DETERMINAÇÃO DO COMPORTAMENTO AO CORTE DA MADEIRA DE PINUS PINASTER, AIT, USANDO O ENSAIO OFF- AXIS : ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS

(1) _{ESTV, Departamento de Engenharia de Madeiras, Viseu} (2) _{UTAD, Departamento de Engenharias, Vila Real} (2) _{CETAV/UTAD, Departamento de Engenharias, Vila Real}

DETERMINAÇÃO DO COMPORTAMENTO AO CORTE DA

MADEIRA DE PINUS PINASTER, AIT, USANDO O ENSAIO

“OFF-AXIS”: ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS

Nuno Garrido(1), José Xavier(2), José Morais(3)

RESUMO

O objectivo deste trabalho é o estudo do ensaio de tracção “off-axis” para a identificação do comportamento ao corte da madeira de Pinus Pinaster, Ait. no plano LR, usando o provete paralelipipédico com bolachas de reforço oblíquas. Para o efeito efectuou-se a simulação desse ensaio pelo método dos elementos finitos, no domínio linear, recorrendo ao código comercial ANSYS 7.0. O uso de provetes com bolachas inclinadas permite a determinação directa do módulo de corte GLR, sem necessidade de recorrer a quaisquer factores de correcção. Todavia, a resistência ao corte só pode ser determinada indirectamente, através dum critério de resistência apropriado.

1. INTRODUÇÃO

É fundamental para o uso da madeira como material estrutural conhecer com rigor as suas leis de comportamento mecânico. Porém, devido à variabilidade e anisotropia da madeira, a identificação experimental do seu comportamento mecânico é um problema complexo que ainda está por resolver. Uma das principais dificuldades prende-se com a identificação do comportamento ao corte no referencial de simetria material, conhecido por referencial LRT (Figura 1). Este referencial é definido em cada ponto pela direcção longitudinal das fibras (L), pela direcção radial dos anéis de crescimento (R) e pela direcção tangencial aos anéis de crescimento (T).

As propriedades de corte da madeira são em geral determinadas através de ensaios normalizados, baseados fundamentalmente nas normas ASTM, como o “shear block test” [ASTM (1978)] e o “plate twist test” [ASTM (1976)]. O “shear block test” é usado apenas para a determinação da resistência ao corte, embora a sua validade seja questionável. O “plate twist test” destina-se apenas à determinação do módulo de corte, mas a sua aplicação é limitada pela dimensão exigida aos provetes. Outro aspecto importante que estes ensaios não tomam em consideração é o carácter ortotrópico da madeira. O próprio projecto de Norma Europeia prEN 408 (2000) não ultrapassa todas as limitações das normas actualmente em vigor.

L

R T

Fig. 1 – Referencial de simetria material da madeira.

Para caracterizar o comportamento ao corte dos materiais compósitos artificiais, Chamis e Sinclair (1977) propuseram o chamado ensaio de tracção “off-axis”. Desde então esse ensaio foi exaustivamente estudado por outros autores, sendo hoje de utilização corrente pelos investigadores da área dos compósitos artificiais. O principal problema com esse ensaio tem a ver com o acoplamento entre a deformação linear e a deformação de corte, que é uma característica dos materiais anisotrópicos [Tsai e Hahn (1980)]. Dependendo do tipo de constrangimento imposto às extremidades dos provetes, o referido acoplamento torna complexa a relação entre o estado de tensão instalado na região de referência do provete e as grandezas medidas experimentalmente [Pindera e Herakovich (1986)].

Duas vias alternativas foram propostas para ultrapassar os efeitos do constrangimento das extremidades dos provetes no ensaio “off-axis”. Uma delas consiste na aplicação aos resultados experimentais de factores de correcção obtidos analiticamente [Pindera e Herakovich (1986)] ou numericamente [Marin et al. (2002a, 2002b)]. A outra via consiste na tentativa de reprodução das condições ideais de amarração, com vista à obtenção dum estado de tensão uniforme na região de referência dos provetes [Pindera e Herakovich (1986), Sun e Barret (1988), Cron et al. (1988), Sun e Chung (1993)]. Nesta última via inclui-se a utilização bolachas oblíquas coladas nas extremidades dos provetes [Sun e Chung (1993)]. Diversos trabalhos experimentais [Kawai et al. (1997), Pierron et al. (1998)] demonstraram que o uso de bolachas oblíquas melhora significativamente a homogeneidade dos campos das tensões e das deformações. Esta solução permite não só a correcta identificação do módulo de corte como também da resistência ao corte [Pierron e Vautrin (1996)].

