(R B ) 0 =(R B ) 10 +(R B ) 20 +(R B ) 30 (R D ) 0 =(R D ) 30 +(R D ) 40. p (R D ) 30 (R B ) 30 E, I

(1)

MÉTODO DE CROSS

Seja agora uma estrutura de nós fixos duas vezes hipergeométrica, i.e. tal que os nós não sofrem qualquer deslocamento de translação e contem 2 nós com incógnitas de rotação.

p E, I α L2 A B C D 1 2 3 L3 L1 . cos α E L4 ₄ p E, I α L2 A B C D 1 2 3 L3 L1 . cos α E L4 ₄

=

∆1 ∆2

Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método de Cross. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:

p E, I α 1 2 4 (RB)10 (RB)20 (RB)30 (RA)10 (RC)20 3 (RD)30 (RD)40 (RB)0=(RB)10+(RB)20+(RB)30 (RD)0=(RD)30+(RD)40

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB e MD nos nós B e D que equilibrem os momentos fictícios (RB)0 e (RD)0. Os momentos

flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por estes momentos concentrados aplicados nos nós são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nó a nó, e por aplicação dos conceitos anteriores, é estabelecido o equilíbrio da estrutura através de

um processo iterativo. Nas expressões que a seguir se apresentam, designa-se por dXi o

coeficiente de distribuição da rigidez da barra i no nó X, por rXY o coeficiente de

transmissão de momento do nó Y para o nó X e por (RX)ij os momentos flectores no nó X da

(2)

E, I α 1 2 4 MB=-(RB)0 3 MD=-(RD)0

=

(equilíbrio do nó B – iteração j = 1) α (RB)11 (RB)21 (RB)31 (RA)11 (RC)21 (RD)31 (RB)11+(RB)21+(RB)31=MB=MB1

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

_{( ) ( ) ( )}

( )

₁ ₃ ₁ 3 11 2 11 1 11 3 11 31 1 2 1 3 11 2 11 1 11 2 11 21 1 1 1 3 11 2 11 1 11 1 11 11 1 3 1 3 11 2 11 1 11 3 11 31 1 2 1 3 11 2 11 1 11 2 11 21 1 1 1 3 11 2 11 1 11 1 11 11 B B DB B DB D B B CB B CB C B B AB B AB A B B B B B B B B B B B B M d r M K K K K r R M d r M K K K K r R M d r M K K K K r R M d M K K K K R M d M K K K K R M d M K K K K R ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = ⋅ = ⋅ + + = ⋅ = ⋅ + + = ⋅ = ⋅ + + =

+

(equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 2)

(3)

+

(equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 3) α (RB)13 (RB)23 (RB)33 (RA)13 (RC)23 (RD)33 (RB)13+(RB)23+(RB)33=-(RB)32=MB3

( )

₃₃23

( )

₃₃23 13 13 3 3 33 3 2 23 3 1 13 B DB D B CB C B AB A B B B B B B B B B R r R R r R R r R M d R M d R M d R ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+

(equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 4)

(RD)34+(RD)44=-(RD)33=MD4 α (RB)34 (RD)34 (RD)44

( )

₃₄44 4

( )

4₃₄ 4 3 34 D BD B D D D D D D R r R M d R M d R ⋅ = ⋅ = ⋅ =

+

(equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 5)

(4)

O processo repete-se até que o valor do momento a equilibrar nos nós seja inferior a um valor considerado como erro máximo admissível. Nessa altura calculam-se os momentos flectores finais nas extremidades das barras:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

₄ 0 1 4 40 4 1 3 30 3 1 3 30 3 1 2 20 2 1 2 20 2 1 1 10 1 1 1 10 1 = + = + = + = + = + = + = + =

∑

= = = = = = = E n i D i D D n i D i D D n i B i B B n i i C C C n i B i B B n i B i B B n i A i A A R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R sendo

( )

₀ 1 4 1 3 0 1 3 1 2 1 1 D D n i i D n i i D B B n i i B n i i B n i i B R M R R R M R R R − = = + − = = + +

∑

= = = = = α (RB)1 (RB)2 (RB)3 (RA)1 (RC)2 (RD)3 p (RD)4 e por isso,

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0 0 0 40 30 4 3 0 30 20 10 3 2 1 = − + = + = − + + = + + D D D D D B B B B B B B R R R R R R R R R R R R

Calculados os momentos, determinam-se os esforços transversos nas extremidades das barras por equilíbrio de forças e momentos flectores nas barras. Os esforços axias determinam-se por equilíbrio dos nós, tal como se apresentou anteriormente para o caso das barras axialmente indeformáveis.

(5)

L TX _{E, I} TY p(x) x y (X) (Y) ( )RX i ( )RY i

( ) ( )

[

]

( ) (

)

( )

( ) ( )

[

]

( ) (

)

( )

       ⋅ − = ⋅ − ⋅ − + − = ⇔        = − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − + + ⋅

∫

= = = = L x X Y L x i Y i X X Y L x X L x i Y i X X dx x p T T L dx x L x p L R R T T dx x p T dx x L x p R R L T 0 0 0 0 0 0

Quanto à determinação das rotações dos nós, temos, considerando a mesma barra i,

L TX ( ) ∑( ) = + n j X ij i X R R 1 0 TY E, I p(x) x y (X) (Y) ( ) ∑( ) = + n j Y ij i Y R R 1 0

=

L TX0 _{E, I} TY0 p(x) x y (X) (Y) ( )RY i0 ( )RX i0

+

L T’X _{E, I} T’Y x y (X) (Y) ( ) ∑ = n j ij X R 1 ( ) ∑ = n j ij Y R 1

Como a barra correspondente à primeira estrutura não sofre rotações nas extremidades,

apenas teremos que considerar os momentos (RX)ij com j ≠ 0. Por aplicação do P.T.V.,

(6)

L T’X _{E, I} T’Y x y (X) (Y) ( ) ∑ = = ∆ n j X ij X R M 1 ( ) ∑ = = ∆ n j Y ij Y R M 1 θX θY

Diagrama de momentos flectores

∆M(x)= ∆MX-(∆MX+∆MY).x / L

∆MX

-∆MY

x

Estruturas auxiliares

Diagrama de momentos flectores Estrutura 1: E, I L T=-1/L M=1 T=-1/L M1(x)=1-x / L 1 x Estrutura 2: E, I L T=-1/L M=1 T=-1/L M2(x)=-x / L -1 x Aplicação do P.T.V.

Estrutura real e estrutura auxiliar 1:

(

X Y

)

X L x x X _E _I dx L_E _I M M M M ∆ − ∆ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ∆ ⋅ = ⋅

_∫

= = 2 6 1 0 1 _θ θ

Estrutura real e estrutura auxiliar 2:

(7)

Estes resultados correspondem à rotação das extremidades de uma barra de eixo rectilíneo e secção constante, submetida apenas a momentos concentrados ∆Mx e ∆My aplicados nas

extremidades.

Resolvamos o exercício anterior aplicando o método de Cross. Seja então

p=10kN/m E.I = K α A B C D 1 2 3 5,0 3,0 E 4,0 ₄ 4,0 [m]

Determinação dos coeficientes de distribuição:

(8)

Determinação dos momentos de fixação dos nós: Barras [AB], [BC] e [DE]:

Momento flector à esquerda = 0 kNm Momento flector à direita = 0 kNm

Barra [BD]:

Momento flector à esquerda = - p.L2/12 = -20,83 kNm Momento flector à direita = p.L2_{/12 = 20,83 kNm}

(9)

4/13 16/31 4/13 15/31 5/13 -20,8 +20,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 +20,8*4/13 +20,8*5/13 +20,8*4/13 +20,8*2/13 +20,8*2/13 +20,8*5/26 Estado (j = 4): (Mresidual)D = +0,9 kNm -24,0*16/31 -24,0*15/31 -24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13 +6,2*5/13 +6,2*4/13 +6,2*5/26 +6,2*2/13 -1,0*16/31 -1,0*15/31 *1/2 -1,0*8/31 4/13 16/31 4/13 15/31 5/13 -20,8 +20,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 +20,8*4/13 +20,8*5/13 +20,8*4/13 +20,8*2/13 +20,8*2/13 +20,8*5/26 Estado (j = 5): (Mresidual)B = -0,3 kNm -24,0*16/31 -24,0*15/31 -24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13 +6,2*5/13 +6,2*4/13 +5,8*5/26 +5,8*2/13 -1,0*16/31 -1,0*15/31 -1,0*8/31 *1/2 *1/2 +0,3*4/13 +0,3*2/13 < 0,1 +0,3*5/13 +0,3*4/13 +0,3*5/26 +0,3*2/13 *1/2 4/13 16/31 4/13 15/31 5/13 -20,8 +20,8 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 +1,9 +10,5 +8,4 +8,4/2 -8,7 +10,5/2 Estado final: (Mresidual)D < 0,1 kNm -12,1 (Mresidual)B = 0,0 kNm

(10)

1 2 3 4 Te= 12,1/4 kN Md=-12,1 kNm Td= 12,1/4 kN Me= 0 kNm Md= 12,1 kNm Me=-18,9 kNm Te= (6,8/5+10*5/2) kN Td= (6,8/5-10*5/2) kN p=10kN/m Me= 4,2 kNm Md= 8,4 kNm Te=-4,2/5 kN Td=-4,2/5 kN Te= 15,8/4 kN Md= 5,3 kNm Td= 15,8/4 kN Me= 10,5 kNm

Note que o somatório dos momentos flectores nos nós é nulo. Por outro lado, os esforços axiais são determinados impondo o equilíbrio nos nós.

Rotações nas extremidades das barras:

(11)

MÉTODO DE CROSS

Seja agora uma estrutura de nós móveis duas vezes hipergeométrica, sendo uma das incógnitas hipergeométricas de translação.

p E, I α A B C 1 2 L2 L1 . cos α p E, I α A B C 1 2 L2 L1 . cos α ∆1 _∆ 2

=

Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir o movimento de translação ∆2 obrigando-o, numa primeira fase, a ser nulo.

Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios: p E, I α (RB0)10 (RB0)20 1 2 (RB0)0=(RB0)10+(RB0)20 (RA0)10

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB0)0. Os momentos flectores nas

extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são determinados por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se

apresentam, designam-se por (RX0)ij os momentos flectores no nó X da barra i

(12)

E, I α 1 MB=-(RB0)0 2

=

(equilíbrio do nó B – iteração j = 1) α (RB0)11 (RB0)21 (RA0)11 (RB0)11+(RB0)21=MB=MB1

(

)

_{( ) ( )}

( )

(

)

_{( ) ( )}

( )

(

)

_{( ) ( )}

( )

1 1 1 2 11 1 11 1 11 11 0 1 2 1 2 11 1 11 2 11 21 0 1 1 1 2 11 1 11 1 11 11 0 B B AB B AB A B B B B B B B B M d r M K K K r R M d M K K K R M d M K K K R ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ⋅ + =

Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras:

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

)

₂ 0 21 0 20 0 2 0 11 0 10 0 1 0 11 0 10 0 1 0 = + = + = + = C B B B B B B A A A R R R R R R R R R R sendo

(

R_B₀

)

₁₁+

(

R_B₀

)

₂₁ =M_B =−

(

R_B₀

)

₀ E, I α 1 2 p (RB0)1 (RB0)2 (RA0)1 e por isso,

(

RB0

) (

1+ RB0

)

₂ =0

(13)

E, I α 1 2 θ1=(1/sinα)/L1 ∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2

que permite determinar o valor da reacção horizontal no apoio no nó C, R20:

E, I α 1 2 θ1=(1/sinα)/L1 ∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2 E, I α 1 2 p (RB0)1 (RB0)2 (RA0)1 R20

(

) (

)

[

]

(

)

₂ 1_tan 0 1 2 2 2 0 1 1 0 1 0 20⋅ + R + R ⋅θ + R ⋅θ +p⋅L ⋅ _α = R _A _B _B

Esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impede o nó C de se deslocar na direcção da força. A não existência dessa força implica um movimento de translação desse nó no sentido contrário à força.

Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação

sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras

correspondentes à fixação dos apoios fictícios são:

E, I α 1 2 ∆2=1 (RB2)10 (RB2)20 (RB2)0=(RB2)10+(RB2)20 (RA2)10

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação

anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB2)0. Os momentos

(14)

E, I α 1 MB=-(RB2)0 2

=

(equilíbrio do nó B – iteração j = 1) α (RB2)11 (RB2)21 (RA2)11 (RB)11+(RB)21=MB=MB1

(

)

_{( ) ( )}

( )

(

)

_{( ) ( )}

( )

(

)

_{( ) ( )}

( )

1 1 1 2 11 1 11 1 11 11 2 1 2 1 2 11 1 11 2 11 21 2 1 1 1 2 11 1 11 1 11 11 2 B B AB B AB A B B B B B B B B M d r M K K K r R M d M K K K R M d M K K K R ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ = ⋅ + =

Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras. Calculam-se então os momentos flectores finais nas extremidades das barras:

(15)

A aplicação do P.T.V. aos esforços resultantes nas barras, permite determinar o valor da

reacção horizontal no apoio fictício no nó C, R22 correspondente à acção assentamento

unitário do apoio: E, I α 1 2 θ1=(1/sinα)/L1 ∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2 E, I α 1 2 (RB2)1 (RB2)2 (RA2)1 ∆2=1 R22

(

) (

)

[

]

(

)

0 1 ₂ ₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ 22⋅ + RA + RB ⋅θ + RB ⋅θ = R

Mais uma vez, esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impõe no nó C um deslocamento unitário na direcção da força. Logo, como precisamos de garantir que o valor final da força calculada por sobreposição dos resultados sem e com assentamento do apoio fictício seja nulo, o deslocamento do apoio fictício, i.e. o valor ∆2,

terá que obedecer à equação:

22 20 2 2 22 20 0 _R R R R + ⋅∆ = ⇒ ∆ =−

Finalmente, os esforços momentos flectores finais nas extremidades das barras são calculados por sobreposição de efeitos:

(16)

( ) (

) (

)

( ) (

) (

)

( )

(

) (

)

( )

₂ 0 2 2 2 2 0 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0 1 = ∆ ⋅ + = ∆ ⋅ + = ∆ ⋅ + = C B B B B B B A A A M R R M R R M R R M

Consideremos agora uma segunda estrutura de nós móveis 5 vezes hipergeométrica, sendo duas das incógnitas hipergeométricas de translação.

p L1 E, I L3 P1 P2 L2 A B E D C p E, I L2 P1 P2 ∆3 ∆1 ∆2 _∆ 4 α ∆5

=

A B E C D

Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir os movimentos de translação ∆1 e ∆2 obrigando-os, numa primeira fase, a serem nulos.

Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios: p E, I P1 P2 (RB0)10 (RB0)20 (RA0)10 (RC0)20 (RC0)30 (RD0)30 (RD0)40 (RE0)40 (RB0)0=(RB0)10+(RB0)20 (RC0)0=(RC0)20+(RC0)30 (RD0)0=(RD0)30+(RD0)40

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios

(RB0)0, (RC0)0 e (RD0)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura

(17)

aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se por (RX0)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = ∆2 = 0

depois de resolvida a estrutura.

p E, I P1 P2 (RB0)1 (RB0)2 (RA0)1 (RC0)2 (RC0)3 (RD0)3 (RD0)4 (RE0)4 (RB0)=(RB0)1+(RB0)2=0 (RC0)=(RC0)2+(RC0)3=0 (RD0)=(RD0)3+(RD0)4=0 R10 R20

Calculados os momentos flectores, pode-se, por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação, tal como já havia sido realizado para o caso do exemplo anterior. Assim, libertando cada um dos dois apoios fictícios separadamente, temos dois mecanismos:

L1 E, I L2 L3 ∆1 ∆1 / tan α θ11=1/L1 θ41=-θ11 θ21=-θ31=-2/L2/tanα 1 -∆1 ∆1 E, I L2 2 ∆2 ∆2 1 θ12=0 ?-∆2 / tanα θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3

que permitem determinar os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R10 e

R20:

(

) (

)

[

]

[

(

) (

)

]

[

(

) (

)

]

[

(

) (

)

]

0 tan 1 2 2 2 1 2 1 41 2 1 11 1 41 4 0 4 0 31 3 0 3 0 21 2 0 2 0 11 1 0 1 0 10 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ α θ θ θ θ θ θ L p L P L P R R R R R R R R R _A _B _B _C _C _D _D _E

(

) (

)

[

]

[

(

) (

)

]

[

(

) (

)

]

[

(

) (

)

]

0 tan 1 2 2 0 1 2 1 42 2 1 42 4 0 4 0 32 3 0 3 0 22 2 0 2 0 12 1 0 1 0 20 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ α θ θ θ θ θ L p L P P R R R R R R R R R _A _B _B _C _C _D _D _E

(18)

Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no

nó B sofre um deslocamento unitário ∆1=1. Os esforços momentos flectores nas barras

E, I ∆1=1 (RB1)10 (RB1)20 (RA1)10 (RC1)20 (RC1)30 (RD1)30 (RD1)40 (RE1)40 (RB1)0=(RB1)10+(RB1)20 (RC1)0=(RC1)20+(RC1)30 (RD1)0=(RD1)30+(RD1)40

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os

momentos fictícios (RB1)0, (RC1)0 e (RD1)0. Os momentos flectores nas extremidades das

barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se por (RX1)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 1 e

∆2 = 0 depois de resolvida a estrutura.

E, I (RB1)1 (RB1)2 (RA1)1 (RC1)2 (RC1)3 (RD1)3 (RD1)4 (RE1)4 (RB1)=(RB1)1+(RB1)2=0 (RC1)=(RC1)2+(RC1)3=0 (RD1)=(RD1)3+(RD1)4=0 ∆1=1 R11 R21

(19)

L1 E, I L2 L3 ∆1 ∆1 / tan α θ11=1/L1 θ41=-θ11 θ21=-θ31=-2/L2/tanα 1 -∆1 ∆1 E, I L2 2 ∆2 ∆2 1 θ12=0 ?-∆2 / tanα θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3

determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R11 e R21:

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

0 1 ₁₁ ₁ ₁ ₁₁ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂₁ ₁ ₃ ₁ ₃ ₃₁ ₁ ₄ ₁ ₄ ₄₁ 11⋅ + RA + RB ⋅θ + RB + RC ⋅θ + RC + RD ⋅θ + RD + RE ⋅θ = R

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

[

( ) ( )

]

[

(

) (

)

]

0 1 ₁₁ ₁₁ ₁₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂₂ ₁ ₃ ₁ ₃ ₃₂ ₁ ₄ ₁ ₄ ₄₂ 21⋅ + RA + RB ⋅θ + RB + RC ⋅θ + RC + RD ⋅θ + RD + RE ⋅θ = R

Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó B e impede o nó C de se deslocar na direcção da força.

Analisemos agora o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no

nó C sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras

E, I ∆2=1 (RB2)10 (RA2)10 (RC2)20 (RC2)30 (RD2)30 (RD2)40 (RE2)40 (RB2)0=(RB2)10+(RB2)20 (RC2)0=(RC2)20+(RC2)30 (RD2)0=(RD2)30+(RD2)40 (RB2)20

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os

momentos fictícios (RB2)0, (RC2)0 e (RD2)0. Os momentos flectores nas extremidades das

barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se por (RX2)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 0 e

(20)

E, I ∆2 (RB2)1 (RA2)1 (RC2)2 (RC2)3 (RD2)3 (RD2)4 (RE2)4 (RB2)=(RB2)1+(RB2)2=0 (RC2)=(RC2)2+(RC2)3=0 (RD2)=(RD2)3+(RD2)4=0 (RB2)2 ∆2=1 R12 R22

Calculados os momentos flectores, pode-se, mais uma vez por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação. Assim, considerando os dois mecanismos: L1 E, I L2 L3 ∆1 ∆1 / tan α θ11=1/L1 θ41=-θ11 θ21=-θ31=-2/L2/tanα 1 -∆1 ∆1 E, I L2 2 ∆2 ∆2 1 θ12=0 θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3 -∆2 / tanα

determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R12 e R22:

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0 1 ₂ ₁ ₂ ₁ ₁₁ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂₁ ₂ ₃ ₂ ₃ ₃₁ ₂ ₄ ₂ ₄ ₄₁ 12⋅ + RA + RB ⋅θ + RB + RC ⋅θ + RC + RD ⋅θ + RD + RE ⋅θ = R

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0 1 ₂ ₁ ₂ ₁ ₁₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂₂ ₂ ₃ ₂ ₃ ₃₂ ₂ ₄ ₂ ₄ ₄₂ 22⋅ + RA + RB ⋅θ + RB + RC ⋅θ + RC + RD ⋅θ + RD + RE ⋅θ = R

Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó C e impede o nó B de se deslocar na direcção da força.

Logo, como precisamos de garantir que o valor final das forças calculadas por sobreposição dos resultados sem e com assentamentos dos apoios fictícios seja nulo, os deslocamentos dos apoios fictícios, i.e. os valores ∆1 e ∆2 terão que obedecer às equações:

   = ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + = ∆ ⋅ + ∆ ⋅ + 0 0 2 22 1 21 20 2 12 1 11 10 R R R R R R

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