CAPÍTULO 8 ANÁLISE DIMENSIONAL LEIS DE SEMELHANÇA.

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CAPÍTULO 8

ANÁLISE DIMENSIONAL

LEIS DE SEMELHANÇA.

Neste capítulo os procedimentos básicos para a realização da Análise Dimensional e utilização das Leis de Semelhança são estabelecidos.

A Análise Dimensional é uma ferramenta importante no estudo e na análise de problemas da Física e, em particular, da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de Calor.

Com os procedimentos da Análise Dimensional será possível: - reduzir o número de variáveis envolvidas nas análises

- compactar as equações.

Estes dois aspectos já representam uma vantagem muito grande justificando os esforços que são necessários para se familiarizar com os conceitos e para se dominar as técnicas utilizadas nas aplicações. Uma vantagem adicional que se obtém com a utilização dos procedimentos da Análise Dimensional está associada ao melhor entendimento dos fenômenos presentes nos problemas analisados.

Procedimentos para a realização sistemática e racional de testes em laboratórios e de análises que utilizam dados experimentais são desenvolvidos com a introdução das Leis de Semelhança. A utilização destes permite estender a aplicabilidade dos resultados a um número grande de situações, um objetivo sempre procurado nestas análises.

Cabe observar que um procedimento muito utilizado na solução de problemas consiste na combinação de uma análise teórica (para simplificar, aqui vista como a obtenção de soluções analíticas ou simulações numéricas) com dados experimentais; nestas condições, as ferramentas desenvolvidas neste capítulo permitem identificar procedimentos precisos para a apresentação dos dados contidos nas tabelas e para o traçado de gráficos. A apresentação das tabelas e gráficos nos relatórios e nos manuais torna-se compacta e de mais fácil entendimento e interpretação.

Antes de se iniciar o estudo deste capítulo, recomenda-se fortemente que o Cap. 2 – Dimensões e Unidades- seja revisitado.

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1. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

A questão da homogeneidade dimensional foi abordada no Capítulo 2. Os resultados principais são transcritos a seguir.

Sistema de Dimensões: um sistema de dimensões é formado por um número de dimensões primárias, em função das quais se pode escrever a dimensão de qualquer outra grandeza. De acordo com o problema em estudo o sistema de dimensões pode ter uma, duas, três ou mais dimensões primárias. A tabela 1 fornece as dimensões primárias que são necessárias num sistema de dimensões em função do ramo da Física em que se enquadra o problema

TABELA I

DIMENSÕES PRIMÁRIAS

RAMO DA FÍSICA MASSA COMPRI-

MENTO TEMPO TEMPER- ATURA CORRENT E ELÉTRICA GEOMETRIA - X - - - CINEMÁTICA - X X - - DINÂMICA X X X - - TERMODINÂMICA X X - X - TRANSMISSÃO CALOR X X X X - ELETROSTÁTICA X X - - X ELETRODINÂMICA X X X - X ELETROMAGNETISMO X X X - X MAGNETOHIDRODINAMICA X X X X X

Lei da Homogeneidade Dimensional: no estudo dos fenômenos físicos se aceita o seguinte princípio:

Toda equação que descreve um fenômeno físico deve ser dimensionalmente homogênea

isto é, todos os termos da equação possui a mesma dimensão.

EXEMPLO 1. Sob condições bem severas, isto é, se hipóteses bastante restritivas forem observadas, o balanço de energia num meio fluido é expresso pela equação de Bernoulli.

C V 2 1 gz p+ρ + ρ 2 =

Pede-se determinar a dimensão da constante C.

Esta equação representa uma lei física, logo ela é dimensionalmente homogênea. Como conseqüência, temos que:

[p] = [ρgz] = [ρV2

] e [p] = [ML-1T-2] Logo pela lei da homogeneidade dimensional tem-se que:

[C] = [ML-1T-2] Fim do exemplo 1.

EXERCÍCIO 1. É possível somar 5 laranjas com 3 bananas? Qual é o resultado?

EXERCÍCIO 2. Num cesto temos 5 frutas (do tipo laranja) e 3 frutas (do tipo banana). Quantas frutas têm no cesto?

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M.H.HIRATA Análise Dimensional e Leis de Semelhança

EXERCÍCIO 3: A equação que governa o movimento de um corpo em queda livre é escrita como: g dt z d 2 2 − = Pede-se:

1. Verifique se a equação é dimensionalmente homogênea. 2. Quando t = 0, as seguintes condições são observadas:

z = zo = um valor constante = =Vo dt dz um valor constante

3. Obtenha a solução da equação e verifique se sua solução é dimensionalmente homogênea.

4. Em seguida trace os seguintes gráficos:

z = f(t) fazendo zo = 20m e tendo como parâmetro Vo = 1, 2, 4, 8, 10 m/s

z = f(t) fazendo Vo = 5 m/s e tendo como parâmetro zo = 5, 10, 15, 20m

5. Analise o comportamento destes gráficos, em especial verifique o comportamento dos gráficos para t = 0, pontos extremos (máximos e mínimos), etc.

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2. ADIMENSIONALIZAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO.

No capítulo 2, uma introdução aos processos de adimensionalização de uma equação já foi feita. Naquele capítulo a equação que descreve o movimento de um corpo uniformemente acelerado foi utilizada. Esta equação adaptada para a análise de um corpo em queda livre sob a ação da força peso (gravitacional) é reproduzida a seguir

2 o o gt 2 1 t V z z= − − (1)

Tendo em vista desenvolvimentos futuros é importante observar que: - esta equação descreve o movimento do corpo no vácuo (queda livre).

- as duas únicas forças que atuam no fenômeno são: a força gravitacional responsável pelo movimento e a força inercial que é a força associada a uma massa em movimento; é interessante observar que estas duas forças dependem da massa, embora esta não se faça presente explicitamente na eq. (1).

- para que a equação descreva, de maneira realista, a queda de um corpo na atmosfera é necessário acrescentar um termo adicional que representasse a ação do ar opondo-se ao movimento (veja exercício 12) Numa primeira instância continuamos sem este termo, no entanto.

- a eq. (1) mostra de maneira explícita como a grandeza z depende das demais grandezas. Há situações em que não se exige este grau extremo de detalhes; nelas talvez seja suficiente saber de quais variáveis (grandezas) a variável (grandeza) z depende. Este fato é expresso pela equação na forma

z = f(zo, Vo, g, t) (2)

Esta equação mostra que a posição z ocupada pelo corpo depende do instante t, além das outras grandezas (zo, Vo, g). Equações com esta características são denominadas de

equações funcionais.

Utilizando os procedimentos apresentados no Capítulo 2, a forma adimensionalizada da eq. (1) é escrita como:

Fr 2 * t * t 1 * z 2 − − = (3)

Nesta equação define-se o número de Froude como: o o gz V Fr=

A análise da equação adimensionalizada (3) mostra que: - a equação é dimensionalmente homogênea.

- para um dado valor do tempo adimensionalizado t*, a posição adimensionalizada z* depende apenas de Fr. Esta observação é importante e mostra que para um dado valor de t*, a posição adimensionalizada z* assumirá sempre o mesmo valor desde que Fr seja o mesmo, independentemente dos valores individuais assumidos por Vo, zo ou g.

- pelas observações feitas sobre a equação (1) é de se esperar que Fr forneça uma relação entre as forças de inércia (FI) e gravitacional (FG); de fato:

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: a força inercial é expressa como: F = ma

Por sua vez, a aceleração de uma partícula ao longo de sua trajetória é expressa como: a = dt dz V dt ds dz dV dt dV ₌ ₌

e, em termos de grandezas adimensionais * dz * dV * V z V a o 2 o = Logo: * dz * dV * V z V m ma FI o 2 o = =

: a força gravitacional é expressa como: FG = mg

: coletando os resultados temos:

      = * dz * dV * V gz V FG FI o 2 o

o que permite concluir que a razão entre FI e FG é proporcional ao número de Froude (ou ao seu quadrado, para ser mais exato). Desta maneira diremos que:

O número de Froude fornece uma indicação da importância relativa da força inercial quando comparada com a força gravitacional

- duas situações diferentes que apresentam o mesmo valor de Fr serão dinamicamente semelhantes; de fato, se em ambas as situações apenas as FI e FG se fazem presente, a igualdade de Fr leva a iguais valores relativos de FI com relação a FG.

