REVISÃO DE MATEMÁTICA
REVISÃO DE MATEMÁTICA
BÁSICA
BÁSICA
PROF. WILSON C. CANESIN DA SILVA
PROF. WILSON C. CANESIN DA SILVA
SUMÁRIO
SUMÁRIO
1 – Operações com
1 – Operações com fraçõesfrações 2 – Divisão de frações
2 – Divisão de frações 3 – Operações com
3 – Operações com números relativosnúmeros relativos 4 – Resolução de equações do 1º
4 – Resolução de equações do 1º grau (1º tipo)grau (1º tipo) 5 – Resolução de equações do 1º
5 – Resolução de equações do 1º grau (2º tipo)grau (2º tipo) 6 – Resolução de equações do 1º
6 – Resolução de equações do 1º grau (3º tipo)grau (3º tipo) 7 – Equação do
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo)2º grau incompleta (1º tipo) 8 – Equação do
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo)2º grau incompleta (2º tipo) 9 – Equação do
9 – Equação do 2º grau completa2º grau completa 10 – Radicais
10 – Radicais
11 – Operações com radicais 11 – Operações com radicais 12 – Exponenciais
12 – Exponenciais 13 – Propriedade
13 – Propriedade distributivdistributivaa 14 – Produtos
14 – Produtos notáveisnotáveis
15 – Diferença de quadrados 15 – Diferença de quadrados 16 – Trinômio ao quadrado 16 – Trinômio ao quadrado 17 – Binômio ao quadrado 17 – Binômio ao quadrado 18 – Fatoração 18 – Fatoração 19 –
19 – Racionalização de expressões numéricasRacionalização de expressões numéricas 20 –
20 – Racionalização de expressões algébricasRacionalização de expressões algébricas 21 – Solução de e
21 – Solução de equações irracionaisquações irracionais
22 – Resolução de sistemas de 2 equações a 2
1 –
1 – Operações com fraçõesOperações com frações O método mais direto de
O método mais direto de resolver frações é o do resolver frações é o do máximo divisor comum:máximo divisor comum:
+ + = = == Ex. 1) Ex. 1) + + = = = = == Ex. 2) Ex. 2) - - = = = = ==
Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo. Para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo.
+ + + + = = == Ex. 3) Ex. 3) + + - - = = == = = == Resolver: Resolver: a) a) + + b) b) - - c) c) --d) e) f) d) e) f)
2 – Divisão de frações 2 – Divisão de frações
É só inverter a 2ª fração e multiplicar É só inverter a 2ª fração e multiplicar = = == Ex. 1) Ex. 1) = = = = == Ex. 2) Ex. 2) = = == Ex. 3) Ex. 3) = = = = = = == Resolver: Resolver: a) b) c) a) b) c) d) d) ÷÷ e)e) ÷÷
3 – Operações com números relativos 3 – Operações com números relativos Ex. 1)
Ex. 1) -2 + (-3)-2 + (-3) →→ -2 – 3 = - 5-2 – 3 = - 5
Ex. 2)
Ex. 3) Ex. 3) (-2)(-2) ×× (-3) = 6(-3) = 6 Ex. 4) Ex. 4) (-3)(-3) ×× 5 = -155 = -15 Ex. 5) Ex. 5) (-2)(-2)22 = (-2)= (-2) ×× (-2) = 4(-2) = 4 Ex. 6) Ex. 6) (-3)(-3)33 = (-3)= (-3)22 ×× (-3) = 9(-3) = 9 ×× (-3) = - 27(-3) = - 27 Resolver: Resolver: a) a) -9 -9 + + 12 12 – – (-14) (-14) = = b) b) 13 13 + + (-9) (-9) – – 3 3 == c) c) 7 7 – – (-8) (-8) = = d) d) -14 -14 – – (-12) (-12) – – 24 24 == e) (-3) e) (-3) ×× (-8) (-8) + + 25 25 = = f) 99f) ×× (-2)(-2) ×× (-3) =(-3) = g) (-5) g) (-5)22 = = h) h) (-2)(-2)55 == 4 – Resolução de equações do 1º grau
