TabuasMortalidadeParte1.pdf

(1)

EAC0532

Noções de atuária para contadores

5.

T

Táábbuuaass ddee M

Moorrttaalliiddaaddee:: ddeeffiinniiççõõeess ee

sim

simbo

bolog

logias

ias.. Fun

Funçõ

ções

es bio

biom

métr

étrica

icass

P Parartete 11 CSM (2006, cap. 3) CSM (2006, cap. 3) Parmenter (1999, cap. 7) Parmenter (1999, cap. 7) Vilanov

Vilanova (1969, cap. a (1969, cap. I)I)

Prof. Dr. Luís Eduardo Afonso Prof. Dr. Luís Eduardo Afonso

lafonso@usp.br lafonso@usp.br

2 2

C

Ciiêênncciiaa aattuuaarriiaall eessttuuddaa eevveennttooss eeccoonnôôm miiccoo--so

sociciaiaiss ququee enenvovolvlvemem ririscscosos ee inincecertrtezezasas P

Paarraa ooss rraammooss ddee pprreevviiddêênncciiaa,, sseegguurrooss ddee vviiddaa eemm ggrruuppoo,, iinnddiivviidduuaall,, aacciiddeenntteess ppeessssooaaiiss ee ssaaúúddee éé fufunnddamameennttaall ccononhheecceerr ccaarraacctteerrísístticicaass dem

demográográficaficass dosdos segseguraduradosos E

Essttaass ssããoo iimmppoorrttaanntteess ppaarraa aa pprreevviissããoo ddaass re

receceititasas ee dedespspesesasas dada cocommpapanhnhiaia seseguguraradodorara

Introdução

(2)

3 3

1)

1) ArrArranjanjoo uniunidecdecremremententalal

Introdução

11

22

11 _–_–AtivoAtivo 22 -- FFaalleecciiddoo 4 4 2)

2) ArrArranjanjoo mmultultideidecrecremmententalal

Introdução

11– – AtivoAtivo 22– – InválidoInválido 33– – DesempregadoDesempregado 44– – CasamentoCasamento 55– – DivórcioDivórcio 66– – ViuvezViuvez

77– – NoNovovo casamcasamentoento

88– – PaternidadePaternidade

99– – AposentadoriaAposentadoria

10

10– – FalecimentoFalecimento

11

11– – GerGeraçãaçãoo dede penpensãosão

11 11 88 10 10 44 77 33 22 99 11 44 88 55 66 77

(3)

5 5

Tá

Tábubuaa dede mmorortatalilidadadede (t(tábábuaua dede sosobrbrevevivivênêncicia)a)

•

•TTababelelaa ququee apaprresesenentata oo núnúmmereroo dede pepessssoaoass vivivavass ee dede óbóbititosos,, eemm

or

ordedemm crcresesccenentete dede ididadadee,, dedessdede aa ororiigegemm,, atatéé aa exextitinçnçãoão co

compmpleletata dodo grgrupoupo..

•

•UUtitillizizadadaa paparraa mmededirir prprobobababililididadadeess dede vividada ee dede mmorortete dede umumaa

população população

Tábuas de mortalidade

D

Doioiss ttipiposos ddee ttábábuuasas

•

• CoonnstC struruídídasas ttenenddoo cocommoo bbasasee uumm grgruuppoo ddaa ppooppuulalaçãçãoo •

• CoConnststruruídídasas tetenndodo cocomomo babasese uumm grgruupopo seselelecicioonnadadoo dede

pe

pessssooasas.. EmEm gegerarall rretetraratatamm grgruupopo mamaisis hhoomomogêgêneneoo

6 6

Táb

Tábuas d

uas de m

e mortal

ortalida

idade -

de - Notaç

Notação

ão

l

l _–_– ((living living )) NúNúmmereroo ddee sosobbrrevevivivenentteses emem uummaa

det

determermininadadaa idaidadede

d

d _–_– ((deathdeath)) NNúúmmeerroo ddee ppeessssooaass qquuee fafalleeccemem emem uummaa

dete

determinrminadaada idadidadee

p

p _–_– (( probability probability)) PrProobababibililidadadede dede sosobrbrevevivivênênciciaa q

q _–_– ProbabProbabiliilidadadede dede falfaleciecimenmentoto.. ProProbababilbilidaidadede

co

compmplelememenntatarr dede p.p. qq == 11 – – p p..

e

e _–_– ((exexpepectctatatioionn ofof lilifefe)) TTeemmppoo ddee vviiddaa eespspeerraaddoo ppaarara

uummaa ppeesssosoaa ddee uummaa ccererttaa ididaaddee

ω

ω _–_– Idaaddee qquuee nnããoo ppoodderId eráá seserr susuppereradadaa ppoorr nnenenhhuumm

el

(4)

7 7

Táb

Tábuas d

uas de m

e mortal

ortalida

idade -

de - Notaç

Notação

ão

Letras

Letras minúminúsculassculas x x ,, y y,, z z ,, uu .... indicam.... indicam idadeidade, se escritas, se escritas