- fenômenos governados apenas pelas FG e FI independem da massa; na eq. (1), que governa o movimento de um corpo em queda livre (as únicas forças atuantes são a FI e a FG), a massa (ou massa específica) não se faz presente.

- finalmente, a exemplo da eq. (1), a eq. (3) pode ser implicitamente representada como

z* = φ ( Fr, t*) (4)

Observe que todos os termos desta equação são adimensionais.

Em seguida, é interessante observar que a equação usada para descrever a posição de uma massa uniformemente acelerada pode ser escrita na forma diferencial:

2 2 2 0 t 0 t _dt t x d 2 1 t dt dx x x= + + = = (1A)

Nesta forma, verifica-se imediatamente a existência das duas grandezas representativas (ou características) do fenômeno; são elas:

0 t

o x

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0 = = t o dt dx V a velocidade inicial

Aproveita-se este fato para tomá-las como padrões de referência para o fenômeno. Em função destas duas grandezas características define-se o padrão de tempo ou tempo característico, como já feito anteriormente. Resumindo, tem-se:

xo comprimento característico Vo velocidade característica o o o V x T = tempo característico

Os desenvolvimentos prosseguem com a definição das grandezas adimensionalizadas: o x x * x = x=x_ox* o o o x x x∗ = xo =xox∗o ou =1 * o x t x V T t * t o o o = = t* V x t o o =

Na equação (1A), x é substituído por (x_ox*), xo por

* o ox

x , e assim por diante, resultando:

(

)

2 0 2 2 0 2 1 * t T *) t T ( d *) x x ( d * t T *) t T ( d *) x x ( d x x * x x _o * t o o o * t o o o o o = = ∗ ₊ ₊ = 2 0 2 2 0 2 1 *) t ( * dt * x d * ) t ( * dt * dx x * x * t * t o = = ∗ ₊ ₊ =

Na seqüência se observa que 1 0 = = t * dt * dx

uma vez que

* dt * dx V * dt * dx x V x * dt * dx T x *) t T ( d *) x x ( d dt dx V _o o o o o o 0 t o o 0 t o = = = = = = =

e. de maneira idêntica, que ₂ 0 t 2 2 Fr 1 * dt * x d ₌ =

uma vez que: ₂

2 o 2 o 2 2 2 o o o o 2 2 2 * dt * x d x V * dt * x d T x *) t T ( d *) x x ( d dt x d a= = = =

Com estes resultados tem-se, imediatamente que

( )

2 2 t* ) Fr ( 1 2 1 * t 1 * x = + + (3)

que é idêntica a equação anteriormente obtida (analise os sinais antes do 2º. e 3º. termos do lado direito).

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EXEMPLO 2: Em condições bastante restritivas, isto é, considerando que o escoamento seja unidimensional, que os efeitos da compressibilidade sejam desprezíveis e que o mesmo possa ser dito dos efeitos viscosos a equação do movimento é escrita como: s p 1 s u u t u ∂ ∂ ρ − = ∂ ∂ + ∂ ∂

Pede-se adimensionalizar a equação supondo que se conheça: - o comprimento característico L

- a velocidade característica U

O tempo característico é definido em função de L e U, como:

U L T=

Definem-se as seguintes grandezas adimensionalizadas L s * s = _{s = Ls*} L Ut T t * t = = t* U L t= U u * u = u= Uu* ₂ 2 1 _U p * p ρ = U p* 2 1 p= ρ 2 Substituindo nos termos da equação tem-se: 1tLE: * t * u L U L U * t * u U dt * dt * t * u U t *) Uu ( t u 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 2tLE: * s * u * u L U ds * ds * s * u * u U s *) Uu ( *) Uu ( s u u 2 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 1tLD:

(

)

* s * p L U 2 1 ds * ds * s * p U 2 1 s * p U 2 1 s * p U 1 s p 1 2 2 2 2 2 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ρ ∂ ρ = ∂ ∂ ρ

A equação adimensionalizada, finalmente, toma a forma: * s * p * s * u * u * t * u ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂

Como observação final tem-se novamente que: a solução da equação adimensionalizada fornece, por exemplo, p* independe do valor particular de L, V, s, t, ρ, etc.; depende apenas dos valores de u*, s* e t* que representam combinações específicas das variáveis dimensionais (L, V, s, t, ρ, etc.), fato este representado pela equação funcional adimensionalizada:

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EXEMPLO 3 (Escoamento de Couette e de Poiseuille): Considere o escoamento plano de um fluido newtoniano que se realiza entre duas placas paralelas colocadas uma bem próxima da outra, como mostra a figura. A placa inferior é fixa e a placa superior desliza com uma velocidade constante U. Utilizando algumas hipóteses adicionais e simplificando as equações, o problema a ser analisado é governado pela equação: 0 dy u d 2 2 =

Para a completa definição do problema exige a especificação das condições de contorno: u = 0 em y =0

u = U em y = h

Este problema é conhecido como problema de Couette; A solução do problema de valor de contorno fornece a seguinte expressão para a velocidade (a velocidade distribui-se linearmente com y; veja a figura acima)

h y U

u= (E3.1)

Na forma implícita este campo de velocidades é expresso como:

u = f(y, h, U) (E3.2)

Para a adimensionalização das equações é necessário identificar as grandezas características. A análise das condições de contorno permite identificá-las.

Ao fixar o sistema de coordenadas à placa inferior, a coordenada do ponto de referência se anula. A coordenada y varia de 0 a h e este último comprimento é o candidato natural para representar o comprimento característico. De maneira análoga, verifica-se que a velocidade varia entre o valor 0 na placa inferior e atinge o valor máximo – U – na placa superior; este valor é o candidato natural para a velocidade característica.

As variáveis adimensionalizadas são definidas como:

h y * y = _{y = hy*} U u * u = u = Uu*

Substituindo na equação e nas condições de contorno resulta: 0 dy u d 2 * * 2 = u*= 0 em y* = 0 u* = 1 em y* = 1 U y x h

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A solução deste problema de valor de contorno adimensionalizado fornece a seguinte solução:

* y *

u = (E3.3)

Na forma implícita o campo de velocidades adimensionalizado é expresso como:

u* = φ ( y*) (E3.4)

No exemplo analisado o movimento do fluido entre as placas é induzido pelo movimento da placa superior. Outra

situação interessante é identificada quando o movimento do fluido entre as placas é induzido por uma gradiente de pressão constante, isto é, as duas placas encontram-se paradas e existe uma diferença de pressão ∆p

entre a entrada e a saída da região de interesse. Este é conhecido como escoamento de Poiseuille.

Na ausência de qualquer outro fator, a diferença de pressão se distribui igualmente ao longo do comprimento da placa:

C dx dp x p lim 0 x ∆ = = ∆ → ∆

O problema de valor de contorno que governa o fenômeno é escrito como: dx dp dy u d 2 2 = µ u = 0 em y =0 u = 0 em y = h

cuja solução, na forma explícita é escrita como

(

y hy

)

dx dp 2 1 u 2 − µ = (E3.5)

Na forma implícita, esta solução é escrita como:

u = f(y, h, µ, dp/dx) (E3.6)

Para a adimensionalização das equações as condições de contorno são analisadas para se identificar as grandezas características. Como anteriormente o comprimento característico é representado por h, mas a velocidade característica não pode ser identificada de imediato. Um procedimento conveniente, para estes casos, consiste em indicar esta velocidade por Uc e determinar, a posteriori, o seu valor. Assim sendo

definimos as grandezas adimensionalizadas como: h y * y = _{y = hy*} pS pE y x h ∆x U

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c U

u *

u = u = Uc u*

Levando estes resultados na equação temos:

dx dp dy u d U h *2 * 2 c 2 = µ

e definimos Uc de modos que o lado direito da equação seja normalizado, isto é,

definimos Uc como: dx dp h U 2 c µ − =

O sinal negativo foi adicionado propositalmente porque (dp/dx) < 0 quando o escoamento ocorre no sentido de x positivo. Com estas definições o problema de valor de contorno adimensionalizado é escrito como (observe que a escolha da definição da velocidade característica leva o lado direito da equação assumir o valor unitário):

