Distribuições de Probabilidade Discretas

(1)

Distribuições de

Probabilidade Discretas

Who? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista

From? BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais

(2)

Conceitos

Variável aleatória

Distribuição de Probabilidade Função de densidade probabilística

Função de distribuição ou probabilidade acumulada Distribuição Bernoulli

Distribuição Binomial Distribuição Poisson Distribuição Geométrica Distribuição Binomial Negativa

(3)

Conceitos

(4)

Conceitos

Distribuição de Probabilidade

Função de densidade probabilística

(5)

Conceitos

Função de distribuição ou probabilidade acumulada

Distribuição Bernoulli Distribuição Binomial Distribuição Poisson Distribuição Geométrica Distribuição Binomial Negativa

(6)

Conceitos

(7)

Uma teoria da variabilidade

Variável aleatória:

Qualquer resultado que possa variar entre observações.

Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus : zero, uma ou duas.

Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.

Distribuição de

Probabilidades _{x = 0 →} 1 4

x = 1 → 1₂ x = 2 → 1₄

(8)

Uma teoria da variabilidade

Distribuição de

x = 1 → 1₂ x = 2 → 1₄

(9)

Uma teoria da variabilidade

Distribuição de

x = 1 → 1₂ x = 2 → 1₄

(10)

Uma teoria da variabilidade

Distribuição de

x = 1 → 1₂ x = 2 → 1₄

(11)

Uma teoria da variabilidade

Distribuição de

x = 1 → 1₂ x = 2 → 1₄

(12)

Distribuição de Probabilidades

Função

Uma Distribuição de Probabilidades é uma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x x x 1 2 3 N i x x₄ p p p p 1 2 3 4 i N p

AMOSTRAL

ESPACO

x p

(13)

Distribuição de Probabilidades

Função

Esquema

INTERVALO

0

1

x x x 1 2 3 N i x x₄ p p p p 1 2 3 4 i N p

AMOSTRAL

ESPACO

x p

(14)

Distribuição de Probabilidades

Função

Esquema

INTERVALO

0

1

x x x 1 2 3 N i x x₄ p p p p 1 2 3 4 i N p

AMOSTRAL

ESPACO

x p

(15)

Distribuição de Probabilidades

Função

Esquema

INTERVALO

0

1

x x x 1 2 3 N i x x₄ p p p p 1 2 3 4 i N p

AMOSTRAL

ESPACO

x p

(16)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Discretas

Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS.

O tamanho do conjunto é:

finito se for um sub-conjunto dos números interios. infinito contável se todos números interios.

Variáveis obtidas por:

enumeração, contagem.

(17)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Discretas

Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS INTEIROS.

(18)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

Discretas _{Os valores possíveis estão no conjunto dos}

NÚMEROS INTEIROS.

(19)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS INTEIROS. O tamanho do conjunto é:

(20)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

finito se for um sub-conjunto dos números interios.

infinito contável se todos números interios.

(21)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

(22)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

(23)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

Variáveis obtidas por: enumeração,

(24)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

Variáveis obtidas por: enumeração,

(25)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Contínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS.

O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempre infinito incomensurável.

medição.

Espaço Amostral

Tanto para variáveis discretas quanto contínuas, Chama-se o conjunto de valores possíveis de Espaço Amostral.

(26)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis Contínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dos NÚMEROS REAIS.

medição.

Espaço Amostral

(27)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

Contínuas _{Os valores possíveis estão no conjunto dos}

NÚMEROS REAIS.

medição.

Espaço Amostral

(28)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

medição.

Espaço Amostral

(29)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

medição.

Espaço Amostral

(30)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

Variáveis obtidas por: medição.

Espaço Amostral

(31)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

Espaço Amostral

(32)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

Espaço

Amostral _{Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,}

Chama-se o conjunto de valores possíveis de Espaço Amostral.

(33)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

Espaço

Chama-se o conjunto de valores possíveis de

(34)

Classes de Variáveis Quantitativas

Variáveis

NÚMEROS REAIS.

Espaço

Chama-se o conjunto de valores possíveis de Espaço Amostral.

