Sistemas de Coordenadas

Lembramos que o sistema de n´umeros reais pode ser visualizado como uma reta L, normalmente colocada em posi¸c˜ao horizontal. Escolhe-se um ponto O, a origem, em L; O corresponde ao n´umero 0 (zero). Escolhe-se um ponto A `a direita de O, fixando desse modo o comprimento OA como 1 e especificando uma dire¸c˜ao positiva. Ent˜ao, os n´umeros reais positivos ficam `a direita de O, e os n´umeros reais negativos ficam `a esquerda de O (Ver Figura (5.1)).

Figure 5.1:

O valor absoluto ou m´odulo |x| do n´umero real x ´e definido por |x| =



x, x ≥ 0 −x, x < 0 Assim, |2| = | − 2| = 2.

O n´umero real x correspondente ao ponto P ´e chamado de coordenada de P , e o ponto P cuja coordenada ´e x ´e representado por P (x). A reta L ´e um eixo de coordenadas. Se P est´a `a direita de O, sua coordenada ´e o comprimento do segmento OP . Se Q est´a `a esquerda de O, sua coordenada ´e menos o comprimento do segmento OQ. A distˆancia entre os pontos P e Q com coordenadas a e b ´e |b − a|.

No caso do plano, desenhamos um par de retas perpendiculares interceptando-se em um ponto O, a origem. Uma das retas, o eixo dos x, ´e, normalmente, colocada em posi¸c˜ao horizontal. A outra reta, o eixo dos y, ´e colocada, portanto, em posi¸c˜ao vertical. Escolhemos, ent˜ao, um ponto no eixo dos x `a direita de O e um ponto no eixo dos y acima de O para fixar a unidade de comprimento e o sentido positivo utilizado para cada um dos eixos. Com freq¨uˆencia, mas nem sempre, esses pontos s˜ao escolhidos equidistantes de O, usando-se assim a mesma unidade de comprimento para os dois eixos. Os eixos dos x e dos y juntos s˜ao denominados eixos coordenados. A proje¸c˜ao de um ponto P no plano em uma reta L ´e o ponto Q obtido interceptando-se L com a reta L0 perpendicular a L contendo o ponto P .

Sejam P um ponto no plano e Q sua proje¸c˜ao no eixo dos x. A coordenada de Q no eixo dos x ´e chamada de coordenada x, ou abscissa, de P . Analogamente, se Q0 ´e a proje¸c˜ao de P no eixo dos y, a coordenada de Q0 ´e a coordenada y, ou ordenada, de P . Dessa forma associamos a cada ponto do plano um par ordenado (x, y) de n´umeros reais, suas coordenadas. O ponto P com coordenadas x e y ´e representado por P (x, y). Reciprocamente, ´e f´acil ver como podemos associar a cada par ordenado (x, y) de n´umeros reais um ponto no plano [ver Fig. (5.2)]. Essa correspondˆencia entre pontos no plano e pares de n´umeros reais ´e chamada de sistema de coordenadas cartesiana (em homenagem a Ren´e Descartes). O conjunto de pontos no plano ´e representado por R2_{, tamb´em chamado de espa¸co bidimensional.}

Figure 5.2:

Exemplo: A Fig (5.3) mostra uma s´erie de pontos e suas coordenadas. A origem tem coor- denadas (0, 0). As coordenadas da proje¸c˜ao do ponto P (x, y) no eixo dos x s˜ao (x, 0) e as co- ordenadas da proje¸c˜ao no eixo dos y s˜ao (0, y).

Figure 5.3:

5.2

_{Vetores no R}

n

Vetores geom´etricos

Geometricamente, um vetor ´e um segmento de reta orientado do ponto A para o ponto B representado por−AB = v. Sendo A seu ponto inicial (origem) e B seu ponto final (extremidade). A dire¸−→ c˜ao de A para B ´e freq¨uentemente indicada por uma seta em B.