Foram publicados alguns trabalhos sobre a aplicação do ensaio “off-axis” à madeira [Schulldt (1972), Ebrahimi e Sliker (1981), Sliker e Yu (1993), Yoshihara e Ohta (2000), Liu (2002)], quer para a determinação do módulo de corte quer para a determinação da resistência ao corte. Todavia, em contraste com o que acontece com os compósitos artificiais, está por fazer um estudo detalhado sobre as potencialidades desse ensaio para a madeira.

Neste artigo apresenta-se a simulação numérica, por elementos finitos, do ensaio “off-axis” com bolachas oblíquas, para a determinação do comportamento ao corte da madeira da espécie de Pinus Pinaster Ait., no plano de simetria LR.

α = 15° β = 36°

2. O ENSAIO DE TRACÇÃO “OFF-AXIS”

Na Figura 2 apresenta-se a forma e as dimensões dos provetes do ensaio de tracção “off-axis”, para a identificação do comportamento ao corte da madeira de Pinus Pinaster Ait. no plano de simetria material LR. Os detalhes sobre a manufactura dos provetes e o procedimento experimental podem ser encontrados em Garrido (2003). O ângulo α entre a direcção das fibras (L) e a direcção longitudinal dos provetes (Figura 2) foi escolhido com base no critério de Chamis e Sinclair (1977), através das seguintes equações [Morais, (1998)]:

α α α α α α ε ε 4 22 2 2 66 11 4 11 2 12 2 11 1 sin sin cos 2 1 2 cos sin cos S S S S S S xx _{ +}      ₊ + + = , (1) α α α α α α ε ε 4 22 2 2 66 11 4 11 2 22 2 12 2 sin sin cos 2 1 2 cos sin cos S S S S S S xx _ +      ₊ + + = , (2) α α α α α α ε ε 4 22 2 2 66 11 4 11 66 6 sin sin cos 2 1 2 cos cos sin S S S S S xx _{ +}      ₊ + = . (3) (a) (b)

Fig. 2 – Provete “off-axis”: (a) geometria e (b) modo de rotura.

a b c

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Ângulo (º) D e fo rm ação N o rm al iz ada α =15º

onde ε1, ε2 e ε6 são as deformações no referencial de simetria material, εxx é a deformação axial no referencial do provete e Sij são os elementos da matriz de flexibilidade no referencial de simetria material. Usando as propriedades mecânicas das madeiras de pinho publicadas na literatura [Forest Product Laboratory (1999)], constatou-se que para um ângulo α∈ [10º, 20º] a deformação de corte ε6 é suficientemente elevada e insensível a pequenos erros na determinação de α, para ser medida sem erros apreciáveis (Figura 3). O valor do ângulo α estimado para a madeira de Pinus Pinaster Ait. foi de 15º.

O ângulo β de inclinação das bolachas (Figura 2a) foi calculado através da equação [Sun e Chung (1993)]: 11 16 cot S S − = β , (4)

onde S_ij são os elementos da matriz de flexibilidade em relação ao sistema de coordenadas do provete.

As grandezas obtidas directamente no ensaio de tracção “off-axis” são a força global P (medida pela célula de carga da máquina de ensaios) e as deformações εa, εc e εc (medidas pela roseta de extensómetros, Figura 2a). Admitindo que o estado de tensão na secção central do provete é uniaxial, as componentes do estado de tensão no referencial de simetria material são então dadas por:

α σ 2 1 _Acos P média _{= , σ} 2_α 2 _Asin P média _{= e σ sin2α} 6 _A P média _{= . (5)}

Por outro lado, a deformação de corte média no referencial de simetria material é dada pela equação seguinte:

(

)

(

)

ε₆média _{= a −}2 _{b + c} sin _{+ a − c} cos _{. (6)}

O módulo de corte aparente obtém-se dividindo a tensão de corte média pela deformação de corte média:

média média a G 6 6 12 _ε σ = . (7)

Se o campo das tensões na região de referência dos provetes é uniaxial e homogéneo, o módulo de corte aparente (Equação 7) coincide com o verdadeiro valor do módulo de corte do material. Mas se o estado de tensão não é uniaxial nem homogéneo, o módulo de corte pode ser obtido usando a seguinte equação:

a

CSG

G₁₂ = ₁₂, (8)

onde C e S são factores de correcção definidos por

média C 6 6 σ σ = e 6 6 ε εmédia S = . (9)

O factor de correcção C, que é quociente entre a tensão de corte no ponto central do provete

(σ₆) e a tensão de corte média, é uma medida da heterogeneidade do campo das tensões na região central do provete. Por sua vez, o factor de correcção S, que é o quociente a

deformação de corte no ponto central (ε6) e a deformação de corte média na região de

colagem da roseta biaxial ( média

6

ε ), é uma medida da heterogeneidade do campo das deformações. Os valores aproximados destes factores de correcção (C e S) podem ser obtidos

pelo método dos elementos finitos.