1 dy u d 2 * * 2 = u* = 0 em y* = 0 u* = 0 em y* = 1

A solução deste problema pode ser facilmente obtida; logo

(

2

)

* * y * y 2 1 u = − (E3.7)

Na forma implícita (adimensionalizada) esta solução é escrita como

u* = φ(y*) (E3.8)

Os resultados deste exemplo já permitem identificar algumas das inúmeras vantagens da utilização de grandezas adimensionalizadas:

- a comparação das expressões (E3.1) e (E3.2) com (E3.3) e (E3.4) mostra que as expressões deste último conjunto são mais simples do que as expressões do primeiro conjunto; o mesmo acontece se compararmos (E3.5) e (E3.6) com (E3.7) e (E3.8) - a representação gráfica da expressão (E3.5) ou (E3.6) é mostrada de maneira

qualitativa na figura. Uma representação quantitativa exigiria um gráfico da velocidade para cada conjunto de valores (h, µ, dp/dx), ou seja, um número muito grande de gráficos. No entanto, a representação gráfica da expressão (E3.7) ou (E3.8) é muito simples e resume-se a apenas um gráfico [u* x y*]. Este fato torna-se mais importante a medida que o fenômeno fica complexo e soluções explícitas não podem ser obtidas; neste caso resultados numéricos (ou experimentais) são obtidos através de simulações numéricas (ou testes). Veja, também, a parte 3 deste capítulo que é dedicada às aplicações da Análise Dimensional. Fim do exemplo 3. EXEMPLO 4: Considere uma placa de largura L. Inicialmente a placa encontra-se em

equilíbrio térmico e sua temperatura é Ti. No instante t = 0 a placa começa a trocar

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intervalo de tempo t, a temperatura será indicada por T = T(x,t), num ponto do interior da placa, definido pela coordenada x.

O fenômeno descrito refere-se ao processo de transferência de calor por condução em regime não permanente.

Nestas condições a equação que governa o fenômeno é:

2 2 x T t T ∂ ∂ α = ∂ ∂

e, nesta equação α representa a difusividade térmica, definida como:

p C k ρ = α

Para se obter a solução da equação de maneira unívoca, torna-se necessário especificar o que ocorre nas extremidades da placa. Assim sendo, assume-se que em x = 0 não haja fluxo de calor o que é expresso como:

0 = ∂ ∂ x T em x = 0 e t > 0

Na outra extremidade a placa troca calor com o fluido, fato este expresso como: ) T T ( h x T k = _o− ∂ ∂ em x = L e t> 0. No instante inicial: T = Ti em 0 < x < L e t = 0

- As grandezas características (ou representativas) são identificadas: L = comprimento característico α = ℑ L2 = tempo característico ∆T = (Ti – To) = temperatura característica. x L T Ti T(x, t) x Distribuição da temperatura no instante t To

Com o intuito de simplificar as equações é conveniente identificar uma temperatura de referência; no caso costuma-se tomar To, a

temperatura do fluido. Em seguida, define-se uma nova variável para a temperatura, ié:

[T(x,t) – To]

Logo, a temperatura característica é escrita como:

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- As grandezas adimensionalizadas são definidas: ) T T ( ) T T ( o i o − − = θ temperatura adimensionalizada L x * x = coordenada adimensionalizada 2 L t *

t = α _{tempo adimensionalizado (Número de Fourier)}

- Os valores de T, x e t são substituídos na equação e nas condições de contorno; em

seguida, operações algébricas apropriadas são realizadas resultando

2 2 * x * t ∂ θ ∂ = ∂ θ ∂ 0 = ∂ θ ∂ * x em x* = 0 e t* > 0 θ − = ∂ θ ∂ Bi * x em x* = 1 e t* > 0 OBSERVAÇÕES:

- O Número de Biot é definido como

k hL L k h Bi= =

Este grupo adimensional fornece uma indicação da importância do coeficiente de transferência de calor (na superfície) quando comparada com a condutância interna através da placa de comprimento L.

- A análise das equações acima permite escrever que:

T = f (x, L, k, α, h, ∆T, t)

- Como no exemplo 2, a solução do sistema composto pela equação e condições de contorno adimensionalizadas fornece θ (a temperatura adimensionalizada) que

depende apenas de Bi, t* e x*, isto é:

θ = φ (x*, t*, Bi) Fim do exemplo 4. EXERCÍCIO 4. Considere a equação do movimento do exercício 3. Pede-se:

1. Obtenha a forma adimensionalizada desta equação.

2. Obtenha a solução da equação adimensionalizada do item acima (ela deve ser igual expressão (3A)).

3. Trace um gráfico z* = φ(t*) tendo Fr = 0.030, 0.035, 0.040, 0.050, 0.100 4. Em seguida, utilizando o seu gráfico, faça zo = 20m e Vo = 5m/s e calcule o

valor de z quando t = 5s. Compare seu resultado com aquele que você obteve no exercício 3.

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EXERCÍCIO 5. A Lua é muito menor do que a Terra e a aceleração da gravidade lunar é da ordem de g = 1.65 m/s2.

a) Porque a análise do movimento de um corpo na Lua pode ser feita com a utilização da eq. (1) (ou, o que é equivalente, com a utilização da eq. (3)?

b) Refaça o item 4 do exercício 4 considerando o novo valor apropriado da aceleração da gravidade.

EXERCÍCIO 6. Analise o fenômeno governado pela equação do movimento na forma utilizada no exemplo 2 e identifique o tipo de força presente no fenômeno.

EXERCÍCIO 7. No exemplo 3 foram analisados os escoamentos de Couette e de Poiseuille. Uma análise mais atenta das equações mostra que elas são lineares e, por conseguinte, suas soluções podem ser adicionadas. Este fato leva a formulação do problema de Couette-Poiseuille que corresponde ao escoamento plano no interior de duas placas planas paralelas; a inferior é fixa e a superior está animada de um movimento com velocidade U. O movimento do fluido é induzido não apenas pelo movimento da placa superior mas também por uma diferença de pressão ∆p. Pede-se: 1) Fazer um esquema do problema onde se define todas as variáveis de interesse e o

sistema de coordenadas.

2) Escrever o problema de valor de contorno correspondente

3) Obtenha o campo de velocidades na forma dimensional e, depois, escreva a sua versão implícita desta distribuição.

4) Adimensionalize as equações utilizando a velocidade da placa superior como a velocidade característica. Obtenha a solução adimensionalizada na forma explícita e implícita.

5) Adimensionalize as equações utilizando a velocidade Uc como a velocidade característica. Obtenha a solução adimensionalizada na forma explícita e implícita. EXERCÍCIO 8. Considere um escoamento unidimensional para o qual os efeitos da

compressibilidade sejam desprezíveis. Se os efeitos viscosos não podem ser desprezados, a equação do movimento (veja exemplo 2 e capítulo 4) é escrita como:

₂ 2 s u s p 1 s u u t u ∂ ∂ µ + ∂ ∂ ρ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ Pede-se

1. identificar as forças que se fazem presente nos fenômenos governados por esta equação.

2. supondo que se conheça:

- o comprimento característico L - a velocidade característica U

utilize os procedimentos do exemplo 2 e obtenha a versão adimensionalizada da equação. Se seus procedimentos estão corretos esta versão adimensionalizada deve ser da forma

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2 2 1 * s * u Re * s * p * s * u * u * t * u ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂

Nesta equação o Número de Reynolds é definido como:

µ ρ = UL Re

3. de quais grandezas a pressão p*, num ponto fixo s* e num dado instante t*, depende?

4. O que esta grandeza (p*) representa (veja os procedimentos utilizados na interpretação do número de Froude)?

EXERCÍCIO 9. O escoamento de um fluido deve obedecer aos princípios de conservação. As expressões matemáticas que exprimem estes princípios são as equações que governam o fenômeno.

