DISCIPLINA: MÉTODOS MATEMÁTICOS I (Parte II)

(1)

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

ANÁLISE DE BACIAS SEDIMENTARES: ÊNFASE EM REGIÕES EQUATORIAIS

PROFESSORES:

MANUEL COSTA / RUBENVALDO PERREIRA

E-mail: [email protected]/ [email protected]

DISCIPLINA: MÉTODOS MATEMÁTICOS I

(Parte II)

(2)

INTRODUÇÃO

O referido material de pesquisa (parte II) inicia-se com a fundamentação teórica referente aos números complexos, abordando sua definição, propriedades algébricas básicas e as decorrentes das mesmas, em seguida apresenta-se a representação geométrica de um vetor associado ao conceito de módulo, neste contexto (número complexo). Posteriormente, define-se uma desigualdade chamada de desigualdade triangular, complexos conjugados, forma exponencial, extração de raízes de um número complexo. Em relação à álgebra matricial define-se uma matriz de forma genérica, apresentando propriedades, cálculo da inversa de uma matriz, matrizes não singulares, bem como uma associação entre matrizes e sistemas de equações. Para resolver tais sistemas abordam-se alguns métodos práticos. Também define-se a chamada função determinante, propriedades de determinantes e vetores. Salienta-define-se que a teoria abordada é pertinente em várias aplicações atreladas a fenômenos físicos.

(3)

1. N´

umeros Complexos

1.1 Somas e Produtos

Os Números complexos podem ser definidos como pares ordenados (x, y) de números reais que devem ser interpretados como pontos no plano complexo, com coordenadas rectangulares x e y, assim como os números reais x são considerados pontos na linha real. Quando os números reais x são exibidos como pontos (x, 0) no eixo real, fica claro que o conjunto de números complexos inclui os números reais como um subconjunto. Os números complexos da forma (0, y) correspondem a pontos no eixo y e são chamados de números imaginários puros quando y 6= 0. O eixo y é então referido como o eixo imaginário.

´

E costume denotar um n´umero complexo (x, y) por z, de modo que (ver Figura 1.1),

z = (x, y), (1.1)

Além disso, os números reais x e y são conhecidos como partes reais e imaginárias de z, respectivamente; e escrevemos

x = Re z, y = Im z. (1.2) Dois n´umeros complexos z1e z2s˜ao iguais sempre que tiverem as mesmas partes reais e as mesmas partes

imagin´arias. Assim, a afirma¸c˜ao z1= z2 significa que z1 e z2 correspondem ao mesmo ponto z do plano

complexo, ou plano z

A soma z1+ z2 e o produto z1z2 de dois n´umeros complexos quaisquer z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2)

s˜ao definidas como:

z1+ z2= (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2), (1.3)

z1z2= (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2− y1y2, x1y2x2y1). (1.4)

Observe que as opera¸cões definidas pelas equa¸cões 1.3 e 1.4 resultam nas opera¸cões usuais de adi¸cão e multiplica¸cão quando restritas aos números reais:

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1+ x2, 0),

(x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0).

Em vista disso, o sistema dos números complexos é uma extensão natural do sistema de números reais.

Qualquer número complexo z = (x, y) pode ser escrito como z = (x, 0) + (0, y), e é fácil ver que (0, 1)(y, 0) = (0, y). Assim.

z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0).

e se pensarmos em um número real como sendo x ou (x, 0) e denotarmos por i o número imaginário puro (0,1), como mostra a Fig. 1.1, é claro que

z = x + iy. (1.5)

(4)

Tamb´em, com a conven¸c˜ao de que z2= zz, z3= z2z, etc., tem-se i2= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), ou

i2= −1. (1.6)

Em vista de (x, y) = x + iy as defini¸c˜oes 1.3 e 1.4 tornam-se

(x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x2) + i(y1+ y2), (1.7)

(x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2− y1y2) + i(y1x2+ x1y2). (1.8)

Observe que os segundos membros dessas equa¸cões podem ser obtidos manipulando formalmente os termos nos primeiros membros como se eles envolvessem apenas números reais e, depois, substituindo i2 por -1 sempre que necessário. Além disso, observe como a equa¸cão 1.8 nos diz que qualquer número complexo vezes zero é zero. Mais precisamente,

z ˙0 = (x + iy)(0 + i0) = 0 + i0 = 0. para qualquer z = x + iy.

1.2 Propriedades Alg´

ebricas B´

asicas

Muitas propriedades da adi¸cão e multiplica¸cão de números complexos são iguais as de números reais. A seguir, listamos as mais básicas dessas propriedades algébricas e verificamos a validade de algumas delas. A maioria das outras pode ser encontrada nos exerc´ıcios.

As leis da comutatividade

z1+ z2= z2+ z1, z1z2= z2z1 (1.9)

e as leis da associatividade

(z1+ z2) + z3= z1+ (z2+ z3), (z1z2)z3= z1(z2z3) (1.10)

seguem imediatamente das defini¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão de números complexos na Se¸c. 1 e do fato de que os números reais satisfazem a tais leis. A verifica¸cão do restante das leis acima, bem como a lei distributiva z1(z2+ z3) = z1z2+ z1z3, (1.11) é similar. Exemplo: z1= (x1, y1) e z2= (x2, y2), então z1+ z2= (x1+ x2, y1+ y2) = (x2+ x1, y2+ y1) = z2+ z1.

De acordo com a lei comutativa da multiplica¸c˜ao, temos yi = iy. Assim, podemos escrever z = x + yi em vez de z = x + iy. Tamb´em, em virtude da lei associativa, a soma z1+ z2+ z3 ou o produto z1z2z3

estão bem definidos sem parênteses, da mesma forma que ocorre com números reais.

O elemento neutro da adi¸cão 0 = (0, 0) e da multiplica¸cão 1 = (1, 0) dos números reais se transfere inteiramente para o sistema de números complexos. Isso é,

z + 0 = z ez ˙1 = z (1.12) qualquer que seja o número complexo z. Além disso, 0 e 1 são os únicos números complexos com tais propriedades.

Est´a associado a cada n´umero complexo z = (x, y) um inverso aditivo

−z = (−x, −y), (1.13)

satisfazendo a equa¸cão z + (−z) = 0. Além disso, para qualquer z dado existe apenas um inverso aditivo, uma vez que a equa¸cão

(5)

implica que

u = −x e v = −y.

Dado qualquer número complexo não-nulo z = (x, y), existe um número z−1 tal que zz−1= 1. Este inverso multiplicativo é menos óbvio do que o aditivo. Para encontrá-lo, buscamos números reais u e v, expressos em termos de x e y, de modo que

(x, y)(u, v) = (1, 0).

De acordo com a equa¸c˜ao 1.4, Sec. 1, que define o produto de dois n´umeros complexos, u e v devem satisfazer o par

xu − yu = 1, yu + xv = 0

de equa¸cões simultâneas lineares; e a simples computa¸cão produz a solu¸cão única u = x

x2_{+ y}2, v =

−y x2_{+ y}2.

Portanto, o ´unico elemento inverso multiplicativo de z = (x, y) ´e dado por z−1 = ( x

x2_{+ y}2,

−y

x2_{+ y}2) (z 6= 0). (1.14)

O inverso z−1 n˜ao est´a definido quando z = 0. Na verdade, z = 0 significa que x2_{+ y}2_{= 0; e isso n˜}_{ao ´}_e

permitido na express˜ao (1.14). Problemas:

1. Verifique que

(a) (√2 − i) − i(1 −√2i) = −2i; (b) (2, −3)(−2, 1) = (−1, 8);

(c) (3, 1)(3, −1)(1₅,₁₀1) = (2, 1). 2. Mostre que

(a) Re(iz) = −Im(z); (b) Im(iz) = Re(z);

3. Mostre que (1 + z)2_{= 1 + 2z + z}2_.

4. Verifique se cada um dos dois n´umeros z = 1 ± i satisfaz a equa¸c˜ao z2_{− 2z + 2 = 0.}

5. Provar que a multiplica¸cão de números complexos é comutativa, conforme indicado no in´ıcio do Sec. 2.

6. Verificar a validade da

(a) lei associativa para a adi¸c˜ao de n´umeros complexos, afirmada no in´ıcio do Sec. 2; (b) lei distributiva (1.11), Sec. 2.

7. Use a lei associativa da adi¸c˜ao e a lei distributiva para mostrar que z(z1+ z2+ z3) = zz1+ zz2+ zz3.

8. (a) Escreva (x, y) + (u, v) = (x, y) e indique por que disso decorre que o n´umero complexo 0 = (0, 0) ´

e ´unico como o elemento neutro da adi¸c˜ao.

(b) Da mesma forma, escreva (x, y)(u, v) = (x, y) e mostre que o número 1 = (1, 0) é único como elemento neutro da multiplica¸cão.

9. Use −1 = (−1, 0) e z = (x, y) para mostrar que (−1)z = −z.

10. Use i = (0, 1) e y = (y, 0) para verificar que −(iy) = (−i)y. Assim, mostre que o inverso aditivo de um n´umero complexo z = x + iy pode ser escrito como −z = −x − iy sem ambiguidade.

11. Resolva a equa¸c˜ao z2_{+ z + 1 = 0 para z = (x, y) escrevendo}

(x, y)(x, y) + (x, y) + (1, 0) = (0, 0) e então resolvendo um par de equa¸cões simultâneas em x e y.

Sugestão: use o fato de que nenhum número real x satisfaz a equa¸cão dada para mostrar que y 6= 0. Resp. z =−1₂ , ±

√ 3 2

(6)

1.3 Outras Propriedades

Nesta se¸cão, apresentamos várias propriedades algébricas adicionais da adi¸cão e da multiplica¸cão de números complexos que decorrem das já descritas, na Sec. 2. Como tais propriedades também são antecipáveis, já que são válidas com números reais, o leitor pode passar facilmente para a Sec. 4 sem maiores preju´ızos.

Come¸camos com a observa¸cão de que a existência de inversos multiplicativos nos permite mostrar que, se um produto z1z2 for zero, então, pelo menos, um dos fatores z1 e z2 é zero. De fato, suponha

que z1z2= 0 e z16= 0. O inverso z−11 existe; e o produto de qualquer n´umero complexo vezes zero ´e zero

(Se¸c˜ao 1). Conseq¨uentemente

z2= z2˙1 = z2(z1−1z1) = (z1−1z1)z2= z1−1(z1z2) = z1−1˙0 = 0.