Embora possa ser uniforme, o estado de tensão na região de referência do provete (entre as amarras) não é de corte puro (Equações 5). Deste modo, a tensão de rotura ao corte só pode ser estimada indirectamente, através dum critério de rotura apropriado [Pierron e Vautrin (1996)].

3. MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

A simulação do ensaio de tracção “off-axis” foi feita pelo método dos elementos finitos, recorrendo ao código comercial ANSYS 7.0®. Considerou-se a madeira como um material homogéneo, ortotrópico e com um comportamento linear e elástico. Nas simulações efectuadas utilizou-se o elemento tridimensional SOLID64, da livraria de elementos do código ANSYS [ANSYS University High Option (2002)]. A malha obtida após uma análise de convergência (Figura 4) é composta por 1848 elementos. As constantes de engenharia da madeira de Pinus Pinaster, Ait. encontram-se na Tabela 1 [Pereira (2003), Garrido (2003)]. As condições de fronteira que foram impostas ao provete consistiram basicamente na fixação das extremidades [A-B] e na aplicação em [C-D] de um deslocamento igual a 0,5 mm, na direcção do eixo do XX. Os deslocamentos prescritos permitem ainda a livre contracção na direcção da espessura (Z), por efeito de Poisson. Estas condições de fronteira são mais restritivas que as que realmente vigoram nos ensaios experimentais que empregam as amarras convencionais de cunhas deslizantes.

Fig. 4 – Malha de elementos finitos.

A B C D X Y

Tabela 1 – Constantes de engenharia da madeira de Pinus Pinaster Ait.

EL(GPa) ER(GPa) ET(GPa) νRT νLT νLR GRT(GPa) GLT(GPa) GLR(GPa)

15,133 1,912 1,010 0,586 0,051 0,471 0,171 1,041 1,115

4. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS

Nas Figuras 5 e 6 podem ser apreciados os campos dos deslocamentos ux e uy Está bem patente na Figura 5 que as linhas de igual deslocamento ux são praticamente paralelas ao bordo das bolachas, que é precisamente o que se pretendia ao calcular o ângulo β através da Equação 4. Por outro lado, as Figuras 5 e 6 sugerem a existência dum campo de deformações uniforme numa extensa região no centro do provete, nomeadamente na região de colagem da roseta.

Os campos das tensões σxx, σyy e τxy, no referencial do provete, normalizados em relação à tensão média aplicada ao provete ( /P A), estão representados nas Figuras 7, 8 e 9. Excluindo uma pequena região na vizinhança das bolachas, o estado de tensão é uniforme e uniaxial em quase toda a região de referência do provete (entre as bolachas). Esta conclusão é reforçada pela análise dos gráficos das Figuras 10 e 11, onde se encontram as distribuições das tensões σxx, σyy e τxy, ao longo da linha média longitudinal (y = 0) e da linha média transversal (x = 0), respectivamente.

Os valores obtidos para os factores de correcção C e S (Equações 9) são praticamente

iguais à unidade, como seria de esperar face ao que foi escrito nos parágrafos precedentes sobre os campos das deformações e das tensões. Atendendo a este facto, podemos afirmar que o ensaio “off-axis” é um ensaio directo para a determinação do módulo de corte GLR, não

sendo necessário aplicar qualquer factor de correcção sobre os resultados experimentais.

Fig. 5 - Campo dos deslocamentos uX (m).

Fig. 7 – Campo das tensões σxx normalizados por P A . /

Fig. 8 – Campo das tensões σyy normalizados por /P A .

Fig. 9 – Campo das tensões τxy normalizados por /P A .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X/Xmáx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Y/Ymáx

Fig. 11 – Distribuição das tensões ao longo da linha média vertical.

No sentido de avaliar a influência da inclinação das fibras (Figura 2a) nos factores de correcção C e S, simulou-se o ensaio “off-axis” para vários valores de α, compreendidos entre 5º e 30º. Em todos os casos examinados considerou-se o mesmo valor para a inclinação das bolachas (indicado na Figura 2a). Os resultados obtidos encontram-se na Figura 12, na qual se faz uso do factor de correcção global CS (Equação 8). A partir desta figura conclui-se que para qualquer ângulo α pertencente ao intervalo [15º, 20º], no qual estão contidos todos os valores experimentais de α [Garrido (2003)], o factor de correcção global é praticamente igual à unidade. 0.96 1.00 1.04 1.08 1.12 1.16 5 10 15 20 25 30 ângulo CS

Fig. 13 – Critério de Tsai-Hill.