Figure 5.4: Quando A = B temos o chamado vetor nulo o. Opera¸c˜oes com vetores geom´etricos

Defini¸c˜ao 24 (Adi¸c˜ao). A resultante u + v entre dois vetores u e v ´e obtida pela chamada ”regra do paralelogramo”, isto ´e, u + v ´e a diagonal do paralelogramo formado por u e v como mostrado na Figura (5.5).

Defini¸c˜ao 25 (Multiplica¸c˜ao Escalar). o produto ku, de um n´umero real k por um vetor u, ´e obtido multiplicando a magnitude de u por k. Se k = 0 ent˜ao ku ´e igual ao vetor nulo. ku mant´em o mesmo sentido se k > 0 e tem sentido oposto se k < 0, como mostrado na Figura (5.6).

Vetores no plano

Defini¸c˜ao 26. Um vetor no plano, ou simplesmente vetor, ´e um vetor bidimensional u = (x1, x2), sendo

x1 e x2 n´umeros reais, chamados de componentes de u.

Em aplica¸c˜oes f´ısicas, ´e muitas vezes necess´ario tratar um segmento orientado −P Q de um ponto−→ P (x1, y1) (diferente da origem) a um ponto Q(x2, y2), como ilustrado na Fig. (5.8 a). Tal segmento

orientado tamb´em ser´a chamado de vetor no plano, ou, simplesmente, vetor com ponto inicial P (x1, y1)

e ponto final Q(x2, y2). As componentes de tal vetor s˜ao x2− x1 e y2− y1. Ent˜ao, o vetor

−−→ P Q na

Figure 5.5: _{Figure 5.6:}

Figure 5.7:

Fig. 3.8(a) pode tamb´em ser representado pelo vetor (x2 − x1, y2− y1) com ponto inicial O e ponto

final P ”(x2 − x1, y2− y1). Dois desses vetores no plano s˜ao iguais se suas componentes s˜ao iguais.

Considere os vetores−−−→P1Q1,

−−−→ P2Q2,

−−−→

P3Q3ligando, respectivamente, os pontos P1(3, 2) e Q1(5, 5), P2(0, 0) e

Q2(2, 3), P3(−3, 1) e Q3(−1, 4) como ilustrado na Fig. (5.8 b). Como todos tˆem as mesmas componentes,

todos s˜ao iguais.

Figure 5.8: Norma Euclidiana

Sejam O = (0, 0), A = (x1, y1) e B = (x2, y2) pontos no plano e seja u = (x1, y1), o vetor com ponto

inicial em O e ponto final em A, e seja v = (x2− x1, y2− y1) o vetor com ponto inicial em A e ponto

final em B. Ent˜ao, a norma de u e a norma de v s˜ao dadas, respectivamente, por: kuk =px2 1+ x22 e

kvk =p(x2− x1)2+ (y2− y1)2 Observe que kuk 2

= x2 1+ x22.

Opera¸c˜ao com Vetores no Plano Cartesiano

Defini¸c˜ao 27. Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) dois vetores no plano. A soma dos vetores u e v ´e o

vetor

u + v = (x1+ x2, y1+ y2).

Assim, a soma de vetores ´e obtida adicionando-se componente a componente (ver Fig, (5.9)). Exemplo: Sejam u = (1, 2) e v = (3, −4). Ent˜ao

Figure 5.9:

Defini¸c˜ao 28. Se u = (x1, y1) ´e um vetor e k um escalar, ent˜ao o m´ultiplo escalar ku de u por k ´e o

vetor ku = (kx1, ky1). Assim, o m´ultiplo escalar ku ´e obtido multiplicando-se cada componente de u por

k.

Figure 5.10:

O vetor (–1)u ou simplesmente −u ´e o negativo de u. O vetor u + (−1)v = (x1− x2, y1− y2) ´e a

diferen¸ca de u e v.

