MODELOS E PROCESSO DE
MODELOS E PROCESSO DE
MODELAÇÃO
Resumo
•
O que é um modelo?
•
Porquê utilizar modelos? Objectivo da
•
Porquê utilizar modelos? Objectivo da
modelação.
•
Como modelar? O processo de modelação.
•
Formulação de modelos
•
Formulação de modelos.
O que é um modelo?
•
Um modelo é uma representação da
realidade com um certo grau de
realidade com um certo grau de
aproximação, suficiente para o propósito
para o qual o modelo é construído
para o qual o modelo é construído.
•
Os modelos podem tomar várias formas:
• Conceptuais, mentais, verbais, físicos,
estatísticos, lógicos, gráficos… estat st cos, óg cos, g á cos
• O nosso estudo centrar-se-á em modelos
matemáticos matemáticos.
O que é um modelo?
• Um exemplo de modelo verbal é a descrição do processo de respiração num texto de fisiologia.
• Um exemplo de um modelo gráfico é a representação através de um gráfico da quantidade de uma droga existente no organismo durante um período de tempo existente no organismo durante um período de tempo.
O que é um modelo?
• Qualquer modelo matemático será sempre uma
aproximação da realidade.p ç
• Exemplo:
• É possível formular equações que descrevam como o • É possível formular equações que descrevam como o
sangue é bombeado do coração.
• Um modelo totalmente realista teria de considerar todasUm modelo totalmente realista teria de considerar todas
as moléculas do músculo cardíaco.
• Seria impossível resolver um problema com tantas p p
variáveis.
• Como aproximação consideram-se apenas as 4 cavidades • Apesar de aproximado o modelo ainda deverá possibilitar
Objectivo dos Modelos
•
A forma como o modelo é formulado e o
grau de detalhe incorporado dependem
grau de detalhe incorporado dependem
principalmente do seu objectivo.
C
t
bj ti
d l
d
•
Consoante o seu objectivo, um modelo pode
ser:
• Descritivo (representação matemática de uma relação entre variáveis fisiológicas)g )
• Interpretativo (baseado em dados)
• Preditivo (permite previsões/simulação da resposta a (p p / ç p
Modelos Descritivos
• A utilização de equações matemáticas é um bom
modo de descrever um sistema em análise de modo conciso e económico.
• Facilitam o manuseamento e o tratamento dosFacilitam o manuseamento e o tratamento dos dados associados ao sistema modelado.
• Se uma variável é directamente proporcional a
• Se uma variável é directamente proporcional a
outra, uma equação é uma forma muito mais fácil de descrever a relação do que um gráfico ou um de descrever a relação do que um gráfico ou um texto.
Modelos Interpretativos
•
São utilizados para interpretar os dados
experimentais:
experimentais:
• Decaimento exponencial ou outra expressão
matemática matemática.
•
Permitem obter uma representação
compacta de um processo de primeira ordem
(por exemplo linear ou exponencial).
(p
p
p
)
• Ex: Modelação da variação da concentração de
um medicamento no sangue em função do um medicamento no sangue em função do tempo.
Modelos Preditivos
• Neste caso, trata-se de tentar prever de que modo
um sistema responde a um estímulo ou a p
alterações das suas condições de funcionamento.
• Ex: Resposta do organismo humano a uma droga.p g g
• Identifica correlações entre variáveis medidas.
• Utiliza essas correlações para simular o
• Utiliza essas correlações para simular o
comportamento do sistema e tentar prever como este reage a alterações
este reage a alterações.
• Ex: No caso anterior, pode ser simulada a injecção de
uma droga observando com a ajuda do modelo de que uma droga, observando, com a ajuda do modelo, de que modo a sua concentração no sangue varia em função do tempo.p
Modelos Explanatórios
• Se os parâmetros de um modelo correspondem a
processos fisiológicos ou a efeitos explícitos, então
p g p ,
as alterações destes processos podem ser
avaliadas observando as variações dos parâmetros ç p
do modelo.
• Os modelos podem assim ser utilizados para ajudarOs modelos podem assim ser utilizados para ajudar a obter uma explicação fisiológica das alterações
dinâmicas que são observadas. dinâmicas que são observadas.
• Ex: Podemos tentar entender como alterações de
condições dinâmicas reais alteram, por exemplo, a ç , p p , utilização de medicamentos pelo corpo.
Outros Tipos de Modelos
•
Além destes tipos, os modelos podem servir
ainda para:
ainda para:
• Ajuda à compreensão
T t d hi ót
• Teste de hipóteses
• Medição indirecta de parâmetros
• Educacionais
• Simulação
• Simulação
Como modelar? Processo de Modelação
• Ao desenvolver um modelo matemático, são
possíveis essencialmente dois métodos: p
• Método 1 (Modelação dos dados): Utilização dos
dados experimentais para procurar uma descrição
quantitativa do sistema: Data-driven ou Black Box model
• Os dados correspondem implicitamente à fisiologia do
i
sistema.
