CONTEXTO HISTÓRICO Leia e descubra que eu não vim do além

(1)

ESPECIALIZA

ESPECIALIZAÇÃO EM INSTRUMENTALIZAÇÃO EM INSTRUMENTALIZAÇÇÃO PARA O ENSINO DE MATEMÃO PARA O ENSINO DE MATEMÁÁTICATICA

AN

Á

LISE DE M

É

TODOS

M

Á

TEM

Á

TICOS

CONTEXTO HIST

CONTEXTO HISTÓÓRICORICO

Leia e descubra que eu não Leia e descubra que eu não

(2)

Especializa

Especializaçção em Instrumentalizaão em Instrumentalizaçção para o ão para o Ensino de Matem

Ensino de Matemááticatica Prof.

Prof. MscMsc. Armando Paulo da Silva. Armando Paulo da Silva

2 2

A cria

ç

_ç

ão da teoria dos

_{ão da teoria dos}

conjuntos

As noAs noçções que deram origem ões que deram origem àà Teoria Teoria

dos Conjuntos estão diretamente ligadas dos Conjuntos estão diretamente ligadas

aos estudos matem

aos estudos matemááticos ingleses ticos ingleses Augustus De Morgan (1806

Augustus De Morgan (1806--1871) e 1871) e George

George BooleBoole (1815(1815--1864), considerados 1864), considerados fundadores da l

(3)

A cria

ç

_ç

ão da teoria dos

_{ão da teoria dos}

conjuntos

BooleBoole publicou em 1854 uma obra onde publicou em 1854 uma obra onde

eram apresentados os fundamentos de eram apresentados os fundamentos de

uma

uma áálgebra especlgebra especíífica para o estudo da fica para o estudo da L

Lóógica. Em seus trabalhos, ele utilizou gica. Em seus trabalhos, ele utilizou freq

freqüüentemente relaentemente relaçções entre ões entre “

“conjuntosconjuntos”” de objetos. Entretanto, não de objetos. Entretanto, não chegou a desenvolver o conceito de chegou a desenvolver o conceito de

conjunto de modo adequado. conjunto de modo adequado.

(4)

Especializa

4 4

A cria

ç

_ç

ão da teoria dos

_{ão da teoria dos}

conjuntos

Somente em 1890, o matemSomente em 1890, o matemáático russo tico russo GeorgGeorg

Cantor (1845

Cantor (1845--1918), que desenvolvia estudos 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos N

sobre a Teoria dos Núúmeros, publicou na meros, publicou na Alemanha uma s

Alemanha uma séérie de proposirie de proposiçções e definiões e definiçções ões que vieram a se constituir numa linguagem que vieram a se constituir numa linguagem

simb

simbóólica para a Llica para a Lóógica, a Teoria dos Ngica, a Teoria dos Núúmeros e meros e outros ramos de Matem

outros ramos de Matemáática. Em funtica. Em funçção disso, ão disso, Cantor

Cantor éé conhecido como o criador da Teoria dos conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos.

(5)

A cria

ç

_ç

ão da teoria dos

_{ão da teoria dos}

conjuntos

Na formulaNa formulaçção dessa teoria, Cantor ão dessa teoria, Cantor

utilizou tamb

utilizou tambéém formas de representam formas de representaçção ão em diagramas que j

em diagramas que jáá tinham sido tinham sido utilizadas no estudo da L

utilizadas no estudo da Lóógica por gica por Leonhard

Leonhard EulerEuler (1707(1707--1783) e por John 1783) e por John Venn

(6)

Especializa

6 6

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

A noA noçção de não de núúmero tem provavelmente a mero tem provavelmente a

idade do homem e certamente sempre idade do homem e certamente sempre

esteve ligada

esteve ligada àà sua necessidade de sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que registrar e interpretar os fenômenos que

o cercavam. o cercavam.

(7)

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

Os primeiros sOs primeiros síímbolos nummbolos numééricos ricos

conhecidos surgiram com o intuito de conhecidos surgiram com o intuito de

representar a varia

representar a variaçção numão numéérica em rica em conjuntos com poucos elementos.