Considere o escoamento de um fluido que ocorre entre duas placas paralelas e que está sujeito às seguintes condições:

- o fluido possui propriedades constantes - o regime é permanente

- os efeitos da compressibilidade são desprezíveis

Nestas condições a equação da energia, uma das equações que governam o fenômeno, sofre simplificações e é escrita como:

2 2 2 2 2 p y u 2 y T x T k x T ) y ( u C _      ∂ ∂ µ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ

Nesta equação, o último termo do LD corresponde ao termo de dissipação viscosa da energia. Indique a temperatura de referência por Tw e a temperatura do fluido como

sendo To. Assuma, ainda, que a velocidade característica seja U e o comprimento

característico L. Observe os procedimentos utilizados no exemplo 3 e obtenha a equação adimensionalizada; 2 2 2 2 2 * y * u Re E 2 * y * x Pr Re 1 * x * u _      ∂ ∂ +       ∂ θ ∂ + ∂ θ ∂ = ∂ θ ∂ µ ρ = UL Re número de Reynolds α υ = µ = k C

Pr p número de Prandtl que fornece uma indicação da importância

do transporte difusivo da quantidade de movimento com relação ao transporte difusivo de calor.

T Cp / U Cp . T U E 2 2 ∆ = ∆

= número de Eckert. Para a interpretação física deste termo

basta lembrar que o numerador (U2/Cp) representa o aumento da

temperatura que se observa quando um gás ideal animado de uma velocidade U é trazido adiabaticamente para o repouso.

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“em grande parte das aplicações, o termo de dissipação viscosa é desprezível em virtude das velocidades moderadas que são observadas”

EXERCÍCIO 10. O movimento do fluido nas vizinhanças de uma superfície vertical aquecida a uma temperatura constante é muito parecido com o escoamento na camada limite. O mecanismo responsável pela convecção natural está associado à força de empuxo resultante da diminuição da massa específica por causa do aquecimento.

Para a análise desta situação costuma-se assumir que: H1. O escoamento é bidimensional

H2. O regime é permanente

H3. O fluido é newtoniano com propriedades constantes H4. O escoamento é laminar

Com estas hipóteses as equações que governam o fenômeno podem ser simplificadas, resultando: 1. Eq. da continuidade 0 z w x u = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2. Eq. do movimento em z ₂ 2 x u g z p z w w x w u ∂ ∂ µ + ρ − ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 3. Eq. da energia ₂ 2 x T z T w x T u ∂ ∂ α = ∂ ∂ + ∂ ∂

Assume-se, adicionalmente que: H5. Hipótese de Boussinesq:

“a variação de temperatura não afeta as propriedades do fluido”

Em seguida, para se utilizar esta hipótese, o 1tLD e o 2tLD são agrupados e substituídos por [(ρ∝-ρ)g], isto é:

- as setas vermelhas definem a distribuição da temperatura no meio fluido.

- as setas azuis definem a

distribuição da velocidade no meio fluido x z To Tw T w

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(

)

g z p g = ρ −ρ ∂ ∂ − ρ − ∞

Esta substituição equivale a se assumir uma distribuição hidrostática da pressão, o que é razoável levando-se em consideração que os movimentos são lentos.

Se o coeficiente volumétrico de expansão térmica

p T p 1       ∂ ∂ ρ − = β

for utilizado, tem-se:

(

T T

)

z p g =−βρ _o − ∂ ∂ − ρ −

Com este resultado a equação do movimento toma a forma 2 2 o x w ) T T ( g z w w x w u ∂ ∂ µ + − β ρ = ∂ ∂ ρ + ∂ ∂ ρ

Para se obter as formas adimensionalizadas destas equações sugere-se que as seguintes etapas sejam observadas:

a) Identificação das grandezas características. Assuma que: L _{representa o comprimento característico}

U _{representa a velocidade característica}

∆T = (Tw - To) representa a temperatura característica

b) Grandezas adimensionalizadas. Utilizando as grandezas características defina as grandezas adimensionalizadas: x*, z*, u*,w*, etc.

c) Equações adimensionalizadas. Substitua as grandezas adimensionalizadas nas equações.

d) Álgebra. Com uma manipulação algébrica conveniente obtenha as equações adimensionalizadas. As equações adimensionalizadas apresentadas abaixo, são fornecidas apenas para comparação e verificação dos seus resultados.

0 * z * w * x * u ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 o w * x * w Re 1 U L ) T T ( g * z * w * w * x * w * u ∂ ∂ + − β = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 * x Pr Re 1 * z * w * x * u ∂ θ ∂ = ∂ θ ∂ + ∂ θ ∂

onde se deve observar que:

2 2 o w 3 2 o w Re Gr UL / ) T T ( gL U L ) T T ( g ₌       υ υ − β = − β

(17)

Os grupos adimensionais que aparecem nas equações adimensionalizadas são µ ρ = UL Re _{Número de Reynolds} α υ = µ = k Cp Pr _{Número de Prandtl} 2 w 3 ) T T ( gL Gr υ − β = ∞ _{Número de Grashof}

e) Interpretação. Forneça a interpretação física de cada um dos grupos adimensionais acima mencionados. Veja o item g (abaixo) e a parte 5 deste capítulo.

f) Como o fenômeno analisado neste exercício envolve a transferência de calor por convecção, é natural que o coeficiente de transferência de calor - h - se faça presente. Este coeficiente não aparece explicitamente nas equações acima porque entre estas não foram explicitadas as condições de contorno na superfície. Consultar os textos de transferência de calor e especifique a condição fluxo de calor constante na superfície; Em seguida faça a adimensionalização desta condição e verifique a presença de um novo grupo adimensional definido como:

k hL

Nu= _{Número de Nusselt.} Coletando os resultados acima, conclua que:

Nu = φ (Re, Pr, Gr)

g) Observe em seguida as interpretações apresentadas a seguir:

orçada convecçãof atural convecçãon Re Gr 2 ⇒ Logo: - se 1 Re Gr 2 ≅     

então a convecção natural e a convecção forçada possuem a mesma importância e ambas devem ser considerada na análise.

- se 1 Re Gr 2<<<     

então o escoamento é governado primariamente pela convecção forçada. - se 1 Re Gr 2 _>>>    

então o escoamento é dominado pela convecção natural

h) Observe, em seguida, que no fenômeno de transferência de calor por convecção natural (veja acima em que condições ela ocorre) a força de empuxo é a única responsável pela velocidade do fluido, isto é, não há velocidade induzida externamente. Como conseqüência, tem-se:

(18)

isto é, o número de Nusselt depende fracamente do número de Reynolds.

i) Finalmente observe que: para os gases, Pr ≅ 1 e, nestas condições, a convecção natural é governada por uma relação do tipo

Nu ≅ φ (Gr).

(19)

3. ANÁLISE DIMENSIONAL

Como uma introdução ao tópico Análise Dimensional considere novamente o movimento de um corpo que é uniformemente acelerado; mais especificamente um corpo que cai sob o efeito da força gravitacional, no vácuo. A equação que fornece a velocidade no instante t é escrita como:

gt V

V= _o + (5A)

Esta equação fornece uma relação explícita entre a grandeza dependente V e as demais grandezas da qual ela depende, no caso, Vo, g e t. Podemos ir um pouco além e dividir

estas grandezas em variáveis e parâmetros.

As variáveis são as grandezas que desejamos plotar. Por exemplo, desejamos plotar a variável dependente V em função da variável independente t. Estes resultados podem ser obtidos através da solução da equação ou experimentalmente.

Os parâmetros são as grandezas cujo efeito sobre as variáveis desejamos conhecer. No exemplo, gostaríamos de saber qual é o efeito que teríamos sobre V ao dobramos o valor de Vo (ou se utilizássemos, por exemplo, o valor da aceleração da

gravidade lunar que é aproximadamente (1/6) do valor original de g, na Terra). Observe os gráficos da figura (1).

De uma maneira implícita, a equação acima pode ser escrita como:

V = f (Vo, g, t) (5.B)

A diferença entre a equação funcional (5.B) e sua forma explícita é que, na segunda, a relação entre as grandezas encontra-se implícita e a sua forma não é conhecida.