4 – Resolução de equações do 1º grau Ex. 1)
Ex. 1) ax ax = = b b , , divide divide os os 2 2 membros membros por por “a”“a” ax/a = b/a
ax/a = b/a →→ x = b/ax = b/a
Resolver: Resolver: a)
a) 3x 3x = = -7 -7 b) b) 15x 15x = = 33
5 – Equações do 1º grau (continuação) 5 – Equações do 1º grau (continuação) Ex. 1)
Ex. 1) 6x 6x + + 8 8 = = 26 26 (subtrai (subtrai 8 8 nos nos dois dois membros membros p/ p/ isolar isolar x)x) 6x + 8 – 8 = 26 – 8
6x + 8 – 8 = 26 – 8 →→ 6x = 186x = 18 →→ x = 18/6x = 18/6 →→ x = 3x = 3
Ex. 2)
Ex. 2) 3x 3x – – 12 12 = = -13 -13 (soma (soma 12 12 nos nos dois dois membros membros p/ p/ isolar isolar x)x) 3x – 12 + 12 = 12 – 13
Resolver: Resolver: a) a) 4x 4x + + 12 12 = = 6 6 b) b) 7x 7x + + 13 13 = = 99 c) c) -5x -5x – – 9 9 = = 6 6 d) d) 3x 3x + + 15 15 = = 00 6 – Equações do 1º grau (continuação)
6 – Equações do 1º grau (continuação) Ex. 1)
Ex. 1) 5x 5x – – 13 13 = = 2x 2x + + 7 7 (subtrai (subtrai 2x 2x nos nos dois dois membros)membros) 5x
5x – 2x – 2x – 13 – 13 = = -2x -2x + 2x + 2x + 7+ 7 3x
3x – – 13 13 = = 7 7 (soma (soma 13 13 nos nos dois dois membros)membros) 3x – 13 + 13 = 7 + 13 3x – 13 + 13 = 7 + 13 →→ 3x = 203x = 20 →→ x = 20/3x = 20/3 Resolver: Resolver: a) a) 3x 3x + + 9 9 = = 5x 5x + + 3 3 b) b) -2x -2x + + 3 3 = = 12 12 + + 3x3x c) c) 7x 7x – – 13 13 = = -3x -3x + + 7 7 d) d) 9x 9x – – 2 2 = = 6x 6x + + 44 e) e) (2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x(2 – x) – (7 – 3x) = 5 + 6x
7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) 7 – Equação do 2º grau incompleta (1º tipo) Ex. 1)
Ex. 1) xx22 = 4= 4 →→ = = (extrai (extrai a a raiz raiz de de ambos ambos os os membros)membros)
X =
X = ±± 2 2 (Eq. do (Eq. do 2º grau 2º grau sempre tem sempre tem 2 resposta2 respostas)s)
Prova: (x)
Prova: (x)22 = (+2)= (+2)22 →→ xx22 = = 44
As 2
As 2 raízes satisfazemraízes satisfazem (x) (x)22 = (-2)= (-2)22 →→ xx22 = = 44 Resolver: Resolver: a) 3x a) 3x22 = = 12 12 b) b) xx22 = 7= 7
8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) 8 – Equação do 2º grau incompleta (2º tipo) Ex. 1)
Ex. 1) xx22 – – 2x 2x = = 0 0 (põe (põe x x em em evidência)evidência) x – 2 = 0 x – 2 = 0 →→ x = 2x = 2 Resulta Resulta (x (x – – 2)x 2)x = = 00 x = 0 x = 0 →→ x = 0x = 0 Resolver: Resolver: a) 4x a) 4x22 – – 8x 8x = = 0 0 b) b) xx22 + 3x = 0+ 3x = 0 c) 3x c) 3x22 + + 7x 7x = = 0 0 d) d) xx22 – 5x = 0– 5x = 0 9 – Equação do 2º grau completa
9 – Equação do 2º grau completa Forma: ax
Forma: ax22 + bx + c = 0+ bx + c = 0 Solução:
Solução: ∆∆ = b= b22 – – 4ac 4ac ,, ∆∆ > 0 > 0 (solução (solução real, 2 real, 2 raízes raízes diferentes)diferentes) ∆