(35)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

Número de caras no lançamento de duas moedas: S = {0, 1, 2}

Número de plântulas numa parcela: S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetro mínimo de medição de 5 cm:

(36)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(37)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(38)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(39)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(40)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(41)

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} | w ∈ [0, +∞)

(42)

Distribuição de Probabilidades

Função Matemática

Para uma variável discreta,

a Distribuição de Probabilidades associa:

cada (e todos) elemento do Espaço Amostral com um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade

cada valor possível da variável

(43)

Distribuição de Probabilidades

Função

Matemática _{Para uma variável discreta,}

Probabilidade

(44)

Distribuição de Probabilidades

Função

Matemática _{Para uma variável discreta,}

Probabilidade

(45)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.

Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

Variável Discreta

X = número de fêmeas na ninhada.

Espaço Amostral

(46)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Variável Discreta

Espaço Amostral

(47)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Variável Discreta

Espaço Amostral

(48)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Variável Discreta

Espaço Amostral

(49)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Variável Discreta

Espaço Amostral

(50)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Variável Discreta

Espaço Amostral

(51)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

Função de densidade probabilística ou Função de massa probabilística (Rice, 1995):

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(52)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(53)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

Função de densidade probabilística ou

Função de massa probabilística (Rice, 1995): f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(54)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(55)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(56)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25

x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(57)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50

(58)

Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Função

f (x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1₄ = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1₂ = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1₄ = 0, 25

(59)

Função de Densidade Probabilística

Função Função de densidade probabilística:

f (x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)

Propriedades

Valores no intervalo [0, 1]:

0 ≤ f (x) ≤ 1 para x ∈ S. A soma das probabilidades é igual a 1:

X

x∈S

(60)

Função de Densidade Probabilística

Propriedades

X

x∈S

(61)

Função de Densidade Probabilística

Propriedades

X

x∈S

(62)

Função de Densidade Probabilística

Propriedades

0 ≤ f (x) ≤ 1 para x ∈ S.

A soma das probabilidades é igual a 1: X

x∈S

(63)

Função de Densidade Probabilística

Propriedades

X

x∈S

(64)

A Soma das Probabilidades no Espaço

Amostral

Exemplo da Ninhada x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25 2 X x=0 f (x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000

(65)

A Soma das Probabilidades no Espaço

Amostral

Exemplo da Ninhada x = 0 → f (0) = P (X = 0) = 1 4 = 0, 25 x = 1 → f (1) = P (X = 1) = 1 2 = 0, 50 x = 2 → f (2) = P (X = 2) = 1 4 = 0, 25 2 X x=0 f (x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000

(66)

Gráfico da Função de Densidade

Probabilística

Exemplo da Ninhada 0 1 2 Número de Fêmeas Probabilidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

(67)

Gráfico da Função de Densidade

Probabilística

Exemplo da Ninhada 0 1 2 Número de Fêmeas Probabilidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

(68)

Função de Distribuição

Outra Função Outra forma de representar a distribuição de probabilidades é a Função de Distribuição ou probabilidade acumulada

A Função de Distribuição de x informa a probabilidade “acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S V. Discreta: sequência ordenada (crescente) de x = {x1, x2, . . . , xn, . . .}: F (xn) = n X i=0 P (X = xi) = n X i=0 f (xi), xi ∈ S

(69)

Função de Distribuição

(70)

Função de Distribuição

(71)

Função de Distribuição

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S

V. Discreta: sequência ordenada (crescente) de x = {x1, x2, . . . , xn, . . .}: F (xn) = n X i=0 P (X = xi) = n X i=0 f (xi), xi ∈ S

(72)

Função de Distribuição

(73)

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades

0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S. Função monotonicamente crescente:

x1 < x2< x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

Valor unitário para o maior valor no espaço amostral: F (max{x ∈ S}) = 1

(74)

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades

x1 < x2< x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

(75)

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades

0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.