Este é, aliás, o tipo de situação encontrada em muitos problemas: sabe-se (ou pode-se determinar pela análise qualitativa do fenômeno) identificar de quais grandezas uma delas depende, mas não se sabe como esta dependência ocorre.

Se o fenômeno é suficientemente simples (como no exemplo em consideração) pode-se deduzir a forma explícita como mostra a equação (5.A). No entanto, quando a situação é complexa, a determinação da forma explícita da equação é difícil e, às vezes até impossível; em outras situações tem-se a equação, mas a sua solução é de difícil obtenção ou mesmo muito trabalhosa. Nestas condições, os desenvolvimentos deste capítulo são de grande utilidade.

Como ilustração, suponha que o fenômeno fosse complexo e que a forma da equação (5A) fosse de difícil obtenção. Utilizando resultados experimentais, por exemplo, pode-se determinar empiricamente como a velocidade V depende das demais grandezas, isto é, como se comporta a função f(Vo, g, t), equação (5B). Estes resultados

são apresentados com a utilização de um conjunto de gráficos como ilustrado na Figura 1. Nesta figura são apresentados apenas três gráficos que varrem uma faixa muito restrita do parâmetro Vo (no caso apenas três valores); mesmo assim verifica-se que a sua

elaboração é trabalhosa porque (está se supondo que) os dados utilizados foram obtidos experimentalmente.

OBS. Não é muito comum a utilização de diferentes valores da aceleração da gravidade, mas, como um exemplo ilustrativo, consideramos a possibilidade de se variar o valor de g para a realização dos experimentos.

Um fenômeno um pouco mais complexo, com a variável dependente expressa em função de quatro grandezas, teria a equação funcional escrita como

(20)

X1 = f(X2, X3, X4, X5).

Como ficaria a representação gráfica desta equação?

Certamente, ao invés de um vetor de gráficos, como mostra a Figura 1, seria necessário a utilização de uma matriz de gráficos! Não é difícil imaginar as dificuldades que seriam encontradas para a obtenção dos dados necessários para a elaboração dos gráficos desta matriz!

FIGURA 1

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO (5B)

Retomando a equação (5A), divide-se ambos os lados por Vo e se obtém a

equação (6A), que possui todos os seus termos na forma adimensional

o o V gt V t V ₌ ₊ 1 ) ( (6A)

A correspondente equação funcional (agora na forma adimensional) pode ser escrita como:

Π1 = φ (Π2 ) (6B)

e, nesta equação as variáveis (grupos) adimensionais são definidos como:

o 1 V ) t ( V = Π o 2 V gt = Π

A representação gráfica desta equação funcional resume-se à apenas um gráfico [(Π1) x (Π2)]

como mostrado na Figura 2.

Observe que todas as informações presentes no conjunto de gráficos da Figura 1 estão, também, presentes no gráfico da Figura 2.

Além de representar uma forma compacta de expor as informações, têm-se algumas vantagens adicionais. Para melhor apreciar estas vantagens imagine que o fenômeno fosse realmente complexo e que a forma das equações (5A) e (6A) não fossem conhecidas; neste caso as equações a serem utilizadas seriam (5B) e (6B) e as funções

f (Vo, g, t) e φ (Π2)

seriam determinadas experimentalmente. Nestas condições as seguintes observações são pertinentes:

- a elaboração do gráfico da Figura 2 é bastante simples como mostra o delineamento dos procedimentos seguidos. t V Vo= 0 Vo= 1 Vo= 2 g= 10 Vo= 0 Vo= 1 Vo= 2 t V Vo= 0 Vo= 1 Vo= 2 g= 9.5 t V g= 9.8

(21)

: os valores de V, obtidos experimentalmente, correspondem a diferentes instantes de tempo, como ilustram as duas primeiras linhas da tabela apresentada na Figura 2.

: assumindo que o experimento tenha sido realizado com uma velocidade inicial Vo = 2 m/s e que g = 9.8 m/s2, as duas linhas seguintes podem ser facilmente

calculadas, bastando utilizar as definições de Π1 e Π2.

: as duas últimas linhas desta tabela são utilizadas para traçar o gráfico.

- para o traçado do gráfico, foi utilizado um único valor arbitrariamente assumido de Vo e

um único valor de g (aliás, o único valor disponível para a aceleração da gravidade). Este fato ilustra outra das vantagens (que em certas ocasiões pode ser determinante para a realização do experimento) que se obtém com a utilização da equação adimensionalizada (6.B) ao invés da equação (5.B) escrita em termos de grandezas com dimensões.

- utilização do gráfico da figura 2 também é vantajosa. Suponha que se deseja conhecer a velocidade V de um corpo, no instante t = 4s, que cai em queda livre num planeta onde g = 5.0 m/s2. Com os dados acima, o valor de Π2 é calculado e assume o valor 20. Com

este valor o gráfico da figura 2 fornece Π1 = 21.6 e utilizando a definição deste grupo

adimensional, obtém-se que V = 21.6 m/s. Compare este valor com o que seria obtido se a equação (5.A) fosse utilizada; pode haver uma pequena diferença nos dois valores o que é creditado aos possíveis erros cometidos nas medidas da velocidade (veja tabela da figura 2). Qual seria o valor de V, no instante t = 5s, se g = 8.0 m/s2 e Vo = 5m/s ?

t (s) 0 1 2 4 6 8 10 Medido

V (m/s) 2.0 12.0 21.5 43.0 61.0 80.0 100.0 Medido Π1 1.0 6.0 10.7 21.5 30.5 40.0 50.0 Calculado

Π2 0.0 4.9 9.8 19.6 29.4 39.2 49.0 Calculado

FIGURA 2

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO (6B)

Este exemplo já seria suficiente para justificar um estudo da Análise Dimensional e suas ferramentas. No entanto, como será visto a seguir, muitas outras situações podem ser analisadas com estas ferramentas.

0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

(22)

3.1. SEMELHANÇA DINÂMICA

O movimento de um corpo em queda livre, no vácuo, continua sendo o exemplo utilizado para ilustração. A equação que governa o movimento é a equação (1) que é abaixo transcrita (na forma explícita e em termos de variáveis com dimensão)

2 2 1 o o Vt gt z z= − − (1)

Na forma implícita a equação acima é expressa como:

z = f(zo, Vo, g, t) (2)

A correspondente forma adimensional desta equação toma a forma:

( )

2 2 t* ) Fr ( 1 2 1 * t 1 * z = − − (3)

A equação (3) representa a forma explícita, expressa em termos de variáveis adimensionalizadas, da eq. (1). A correspondente forma implícita desta equação adimensional é escrita como:

z* = ϕ(Fr, t*) (4)

Uma análise anterior do fenômeno mostrou que o corpo movimenta-se devido a ação da gravidade (FG a força gravitacional ou força peso) e que a única outra força presente neste fenômeno é a força inercial (FI). Foi mostrado que a relação entre estas forças é proporcional ao número de Froude, isto é:

o 2 o gz V FG FI ₌_α

α é utilizado para representar proporcionalidade Como estas são as duas únicas forças presentes no fenômeno, conclui-se que duas situações diferentes (deste mesmo fenômeno) serão dinamicamente semelhantes se elas apresentarem o mesmo valor para esta relação, o número de Froude. Em outras palavras, uma situação caracterizada por um conjunto de valores

zo = p1 Vo = q1 e g = r1

será dinamicamente semelhante a outra situação caracterizada por outro conjunto de valores zo = p2 Vo = q2 e g = r2 se 2 1 2 2 2 1 1 1 Fr Fr ou p r q p r q = =

OBSERVAÇÃO: O número de Froude (assim como outros grupos adimensionais que serão apresentados ao longo do texto) não representa a relação exata entre forças, mas sim um indicador da importância relativa entre estas forças. Por comodidade e até por tradição costuma-se, no entanto, dizer que estes grupos adimensionais representam uma relação entre forças.