∆ = = 0 0 (sol. (sol. real, real, 2 2 raízes raízes iguais)iguais)
Fórmula:
Fórmula: x x = = ou ou x’ x’ = = (-b (-b + + ) ) / / 2a 2a x” x” = = (-b (-b - - )/2a)/2a Ex. 1) Ex. 1) 2x2x22 + 5x + 2 = 0+ 5x + 2 = 0 ∆ ∆ = = = = = = = = 33 Soluções: Soluções: x’ = (-x’ = (-5 + 3) 5 + 3) / 4 = -2// 4 = -2/4 = -1/24 = -1/2 x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2 x” = (-5 – 3) / 4 = -8/4 = -2 Resolver: Resolver: a) a) xx22 – – 5x 5x + + 6 6 = = 0 0 b) b) xx22 – 6x + 8 = 0– 6x + 8 = 0 c) c) 3x3x22 + 11x + 8 = 0+ 11x + 8 = 0
10 – Radicais 10 – Radicais
→
→ A = A = radicando; radicando; n = n = índice da índice da raiz raiz e e m = m = expoente do expoente do radicandoradicando
= A
= Am/nm/n (fórmula geral)(fórmula geral) Ex. 1) Ex. 1) = = = 2= 22/22/2 = 2= 211 = 2= 2 Ex. 2) Ex. 2) = = = = 33 Ex. 3) Ex. 3) = = = = 2210/510/5 = = 2222 = = 44 Ex. 4) Ex. 4) == ×× = = = x= x 11 –
11 – Operações com radicaisOperações com radicais Ex. 1) Ex. 1) ×× = = = = xx2/22/2 = = xx Ex. 2) Ex. 2) ×× == Ex. 3) Ex. 3) = = = 2= 2 Ex. 4) Ex. 4) = = = = == Ex. 5) Ex. 5) = = = = = = xx Ex. 6) Ex. 6) = = = = = = 22 Resolver: Resolver:
a) b) c)
a) b) c)
d) e) f)
d) e) f)
12 –
12 – ExponenExponenciaisciais A
Axx - - A A é é a a base, base, x x é é o o expoenteexpoente P1) P1) AAxx ×× AAyy = A= Ax+yx+y P2) P2) AAxx / A/ Ayy = = AAx-yx-y P3) P3) (A(Axx))yy = = AAx.yx.y P4) P4) (A . B)(A . B)xx = = AAxxBBxx P5) P5) e e = = = = AAxx . B. B-x-x Ex. 1) Ex. 1) 2277 = = 223+43+4 = 2= 233 . 2. 244 = 8= 8 ×× 16 = 12816 = 128 Ex. 2) Ex. 2) (2(222))33 = 22= 66 = = 223+33+3 = 2= 233 . 2. 233 = 8= 8 ×× 8 = 648 = 64 Ex. 3) Ex. 3) (2(2 ×× 3)3)33 = 2= 233 ×× 3333 = 2= 222 ×× 22 ×× 3322 ×× 3 3 = = 44 ×× 22 ×× 99 ×× 3 = 2163 = 216 Ex. 4) Ex. 4) = 55= 23-2023-20 = = 5533 = 55= 22 ×× 5 = 255 = 25 ×× 5 = 1255 = 125 Resolver: Resolver: a) a) 221010 b) b) c) c) d) d) 1616 ×× 22-3-3 13
13 - - Propriedade Propriedade distributivadistributiva 1)
2) 2) (A(A ±± B)(C + D) = (AB)(C + D) = (A ±± B)(C + D) = A(C + D)B)(C + D) = A(C + D) ±± B(C + D)B(C + D) Ex. 1) Ex. 1) 2(4 2(4 + + x) x) = = 8 8 + + 2x2x Ex. 2) Ex. 2) (3 – (3 – x)(x x)(x – 2) – 2) = = 3(x 3(x – 2) – 2) – x– x(x (x – 2)– 2) = 3x – 6 – x = 3x – 6 – x22 + 2x = -x+ 2x = -x22 + 5x – 6+ 5x – 6 Resolver: Resolver: a) a) (x (x - - )(x )(x + + ) ) b) (a b) (a + + b)(a b)(a + + b)b) cc) ) ((2 2 + + ))((2 2 - - ) ) dd) ) ((2 2 + + ))((3 3 + + 22 )) 14 –
14 – Produtos notProdutos notáveis áveis (A (A + + B)B)22
Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: Pode ser resolvido usando a propriedade distributiva ou a regra a seguir: (A + B)
(A + B)22 = = (A (A + + B)(A B)(A + + B) B) = = AA22 + 2AB + B+ 2AB + B22 (A – B)