Assim, se z1z2= 0, então z1= 0 ou z2= 0; ou possivelmente ambos os números z1 e z2são zero. Outra

maneira de indicar esse resultado é que, se dois números complexos z1e z2forem diferentes do zero, então

o produto deles ´e z1z2.

A subtra¸cão e a divisão são definidas em termos de inversos aditivos e multiplicativos:

z1− z2 = z1+ (−z2) (1.15)

z1

z2

= z1z2−1 (z26= 0). (1.16)

Assim, em vista das express˜oes 1.13 e 1.14 na Sec. 2

z1− z2= (x1, y1) + (−x2, −y2) = (x1− x2, y1− y2) (1.17) e z1 z2 = (x1, y1) x2 x2 2+ y22 , −y2 x2 2+ y22 = x1x2+ y1y2 x2 2+ y22 ,x1x2− y1y2 x2 2+ y22 (z26= 0) (1.18) quando z1= (x1, y1) e z2= (x2, y2).

Usando z1= x1+ iy1 e z2= x2+ iy2, podemos escrever as express˜oes (1.17) e (1.18) como

z1− z2= (x1− x2) + i(y1− y2) (1.19) e z1 z2 =x1x2+ y1y2 x2 2+ y22 + ix1x2− y1y2 x2 2+ y22 (z26= 0). (1.20)

Embora a expressão (1.20) não seja fácil de lembrar, ela pode ser obtida por escrito z1

z2

= (x1+ iy1)(x2− iy2) (x1+ iy1)(x2− iy2)

, (1.21)

multiplicando os produtos no numerador e denominador `a direita e, ent˜ao, usando a propriedade z1+ z2 z3 = (z1+ z2)z3−1= z1z−13 + z2z3−1= z1 z3 +z2 z3 (z36= 0). (1.22)

A motiva¸cão para come¸car com a equa¸cão 1.21 aparece na Sec. 5. Exemplo: O método de obter o quociente está ilustrado a seguir:

(4 + i) (2 − 3i) = (4 + i)(2 + 3i) (2 − 3i)(2 + 3i) = (5 + 14i) 13 = (5) 13 + (14) 13 i

Existem algumas propriedades esperadas envolvendo quocientes que decorrem da rela¸c˜ao 1

z2

= z−1₂ (z26= 0). (1.23)

que é a equa¸cão (??) quando z1= 1. A rela¸cão (1.23) nos permite, por exemplo, escrever a equa¸cão (??)

na forma z1 z2 = z1 1 z2 (z26= 0). (1.24)

(7)

Al´em disso, observando que

(z1z2) = (z−11 z −1

2 ) = (z1z1−1)(z2z2−1) (z16= 0, z26= 0).

e, portanto, que z−1₁ z₂−1= (z1z2)−1, pode-se usar a rela¸c˜ao (??) para mostrar que

1 z1 1 z2 = z−1₁ z₂−1= (z1z2)−1= 1 z1z2 (z16= 0, z26= 0). (1.25)

Outra propriedade ´util, a ser derivada nos exerc´ıcios, ´e z1 z3 z2 z4 = z1z2 z3z4 (z36= 0, z46= 0). (1.26)

Finalmente, observamos que a fórmula binomial envolvendo números reais permanece válida com números complexos. Assim, se z1 e z2são dois números complexos diferentes de zero, então

(z1+ z2)n= n X k=0 n k z₁kz(₂n − k) (n = 1, 2, . . . ) (1.27) sendo n k = n ! k !(n − k) ! (k = 1, 2, . . . , n)

e, por conven¸cão, 0 ! = 1. A prova é deixada como um exerc´ıcio. Por ser comutativa a soma de números complexos, é claro que podemos reescrever essa fórmula como

(z1+ z2)n= n X k=0 n k z(₁n − k)zk₂ (n = 1, 2, . . . ). (1.28) Problemas:

1. Reduzir cada uma dessas quantidades para um n´umero real: (a) 1+2i_3−4i +2−i_5i ;

(b) _{(1−i)(2−i)(3−i)}5i ; (c) (1 − i)4. 2. Mostre que 1 1/z = z (z 6= 0). 3. Mostre que (1 + z)2_{= 1 + 2z + z}2_.

4. Use as leis associativa e comutativa para a multiplica¸c˜ao para mostrar que (z1z2)(z3z4) = (z1z3)(z2z4)

5. Prove que se z1z2z3= 0, então pelo menos um dos três fatores é zero.

Sugest˜ao: Escreva (z1z2)z3= 0 e use um resultado semelhante (Sec. 3) envolvendo dois fatores.

6. Deduza a expressão (1.20), Sec. 3, para o quociente z1/z2 pelo método descrito logo após a

ex-press˜ao.

7. Com a ajuda das rela¸c˜oes (1.24) e (1.25) da Sec. 3, obtenha a identidade z1 z3 z2 z4 =z1z2 z3z4 (z36= 0, z46= 0)

8. Use a identidade obtida no Exerc´ıcio 6 para derivar a lei de cancelamento z1z

z2z

=z1 z2

(8)

9. Use a indu¸cão matemática para verificar a fórmula binomial (13) na Sec. 3. Mais precisamente, observe que a fórmula é verdadeira quando n = 1. Em seguida, supondo que a fórmula é válida quando n = m, em que m denota qualquer número inteiro positivo, mostre que a fórmula é válida com n = m + 1.

Sugest˜ao: Com n = m + 1, escreva

(z1+ z2)m+1= (z1+ z2)(z1+ z2)m= (z1+ z2) m X k=0 m k z₁kz₂m−k = m X k=0 m k z₁kz₂m+1−k+ m X k=0 m k z₁k+1z₂m−k e substitua k por k − 1 na ´ultima soma para obter

(z1+ z2)m+1= (z2)m+1+ m X k=1 m k + m k − 1 z₁kz₂m+1−k+ zm+1₁ . Finalmente, mostre como o segundo membro dessa express˜ao ´e igual a

(z2)m+1+ m X k=1 m + 1 k z₁kz₂m+1−k+ z₁m+1= m+1 X k=0 m + 1 k z₁kz₂m+1−k.

1.4 Vetores e M´

odulo

´

E natural associar qualquer número complexo não-nulo z = x + iy com o segmento de linha orientado, ou vetor, da origem ao ponto (x, y) que representa z no plano complexo. De fato, muitas vezes nos referimos ao número z como o ponto z ou o vetor z. Na Figura 2, os números z = x+iy e −2+i estão representados graficamente como pontos e, também, como vetores radiais.

Figure 1.2: Quando z1= x1+ iy1 e z2= x2+ iy2, a soma

z1+ z2= (x1+ x2) + i(y1+ y2)

corresponde ao ponto (x1+ x2, y1+ y2) e, tamb´em, ao vetor de componentes dados por essas coordenadas.

Segue que z1+ z2pode ser obtido de maneira vetorial como mostrado na Fig. 3.

Embora o produto de dois n´umeros complexos z1 e z2 seja um n´umero complexo representado por

algum vetor, esse vetor está no mesmo plano que os vetores z1 e z2. Evidentemente, esse produto não é

nem o produto escalar nem o produto vetorial usado usualmente na An´alise de Vetores.

A interpreta¸cão vetorial de números complexos é especialmente útil para estender o conceito de valor absoluto de números reais para o plano complexo. O módulo, ou valor absoluto, de um número complexo z = x + iy é definido como o número real não negativopx2_{+ y}2 _{e denotado por |z|, ou seja,}

|z| =px2_{+ y}2_. _(1.29)

Segue imediatamente da defini¸cão (1.29) que os números reais |z|, x = Rez e y = Imz estão relaciona-dos pela equa¸cão

(9)

Figure 1.3: A distˆancia entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2)

´e |z1− z2|. Isto fica claro a partir da Fig. 1.4,

uma vez que |z1− z2| ´e o comprimento do vetor

que representa o n´umero

z1− z2= z1+ (−z2);

e, transladando o vetor radial z1− z2, podemos

interpretar z1 − z2 como o segmento de reta

orientado do ponto (x2, y2) at´e o ponto (x1, y1).

Alternativamente, segue da express˜ao z1− z2= (x1− x2) + i (y1− y2)

Figure 1.4:

Assim,

Rez ≤ |Rez| ≤ |z| e Imz ≤ |Imz| ≤ |z|. (1.31) Geometricamente, o número real |z| é a distância entre o ponto (x, y) e a origem, ou o comprimento do vetor radial representando por z. Esse número reduz para ao valor absoluto usual no sistema de números reais quando y = 0. Observe que, a desigualdade z1 < z2 não tem sentido, a menos que z1 e z2 sejam

reais, mas a afirma¸cão |z1| < |z2| significa que o ponto z1 está mais próximo da origem do que o ponto

z2.

Exemplo: Como | − 3 + 2i| =√13 e |1 + 4i| =√17, vemos que o ponto −3 + 2i est´a mais pr´oximo da origem do que o ponto 1 + 4i.

e da defini¸c˜ao (1.29) que

|z1− z2| =

p

(x1− x2)2+ (y1− y2)2.

Os n´umeros complexos z correspondentes aos pontos situados no c´ırculo de raio R e centrado em z0

satisfazem a equa¸c˜ao |z−z0| = R e, vice e versa. N´os nos referimos a este conjunto de pontos simplesmente

como o c´ırculo |z − z0| = R.

Exemplo: A equa¸c˜ao |z − 1 + 3i| = 2 representa o circulo centrado no ponto z0 = (1, −3) e de raio

R = 2.

Nosso exemplo final ilustra o poder do racioc´ınio geom´etrico na An´alise Complexa quando as contas diretas forem cansativas

Exemplo: Considere o conjunto de todos os pontos z = (x, y) que satisfa¸cam a equa¸c˜ao |z − 4i| + |z + 4i| = 10

Reescrevendo essa equa¸c˜ao como

|z − 4i| + |z − (−4i)| = 10,

vemos que ela representa o conjunto de todos os pontos P (x, y) do plano z = (x, y) tais que a soma das distâncias aos dois pontos fixados f (0, 4) e f (0, −4) é constante e igual a 10. Como se sabe, isso é uma elipse de focos F (0, 4) e F0(0, −4).