Não existindo um estado de corte puro, a resistência ao corte não pode ser feita directamente a partir dos resultados experimentais, sendo necessário recorrer a um critério de rotura. O método dos elementos finitos, juntamente com o critério de rotura de Tsai-Hill [Tsai e Hahn (1980)], prevê a ocorrência da rotura junto a uma das extremidades das bolachas. Mas, conforme foi já referido na secção 3, é de crer que as condições de amarração que vigoram nos ensaios experimentais conduzam a um campo de tensões mais uniforme que o campo das tensões obtidos na simulação numérica apresentada neste trabalho. Será porventura por esta que a rotura ocorre na região central dos provetes (Figura 2b) e não na vizinhança das bolachas [Garrido (2003)].

6. CONCLUSÕES

O ensaio de tracção “off-axis” com bolachas inclinadas é um ensaio adequado para a identificação directa do módulo de corte GLR da madeira de Pinus pinaster Ait. Porém, como

não existe um estado de tensão de corte puro, a resistência ao corte no plano LR só pode ser obtida indirectamente, recorrendo a um critério de rotura para materiais ortotrópicos.

6. REFERÊNCIAS

ANSYS University High Option, User’s Manual, Swanson Analysis System, Inc., Philadelphia, PA, 2000.

Chamis, C.C. e J.H. Sinclair, "Ten-deg Off-axis Test for Shear Properties in Fiber Composites", Experimental Mechanics 17 (9), 339-346 (1977).

Cron, S. M., Palazotto, A. N. e Sandhu, R. S., “The improvement of End-Boundary Conditions for Off-Axis Tensio Specimen Use”, Experimental Mechanics, pp. 14-19, March 1988.

Ebrahimi, G., e Sliker, A., “Measurement of shear modulus in wood by a tension test”, Wood Science, 13(3), pp. 171-176, 1981.

Forest Products Laboratory, “Wood Handbook-Wood as an Engineering Material”, Gen. Tech. Rep. FPL-GTR-113, U.S. Department of Agriculture, Madison, 1999, cap. 4.

Garrido, N., “Caracterização do comportamento ao corte da madeira através do ensaio off-axis”, Tese de Mestrado, UTAD, 2003 (em preparação).

Kawai, M., Morishita, M., Satoh, H. e Tomura, S., “Effects of End-Tab Shape on Strain Field of Directional Carbon/Epoxy Composite Specimens Subjected to Off-Axis Tension”, Elsevier Science Limited, Composites Part A 28A, 1997, pp. 267-275.

Liu, J. L., “Analysis of off-axis tension test of wood specimens”, Wood and Fiber Science, 34 (2), pp. 205-211, 2002.

Marín, J. C., Cañas, J., F. Paris e Morton, J., “Determination of G12 by means of the off-axis

tension test. Part I: review of gripping systems and correction factors”, Composites Part A, 33, pp. 87 – 100, 2002.

Marín, J. C., Cañas, J., Paris, F. e Morton, J., “Determination of G12 by means of the off-axis

tension test. Part II: a self-consistent approach to the application of correction factors”, Composites Part A, 33, pp. 101 – 111, 2002.

Morais, J. L., “Influência do meio ambiente no comportamento ao dano de estruturas em materiais compósitos”, Tese de Doutoramento, UTAD, 1998.

Pereira, J. L., “Comportamento mecânico da madeira em tracção nas direcções de simetria material”, Tese de Mestrado, UTAD, Vila Real, 2003 (em preparação).

Pierron, F., Alboa, E., Surrel, Y. e Vautrin, A., “Whole-field assessment of the effects of boundary conditions on the strain field in off-axis tensile testing of unidirectional composites”, Composites Science and Technology, 58(12), pp. 1939-1947, 1998.

Pierron, F. e Vautrin, A., “The oof-axis tensile test: a critical approach”, Composites Science and Technology, 56, pp. 483-488, 1996.

Pindera, M. J. e Herakovich, C. T., “Shear Characterization of Unidirectional Composites with the Off-Axis Tension Test”, Experimental Mechanics, pp. 103-112, 1985.

Schuldt, A., “Unified testing procedure for determining the elastic parameters of wood”, Ph.D. thesis, Colorado State University, Fort Collins, CO, 200 pp., 1972.

Sun, C. T. e Berreth, S.P., “A New End Tab Design For Off-Axis Tension Test of Composite Materials”, Journal of Composite Materials, vol. 22, August 1988.

Sun, C. T. e Chung, I., “An Oblique End-Tab Design for Testing Off-Axis Composite Specimens”, Composites; 1993, 24 (8), 619-623.

Tsai, W. S. e Hahan, H. T, “Introduction to composite materials”, Technomic Publishing Company, Lancaster, 1980.

Yoshihara, H. e Ohta, M., “Estimation of shear strength of wood by uniaxial-tension tests of off-axis specimens”, J. Wood Sci., 46, pp. 159-163, 2000.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à Fundação para a Ciência e a Tecnologia o apoio financeiro para a realização deste trabalho, através do Projecto POCTI/EME/36270/2000.