(A – B)22 = = (A (A – – B)(A B)(A – – B) B) = = AA22 – 2AB + B– 2AB + B22 Ex. 1) Ex. 1) (x – 2)(x – 2)22 = = xx22 – 4x + 4– 4x + 4 Resolver: Resolver: a) a) (x (x – – 3)3)22 b) (a + 2)b) (a + 2)22 c) (x + y)c) (x + y)22 15 – Diferença de quadrados 15 – Diferença de quadrados xx22 – a– a22 = = (x (x – a)(x – a)(x + a)+ a) Ex. 1) Ex. 1) xx22 – – 4 4 = = (x (x – – 2)(x 2)(x + + 2)2) Ex. 2) Ex. 2) xx22 – – 3 3 = = (x (x - - )(x )(x + + )) Ex. 3) Ex. 3) xx22 – – A A = = (x (x - - )(x )(x + + ))
Resolver: Resolver: aa) ) ( ( - - 22))( ( + + 22) ) = = bb) ) xx22 – 16 =– 16 = c) c) xx22 – – 7 7 = = d) d) (2 (2 + + )(2 )(2 - - ) ) == 16 – Trinômio ao quadrado 16 – Trinômio ao quadrado (a + b + c)
(a + b + c)22 = = [(a + [(a + b) + b) + c)]c)]22 = = (a (a + + b)b)22 + 2(a + b)c + c+ 2(a + b)c + c22 =
= aa22 + 2ab + b+ 2ab + b22 + 2ac + 2bc + c+ 2ac + 2bc + c22 =
= aa22 + b+ b22 + c+ c22 + + 2ab 2ab + + 2ac + 2ac + 2bc2bc Resolver: Resolver: a) a) (x (x + y + y + 1)+ 1)22 b) b) (x (x – – y y +2)+2)22 17 – Binômio ao cubo 17 – Binômio ao cubo (a + b) (a + b)33 = = (a (a + + b)b)22 ×× (a + b)(a + b) 18 – Fatoração
18 – Fatoração (tirar fator comum para fora do (tirar fator comum para fora do parênteses)parênteses) Ex. 1) Ex. 1) 2x2x22 + + 4x 4x = = 2x(x 2x(x + + 2)2) Ex. 2) Ex. 2) x x + x+ x22 = = xx( ( + + xx)) Ex. 3) Ex. 3) = = = = == Resolver: Resolver:
a)
a) = = b) b) == c)
c) = = d) d) == 19 –
19 – RacionalizRacionalização de expressões numéricasação de expressões numéricas Consiste em tirar uma raiz do
Consiste em tirar uma raiz do denominador.denominador. Ex. 1) Ex. 1) →→ ×× = = == Ex. 2) Ex. 2) == ×× == Ex. 3) Ex. 3) Resolver: Resolver: a) a) b) b) c) c) d)d) 20
20 - Racionalização de Ex- Racionalização de Expressões Algébricaspressões Algébricas
Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio Multiplica numerador e denominador pelo denominador com o sinal do meio trocado, para resultar numa diferença de
trocado, para resultar numa diferença de quadrados.quadrados.
Ex.1) Ex.1)
Ex. 2) Ex. 2) Resolver : Resolver : a) b) c) a) b) c) d) e) f) d) e) f) 21
21 - Solução de Equações Irracionais- Solução de Equações Irracionais
Ex.1)
Ex.1) →→ isola a raizisola a raiz →
→ eleva ao quadrado ambos os membroseleva ao quadrado ambos os membros → → →→ Resolver: Resolver: a) b) c) a) b) c) d) e) d) e) 22
eliminação. eliminação.
a)
a) Por subsPor substituição : tituição : da equação da equação 2) obtém-2) obtém-se se x = x = 5 - 5 - y que é y que é substituído substituído na 1).na 1). Então
Então 3(5 3(5 - - y) y) + + 2y 2y =12=12 →→ y y = = 3 3 e e volta volta para para x, x, ou ou seja seja x x = = 5 5 - - y y = = = = 5 5 - - 3 3 ==
2. 2. b)
b) Por Por eliminação: eliminação: multiplica-se multiplica-se a a 2) 2) por por -3 -3 e e soma-se soma-se com com a a 1)1) Então Então 3x + 2y = 12 3x + 2y = 12 -3x - 3y = -15 -3x - 3y = -15 - y = - 3
- y = - 3 →→ y y = = 3 3 voltando voltando na na 2) 2) , , tem-se tem-se x x = = 2.2.
