Existˆ encia de solu¸ c˜ oes para sistema de equa¸ c˜ oes: Exemplos e procedimentos

O n´umero de solu¸c˜oes

Considere primeiramente o caso aparentemente simples de uma equa¸c˜ao ax = b em uma inc´ognita x; imediatamente, temos a tendˆencia de dizer que a solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao ´e x = b/a, mas de fato h´a trˆes possibilidades:

1. Se a 6= 0, ent˜ao x = b/a faz sentido e esta ´e a ´unica solu¸c˜ao. 2. Se a = 0, ent˜ao h´a duas possibilidades:

(a) Se b 6= 0, ent˜ao a equa¸c˜ao exige encontrar um x tal que 0x = b 6= 0, e, neste caso, n˜ao existe solu¸c˜ao. Dizemos que ”n˜ao existe solu¸c˜ao” ou que ”a equa¸c˜ao ´e inconsistente” j´a que ela implica em uma contradi¸c˜ao 0 = b 6= 0.

(b) Se b = 0, ent˜ao h´a infinitas solu¸c˜oes: Todo n´umero x ´e uma solu¸c˜ao pois 0x = 0 = b indepen- dentemente do valor de x.

´

E impressionante que precisamente as mesmas trˆes possibilidades - exatamente uma (´unica) solu¸c˜ao, nenhuma solu¸c˜ao, ou infinitas solu¸c˜oes - permanecem v´alidas para sistemas com duas equa¸c˜oes em duas vari´aveis. Por exemplo, as equa¸c˜oes

x1+ x2 = 2 x1− x2 = 0 tˆem solu¸c˜ao ´unica, x1+ x2 = 2 x1+ x2 = 1 s˜ao inconsistentes, e x1+ x2 = 2 2x1+ 2x2 = 4

tem infinitas solu¸c˜oes, a saber x1= k, x2= 2 − k, para todo k. Ainda mais surpreendente ´e o fato de que

exatamente as mesmas trˆes possibilidades s˜ao v´alidas para p equa¸c˜oes em q inc´ognitas: exatamente uma (´unica) solu¸c˜ao, nenhuma solu¸c˜ao ou infinitas solu¸c˜oes. Sem provar isso, no momento, podemos confiar na elimina¸c˜ao de Gauss para descobrir todas as solu¸c˜oes (se houver alguma) para qualquer sistema de equa¸c˜oes.

Elimina¸c˜ao de Gauss e a Existˆencia de Solu¸c˜oes: Exemplos Exemplo: Considere as trˆes equa¸c˜oes em trˆes inc´ognitas

x1+ 2x2− 5x3 = 2

2x1− 3x2+ 4x3 = 4

A matriz aumentada ´e   1 2 −5 | 2 2 −3 4 | 4 4 1 −6 | 8   A elimina¸c˜ao de Gauss reduz isto para

  1 2 −5 | 2 0 1 −2 | 0 0 0 0 | 0  

que interpretamos como a matriz aumentada para o sistema de equa¸c˜oes x1+ 2x2− 5x3 = 2

x2− 2x3 = 0

0x3 = 0.

A equa¸c˜ao mais abaixo - na qual geralmente contamos para determinar x3- ´e resolvida para x3= k para

todo n´umero arbitr´arios k. Por substitui¸c˜ao recursiva obtemos x2= 2k, x1= 2 + k e podemos escrever a

solu¸c˜ao como   x1 x2 x3  =   2 0 0  + k   1 2 1   parakarbitr´ario

Assim, existem infinitas solu¸c˜oes sendo estas encontradas com a elimina¸c˜ao de Gauss. Exemplo: Considere as trˆes equa¸c˜oes lineares em quatro inc´ognitas

x1+ 2x2− x3+ 2x4 = 4

2x1+ 7x2+ x3+ x4 = 14

3x1+ 8x2− x3+ 4x4 = 17

cuja matriz aumentada ´e

  1 2 −1 2 | 4 2 7 1 1 | 14 3 8 −1 4 | 17   A elimina¸c˜ao de Gauss nesta matriz reduz a

  1 2 −1 2 | 4 0 1 1 −1 | 2 0 0 0 0 | 1   Podemos interpretar isso como a matriz aumentada para

x1+ 2x2− x3+ 2x4 = 4

x2+ x3− x4 = 2

0x4 = 1

A equa¸c˜ao mais abaixo - na qual normalmente contamos para determinar x4 - pede-nos para encontrar

x4 tal que 0x4= 1. Contudo, n˜ao existe tal x4 e, portanto, o sistema de equa¸c˜oes n˜ao possui solu¸c˜ao.