(10)

1.5 Desigualdade Triangular

Passamos agora à desigualdade triangular, que fornece uma cota superior para o módulo da soma de dois números complexos z1 e z2, como segue.

|z1+ z2| ≤ |z1| + |z2|. (1.32)

Esta importante desigualdade está geometricamente evidente na Fig. 1.3 na Se¸c. 4, uma vez que é apenas uma afirma¸cão de que o comprimento de um dos lados de um triângulo é menor do que ou igual à soma dos comprimentos dos outros dois lados. Também podemos ver na Fig. 1.3 que a desigualdade (1.32) é realmente uma igualdade quando os pontos 0, z1 e z2 são colineares.

Uma conseqüência imediata da desigualdade triangular é o fato de que

|z1+ z2| ≥ ||z1| − |z2||. (1.33)

Para obter a desigualdade (1.33), escrevemos

|z1| = |(z1+ z2) + (−z2)| ≤ |z1+ z2| + | − z2|,

o que significa que

|z1+ z2| ≥ |z1| − |z2|. (1.34)

Esta ´e a desigualdade (1.33) quando |z1| ≥ |z2|. No caso |z1| < |z2|, precisamos apenas trocar z1 e z2 na

desigualdade (1.34) para chegar a

|z1+ z2| ≥ −(|z1| − |z2|),

que é o resultado procurado. A desigualdade (1.33) nos diz que o comprimento de um dos lados de um triângulo é maior do que ou igual à diferen¸ca dos comprimentos dos outros dois lados.

Pelo fato de | − z2| = |z2|, podemos substituir z2por −z2nas desigualdades (1.32) e (1.33) para obter:

|z1− z2| ≤ |z1| + |z2| e |z1− z2| ≥ ||z1| − |z2||.

Ocorre que na pr´atica, basta usar somente as desigualdades (1.32) e (1.33), o que est´a ilustrado no exemplo a seguir

Exemplo: Se um ponto z estiver no c´ırculo unit´ario |z| = 1, as desigualdades (1.32) e (1.33) fornecem |z − 2| = |z + (−2)| ≤ |z| + | − 2| = 1 + 2 = 3

e

|z − 2| = |z + (−2)| ≥ ||z| − | − 2|| = |1 − 2| = 1.

A desigualdade triangular (1.32) pode ser generalizada por meio da indu¸cão matemática para somas involvendo qualquer número finito de termos, como segue:

|z1+ z2+ · · · + zn| ≤ |z1| + |z2| + · · · + |zn| (n = 2, 3, . . . ). (1.35)

Para dar detalhes da prova por indu¸cão aqui, notamos que a desigualdade (1.35) com n = 2coincide com a desigualdade (1.32). Além disso, se a desigualdade (1.35) for válida quando n = m, ela também será válida quando n = m + 1 pois, pela desigualdade (1.32),

|(z1+ z2+ · · · + zm) + zm+1| ≤ |z1+ z2+ · · · + zm| + |zm+1|

≤ (|z1| + |z2| + · · · + |zm|) + |zm+1|.

Exemplo: Seja z um n´umero complexo qualquer do c´ırculo |z| = 2. A desigualdade (1.35) nos diz que

|3 + z + z2_{| ≤ 3 + |z| + |z}2_|.

Como |z2_{| = |z|}2_{, obtemos}

|3 + z + z2_{| ≤ 9.}

(11)

1. Encontre os n´umeros z1+ z2e z1− z2, como vetores, sendo (a) z1= 2i, z2= 2₃− i; (b) z1= (− √ 3, 1), z2= ( √ 3, 0); (c) z1= (−3, 1), z2= (1, 4); (d) z1= x1+ i y1, z2= x1− i y1

2. Verifique as desigualdades envolvendo Rez, Imz e |z| dadas em (1.31) da Se¸c. 4. 3. Use as propriedades estabelecidas de m´odulo para mostrar que quando |z3|¬|z4|, ent˜ao,

Re(z1+ z2)

|z3+ z4|

≤ |z1| + |z2| ||z3| − |z4||

. 4. Verifique que√2|z| ≥ |Rez| + |Imz|.

Sugest˜ao: Reduza esta desigualdade para (|x| − |y|)2≤ 0

5. Em cada caso, esboce o conjunto de pontos determinados pela condi¸c˜ao dada: (a) |z − 1 + i| = 1;

(b) |z + i| ≤ 3; (c) |z − 4i| ≥ 4.

6. Usando o fato de que |z1− z2| é a distancia entre dois pontos z1 e z2, dê um argumento geométrico

para mostrar que

(a) |z − 4i| + |z + 4i| = 10 representa uma elipse cujos focos s˜ao (0, ±4);

(b) |z − 1| = |z + i| representa uma reta que passa pela origem e cuja inclina¸c˜ao ´e −1.

1.6 Complexos Conjugados

O complexo conjugado, ou simplesmente conjugado, de um número complexos z = (x, y) = x + iy é definido como o número complexo x − iy e é denotado por z; ou seja,

z = x − i y. (1.36)

O número z é representado pelo ponto (x, −y), que é a reflexão pelo eixo real do ponto (x, y) representando z (Fig.1.5). Observe que

z = z e |z| = |z|

para todo z. Se z1 = x1+ iy1 e z2= x2+ iy2,

ent˜ao

z1+ z2= (x1+x2)−i(y1+y2) = (x1−iy1)+(x2−iy2).

Figure 1.5: Assim, o conjugado da soma ´e a soma dos conjugados:

z1+ z2= z1+ z2. (1.37)

Da mesma forma, ´e f´acil mostrar que

z1− z2= z1− z2. (1.38)

(12)

e z1 z2 =z1 z2 . (z26= 0) (1.40)

A soma z + z de um número complexo z = x + iy e seu conjugado z = x − iy é o número real 2x, e a diferen¸ca z − z é o número imaginário puro 2iy, ou seja,

R(z) = z + z

2 e Im(z) = z − z

2i (1.41)

Uma identidade importante que relacionada o conjugado de um número complexo z = x + iy ao seu módulo é

zz = |z|2, (1.42)

em que cada lado da igualdade é igual a x2+ y2. Isso sugere um método para determinar um quociente z1/z2que come¸ca com a expressão (1.21), Sec. 3. Nesse método, é claro, é baseado na multiplica¸cão do

numerador e do denominador de z1/z2 por z2, de modo que o denominador se torne o n´umero real |z2|2.

Exemplo: Ilustramos esse m´etodo com −1 + 3i 2 − i = (−1 + 3i)(2 + i) (2 − i)(2 + i) = −5 + 5i |2 − i|2 = −5 + 5i 5 = −1 + i.

A identidade (1.42) é especialmente útil na obten¸cão de propriedades do módulo a partir das pro-priedades do conjugado, que acabamos de ver. Mencionamos que

|z1z2| = |z1| |z2| (1.43) e |z1 z2 | = |z1| |z2| (z26= 0). (1.44)

A propriedade (1.43) pode ser estabelecida escrevendo

|z1z2|2= (z1z2)(z1z2) = (z1z2)(z1z2) = |z1|2|z2|2= (|z1||z2|)2

e lembrando que um módulo nunca é negativo. A propriedade (1.44) pode ser verificada de maneira análoga.

Exemplo: A propriedade (1.43) nos diz que |z2| = |z|2 _{e |z}3_{| = |z|}3_{. Portanto, se z for um ponto}

dentro do c´ırculo centrado na origem e de raio 2, ou seja, |z| < 2, segue da desigualdade triangular generalizada (1.35) na Sec. 5 que

|z3_{+ 3z}2_{− 2z + 1| ≤ |z|}3_{+ 3|z|}2_{+ 2|z| + 1 < 25.}

Problemas:

1. Use as propriedades dos conjugados e m´odulos estabelecidas na Sec. 6 para mostrar que (a) z + 3i = z − 3i;

(b) iz = −iz; (c) (2 + i)2_{= 3 − 4i;}

(d) |(2z + 5)(√2 − i)| =√3|2z + 5|.

2. Esboce o conjunto de pontos determinados pela condi¸c˜ao dada (a) Re(z − i) = 2;

(b) |2z + i| = 4.

3. Verifique as propriedades dos conjugados dadas em (1.38) e (1.39) da Sec. 6. 4. Use a propriedade dos conjugados em (1.39) na Sec. 6 para mostrar que

(a) z1z2z3= z1z2z3;

(13)

5. Use os resultados da Sec. 6 para mostrar que quando z2e z3 s˜ao n˜ao nulos, valem (a) z1 z2z3 _z 1 z2z3; (b) | z1 z2z3| = |z1| |z2||z3|. 6. Mostre que |Re(2 + z + z3)| ≤ 4 |z| ≤ 1.

1.7 Forma Exponencial

Sejam r e θ as coordenadas polares do ponto (x, y) que corresponde a um número complexo z = x + i y não nulo. Como x = r cos θ e y = r sin θ, o número z pode ser escrito em forma polar como

z = r (cos θ + i sin θ). (1.45) A coordenada θ n˜ao est´a definida se z = 0, de modo que fica entendido que z 6= 0 sempre que estivermos usando as coordenadas polares.

O número real r não pode ser negativo na Análise Complexa e é o comprimento do ve-tor radial que representa z; ou seja, r = |z|. O número real θ representa o ângulo, medido em radianos, que z faz com o eixo real posi-tivo, interpretado z como um vetor radial (Fig. 1.6). Como em Cálculo, θ tem um número infinito de poss´ıveis valores, inclusive os neg-ativos, que diferem por algum múltiplo inteiros de 2π. Esses valores podem ser determinados a partir da equa¸cão tan θ = y/x, em que deve-mos especificar o quadrante que contém o ponto correspondente a z.

Figure 1.6:

Cada valor de θ é chamado de argumento de z, e o conjunto de todos esses valores é denotado por arg z. O valor principal de arg z, denotado por Arg z, é o único valor Θ tal que −π < Θ ≤ π. Evidentemente, segue que

arg z = Arg z + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . . ). (1.46) Além disso, quando z é um número real negativo, o valor de Arg z é π, não −π.