Função monotonicamente crescente:

x1 < x2< x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

(76)

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades

x1 < x2< x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

(77)

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades

x1 < x2< x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

(78)

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo da Ninhada 0 1 2 Número de Fêmeas Probabilidade acum ulada 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(79)

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo da Ninhada 0 1 2 Número de Fêmeas Probabilidade acum ulada 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(80)

Esperança e Variância

Propriedades

Há duas propriedades das distribuições de probabilidade que são importantes na inferência estatística:

Esperança ou Valor Esperado Variância

Esperança

A esperança pode ser interpretada como o “valor médio” da variável. Variável discreta X: E[X] =X x∈S x f (x) =X x∈S x P (X = x)

(81)

Esperança e Variância

Propriedades

Esperança

(82)

Esperança e Variância

Propriedades

Esperança

(83)

Esperança e Variância

Propriedades

Esperança

(84)

Esperança e Variância

Propriedades

Esperança

(85)

Esperança e Variância

Variância

A variância pode ser interpretada como a dispersão dos valores ao redor da esperança.

Variável discreta X: Var[X] = X x∈S (x − E[X])2f (x) = X x∈S (x − E[X])2P (X = x) = E[(X − E[X])2] = E[X2] − (E[X])2

(86)

Esperança e Variância

Variância

(87)

Esperança e Variância

Variância

(88)

Esperança e Variância

Variância

(89)

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

Esperança E[X] = 2 X x=0 x f (x) = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1, 0 Variância Var[X] = 2 X x=0 (x − E[X])2f (x) = (0 − 1)2(1/4) + (1 − 1)2(1/2) + +(2 − 1)2(1/4) = 0, 50

(90)

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

(91)

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

(92)

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Variância 2

Var[X] = E[X2] − (E[X])2

E[X] = 1, 0 E[X2] = 2 X x=0 x2f (x) = 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4) = 1, 5 Var[X] = 1, 5 − 12 = 0, 50

(93)

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Variância 2

Var[X] = E[X2] − (E[X])2

E[X] = 1, 0 E[X2] = 2 X x=0 x2f (x) = 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4) = 1, 5 Var[X] = 1, 5 − 12 = 0, 50

(94)

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Variância 2

Var[X] = E[X2] − (E[X])2

E[X] = 1, 0 E[X2] = 2 X x=0 x2f (x) = 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4) = 1, 5 Var[X] = 1, 5 − 12 = 0, 50

(95)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simples dentre as variáveis discretas.

Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como um ensaio com resultado estocástico.

A partir desse ensaio aleatório pode se conceituar diversas distribuições de probabilidades de variáveis discretas.

Variável Binária

Dois resultados possíveis:

fracasso (X = 0): o evento não ocorre. sucesso (X = 1): o evento ocorre.

(96)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Variável Binária

(97)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Variável Binária

(98)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Variável Binária

fracasso (X = 0): o evento não ocorre.

sucesso (X = 1): o evento ocorre.

(99)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Variável Binária

(100)

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Variável Binária

(101)

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

Descrição Função de Densidade:

f (x) = px(1 − p)1−x, x = 0, 1. Resultados Fracasso: f (0) = P (X = 0) = (1 − p) Sucesso: f (1) = P (X = 1) = p Função de Distribuição F (x) = (1 − p)1−x, x = 0, 1 Propriedades Esperança: E[X] = p Variância: Var[X] = p (1 − p)

(102)

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

(103)

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

(104)

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

(105)

Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

(106)

Distribuição Binomial

Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes Parâmetro tamanho da série: n

Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável

X = o número de sucessos nos n ensaios espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

N de caras em 10 lançamentos de moeda N de mulheres em famílias de 5 filhos

(107)

Distribuição Binomial

Situação

Variável

Exemplos:

(108)

Distribuição Binomial

Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentes

Parâmetro tamanho da série: n

Variável

Exemplos:

(109)

Distribuição Binomial

Situação

Variável

Exemplos:

(110)

Distribuição Binomial

Situação

Variável

Exemplos:

(111)

Distribuição Binomial

Situação

Variável

Exemplos:

(112)

Distribuição Binomial

Situação

Variável

Exemplos:

(113)

Gráfico: Distribuição Binomial

Função de densidade 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 p = 0,1 x Probabilidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

(114)

Gráfico: Distribuição Binomial

(115)

Gráfico: Distribuição Binomial

(116)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

Descrição Função de densidade: f (x) =n

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

Tamanho da amostra: n (número de ensaios); Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.