Propriedades 1 (da Adi¸c˜ao). Se u, v e w s˜ao vetores, ent˜ao 1. u + v = v + u;

2. u + (v + w) = (u + v) + w; 3. ∃o ∈ R2: u + o = u

4. ∀u ∈ R2, ∃ − u ∈ R2: u + (−u) = o

Propriedade Comutativa para adi¸c˜ao de vetores Propriedade Associativa para adi¸c˜ao de vetores Elemento Identidade para adi¸c˜ao de vetores (vetor nulo)

Elemento oposto ou sim´etrico

Propriedades 2 (da Multiplica¸c˜ao Escalar). Se u e v s˜ao vetores e k1, k2s˜ao escalares, ent˜ao

1. k1u + v = k1u + k1v;

2. (k1+ k2)u = k1u + k2u;

3. k1(k2)u) = (k1k2)u;

4. 1u = u

Primeira propriedade da Distributividade Segunda propriedade da Distributividade Propriedade Associativa

Propriedade da identidade Multiplicativa

ˆ

Angulo Entre Dois Vetores

Teorema 22. Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores, ent˜ao o ˆangulo θ entre estes dois vetores ´e dado

por

cos θ =x1x2+ y1y2 kuk kvk .

Figure 5.11: ˆAngulo entre dois vetores. Produto Escalar

Defini¸c˜ao 29. Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) vetores, o produto escalar entre estes dois vetores ´e

dado por u · v = x1x2+ y1y2. Exemplo: Se u = (2, 4) e v = (−1, 2), ent˜ao u · v = (2)(−1) + (4)(2) = 6 Al´em disso, kuk =p22_{+ 4}2₌√₂₀ e kvk =p (−1)2_{+ 2}2₌√₅ Logo, cos θ =√ 6 20√5 = 0, 6.

Propriedades 3 (do Produto Escalar). Sejam u, v e w vetores e k um escalar, ent˜ao 1. u · u > 0 se u 6= 0 e u · u = 0, ent˜ao u = 0;

2. u · v = v · u;

3. (u + v) · w = u · w + v · w; 4. ku · v = u · kv = k(u · v)

Propriedade da Positividade Definida Propriedade Comutativa

Propriedade Distributiva Propriedade Homogˆenea

Vetores Unit´arios

Defini¸c˜ao 30. Um vetor ´e unit´ario se tem norma igual a um.

Se u ´e um vetor n˜ao nulo ent˜ao o vetor e = _kuku ´e um vetor unit´ario de mesma dire¸c˜ao e sentido que u.

Existem dois vetores unit´_{arios especialmente importantes em R}2_{. Eles s˜ao i = (1, 0) e j = (0, 1), os}

vetores unit´arios ao longo dos semi-eixos positivos dos x e dos y, respectivamente.

Se u = (x1, y1) ´e um vetor em R2, podemos escrever u como uma combina¸c˜ao linear de i e j como

u = x1i + y1j. Proje¸c˜ao Ortogonal projvu = u · v kvk2 e w2= u − u · v kvk2v Vetores no R3

No R3_{, podemos fazer a visualiza¸c˜ao de maneira an´}

aloga ao que fizemos para R2_{. Para tanto, primeiro,}

Figure 5.12:

cada uma contendo a origem e tais que cada reta seja perpendicular `as outras duas. Essas retas s˜ao chamadas de eixos dos x, dos y e dos z. Em cada um desses eixos coordenados, escolhemos um ponto, fixando a unidade de comprimento e o sentido positivo. Freq¨uentemente, mas nem sempre, usamos a mesma unidade de comprimento para todos os eixos coordenados. A Fig. (5.13) mostra em (a) e (b) dois dos muitos sistemas de coordenadas poss´ıveis. O sistema de coordenadas ilustrado na Fig. (5.13 (a)) ´e chamado de sistema de coordenadas orientado pela regra da m˜ao direita; o ilustrado na Fig. (5.13 (b)) ´e o orientado pela regra da m˜ao esquerda.