Exemplo: O n´umero complexo −1−i, que se encontra no terceiro quadrante, tem argumento principal −3π/4. Isso ´e,

Arg −1 − i = −3π 4 .

Deve ser enfatizado que devido à restri¸cão −π < Θ ≤ π do argumento principal Θ, não é verdade que Arg (−1 − i) = 5π/4.

De acordo com a equa¸c˜ao (1.46),

arg (−1 − i) = 5π/4 + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . . ).

Observe que o termo Arg z no segundo membro da equa¸c˜ao (1.46) pode ser substitu´ıdo por qualquer valor particular de arg z e que se pode escrever, por exemplo,

arg (−1 − i) = 5π/4 + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . . ). O s´ımbolo eiθ, ou exp (iθ), ´e definido por meio da f´ormula de Euler como

eiθ = cos θ + i sin θ, (1.47) em que θ deve ser medido em radianos. Ele permite escrever a forma polar (1.45) mais compactamente em forma exponencial como

(14)

Exemplo: O n´umero −1 − i no Exemplo anterior tem forma exponencial −1 − i =√2 exp i(−3π 4 ) . (1.49)

Se concordarmos que e−iθ = ei(−θ), isso também pode ser escrito como −1 − i = √2e−i3π/4. A expressão (1.49) é, claramente, apenas uma das infinitas possibilidades para a forma exponencial de −1 − i, a saber: −1 − i =√2 exp i(−3π 4 + 2nπ) (n = 0, ±1, ±2, . . . ). (1.50)

Observe como a expressão (1.48) com r = 1 nos diz que os números eiθ se situam no c´ırculo centrado na origem com raio unitário, como mostrado na Fig. 1.7. Segue que os valores de eiθ_{podem ser obtidos diretamente dessa figura,}

sem referência à fórmula de Euler. Por exem-plo, é geometricamente evidente que

eiπ= −1, e−iπ/2= −i, ee−i4π= 1.

Figure 1.7: Observe, tamb´em, que a equa¸c˜ao

z = Reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π) (1.51) é uma representa¸cão paramétrica do c´ırculo |z| = R, centrado na origem e de raio R. À medida que o parâmetro θ aumenta de θ = 0 até θ = 2π, o ponto z come¸ca a partir do eixo real positivo e percorre o c´ırculo uma vez no sentido anti-horário. Geralmente, o c´ırculo |z − z0| = R, cujo centro é z0 e cujo raio

é R, tem a representa¸cão paramétrica

z = z0+ Reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π). (1.52)

Isso pode ser visto atrav´es de vetores (Fig. 1.8), observando que um ponto z percorrendo o c´ırculo |z − z0| = R uma vez no sentido

anti-hor´ario corresponde `a soma do vetor fixo z0 e

um vetor de comprimento R cujo ângulo de in-clina¸cão θ varia de θ = 0 até θ = 2π.

Figure 1.8:

1.8 Produtos e Potˆ

encias em Forma Exponencial

A trigonometria elementar nos diz que eiθ _{tem a propriedade aditiva conhecida da fun¸}_c˜_{ao exponencial do}

C´alculo:

eiθ1_eiθ2 ₌ _{(cos θ}

1+ i sin θ1)(cos θ2+ i sin θ2)

= (cos θ1cos θ2− sin θ1sin θ2) + i(sin θ1cos θ2+ cos θ1sin θ2)

= cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2)

= ei(θ1θ2)_.

Assim, se z1= r1eiθ1 e z2= r2eiθ2, ent˜ao o produto z1z2 tem forma exponencial

(15)

Al´em disso, z1 z2 = r1e i θ1 r2ei θ2 =r1 r2 ei θ1_e−i θ2 ei θ2_e−i θ2 = r1 r2 ei (θ1−θ2) ei 0 = r1 r2 ei (θ1−θ2)_. _(1.54)

Segue da express˜ao (1.54) que o inverso de qualquer n´umero complexo diferente de zero z = reiθ _´_e

z−1=1 z = 1 r ei 0 ei θ = 1 re i (0−θ)₌ 1 re −i θ_. _(1.55)

As expressões (1.53), (1.54) e (1.55) são facilmente lembradas usando as regras algébricas usuais para números reais e da potência ex_.

zn= rneinθ (n = 0, ±1, ±2, . . . ). (1.56) Isso pode ser facilmente verificado para valores positivos de n por indu¸cão matemática. Para ser espec´ıfico, primeiro observamos que essa rela¸cão é simplesmente z = reiθ _{se n = 1. Em seguida, suponha que a}

identidade seja válida se n = m, em que m denota qualquer número inteiro positivo. Em vista da expressão (1.53) do produto de dois números complexos não nulos na forma exponencial, segue que a identidade é válida para n = m + 1:

zm+1= zmz = rmeimθreiθ= (rmr)eimθ+θ= rm+1ei(m+1)θ.

Dessa forma, demonstramos a validade da expressão (1.56) quando n é um número inteiro positivo. A fórmula também é válida quando n = 0, convencionando que z0= 1. Por outro lado, sen = −1, −2, . . . ,

definimos zn _{em termos do inverso multiplicativo de z, escrevendo}

zn= (z−1)m sem = −n = 1, 2, . . . .

Como a equa¸cão (1.56) é válida para inteiros positivos, segue da forma exponencial (1.55) de z−1 que zn= 1 re i(−θ) m = 1 r m eim(−θ)= 1 r −n ei(−n)(−θ)= rneinθ (n = −1, −2, . . . ). Assim, estabelecemos a validade da expressão (1.56) para toda potência inteira.

Exemplo: Para deixar (−1 + i)7 _{em forma retangular, escreva}

(−1 + i)7=√2ei3π/4 7 = 27/2ei21π/4= 23ei5π 2l/2eiπ/4. Como 23ei5π= (8)(−1) = −8 e 2l/2eiπ/4=√2cosπ 4 + i sin π 4 =√2 ₁ √ 2+ i 1 √ 2 = 1 + i, chegamos ao resultado desejado: (−1 + i)7_{= −8(1 + i).}

Finalmente, observe que se r = 1, a equa¸c˜ao (1.56) fornece

(ei(θ))n= rnei nθ (n = 0, ±1, ±2, . . . ). (1.57) Escrita na forma polar, a f´ormula

(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ (n = 0, ±1, ±2, . . . ), (1.58) ´e conhecida como a f´ormula de de Moivre. No exemplo a seguir utilizamos um caso especial.

Exemplo: Usando n = 2 na f´ormula (1.58), obtemos

(cos θ + i sin θ)n= cos nθ + i sin nθ , ou

cos2θ − sin2θ + i 2 sin θ cos θ = cos 2θ + i sin 2θ.

Ao igualar partes reais e partes imagin´arias aqui, temos as identidades trigonom´etricas familiares cos 2θ = cos2θ − sin2θ, sin 2θ = 2 sin θ cos θ.

(16)

1.9 Argumentos de Produtos e Quocientes

Se z1= r1ei θ1 e z2= r2ei θ2, a express˜ao

z1z2= r1r2ei θ1ei θ2 (1.59)

da Se¸c. 8 pode ser usada para obter uma identidade importante referente a argumentos:

arg(z1z2) = arg z1+ arg z2. (1.60)

A Equa¸cão (1.60) deve ser interpretada como segue: se dois valores de três argumentos forem especificados dentre infinitas possibilidades, então existe um valor do terceiro argumento que torna válida a equa¸cão.

Para verificar a afirma¸c˜ao (1.60), come¸camos tomando θ1 e θ2 como valores quaisquer de arg z1 e

arg z2, respectivamente. Então, a expressão (1.59) nos diz que θ1+ θ2é um valor de arg(z1z2) (Ver a Fig.

1.9). Se, por outro lado, forem especificados valores de arg(z1z2) e arg z1, esses valores correspondem a

escolhas particulares de n e n1 nas express˜oes

arg(z1z2) = (θ1+ θ2) + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, . . . )

e

arg z1= θ1+ 2n1π (n1= 0, ±1, ±2, . . . ).

Como

(θ1+ θ2) + 2nπ = (θ1+ 2n1π) + [θ2+ 2(n − n1)π],

a equa¸cão (1.60) certamente é válida se escolhemos o valor arg z2= θ2+ 2(n − n1)π

Finalmente, caso comecemos especificando os valores de arg(z1z2) e arg z2, basta observar que podemos

reescrever (1.60) como

arg (z2z1) = arg z2+ arg z1.

Figure 1.9: `

As vezes, a afirma¸cão (1.60) é válida substituindo todos os arg por Arg . No entanto, como ilustra o exemplo a seguir, nem sempre isso ocorre.

Exemplo: Tomando z1= 1 e z2= i, obtemos

Arg z1z2= Arg −i = −

π

2, mas Arg z1+ Arg z2= π + π 2 =

3π 2 . No entanto, tomando esses mesmos valores de arg z1 e arg z2 e selecionando o valor

Arg z1z2+ 2π = −

π

2 + 2π = 3π

2 . de Arg z1z2, a equa¸c˜ao (1.60) ´e satisfeita.

A afirma¸c˜ao (1.60) nos diz que arg z1

z2

(17)

e, como (Se¸c. 8)

z₂−1=1 re

−i θ2_,

podemos ver que

arg (z₂−1) = − arg z2. (1.61) Segue que arg z1 z2 = arg z1− arg z2. (1.62)

Novamente, a afirma¸cão (1.61) deve ser interpretada como segue: o conjunto de todos os valores do primeiro membro da equa¸cão é igual ao conjunto de todos os valores do segundo membro da equa¸cão. Segue que a afirma¸cão (1.62) deve ser interpretada da mesma maneira que a afirma¸cão (1.60).

Exemplo: Utilizemos a afirma¸c˜ao (1.62) para encontrar o valor principal Arg z de z = i

−1 − i. Come¸camos escrevendo

arg z = arg i − arg (−1 − i). Como

Arg i = π

2 e Arg (−1 − i) = − 3π

4 ,

um valor de arg z é 5π/4. Ocorre que esse não é um valor principal Θ, que deve satisfazer −π < Θ ≤ π. No entanto, obtemos esse valor somando um múltiplo inteiro, possivelmente negativo, de 2π:

Arg _i −1 − i = 5π 4 − 2π = − 3π 4 . Problemas:

1. Encontre valor principal Arg z sendo (a) z = −2 1+√3i; (b) z = √3 − i6 ; 2. Mostre que (a) |eiθ_{| = 1;} (b) |eiθ_{| = e}−iθ_.

