Projecto de Estruturas 2004/2005

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Licenciatura em Engenharia Civil

Projecto de Estruturas

2004/2005

Edifício de Acesso ao Parque Oceanográfico de Valência

Diogo Manuel Xavier Matias Vaz Angélico

Nuno Ricardo Machado Sá

Vitor Manuel Vaz Ribeiro

Orientador: Prof. Álvaro F. M. Azevedo

Porto, Julho de 2005

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Projecto de Estruturas

2004/2005

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AGRADECIMENTOS

Ao Professor Álvaro F. M. Azevedo, o nosso sincero agradecimento pela disponibilidade e orientação proporcionada ao longo de todo o trabalho.

À Prof. Ana Maria Faustino e Prof. Isabel Martins Ribeiro pela preciosa ajuda prestada.

Ao nosso colega António Rui Figueiredo Amaral pela colaboração na recolha de informação acerca da estrutura real.

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ÍNDICE

1- Introdução... 5

2- Modelação da estrutura ... 6

2.1-Determinação das coordenadas dos nós ... 6

2.2-Preparação do ficheiro de dados malha.s3d... 7

2.3-Programa S3DCAD... 10

3-Preparação do ficheiro de dados malha_gl.dat... 15

3.1-Parâmetros principais ... 15

3.2-Definição dos graus de liberdade dos apoios... 16

3.3-Definição das propriedades dos materiais ... 17

3.4-Definição das espessuras da malha ... 18

3.5 Definição das acções ... 29

3.5.1 Peso Próprio ... 29

3.5.2-Sobrecarga... 30

3.5.3 Temperatura ... 35

3.5.4 Sismo ... 38

4-Obtenção dos esforços e deslocamentos ... 39

5-Obtenção da armadura ... 43

6-Conclusão ... 47

7-Bibliografia... 49 Anexos

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1- Introdução

O edifício de acesso ao Parque Oceanográfico em Valência é uma construção de grandes dimensões de carácter informativo e comercial, coroado por uma cobertura formada por três parabolóides hiperbólicos. Este edifício multi-funcional actua como núcleo distribuidor dos visitantes ao Parque (figuras 1 e 2).

Figuras 1 e 2 – Edifício de acesso ao Parque Oceanográfico de Valência

A cobertura é formada por três parabolóides hiperbólicos idênticos, de 21.23 m de altura e 12 cm de espessura., girados de 120 graus num eixo vertical. As intersecções entre eles formam as nervuras inferiores. O bordo livre de cada parabolóide forma um ângulo de 69.20º com o plano horizontal. As geratrizes horizontais, que passam pelo vértice de intersecção dos três parabolóides, formam um ângulo de 82.12º entre si. A distância entre apoios é de 29,28 m.

No trabalho aqui apresentado, os parabolóides hiperbólicos apresentam uma altura de 20.70 m e uma espessura variável entre 10 e 20 cm. O bordo livre de cada parabolóide forma um ângulo de 71.32º com o plano horizontal. As geratrizes horizontais, que passam pelo vértice de intersecção dos três parabolóides, formam um ângulo de 90º entre si. A distância entre apoios é de 24.25 m.

Tratando-se de superfícies regulares, a sua cofragem faz-se colocando tábuas rectas na direcção de uma das famílias de geratrizes. A armadura coloca-se em duas camadas, nas duas direcções das parábolas.

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2- Modelação da estrutura

O primeiro passo a ser dado para o dimensionamento é a definição do modelo estrutural.

2.1-Determinação das coordenadas dos nós

Para o dimensionamento optou-se por utilizar o método dos elementos finitos, com elementos de casca de 6 graus de liberdade.

Sendo assim, era necessário definir os elementos da estrutura e os respectivos nós, assim como as suas coordenadas.

Em primeiro lugar começou-se por determinar a equação do parabolóide hiperbólico. Os parabolóides hiperbólicos contêm dois sistemas de geratrizes rectas, sendo cada um destes sistemas paralelo a um plano director (figura 1). A intercepção de ambos os planos directores define o eixo z e formam entre si um ângulo ω.

Figura 3 – Planos directores do parabolóide hiperbólico . Se este ângulo é recto, a sua equação genérica é a seguinte:

(

α,ω

) (

. α,ω

)

. .r2 g f K z = sendo, −

K constante que varia entre 0.13m-1 e 0.17m-1 que denominaremos constante de superfície;

−

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(

)

_{( )}

                  + ₋ −       + ₋ = ω α ω α ω ω α tg sen g 2 90 2 90 cos ,

(

)

_{( )}

                  ₋ − −       ₋ − = ω ω α ω α ω α tg sen f 2 90 2 90 cos , −

ω ângulo formado pela intercepção dos planos directores, que deverá variar entre 84º e 91º;

−

α o ângulo formado entre a recta, que une o cento do parabolóide a qualquer ponto da malha e o eixo x;

Definiu-se K =0.15m−1, uma vez que era o valor intermédio entre 0.13m-1 e 0.17m-1, e º

90

=

ω .

Assim, a equação genérica transformou-se na seguinte:

( ) ( )

xy sen

r

z =0,15. 2. α .cosα =0,15. .

A partir desta equação, usando uma folha de Excel, fez-se variar o raio entre 0.5m e 14m com intervalos de 0.5m, e o ângulo entre -15º e 105º com intervalos de 5º, obtendo-se assim as coordenadas (x,y,z) dos pontos que definem a malha do hiperbolóide.

2.2-Preparação do ficheiro de dados malha.s3d

Depois de se ter as coordenadas dos nós do parabolóide hiperbólico, desenhou-se uma malha, atribuindo-se a numeração de cada um dos elementos e respectivos nós.

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Quadro 1 – Excerto do ficheiro malha.s3d malha mesh (a)

Mesh (b) 656 (c) 710 (d) 0 (e) (f) (g) (h) (h) (h) (h) (h) 1 5 1 2 30 29 1 2 5 2 3 31 30 2 3 5 3 4 32 31 3 4 5 4 5 33 32 4 5 5 5 6 34 33 5 6 5 6 7 35 34 6 … … … … … … … … … … … … … … 650 5 704 703 54 53 704 651 5 703 702 55 54 703 652 5 702 701 56 55 702 653 5 669 709 710 697 669 654 5 669 670 708 709 669 655 5 670 671 707 708 670 656 5 671 672 706 707 671 (i) (j) (k) (l) 1 0.482962913 -0.129409523 -0.009375 2 0.965925826 -0.258819045 -0.0375 3 1.448888739 -0.388228568 -0.084375 4 1.931851653 -0.51763809 -0.15 5 2.414814566 -0.647047613 -0.234375 6 2.897777479 -0.776457135 -0.3375 …. ………. ………... …………. …. ………. ………... …………. 705 12.31555429 -3.299942825 -6 706 -2.922712889 13.69152108 -6 707 -3.041430659 13.15293502 -6 708 -3.173596428 12.60667624 -6 709 -3.244022828 12.3304021 -6 710 -3.299942825 12.31555429 -6

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sendo,

(a)- título principal (b)- título do desenho (c)- o número de elementos; (d)- o número de nós;

(e)- o numero de nós especiais;

(f)- a coluna da numeração dos elementos;

(g)- a coluna correspondente ao número de nós por elemento- neste caso são 4 mas indicam-se 5 para que o programa leia os 4 e volte a ler o primeiro para fechar cada um dos elementos;

(h)- as colunas que indicam a numeração dos nós pertencentes a cada elemento; (i)- a coluna da numeração dos pontos ou nós;

(j),(k),(l)- as colunas com as coordenadas x, y e z respectivamente de cada nó.