Resolver: Resolver: a) a) 2x 2x + + y y = = 12 12 b) b) 3x 3x + + 2y 2y = = 44 x x + + 7y 7y = = 19 19 x x - - y y = = 22 c) c) 2x 2x + + 3y 3y = = 8 8 d) d) x x - - y y = = 33 3x 3x + + 4y 4y = = 11 11 2x 2x + + y y = = 99 Respostas das Questões
Respostas das Questões 1) 1) a) a) 25/63 25/63 ; ; b) b) 8/35 8/35 ; ; c) c) -4/55 -4/55 ; ; d) d) 227/252 227/252 ;; e) e) 343/792 343/792 ; ; f) f) 147/135147/135 2) 2) a) a) 55/46 55/46 b) b) 3/2 3/2 ; ; c) c) 24/7 24/7 ; ; d) d) 104/357 104/357 ; ; e) e) 256/371256/371 3) 3) a)17 a)17 ; ; b) b) 1 1 ; ; c) c) 15 15 ; ; d) d) –26 –26 ; ; e) e) 49 49 ;; f) f) 54 54 ; ; g) g) 25 25 ; ; h) h) –32–32
4) 4) a) a) x= x= -7/3 -7/3 ; ; b) x=1/5b) x=1/5 5) 5) a) a) –3/2 –3/2 ; ; b) b) -4/7 -4/7 ; ; c) c) x= x= -3 -3 ; ; d) d) x= x= - - 55 6) 6) a) a) x=3 x=3 ; ; b) b) x=-9/5 x=-9/5 ; ; c) c) x=2 x=2 ; ; d) d) x=2 x=2 ; ; e) e) x= x= -5/2-5/2 7) 7) a) x=a) x= ±±2 2 ; ; b) b) x x == ±± 8) 8) a) a) x=0 x=0 e e x= x= 2 2 ; ; b) b) x=0 x=0 e e x= x= -3 -3 ; ; c) c) x=0 x=0 e e x= x= -7/3 -7/3 ;; d) x=0 e x= 5 d) x=0 e x= 5 9) 9) a) a) x=2 x=2 e e x=3 x=3 ; ; b) b) x=4 x=4 e e x= x= 2 2 ; ; c) c) x= x= -1 -1 e e x x = = -8/3-8/3 11) 11) a) a) 9 9 ; ; b) b) 4 4 ; ; c) c) 49 49 ; ; d) d) 3 3 ; ; e) e) x x + + 2 2 ; ; f) f) 33 12) 12) a) a) 1024 1024 ; ; b) b) 49 49 ; ; c) c) 81/16 81/16 ; ; d d ) ) 22 13) 13) a) xa) x22 – – 7 7 ; ; b) b) aa22 + 2ab +b+ 2ab +b22 ; ; cc) ) 1 1 ; ; dd) ) 22x x + + 7 7 + + 66 14) 14) a) xa) x22 – – 6x 6x +9 +9 ; ; b) b) aa22 + + 4a 4a + + 4 4 ; ; c) c) xx22 +2xy + y+2xy + y22 15) 15) a) a) –1 –1 ; ; b) b) (x(x-4-4)()(xx+4+4) ) ; ; c) c) ( ( x x -- )()(x x + + ) ) ; ; d) d) 11 16)
16) a) a) xx22 + y+ y22 +1 +1 + + 2xy 2xy + + 2x 2x + + 2y 2y ; ; b) b) xx22 + y+ y22 + 4 - 2xy + 4x - 4y+ 4 - 2xy + 4x - 4y 18) 18) a) a) 4x 4x ; ; b) b) x x - - 2 2 ; ; c) c) a a + + b b ; ; d) d) x+ x+ 22 19) 19) aa) ) ; ; bb) ) 3 3 //5 5 ; ; cc) ) 22 //3 3 ; ; dd) ) / / 99 20) 20) a) a) - - 1 1 ; ; b) b) (1 (1 + + ) ) / / (1 (1 - - xx) ) ; ; c) c) 2 2 ( ( -1 -1 ) ) / / (x (x -1-1)) dd) ) ((77//22))..((3 3 - - ) ) ; ; e ) e ) ( ( - - ))/ / ((aa22 – b– b22 ) ) ; ; f) f) --21) 21) a) a) x=0 x=0 e e x=1 x=1 ; ; b) b) x=5 x=5 ; ; c) c) x x == ±± d) d) x=4 x=4 e e x= x= 1 1 ; ; e) e) x= x= ( ( 11±± )/2)/2