3. Usando o fato de que |eiθ_{− 1| ´}_{e a distˆ}_{ancia entre os pontos e}iθ _{e 1., dˆ}_{e um argumento geom´}_etrico

para encontrar um valor de θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π tal que |eiθ_{− 1| = 2.}

4. Escrevendo cada fator individual do primeiro membro em forma exponencial, efetuando as opera¸c˜oes iniciadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que

(a) i(1 −√3i)(√3 + i) = 2(1 +√3i); (b) 5i/(2 + i) = 1 + 2i;

(c) √3 + i6 = −64;

(d) 1 +√3i−10= 2−11(−1 +√3i). 5. Mostre que se Rez1> 0 e Rez2> 0, ent˜ao

Arg (z1z2) = Arg z1Arg z2,

(18)

6. Sejam z um número complexo e n um inteiro negativo (n = −1, −2, . . . ). Também, escreva z = reiθ e (m = −n = 1, 2, . . . ). Usando as expressões

zm= rmeimθ e z−1= 1 r

ei(−θ),

verifique que (zm₎−1 _{= (z}−1₎m _{e portanto que a defini¸}_c˜_{ao z}n _{= (z}−1₎m _{na Sec. 7 poderia ter sido}

escrita alternativamente como zn_{= (z}m₎−1_.

7. Prove que dois números complexos não nulos z1 e z2têm o mesmo módulo se, e somente se, houver

n´umeros complexos c1 e c2 tais que z1= c1c2 e z2= c1c2.

Sugest˜ao: Observe que

exp iθ1+ θ2 2 exp iθ1+ θ2 2 = exp(i θ1) e exp iθ1+ θ2 2 exp iθ1+ θ2 2 = exp(i θ2)

8. Estabele¸ca a validade da identidade

1 + z + z2+ · · · + zn= 1 − zn + 1

1 − z (z¬1) e ent˜ao use-a para obter a identidade trigonom´etrica de Lagrange:

1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ = 1 2+

sin [(2n + 1)θ/2]

2 sin (θ/2) (0 < θ < 2π).

Sugest˜ao: Quanto `a primeira identidade, escreva S = 1 + z + z2_{+ · · · + z}n _{e considere a diferen¸}_ca

S − zS. Para obter a segunda identidade, escreva z = eiθ_{na primeira.}

9. Use a f´ormula de Moivre (Se¸c. 7) para obter as seguintes identidades trigonom´etricas: (a) cos 3θ = cos3_{θ − 3 cos θ sin}2_θ;

(b) sin 3θ = 3 cos2_{θ sin θ − sin}3_θ.

1.10 Extra¸

c˜

ao de Ra´ızes

Considere, agora, um ponto z = reiθ_{, do c´ırculo centrado na origem com o raio r (Fig. 1.10). `}_{A medida}

que θ aumenta, z move-se em torno do c´ırculo no sentido anti-hor´ario. Em particular, quando θ aumenta em 2π, voltamos ao ponto de partida; e o mesmo ´e verdade quando θ diminui em 2π. Segue, portanto, a partir da Fig. 1.10 que:

Defini¸cão 1. Dois números complexos, não nulos,

z1= r1eiθ1 e z2= r2eiθ2

s˜ao iguais se, e somente se,

r1= r2 e θ1= θ2+ 2kπ,

em que k ´e um inteiro qualquer (k = 0, ±1, ±2, . . . ).

Figure 1.10:

Esta observa¸c˜ao, juntamente com a express˜ao zn _{= r}n_einθ _{na Sec. 8 para potˆ}_{encias inteiras de}

(19)

nulo z0= r0eiθ0, em que n = 2, 3, . . . . Esse método come¸ca com o fato de que uma raiz enésima de z0 é

um n´umero diferente de zero z = reiθ tal que zn= z0, ou

rneinθ = r0eiθ0.

De acordo com a defini¸c˜ao temos

rn= r0 e nθ = θ0+ 2kπ,

em que k ´e algum inteiro (k = 0, ±1, ±2, . . . ). Logo, r = √n_r₀_{, sendo que esse radical denota a ´}_{unica raiz}

en´esima positiva do n´umero real positivo r0, e

θ = θ0+ 2kπ n = θ0 n + 2kπ n (k = 0, ±1, ±2, . . . ). Consequentemente, o n´umero complexo

z = √n_r 0exp i θ0 n + 2kπ n (k = 0, ±1, ±2, . . . )

s˜ao as ra´ızes en´esimas do z0. A partir desta forma exponencial das ra´ızes,vemos imediatamente que

todas elas pertencem ao c´ırculo |z| = √n

r0 centrado na origem e est˜ao igualmente espa¸cadas a cada 2π/n radianos, come¸cando com o argumento θ0/n. Evidentemente, todas as ra´ızes distintas s˜ao obtidas quando

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, e nenhuma raiz adicional surge com outros valores de k. Denotamos essas ra´ızes distintas por ck (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) e escrevemos (ver Fig. 1.11)

ck = n √ r0 exp i θ0 n + 2kπ n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1). (1.63) Figure 1.11: O n´umero √n_r

0´e o comprimento de cada um dos vetores radiais representando as n ra´ızes. A primeira

raiz c0tem argumento θ0/n; quando n = 2, as duas ra´ızes est˜ao em extremidades opostas de um diˆametro

do c´ırculo |z| = √n_r

0, a segunda raiz sendo −c0. Quando n ≥ 3, as ra´ızes se encontram nos v´ertices de

um pol´ıgono regular de n lados inscritos nesse c´ırculo.

Denotamos por z₀1/n o conjunto das ra´ızes enésimas de z0. Se, em particular, z0 é um número real

positivo r0, ent˜ao o s´ımbolo r 1/n

0 denota todo o conjunto de ra´ızes; e o s´ımbolo n

√

r0 na express˜ao (1.63)

fica reservado para a ´unica raiz positiva. Quando o valor de theta0 utilizado na express˜ao (1.63) for o

valor principal de arg z0(−π < θ0 ≤ π), dizemos que c0 ´e a raiz principal. Assim, se z0 for um n´umero

real positivo r0, sua raiz principal ´e n

√ r0.

Observe que, reescrevendo a express˜ao (1.63) das ra´ızes de z0como

ck= n √ r0exp i θ0 n exp i 2kπ n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1), e tamb´em denotando ωn = exp i 2π n . (1.64)

segue da propriedade (5) da Sec. 8 de ei θ _que

ω_nk = exp i 2kπ n

(20)

e, portanto, que

ck= c0ωkn (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1). (1.66)

´

E claro que esse número c0 pode ser substitu´ıdo por qualquer raiz enésima de z0, já que ωn representa

uma rota¸cão anti-horária por um ângulo de 2π/n radianos.

Conclu´ımos esta se¸c˜ao com uma maneira conveniente de lembrar da express˜ao (1.63), escrevendo z0

em sua forma exponencial mais geral

z0= r0exp i (θ0+ 2kπ) (k = 0, ±1, ±2, . . . ) (1.67)

e aplique formalmente as seis leis de expoente fracionário dos números reais, lembrando que existe pre-cisamente n ra´ızes: ck= [r0ei (θ0+2kπ)]1/n = n √ r0exp i (θ0+ 2kπ) n = √n_r 0exp i θ0 n + 2kπ n (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1) Os exemplos da próxima se¸cão servem para ilustrar esse método para encontrar ra´ızes de números complexos.

1.11 Exemplos

Exemplo: Determinemos todos os quatro valores de (−16)1/4_{, ou seja, todas as ra´ızes quartas do n´}_umero

-16. Basta escrever

−16 = 16 exp [i (π + 2kπ)](k = 0, ±1, ±2, . . . ) para ver que as ra´ızes procuradas s˜ao

ck= 2 exp i π 4 + kπ 2 (k = 0, 1, 2, 3). (1.68) Essas ra´ızes constituem os v´ertices de um quadrado inscrito no c´ırculo |z| = 2 e est˜ao igualmente espa¸cadas em torno do c´ırculo, come¸cando com o valor principal (Figura 1.12)

c0= 2 exp h iπ 4 i = 2cosπ 4 + i sin π 4 = 2 √ 2 2 + i √ 2 2 ! =√2(1 + i). Sem maiores contas, fica evidente que

c1= √ 2(−1 + i), c2= √ 2(−1 − i), e c3= √ 2(1 − i).

Observe que, das express˜oes (1.64) e (1.66) da Se¸c. 10, decorre que essas ra´ızes tamb´em podem ser escritas como c0, c0ω4, c0ω42, c0ω34 sendo ω4= exp iπ 2 . Figure 1.12:

Exemplo: Para determinar as ra´ızes en´esimas da unidade, come¸camos com 1 = exp [i (0 + 2kπ)](k = 0, ±1, ±2, . . . )

(21)

e obtemos ck = n √ 1 exp i 0 n+ 2kπ n = exp [i(2kπ) n ](k = 0, 1, 2, . . . , n − 1). (1.69) Se n = 2, essas ra´ızes, evidentemente são ±1. Se n ≤ 3, as ra´ızes constituem os vértices de um pol´ıgono regular inscrito no c´ırculo |z| = 1, com um vértice correspondendo à raiz principal z = 1(k = 0). Tendo em vista a expressão (1.65) da Se¸c. 10, essas ra´ızes são, simplesmente,

1, ωn, ω2n, . . . , ω n−1 n sendo ωn= exp i2π n . Na Figura (1.13), apresentamos os casos n = 3, 4e6. Observe que ωn

n = 1.

