

, isto é,

P(X) ≈ 1 2πexp

{

−1 2

N(X− ⟨x⟩)² var (x)

}ˆ +∞

−∞

dK exp {

−1 2

var (x) N

(

K+iN(X− ⟨x⟩) var (x)

)2} .

Como ˆ +∞

−∞

dK exp {

−1 2

var (x) N

(

K+iN(X− ⟨x⟩) var (x)

)2}

=

√ 2πN var (x),

escrevemos

P(X) ≈

√ N

2πvar (x)exp {

− N

2var (x)(X− ⟨x⟩)² }

.

O valor esperado deX é dado por

⟨X⟩ =

⟨ 1 N

∑N n=1

xn

⟩

= 1 N

∑N n=1

⟨xn⟩=⟨x⟩,

já que as variáveisxn são todas independentes e identicamente distribuídas. A variância deX é dada por

var (X) = ⟨ X²⟩

− ⟨X⟩²=

⟨ 1 N

∑N m=1

xm

1 N

∑N n=1

xn

⟩

− ⟨x⟩², isto é,

var (X) = 1 N²

∑N m=1

∑N n=1

⟨xmxn⟩ − ⟨x⟩².

Mas, como as variáveisxmsão todas independentes e identicamente distribuídas, temos:

⟨xmxn⟩ = δmn

⟨x²⟩

+ (1−δmn)⟨x⟩²,

onde δ_mn é a função de dois inteiros, m e n, chamada "delta de Kronecker".

Assim,

var (X) = 1 N²

∑N m=1

∑N n=1

[ δ_mn⟨

x²⟩

+ (1−δ_mn)⟨x⟩²]

− ⟨x⟩²

= 1

N²

∑N m=1

⟨x²⟩ + 1

N²

∑N m=1

∑N n=1

(1−δ_mn)⟨x⟩²− ⟨x⟩²

= 1

N

⟨x²⟩ + 1

N²

∑N m=1

∑N n=1

⟨x⟩²− 1 N²

∑N m=1

∑N n=1

δmn⟨x⟩²− ⟨x⟩², isto é,

var (X) = 1 N

⟨x²⟩

+⟨x⟩²− 1 N²

∑N m=1

⟨x⟩²− ⟨x⟩²= 1 N

⟨x²⟩

− 1 N ⟨x⟩², ou seja,

var (X) = var (x) N .

Podemos, então, escrever a densidade de probabilidade para a variável X, quandoN é muito grande, como uma gaussiana:

P(X) ≈ 1

√2πvar (X)exp {

−(X− ⟨X⟩)² 2var (X)

} . Acho isso fantástico! :grin: Você não acha? :cool: