278 Revista Brasileira de Ensino de F sica, vol. 24, no. 3, Setembro, 2002 Constantes de Movimento para um Potencial Dependente da Velocidade (Constan

Constantes de Movimento para um Potencial

Dependente da Velocidade

(Constantsofmotionforavelocity-dependentpotential)

A. S.de Castro 

(1), E.L. Marchesetti (1), A. Feldt (2)

(1)UNESP-Campus deGuaratingueta, Departamentode Fsicae Qumica

CaixaPostal205,12500-000GuaratinguetaSP

(2)FachhochschuleKarlsruhe, Moltkestrasse 4,76133 Deutschland

Recebidoem3janeiro,2001. Aceitoem6demarco,2002.

Simetrias geometricas contnuas para um sistema fechado de partculas s~ao investigadas. Por

suposto, as interac~oes s~ao derivaveis de uma func~ao potencial dependente das velocidades das

partculas. Tantoosvnculossobreaformadafunc~aopotencialquantoosprincpiosdeconservac~ao

resultantes das simetrias espaco-temporais contnuas s~ao derivados. A lagrangiana de Darwin e

utilizada como ilustrac~ao para o caso do movimento lento de cargas eletricas na formulac~ao de

Maxwell-Lorentzdaeletrodin^amica classica. Omomento linear, o momento angular ea energia,

quantidadesdependentesdecalibre,s~aoobtidos.

(Geometriccontinuoussymmetriesforaclosedsystemofparticlesareinvestigated. Itissupposed

that theinteractions are derivable from avelocity-dependent potential. Both the constraintson

the form of the potential and the conservation principles resulting from the continuous

space-timesymmetriesarederived.DarwinsLagrangianisusedasanillustrationforthecaseofelectric

chargesinslowmotioninMaxwell-Lorentzsformulationofclassicalelectrodynamicsandthe

gauge-dependentlinearmomentum,angularmomentumandenergyareobtained.)

I Introduc~ao

Osprincpiosdesimetrias~aoferramentasvaliosaspara

o desenvolvimento de novas teorias fsicas. Poroutro

lado,paraseobteraevoluc~aotemporaldoestadodeum

sistematorna-senecessariointegrarasequac~oesde

mo-vimento. Emcertasocasi~oes,taltarefan~aopodeser

re-alizadacompletamente. Nessas situac~oes osprincpios

de simetria tornam-se uteis na investigac~ao da

estru-tura de tais teorias e na identicac~ao das constantes

demovimento,as quaisrepresentamumavaliosafonte

de informac~ao para a compreens~ao, ainda que

par-cial, da evoluc~ao temporal de um sistema fsico. Em

mec^anicaclassica,porexemplo,asequac~oesdiferenciais

demovimentos~aodesegundaordemnotempoe,

con-sequentemente,duasintegrac~oesparacadaequac~ao

di-ferencialt^emqueserexecutadasparaseobterasoluc~ao

completa do problema. Nesse processo duas

constan-tes arbitarias e independentes s~ao obtidas, duas delas

paracadaequac~aodiferencial. Setodasessas

constan-tesdemovimentopuderemserdeterminadas,se

obter-sea,ent~ao,asoluc~aocompletadoproblema. Aindaque

oprocessocompleton~aoocorra,cadaconstantede

mo-vimento encontradarepresentaumpassoem direc~aoa

soluc~ao completa e, consequentemente,a uma melhor

informac~aoarespeitodomovimento. Supondo-sequea

din^amica de partculasinteragindomutuamente possa

serdescritaporumafunc~aopotencialquedepende

ex-plicitamentedasposic~oesdaspartculasedotempo,os

princpiosde simetria imp~oemcertos vnculos sobre a

estrutura de tal func~ao potencial, e alem dissoos

im-portantesprincpiosdeconservac~aodomomentolinear,

momento angular e energiapodem serobtidosem

co-nex~aocomaspropriedadesdoespacoedotempo[1]-[4].

A import^ancia da considerac~ao de um potencial

dependente das velocidades das partculase evidente

do familiar exemplo eletromagnetico. A suposic~ao de

que as partculas interagem mutuamente via um

po-tencial dependente da velocidade geralmente implica

que a terceira lei de Newton falha, e o momento

li-near eomomentoangular n~aos~aomais constantesde

movimento, pelo menos em suasformasordinarias. O

mesmo pode-se armar a respeito da energia do

sis-tema. Esseproblemaclamanaturalmenteporuma

ge-neralizac~ao. Alem disso, uma novasimetria n~ao

rela-cionada comoespaco-temposurge nesse cenario. Em

umtrabalho anterioreste problemafoi abordadopara

o caso de invari^ancia sob translac~ao espacial [5]. O

propositodopresente trabalhoeapresentaruma

gene-ralizac~aodeste topico,usandocomo ilustrac~ao um

sis-tema departculasemmovimentolentointeragindode

acordocomaeletrodin^amica deMaxwell-Lorentz.

II Simetria espaco-temporal

VamosconsiderarumsistemadeNpartculasnoespaco

tridimensional admitindo, ab initio, que as forcas s~ao

derivaveis de uma func~ao potencial U(r

i ;v i ;t) pela prescric~ao F i = @U @r i + d dt @U @v i ; i=1;:::;N (1) onde r i e v i

s~ao a posic~ao e a velocidade da i-esima

partculano tempot. Uma notac~aocompacta

equiva-lente aessaencontrada naRef. [1] eintroduzida para

lidar coma pletorade r queaparecem por todo este

trabalho. @U @ri e @U @vi

s~aosimplesmenteabreviac~oespara

 @U @x i ; @U @y i ; @U @z i  e  @U @v x i ; @U @v y i ; @U @v z i  ,respectivamente.

Para um potencial dependente da velocidade que

e,nomaximo,uma func~ao quadraticanasvelocidades

daspartculas,comoesseusadoparadescrevero

movi-mento de partculaseletricamente carregadas, pode-se

escrever U=U 2 +U 1 +U 0 (2) onde U 2 = N X i=1 N X j6= i ( a ij v i
v j +b ij
v i c ij
v j ) (3) U 1 = N X i=1 d i
v i (4) U 0 =c 0 (5) Os coecientes a ij , b ij , c ij , d i e c 0

s~ao func~oes das

posic~oes edotempoea

ij ,b

ij ec

ij

s~ao simetricosnos

ndicesiandj.

Asequac~oesdeNewtonparaosistemaqueestamos

considerandos~ao F i = dp i dt (6) ondep i =m i v i

eomomentolineardai-esimapartcula

em

i 

esuamassa.

Alternativamente,osistema podeserdescrito pela

lagrangianaL(r

i ;v

i

;t),quesatisfazas equac~oesde

La-grange d dt @L @v @L @r =0 (7)

comL dado por suaforma padr~ao L =T U. Aqui

T = P N i=1 1 2 m i v 2 i

e a energia cinetica do sistema.

Denindo-se o momento linear generalizado, ou

mo-mentolinearcan^onico,por

P i = @L @v i ; (8)

asequac~oesdeLagrangepodem serreescritascomo

dP i dt = @L @r i : (9)

Vamos,agora, consideraraseguinte transformac~ao

innitesimal r i !r i +Ær i ; v i !v i +Æv i ; t!t+Æt (10)

Estatransformac~aoinduzumavariac~aonalagrangiana

dada,emprimeiraordememÆr

i ,Æv i eÆt,por ÆL= N X i=1  @L @r i
Ær i + @L @v i
Æv i  + @L @t Æt (11)

Usandoasequac~oesdeLagrange,obtemos

ÆL= d dt N X i=1 P i
Ær i + @L @t Æt (12)

EscrevendoaderivadatemporalparcialdeLemtermos

desuaderivadatemporaltotal,temos

ÆL= d dt N X i=1 P i
Ær i d dt N X i=1 P i
v i L ! Æt (13)

Agora postulamos que a transformac~ao dada por

(10)euma transformac~aodesimetriadosistema,i.e.,

que as equac~oes de Lagrange s~ao invariantes sob tal

transformac~ao. Alem disto, tambem postulamos que

L(r

i ;v

i

;t)etambeminvariante(ÆL=0),demodoque

d dt N X i=1 P i
Ær i d dt N X i=1 P i
v i L ! Æt=0 (14)

Eqs. (11)e(14)s~aoasexpress~oesdesejadaspara

pres-crever osvnculos sobre aforma da lagrangianae

ob-terasconstantes de movimento relacionadasas

trans-formac~oes de simetria contnuas. Para ilustrar este

ponto,consideraremosassimetriasdetranslac~ao

espa-cial,rotac~aoespacialetranslac~aotemporal.



E cabvel lembrar que a simetria espaco-temporal

consideradaaqui e simplesmente um casoespecial. 

E

umcasoparticulardeumcasomaisgeralabracadopelo

teorema de Noether, que arma que a toda simetria

movimento[6]. Umatranformac~aocontnuanitapode

serobtidapormeiodeumasucess~aodetransformac~oes

innitesimais.

II.1 Translac~ao espacial

A homogeneidade do espaco signica que

to-dos os pontos do espaco s~ao indistinguveis.

Con-sequentemente,aspropriedadesdeumsistemafechado

n~aosemodicamquandoeleerigidamentetransladado

noespaco. Emoutraspalavras,umatranslac~aoespacial

rgidaeumatransformac~aodesimetria.

Vamos considerar atranslac~ao espacial rgida

in-nitesimal Ær i =Ær; Æv i =0; Æt=0 (15)

ondeÆreumdeslocamento innitesimalindependente

dotempocomum atodos osvetoresposic~aor

i . A

in-vari^anciaespaco-translacionalrequerquealagrangiana,

sendo independente da escolha da origem dos vetores

posic~ao,satisfaca

L(r i +Ær;v i ;t)=L(r i ;v i ;t) (16) ouequivalentemente N X i=1 @L @r i
Ær=0 (17)

Inserindo (15) na express~ao geral (14), e levando em

considerac~aoqueÆrearbitrario,obtemos

d dt N X i=1 P i =0 (18)

Isto,junto com(8),signicaque

P=p N X i=1 @U @v i =const: (19) ondep= P N i=1 p i 

eomomentolinearordinariodo

sis-tema eP= P N i=1 P i

eomomento lineargeneralizado

dosistema.

O princpio de simetria sob translac~oes espaciais

imp~oeumcertovnculosobreaformadalagrangianado

sistema dadopor(16)ou (17),ecomo consequ^encia o

momentolineargeneralizadoeumaconstantedo

movi-mento. Alemdisso,substituindo(8)em(18),obtemos

N X i=1 F i = d dt N X i=1 @U @v i (20)

que mostra uma violac~ao da igualdade entre ac~ao

e reac~ao (terceira lei de Newton na forma fraca:

P N i=1 F i =0)nocasogeral.

II.2 Rotac~ao espacial

Aideia daisotropiadoespacopressup~oequetodas

asdirec~oesdoespacos~aoequivalentes. Estefato

acar-retaqueaspropriedadesdeumsistemafechados~ao

in-variantessobumarotac~aorgida. Umarotac~aorgidae,

ent~ao,umatransformac~aodesimetriaparaumsistema

fechado.

Vamosconsideraruma rotac~aoinnitesimal

Ær i =Ænr i ; Æv i =Ænv i ; Æt=0 (21)

ondeÆeum^anguloderotac~aoindependentedotempo

e innitesimal, ene umvetorunitario cujadirec~aoe

igual a essa do eixo de rotac~ao. Neste caso, o

postu-ladode invari^ancia requer aseguinte condic~aosobre a

lagrangiana L(r i +Ænr i ;v i +Ænv i ;t)=L(r i ;v i ;t) (22) ouequivalentemente N X i=1  @L @r i
Ær i + @L @v i
Æv i  =0 (23)

AEq. (21)juntocom(14),levando-seemconsiderac~ao

queÆearbitrario,fornece

d dt N X i=1 P i
(nr i )=0 (24)

Permutando ostermos deste produto, econsiderando

quenetambemarbitrario,obtemos

d dt N X i=1 r i P i =0 (25)

Usando-se(8),issoreduz-sea

L=l N X i=1 r i  @U @v i =const (26) onde l= P N i=1 r i p i

eomomento angularordinario

do sistema e L = P N i=1 r i P i e omomento angular generalizadodosistema.

Vemos, por conseguinte, que a invari^ancia sob

rotac~oes espaciais demanda que a lagrangiana tenha

a forma ditada por (22) ou (23), o que da

surgi-mentoaconservac~aodomomentoangular. Alemdisso,

substituindo-se (8) em (25) e usando-se o fato que

v i p i =0,resultaque N X r i F i = d dt N X r i  @U @v i (27)

ComoregrageralEq. (27)mostraumafalhanaterceira

leideNewtonnaformaforte  P N i=1 r i F i =0  .

II.3 Translac~ao temporal

Aspropriedadesdeumsistema fechadon~aose

mo-dicamsobumatranslac~aotemporal. Estasimetria

se-guedahomogeneidadedotempo,quearmaquetodos

osinstantes s~aoequivalentes.

Ainvari^anciasobtranslac~aotemporal,i.e.

Ær i =0; Æv i =0; Æt6=0 (28) signicaque L(r i ;v i ;t+Æt)=L(r i ;v i ;t) (29)

isso acontece se a lagrangiana n~ao tiver qualquer

de-pend^encia temporal explcita, i.e., se o tempo

apare-cer somente implicitamente na variac~ao temporal das

posic~oesevelocidadesdaspartculasdosistema:

@L

@t

=0 (30)

Usando Eqs. (28) e(14), e considerando que Æt e

ar-bitrario,encontramos

d dt N X i=1 P i
v i L ! =0 (31)

Istoimplica,usando-se(8),que

E=T+U N X i=1 @U @v i
v i =const (32)

eaenergiageneralizadadosistema.

Parapotenciaisquadraticosnasvelocidadestemos

N X i=1 @U @v i
v i =U +U 2 U 0 (33)

demodoqueaenergiageneralizadapodeserescritana

forma E=T +U 0 U 2 (34) ondeU 2 eU 0

s~aodadospor(3)e(5),respectivamente.

Observe que isto e a geneneralizac~ao de E = T +U

0

parapotenciaisordinarios,equeotermolinearnas

ve-locidadesn~aocontribuiparaaenergiageneralizada.

III Uma simetria interna

Agora,suponhaque

U !U+ _

 (35)

onde=(r

i

;t)eumafunc~aoarbitrariadasposic~oes

edotempo. Issoacarretaquealagrangiana

transforma-L!L _

; (36)

eoprincpiodeHamilton (Æ R

t

2

t1

Ldt=0) asseguraque

asequac~oesdemovimentos~aoinafetadas, i.e.,a

trans-formac~ao (35) e uma transformac~ao de simetria. A

mesmaconclus~aopode tambem serobtida por

substi-tuic~ao diretade(36)nasequac~oesdeLagrange. Neste

pontopode-seobservarqueademandadequea

lagran-gianasejainvarianteemuitorestritiva.

Agora e oportuno perguntar como essa

trans-formac~ao afeta as constantes de movimento

generali-zadas obtidas nas sec~oes precedentes. Sob a

trans-formac~ao(35)obtemos P!P N X i=1 @ _  @v i (37) L!L N X i=1 r i  @ _  @v i (38) E!E+ _  N X i=1 @ _  @v i
v i (39)

Aderivadatemporaltotaldee

_ = N X i=1 @ @r i
v i + @ @t (40) portanto @ _  @v i = @ @r i (41)

epodemosescrever(37)-(39)como

P!P N X i=1 @ @r i (42) L!L N X i=1 r i  @ @r i (43) E !E+ @ @t (44)

Devidoao fato deque L eL _

 descrevem amesma

fsica { a grandeza  n~ao e uma grandeza fsica

ob-servavel e pode assim ser escolhida arbitrariamente {

exceto por que _

 deve ter a mesma estrutura

ma-tematica que L para serem preservadas as simetrias

do sistema descritas por ambas lagrangianas. Se isso

ocorre, as constantes de movimento generalizadas

ge-ralmente depender~aodaescolhadee, portanto,n~ao

ser~ao quantidades fsicas mensuraveis. Apesar disso,

n~aohaumtotalenfraquecimentodaimport^anciadetais

constantesde movimento, tendoemvista que, mesmo

que elas n~ao sejam quantidades fsicas mensuraveis,

movi-IV A lagrangiana de Darwin

Na formulac~ao de Maxwell-Lorentz da eletrodin^amica

classica,asN partculascarregadasde umsistema

fe-chadoest~aosujeitasaforcasdeLorentz

F i =q i E+q i v i B (45) onde q i

e a carga eletrica da i-esima partcula. Os

camposeletricoemagneticonasposic~oesdaspartculas

notempot,E(r

i

;t)eB(r

i

;t),respectivamente,podem

serexpressosemtermosdospotenciaisescalarevetor,

(r i ;t) eA(r i ;t),respectivamente,por E= @ @r i @A @t (46) B=r i A (47)

Ocampoeletromagneticoe aforcade Lorentz s~ao

in-variantessobachamadatransformac~aodecalibre

! @ @t (48) A!A+r i  (49)

ondeeumafunc~aoarbitrariadependentedasposic~oes

daspartculasedotempo.

Para cargas em movimento lento Darwin derivou

umalagrangianacontendosomenteascoordenadaseas

velocidadesretendotermossomenteateaordemv

i 2 =c 2 [7]-[9]. 

E oportunomencionarque,alemdatradicional

aplicac~aodetallagrangianaemfsicaat^omica[10]-[14],

ha tambem aplicac~oes em fsica de plasmas [15]-[22],

modelos de supercondutividade [19]-[20] e astrofsica

[19].

OmododeseobteralagrangianadeDarwine

con-siderado, com brevidade, como segue. A lagrangiana

geralparaumsistemaconsistindodeN partculas

car-regadaseasimplesextens~aodalagrangianaparauma

partculacarregadaemumcampoeletromagnetico

ex-terno: c L(r i ;v i ;t)= N X i=1 1 2 m i v 2 i 1 2 N X i=1 q i [( r i ;t) v i
A(r i ;t)] (50) d

ondeospotenciaisescalarevetornaposic~aodai-esima

partculas~aodevidosasoutrasN 1partculasdo

sis-tema. Quandodaeliminac~aodospotenciaisda

lagran-giana acima, temos que considerar que existir~ao, em

geral,correc~oesrelativsticasparaambos eA,como

podeserdeduzidodospotenciaisdeLienard-Wiechert.

Contudo,opotencialcoulombiano

= N X j6= i q j 4 0 r ij (51)

seradadocorretamenteparatodasasordensemv

i =cse

o calibre de Coulomb (r
A=0) forutilizado. Aqui

r

ij

signica a posic~ao relativa r

ij = r i r j e  0 e a

permissividadedovacuo. NocalibredeCoulombo

po-tencialvetorial,acuradoatev

i =c,e A= N X j6= i q j 8 0 c 2 r ij v j + v j
r ij r 2 ij r ij ! (52)

Substituindo (51)e (52)em (48),obtemos a

lagrangi-anadeDarwin c L= N X i=1 1 2 m i v 2 i 1 2 N X i=1 N X j6= i q i q j 4 0 r ij " 1 1 2c 2 v i
v j + v i
r ij v j
r ij r 2 ij !# (53)

epodemosidenticarafunc~aopotencialcomo

U = 1 2 N X i=1 N X j6= i q i q j 4 0 r ij " 1 1 2c 2 v i
v j + v i
r ij v j
r ij r 2 ij !# (54)

Neste ponto nos investigamos a estrutura

ma-tematica da lagrangiana de Darwin para vericar se

ela satisfaz os requerimentos impostos pelas simetrias

espaco-temporais contnuas. De relance, pode-se

no-tar que a lagrangiana de Darwin e invariante sob

translac~oestemporaissimplesmenteporqueelan~aotem

qualquerdepend^enciatemporalexplcita. Eladepende

dos vetores posic~ao das partculas por r

ij

e, assim,

ela e inafetada por translac~oes espaciais rgidas. A

vericac~ao da invari^ancia rotacional n~ao e t~ao

imedi-ata. Nas seguintes transformac~oes, somente os

ter-mos de primeira ordem em Æ ser~ao mantidos. Sob

arotac~aoespacial(21)aposic~aorelativatransforma-se

como r ij ! r ij +Ænr ij

; portanto, usando ofato

quer ij
(nr ij )=0,obtemos r ij !r ij (55) enquantov i
r ij !v i
r ij +Æ[v i
(nr ij )+r ij
(nv i )] .

Devemostambemconsiderarotermov

i
v j enestecaso temosv i
v j !v i
v j +Æ[v i
(nv j )+v j
(nv i )].

Ambas as transformac~oes, permutando os termos no

produtotriplo,conduzema

v i
r ij !v i
r ij (56) v i
v j !v i
v j (57)

Finalmente (55),(56)e(57), permite-nos concluirque

a lagrangiana de Darwin tambem e invariante sob

rotac~oes.

Para se encontrar asconstantes de movimento

re-lacionadasasinvari^anciasespaco-temporaiscontnuas,

nosconsideramosocalculo de @U

@v

i

. Com aidentidade

vetorialparar (a
b)podemosescrever

@U @v i = N X j6= i q i q j 8 0 c 2 r ij v j + v j
r ij r 2 ij r ij ! (58)

Ent~ao,(52)podeserutilizadaparafornecer

@U @v i = q i A(r i ) (59)

Omomento linear,omomento angular eaenergia

generalizadospodem agoraserescritoscomo

P=p+ N X i=1 q i A(r i ) (60) L=l+ N X i=1 q i r i A(r i ) (61) E=T+ 1 2 N X q i [(r i )+v i
A(r i )] (62)

Portanto, pode-seidenticar omomento linear, o

mo-mento angular e a energia de origem eletromagnetica

como P em = N X i=1 q i A(r i ) (63) L em = N X i=1 q i r i A(r i ) (64) E em = 1 2 N X i=1 q i [(r i )+v i
A(r i )] (65)

Sob uma transformac~ao de calibre, a lagrangiana

de Darwin e afunc~ao potencial transformam-secomo

L ! L _  e U ! U + _ , respectivamente, onde = 1 2 P N i=1 q i

. Portanto,estasultimasquantidades

eletromagneticas s~ao dependentes de calibre e, assim,

s~aotambemasquantidadesconservadasgeneralizadas.

V Conclus~ao

Mostramos que um potencial dependente da

veloci-dade pode serfacilmente abordado no formalismo

la-grangiano. Baseados na invari^ancia espaco-temporal

contnua, nos obtivemos n~ao somente os vnculos

so-bre a forma da lagrangiana, mas tambem os

impor-tantes princpios de conservac~ao do momento linear,

momento angular e energia. Essasconstantes de

mo-vimento generalizadas n~ao s~ao geralmente

quantida-desmensuraveismasisson~aorepresentanenhuma

des-vantagem nabusca para uma melhor compreens~ao da

evoluc~aotemporaldeumsistema fsico.

A teoria eletromagnetica classica de

Maxwell-Lorentzfoiconsideradanestetrabalhocomoilustrac~ao,

emostramosqueomomentolinear,omomentoangular

eaenergias~aoquantidadesdependentes decalibre.

Poderamos tambem ter abordado as simetrias

geometricasdiscretas,taiscomoaparidadeearevers~ao

temporal,paraobterrestric~oesadicionaissobreaforma

dalagrangiana. Preferimosdeixarestetopicocomoum

exerccio para os leitores, incluindo, e claro, a

veri-cac~aodainvari^anciadalagrangianadeDarwin.

Agradecimentos

Um dos autores (ASC) e grato a FAPESP e ao

Refer^encias

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