à direita e abaixo do símbolo principal e se não estiverem à direita e abaixo do símbolo principal e se não estiverem sob o sinal do ângulo reto.

sob o sinal do ângulo reto. Letras

Letras minúminúsculassculas nn,, mm,, ss,, t t ,, k k .... indicam.... indicam duraçãoduração, se, se

escritas à esquerda e abaixo do símbolo principal. escritas à esquerda e abaixo do símbolo principal.

l

l _x_x_–_–número de pessoas vivas, com idadenúmero de pessoas vivas, com idade x x

n

n p p x x – – probabilidade de a pessoa com idadeprobabilidade de a pessoa com idade x x viver maisviver mais nn

anos anos

8 8

Táb

Tábuas d

uas de m

e mortal

ortalida

idade -

de - Notaç

Notação

ão

Há 6 colunas na Tábua de mortalidade: Há 6 colunas na Tábua de mortalidade:

x

x _–_–coluna das idadescoluna das idades

l

l _x_x_–_–número de pessoas vivas com idadenúmero de pessoas vivas com idade x x d

d _x_x_–_–quantidade de pessoas que morrem com idadequantidade de pessoas que morrem com idade x x p

p_x_x_–_–probabilidade de sobrevivência à idadeprobabilidade de sobrevivência à idade x x q

q_x_x_–_–probabilidade de morte à idadeprobabilidade de morte à idade x x e

e00

x

x – – esperança de vida, expectativa completa de vida ouesperança de vida, expectativa completa de vida ou

vida média de uma pessoa com idade

vida média de uma pessoa com idade x x . É uma. É uma

probabilidade condicionada probabilidade condicionada

(5)

9 9

Conceitos básicos

Número de pessoas que morrem com idade Número de pessoas que morrem com idade x x ::

Número de pessoas com idade Número de pessoas com idade x x ::

  d d ... ... d d d d d d l l _x_x  _x_x  _x_x__₁₁  _x_x__₂₂ 



        x x n n n n x x x x d d l l   0 0 1 1 x x x x x x l l l l d d   __ 10 10

Probabilidade de falecimento: a probabilidade de Probabilidade de falecimento: a probabilidade de uma pessoa com idade

uma pessoa com idade x x falecer antes defalecer antes de

completar

completar x + 1 x + 1 anos é dada por:anos é dada por:

x x idade idade c comom vivas vivas pe pessoasssoas de de número número x x idade idade c comom mortes mortes de de número número q q_x_x  x x 1 1 x x x x x x x x x x l l l l l l l l d d q q    

Conceitos básicos

(6)

11 11

Probabilidade de sobrevivência: a probabilidade Probabilidade de sobrevivência: a probabilidade de uma pessoa com idade

de uma pessoa com idade x x completarcompletar x + 1 x + 1 anosanos

é dada por: é dada por:

Conceitos básicos

x x 1 1 x x x x l l l l p p   x x idade idade co comm vivas vivas p pessoaessoass de de número número 1 1 x x idade idade co comm vivas vivas p pessoaessoass de de número número    x x p p 12 12 Por definição,

Por definição, qq_x_xee p p_x_xsão complementares:são complementares:

Conceitos básicos

x x x x 11 pp q q   1 1 l l l l l l l l l l l l l l p p q q x x x x x x 1 1 x x x x 1 1 x x x x x x x x            A p

A probabilidade de uma pessoa de robabilidade de uma pessoa de idadeidade x x falecerfalecer

em

em nn anos (ou seja, antes de completaranos (ou seja, antes de completar x + n x + n anos)anos)

é dada por: é dada por: x x x x n n x x n n x x x x x x n n l l d d l l l l l l q q    

(7)

13 13

Analogamente, a probabilidade de uma pessoa Analogamente, a probabilidade de uma pessoa dede idade

idade x x sobreviver maissobreviver mais nn anos (ou seja, sobreviveranos (ou seja, sobreviver

à idade

à idade x + n x + n anos é dada por:anos é dada por:

Conceitos básicos

Por definição,

Por definição, _n_nqq_x_xee _n_n p p_x_xsão complementaressão complementares

1 1 l l l l l l l l l l l l l l p p q q x x x x x x n n x x x x n n x x x x x x n n x x n n            x x n n x x x x n n l l l l p p   14 14 Para o cálculo de Para o cálculo de ee00 x

x é necessário construiré necessário construir

algumas variáveis adicionais: algumas variáveis adicionais:

Conceitos básicos

L

L_x_x_–_–indicador do número médio indicador do número médio de pessoas quede pessoas que

tenham vivido no intervalo entre idades

tenham vivido no intervalo entre idades x x ee x + 1 x + 1..