• São úteis quando não se conhece completamente a
fisiologia do sistema q e se p etende est da fisiologia do sistema que se pretende estudar.
• São úteis quando apenas estamos interessados no
comportamento dinâmico dos sistemas e não nas razões comportamento dinâmico dos sistemas e não nas razões que provocam esse comportamento.
Como modelar? Processo de Modelação
• Método 2 (Modelação do sistema): Tentativa de
representar explicitamente a fisiologia.
• Representa sempre uma aproximação maior ou menor à
realidade.
d l í
• Tem a vantagem de permitir relacionar as características
das alterações dinâmicas com variáveis e parâmetros directamente incorporados no modelo
directamente incorporados no modelo.
Um bom modelo está dependente da adopção de
• Um bom modelo está dependente da adopção de
uma metodologia clara e correcta para o processo de modelação
Como modelar? Processo de Modelação
• Compromissos:
• Realismo
• Até que ponto a estrutura do modelo mimetiza o mundo real. Em
modelos realistas, tanto as equações como os resultados da aplicação do modelo têm de estar correctas Em modelo físicos aplicação do modelo têm de estar correctas, Em modelo físicos (e.g. de um avião), mesmo os rebites estão presentes.
• PrecisãoPrecisão
• A precisão dos resultados dados pelo modelo (não se trata aqui de
avaliar o grau de variação dos resultados mas as suas diferenças
l i i d )
relativamente ao que o sistema produz).
• Generalidade
O número de situações que pode ter em conta (e g O modelo
• O número de situações que pode ter em conta (e.g. O modelo
Formulação do Modelo
Formulação do Modelo
•
Neste caso escolhe-se uma estrutura
específica para o modelo de modo a ter uma
específica para o modelo de modo a ter uma
descrição de entrada e saída dos dados
obtidos a partir do sistema fisiológico
obtidos a partir do sistema fisiológico.
• A estrutura escolhida pode ser, por exemplo,
á é
uma análise de uma série temporal ou de uma função de transferência.
• O grau de complexidade do formalismo
matemático deve estar de acordo com o propósito do modelo.
Formulação do Modelo
Formulação do Modelo
•
Método de Modelação do Sistema:
• Neste caso há três componentes essenciais
• Neste caso há três componentes essenciais
distintas no modelo:
A formulação de um modelo conceptual baseado no
• A formulação de um modelo conceptual, baseado no
conhecimento da fisiologia do processo.
• A realização matemática desse modelo conceptual • A realização matemática desse modelo conceptual.
• A solução do modelo que permite obter a relação entre
as variáveis de interesse. as variáveis de interesse.
Formulação do Modelo
•
Método de Modelação do Sistema:
• A formulação de um modelo conceptual
• A formulação de um modelo conceptual
necessita sempre de alguma simplificação:
Agregação: Tratar vários compartimentos como um só
• Agregação: Tratar vários compartimentos como um só
(por exemplo o compartimento vascular).
• Abstracção: Considerar apenas a realidade em análise • Abstracção: Considerar apenas a realidade em análise
(por exemplo considerar que no sangue há apenas glucose e as enzimas que a regulam).
• Idealização: Tratar algumas estruturas do modelo, que
são mais difíceis de descrever, como ideais (por
exemplo, tratar a incorporação de um metabolito num compartimento como sendo instantânea).
Formulação do Modelo
•
Método do Modelo do Sistema
• Uma vez criado o modelo conceptual passa-se à
• Uma vez criado o modelo conceptual, passa se à
definição da relação matemática entre as suas variáveis
variáveis.
•Ex: Num modelo dinâmico, estas relações
descreverão de que modo uma ou mais descreverão de que modo uma ou mais
quantidades fisiológicas variam com o tempo.
P d b l õ lí i
•Pretende-se obter relações explícitas entre
variáveis ou parâmetros de um modelo, ou seja,
l d l
Formulação do Modelo
• Por vezes existe informação a priori sobre a
estrutura e os parâmetros do modelo. p
• Nestes casos o modelo pode ser “resolvido” e
validado. validado.
• Muitas vezes, existe uma grande incerteza no que
diz respeito à estrutura a utilizar para o modelo e diz respeito à estrutura a utilizar para o modelo e aos seus parâmetros.
Nestes casos não podemos esol e o modelo de
• Nestes casos, não podemos resolver o modelo de
forma directa e devemos, por isso, identificar a sua estrutura e os seus parâmetros a partir dos dados estrutura e os seus parâmetros a partir dos dados.
Identificação do Modelo
• Para que sejamos capazes de passar do Sistema para o
M d l t fi
Modelo, como mostra a figura, precisamos de:
•Especificar a estrutura do modelo •Especificar a estrutura do modelo. •Determinar a totalidade dos
parâmetros envolvidos na definição dessa estrutura.