Figure 1.13:

Exemplo: Seja a um n´umero real positivo qualquer. Para encontrar as duas ra´ızes quadradas de a + i, escrevemos

A = |a + i| =pa2_{+ 1} _e _{α = Arg (a + i).}

Como

a + i = A exp [i(α + 2kπ)] (k = 0, ±1, ±2, . . . ), as ra´ızes quadradas procuradas s˜ao

ck= √ A exphiα 2 + kπ i (k = 0, 1). (1.70) Como eiπ= −1, esses dois valores de (a + 1)1/2s˜ao simplesmente,

c0= √ A expiα 2 e c1= −c0. (1.71)

Pela f´ormula de Euler, obtemos

c0= √ Acosα 2 + i sin α 2 . (1.72)

Como a + i est´a acima do eixo real, sabemos que 0 < α < π e, portanto, que cosα

2 > 0 e sin α 2 > 0. Usando as identidades trigonom´etricas

cos2α 2 = 1 + cos α 2 e sin 2α 2 = 1 − cos α 2 , podemos colocar as express˜oes (1.72) na forma

c0= √ A r 1 + cos α 2 + i r 1 − cos α 2 ! . (1.73)

No entanto, cos α = a/A e , portanto, r 1 ± cos α 2 = r 1 ± (a/A) 2 = r A ± a 2A . (1.74)

(22)

Figure 1.14:

Consequentemente, segue que das express˜oes (1.73) e (1.74), bem como da rela¸c˜ao c1= −c0, que as ra´ızes

quadradas de a + i(a > 0) s˜ao (ver Figura 1.14) ±√1

2 √

A + a + i√A − a. (1.75)

Problemas:

1. Encontre a raiz quadrada de (a) 2i;

(b) 1 −√3i;

e apresente-as em coordenadas retangulares.

2. Encontre as trˆes ra´ızes c´ubicas ck(k = 0, 1, 2) de −8i, apresentando-as em coordenadas retangulares,

e diga porque elas est˜ao apresentadas como na Fig. 15.

Figure 1.15:

3. Encontre (−8 − 8√3i)1/4_{expresse as ra´ızes em coordenadas retangulares, exiba-as como os v´}_ertices

de um determinado quadrado, e assinale qual ´e a raiz principal.

4. Em cada caso, encontrar todas as ra´ızes em coordenadas retangulares, exibi-las como v´ertices de certos pol´ıgonos regulares e identificar a raiz principal:

(a) (−1)1/3; (b) 81/6_;

5. De acordo com a Sec. 10, as três ra´ızes cúbicas de um número complexo z0diferente de zero podem

ser escritas como c0, c0ω3, c0ω23 onde c0´e a principal raiz c´ubica de z0e

ω3= exp i2π 3 = −1 + √ 3 2 . Mostre que se z0 = −4 √ 2 + 4√2i, ent˜ao c0 = √

2(1 + i) e as outras ra´ızes cúbicas são, na forma retangular, os números c0ω3= −(√3 + 1) + (√3 − 1)i √ 2 , c0ω 2 3= (√3 − 1) − (√3 + 1)i √ 2 .

(23)

6. Encontre os quatro zeros do polinˆomio z4+ 4, sendo um deles z0=

√

2eiπ/4= 1 + i.

Ent˜ao use esses zeros para fatorar z2_{+ 4 em fatores quadr´}_{aticos com coeficientes reais.}

7. Mostre que se c é qualquer enésima raiz da unidade que não seja a própria unidade, então 1 + c + c2+ · · · + cn−1= 0

Sugest˜ao: Use a identidade 1 + z + z2_{+ · · · + z}n ₌1−zn+1

1−z (z¬1).

8. (a) Prove que a fórmula usual resolve a equa¸cão quadrática az2+ bz + c = 0 (a 6= 0)

quando os coeficientes a, b, e c são números complexos. Especificamente, completando o quadrado no primeiro membro, obtém-se a fórmula quadrática

z = −b ± (b

2_{− 4ac)}1/2

2a ,

sendo ambas as ra´ızes quadradas s˜ao consideradas quando b2_{− 4ac 6= 0,}

(24)

2. ´

Algebra Matricial

A Álgebra de Matricial oferece ferramentas convenientes para sistematizar cálculos laboriosos pelo fato de prover uma nota¸cão compacta para armazenar informa¸cões e para descrever rela¸cões complicadas.

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Defini¸cão 2. Uma matriz p × q é um arranjo retangular, A, de pq números (ou s´ımbolos representando números) entre colchetes; os números no arranjo são chamados de entradas e estão organizados em p linhas horizontais e q colunas verticais. A entrada (i, j) é denotada por Aij e é igual a entrada na

i−ésima linha e j−ésima coluna, numerando linhas do topo até a base e colunas da esquerda para a direita. Se A é uma matriz p × 1 ou 1 × q, então A é dita matriz coluna ou matriz linha, respectivamente. Neste texto denotaremos matrizes por letras em negrito. Em geral, uma matriz p × q tem a forma:

A =      a11 a12 . . . a1q a21 a22 . . . a2q .. . ... . .. ... ap1 ap2 . . . apq     

Matrizes podem ter como entradas números reais ou complexos. Matrizes com várias estruturas especiais surgem com frequência, por isso, a seguir, são apresentadas algumas terminologias para descreve-las.

Defini¸c˜ao 3. (a) Uma matriz quadrada A, p × q, ´e tal que p = q; as entradas (i, i) para 1 ≤ i ≤ p formam a diagonal principal de A;

(b) Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada na qual todas as entradas fora da diagonal principal são iguais a zero. A matriz diagonal p × q é denotada por diag(d1, d2, . . . , dp);

(c) Uma matriz L p × q ´e dita triangular inferior se satisfaz Lij= 0 se i < j, para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q.

(d) Uma matriz U p × q ´e dita triangular superior se satisfaz Uij = 0 se i > j, para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q.

(e) Uma matriz T p × q é dita triangular inferior (ou superior) unitária se é uma matriz triangular inferior (ou superior) tal que Tij= 1 para 1 ≤ i ≤ min(p, q).

O uso da nota¸cão matricial permite considerar um arranjo de muitos números como um único objeto designado por um único s´ımbolo. Rela¸cões entre os grandes conjuntos de números que muitas vezes surgem nas aplica¸cões podem então ser expressos de forma concisa. Quanto mais complicado o problema, mais úteis se tornam as matrizes. Contudo, talvez o mais importante de tudo, seja o fato de que o uso de matrizes muitas vezes fornece insights que não seriam obtidos facilmente - caso poss´ıvel - por outros meios.

Problemas: 1. Responda:

(a) Quantas entradas existem em uma matriz p × q? (b) Em sua primeira fila?

(25)

2. Seja A =   1 2 −2 3 4 0  , e B1= −1 6 x 2 y −3 Dˆe o que se pede a seguir:

(a) a (1, 2)−entrada de A (b) a (2, 2)−entrada de A (c) b2,3 (d) a (2, 2)−entrada de B (e) a2,1 (f) a3,2

2.2 Igualdade, adi¸

c˜

ao e multiplica¸

c˜

ao por um escalar

Na maioria das aplica¸cões, as matrizes podem ser combinadas de várias maneiras, da mesma forma que os números são combinados na aritmética. Na verdade, precisamos de conceitos que correspondam às opera¸cões aritméticas básicas em números; Esta se¸cão apresenta adi¸cão, subtra¸cão, nega¸cão, uma forma de multiplica¸cão e - a chave para todos eles - igualdade.

Defini¸cão 4. Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se: (a) A e B tem o mesmo número de linhas e de colunas;

(b) Todas as entradas correspondentes s˜ao iguais, ou seja, Aij= Bij para todo i e j.

Defini¸cão 5. Duas matrizes A e B podem ser adicionadas se elas tem o mesmo número p de linhas e o mesmo número q de colunas. A soma A + B de duas matrizes p × q é também uma matriz p × q e é obtida adicionando-se as entradas correspondentes de A e B. Em s´ımbolos

(A + B)ij = Aij+ Bij para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q. (2.1)

Exemplo: Suponha que as matrizes 2 × 2A, B e C s˜ao dadas por A = 9 x + 2 −3 2 , B = y −2 4 6 , A = 0 0 0 0 . Ent˜ao A + B = B + A = 9 + y x 1 8 , A + C = C + A = A.

2.2.1 Propriedades da adi¸

c˜

ao de matrizes

Para as duas matrizes A e B acima, vimos que A + B = B + A. Uma vez que adicionamos matrizes adicionando suas entradas correspondentes (que são números) e como a + b = b + a para números a e b, podemos esperar que A + B seja igual a B + A para matrizes também. Uma prova rigorosa para este fato deve ser um argumento que seja válido para todas as matrizes p × q A e B - para todos os inteiros positivos p, para todos os inteiros positivos q, para todas as matrizes Apxq e para todas as matrizes Bpxq.

Conven¸cão Notacional Importante. Geralmente omitimos declarar o número de linhas e colunas de matrizes nos teoremas, supondo que elas sejam tais que todas as opera¸cões indicadas fa¸cam sentido. Teorema 1 (Leis da Adi¸cão). A adi¸cão de matrizes é comutativa e associativa. Isto é:

(a) A + B = B + A (Lei comutativa)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Lei associativa) Prova:

(a) (A + B)ij= Aij+ Bij= Bij+ Aij= (B + A)ij para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q.

(26)

2.2.2 Matriz Nula e nega¸

c˜

ao de matrizes

Existe uma propriedade semelhante a do elemento neutro para adi¸cão de números reais para adi¸cão de matrizes. Ou seja, se A é uma matriz arbitrária p × q e 0 é uma matriz p × q, cujas entradas são todas iguais a zero, chamada de matriz nula, então:

A + 0 = 0 + A = A. (2.2) Uma vez conhecido o número zero no conjunto dos números reais, pode-se definir a nega¸cão de um número a como −a tal que se possa obter a + (−a) = 0. Similarmente, podemos definir a matriz −Ap × q como a matriz cujas entradas são a nega¸cão das entradas de A, ou seja, (−A)ij = −Aij para todo i, j e

assim, da nega¸cão poder-se definir a subtra¸cão de matrizes como: A − B = A + −B. Defini¸cão 6. (a) Matriz nula é a matriz 0, p × q, tal que:

0ij = 0 para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q.