Concluído este ficheiro, alterou-se a sua extensão .dat para .s3d (malha.s3d) de maneira que o ficheiro pudesse ser lido pelo programa Drawmesh.

Nesta altura, a malha visualizada com o Drawmesh tinha o seguinte aspecto:

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Figura 5 – Aspecto da malha

2.3-Programa S3DCAD

Após obtenção das coordenadas dos pontos da malha de elementos finitos para um gomo (1/3) da estrutura (com recurso ao software Microsoft Excel), utilizou-se o programa S3DCAD para obter uma malha da estrutura completa (3 gomos).

Assim, já com o referido programa, abriu-se o ficheiro malha.s3d (obtido a partir da simples alteração da extensão do ficheiro malha.dat), utilizando-se para o efeito o comando rea. Após introdução deste comando o programa pede o nome do ficheiro com o qual se pretende trabalhar – malha.

De seguida, procedeu-se à renumeração dos elementos e dos nós da malha, isto é, em vez dos elementos e nós terem a numeração atribuída no programa Microsoft Excel, estes terão uma nova numeração gerada pelo programa de uma forma mais lógica, ficando cada elemento associado a nós com numeração diferente, mas com as mesmas coordenadas que anteriormente, transformando, ainda, nós de coordenadas coincidentes num só nó. Para o efeito, utilizou-se o comando ren, seleccionando-se a direcção em que a numeração dos nós deveria progredir com menor prioridade, com prioridade

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O passo seguinte foi repetir a malha em torno de um eixo, de forma a obter a malha da estrutura inteira, a partir da malha de apenas 1/3 daquela (1 gomo). O comando utilizado foi o cya, com 3 repetições (3 gomos) em torno do eixo zz (vertical – coordenadas (0;0;0) e (0;0;1)), com um ângulo de rotação de 120º.

Efectuou-se uma nova renumeração da malha (ren) e gravou-se (wri) num ficheiro novo – malha.s3d.

Utilizando o programa drawmesh, procedeu-se à importação daquele ficheiro, de forma a visualizar o aspecto da malha em 3D, como se pode ver nas figuras seguintes.

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Figura 7 – Aspecto da malha completa (perspectiva XY)

Após gerar a malha inteira, introduziram-se os pontos especiais, isto é, os apoios. Para tal, utilizou-se, no S3DCAD, o comando snd, que detectou os nós do plano z = -6 (definido por três pontos) e os seleccionou como nós especiais. Fez-se uma renumeração dos nós e gravou-se o ficheiro. Nas figuras seguintes, pode-se ver os referidos nós (a azul) na base da cobertura.

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Figura 8 – Nós especiais (perspectiva XZ)

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O último passo foi criar um ficheiro com a extensão _gl.dat, para ser corrido no programa FEMIX, com objectivo de obter o esforços e deslocamentos na estrutura devido a acções a considerar. O comando utilizado para o efeito foi o gld, tendo sido necessário escolher o tipo de estrutura (Casca – opção 6) em que a malha foi convertida.

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3-Preparação do ficheiro de dados malha_gl.dat

Depois de criado o ficheiro malha_gl.dat com o programa s3dcad, era necessário fazer as devidas alterações de maneira a adaptá-lo a esta estrutura e ás respectivas acções consideradas.

3.1-Parâmetros principais

Começou-se por alterar os parâmetros principais da estrutura. Os valores atribuídos pelo programa s3dcad, indicam-se a seguir:

Quadro 2 – Excerto do ficheiro malha_gl.dat

Em vez de 1 caso de carga considerou-se 6, portanto, o valor de ncase deixou de ser 1 e passou a ser 6.

Por defeito, o ficheiro malha_gl.dat atribui uma espessura constante a todos os nós da estrutura de valor 0.25m. Uma vez que no nosso caso temos uma espessura variável entre 0.10m e 0.20m, o valor a atribuir a nspen deixa de ser 1 e passa a ser 1968 que é o número de elementos da estrutura.

Apenas foi considerado um único sistema de eixos para todos os pontos, logo, os valores considerados para de nnscs e nsscs foram 0.

Tendo-se considerado apoios rígidos, os valores para npspr, nsspv e nwink também são 0.

Os restantes valores que não foram referenciados, não foram alterados. ### Main parameters

1968 # nelem (n. of elements in the mesh) 6054 # npoin (n. of points in the mesh)

87 # nvfix (n. of points with fixed degrees of freedom) 1 # ncase (n. of load cases)

1 # nmats (n. of sets of material properties) 1 # nspen (n. of sets of element nodal properties) 6 # ntype (problem type)

8 # nnode (n. of nodes per element)

2 # ngaus (n. of Gauss points in the integration rule) (element stiffness)

2 # ngstr (n. of Gauss points in the integration rule) (stresses) 3 # ndime (n. of geometric dimensions)

6 # ndofn (n. of degrees of freedom per node)

1 # nnscs (n. of points with specified coordinate system) 1 # nsscs (n. of specified coordinate systems)

1 # npspr (n. of springs)

1 # nsspv (n. of spring vectors)

4 # nprop (n. of material properties used in the formulation) 1 # npren (n. of element nodal properties used in the formulation) 1 # nwink (n. of element faces with Winkler coefficients)

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3.2-Definição dos graus de liberdade dos apoios

Depois da alteração dos parâmetros principais, passou-se para a definição dos graus de liberdade dos nós que formam os apoios.

Por defeito, o ficheiro malha_gl.dat é criado pelo programa s3dcad com todos os graus de liberdade, nos nós dos apoios, fixos, tal como se pode constatar no excerto do ficheiro que se apresenta a seguir:

No nosso caso, pretendia-se que apenas as translações fossem impedidas, libertando-se as rotações. Sendo assim, foi necessário, para cada um destes nós, alterar as três últimas colunas para 0 em vez de 1.

De salientar, no entanto, que os três apoios da estrutura acabariam, de qualquer das formas, por funcionar como encastrados. Isto deve-se ao facto de se ter impedido as translações em vários nós por apoio, estando esses nós muito próximos uns dos outros.

### Points with fixed degrees of freedom and fixity codes (1-fixed;0-free) # ivfix nofix ifpre ...

1 273 1 1 1 1 1 1 2 304 1 1 1 1 1 1 3 307 1 1 1 1 1 1 4 337 1 1 1 1 1 1 5 339 1 1 1 1 1 1 6 357 1 1 1 1 1 1 ………. ………. 82 6024 1 1 1 1 1 1 83 6028 1 1 1 1 1 1 84 6029 1 1 1 1 1 1 85 6035 1 1 1 1 1 1 86 6039 1 1 1 1 1 1 87 6041 1 1 1 1 1 1

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3.3-Definição das propriedades dos materiais

Ao nível dos materiais utilizados, considerou-se apenas o betão com as seguintes propriedades:

Módulo de Young (E) = 20.106 kPa Coeficiente de Poisson (υ) = 0,15 Densidade = 2,5

Coeficiente de dilatação térmica (α) = 10-5 ºC-1

No ficheiro malha_gl.dat esta informação aparece com a seguinte configuração:

Quadro 4 – Excerto do ficheiro malha_gl.dat ### Sets of material properties

### (Young modulus, Poisson ratio, mass per unit volume and thermic coeff.) # imats young poiss dense alpha

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3.4-Definição das espessuras da malha

Para definir as espessuras em cada um dos nós da estrutura, e uma vez que a malha é composta por 6054 nós, teve que se recorrer à programação para definir e atribuir automaticamente o valor das espessuras de cada nó.

Como ponto de partida utilizou-se um programa em linguagem FORTRAN já existente (Quadros 5 e 6), que cria um ficheiro .dat com dados para um programa de elementos finitos a partir de um ficheiro .s3d. Desse programa aproveitou-se apenas a sequência inicial cujo algoritmo verifica a numeração dos elementos, dos nós e dos nós especiais contemplados num ficheiro .s3d já existente (critérios: a exposição dessa numeração – elementos, nós e nós especiais – no ficheiro tem de ser sequencial, isto é de 1 até n, com incrementos de 1; o número representativo do número de nós de um elemento tem de coincidir com o número efectivo de nós que esse elemento apresenta; todos os elementos têm de conter igual nº de nós). O algoritmo que se acrescentou (Quadros 7 e 8) consistiu, genericamente, em escrever num ficheiro novo, com extensão .dat, as espessuras dos oito nós que constituem cada elemento. O formato desse ficheiro permitiu, depois, copiar integralmente a informação gerada para um ficheiro de dados

_gl.dat, próprio para ser corrido pelo FEMIX.

Quadro 5 – Programa em linguagem FORTRAN

DIMENSION COORD(6100,3) DIMENSION LNODS(3100,20) DIMENSION NNODD(3100) DIMENSION NOFIX(3100) real, parameter :: pi=3.14159265

CHARACTER FILE1*80 , FILE2*80 , PROBL*80 , TITL1*80 , TITL2*80 WRITE(*,*) ' ************************************************' WRITE(*,*) ' * CRIAR UM FICHEIRO .DAT COM DADOS PARA UM *' WRITE(*,*) ' * PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS A PARTIR DE UM *' WRITE(*,*) ' * FICHEIRO .S3D *'

WRITE(*,*) ' ************************************************' WRITE(*,*)

WRITE(*,*) ' NOME BASE DO PROBLEMA ? ' READ(*,'(A)') PROBL LENGP=LENGH(PROBL) FILE1=PROBL(1:LENGP)//'.S3D' FILE2=PROBL(1:LENGP)//'.DAT' OPEN(50,FILE=FILE1,STATUS='OLD') READ(50,'(A)') TITL1 READ(50,'(A)') TITL2 READ(50,*) NELEM,NPOIN,NVFIX DO 120 IELEM=1,NELEM READ(50,*) JELEM,NNODD(IELEM), . (LNODS(IELEM,INODE),INODE=1,NNODD(IELEM)) IF (JELEM .NE. IELEM) THEN

WRITE(*,*) ' NUMERACAO DOS ELEMENTOS ERRADA NO' WRITE(*,*) ' ELEMENTO N.',IELEM

STOP ENDIF

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C (…)

IF ( LNODS(IELEM,1) .EQ. LNODS(IELEM,NNODD(IELEM)) ) . NNODD(IELEM)=NNODD(IELEM)-1

IF (IELEM .EQ. 1) THEN NNODE=NNODD(1) ELSE

IF (NNODD(IELEM) .NE. NNODE) THEN

WRITE(*,*) ' O NNODE TEM DE SER CONSTANTE' STOP ENDIF ENDIF 120 CONTINUE DO 150 IPOIN=1,NPOIN READ(50,*) JPOIN,(COORD(IPOIN,IDIME),IDIME=1,3) IF (JPOIN .NE. IPOIN) THEN

WRITE(*,*) ' NUMERACAO DOS NOS ERRADA NO' WRITE(*,*) ' NO` N.',IPOIN

STOP ENDIF 150 CONTINUE

DO 200 IVFIX=1,NVFIX

READ(50,*) JVFIX,NOFIX(IVFIX) IF (JVFIX .NE. IVFIX) THEN

WRITE(*,*) ' NUMERACAO ERRADA NO APOIO N. ',IVFIX STOP

ENDIF 200 CONTINUE CLOSE(50)

C acabou a leitura do ficheiro .s3d

C começou a escrita do ficheiro .dat

OPEN(60,FILE=FILE2,STATUS='REPLACE') write(60,'(A)') '### Sets of element nodal properties'

do 600 ielem=1,nelem

write(60,'(A)') '#ispen' write(60,'(I5)') ielem

write(60,'(A)') '#inode thickness'

do 650 inode=1,nnode ipoin=lnods(ielem,inode) x = coord(ipoin,1) y = coord(ipoin,2) if ( x .eq. 0) then x=0.00000001 end if write(*,*) ipoin, x, y r_n1r=(SQRT(x**2+y**2)-7.25)*(SQRT(x**2+y**2)-14)/91.125 r_n2r=-(SQRT(x**2+y**2)-0.5)*(SQRT(x**2+y**2)-14)/45.5625 r_n3r=(SQRT(x**2+y**2)-0.5)*(SQRT(x**2+y**2)-7.25)/91.125 C (…)

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Para obtenção das espessuras de cada nó, desenvolveram-se funções que dependem das coordenadas x e y de cada ponto, uma vez que estas são as variáveis que caracterizam cada ponto. Para chegar a estas funções, desenvolveram-se, inicialmente, as funções em função das coordenadas R e θ, convertendo-se, depois, estas variáveis em x e y, utilizando as expressões       = − x y tg 1

θ e R= x2 +y2 . Adoptou-se este procedimento uma vez que a projecção das coordenadas R e θ dos pontos num eixo cartesiano forma um rectângulo, tal como se pode ver nas figuras seguintes.

C (…)

if (y .ge. -0.26795*x .and. x .ge. 0) then r_n1a=(ATAN(y/x)*(180/pi)-45)*(ATAN(y/x)* . (180/pi)-105)/7200 r_n8a=(ATAN(y/x)*(180/pi)+15)*(ATAN(y/x)* . (180/pi)-105)/(-3600) r_n7a=(ATAN(y/x)*(180/pi)+15)*(ATAN(y/x)* . (180/pi)-45)/7200 esp=r_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+r_n3r* . r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a* . 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+ . r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(I5,5x,F5.3)') inode,esp else

if (y .ge. -3.73205*x .and. x .lt. 0) then r_n1a=(ATAN(y/x)*(180/pi)+135)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)+75)/7200 r_n8a=(ATAN(y/x)*(180/pi)+195)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)+75)/(-3600) r_n7a=(ATAN(y/x)*(180/PI)+195)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)+135)/7200 esp=r_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+ . r_n3r*r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a* . 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+ . r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(I5,5x,F5.3)') inode,esp else

if (y .ge. x .and. x .lt. -3.73205*x) then

r_n1a=(ATAN(y/x)*(180/PI)+15)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)-45)/7200 r_n8a=(ATAN(y/x)*(180/PI)+75)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)-45)/(-3600) r_n7a=(ATAN(y/x)*(180/PI)+15)*(ATAN(y/x)* . (180/PI)+75)/7200 esp=r_n1r*r_n1a*0.1+r_n2r*r_n1a*0.15+r_n3r*r_n1a*0.2+ . r_n3r*r_n8a*0.1+r_n3r*r_n7a* . 0.2+r_n2r*r_n7a*0.15+r_n1r*r_n7a*0.1+r_n1r*r_n8a*0.1+ . r_n2r*r_n8a*0.1 write(60,'(I5,5x,F5.3)') inode,esp

(21)

gomo 1

6 9 2 −15 1 45 8 105 θ 7 R 3 4 5 105 1 165 8 2 3 9 ₄ R 225 θ 7

gomo 2

6 5

(22)

Figura 10 – Projecção do Parabolóide num eixo

cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo 1)

Figura 11 – Projecção do Parabolóide num eixo cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo2)

225 1 2 8 285 9 3 R 4

gomo 3

345 θ 7 6 5

Figura 12 – Projecção do Parabolóide num eixo cartesiano, de coordenadas R e θ (gomo3)

Deste modo torna-se mais fácil a utilização de funções interpoladoras, com o objectivo de obter as espessuras de nós intermédios, a partir de espessuras previamente atribuídas a determinados nós, criteriosamente seleccionados. Esta atribuição das espessuras teve como critérios espessuras mínimas e máximas atribuídas a nós “estratégicos”, em função da concentração de esforços. Assim, e uma vez que os esforços aumentam em direcção aos apoios devido ao peso próprio – principal acção actuante –, achou-se apropriado que a espessura da cobertura aumentasse da “crista” para os apoios e do centro (interior) para os apoios (periferia). Desta forma, atribuiu-se espessura 0.10 m aos nós da crista e aos do centro da cobertura e 0.20 m aos nós extremos dos apoios. Convertendo este raciocínio para o esquema das coordenadas R e θ, atrás representado(s), os nós 1,7,8,9 e 4 são os que têm espessura 0.10 m e os nós 5 e 3 espessura 0.20 m, tendo-se ainda atribuído espessura 0.15 m aos nós 2 e 6.

(23)

22 1º gomo (Figura 10) 14 5 . 0 ≤R≤ e −15≤θ ≤105

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 5 . 0 25 . 7 5 . 0 14 25 . 7 7 , 8 , 1 − × − − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 25 . 7 5 . 0 25 . 7 14 5 . 0 9 , 6 , 2 ₋ _× ₋ − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

25 . 7 14 5 . 0 14 25 . 7 5 . 0 5 , 4 , 3 ₋ _× ₋ − × − = R R R N

(

) (

)

(

15 45

) (

15 105

)

105 45 ) ( 1,2,3 − − × − − − × − = θ θ θ N

( )

₍

(

( )

_{( )}

) (

_{) (}

)

₎

105 45 15 45 105 15 4 , 9 , 8 ₋ ₋ _× ₋ − × − − = θ θ θ N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

105 45 ) 15 ( 45 ) 15 ( 45 5 , 6 , 7 ₋ ₋ _× ₋ − − × − = θ θ θ N 2º gomo (Figura 11) 14 5 . 0 ≤R≤ e 105≤θ ≤225

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 5 . 0 25 . 7 5 . 0 14 25 . 7 7 , 8 , 1 − × − − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 25 . 7 5 . 0 25 . 7 14 5 . 0 9 , 6 , 2 − × − − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

25 . 7 14 5 . 0 14 25 . 7 5 . 0 5 , 4 , 3 ₋ _× ₋ − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

225 105 165 105 225 165 3 , 2 , 1 − × − − × − = θ θ θ N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

225 165 105 165 225 105 4 , 9 , 8 − × − − × − = θ θ θ N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

105 225 165 225 105 165 5 , 6 , 7 ₋ _× ₋ − × − = θ θ θ N

(24)

3º gomo (Figura 12) 14 5 . 0 ≤ R≤ e 225≤θ ≤345

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 5 . 0 25 . 7 5 . 0 14 25 . 7 7 , 8 , 1 − × − − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

14 25 . 7 5 . 0 25 . 7 14 5 . 0 9 , 6 , 2 ₋ _× ₋ − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

25 . 7 14 5 . 0 14 25 . 7 5 . 0 5 , 4 , 3 − × − − × − = R R R N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

345 225 285 225 345 285 3 , 2 , 1 − × − − × − = θ θ θ N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

345 285 225 285 345 225 4 , 9 , 8 − × − − × − = θ θ θ N

( )

₍

(

) (

_{) (}

)

₎

225 345 285 345 225 285 5 , 6 , 7 ₋ _× ₋ − × − = θ θ θ N

(25)

A partir destas fórmulas, e através das expressões 2 2 y x R= + e       = − x y tg 1 θ

chegou-se, então, às seguintes funções interpoladoras em função de x e y:

( )

(

₍

₎

)(

)

) 14 5 . 0 .( 25 , 7 5 , 0 14 . 25 , 7 , 2 2 2 2 7 , 8 , 1 ₋ ₋ − + − + = x y x y y x N

( )

(

₍

₎

)(

)

) 14 25 , 7 .( 5 , 0 25 , 7 14 . 5 , 0 , 2 2 2 2 9 , 6 , 2 − − − + − + = x y x y y x N

( )

(

₍

₎

)(

)

) 25 . 7 14 .( 5 , 0 14 25 . 7 . 5 , 0 , 2 2 2 2 4 , 5 , 3 ₋ ₋ − + − + = x y x y y x N Zona A 0 . 268 , 0 ∧ ≥ − ≥ x x y

(

15 45

)(

. 15 105

)

105 . 45 ) , ( 1 1 3 , 2 , 1 − − − −       −             −       = − − x y tg x y tg y x N

(

45 15

)(

.45 105

)

105 . 15 ) , ( 1 1 9 , 8 , 4 ₊ ₋       −             +       = − − x y tg x y tg y x N

(

105 15

)(

.105 45

)

45 . 15 ) , ( 1 1 7 , 6 , 5 − +       ₋             ₊       = − − x y tg x y tg y x N Zona B 0 . 732 , 3 ∧ < − ≥ x x y

(26)

(

15 45

)(

. 15 105

)

105 180 . 45 180 ) , ( 1 1 3 , 2 , 1 ₋ ₋ ₋ ₋       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(

45 15

)(

.45 105

)

105 180 . 15 180 ) , ( 1 1 9 , 8 , 4 − +       ₊ ₋             ₊ ₊       = − − x y tg x y tg y x N

(

105 15

)(

.105 45

)

45 180 . 15 180 ) , ( 1 1 7 , 6 , 5 − +       ₊ ₋             ₊ ₊       = − − x y tg x y tg y x N Zona C x y x y≥ ∧ <−3,732.