(23)

Uma maneira alternativa para exprimir os fatos acima seria dizer que o fenômeno é governado pelo número de Froude. Assim, se Fr assume valores elevados (o que acontece quando se aumenta o valor de Vo, já que xo e g são, geralmente mantidos

constantes) o fenômeno é dominado pela força inercial. O contrário acontece quando a força gravitacional é dominante, isto é, quando Fr assume valores pequenos (este seria o caso, por exemplo, se o fenômeno ocorresse num planeta muito grande, onde a aceleração da gravidade lunar assume valores maiores do que a aceleração da gravidade terrestre).

Resumindo, diz-se que duas situações apresentarão o mesmo comportamento dinâmico se

Fr1 = Fr2

onde Fr1 representa o número de Froude da situação (1) e Fr2 o número de Froude da

situação (2).

O conceito de semelhança dinâmica deve ser generalizado para abranger situações em que outros tipos de força se fazem presentes. Diz-se que:

Dois fenômenos são dinamicamente semelhantes se as relações entre as forças neles atuantes forem iguais

Em termos matemáticos, exige que:

2 j 2 1 j 1 F FI F FI = (7)

onde FI representa a força inercial e Fj uma força de qualquer origem presente no

fenômeno em consideração.

A expressão (7) merece algumas observações:

- a expressão (7) representa uma igualdade entre dois valores adimensionais, ou seja, cada lado da igualdade representa uma razão entre forças.

- a expressão indica que, para garantir a semelhança dinâmica, há a possibilidade de se requerer a igualdade de dois ou até mais grupos adimensionais. Se o fenômeno se desenvolve sob a ação de três tipos de forças (FI a força inercial, FG a força gravitacional e FV a força viscosa, por exemplo) há a necessidade de se exigir que 2 2 1 1 FG FI FG FI = e 2 2 1 1 FV FI FV FI =

Se, por outro lado, for quatro o número de forças presentes, exige-se a igualdade de três grupos adimensionais e assim por diante.

Como ilustração, considere o mesmo fenômeno analisado, mas com uma diferença: o corpo cai sob a ação da gravidade na atmosfera terrestre. Nestas condições uma força adicional se faz presente no fenômeno; é a força que se opõe ao movimento do corpo, causada pela presença do ar atmosférico. Esta força é representada por FV,, a força

viscosa, que resulta da atuação da viscosidade, uma propriedade do fluido. Para que haja uma completa semelhança dinâmica exige-se a igualdade dos números de Froude e de Reynolds, isto é:

(24)

OBSERVAÇÃO: assim como a relação entre as forças inercial e gravitacional recebe o nome de Número de Froude, a relação entre as forças inercial e viscosa possui um indicador, uma definição e um nome particular. Este indicador recebe o nome de Número de Reynolds e é definido como

µ ρ = Ul Re

Ao final do capítulo, faz-se um apanhado geral dos grupos adimensionais mais utilizados.

EXERCÍCIO 11: Fazer uma análise semelhante àquela apresentada na parte 2 deste capítulo (para o Número de Froude) para mostrar que o Número de Reynolds representa um indicador da importância relativa das forças inercial e viscosa.

EXEMPLO 5. Pretende-se determinar o tempo que uma nave lunar leva para atingir o solo (tempo de impacto). Sabe-se que a uma altura de 1000m, ela terá seus motores desligados e estará animada de uma velocidade de 2m/s.

- observa-se, inicialmente, que a nave estará em queda livre ao se desligar os seus motores (a Lua não possui atmosfera).

- a análise de um corpo em queda livre (no vácuo) mostra que o fenômeno é governado pelas forças de inércia (FI) e gravitacional (FG).

Com o propósito de ilustrar e exemplificar, vamos supor (uma situação muito pouco provável) que NÃO SE CONHEÇA a forma explícita da equação

z = zo – Vot – 0.5gt2

que governa o fenômeno. Vamos supor, no entanto, que SE CONHEÇA a equação funcional que relaciona z com as demais variáveis do fenômeno, isto é:

z = f(zo, Vo, g, t)

Os procedimentos que serão apresentados (no item que se segue) permitem que se obtenha uma equação equivalente (também na forma implícita) à anterior, expressa em termos de variáveis adimensionalizadas, isto é:

z* = ϕ(Fr, t*)

Esta equação mostra que para um dado valor de t* a posição adimensionalizada z* só depende do número de Froude. Logo, se um fenômeno dinamicamente semelhante (isto é, com o mesmo valor de Fr) puder ser realizado na Terra o tempo de impacto poderá ser estimado. Para isto a curva [(z*) x (t*)], tendo como parâmetro Fr deverá ser obtida através deste experimento.

Observa-se, inicialmente, que:

- o corpo a ser utilizado nos experimentos na Terra pode possuir forma qualquer, uma vez que, em queda livre, a forma é indiferente.

- a massa do corpo a ser utilizado nos experimentos na Terra pode ter qualquer valor, uma vez que, em queda livre, a massa é irrelevante.

Em seguida, decide-se que o experimento na Terra será executado utilizando um comprimento representativo zo = zot = 100m. O índice é usado l para indicar que a

(25)

M.H.HIRATA

Para que o experimento e o fenômeno na Lua sejam dinamicamente semelhantes é necessário que Frl = Frt.

Assumindo que na Lua a aceleração da gravidade seja g calculado imediatamente: z g V Fr oL L oL l = = O valor da velocidade V fazendo Frl = Frt = 0.028.

Os experimentos realizados no vácuo fornecem os valores tabelados: t(s)

z(m)

Utilizando as definições de z* e t* a seguinte tabela é elaborada. t(s)

z(m) t* z*

O que permite o traçado do gráfico

Para se determinar o tempo de impacto (na Lua) quando a nave se encontra a qualquer, 550m do solo por exemplo,

a) Cálculo de x* x* = (x/1000) = 0.550

b) Valor de t* ==[do gráfico] c) Tempo de impacto

Análise Dimensional e Leis de Semelhança

Para que o experimento e o fenômeno na Lua sejam dinamicamente semelhantes é na Lua a aceleração da gravidade seja gL = 5m/s2, o número de Froude é

028 . 0 1000 * 5 2 =

O valor da velocidade Vot, com o qual o experimento deve ser conduzido, é obtido

= 0.028. Os cálculos mostram que Vot = 0.877m/s.

Os experimentos realizados no vácuo fornecem os valores tabelados:

t(s) 0 1 2 3 4

z(m) 100 94.22 78.63 53.22 18.01 Utilizando as definições de z* e t* a seguinte tabela é elaborada.

t(s) 0 1 2 3 4

z(m) 100 94.22 78.63 53.22 18.01 0.000 0.009 0.018 0.026 0.035 1.00 0.942 0.786 0.532 0.180 O que permite o traçado do gráfico da função [(z*) x (t*)]

Para se determinar o tempo de impacto (na Lua) quando a nave se encontra a qualquer, 550m do solo por exemplo, tem-se:

x* = (x/1000) = 0.550 Valor de t* ==[do gráfico] t* = 0.026

Tempo de impacto t*=(tVoL)/zoL = (2t/1000) t =13s.

Análise Dimensional e Leis de Semelhança

Para que o experimento e o fenômeno na Lua sejam dinamicamente semelhantes é , o número de Froude é

, com o qual o experimento deve ser conduzido, é obtido

Para se determinar o tempo de impacto (na Lua) quando a nave se encontra a uma altura

(26)

3.2. ETAPAS DA ANÁLISE DIMENSIONAL

Com o critério para que haja semelhança dinâmica (representada pela expressão (7)) a pergunta que surge naturalmente é: como determinar os parâmetros adimensionais que garantam a semelhança dinâmica sem a utilização das equações que governam o fenômeno?

A determinação dos parâmetros adimensionais exige vários procedimentos que são agrupados em quatro etapas principais que são apresentadas a seguir. Os detalhes operacionais destas etapas são descritos na seqüência.

- A primeira etapa consiste na análise dos mecanismos que governam o fenômeno; ela será referida como a análise do fenômeno físico. Esta etapa inicia-se com a identificação dos mecanismos que governam o fenômeno o que permite a identificação dos tipos de forças presentes: FI, FG, por exemplo. A análise e o entendimento da dinâmica dos mecanismos permitirão, a seguir, identificar as grandezas intervenientes no fenômeno e sua importância relativa (as hipóteses assumidas são importantes nesta etapa); as grandezas de menor importância podem ser eventualmente descartadas, o que implicará na simplificação da análise.