A coordenada x do ponto P ´e o n´umero associado `a proje¸c˜ao de P no eixo dos x; as coordenadas y e z s˜ao definidas de maneira an´aloga. Esses trˆes n´umeros s˜ao as coordenadas de P . Ent˜ao, a cada ponto no espa¸co associamos uma tripla ordenada de n´umeros reais (x, y, z) e, reciprocamente, a cada tripla ordenada de ·n´umeros reais associamos um ponto no espa¸co. Essa correspondˆencia ´e chamada de um sistema de coordenadas cartesianas. Escrevemos P (x, y, z) ou, simplesmente, (x, y, z).

Figure 5.13:

O plano xy ´e o plano determinado pelos eixos dos x e dos y. Analogamente, temos os planos xz e yz. Em R3, as componentes de um vetor u s˜ao representadas por x1, y1e z1, logo u = (x1, y1, z1).

Como no plano, podemos associar ao vetor u = (x1, y1, z1) o segmento de reta orientado

−−→ OP com ponto inicial em O(0, 0, 0) e ponto final em P (x1, y1, z1) [ver Fig. (5.14 (a))]. Ainda como no plano, muitas

vezes utilizamos em aplica¸c˜oes f´ısicas segmentos orientados como −P Q do ponto P (x−→ 1, y1, z1) (diferente

da origem) ao ponto Q(x2, y2, z2), como ilustrado na Fig. (5.14 (b)). Um tal segmento de reta orientado

tamb´em ´_{e chamado de um vetor em R}3 _{ou, simplesmente, de um vetor com ponto inicial P (x}

1, y1, z1)

e ponto final Q(x2, y2, z2). As componentes de um tal vetor s˜ao x2− x1, y2 − y1 e z2− z1. Dois de

tais vetores em R3 _{s˜ao iguais se suas componentes s˜ao iguais. Portanto, o vetor}−_{P Q na Fig. (5.14 (b))}−→

tamb´em pode ser representado pelo vetor (x2− x1, y2− y1, z2− z1) com ponto inicial O e ponto final

P ”(x2− x1, y2− y1, z2− z1).

No caso do R3_{, os vetores unit´arios no sentido positivo dos eixos dos x, dos y e dos z s˜ao representados}

por i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Se u = (x1, y1, z1) ´e um vetor arbitr´ario em R3, podemos

escrever u como uma combina¸c˜ao linear de i, j e k como u = x1i + y1j + z1k.

Exemplo: Se u = (2, −1, 3), ent˜ao u = 2i − j + 3k. A desigualdade triangular em R2

e R3 _{nos diz que o comprimento de um dos lados de um triˆangulo}

n˜ao pode ser maior do que a soma dos comprimentos dos outros dois lados. Vetores no Rn

Como vimos na se¸c˜ao sobre matrizes, um vetor de dimens˜ao n, ou simplesmente vetor, ´e uma matriz n × 1 u = (x1, x2, . . . , xn), sendo x1, x2, . . . , xn escalares chamadas componentes de u.

Figure 5.14:

Os vetores de dimens˜ao n u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) s˜ao iguais se xi= yi(1 ≤ i ≤ n).

O conjunto de todos os vetores de dimens˜ao n ´_{e representado por R}n_{e denominado espa¸co de dimens˜ao}

n.

Sejam os vetores de dimens˜ao n u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn). A soma dos vetores u e v

´e o vetor u + v = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn).

Se u = (x1, x2, . . . , xn) ´e um vetor em Rn e k um escalar o m´ultiplo escalar ku de u por k ´e o vetor

ku = (kx1, kx2, . . . , kxn).

As opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜_{ao por escalar no R}n _{satisfazem as mesmas propriedades de}

vetores no R2_.

Teorema 23. Sejam u, v e w vetores em Rn_{; sejam k}

1 e k2 escalares. Ent˜ao (α)u + v ´e um vetor em

Rn (ou seja, Rn´e fechado em rela¸c˜ao a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao de vetores). 1. u + v = v + u.

2. u + (v + w) = (u + v) + w. 3. ∃o ∈ Rn

tal que u + o = o + u = u∀u ∈ Rn_.