(

105 165

)(

.105 225

)

225 180 . 165 180 ) , ( 1 1 3 , 2 , 1 ₋ ₋       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(

165 105

)(

.165 225

)

225 180 . 105 180 ) , ( 1 1 9 , 8 , 4 − −       ₊ ₋             ₊ ₋       = − − x y tg x y tg y x N

(

225 105

)(

.225 165

)

105 180 . 165 180 ) , ( 1 1 7 , 6 , 5 − −       ₊ ₋             ₊ ₋       = − − x y tg x y tg y x N Zona D 0 ≤ ∧ <x x y

(27)

(

225 285

)(

.225 345

)

345 180 . 285 180 ) , ( 1 1 3 , 2 , 1 − −       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(

285 225

)(

.285 345

)

345 180 . 225 180 ) , ( 1 1 9 , 8 , 4 − −       ₊ ₋             ₊ ₋       = − − x y tg x y tg y x N

(

345 225

)(

.345 285

)

285 180 . 225 180 ) , ( 1 1 7 , 6 , 5 − −       ₊ ₋             ₊ ₋       = − − x y tg x y tg y x N Zona E 0 . 268 , 0 ∧ > − < x x y

(

225 285

)(

.225 345

)

345 360 . 285 360 ) , ( 1 1 3 , 2 , 1 − −       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(

285 225

)(

.285 345

)

345 360 . 225 360 ) , ( 1 1 9 , 8 , 4 − −       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(

345 225

)(

.345 285

)

285 360 . 225 360 ) , ( 1 1 7 , 6 , 5 − −       − +             − +       = − − x y tg x y tg y x N

(28)

gomo 3 C D gomo 1 E B A x y

Figura 13 – Esquema das zonas relativas às funções de forma

Convém referir que as expressões N(x,y) obtidas directamente das funções N(θ) tiveram que ser alteradas, uma vez que a função 

     = − x y tg 1

θ reduz o ângulo θ dos quadrantes II e III a um ângulo do quadrante I negativo e positivo, respectivamente (ver trigonometria). Desta forma, a expressão do gomo 1 dividiu-se nas expressões da zona A e B. Para a zona A não foi necessário proceder a alterações, apesar de abranger o quadrante IV e para a zona B foi necessário somar 180º. À expressão do gomo 2 adicionou-se 180º, dando origem à expressão da zona C. A expressão do gomo 3 deu origem à da zona B, somando 180º, e à da zona E, somando 360º.

É de referir, também, que as expressões N(x,y) obtidas das funções N(R) são iguais para todos os gomos, uma vez que o raio varia de igual forma e a expressão

2 2

y x

R= + não traz qualquer tipo de problemas.

Tendo as funções de forma para cada um dos sectores (gomos) da malha e as espessuras máxima e mínima atribuídas a nós “estratégicos”, a espessura dos restantes nós pode ser determinada através da seguinte expressão:

1 , 0 ). , ( ). , ( 1 , 0 ). , ( ). , ( 1 , 0 ). , ( ). , ( 15 , 0 ). , ( ). , ( 2 , 0 ). , ( ). , ( 1 , 0 ). , ( ). , ( 20 , 0 ). , ( ). , ( 15 , 0 ). , ( ). , ( 1 , 0 ). , ( ). , ( 9 , 8 , 4 9 , 6 , 2 9 , 8 , 4 8 , 7 , 1 7 , 6 , 5 7 , 8 , 1 7 , 6 , 5 9 , 6 , 2 7 , 6 , 5 5 , 4 , 3 9 , 8 , 4 4 , 5 , 3 3 , 2 , 1 5 , 4 , 3 3 , 2 , 1 9 , 6 , 2 3 , 2 , 1 8 , 7 , 1 y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N y x N e + + + + + + + + =

(29)

Recuando, um pouco no raciocínio, colocaram-se estas expressões no programa em

FORTRAN, que por sua vez criou o ficheiro em formato .dat, com as espessuras de cada

nó de cada elemento (cada elemento está associado a um bloco de espessuras). Copiaram-se, então, os dados registados neste ficheiro para um ficheiro _gl.dat, por forma a ser lido pelo FEMIX.

Para se poder visualizar o esquema das espessuras no Drawmesh, teve que se criar um ficheiro .pva. Para o efeito, utilizou-se o programa das espessuras, alterando-se, apenas a disposição das espessuras e dos nós, no ficheiro .dat. Com este ficheiro já criado, bastou alterar a sua extensão para .pva. O resultado pode ser visto na figura seguinte. Pode-se confirmar que a espessura vai aumentando de 0,10m para 0,20m á medida que os nós se aproximam do apoio.

(30)

3.5 Definição das acções

Finalmente, definiram-se as acções.

De maneira a facilitar as combinações de cargas com os respectivos coeficientes parciais de segurança, optou-se por colocar apenas uma acção por cada caso de carga. Sendo assim, as acções consideradas foram as seguintes: peso próprio da estrutura, dois casos de sobrecargas, acção uniforme da temperatura, e a acção sísmica segundo duas direcções diferentes de actuação.

3.5.1 Peso Próprio

Para o cálculo do peso próprio da estrutura considerou-se uma aceleração da gravidade de 9.8 m/s2. Esta aceleração deve ser introduzida no ficheiro malha_gl.dat segundo a direcção do eixo cartesiano x3 e com sentido negativo. Uma vez que anteriormente já se tinha atribuído a densidade ao betão (densidade = 2.5), o programa determina o seu peso volúmico, que vai utilizar na determinação do peso próprio da estrutura.

3 / 5 , 24 5 . 2 8 , 9 kN m c = × = γ

No ficheiro malha_gl.dat, a introdução da acção do peso próprio apresenta a seguinte configuração:

Quadro 9 – Excerto do ficheiro malha_gl.dat ### Title of the first load case Peso próprio (1)

### Load parameters

0 # nplod (n. of point loads in nodal points) 1 # ngrav (gravity load flag: 1-yes;0-no) 0 # nedge (n. of edge loads) (F.E.M. only) 0 # nface (n. of face loads) (F.E.M. only)

0 # nteme (n. of elements with temperature variation) (F.E.M. only) 0 # nudis (n. of uniformly distributed loads) (3d frames and trusses only) 0 # ntral (n. of trapezoidal distributed loads (3d frames and trusses only) 0 # nepoi (n. of bar point loads) (3d frames and trusses only)

0 # ntemb (n. of bars with temper. variation) (3d frames and trusses only) 0 # nprva (n. of prescribed and non zero degrees of freedom)

### Gravity load (gravity acceleration) ### (global coordinate system)

# gravi-tx1 gravi-tx2 gravi-tx3 gravi-rx1 gravi-rx2 gravi-rx3 0 0 -9.8 0.0 0.0 0.0

(31)

3.5.2-Sobrecarga

De acordo com 1º ponto do artº.34º do RSA a estrutura em questão insere-se na definição de cobertura ordinária. Sendo assim, e de acordo com este mesmo artigo o valor a considerar para a sobrecarga característica é 0,3 kN/m2.

No ficheiro malha_gl.dat, o valor das acções em cada nó têm que ser introduzidas de acordo com o referencial local do respectivo nó. Uma vez que esse referencial local varia de nó para nó, tornar-se-ia muito complicado determinar para cada um deles as acções tangentes à sua superfície, daí que se tenha optado por determinar apenas as acções devidas à sobrecarga perpendiculares à superfície no nó.

Para isso, teve que se determinar o versor perpendicular á superfície em cada nó e, a partir dai, determinar o ângulo desse versor com a vertical que vai afectar o valor da sobrecarga (direcção vertical). A seguir, demonstra-se como se obteve a expressão que permite determinar a acção normal à superfície em cada nó, devido à sobrecarga, em função do ângulo entre o versor normal à superfície nó e o versor vertical.

No caso em estudo, a equação da superfície é a seguinte:

y x Z =0,15. . ou, 2 1 3 0,15.x .x x = logo,

(

x1,x2,x3

)

0,15.x1.x2 x3 h = −

(

x₁,x₂,x₃

)

=0⇔0,15.x₁.x₂ −x₃ =0⇔ −0,15.x₁.x₂ +x₃ =0 h

O vector normal à superfície h(x₁,x₂,x₃)=0⇔−0,15.x₁.x₂ +x₃ =0 é ∇h:

      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ 3 2 1 3 2 1, , ) , , ( x h x h x h x x x h Neste caso:

(

0,15x₂; 0,15x₁;1

)

h= − − ∇ O versor da normal é: h h n ∇ ∇ = ˆ , ou seja,

(

0,15 ; 0,15 ;1

)

1 15 , 0 15 , 0 1 ˆ ₂ ₁ 2 1 2 2 2 2 x x x x n × − − + + =

(32)

x1 x2 ^ v x3 γ ^ n

Figura 15 – Esquema do versor perpendicular à superfície e respectivo ângulo com a vertical

Sabendo que o versor vertical é dado por

(

0,0,1

)

ˆ =

v ,

e o versor normal à superfície é

) , , ( ˆ n₁ n₂ n₃ n= , então, o produto interno destes dois vectores é

3 ˆ ˆv n

n =

sendo o produto interno dado por

) cos( . ˆ . ˆ ˆ ˆv n v γ n = então, ) cos( ˆ ˆv= γ n logo,

( )

γ cos 3 = n , e

( )

1 . 15 , 0 . 15 , 0 1 cos 1 . 15 , 0 . 15 , 0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 + + = ⇒ + + = x x x x n γ

Portanto, o valor da acção da sobrecarga segundo a normal à superfície, em qualquer nó, é dado pela seguinte expressão:

(33)

( )

1 . 15 , 0 . 15 , 0 cos . 2 1 2 2 2 2 + + = ⇒ = x x p p p p_normal γ _normal , sendo,

p - o valor característico da sobrecarga de direcção vertical, que neste caso é 0.3 kN/m2; x1,x2- as coordenadas segundo x e y, respectivamente, do nó;

Obtida esta expressão, a melhor maneira de atribuir o valor da sobrecarga a todos os nós da estrutura foi fazer um programa em Fortran, uma vez que a estrutura é constituída por 6054 nós.

Esse programa lia os valores das coordenadas x e y de cada um dos nós da estrutura através do ficheiro de dados malha.s3d, e procedia ao cálculo da sobrecarga do versor normal à superfície no nó, através da equação acima transcrita. Tal como para o programa das espessuras, acrescentou-se um algoritmo a um programa já existente. Uma vez já transcrito algoritmo desse programa inicial (Quadros 5 e 6), apenas se transcreve a parte acrescentada:

Quadro 10 – Excerto do programa em linguagem FORTRAN

C (…)

C Terminou a leitura do ficheiro .s3d C Vai comecar a escrita do ficheiro .dat

OPEN(60,FILE=FILE2,STATUS='REPLACE')

write(60,'(A)') '### Face load (loaded element, loaded points and .load value)'

write(60,'(A)') '### (local coordinate system)'

write(60,'(A)') '#iface loelf' write(60,'(I4,5x,I4)') ielem,ielem

write(60,'(A)') '#lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored .' do 650 inode=1,nnode ipoin=lnods(ielem,inode) x = coord(ipoin,1) y = coord(ipoin,2) fn=1.0/sqrt(0.15**2*x**2+0.15**2*y**2+1) zero=0 write(60,'(I5,2(4x,F3.1),4x,F4.3,3(3x,F3.1))') ipoin,zero,zero,fn, * zero,zero,zero 650 continue 600 continue CLOSE(60) END

(34)

Os valores daí resultantes eram escritos pelo programa num novo ficheiro de Notepad. Restava finalmente copiar esses valores para o seu lugar respectivo no ficheiro

malha_gl.dat.

Falta ainda referir que foram considerados dois casos de carga para a sobrecarga. O primeiro caso, em que a sobrecarga actua em toda a estrutura (Sobrecarga Total) (Figura 16), e o segundo caso, em que a sobrecarga actua apenas em um terço da estrutura (Sobrecarga Parcial) (Figura 17).

(35)

Figura 17 – Mapa da componente normal à superfície da sobrecarga (acção num só gomo) No ficheiro malha_gl.dat, os valores da sobrecarga (neste caso, Sobrecarga Total) são introduzidos da seguinte forma:

Quadro 11 – Excerto do ficheiro malha_gl.dat ###Title of the second load case Sobrecarga Total (2)

### Load parameters

(36)

3.5.3 Temperatura

Uma vez que esta estrutura é constituída por elementos de casca espacial (ntype=6), a variação de temperatura é considerada uniforme na espessura do elemento, não sendo possível modelar variações de temperatura diferencial entre as suas faces superior e inferior.

Na determinação da variação uniforme de temperatura característica, foi considerado o valor preconizado no1º ponto do artº.18º do RSA para estruturas de betão armado e pré-esforçado não protegidas constituídos por elementos de pequena espessura, cujo valor é 15ºC. Este valor foi usado para todos os nós da estrutura.