Função de Distribuição F (x) = x X k=0 n k pk(1 − p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n Propriedades Esperança: E[X] = n p Variância: Var[X] = n p (1 − p)

(117)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(118)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(119)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

Tamanho da amostra: n (número de ensaios);

Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.

(120)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(121)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(122)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(123)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(124)

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

x

px(1 − p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

(125)

Distribuição Poisson

Situação

Contagem de eventos independentes.

A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço. Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade. Esta taxa é o único parâmetro, λ.

Variável

X = o número de eventos em cada unidade. espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

N de árvores por parcela

N de capturas por unidade de tempo N bombas V1 por área em Londres1

1

(126)

Distribuição Poisson

Situação

Variável

Exemplos:

1

(127)

Distribuição Poisson

Situação

Variável

Exemplos:

1

(128)

Distribuição Poisson

Situação

Variável

Exemplos:

1

(129)

Distribuição Poisson

Situação

Variável

Exemplos:

1

(130)

Gráfico: Distribuição Poisson

Função de densidade 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 λ =1 x Probabilidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

(131)

Gráfico: Distribuição Poisson

(132)

Gráfico: Distribuição Poisson

(133)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

densidade _{f (x) =} λxe−λ

x! , x = 0, 1, 2, . . .

Parâmetro λ: valor esperado da contagem

Função de distribuição _{F (x) =}Xx k=0 λke−λ k! , x = 0, 1, 2, . . . Propriedades Esperança: E[X] = λ Variância: Var[X] = λ

(134)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

x! , x = 0, 1, 2, . . .

(135)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

x! , x = 0, 1, 2, . . .

(136)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

x! , x = 0, 1, 2, . . .

(137)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

x! , x = 0, 1, 2, . . .

(138)

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função de

x! , x = 0, 1, 2, . . .

(139)

Exemplo de Distribuição Poisson

Situação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres durante a II Guerra:

λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.

0 1 2 3 4 5 6

Obs Poisson

λ = 535/576

N de bombas

Proporção das quadr

ículas

0.0 0.1 0.2 0.3

(140)

Exemplo de Distribuição Poisson

Situação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres durante a II Guerra:

λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.

0 1 2 3 4 5 6

Obs Poisson

λ = 535/576

N de bombas

Proporção das quadr

ículas

0.0 0.1 0.2 0.3

(141)

Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando:

o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n → ∞). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p → 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

0 1 2 3 4 5 6 7 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Binomial x Poisson x Probabilidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Formalmente: lim n→∞ p→0 f (x) = lim n→∞ p→0 n x px(1 − p)n−x= λ x_e−λ x!

(142)

Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomial quando:

o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n → ∞). a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p → 0). Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

0 1 2 3 4 5 6 7 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Binomial x Poisson x Probabilidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Formalmente: lim n→∞ p→0 f (x) = lim n→∞ p→0 n x px(1 − p)n−x= λ x_e−λ x!

(143)

Caso-limite lim n→∞ p→0 f (x) = lim n→∞ p→0 n x px(1 − p)n−x= λ x_e−λ x! 0 1 2 3 4 5 6 7 Binomial, N = 200, p = 0,01 Poisson, λ = 2 Binomial x Poisson x Probabilidade 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

(144)

Distribuição Geométrica

Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes. O único parâmetro é a probabilidade de sucesso por ensaio (p, constante).