4. ∀u ∈ Rn

, ∃ − u ∈ Rn _{tal que u + (−u) = o}

ku ∈ Rn com k um escalar (ou seja, Rn ´e fechado sob a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao por escalar). 1. k1u + v = k1u + k1v;

2. (k1+ k2)u = k1u + k2u;

3. k1(k2)u) = (k1k2)u;

4. 1u = u

Escreveremos u + (−v) como u − v e chamamos esse ´ultimo vetor da diferen¸ca de u e v.

Defini¸c˜ao 31. O comprimento (tamb´em chamado de norma ou magnitude) do vetor u = (x1, x2, . . . , xn) ∈

Rn ´e kuk = q x2 1+ x 2 2+ · · · + x2n.

Que pode, tamb´em, ser entendido como a distˆancia do ponto (x1, x2, . . . , xn) `a origem. A distˆancia entre

os ponto (x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn) ´e definida, ent˜ao, como o comprimento do vetor u − v, sendo

u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn). Assim, a distˆancia ´e dada por

ku − vk =p

(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · · + (xn− yn)2.

Exemplo: Sejam u = (2, 3, 2, −1) e v = (4, 2, 1, 3). Ent˜ao

kuk =p22_{+ 3}2_{+ 2}2_{+ (−1)}2₌√₁₈

A distˆancia entre os pontos (2, 3, 2, −1) e (4, 2, 1, 3) ´e

ku − vk =p(2 − 4)2_{+ (3 − 2)}2_{+ (2 − 1)}2_{+ (−1 − 3)}2₌√_22.

Se u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) s˜ao vetores em Rn, ent˜ao seu produto escalar ou produto

interno ´e definido por

u · v = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn.

Foi exatamente assim que o produto escalar foi definido em R2_.

Se u ´_{e um vetor em R}n_{, podemos usar a defini¸c˜}

ao de produto escalar em Rn_{para escrever kuk =}√_{u · u.}

O produto escalar em Rn

satisfaz as mesmas propriedades que em R2_.

Teorema 24. Sejam u, v e w vetores em Rn _{e k um escalar, ent˜ao}

1. u · u > 0 se u 6= 0; u · u = 0 se, e somente se, u = 0; 2. u · v = v · u; 3. (u + v) · w = u · w + v · w; 4. ku · v = u · kv = k(u · v). Desigualdade de Cauchy-Schwarz Se u e v s˜_{ao vetores em R}n, ent˜ao |u · v| ≤ kuk kvk .

Observe que `a esquerda temos o valor absoluto de um n´umero real, enquanto que `a direita temos o comprimento de um vetor.

Vamos usar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para definir o ˆangulo entre dois vetores n˜ao nulos em Rn.

Se u e v s˜ao vetores n˜ao-nulos, temos, da desigualdade de Cauchy-Schwarz,     u · v kukkvk     ≤ 1 ⇔ −1 ≤ u · v kukkvk≤ 1.

Na fun¸c˜ao y = cos θ, para qualquer n´umero r no intervalo [−1, 1], existe um ´unico n´umero real θ tal que cos θ = r para 0 ≤ θ ≤ π. Isso implica que existe um ´unico n´umero real θ tal que

cos θ = u · v kuk kvk. Exemplo: Sejam u = (1, 0, 0, 1) e v = (0, 1, 0, 1). Ent˜ao

kuk =√2, kvk =√2 e u · v = 1. Ent˜ao

cos θ =1

2 e θ = 60

o _{ou π/3 radianos.}

Defini¸c˜ao 32. Dois vetores n˜_{ao-nulos u e v em R}n _{s˜ao ditos ortogonais se u · v = 0. Se um dos}

vetores ´e o vetor nulo, concordamos em dizer que os vetores s˜ao ortogonais. Eles s˜ao ditos paralelos se |u · v| = kuk kvk. Eles tˆem o mesmo sentido seu u · v = kuk kvk. Isto ´e, eles s˜ao ortogonais se cos θ = ±1, e tˆem o mesmo sentido se cos θ = 1.