(…continuação) ### Face load (loaded element, loaded points and load value)

### (local coordinate system) #iface loelf 1 1 #lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored 19 .0 .0 .443 .0 .0 .0 10 .0 .0 .436 .0 .0 .0 1 .0 .0 .430 .0 .0 .0 2 .0 .0 .430 .0 .0 .0 4 .0 .0 .430 .0 .0 .0 11 .0 .0 .436 .0 .0 .0 22 .0 .0 .443 .0 .0 .0 20 .0 .0 .443 .0 .0 .0 #iface loelf 2 2 #lopof fs1 fs2 fn ms1 ms2 ignored 23 .0 .0 .443 .0 . 0 .0 12 .0 .0 .436 .0 .0 .0 5 . 0 .0 .430 .0 .0 .0 3 .0 .0 .430 .0 .0 .0 1 .0 .0 .430 .0 .0 .0 10 .0 .0 .436 .0 .0 .0 19 .0 .0 .443 .0 .0 .0 21 .0 .0 .443 .0 .0 .0 ………... ………...

(37)

Quadro 13 – Excerto do programa em linguagem FORTRAN

Este programa, tal como os anteriores, gera um ficheiro de dados em Notepad cujos valores são posteriormente copiados para o ficheiro “malha_gl.dat”.

No ficheiro “malha_gl.dat” a acção da temperatura aparece com a seguinte configuração:

C (…)

C Terminou a leitura do ficheiro .s3d C Vai comecar a escrita do ficheiro .dat

OPEN(60,FILE=FILE2,STATUS='REPLACE')

write(60,'(A)') '### Thermal load (loaded element, loaded nodes,' write(60,'(A)') '### uniform and differential temperature variatio .n)'

write(60,'(A)') '# iteme loelt' write(60,'(I5,4x,I5)') ielem,ielem

write(60,'(A)') '# inode teuni tedif'

do 650 inode=1,nnode ipoin=lnods(ielem,inode) x = coord(ipoin,1) y = coord(ipoin,2) iesp=15 izero=0 write(60,'(I5,13x,I2,12x,I1)') inode,iesp,izero 650 continue 600 continue CLOSE(60) END

(38)

Quadro 13 – Excerto ficheiro malha_gl.dat ### Title of the fourth load case Temperatura (4)

### Load parameters

### Thermal load (loaded element, loaded nodes, ### uniform and differential temperature variation) # iteme loelt

1 1

# inode teuni tedif 1 15 0 2 15 0 3 15 0 4 15 0 5 15 0 6 15 0 7 15 0 8 15 0 # iteme loelt 2 2

# inode teuni tedif 1 15 0 2 15 0 3 15 0 4 15 0 5 15 0 6 15 0 7 15 0 8 15 0 ………. ……….

(39)

3.5.4 Sismo

Finalmente, introduziu-se no ficheiro “malha_gl.dat” os valores das acções correspondentes a um possível sismo. Para isso, consultou-se o RSA e, na falta de informações geotécnicas do local, optou-se por considerar uma aceleração sísmica de 2 m/s2, que pareceu ser suficiente uma vez que o valor máximo preconizado neste regulamento é 5m/s2.

Considerou-se dois casos de acção sísmica, estando a direcção de actuação para cada um deles representada na figura 18

Para o Sismo 1 a aceleração sísmica decompõe-se segundo as seguintes componentes dos eixos x1 e x2: 2 2 2 1 / 52 . 0 / 93 . 1 s m Sx s m Sx = − =

Para o Sismo 2 a aceleração sísmica decompõe-se da seguinte forma:

2 2 2 1 / 41 . 1 / 41 . 1 s m Sx s m Sx − = − =

A introdução dos valores desta acção no ficheiro malha_gl.dat é feita da mesma forma que o peso próprio, mas em vez de se indicar o valor da aceleração da gravidade segundo a direcção vertical do eixo cartesiano x3, este valor aparece igual a zero; e define-se os valores das acelerações sísmicas segundo os eixos cartesianos x1 e x2.

gomo 3 gomo 2 gomo 1 x y S1 S2

(40)

4-Obtenção dos esforços e deslocamentos

Após o tratamento de dados do ficheiro malha_gl.dat estar completo, este é lido pelo programa FEMIX, que é composto pelos módulos prefemix, femix e posfemix. O primeiro lê o ficheiro _gl.dat (formatado) e escreve os dados num ficheiro _gl.bin (não formatado). O segundo lê o ficheiro não formatado com os dados e calcula os deslocamentos e reacções, para cada caso de carga. Estes valores ficam guardados em dois ficheiros não formatados, um com os deslocamentos (extensão _di.bin) e outro com as reacções (extensão _re.bin). O terceiro destina-se ao pós processamento dos dados e resultados, como por exemplo a obtenção de ficheiros com resultados sob a forma numérica e ficheiros específicos para tratamento gráfico. É de referir que, no processamento deste último módulo, utilizou-se um ficheiro adicional malha_cm.dat por forma a entrar com as várias combinações consideradas, que se transcrevem de seguida:

Comb.1 – 1.35 PP + 1.5 SobTot + 1.5 Temp Comb.2 – 1.00 PP + 1.5 SobPar + 1.5 Temp Comb. 3 – 1.00 PP + 0.4 SobTot + 1.5 Sis1 Comb.4 – 1.00 PP + 0.4 SobPar + 1.5 Sis2 Sendo,

PP – Peso próprio

SobTot – Sobrecarga a actuar em toda e estrutura SobPar – Sobrecarga a actuar num só gomo da estrutura Temp – Acção da temperatura

Sis1 – Acção do Sismo, segundo a direcção S1 Sis2 – Acção do Sismo, segundo a direcção S2

De seguida apresenta-se o conteúdo do ficheiro malha _cm.dat:

### Main title of the list of combinations Main title of the combinations

### Combination parameters

4 # ncomb (total number of combinations)

#========================================================== (continua…)

(41)

Quadro 15 – Excerto ficheiro malha_gl.dat

(…continuação) ### Title of the combination

Peso proprio+Sobr.Total+Temperatura

### Combination number and number of load cases in the combination # icomb nlcas

1 3

### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef

1 1.35 2 1.5 4 1.5

#========================================================== ### Title of the combination

Peso Proprio+Sobr.Parcial+Temperatura

2 3

1 1.0 3 1.5 4 1.5

#========================================================== ### Title of the combination

Peso Proprio+Sobr.Total+Sismo1

3 3

4

### Load case numbers and load case coefficients # lcase vcoef 1 1.0 2 0.4 5 1.5 #=========================================================== (continua…)

(42)

Das várias hipóteses possíveis dadas pelo posfemix, seleccionaram-se os seguintes ficheiros: ficheiro com os resultados (deslocamentos, reacções e tensões/esforços) sob a forma numérica (extensão _rs.lpt); ficheiros para tratamento gráfico que possibilitam a visualização da deformada (extensão _dm.s3d) das várias combinações (figura 19); ficheiros para tratamento gráfico que permitem visualizar os deslocamentos generalizados (extensão _di.pva); ficheiros para tratamento gráfico que possibilitam visualizar os esforços (extensão _st.pva). Apresentam-se em seguida alguns resultados representados graficamente por intermédio da coloração de campos escalares.

(…continuação) ### Title of the combination

Peso Proprio+Sobr.Parcial+Sismo2

4 3

1 1.0 3 0.4 6 1.5 END_OF_FILE

(43)

Figura 20 – Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb1

(44)

5-Obtenção da armadura

Para a obtenção da armadura foi utilizado o programa Steel.