Variável

X =número de fracassos até o primeiro sucesso espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

Tempo de vida em unidades discretas N de inspeções até encontrar algo N de carnavais até o divórcio

(145)

Distribuição Geométrica

Variável

Exemplos:

(146)

Distribuição Geométrica

Variável

Exemplos:

(147)

Gráfico: Distribuição Geométrica

Função de densidade 0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29 p = 0,2 x Probabilidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

(148)

Gráfico: Distribuição Geométrica

(149)

Gráfico: Distribuição Geométrica

(150)

Distribuição Geométrica: Apresentação

Formal

Função de densidade f (x) = p(1 − p)x, x = 0, 1, 2, . . . Função de distribuição F (x) = 1 − (1 − p)x+1, x = 0, 1, 2, . . . Propriedades Esperança: E[X] = 1 p Variância: Var[X] = 1 − p p2

(151)

Distribuição Geométrica: Apresentação

Formal

(152)

Distribuição Geométrica: Apresentação

Formal

(153)

Exemplo de Distribuição Geométrica

Situação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus (Haldane 1953)

593 aves anilhadas, recontadas a cada ano Tempo médio de vida: 2,77 anos

p = 2, 77−1 = 0, 65782 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 Obs Geométrica p = 0,658 Anos Proporção sobre viv ente 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

(154)

Exemplo de Distribuição Geométrica

Situação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus (Haldane 1953)

593 aves anilhadas, recontadas a cada ano Tempo médio de vida: 2,77 anos

p = 2, 77−1 = 0, 65782 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 Obs Geométrica p = 0,658 Anos Proporção sobre viv ente 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

(155)

Distribuição Binomial Negativa

Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generaliza a geométrica).

Variável X = número de fracassos até o nésimosucesso.

Parâmetros

n: número de sucessos

p: probabilidade de sucesso (constante)

Exemplos:

N de tentativas até conseguir duas caras

N de tentativas até seu personagem morrer no game Em biologia mais usada para descrever agregações (em breve)

(156)

Distribuição Binomial Negativa

Parâmetros

Exemplos:

(157)

Distribuição Binomial Negativa

Parâmetros

Exemplos:

(158)

Distribuição Binomial Negativa

Parâmetros

Exemplos:

(159)

Distribuição Binomial Negativa

Parâmetros

Exemplos:

(160)

Gráfico: Distribuição Binomial Negativa

Função de densidade 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p = 0,5 n = 2 N ensaios Probabilidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

(161)

Gráfico: Distribuição Binomial Negativa

(162)

Gráfico: Distribuição Binomial Negativa

(163)

Distribuição Binomial Negativa:

Apresentação Formal

Função de densidade f (x) =n + x − 1 x pn(1 − p)x, x = 0, 1, 2, . . . Função de distribuição F (x) = x X k=0 n + k − 1 k pn(1 − p)k, x = 0, 1, 2, . . .

(164)

Distribuição Binomial Negativa:

Apresentação Formal

Função de densidade f (x) =n + x − 1 x pn(1 − p)x, x = 0, 1, 2, . . . Função de distribuição F (x) = x X k=0 n + k − 1 k pn(1 − p)k, x = 0, 1, 2, . . .

(165)

Distribuição Binomial Negativa:

Apresentação Formal

Propriedades Esperança: E[X] = n(1 − p) p Variância: Var[X] = n(1 − p) p2

(166)

Binomial Negativa × Geométrica

Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular da distribuição binomial negativa.

Função de densidade quando n = 1: f (x) =n + x − 1

x

(167)

Binomial Negativa × Geométrica

x

(168)

Binomial Negativa × Geométrica

x

(169)

Binomial Negativa:

Parametrização Alternativa

Situação Dados de contagem de eventos agregados

Agregação: variância maior que a média Exemplos:

número de árvores por parcela número de plântulas por parcela capturas por armadilha

Parâmetros

valor esperado (contagem média) E[X] = µ parâmetro de dispersão: k Relações n = k ; p = k k + µ ⇐⇒ k = n ; µ = n(1 − p) p

(170)

Binomial Negativa:

Parametrização Alternativa

Situação Dados de contagem de eventos agregados Agregação: variância maior que a média Exemplos:

Parâmetros

(171)

Binomial Negativa:

Parametrização Alternativa

Parâmetros

(172)

Binomial Negativa:

Parametrização Alternativa

Parâmetros