A

A forma mais simples de forma mais simples de cálculo é dada cálculo é dada por:por:

2 2 l l l l L L_x_x  x x  x x11 T

T_xx _–_–Período de vida entre as idadesPeríodo de vida entre as idades x x ee ωω. A forma. A forma

mais sim

mais simples de cáples de cálculo é dada por:lculo é dada por:



          x x 1 1 0 0 t t t t x x x x LL T T  

(8)

15 15

A esperança de vida e A esperança de vida e00

xx à idade x é dada por:à idade x é dada por:

Conceitos básicos

x x x x 0 0 x x l l T T e e  16 16

Tábuas

Tábuas de

de mor

mortalidad

talidade -

e - Exer

Exercício 1

cício 1

a)

a) PrPreeneenchacha asas cocolulunasnas rerestastantnteses b)

b) CaCalculculele aa prproobababibilidlidadadee dede uumama pepessssoaoa rerecémcém-n-nasascidcidaa cocompmpletletarar 11 ananoo dede idade

idade c)

c) CCalalcuculele aa pprroobbababililididaadede ddee uummaa ppesesssooaa rrececémém-n-nasascicidada ccoompmpleletatarr 55 ananooss dede idade

idade d)

d) CaCalclcuulele aa prproobababibililidadadede dede uummaa pepessssooaa cocomm 22 ananooss vviviverer atatéé ooss 55 ananooss e)

e) CaCalclcuulele aa prproobababibililidadadede dede uummaa pepessssooaa cocomm 22 ananooss fafalelececerr atatéé ooss 55 ananooss

IIddaadde e ((xx)) llxx ddxx qqxx ppxx 0 0 11..000000..000000 0,007080,00708 1 1 00,,0000117766 2 2 00,,0000115522 3 3 00,,0000114466 4 4 00,,0000114400 5 5 00,,0000113355

(9)

17 17

Tábuas

Tábuas de

de mort

mortalidad

alidade-

e- Exer

Exercício 1

cício 1

IIddaadde e ((xx)) ll_x_x dd_x_x qq_x_x pp_x_x 0 0 11..000000..000000 7.0807.080 0,,00 000770088 00,,9999229922 1 1 999922..992200 1.7481.748 00,,0000117766 00,,9999882244 2 2 999911..117722 1.5071.507 00,,0000115522 00,,9999884488 3 3 998899..666666 1.4451.445 00,,0000114466 00,,9999885544 4 4 998888..222211 1.3841.384 00,,0000114400 00,,9999886600 5 5 998866..883377 1.3321.332 00,,0000113355 00,,9999886655 x x 1 1 x x x x l l l l p p   000 000 .. 1000 1000 920 920 .. 992 992 0 0 0 0 1 1 0 0   pp  l l l l p p p p00  00,,9929299292 b)

b) CaCalculculele aa prprobobababililididadadee dede umumaa pespessosoaa rerecémcém-n-nasascidcidaa cocompmpletletarar 11 ananoo de

de ididadadee

18 18

Tábuas

Tábuas de

de mort

mortalidad

alidade-

e- Exer

Exercício 1

cício 1

x x n n x x x x n n l l l l p p   c)

c) CaCalclcuulele aa prprobobababililididadadee dede uummaa pepessssoaoa rerecécémm-n-nasascicidada cocommplpletetarar 55 ananooss de de ididadadee 986837 986837 , , 0 0 p p₀₀ 5 5  000 000 .. 000 000 .. 1 1 837 837 .. 986 986 p p l l l l p p ₅₅ ₀₀ 0 0 5 5 0 0 5 5   

(10)

19 19

Tábuas

Tábuas de

de mort

mortalidad

alidade-

e- Exer

Exercício 1

cício 1

x x n n x x x x n n l l l l p p  

d) Calcule a probabilidade de uma pessoa com 2 anos viver até os 5 anos d) Calcule a probabilidade de uma pessoa com 2 anos viver até os 5 anos

172 172 .. 991 991 837 837 .. 986 986 p p l l l l p p ₃₃ ₂₂ 2 2 5 5 2 2 3 3    995626 995626 , , 0 0 p p₂₂ 3 3  20 20

Tábuas

Tábuas de

de mort

mortalidad

alidade-

e- Exer

Exercício 1

cício 1

e)

e) Calcule Calcule a proa probabilidadbabilidade de ue de uma pessoma pessoa com 2 anos falecer a com 2 anos falecer até os 5 anosaté os 5 anos

x x x x n n x x n n x x x x x x n n l l d d l l l l l l q q    

Ou, de outra forma Ou, de outra forma

172 172 .. 991 991 837 837 .. 986 986 172 172 .. 991 991 l l l l l l q q 2 2 5 5 2 2 2 2 3 3         004374 004374 , , 0 0 q q₂₂ 3 3  x x n n x x n n x x x x n n x x x x x x n n 11 pp l l l l 1 1 l l l l l l q q         995626 995626 , , 0 0 1 1 p p 1 1 q q₂₂ ₃₃ ₂₂ 3 3     33qq22 00 , ,004374004374