Exemplo: Sejam u = (1, 0, 0, 1), v = (0, 1, 1, 0) e w = (3, 0, 0, 3) vetores. Ent˜ao u · v = 0 e v · w = 0,

o que implica que u e v s˜ao ortogonais e v e w s˜ao ortogonais. Por outro lado, u · w = 6, kuk =√2, kwk =√18

e, portanto, u · v = kuk kvk, ou seja, u e w tˆem mesma dire¸c˜ao e mesmo sentido. Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz a chamada desigualdade triangular. Desigualdade Triangular

Teorema 25. Sejam u e v vetores em Rn, ent˜ao

ku + vk ≤ kuk + kvk .

Os vetores de dimens˜ao ne1= (1, 0, . . . , 0), e2= (0, 1, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, ..., 1) s˜ao vetores unit´arios

mutuamente ortogonais em Rn_{. Se u = (x}

1, x2, . . . , xn) ´e um vetor arbitr´ario em Rn, ent˜ao u pode ser

escrito como uma combina¸c˜ao linear de e1, e2, . . . , en,

u = x1e1+ x2e2+ · · · + xnen.

O vetor ei, 1 ≤ i ≤ n, pode ser considerado a i-´esima coluna da matriz identidade In. Logo, as colunas

de In formam um conjunto de n vetores mutuamente ortogonais.

Problemas:

1. Encontre u + v, u − v, 2u, 3u − 2v se (a) u = (1, 2, −3), v = (0, 1, −2). (b) u = (4, −2, 1, 3), v = (−1, 2, 5, −4).

2. Sejam u = (4, −1, −2, 3), v = (3, −2, −4, 1), w = (a, −3, −6, b) e x = (2, c, d, 4). Encontre a, b, c e d tais que

(a) w = 3u. (b) w + x = u.

(c) w − u = v.

3. Desenhe um segmento de reta orientado representando cada um dos vetores a seguir. (a) u1= (2, −3, −1).

(b) u2= (0, 1, 4).

(c) u3= (0, 0, −1).

4. Encontre o comprimento de cada um dos vetores a seguir. (a) (2, 3, 4).

(b) (0, −1, 2, 3). (c) (−1, −2, 0). (d) (1, 2, −3, −4).

5. Encontre a distˆancia entre os pares de pontos dados a seguir. (a) (1, 1, 0), (2, −3, 1).

(b) (4, 2, −1, 6), (4, 3, 1, 5). (c) (0, 2, 3), (1, 2, −4). (d) (3, 4, 0, 1), (2, 2, 1, −1).

6. Encontre, se poss´ıvel, escalares c1, c2e c3, nem todos nulos, tais que

c1(1, 2, 0) + c2(1, 3, −2) + c3(3, 7, −4) = (0, 0, 0).

7. Encontre o cosseno do ˆangulo entre cada par de vetores u e v a seguir. (a) u = (2, 3, 1), v = (3, −2, 0).

(c) u = (0, 2, 3), v = (2, 2, −1). (d) u = (3, 4, 0, 1), v = (0, −1, 2, 0).

8. Quais dos vetores u1 = (4, 2, 6, −8), u2 = (−2, 3, −1, −1), u3 = (−2, −1, −3, 4), u4 = (1, 0, 0, 2),

u5= (1, 2, 3, −4) e u6= (0, −3, 1, 0)

(a) s˜ao ortogonais? (b) s˜ao paralelos?

(c) tem mesma dire¸c˜ao e o mesmo sentido?

9. Encontre um vetor unit´ario com mesma dire¸c˜ao e mesmo sentido que x. (a) x = (2, −1, 3).

(b) x = (1, 2, 3, 4). (c) x = (0, 1, −1). (d) x = (0, −1, 2, −1).

10. Verifique que o triˆangulo com v´ertices em P1(2, 3, −4), P2(3, 1, 2) e P3(−3, 0, 4) ´e is´osceles.

REFERÊNCIAS

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Bookman, 2001. ÁVILA, Geraldo. Variáveis complexas e aplicações. LTC, 2008.

CHURCHILL, Ruel V. Variáveis complexas e suas aplicações. McGraw-Hill do Brasil, 1980.

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