(b) A nega¸c˜ao −A de uma matriz A, p × q, ´e uma matriz p × q tal que (−A)_ij = −(A)ij para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q

(c) A diferen¸ca A − B entre duas matrizes A e B ´e definida se, e somente se, A e B s˜ao ambas p × q, tal que A − B = A + −B e

(A − B)ij = Aij− Bij para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q. (2.3)

2.2.3 M´

ultiplo escalar de matrizes

Parece natural denotar A + A por 2A, o produto do n´umero 2 pela matriz A. Naturalmente, (A + A)ij = Aij+ Aij = 2Aij,

por isso, parece natural, tamb´em, definir o produto 2A por (2A)ij = 2Aij. Assim, de forma mais geral

temos:

Defini¸cão 7. Seja A, p × q, uma matriz e r um número real ou complexo (escalar). O múltiplo escalar rA de r por A é a matriz p × q com

(rA)ij = rAij para 1 ≤ i ≤ p e 1 ≤ j ≤ q. (2.4)

Exemplo: Seja E e F as matrizes 2 × 3 E = −2 4 3 + 2i x 6 −7 , F = 5 y −4 1 3 −3i Ent˜ao 4E = −8 16 12 + 8i 4x 24 −28 , 2E − 3F = −19 8 − 3y 18 + 4i 4x − 3 3 −14 + 9i

A adi¸cão, a nega¸cão e a subtra¸cão de matrizes combina com a multiplica¸cão por escalares de forma simples, como pode ser mostrado a partir das defini¸cões de igualdade matricial e das várias opera¸cões. Teorema 2. 1. (r + s)A = rA + sA 2. r (sA) = (rs)A 3. r (A + B) = rA + rB 4. (-1)A = -A 5. 0A = 0 6. r0 = 0

(27)

Até aqui, opera¸cões com matrizes tem se comportado como as opera¸cões com os números reais. Contudo, na próxima se¸cão estudaremos a multiplica¸cão de matrizes que se comporta de forma não usual.

Problemas:

1. Interprete, entrada por entrada, a senten¸ca A = B a fim de encontrar os valores de x, y, z e w, se A = x −3 2 y e B = 6 w z −1 2. Sejam as matrizes A, B, C, D, E e F definidas como:

A = 1 2 −3 6 , B = 4 7 2 0 , C =   2 −6 3  , D =   0 14 −2  , E =   4 −3 −2  , F = 2 + i 6 3 i

Efetue (ou responda ”indefinida”) (a) A + B (b) B + F (c) C + D (d) D + E (e) A + C (f) C + E e compare com E + C.

(g) A + (B + F) e compare com —(A + B) + F (h) F + D

3. Considere as matrizes A at´e F do problema 2. Efetue: (a) A − D (b) −D (c) −F (d) B − F (e) E − C (f) − (A − B) (g) −B − C (h) −B − A

(i) − (A + B) e compare com −A − B

4. O tra¸co tr(A) de uma matriz A, p × p, ´e a soma das entradas na diagonal principal de A. Prove que tr(A + B) = tr(A) + tr(B).

5. Considere as matrizes A at´e F do problema 2. Avalie: (a) 5A (b) (2 − 3i)B (c) (−3)C e compare com (−3C) (d) 2D − C (e) −10E (f) 6F (g) (2 + i)F (h) 0A (i) 0B + C 6. Prove que A + 0 = 0 + A = A para todo A.

7. Para matrizes A, p × q, prove que A = −A se, e somente se, A ´e a matriz nula.

2.3 Multiplica¸

c˜

ao de matrizes

Há várias no¸cões diferentes de produto entre duas matrizes, dependendo do uso no qual o conceito será posto. Neste texto é apresentado a defini¸cão com o maior alcance de aplica¸cões e é deixado como exerc´ıcio outras no¸cões de produto. O produto AB de duas matrizes será definido em termos dos produtos das linhas de A e das colunas de B, assim primeiro definimos o produto uv entre uma matriz de linha u, 1xq, e uma matriz de coluna v, qx1.

Defini¸c˜ao 8. Seja u1 × q e vq × 1. Assim, uv ´e a matriz 1 × 1 tal que u1v1+ u2v2+ · · · + uqvq =

q

X

i=1

(28)

Exemplo: Por exemplo, 4 −1 3   2 1 −5  = (4)(2) + (−1)(1) + (3)(−5) = [−8]

Note que uv é uma matriz 1 × 1, não um número; no exemplo acima, o produto é a matriz [−8], não o número -8. Com base nessa defini¸cão, partimos para o caso geral.

Defini¸cão 9. Seja Ap × q e Bq × r. Assim, o produto AB é definido como a matriz p × r cuja (i, j)−ésima entrada é a entrada 1 × 1, na matriz, obtida efetuando-se o produto da i−ésima linha de A pela j−ésima coluna de B. Isso é, (AB)_ij = Ai1B1j+ Ai2B2j+ · · · + AiqBqj= q X i=1 AikBkj. (2.6)

Observe que a fim de se ter AB bem definida o n´umero de colunas em A deve ser igual ao n´umero de linhas em B. Exemplo: −1 5 2 1 4 3 6 0 −1 2 = (−1)(4) + (5)(0) (−1)(3) + (5)(−1) (−1)(6) + (5)(2) (2)(4) + (1)(0) (2)(3) + (1)(−1) (2)(6) + (1)(2) = −4 −8 4 8 5 14 e a b c d x y = ax + by cx + dy ´

E importante praticar o procedimento linha-coluna para multiplicar matrizes at´e que o mesmo se torne autom´atico.

2.3.1 Propriedades da multiplica¸

c˜

ao de matrizes

Considere as matrizes A = 12 eB = −3 4 cujos produtos AB e BA est˜ao definidos como:

AB = [5]eBA =

−3 −6 4 8

Como podemos observar, os produtos AB e BA são diferentes. Em geral, mesmo se o produto AB estiver definido, não há razão para o produto BA estar definido, também: AB só faz sentido se A é p × r e B é r × q, contudo o produto BA não faz sentido, a menos que p = q. Quando, por acaso, AB e BA fazem ambos sentido, como no exemplo anterior, eles não precisam ser ambos p × q: Se A é p × r e B é r × p, então AB é p × p enquanto que BA é r × r. Finalmente, mesmo quando AB e BA são ambos p × p eles não necessitam ser iguais (embora possam ser em alguns casos). Assim, a multiplica¸cão de matrizes não é comutativa.

Isso significa que, ao multiplicar matrizes, você precisa ter cuidado com a ordem dos termos no produto. Para distinguir a ordem no produto AB, dizemos que A pré-multiplica B ou multiplica B à esquerda; da mesma forma, B pós-multiplica A ou multiplica A à direita. Assim, se queremos multiplicar ambos os membros de uma equa¸cão X = Y por alguma matriz P, é importante que ou pré-multipliquemos ambos os membros por P ou pós-multipliquemos ambos os membros por P: por exemplo, PX = PY será válido, pois X = Y implica que X − Y = 0 e portanto

0 = P0 = P(X − Y) = PX − PY, significando que PX = PY.

Há um caso especial quando a ordem de multiplica¸cão não é importante: quando cada matriz é uma potência inteira positiva da mesma matriz quadrada. Aqui nós definimos potência da maneira usual:

(29)

Portanto, segue claramente que ArAs= Ar+s= AsAr; isto é, Ar e Ascomutam. Embora a multiplica¸cão da matrizes não seja comutativa, ela é distributiva

A(B + C) = AB + AC e(A + B)C = AC + BC e associativa

A(BC) = (AB)C

sempre que todos os produtos fa¸cam sentido. Antes de provar essas leis, introduziremos uma matriz que desempenha o mesmo papel na multiplica¸cão de matrizes que a matriz nula na adi¸cão de matrizes. O número 1 possui a propriedade especial: 1a = a1 = a para todo número a; Procuramos uma matriz com propriedades semelhantes.

Defini¸c˜ao 10. A matriz identidade (ou unidade) r × r ´e a matriz diagonal Ir= diag(1, . . . , 1):

(Ir)ij = 1 se i = j, (Ir)ij = 0 se i 6= j, tal que Ir=        1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 .. . ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1        N´os desprezaremos o sub-´ındice r quando este n˜ao precisar ser enfatizado.

´

E fácil verificar que: se A é p × q, então IpA = A e AIq = A. Ou seja, as matrizes Ip e Iq

desempenham na multiplica¸cão de matrizes o mesmo papel do número 1 na multiplica¸cão de números. Agora estamos prontos para enunciar os principais fatos relativos à multiplica¸cão da matrizes. Teorema 3 (Leis da Multiplica¸cão de Matrizes). Sejam A, B e C matrizes, I a matriz identidade, 0 a matriz nula e c um escalar, então

a) A(BC) = (AB)C (lei associativa) b) A(B ± C) = AB ± AC (lei distributiva) c) (A ± B)C = AC ± BC (lei distributiva) d) (AI = IA = A

e) c(AB) = (cA)B = A(cB) f) AO = OA = O

g) Para uma matriz quadrada A: • (A)0_{= I}

• (A)1_{= A}

• (A)n+1_{= (A)(A)}n

• (A)m_(A)n_{= (A)}m+n

m, n ∈ Z

h) Multiplica¸cão de matrizes não é comutativa, em geral AB 6= BA

i) Em geral, a lei do cancelamento da multiplica¸cão não é válida, ou seja, AB = AC ou BA = CA não implica necessariamente que B = C.

Um ponto importante a ser lembrado em tudo isso é ter cuidado com a ordem da multiplica¸cão de matrizes. Expressões como (A + B)(A − B) podem obviamente ser expandidas como A2_−AB+BA−B2_,

mas os termos do meio n˜ao se cancelam. Problemas:

(30)

(a) 1 6 2 −1 −4 7 3 9 (b) 1 3 −1 2 2 −1 4 7 2 0 (c) 4 −1 2 6 0 3   2 −6 9   (d)   2 1 4 3 1 2   −1 6 1 0 1 3 2 −1 2 0 (e) 2i 1 + i −3 i 6 2 + 3i (f) 5 3 2 −6 (g) 2 −6 5 3

2. Calcule AB, AC, B + C e compare AB + AC com A(B + C) para A = 1 −1 2 2 0 1 , B =   1 1 2 −1 1 0  , e C =   2 −2 −1 3 0 0  .