• Por outras palavras, o modelo necessita de estar completo de necessita de estar completo de modo a que possa ser
resolvido. resolvido.
Identificação do Modelo
•
Na prática o nosso modelo pode não ser
completo porque os valores de alguns
completo porque os valores de alguns
parâmetros podem não ser conhecidos.
I t
d
d
d l
d
•
Isto pode suceder quer em modelos de
dados quer em modelos de sistemas.
•
Havendo dados em falta, precisamos de uma
metodologia que nos permita identificar o
metodologia que nos permita identificar o
modelo adequado aos nosso propósitos
Identificação do Modelo
• A utilização da metodologia de identificação que
mostrámos necessita de dados.
• Por vezes, estes dados podem ser obtidos a partir
da dinâmica intrínseca ao modelo. Estes casos são da dinâmica intrínseca ao modelo. Estes casos são excepções.
• Ex: Sinais electrofisiológicos provenientes do cérebro ou • Ex: Sinais electrofisiológicos provenientes do cérebro ou
do coração.
• Na maioria dos casos precisamos de desenhar
• Na maioria dos casos, precisamos de desenhar
experiências adequadas, que passam muitas vezes pela aplicação de estímulos ao sistema de modo a pela aplicação de estímulos ao sistema de modo a poder observar a sua resposta dinâmica.
Identificação do Modelo
• Os dados de entrada e saída destas experiências
devem conter parâmetros que sejam ainda p q j
desconhecidos e necessários para a formulação do modelo.
• Primeiro é necessário saber se os dados recolhidos
são suficientemente ricos para permitir a estimação são suficientemente ricos para permitir a estimação dos parâmetros necessários de uma forma que não seja ambígua.
seja ambígua.
• Por vezes o modelo é demasiado complexo para os
dados mensuráveis ou os dados são insuficientes dados mensuráveis ou os dados são insuficientes.
Identificação do Modelo
•
Identificando o modelo e assumindo que os
dados são ideais é possível passar à
dados são ideais, é possível passar à
estimação dos parâmetro desconhecidos.
E i t
di
f
f
•
Existem diversas formas para fazer essa
estimação (serão abordadas mais à frente).
•
As mais comuns são baseadas em métodos
de estimação linear e não linear de mínimos
de estimação linear e não linear de mínimos
quadrados.
Validação do Modelo
• Significa avaliar se é adequado ao propósito a que
se destina.
•Terá de ser possível testá-lo.
• Uma vez que é uma aproximação, será queUma vez que é uma aproximação, será que
reproduz bem a realidade, de modo a que possa ser utilizado na prática?
ser utilizado na prática?
• Podem existir vários modelos válidos para um
mesmo sistema (todos os que passarem nos testes mesmo sistema (todos os que passarem nos testes de validação).
A lid ã t l d t t ã d
• A validação tem lugar durante a construção do
Validação do Modelo • Uma vez • Uma vez completado e os seus parâmetros seus parâmetros especificados, um modelo pode um modelo pode ser validado através do através do seguinte processo processo.
Validação do Modelo
• Suponha-se que um modelo permite avaliar as
propriedades elásticas dos vasos sanguíneos e que
p p g q
uma mudança destas, no sistema real, está
relacionada com a passagem do estado de saúde p g
ao estado de doença.
• Alterando estas características do modelo deveráAlterando estas características do modelo deverá permitir encontrar, por exemplo, padrões de fluxo sanguíneo característicos de doença.
sanguíneo característicos de doença.
• Genericamente, o que se pretende da validação é
que dependendo do objectivo os valores que, dependendo do objectivo, os valores
Validação do Modelo
• Qualquer discrepância entre os valores fornecidos e
os valores medidos deve ser devidamente analisada.
• Dependendo do método de estimação deDependendo do método de estimação de
parâmetros utilizado, existem formas quantitativas de validar os resultados (ex: qualidade dos
de validar os resultados (ex: qualidade dos ajustes).
• No caso de vários modelos serem adequados
• No caso de vários modelos serem adequados,
deverá escolher-se o que possui a menor quantidade de parâmetros
Simulação do Modelo
•
Muitas vezes não é possível ou não é
razoável resolver as equações que
razoável resolver as equações que
relacionam os parâmetros de um modelo
(ex: equações diferenciais não lineares ou
(ex: equações diferenciais não lineares ou
grandes conjuntos de equações).
•
Nestes casos é útil utilizar simulações
computacionais para resolver o modelo.
computacionais para resolver o modelo.
•
A potência computacional existente hoje
it
f t
t
t
f
Simulação do Modelo
Simulation Simulation
Simulação do Modelo
•
Havendo validado um modelo, podemos
agora utilizá-lo como ferramenta de
agora utilizá lo como ferramenta de
simulação.
T t d l d l d d t d
•Trata-se de resolver o modelo de modo a estudar
os resultados produzidos por este.
•Pode ser feito na totalidade do modelo ou apenas
numa das suas partes.