Como resultado desta etapa tem-se a identificação das n grandezas (ou variáveis) relevantes:

X1, X2, X3,... , Xn

Esta é, provavelmente, a mais difícil e a mais importante etapa de todo o processo. A omissão de uma grandeza importante compromete totalmente o processo. A experiência e a familiaridade com o fenômeno físico são de grande importância, mas não substituem uma análise lógica e cuidadosa.

- A segunda etapa consiste no estabelecimento da equação funcional que relaciona as grandezas identificadas na primeira etapa. Veja por exemplo as equações (2) e (5.B) por exemplo. A equação funcional pode ser escrita de duas maneiras equivalentes como mostrado abaixo:

X1 = f (X2, X3, X4,..., Xn)

ou (8)

f (X1,X2, X3, X4,..., Xn) = 0

A variável X1 é a variável dependente e é identificada com a grandeza de maior

interesse do fenômeno; na análise do movimento retilíneo uniformemente acelerado, por exemplo, esta variável poderia ser a velocidade, V, no instante t, ou alternativamente poderia ser a posição, x, no instante t, etc. As demais são as grandezas independentes.

OBS. A variável dependente é sempre identificada pelo índice (1).

Como ilustração considere a análise do escoamento através de um tubo de diâmetro d. Se a diferença de pressão - ∆p - necessária para se manter o fluido escoando for a grandeza de interesse (ou variável dependente) o diâmetro - d - seria uma das grandezas independentes; alternativamente, a área da seção transversal - A - poderia ser utilizada no lugar de d. Observe, no entanto, que as duas grandezas d e A não poderiam ser utilizadas na mesma equação porque, obviamente, elas NÃO SÃO independentes entre si.

(27)

- A terceira etapa é dedicada ao estabelecimento da equação funcional adimensional, isto é, à obtenção da versão adimensionalizada da equação funcional (8). Como resultado desta etapa tem-se:

Π1 = φ (Π2 , Π3 , ... , Πj )

ou (9)

φ (Π1, Π2 , Π3 , ... , Πj )= 0

Nestas equações Πi, i = 1,j são grupos adimensionais. Veja, por exemplo, a eq. (4) e a eq. (6.B).

Esta etapa é realizada com a utilização do Teorema de Buckingham, também, conhecido por Teorema dos Πs; este teorema é apresentado no item 3.2.3.

OBS. A Análise Dimensional fornece a estrutura da equação (9), mas não fornece a forma da função φ; esta deve ser determinada analiticamente ou, de maneira alternativa utilizando métodos numéricos ou métodos experimentais.

- A quarta etapa é dedicada à análise de casos limites. Há situações, por exemplo, que se pode determinar o comportamento de Π1 quando uma grandeza adimensional aproxima

de um valor limite. Nas situações mais comuns esta etapa não é necessária; no entanto, sempre que haja elementos suficientes para a sua realização, ela fornece subsídios importantíssimos para o entendimento dos fenômenos alem de propiciar a simplificações na análise; estes aspectos ficarão mais claros com a utilização de exemplos, como feito no item 2.2.4.

Faz-se, a seguir, uma apresentação mais detalhada das etapas acima descritas. 3.2.1. Análise do Fenômeno Físico

A análise dos mecanismos que governam o fenômeno é realizada na primeira etapa. É importante compreender como os fenômenos se desenvolvem, identificar as forças atuantes assim como as grandezas intervenientes; se possível, analisar a importância relativa de cada uma destas forças.

Nos problemas da Mecânica dos Fluidos as forças mais comumente encontradas são a força inercial -FI-, a força viscosa -FV-, a força gravitacional –FG-, etc.

A força inercial é caracterizada pela (taxa de variação da) quantidade de movimento (ou seja, pelo produto da massa pela aceleração), a força viscosa pelo coeficiente de viscosidade, a força gravitacional pelo produto da massa pela aceleração da gravidade e assim por diante.

Como exemplo de ilustração considere a Figura 3, que mostra um aerofólio (uma seção de asa de comprimento unitário); deseja-se analisar a força de sustentação, L, quando esta asa movimenta-se com velocidade constante U e se orienta com relação ao movimento através de um ângulo de ataque -α-.

- a força que é exercida sobre um corpo, por um fluido que se movimenta relativamente a ele, é indicada por F; é usual analisar esta força decompondo-a em duas componentes (veja parte c da Figura 3):

- a força de sustentação -L- perpendicular ao movimento do corpo.

- a força de arrasto -D- que atua na direção oposta àquela do movimento do corpo.

(28)

- a análise da distribuição da pressão (esta é ilustrada na parte (a) da figura) mostra que esta é a principal responsável pelo aparecimento da força de sustentação e que a distribuição da tensão tangencial (esta é ilustrada na parte (b) da figura) possui uma influência marginal sobre esta componente da força. Esta pequena importância da tensão tangencial (que está associada à viscosidade do fluido) pode ser avaliada pela forma esbelta das asas.

- a distribuição da pressão é influenciada pela forma do corpo e pela sua orientação -α- com relação ao escoamento. Uma forma assimétrica com relação à direção do escoamento gera uma distribuição assimétrica da pressão dando origem a força de sustentação e, de maneira análoga, conclui-se que uma forma simétrica produz uma força de sustentação nula.

- um ângulo de ataque não nulo produz uma distribuição assimétrica da pressão, mesmo que o aerofólio seja simétrico. Assim sendo, uma forma assimétrica aliada a um ângulo de ataque não nulo é a receita para a produção de uma força de sustentação considerável.

- observe, finalmente, que a viscosidade (responsável pela tensão tangencial) possui influência marginal no principal mecanismo que é responsável pela força de sustentação. Esta influência é, no entanto, muito grande quando se trata da força de arrasto.

- nas condições do problema a única força que se faz presente é a força inercial.

Esta etapa é crucial para a obtenção de respostas apropriadas para a análise. Infelizmente não existem procedimentos definidos para a sua realização nem para a verificação do acerto da análise. O conhecimento do fenômeno físico e seus mecanismos são importantes assim como o é uma experiência mínima na área de conhecimento em que o fenômeno se insere.

FIGURA 3 CARGAS QUE ATUAM

NUMA ASA α = 0

Observa-se que a pressão é positiva na parte inferior e negativa em quase toda a parte

superior. A integração apropriada desta distribuição da

pressão sobre a superfície do aerofólio fornece o valor da

força de sustentação. A distribuição da tensão tangencial, por outro lado tem

pouca influência sobre esta componente da força. A integração apropriada da tensão

tangencial fornece, praticamente, o valor da força

(29)

Estes argumentos, além de outros que se façam necessários, são utilizados para se especificar as hipóteses de trabalho.

H1. Regime do escoamento: assume-se que o regime seja permanente, afinal seria pouco produtivo analisar a força de sustentação para uma dada velocidade se o corpo estivesse acelerando.

H2. Compressibilidade: assume-se que os efeitos da compressibilidade sejam desprezíveis. Esta hipótese é aceita com a finalidade de tornar a análise mais simples de ser entendida; não existe outra razão para se aceitar esta hipótese. Assim sendo, se assume-se que Ma = (U/c) < 0.3

H3. Viscosidade: assume-se que os efeitos viscosos possuem importância marginal no desenvolvimento da força de sustentação.

H4. Ângulo de ataque: assume-se que o ângulo de ataque seja pequeno. Valores elevados de α levam ao fenômeno da separação do escoamento e, nestas condições, a viscosidade e seus efeitos passam a ser de importância. Alternativamente, a análise poderia ser realizada sem a utilização das hipóteses H3 e H4 e ao final, na análise de casos limites se faria a hipótese H4; esta teria como conseqüência a validade da hipótese H3.

OBS. O ângulo de ataque -α- é medido em radianos. Cabe lembrar que nas aplicações mais comuns o ângulo de ataque assume valores pequenos da ordem de (0.2 a 0.4) radianos. Como referência menciona-se que 10 graus são iguais a 0.17 radianos. EXEMPLO 6: Neste exemplo pretende-se analisar os mecanismos responsáveis pela força de arrasto que atua sobre um cilindro de seção retangular. Para tornar a análise mais simples e ainda reter os aspectos mais importantes, a análise é restrita a uma situação definida pelas hipóteses:

H1. Regime do escoamento: regime permanente.