(8)

Especializa

8 8

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

Com a ampliaCom a ampliaçção e a diversificaão e a diversificaçção de ão de

suas atividades, o homem sentiu a suas atividades, o homem sentiu a

necessidade de criar novos s

necessidade de criar novos síímbolos mbolos num

numééricos e processos de contagem e ricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numera

(9)

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

A maioria dos sistemas de numeraA maioria dos sistemas de numeraçção ão

tinha como base os n

tinha como base os núúmeros 5 ou 10, meros 5 ou 10, numa clara referência ao n

numa clara referência ao núúmero de mero de dedos que temos nas mãos. Esses dedos que temos nas mãos. Esses

sistemas ainda não possu

sistemas ainda não possuííam a notaam a notaçção ão posicional nem o n

(10)

Especializa

10 10

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

Os principais registros da utilizaOs principais registros da utilizaçção da ão da

nota

notaçção posicional ocorreram na ão posicional ocorreram na Babilônia, por volta de 2500 a.C. J

Babilônia, por volta de 2500 a.C. Jáá o o aparecimento de um s

aparecimento de um síímbolo especmbolo especíífico fico para a representa

para a representaçção do zero data do ão do zero data do s

(11)

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

TambTambéém atribuim atribui--se aos hindus o atual se aos hindus o atual

sistema de numera

sistema de numeraçção posicional ão posicional decimal, que foi introduzido e difundido decimal, que foi introduzido e difundido

na Europa pelos

na Europa pelos ÁÁrabes. Por essa rabes. Por essa razão, esse sistema

razão, esse sistema éé costumeiramente costumeiramente chamada de sistema de numera

chamada de sistema de numeraçção ão indo

(12)

Especializa

12 12

O nascimento do n

ú

_ú

mero

_mero

DeveDeve--se a Leonardo de Pisa (1175se a Leonardo de Pisa (1175-

-1240),tamb

1240),tambéém chamado de m chamado de FibonacciFibonacci, a , a difusão do sistema indo

difusão do sistema indo--araráábico na bico na Europa, atrav

Europa, atravéés de sua obra s de sua obra LiberLiber AbacciAbacci, , de 1202.

(13)

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

No inNo iníício do scio do sééculo XVII, quando o culo XVII, quando o

estudo da natureza come

estudo da natureza começçou a se ou a se basear na observa

basear na observaçção dos fenômenos ão dos fenômenos e nas leis que procuravam explic

e nas leis que procuravam explicáá--los, los, surgem as primeiras id

surgem as primeiras idééias sobre o ias sobre o conceito de fun

(14)

Especializa

14 14

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

Galileu Galilei (1564Galileu Galilei (1564--1642) e Isaac 1642) e Isaac

Newton (1642

Newton (1642--1727) utilizaram em 1727) utilizaram em seus trabalhos as no

seus trabalhos as noçções de lei e ões de lei e dependência entre fenômenos, que dependência entre fenômenos, que

estão diretamente ligadas ao conceito estão diretamente ligadas ao conceito

de fun

(15)

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

No sNo sééculo XVIII, o matemculo XVIII, o matemáática sutica suíçíço o

Jean

Jean BernonilliBernonilli (1667(1667--1748) come1748) começçou ou a utilizar o termo fun

a utilizar o termo funçção para designar ão para designar valores obtidos de opera

valores obtidos de operaçções entre ões entre vari

variááveis e constantes. Nesse mesmo veis e constantes. Nesse mesmo s

sééculo, o matemculo, o matemáático tico LeonhardLeonhard EulerEuler fez uso do conceito de fun

(16)

Especializa

16 16

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

Apesar desse conceito ter sito Apesar desse conceito ter sito

amplamente utilizado durante o s

amplamente utilizado durante o sééculo culo XVIII, a defini

XVIII, a definiçção que mais se ão que mais se aproximou da atualmente aceita foi aproximou da atualmente aceita foi

apresentada apenas na primeira apresentada apenas na primeira

metade do s

metade do sééculo XIX, pelo culo XIX, pelo matem

matemáático alemão Peter G. tico alemão Peter G. LejeuneLejeune Dirichlet

(17)

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

Esta definiEsta definiçção apenas se diferencia da ão apenas se diferencia da

atual pelo fato de, na

atual pelo fato de, na éépoca, ainda poca, ainda não ter sido desenvolvida a Teoria dos não ter sido desenvolvida a Teoria dos

Conjuntos. Conjuntos.

(18)

Especializa

18 18

A natureza e o conceito de

fun

ç

_ç

ão

_ão

Modernamente, o conceito de funModernamente, o conceito de funçção ão

baseia

baseia--se na idse na idééia elementar de par ia elementar de par ordenado e no estabelecimento de ordenado e no estabelecimento de

rela

(19)

Á

lgebra

_lgebra

SSééculo III a.C. ou antes: uso de letras culo III a.C. ou antes: uso de letras

em matem

em matemáática para designar tica para designar grandezas ou inc

(20)

Especializa

20 20

Á

lgebra

_lgebra

SSééculo XVII d.C.: A culo XVII d.C.: A áálgebra lgebra –– resolver resolver

equa

equaçções numa incões numa incóógnita ou sistemas gnita ou sistemas de duas equa

de duas equaçções a duas incões a duas incóógnitas, gnitas, com coeficientes num

com coeficientes numééricos, derivados ricos, derivados

de problemas comerciais ou de problemas comerciais ou

geom

(21)

Equa

ç

_ç

ões alg

_{ões alg}

é

_é

bricas

_bricas

ViVièètete (1540(1540--1603) 1603) –– Francês quem deu Francês quem deu

o passo que permitiu pela primeira vez o passo que permitiu pela primeira vez a abordagem generalizada do estudo a abordagem generalizada do estudo

das equa

das equaçções algões algéébricas. bricas. Formado em direito

(22)

Especializa

22 22

Equa

ç

_ç

ões alg

_{ões alg}

é

_é

bricas

_bricas

Membro do conselho do rei Membro do conselho do rei –– Henrique Henrique

III e depois Henrique IV. III e depois Henrique IV.

Para A elevado ao quadrado a evolu

Para A elevado ao quadrado a evoluçção ão foi o seguinte: A

foi o seguinte: A quadratumquadratum, e depois , e depois Aq

(23)

Equa

ç

_ç

ões alg

_{ões alg}

é

_é

bricas

_bricas

AtAtéé ViVièètete as equaas equaçções algões algéébricas sbricas sóó

tinham coeficientes positivos. Pai da tinham coeficientes positivos. Pai da

abordagem anal

abordagem analíítica da trigonometriatica da trigonometria

HuddeHudde (1633(1633--1704) 1704) –– A partir de 1657 A partir de 1657

que as equa

que as equaçções algões algéébricas passaram a bricas passaram a ter coeficientes positivos e negativos.

(24)

Especializa

24 24

Equa

ç

_ç

ões alg

_{ões alg}

é

_é

bricas

_bricas

Descartes (1596Descartes (1596--1650) 1650) –– superou a superou a

nota

notaçção de ão de ViVièètete, passando a , passando a representar a, b, c, ... Indicar representar a, b, c, ... Indicar

parâmetros, x, y, z, ... Vari

parâmetros, x, y, z, ... Variááveis e a veis e a potência en

potência enéésima de x.sima de x.

n x

(25)

Do papiro

à

s fun

ç

ões polinomiais

do 1

º

grau na vari

á

vel x

O surgimento do conceito de funO surgimento do conceito de funçção ão

polinomial do 1

polinomial do 1ºº grau na varigrau na variáável x estvel x estáá diretamente ligado

diretamente ligado àà evoluevoluçção histão históórica rica dos processos de solu

dos processos de soluçção, da ão, da formaliza

formalizaçção e da representaão e da representaçção grão grááfica fica de equa

(26)

Especializa

26 26

Do papiro

à

s fun

ç

ões polinomiais

do 1

º

grau na vari

á

vel x

Os primeiros registros de resoluOs primeiros registros de resoluçções de ões de

equa

equaçções 1ões 1ºº grau são encontradas na grau são encontradas na civiliza

civilizaçção egão egíípcia e constam do papiro pcia e constam do papiro de

de AhmAhmééss, de aproximadamente 2.000 , de aproximadamente 2.000 a.C.

(27)

Equa

ç

ões e de sistemas de 1

º

grau

TambTambéém são dessa m são dessa éépoca processos de poca processos de

resolu

resoluçção de equaão de equaçções e de sistemas de ões e de sistemas de 1

1ºº grau , encontrados na civilizagrau , encontrados na civilizaçção ão babilônica.

(28)

Especializa

28 28

Equa

ç

ões e de sistemas de 1

º

grau

Entre os gregos, que davam ao estudo Entre os gregos, que davam ao estudo

das equa

das equaçções um tratamento ões um tratamento geom

geoméétrico, destacamtrico, destacam--se os trabalhos se os trabalhos de

de DiofantoDiofanto de Alexandria (300 d.C.). de Alexandria (300 d.C.). Ele formulou m

Ele formulou méétodos de solutodos de soluçção de ão de equa

equaçções de 1ões de 1ºº grau, com um ou duas grau, com um ou duas inc

incóógnitas, e de sistemas de equagnitas, e de sistemas de equaçções ões de 1

(29)

Problemas de 1

º

grau

Nos sNos sééculos VI e VII, entre os culos VI e VII, entre os

matem

matemááticos hindus, encontramticos hindus, encontram--se se indica

indicaçções de regras para resolver ões de regras para resolver problemas de 1

problemas de 1ºº grau, especialmente grau, especialmente nos trabalhos de

nos trabalhos de AryabhataAryabhata e e Brahmagupta

(30)

Especializa

30 30

Problemas de 1

º

grau

Entre os sEntre os sééculos IX e XII, os culos IX e XII, os

matem

matemááticos ticos áárabes deram um impulso rabes deram um impulso decisivo na solu

decisivo na soluçção de problemas ão de problemas alg

algéébricos. As tbricos. As téécnicas algcnicas algéébricas bricas desenvolvidas pelos

desenvolvidas pelos ÁÁrabes rabes

influenciaram sobremaneira os influenciaram sobremaneira os

matem

(31)

Equa

ç

ões de 1

º

grau

Entre estes destacouEntre estes destacou--se tambse tambéém m

Fibonacci

Fibonacci, que apresenta, em sua obra , que apresenta, em sua obra Liber

Liber AbacciAbacci, solu, soluçções para equaões para equaçções ões determinadas e indeterminadas de 1 determinadas e indeterminadas de 1ºº

grau, entre outros trabalhos. grau, entre outros trabalhos.

(32)

Especializa

32 32

Equa

ç

ões de 1

º

grau

ApApóós a sistematizas a sistematizaçção da notaão da notaçção ão

alg

algéébrica, encontramos na obra de brica, encontramos na obra de Ren

Renéé Descartes (1596Descartes (1596--1650) a 1650) a representa

representaçção grão grááfica da equafica da equaçção ão ax

ax + + byby + c = 0 por interm+ c = 0 por interméédio de uma dio de uma reta.

(33)

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

A funA funçção polinomial do 2ão polinomial do 2ºº grau na grau na

vari

variáável x tem sua evoluvel x tem sua evoluçção associada ão associada ao desenvolvimento da resolu

ao desenvolvimento da resoluçção e ão e representa

representaçção grão grááfica das equafica das equaçções do ões do 2

(34)

Especializa

34 34

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

Por volta de 2.000 a.C., os egPor volta de 2.000 a.C., os egíípcios e pcios e

babilônios apresentavam solu

babilônios apresentavam soluçções para ões para diversos tipos de equa

diversos tipos de equaçções de 2ões de 2ºº grau, grau, aproximando

aproximando--se bastante de processos se bastante de processos alg

algéébricos que ainda hoje são bricos que ainda hoje são utilizados.

(35)

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

Euclides, em 300 a.C., registrou na sua Euclides, em 300 a.C., registrou na sua

obra Os Elementos processos obra Os Elementos processos

geom

geoméétricos de solutricos de soluçções de algumas ões de algumas equa

equaçções de 2ões de 2ºº grau, jgrau, jáá desenvolvidas desenvolvidas por volta de 500 a.C. pelos pitag

(36)

Especializa

36 36

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

Na primeira metade do sNa primeira metade do sééculo IV, culo IV,

Diofanto

Diofanto de Alexandria, por muitos de Alexandria, por muitos considerado o

considerado o ““pai da pai da ÁÁlgebralgebra””, , apresentou, em

apresentou, em ArithmArithmééticatica, solu, soluçções ões alg

algéébricas para diversos tipos de bricas para diversos tipos de equa

(37)

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

Entre os Entre os áárabes, jrabes, jáá no sno sééculo IX, culo IX,

podemos destacar

podemos destacar AlAl--KhowarismiKhowarismi, que , que em sua obra

em sua obra AlAl--JabrJabr, da qual deriva o , da qual deriva o nome

nome “Á“Álgebralgebra””, expõe processos de , expõe processos de resolu

resoluçções de equaões de equaçções, especialmente ões, especialmente as equa

(38)

Especializa

38 38

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

TambTambéém os hindus m os hindus BrahmaguptaBrahmagupta

(s

(sééculo VII) e culo VII) e BhaskaraBhaskara (s(sééculo XII) culo XII) desenvolveram processos de resolu

desenvolveram processos de resoluçção ão de equa

(39)

A evolu

ç

ão das fun

ç

ões polinomiais

do 2

º

grau na vari

á

vel x

No sNo sééculo XVII, o matemculo XVII, o matemáático francês tico francês

Fran

Franççois ois ViVièètete, a quem devemos grande , a quem devemos grande parte de generaliza

parte de generalizaçção da notaão da notaçção ão alg

algéébrica atual, notabilizoubrica atual, notabilizou--se pelo se pelo desenvolvimento de m

desenvolvimento de méétodos de todos de resolu

(40)

Especializa

40 40

A evolu

ç

_ç

ão das fun

_{ão das fun}

ç

_ç

ões polinomiais

_{ões polinomiais}

do 2

º

_º

grau na vari

_{grau na vari}

á

_á

vel x

_{vel x}

O formato atual (expressão literal O formato atual (expressão literal

igualada a zero)

igualada a zero) éé devido a Thomas devido a Thomas Harriot

Harriot (1560(1560--1621), e a representa1621), e a representaçção ão gr

grááfica dessa equafica dessa equaçção ão éé encontrada nos encontrada nos trabalhos de Descartes.