Este programa utiliza os resultados dos esforços que foram calculados com o programa Femix e que se encontram gravados no ficheiro malha_st.bin.

Para que o programa Steel possa ser executado, também tem que se criar um ficheiro de dados em Notepad. Este ficheiro (malha_sr.dat) encontra-se transcrito a seguir:

Quadro 17 – Excerto ficheiro malha_gl.dat ### Steel reinforcement data file

### Compatible with Femix Version 3.1 ### Shell elements (ntype=6)

### Main title of the problem Malha

### Units in file jobname_gl.dat: ### - force (N, kN, MN, GN) ### - metric (mm, cm, m) # forcu metru

kN m

### Output units of reinforcement

# outpu (mm2/mm, mm2/m, cm2/cm cm2/m, m2/m) cm2/m

### Reinforcement parameters

2 # nsmap (n. of sets of reinforced concrete material properties) 2 # nsrep (n. of sets of reinforcement properties)

1 # nelel (n. of element lists)

### Reinforced concrete (RC) properties index, concrete compressive strength, ### steel yield stress and units (Pa, kPa, MPa, GPa)

# ismap cofcd sfsyd units 1 20.0 347.8 MPa 2 23.3 347.8 MPa

(45)

Tal como se pode verificar, neste ficheiro encontram-se indicadas as unidades utilizadas pelo ficheiro malha_gl.dat e as unidades das armaduras a serem obtidas através do

Steel.

Também se encontram as várias combinações a fazer entre tipos de armadura e tipos de betão, combinações essas que depois serão atribuídas aos diferentes elementos da estrutura. Neste caso, apenas se considerou uma combinação aço/betão para todos os elementos. Considerou-se aço A400 e betão C30/37.

É também neste ficheiro que são indicadas as espessuras de recobrimento para a armadura superior e inferior nas duas direcções ortogonais. Tal como se pode ver no ficheiro, considerou-se em ambas as faces e para ambas as direcções uma espessura de recobrimento de 3cm. É de salientar que esta estrutura está sujeita ao ambiente marítimo, daí que, de acordo com o EC2, o recobrimento mais indicado seria 4cm. No entanto, usando este recobrimento poderia haver alguma dificuldade na disposição da armadura nas zonas onde a espessura de betão é mínima (10cm), e portanto considerou-se 3cm.

Uma vez que se pretendia calcular a armadura através de combinações de acções, e não a partir dos casos de carga, foi necessário utilizar o ficheiro malha_cm.dat, que já tinha sido criado anteriormente para ser usado aquando da execução do programa posfemix. Tendo-se o ficheiro malha_st.bin que foi criado pelo programa posfemix, o ficheiro

malha_sr.dat e o ficheiro malha_cm.dat, o programa Steel pôde ser executado. Com a execução deste programa obtiveram-se ficheiros de dados e ficheiros para tratamento gráfico com os valores das armaduras (superior, inferior, direcção 1, direcção 2). Apresenta-se, de seguida, mapas da envolvente das armaduras.

(…continuação) ### Reinforcement properties index (isrep)

### Grid mesh at top surface:

### distance between 1st reinf. axe and concrete top surf. (trecx1) ### distance between 2nd reinf. axe and concrete top surf. (trecx2) ### Grid mesh at bottom surface:

### distance between 1st reinf. axe and concrete bot. surf. (brecx1) ### distance between 2nd reinf. axe and concrete bot. surf. (brecx2)

### Angle, in degrees, between 1st reinforcement axe and stress X' direction (angra).

# isrep trecx1 trecx2 brecx1 brecx2 angra(degrees) 1 0.03 0.03 0.03 0.03 0.0

2 0.03 0.03 0.03 0.03 0.0

### Element list index, list of element numbers, RC properties index ### and reinforcement properties index.

# ielel lelel ielma ielre 1 /1-1968/ 1 1

(46)

Figura 22 – Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 1

(47)

Figura 24 – Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 1

(48)

6-Conclusão

Analisando estes gráficos, decidiu-se utilizar a mesma quantidade de armadura nas faces superior e inferior, nas duas direcções, uma vez que as quantidades obtidas por metro são muito próximas nos quatro casos, de zona para zona.

Assim, consideraram-se 4 zonas principais onde as quantidades de armadura são idênticas: zona central, zona da crista, zona do encontro dos gomos (vértice) e zona dos apoios, tal como se pode observar no esquema seguinte.

(49)

A zona central, com cerca de 2m de raio, a contar do eixo central, requer cerca de 14.0cm2/m tendo-se atribuído uma armadura de ∅12//0.08 (14.14 cm2/m), nas direcções radial e tangencial.

A zona da crista, limitada por um ângulo de 60º, é a zona menos solicitada da estrutura, requerendo uma armadura de cerca de 5.1 cm2/m, tendo-se atribuído uma armadura de ∅10//0.15 (5.24 cm2/m), nas direcções radial e tangencial.

A zona do vértice, limitada, igualmente por um ângulo de 60º, requer uma armadura de 10.8 cm2/m, tendo-se atribuído uma armadura de ∅12//0.10 (11.30 cm2/m).

A zona do apoio é uma zona crítica, uma vez que apresenta valores pontuais de elevada armadura devido à transição da malha aí existente e à elevada concentração de esforços. Por conseguinte, este caso necessitaria de uma análise mais cuidada, por forma a compreender melhor a origem desses valores e, talvez, alterar o formato do apoio.

(50)

7-Bibliografia

- Álvaro F. M. Azevedo - Método dos Elementos Finitos, 1ª Edição, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2003.

- Álvaro F. M. Azevedo; Joaquim A. O. de Barros – Manual De Utilização Do Programa S3DCAD, versão3.0, 1998.

- Álvaro F. M. Azevedo; Joaquim A. O. de Barros – Manual De Utilização Do Programa Femix, versão3.1, 2000.

- António A. R. Henriques - Programação E Computadores, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 1999.

- Colecção Regulamentos – Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes, Porto Editora, 2000.

- A. Tomás, P. Martí, M. A. Solano – Optimización de Forma De Un Paraboloide Hiperbólico De Hormigón, Comunicação do Congresso Métodos Numéricos En Ingeniería V, Espanha 2002

(51)

(52)

Fig. I – Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb1

(53)

Fig.III – Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb1

(54)

Fig. V – Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb2

(55)

Fig. VII – Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb2

(56)

Fig. IX – Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb3

(57)

Fig. XI – Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb3

(58)

Fig. XIII – Mapa de esforços normais na direcção 1, para Comb4

(59)

Fig. XV – Mapa de momentos em torno da direcção 1, para Comb4

(60)

Fig. XVII – Mapa de deslocamentos, para Comb1

(61)

Fig. XIX – Mapa de deslocamentos, para Comb3

(62)

Fig. XXI – Mapa da envolvente da armadura inferior, na direcção 1

(63)

Fig. XXIII – Mapa da envolvente da armadura superior, na direcção 1