H2. Compressibilidade: os efeitos da compressibilidade são desprezíveis (Ma < 0.3) Adicionalmente, assume-se que a análise é restrita a cilindros longos ou seja, o escoamento é bi-dimensional.

Na Figura 3 foi visto que as duas componentes da foca que o fluido exerce sobre o corpo são: a força de sustentação - L - atua na direção normal ao movimento do corpo e a força de arrasto - D - atua na direção do movimento, opondo-se a ele.

No capítulo 6 foi visto que a força de arrasto é composta pelo arrasto de forma - Dp- e

pelo arrasto viscoso -Dv-.

Como ilustra a figura abaixo, o arrasto de forma pode ser visto como a diferença entre a pressão que atua sobre a face anterior e aquela que atua na face posterior.

A pressão na face anterior é alta (energia cinética do fluido em movimento é transformada em pressão quando o fluido é desacelerado) e a pressão na face posterior é

(30)

relativamente baixa uma vez que o escoamento separa-se, nas arestas do corpo (partículas de fluido dotadas de inércia suficientemente grande, especialmente quando a velocidade é alta, não conseguem acompanhar as formas do corpo; veja as linhas de corrente que são mostradas na parte superior da figura).

Observe, adicionalmente, que as pressões que atuam sobre as faces laterais não contribuem para Dp

O arrasto viscoso resulta da ação da tensão tangencial nas faces superior e inferior.

A contribuição das tensões tangenciais que atuam sobre as faces anterior e posterior é nula.

Identificam-se assim dois mecanismos responsáveis pala força de arrasto; o primeiro mecanismo resulta da manifestação da força inercial e o segundo da força viscosa. Nos corpos rombudos (como o cilindro de seção retangular, o cilindro de seção circular, etc.) o mecanismo que leva ao arrasto de forma (pressão) é dominante ao passo que nos corpos esbeltos (aerofólios, placas planas alinhadas com o escoamento, etc.) o mecanismo dominante é aquele associado à força viscosa.

Nos mecanismos responsáveis pela força de arrasto identificamos dois tipos de força: a força inercial e a força viscosa. Fim do exemplo 6. EXERCÍCIO 12: O que é um cilindro longo, como mencionado no exemplo 6? Suponha,

por exemplo, que um cilindro de seção circular de diâmetro d possua um comprimento L. Forneça uma expressão que caracterize o fato do cilindro ser longo.

EXERCÍCIO 13: Identifique as alternativas corretas

- aerofólio simétrico com α = 0 L < 0 L = 0 L >0 - aerofólio com curvatura positiva, α = 0 L < 0 L = 0 L > 0 - aerofólio fino, com curvatura, α = 5o

L = 0 L > 0 D pequeno - placa plana com α = 0 D ≈ Dp D ≈ Df D pequeno

- placa plana com α = 30o _{D ≈ D}

p D ≈ Df D = Df+Dp

EXERCÍCIO 14: Considere um corpo em queda livre. Identificamos que, no fenômeno, atuam dois tipos de força: a força inercial e a força gravitacional. Esta situação pode ser vista como uma simplificação de um fenômeno mais complexo; um corpo caindo na atmosfera. Da análise acima se conclui que outro tipo de força deve ser incluído. Qual é esta nova força e qual é o mecanismo responsável pelo seu aparecimento?

EXERCÍCIO 15: Considere um pêndulo simples composto por uma haste de comprimento, ℓ, e massa desprezível. O pêndulo oscila no vácuo ao redor de uma das extremidades da haste e na outra extremidade se adiciona uma massa m. Analise o fenômeno e identifique as forças que são responsáveis pela oscilação do pêndulo. Faça, também, um esquema do qual consta o pêndulo, o sistema de coordenada utilizado e

V

τ τ

(31)

indique as grandezas relevantes para a análise do período natura de oscilação do pêndulo. Veja a continuação deste exercício que é proposta no exercício 26,

EXERCICIO 16: Considere um lago de águas calmas e acima dele, a uma altura z = H, um corpo de massa m encontra-se em repouso.

Pergunta-se: qual é o valor da energia potencial e da energia cinética deste corpo? No instante seguinte, o corpo se desprende e cai (para simplificar a análise assume-se

que em queda livre) e atinge a superfície da água.

Pergunta-se: quais são os novos valores da energia potencial e cinética?

Ao tocar a água, a energia do corpo é transferida para a água que é perturbada e se observa ondulação da superfície da água que se propaga radialmente em todas as direções com uma velocidade, c = velocidade da onda, como mostra a figura. Observe, ainda, que a altura da onda decresce a medida que se afasta da origem.

Quais são as forças responsáveis pela formação e propagação das ondas?

Explicar os mecanismos através dos quais estas forças atuam para formar as ondas? Explicar, levando em consideração seus argumentos anteriores, porque a altura da onda diminui a medida que ela se afasta da origem. Para a utilização destes resultados veja o exercício 28

EXERCÍÇIO 17: Explicar porque a altura das ondas se mantem inalterada quando elas se propagam num canal de largura constante.

x y x z c c c c c c c c c c λ λ = comprimento da onda c = velocidade da onda T = λ/c = período

(32)

3.2.2. Equação Funcional Relacionando as Variáveis Intervenientes no Fenômeno. O objetivo da segunda etapa consiste em se escrever a equação funcional

relacionando as grandezas que governam o fenômeno. As n grandezas (ou variáveis) são representadas na equação (8) abaixo por Xi , i = 1, n

F (X1, X2, X3, ... ,Xn-1, Xn) = 0 (8)

Nesta equação nenhuma das Xi variáveis pode representar uma combinação linear de

duas outras. A equação acima pode ser re-escrita explicitando a variável dependente X1:

X1 = f (X2, X3, … , Xn-1, Xn) (8)

Além da análise do fenômeno, a identificação das variáveis Xi , é facilitada com a

utilização dos seguintes procedimentos.

- A variável dependente é explicitada e, de uma maneira bastante geral, se escreve: X1 = f (grandezas geométricas, grandezas cinemáticas, grandezas dinâmicas)

- Grandezas geométricas são aquelas que definem a forma e tamanho (do corpo, por exemplo) e a orientação (do corpo com relação ao movimento do fluido, por exemplo). Assim sendo, a equação acima sofre um detalhamento adicional, resultando

X1 = f (forma, tamanho, orientação, grandezas cinemáticas, grandezas dinâmicas)

Para ilustrar os procedimentos, o exemplo do aerofólio é retomado. Neste exemplo tem-se:

: a força de sustentação é a variável de interesse ou variável dependente; logo X1 = L.

: se o objetivo reside na análise do comportamento de L à medida que a orientação do aerofólio muda com relação ao seu movimento (veja abaixo a grandeza ângulo de ataque), assume-se que a forma do aerofólio não varia; como conseqüência, as grandezas que definem a forma não são variáveis, são constantes e não participam da equação funcional.

: o aerofólio, no entanto, pode assumir qualquer tamanho. Como a forma do aerofólio é constante, basta um comprimento para descrever o seu tamanho; neste caso escolhe-se o comprimento ℓ, que representa o comprimento característico do fenômeno. Esta é a grandeza que define o tamanho.

: a orientação do aerofólio com relação ao movimento do fluido é caracterizada pelo ângulo de ataque α. Esta é a grandeza que define a orientação.

: como o interesse é restrito a análise de L quando a velocidade de deslocamento do aerofólio é constante, é suficiente utilizar a velocidade U para descrever a cinemática do fenômeno.

: a análise dinâmica do fenômeno mostra que existem dois tipos de forças presentes no fenômeno em estudo:

- a força inercial responsável pela pressão e que é caracterizada por duas variáveis: U e ρ

- a força viscosa caracterizada pelo coeficiente de viscosidade µ.

No entanto a análise dos mecanismos responsáveis pela força de sustentação mostra que as forças viscosas são desprezíveis, numa primeira aproximação (hipótese H3).