Nossos exemplos e os Problemas mostram que, em geral, n˜ao ´e poss´ıvel determinar se as equa¸c˜oes n˜ao possuem solu¸c˜oes, possuem somente uma, ou possuem infinitas solu¸c˜oes, partindo apenas dos n´umeros de equa¸c˜oes ou inc´ognitas. Duas equa¸c˜oes em 10 inc´ognitas podem ser inconsistentes, enquanto que 10 equa¸c˜oes em duas inc´ognitas podem ter uma solu¸c˜ao ´unica. A elimina¸c˜ao de Gauss ´e o m´etodo para determinar qual situa¸c˜ao prevalece.

Vari´aveis e Colunas Principais No exemplo ?? foi poss´ıvel atribuir um valor arbitr´ario para x3, por

isso as vari´aveis restantes foram completamente determinadas por esse valor. Isto aumenta a quest˜ao de como dizer, ap´os a elimina¸c˜ao de Gauss ter sido aplicada, quais vari´aveis podem ser atribu´ıdos valores arbitr´arios e quais s˜ao completamente determinadas. Uma proposta ´e facilmente desenvolvida em termos de vari´aveis principais (ou colunas principais).

Defini¸c˜ao 16. A vari´avel principal em uma equa¸c˜ao ´e a primeira (lendo da esquerda para a direita) vari´avel naquela equa¸c˜ao com um coeficiente diferente de zero. A coluna principal para uma linha de uma matriz ´e a coluna que cont´em a primeira (lendo da esquerda para a direita) entrada diferente de zero nessa linha.

Baseado no que estudamos at´e aqui podemos afirmar, sem demonstrar, a seguinte regra:

Previs˜ao de Solu¸c˜oes de Equa¸c˜oes. Depois de completar a elimina¸c˜ao de Gauss na matriz aumentada [Ab] do sistema de equa¸c˜oes Ax = b, encontre as vari´aveis principais (colunas principais) das equa¸c˜oes reduzidas (matriz aumentada reduzida). Ent˜ao:

1. N˜ao h´a solu¸c˜oes se, e somente se, a ´ultima coluna for uma coluna principal de alguma linha. 2. Se a ´ultima coluna n˜ao for uma coluna principal para qualquer linha:

(a) Existe uma solu¸c˜ao ´unica se, e somente se, toda vari´avel ´e uma vari´avel principal para alguma equa¸c˜ao.

(b) Existem infinitas solu¸c˜oes se, e somente se, existem algumas vari´aveis que n˜ao s˜ao vari´aveis principais: cada uma dessas vari´aveis n˜ao principais podem ser atribu´ıdos valores completa- mente arbitr´arios e, assim, cada vari´avel principal ´e completamente determinada em termos dos valores atribu´ıdos `as vari´aveis n˜ao principais.

Exemplo: Considere o sistema de equa¸c˜oes no exemplo 3.2, onde aplicamos elimina¸c˜ao de Gauss em sua matriz aumentada. As colunas principais na matriz reduzida resultante s˜ao as de n´umero 1 e 2; a coluna final, de n´umero 4, n˜ao ´e uma coluna principal, nem a coluna 3. Como, de acordo com a propriedade anterior, x3 n˜ao ´e uma vari´avel principal, h´a infinitas solu¸c˜oes: podemos atribuir um valor

arbitr´ario para x3, em termos do qual as outras vari´aveis s˜ao completamente determinadas.

Problemas:

1. Use a elimina¸c˜ao de Gauss para resolver

2x − 3y = −1 2x + y = 3 x − 3y = −2 2. Use a elimina¸c˜ao de Gauss para resolver

2x − 3y = −1 2x + y = 3

x − y = 2 3. Use a elimina¸c˜ao de Gauss para resolver

2x − 3y = −1 −4x + 6y = −2 12x − 18y = −6 4. Use a elimina¸c˜ao de Gauss para resolver

x1+ 2x2− 3x3+ x4 = 0

2x1+ 5x2 = 8

x1− 14x3+ 8x4 = −15

−2x1− 3x2+ 14x3+ 2x4 = 10

5. Use a elimina¸c˜ao de Gauss para resolver

−x1+ x2 = 1

3x1− 2x2 = −1

6. Cada uma das matrizes abaixo ´e a forma reduzida resultante da elimina¸c˜ao de Gauss na matriz aumentada de algum sistema de equa¸c˜oes. Para cada matriz: (1) identifique suas colunas principais; (2) identifique suas vari´aveis principais; (3) use o regra para concluir de (1) e (2) se o sistema original n˜ao possui solu¸c˜oes, possui exatamente uma solu¸c˜ao, ou possui infinitas solu¸c˜oes.

(a)   1 −2 | 4 0 1 | 6 0 0 | 0   (b)   1 −2 | 4 0 1 | 6 0 0 | 2   (c)   0 1 2 | 3 0 1 0 | 0 0 0 0 | 0  