3. Um produto diferente da defini¸cão 9 é importante em muitas áreas da ciência e engenharia, e é definido entre duas matrizes reais 1 × 3 (ou 3 × 1), a = [a1, a2, a3] e b = [b1, b2, b3],. Este produto

´

e chamado de produto vetorial, denotado como a × b, e definido como: a × b = [a2b3− a3b2, a3b1− a1b3, a1b2− a2b1],

e que ´e uma outra matriz 1 × 3. a) Mostre que a × b = −b × a

b) Mostre que a × a = 0 para toda matriz a

c) Mostre, através de um contra exemplo, que × não é associativo

d) Mostre que n˜ao existe uma matriz identidade para ×, ou seja, que n˜ao existe uma matriz e, 1 × 3 tal que (e × a = a × e = a para toda matriz a.

4. Um produto diferente da defini¸cão 9 é importante em muitas áreas da ciência e engenharia, e é definido entre duas matrizes. Se A, p × q, e B, r × s, então o produto de Kronecker (ou produto tensorial) A B é definido como a matriz pr × qs contendo todos os poss´ıveis produtos de uma entrada de A com uma entrada de B arranjados de uma forma especial: As primeiras r linhas de A B são criadas escrevendo a11B seguido por a12B à direita seguido a13B à direita seguida por

. . . seguido por a1qB `a direita; a segunda r linhas s˜ao similarmente geradas de a21B, a21B, e assim

por diante; e isto continua através do p-ésimo conjunto de r linhas. Por exemplo, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 =     5 6 7 10 12 14 8 9 10 16 18 20 15 18 21 20 24 28 24 27 30 32 36 40     a) Mostre exemplo de que não é comutativo;

b) Mostre exemplo de que n˜ao ´e associativo;

c) Mostre que [1] ´e uma matriz identidade para , ou seja, que [1] A = A [1] = A para toda matriz A.

5. Um produto diferente da defini¸cão 9 e que é principalmente útil em conexão com a análise de Fourier discreta é definido entrada por entrada entre duas matrizes p × q, A e B e definido por

[A ⊗ B]ij= [A]ij[B]ij

a) Mostre que ⊗ ´e comutativo; b) Mostre que ⊗ ´e associativo;

(31)

c) Encontre a matriz identidade p ×q, E tal que, que E⊗ A = A⊗ E = A para toda matriz p × q, A. 6. Suponha que A seja uma matriz 2 × 2 que comuta com toda matriz 2 × 2. Mostre que A deve ser

um m´ultiplo escalar de I2.

7. Determine, em termos do n´umero real r, o que acontece `a An _{para grandes valores de inteiros}

positivos n, se A = r 1 0 r

2.3.2 Transposta de matrizes

Uma opera¸cão matricial que não tem análogo em aritmética de números é a obten¸cão da transposta ou a transposta hermitiana de uma matriz. A idéia básica é criar uma nova matriz cujas linhas são as colunas da matriz original; o que significa que suas colunas são as linhas da matriz original; para a transposi¸cão hermitiana, conjugados complexos também são considerados.

Defini¸c˜ao 11. Seja A uma matriz p × q.

a) A transposta AT de A ´e uma matriz q × p obtida trocando-se, ordenadamente, as linhas de A - A primeira linha torna-se a primeira coluna e assim por diante. Isto ´e,

[AT]ij= [A]ji para 1 ≤ i ≤ q e 1 ≤ j ≤ p.

b) A Transposta hermitiana AH _{de A ´}_{e uma matriz q × p obtida tomando o complexo conjugado das}

entradas em AT _{- a primeira coluna de A}H _{consiste do complexo conjugado da primeira linha de A,}

e assim por diante. Isto ´e,

[AH]ij= [A]_ji para 1 ≤ i ≤ q e 1 ≤ j ≤ p.

Exemplo: Seja A e B como dadas abaixo: A = −1 2 4 2 6 3 , B = 2 − 3i 6 então AT, BT, AH e BH são obtidas por defini¸cão como:

AT =   −1 2 2 6 4 3  , BT = 2 − 3i 6 , AH=   −1 2 2 6 4 3  , BH= 2 + 3i 6 (6= BT).

As opera¸cões de transposi¸cão interagem de forma simples com as opera¸cões aritméticas já introduzidas para matrizes.

Teorema 4 (Leis para transposi¸c˜ao). Sejam A e B matrizes e c um escalar: a) (AT₎T _{= A e (A}H₎H _{= A}

b) (A ± B)T = AT± BT _{e (A ± B)}H_{= A}H_{± B}H

c) (cA)T = cAT e (cA)H = cAH d) ABT = BTAT e ABH= BHAH

Defini¸c˜ao 12. Uma matriz A (quadrada), para o qual a propriedade AT _{= A ´}_{e v´}_{alida, ou seja, tal}

que Aij = Aji qualquer que seja i e j, ´e chamada de sim´etrica. De forma semelhante, uma matriz B

(quadrada), para a qual a propriedade BH _{= B ´}_{e v´}_{alida, ou seja, tal que B}

ij = Bji para todo i e j, ´e

(32)

Uma matriz simétrica (ou hermitiana) deve ser quadrada pois: Se A é p × q, então AT será q × p, logo q deve ser igual a p para que A = AT.

Exemplo: Considere as matrizes A = 1 2 2 3 , B = 1 2 −2 3 , C = 2 3 + 2i 3 − 2i −6 .

Então, A é simétrico e hermitiano; B não é nem simétrico e nem hermitiano; e C é hermitiano, mas não simétrico.

Teorema 5. Se A é uma matriz simétrica p × p e B é qualquer matriz p × q, então BT_{AB ´}_{e sim´}_etrica.

Prova: Da defini¸c˜ao de matriz sim´etrica e das propriedades da transposta: BTABT

= BTAT(B)T = BTAB. Problemas:

1. Calcule AT_{, B}T_{, AB, AB}T _{e B}T_AT _{e verifique se AB}T _{= B}T_AT _se

A = 1 −2 −2 3 , e B = −2 1 1 1 2. Avalie (a) 1 2 3 −1 3 6 T (b) 1 2 3 T −1 3 6 (c) −1 3 6 1 2 3 T (d) −1 3 6 T 1 2 3 3. Verifique se BTAB ´e sim´etrico

A = 1 −1 −1 1 , e B = 1 0 −2 −1 3 0

2.4 Matrizes Inversas

As se¸cões anteriores estenderam para matrizes muitas idéias associadas à aritmética numérica; uma idéia omitida foi o análogo, para matrizes, de inversão ou reciprocidade, ou seja, calcular 1/3 de 3 ou, mais geralmente, calcular 1/a do número não-nulo a.

Uma maneira de descrever o inverso ou rec´ıproco 1/a de a é notar que 1/a é a solu¸cão x para a equa¸cão ax = 1, sendo, 1 o ”elemento neutro (identidade) da multiplica¸cão de números”: 1b = b1 = b para todos número b. Uma vez que as matrizes I são ”matrizes identidade para a multiplica¸cão da matrizes” -IB = BI = B para toda matriz B - o análogo natural à busca de um x que seja solu¸cão para ax = 1 e xa = 1 para um dado a é procurar uma matriz X que resolva AX = I e XA = I para uma dada matriz A.

Defini¸c˜ao 13. Seja A uma matriz dada.

a) Qualquer matriz L para o qual LA = I é chamada uma inversa à esquerda de A; b) Qualquer matriz R para o qual AR = I é chamada uma inversa à direita de A;

c) Qualquer matriz X para o qual XA = I e AX = I é chamada uma inversa (inversa à direita e à esquerda) de A;

(33)

Podemos determinar quais - se houver - os tipos dessas inversas uma matriz A possui, resolvendo conjuntos de sistemas de equa¸cões lineares, pois as solu¸cões dessas equa¸cões produzem as inversas.

Exemplo: Consideremos se existe uma inversa `a direita, R, para a matriz: A = 1 −1 1 2 .

Assim, buscamos uma matriz R que satisfa¸ca AR = I. Para R p´os-multiplicar a matriz A, 2 × 2, R deve ser 2 × q para alguns q, e portanto AR ser´a 2 × q. Mas, no entanto, queremos que AR seja igual a uma matriz identidade (seja quadrada), logo q = 2 e a matriz R deve ser 2 × 2. Assim, vamos procurar uma matriz AR, 2 × 2, da forma

R = x z y w . buscando x, y, z, w, de modo que AR = I, ou seja,

1 −1 1 2 x y z w = I = 1 0 0 1 .

Multiplicando as duas matrizes no primeiro membro em conjunto e equacionando as entradas no produto com as entradas correspondentes em I produz dois conjuntos de equa¸c˜oes lineares, uma envolvendo apenas x e y e o outra envolvendo apenas z e w:

x − y = 1 x + 2y = 0 e

z − w = 0 z + 2w = 1

Estes sistemas são facilmente resolvidos pelos métodos da álgebra do ensino básico para produzir exata-mente uma solu¸cão, x = 2/3, y = −1/3, z = 1 e w = 1. Isto, por sua vez, nos diz que há exatamente uma inversa à direita, a saber:

R = 2/3 1/3 −1/3 1/3 .

Nosso argumento no Exemplo 2.4 que determinou que R era 2 × 2 funciona de forma mais geral. Teorema 6. Seja A, p × q. Ent˜ao:

a) Qualquer poss´ıvel inversa `a direita R de A deve ser q × p b) Qualquer poss´ıvel inversa `a esquerda L de A deve ser q × p

Exemplo: Considere se existe uma inversa `a direita R para a matriz 2 × 3 A = 1 −1 1 1 1 2 .

Pelo Teorema 6, R deveria ser 3 × 2, assim procuramos x, y, z, u, v, w tal que 1 −1 1 1 1 2   x u y v z w  = 1 0 0 1 . que se traduz nas equa¸c˜oes

x − y + z = 1 x + y + 2z = 0 e

u − v + w = 0 z + v + 2w = 1

Ao resolver estes sistemas verificamos que a z e w (por exemplo) podem ser atribu´ıdos valores arbitrários z = α e y = β; e ao resolver para as outras variáveis em termos de α e β finalmente resulta em infinitas distintas inversas à direita, uma para cada escolha particular de α e β:

R =   1 2− 3α 2 1 2− 3β 2 −1 2− α 2 1 2− β 2 α β  .